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同时 A B A AB
例如 A a,b,c, d B c, d,e, f A B a,b
例如： 体检 A1={身高合格} A2={体重不合格}
B ={身高合格且体重合格} B A1 A2
9
S6 : { t | t 0 }中 事件A ={ t | t 1000} “次品” 事件B ={ t | t 1000} “合格品”
19
例3 从一批 100件的产品中每次取出一个（取后不
放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件AK 表示
第 k 次取到次品（k=1,2,3), 试用 A1 A2 A3 表示下列事件。
1、三次全取到次品。
A1 A2 A3
2、只有第一次取到次品
A1 A2 A3
3、三次中至少有一次取到次品 A1 UA2 UA3
1. A1 U A2 UL U An S
2. Ai A j (i j i, j 1,2, n)
则称 A1, A2, , An 为完备事件组。
A1
如:中华人民共和国地图由
31个省、市的版图（完备
A2
An 事件组）组成。
学生的考试成绩由 0－100分（101个完备事件组）组成。
14
第二节
第一章
事件的关系与运算
一 、事件的包含与相等 二、事件的运算与关系 三、事件的运算规律
1
事件间的关系及事件的运算
事件是一个集合，因而事件间的关系和运算,自然 按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理。一次 随机试验, 有多个不同的事件发生。这些事件有些简单， 有些复杂。我们对其进行分析寻求它们之间的关系。
设事件 Ak 表示第 k 号管道正常工作，k=1，2，3。 B 表示“城市能正常供水”B，表示“城市断水”。
试用 A1 , A2 , A3 表示 B , B .
解 B A1 U A 2 A3
甲1
乙
2
3 城市
B A1 U A2 A3
(A1 U A2) U A3 A1A2 U A3
D A, D S.
二、事件的运算与关系
4
1、事件的和、并(加法) （和运算）
定义 若由“事件A 与事件B 至少有一个
AB
发生”所构成的事件称为A 与 B
的和，记为 A B 或 A B
S AB 即 AB x A 或 xB
若 A 与 B 有公共元素，此元素在 A B 中只出现一次。
则 A=B
3
例如
抛两个分币 A ={ 正好一个上 },
B={上，上}, C={至少一个上}, D={无下}.
AC BC BD
如例1中设 A { 取到的球号 2 } B { 取到的球号 4 } C { 取到的球号是偶数 }
D { 取到的球号1} 有 A B A C
例如 A a,b,c, d B c, d,e, f A B a,b,c, d,e, f
类似，由“事件A1, A2, , An ”中至少有一个发生所
构成的事件，称为 A1, A2, , An 的和，记为
A1 A2 An 或 A1 A2 An
AUS S, AI S A
例1. 设A,B,C 表示三个事件, 试表示下列事件
(1) A 发生, B 与C 不发生
(AB C )
(2) A 与B 发生, C 不发生
(ABC )
(3) A, B 与C 都发生
( ABC )
(4) A, B 与C 至少有一个发生 ( A B C)
(5) A, B 与C 全都不发生
4、三次中恰有两次取到次品
A1 A2 A3 U A1A2 A3 U A1 A2 A3
5、三次中至多有一次取到次品
A1A2 A3 U A1A2 A3 U A1 A2 A3 UA1 A2 A3
或 A1A 2 U A1A3 U A 2 A3
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例4 以A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则 A 为：
(a) 甲滞销，乙畅销 (b) 甲乙两种产品均畅销 (c) 甲种产品畅销 (d ) 甲滞销或乙畅销 解：设 B = “甲产品畅销”，C = “乙产品畅销”
概率论与数理统计
第二讲
主讲教师: 王升瑞
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三、事件的运算规律
1. 交换律 A B B A A B B A 2. 结合律 A (B C) (A B) C
A (B C) (A B) C 3. 分配律 A (B C) (A B) (A C)
如：产品检验是一等品、二等品、次品是互不相容的。
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5、对立事件
定义 事件 A、 B 满足
A B
AB S 且 A B
则称 A 与 B为对立事件(互逆)
S
记为 B A A B
即：事件A、B 必有且仅有一个发生。
可见：若 E 只有两个互不相容的结果，那么这两个
结果构成对立事件。
例如：地震后一建筑物倒塌了为 A ,则 没有倒塌为 A. 考试成绩及格了为 A ,则不及格为 A.
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例如： 设以 A1, A2, , An 表示毕业班一位学生的
每门及格的学习成绩。 以 B 表示该学生可以拿到毕业证书。
则 B A1 A2 An (表示门门课程都合格了)。
以 C 表示该学生拿不到毕业证书。
C A1 U A2 UL UAn
表示该学生至少有一门课程不及格。
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6、完备事件组 若事件运算满足
（A的每一个样本点都是 B 的样本点）
记为. A B 或 B A. 即 xA xB
文氏图(Venn图)
定义：若 A B 且 B A.
则称 A与 B 相等 记为 A = B .
例1: 产品有长度、直径、外观三个指标,
A=“长度不合格”, B=“产品不合格”,则 A B
例2: 掷骰子,A=“出现偶数点”, B=“点数能被2整除”
例如： 工地上 A1={缺水泥} A2={缺黄沙}
B A1 U A2 ={缺水泥或黄沙}
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2、事件的积、交(乘法)（积运算 ）
定义 由“事件A 与事件B 同时发生”
AB
所构成的事件，称为事件A与B的积。
记为 A B 或 AB.
S A B
即 A B xA且xB
例如 A a,b,c, d B c, d,e, f
(A BC )
(6) A, B 与C 至少有两个发生
思考: 判断
(ABC A BC AB C ABC )
(1) 若 AB 且 C A , 则 BC
(2) 若 B A , 则 A B B 18
例2 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分 管道 1，2，3 组成。每个水源都可以供应城市的用水。
k 1
5、包含运算： 设 A B ，则 A B AB A ， AUB B，A B
6、 A B AB A AB
7、 A AB U AB
8、 A AUB, B AUB;
AB A, AB B;
A U A A, A I A A
事件C ={ t | t 1500} “一等品”
次品 0 1000
1500
BC
一等品
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4、互不相容事件
B
A
S
定义 事件A 与事件B 不能同时发生 的事件，称为事件A 与事件B 互不相容(互斥).
记为 A B 若 A B 则称A 与 B 相容.
（可同时发生）
注： 基本事件是两两互不相容的(互斥) 。
则 A BC A BC B UC ，故选( d )
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作业 P65 2，3，4, 5, 6
22
5
注：A B 包含了A 事件，也包含了 B 事件。
例如
K1
K2
K3
B
A1={开关 K1 合上}
A2={开关 K2 合上}
A3={开关 K3 合上}
B={灯亮}
B A1 U A2 U A3 三个开关至少有一个合上。
例如：A1={甲生病没来}
A2={乙生病没来}
B={甲和乙至少有一个没来} B A1 U A2
A B c, d
例如 电路图
A1={开关 K1 合上}
K1
K2
A2={开关 K2 合上}
B
B A1A2
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类似，由“事件A1, A2, , An ” 中同时发生所构成的 事件，称为 A1, A2, , An 的积，记为 A1A2 An 或 A1 A2 An
例如： 设以 A1, A2, , An 表示毕业班一位学生的
每门及格的学习成绩。 以 B 表示该学生可以拿到毕业证书。
则 B A1 A2 An (表示门门课程都合格了)。
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3、事件的差、(减法) （差事件）
定义 由“事件A 发生且事件B 不发生”
A B
S AB
构成的事件为事件A 与事件B 的差。
记为 A B AB { Байду номын сангаасA且 xB }
A (B C) (A B) (A C)
4. 德摩根律 A B A B
即 A、B 中不是至少有一个发生，就是两个都不发生。
A B AB
A、B 不是两个都发生，就是两个至少有一个不发生。
n
n
n
n
推广：UAi I Ai ; I U Ak Ak
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i 1
i 1
k 1
下面给出这些关系和运算在概率论中的提法， 并根据“事件发生”的含义给出它们在概率论中的含义。
