中南大学复习题及参考答案
《高等数学》
一、填空题
1．函数1
1
42-+
-=
x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞Y 。
2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ．
解. 62
-x 3．________________sin lim =-∞→x
x
x x
答案：1
正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim
=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x
x
x x x x x x x x x
4.已知22
lim 222=--++→x x b
ax x x ，则=a _____, =b _____。
由所给极限存在知, 024=++b a , 得4
2--=a b , 又由
23
412lim 2lim 2222=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→)
1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。
∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x Θ, 即01)1)((lim 0=-=---→b a
b
e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数⎪⎩⎪⎨⎧
≥+<=0
1
01sin
)(x x x x
x x f 的间断点是x = 。
解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01
sin
lim 00
==+=+-→→f x x
x x x
所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，
又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。
7. 设()()()n x x x x y -⋅⋅--=Λ21, 则()=+1n y (1)!n + 8．2)(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。 答案：2)12(+x 或1442
++x x
9．函数)
1ln(4222
y x y x z ---=的定义域为 。
解：函数z 的定义域为满足下列不等式的点集。
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<+<≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠+<+≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-->--≥-1040141101042222222222222y x x y y x y x x y y x y x y x z ⇒ 的定义域为：{
10|),(22<+10．已知2
2),(xy y x y x y x f +=-+,则=),(y x f . 解 令x y u +=，x y v -=，则,22
u v u v
x y +-=
=
，()()()f x y x y xy x y +-=+ )(4
222),(22v u u u v u v u v u f -=-+=
，22(,)()4x
f x y x y =-
11．设2
2),(y x x xy y x f ++
=,则=')1,0(x f 。=')1,0(y f
∵ (0,1)00f =+=
20
00(,1)(0,1)
1(0,1)lim
lim 2x x x x
x f x f x f x
x
∆→∆→∆∆+
-∆-∆+'===∆∆ 0
0(0,1)(0,1)00
(0,1)lim
lim 0y y y f y f f y
y ∆→∆→∆+--'===∆∆。 12． 设,,cos ,sin 32t y t x y x z ==+=则
t
z
d d ＝ 。 解 22sin 3cos dz
x t t y dt
=-+ 13.
=⎰⎰dx x f d d dx
d
)( . 解：由导数与积分互为逆运算得，)()(x f dx x f d d dx
d
=⎰⎰. 14.设)(x f 是连续函数，且
x dt t f x =⎰
-1
3)(，则=)7(f .
解：两边对x 求导得1)1(33
2
=-x f x ，令713
=-x ，得2=x ，所以12
131
)7(2
2
=
=
=x x f .
15．若
21
d e 0
=
⎰∞
+-x kx ，则_________=k 。 答案：∵)d(e 1lim d e 2
100kx k x b kx b kx
--==⎰⎰-+∞→∞+-
k
k k k kb b b kx b 1
e 1lim 1e 1lim 0=-=-=-+∞→-+∞→
∴2=k
16．设函数f(x,y)连续，且满足⎰⎰
+=D
y d y x f x y x f 2),(),(σ，其中,:222a y x D ≤+则
f(x,y)=______________.
解 .4
44
2
x a y π+
记⎰⎰
=
D d y x f A σ),(，则2),(y Ax y x f +=，两端在D 上积分有：
⎰⎰⎰⎰+=D
D
d y Axd A σ
σ2，
其
中
⎰⎰=D
xd A 0
σ（由对称性），
⎰⎰⎰⎰=
=a
D
a d d d y
4
2
320
2
.4
sin πρϕρϕσπ
即 4
4
a A π=
，所以，.4
),(4
2
x a y y x f π+
=
17．求曲线2
,42
2
ay
x ax y =
=所围成图形的面积为 ，（a>0） 解：
223
a 18.
∑
∞
=--1
2
2212n n n
x n ； 解：令2
x y =，则原幂级数成为不缺项的幂级数
∑∞
=--1
1
212n n n
y n ，记其各项系数为n b ，因为21212lim 2122212lim lim 11
=+-=+⋅-==∞→+∞→+∞→n n n n b b R n n n n n n n ，则20222
<≤⇒<<-x y ，故22<
<-x .
当2±=x 时，幂级数成为数项级数∑∞
=-1
)12(21n n ，此级数发散，故原幂级数的收敛区间
为)2,2(-.
