第五节 椭圆-高考状元之路

开卷速查(五十二) 椭 圆A 级 基础巩固练1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．43D ．12解析：如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，则△ABC 的周长为|AB |＋|AC |＋|BC |＝(|AB |＋|BF |)＋(|AC |＋|CF |)＝4a ＝4 3.答案：C2．已知2，m,8构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 22＝1的离心率为( )A.22 B ． 3C.22或 3D.22或62解析：因为2，m,8构成一个等比数列，所以m 2＝2×8＝16，即m ＝±4.若m ＝4，则圆锥曲线方程为x 24＋y 22＝1，此时为椭圆，其中a 2＝4，b 2＝2，c 2＝4－2＝2，所以a ＝2，c ＝2，离心率为e ＝c a ＝22.若m ＝－4，则圆锥曲线方程为y 22－x 24＝1，此时为双曲线，其中a 2＝2，b 2＝4，c 2＝4＋2＝6，所以a ＝2，c ＝6，离心率为e ＝c a ＝62＝ 3.所以选C.答案：C3．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：将椭圆的方程转化为标准形式为y 2(m －2)2＋x 2(10－m )2＝1，显然m －2＞10－m ，即m ＞6且(m －2)2－(10－m )2＝22，解得m ＝8.答案：D4．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m ＜0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34 B ．1 C ．2D ．4解析：圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2，则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m ＜0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)． 由题意知直线l 的方程为x ＝－c ，又∵直线l 与圆M 相切，∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2. 答案：C5．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.答案：B6．椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是__________．解析：设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y )． ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →＜0， 即x 2－3＋y 2＜0，①∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24＜0，34x 2＜2，∴x 2＜83.解得－263＜x ＜263，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－263，263 7．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为__________．解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴m 2－n 2＝4①，e ＝12＝2m ，∴m ＝4，代入①得，n 2＝12，∴椭圆方程为x 216＋y212＝1.答案：x 216＋y 212＝18．椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a ＞5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B .若△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是__________．解析：设椭圆的右焦点为F ′，如图，由椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立． 此时4a ＝12，则a ＝3.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1，所以c ＝2， 所以e ＝c a ＝23. 答案：239．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．解析：∵直线y ＝3(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为60°， ∴∠MF 1F 2＝60°， ∠MF 2F 1＝30°.∴∠F 1MF 2＝90°，即F 1M ⊥F 2M . ∵|MF 1|＝c ，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， ∴|MF 2|＝2a －c .∵|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2.∴c 2＋(2a －c )2＝4c 2，即c 2＋2ac －2a 2＝0. ∴e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1. 答案：3－110．[2014·课标全国Ⅱ]设F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . 解析：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12， ca ＝－2(舍去)． 故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a . ①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎨⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1. ② 将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.B 级 能力提升练11．[2014·福建]设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2B ．46＋ 2C ．7＋ 2D ．6 2解析：设圆的圆心为C ，则C (0,6)，半径为r ＝2， 点C 到椭圆上的点Q (10cos α，sin α)的距离|CQ |＝(10cos α)2＋(sin α－6)2＝46－9sin 2α－12sin α＝50－9⎝⎛⎭⎪⎫sin α＋232≤50＝52，当且仅当sin α＝－23时取等号， 所以|PQ |≤|CQ |＋r ＝52＋2＝62， 即P ，Q 两点间的最大距离是62，故选D. 答案：D12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能解析：因为椭圆的离心率e ＝12，所以c a ＝12，即a ＝2c ，b ＝a 2－c 2＝4c 2－c 2＝3c ，因此方程ax 2＋bx －c ＝0可化为2cx 2＋3cx －c ＝0， 又c ≠0，∴2x 2＋3x －1＝0，x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74＜2，即点(x 1，x 2)在x 2＋y 2＝2内．答案：A13．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e .(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解析：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)， 因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以(a －c )2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1＝0，解得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ， 可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2， 直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )， 所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离 d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2. 因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.14．[2014·天津]设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切．求直线l 的斜率．解析：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2，又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以，椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.设P (x 0，y 0)，由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0. ①- 11 - 又因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c 2＝1. ②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c 3，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53c .设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即|k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3－2c 3|k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k＝4±15.所以，直线l 的斜率为4＋15或4－15.。

第五节 合情推理与演绎推理预习设计 基础备考知识梳理典题热身1．数列O ，1，3，7，15，31的一个通项公式是 （ ）12.-=n n a A 12.-=n n a B 12.1-=-n n a C 12.1+=-n n a D答案：C2．下列说法正确的是A ．合情推理就是归纳推理B ．合理推理的结论不一定正确，有待证明C ．演绎推理的结论一定正确，不需证明D ．类比推理是从特殊到一般的推理答案：B3．观察下式：+=++++=++=4,576543,3432,11222,,710987652=+++++则第n 个式子是 ( ) 2)12()2()1(.n n n n n A =-++++++2)12()12()2()1(.-=-++++++n n n n n B2)12()23()2()1(.-=-++++++n n n n n c2)12()13(.)2()1(.-=-+⋅+++++n n r n n n D答案：C4．两条直线相交，对顶角相等，A ∠和B ∠是对顶角，则.B A ∠=∠该证明过程中大前提是 ，小前提是 结论是5．观察下列不等式：+++>++>31211,131211,211+++>+31211,2371 ++++>+ 31211,2151.. ,,25311 >由此猜想第n 个不等式为 ).(⋅∈N n课堂设计 方法备考题型一 归纳推理的应用【例1】观察：;160tan 20tan 60tan 10tan 20tan 10tan =⋅+⋅+⋅ ①.175tan 10tan 75tan 5tan 10tan 5tan =⋅+⋅+⋅ ②由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广。

题型二 类比推理的应用【例2】在△ABC,中，射影定理可以表示为,cos cos B c C b a +=其中a ，b ，c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比以上定理，给出空间四面体性质的猜想．题型三 演绎推理的应用【例3】(1)证明函数x x x f 2)(2+-=在]1,(-∞上是增函数．(2)当]2,5[--∈x 时，)(x f 是增函数还是减函数？技法巧点(1)合理推理主要包括归纳推理和类比推理，数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．(2)合情推理的过程概括为：(3)演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．(4)合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确，但合情理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法．而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理形式都正确的前提下）．失误防范1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据，随堂反馈1．下面给出了关于复数的四种类比推理；①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质22||a a =可类比得到复数z 的性质;||22z z =③方程),,(02R c b a c bx ax ∈=++有两个不同实数根的条件是,042>-ac b 可以类比得到：方程 ,,(02b a c bz az =++)C c ∈有两个不同复数根的条件是;042>-ac b④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，其中类比得到的结论错误的是( )①③.A ②④.B ②③.c ①④.D答案；C2．观察下列式子：,232112<+,353121122<++ ,474131211222<+++ …由此可得出一般的结论为答案： *),2(12131211222N n n n n n∈≥-<++++ 3．（2010．江苏姜堰中学期中）如图①，数轴上),()(21x B x A 、点P 分AB 的比,λ=PB AP 则点P 的坐标 λλ++=121x x xp 成立;如图②，在梯形ABCD 中，,////BC AD EF 且λ=EB AE ，则⋅+⋅+=λλ1BC AD EF 根据以上类比，推理，如图③，在棱台ABC C B A -111中，平面DEF 与平面ABC 平行，且=DAD A 1、111,C B A ∆λ△DEF 、△ABC 的面积依次是21,,s s s 则有结论：答案： λλ++=121s s S 高效作业 技能备考一、选择题1．(2011．合肥模拟)下面使用类比推理恰当的是 ( )A ．“若a ．3=b·3，则,,b a =类比推出“若,00⋅=⋅b a 则,,b a =”“bc ac c b a B +=+)(.类比推出“cb c a c b a +=+” ”“bc ac c b a c +=+)(.类比推出”“)0(=/+=+c c b c a c b a ”“n n n b a ab D =)(类比推出”“（n n n b a b a +=+) 答案：C2．（2011．珠海联考）给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）； ①“若,,R b a ∈则,,0b a b a =⇒=-类比推出“若,,C b a ∈则”；b a b a =⇒=-0②“若,,,,R d c b a ∈则复数,,,d b c a di c bi a ==⇒+=+类比推出“若,,,,Q d c b a ∈则;,22”d b c a d c a ==⇒+=+③若,,R b a ∈“则”b a b a >⇒>-0类比推出“若,,c b a ∈则.0”b a b a >⇒>-其中类比结论正确的个数是 ( )0.A 1.B 2.c 3.D答案：C3．(2011．舟山模拟)定义A D D c C B B A *,*,*,*的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是 ( )D A D B A *,*. C A D B B *,*. D A c B c *,*. D A D C D *,*.答案：B4．古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图(1)中的1，3,6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )289.A 1024.B 1225.c 1378.D答案：G5．（2010．清远模拟）,11)(xx x f -+=又记),()(1x f x f =)),(()(1x f f x f k k =+,,2,1 =k 则)(2009x f 等于 ( ) x A 1.- x B . 11.+-x x c xx D -+11. 答案：D6．如果)()()(y f x f y x f ⋅=+且,1)1(=f 则++)3()4()1()2(f f f f )2011()2012()2009()2010(f f f f ++ 等于( ) 1005.A 1006.B 2008.C 2010.D答案：B二、填空题7．（2010．陕西高考）观察下列等式：++=+3323321,32133323321,63++=,,10423 =+根据上述规律，第五个等式为答案：233333321654321=+++++8．（2011．南阳模拟）观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有 个小正方形.答案：289．（2011．福州模拟）根据三角恒等变换，可得如下等式：;cos cos θθ=;1cos 22cos 2-=θθ;cos 3cos 43cos 2θθθ-=;1cos 8cos 84cos 24+-=θθθ.cos 5cos 20cos 165cos 35θθθθ+-=依此规律，猜想,1cos cos cos 326cos 246-++=θθθθn m 其中=+n m答案：30-三、解答题10．已知数列}{n a 中，211=a 且),,2,1(121 =+=+n a a a n n n 写出5432,,,a a a a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式．11．（2011．青岛调研）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为PN PM k k ,时，那么FM k 与PN k 之积是与点P 的位置无关的定值，试对双曲线-22a x 122=by 写出具有类似特性的性质，并加以证明． 12.设}{n a 是集合,0|22{t s s t <≤+且}z t s ∈、中所有的数从小到大排列成的数列，即.,9,6,5,34321x a a a a ====,,12,106 =a 将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下所示的三角形数表：(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行；(2)求⋅100a。

第五节 直线、平面垂直的判定及性质预习设计 基础备考知识梳理1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l 与平面α内的 直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记作(2)判定定理：一条直线与一个平面内的 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

用符号表示为：,,,,α⊂⊂⊥⊥b a a b l a l .α⊥⇒l(3)性质：①若⇒⊂⊥ααa l , ，这是我们在空间证明线线垂直的一种重要方法．②性质定理：垂直于同一平面的两条直线用符号表示：⇒⊥⊥ααb a ,2．直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 叫做这条直线和这个平面所成的角。

规定：当直线与平面垂直和平行（含直线在平面内）时，则直线和平面所成的角分别为(2)线面角的范围为3．二面角(1)二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做 两个半平面叫做二面角的面，如图①，记作：βα--l 或βα--AB 或.Q AB P --(2)二面角的平面角．如图②，二面角,β--l a若有：,,;,;l OB l OA OB OA l O ⊥⊥⊂⊂∈③②①βα则AOB ∠就叫做二面角βα--l 的平面角．4．平面与平面垂直典题热身1．设n m l 、、均为直线，其中m 、n 在平面a 内，则”“α⊥l 是⊥l “m 且”n l ⊥的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A2．(2008．湖南)已知直线m ，n 和平面βα、满足.,m n m ⊥,βα⊥则（ ）β⊥n A . ββ⊂n n B 或,//. α⊥n c . αα⊂n n D 或,//.答案：D3．(2009．广东)给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 ( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④答案：D4．（2011．长沙一中模拟）下列命题中，m 、n 表示两条不同的直线βα、、γ表示三个不同的平面. ①若,//,ααn m ⊥则;n m ⊥②若,,γβγα⊥⊥则;//βα③若,//,//ααn m 则;//n m ④若,,//,//αγββα⊥m 则.γ⊥m正确的命题是 ( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案：C5．三棱锥P- ABC 的顶点P 在底面的射影为O ，若=PA ,PC PB =则点O 为△ABC 的 心，若PC PB PA 、、两两垂直，则O 为△ABC 的 心，答案：外垂课堂设计 方法备考题型一 直线与平面垂直的判定与性质【例1】已知直角△ABC 所在平面外一点S ，且D SC SB SA ,==为斜边AC 中点．(1)求证：SD ⊥面ABC ；(2)若,BC AB =求证：BD ⊥面SAC ．题型二 平面与平面垂直的判定与性质【例2】如图所示，已知△ABC 是等边三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，且EC 、DB 在平面ABC 的同侧，M 为EA 的中点，,2BD CE =求证：(1)平面BDM ⊥平面ECA ；(2)平面DEA ⊥平面ECA ．题型三 空间垂直关系中的探索性问题【例3】如图所示，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是oDAB 60=∠的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ．(1)求证：.PB AD ⊥(2)若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD?并证明你的结论.题型四 线面角的求法【例4】如图所示，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，=∠BAD BC AD ,//⊥PA ,90 底面ABCD ，且==AD PA N M BC AB 、,2=分别为PC 、PB 的中点．(1)求证：;DM PB ⊥(2)求BD 与平面ADMN 所成的角．题型五 二面角的求法【例5】（2011．信阳模拟）如图，三棱锥ABC P -中，D 是AC 的中点，==PB PA ,5=PC ,22=AC .6,2==BC AB(1)求证：PD ⊥平面ABC;(2)求二面角C AB P --的正切值大小，技法巧点(1)垂直关系的转化：在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来决，如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化是解决这类问题的关键．(2)面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据，我们要做一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．失误防范1．利用线面垂直的判定定理，此种方法要注意平面内的两条直线必须相交．2．两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，此种方法要注意“平面内的直线”．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线与垂直于第三个平面，此性质是在课本习题中出现的，在问题不很复杂的题目中，要对此进行证明，以免无谓扣分．随堂反馈1．平面α⊥平面β的一个充分条件是 ( )A ．存在一条直线βα⊥⊥l l l ,,B ．存在一个平面βγαγγ//,//,C ．存在一个平面βγαγγ⊥⊥,,D ．存在一条直线βα//,,l l l ⊥答案：D2．（2010．山东师大附中期中）设a 、b 、c 是空间的三条直线，α、β是空间的两个平面，则下列命题中不成立的是( )A ．当a c ⊥时，若,β⊥c 则β//aB ．当α⊂b 时，若,β⊥b 则βα⊥C ．当,α⊂b 且c 是a 在α内的射影时，若,c b ⊥则b a ⊥D ．当,α⊂b 且α⊂/c 时，若,//b c 则α//c答案：A3．在正方体1111D C B A ABCD -中，C B 1与对角面B B DD 11所成角的大小是（ ）15.A 30.B 45.C 60.D答案：B4．设P 是60的二面角βα--l 内一点，B A PB PA 、,,βα⊥⊥分别为垂足，,4,2==PB PA 则AB 的长是答案：725．(2011．汕头模拟)已知γβα、、是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题：①若,,ββα⊥⊥l 则;//αl②若,//,βαl l ⊥则;βα⊥③若l 上有两个点到a 的距离相等，则;//αl④若,//,γαβα⊥则⋅⊥βγ其中正确命题的序号是答案：②④高效作业 技能备考一、选择题-1．（2011．浙江高考）若l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 ( )A ．若,,α⊂⊥m m l 则α⊥lB ．若,//,m l l α⊥则α⊥mC ．若,,//αα⊂m l 则m l //D ．若,//,//ααm l 则m l //答案：B2．已知直线a ，b 和平面βα、，且,,βα⊥⊥b a 那么βα⊥是b a ⊥的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也必要条件答案：C3．已知平面 α平面m l ,=β是“内的一条直线，则在平面β内( )A. -定存在直线与直线m 平行，也一定存在直线与直线m 垂直B ．一定存在直线与直线m 平行，但不一定存在直线与直线m 垂直C ．不一定存在直线与直线m 平行，但一定存在直线与直线m 垂直D ．不一定存在直线与直线m 平行，也不一定存在直线与直线m 垂直答案：C4．已知平面⊥α平面,,l =βαβ 点,,l A A ∉∈α直线,//l AB 直线,l AC ⊥直线,//,//βαm m 则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )m AB A //. m AC B ⊥. β//.AB C β⊥AC D .答案：D5．（2011．柳州模拟）设a 、b 是不同的直线，βα、是不同的平面，则下列四个命题中正确的是 ( )A ．若,|,α-⊥a b a 则α//bB ．若,,//βαα⊥a 则β⊥aC ．若,,βαβ⊥⊥a 则α//aD ．若,,,βα⊥⊥⊥b a b a 则βα⊥答案：D6．平面a 的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 ( )A ．一条直线B ．-个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支答案：A二、填空题7．m 、n 是空间两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是n;//,//,⊥⇒⊥m n m βαβα① ;//,//,βαβαn m n m ⇒⊥⊥②;//,//n,βαβα⊥⇒⊥n m m ③ ⋅⊥⇒⊥ββααn n m m //,//,④答案：①④8．在△ABC 中，⊥=∠==∠PC ABC AB ACB ,60,8,90平面M PC ABC ,4,=是AB 上一个动点，则PM 的最小值为 答案：729．如图，平面ABC ⊥平面=∠BAC BDC ,,,90a AC AB BDC ===∠且 则=AD答案：a三、解答题10．（2011．江苏高考）如图，在四棱锥ABCD p -中，平面PAD ⊥平面,60,, =∠=BAD AD AB ABCDE ，F 分别是AP ，AD 的中点，求证：(1)直线EF∥平面PCD ；(2)平面BEF ⊥平面PAD ．11．(2011．课标全国卷)如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为平行四边形，,60 =∠DAB ,2AD AB =⊥PD 底面ABCD.(1)证明：;BD PA ⊥(2)设,1==AD PD 求棱锥PBC D -的高．12．(2011．湖北高考)如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2，侧棱长为,23点E 在侧棱1AA 上，点F 在侧棱1BB 上，且.2,22==BF AE (1)求证：;1E C CF ⊥(2)求二面角1C CF E --的大小，。