第七节 指数函数-高考状元之路

对应学生书 P169一、选择题1．设函数 f ( x ) ＝ log a x ( a ＞0，且 a ≠1) 知足 f (9) ＝ 2，则 f －1(log 92) 等于 ()A. 2 B ．2 C ．－2 D ．－ 2答案： A2．若函数 y ＝f ( x － 1) 的图像与函数 y ＝ ln x ＋ 1 的图像对于直线y ＝ x 对称，则 f ( x )＝()A ． e 2x － 12xC2x ＋ 12x ＋2B ．e ． e D ． e分析：由函数 y ＝ f ( x － 1) 的图像与函数 y ＝ln x ＋1 的图像对于直线 y ＝ x 对称，可知y ＝ f ( x － 1) 与 y ＝ln x ＋1 互为反函数．由 y ＝ lnx ＋1? ln x ＝ y － 1?x ＝ e y － 12y － 2? x ＝e，2x －22 x －2，故 f ( x ) 2x所以 y ＝ e ? y ＝ f ( x － 1) ＝ e ＝ e .答案： B3．若函数 f ( x ) 的反函数为 f －1( x ) ，则函数 f ( x － 1) 与 f －1( x － 1) 的图像可能是 ()分析：由于 y ＝ f ( x ) 的图像与 y ＝ f －1( x ) 的图像对于直线 y ＝x 对称，而 y ＝ f ( x －1) 的图像是把 y ＝f ( x ) 的图像向右平移一个单位长度获得的，y ＝ f －1( x － 1) 的图像是把 y ＝ f －1( x )的图像向右平移一个单位长度获得的，所以联合图像可知答案是A.答案： A4．已知函数 f (x x ＋3f － 1x ) 是 f (x ) 的反函数，若＝ 16( 、 ＋f －1( ) ＋) ＝ 2 ，(∈R )，则mnm nmf －1( n ) 的值为 ()A ．－2B． 11C ． 4D ．10x ＋ 3( y ＞0)2－12－ 1分析：设 y ＝2 ，则有 x ＋ 3＝ log y ，可得 f ( x ) ＝log x － 3( x ＞ 0) ．于是 f ( m )＋f － 1( n) ＝ log 2m＋ log 2n－ 6＝ log 2mn－ 6＝－ 2.答案： A5．设函数f ( x) ＝ log ( x＋b)( a＞ 0，a≠1) 的图像过点 (2,1) ，其反函数的图像过点(2,8) ，a则 a＋ b 等于()A．3B．4C．5D．6分析：∵函数y＝ f ( x)的图像过点(2,1)，∴l og a(2 ＋b) ＝ 1，∴a＝b＋2. ①又函数 y＝ f ( x)的反函数的图像过点(2,8)，∴l og a(8 ＋b) ＝2. ∴a2＝ 8＋b. ②由①②，得a＝3， b＝1.∴ a＋ b＝4.答案： B6．若函数y＝f ( x)的反函数为y＝f －1( x)，则函数y＝ f ( x－1)与函数 y＝ f －1( x－1)的图像()A．对于直线y＝ x 对称B．对于直线y＝ x－1对称C．对于直线y＝ x＋1对称D．对于直线y＝1对称分析：函数 y＝ f ( x)与其反函数 y＝ f －1( x)对于 y＝ x 对称，则经过图像平移可推知函数y＝ f ( x－1)与函数 y＝ f －1( x－1)的图像对于 y＝ x－1对称．答案： Bx － xe － e)7．函数y＝的反函数 (2A．是奇函数，它在 (0 ，＋∞ ) 上是减函数B．是偶函数，它在 (0 ，＋∞ ) 上是减函数C．是奇函数，它在 (0 ，＋∞ ) 上是增函数D．是偶函数，它在 (0 ，＋∞ ) 上是增函数分析：函数与其反函数有同样的单一性和奇偶性，所以只须考察函数y＝e x－ e－x2 的奇偶性与单一性，易知此函数是奇函数，且在(0 ，＋∞ ) 上是增函数，∴应选 C.答案： C8．已知方程f ( x) ＝ 3－x仅有一解x1，方程f－1( x) ＝ 3－x仅有一解x2，则x1＋x2的值为()A．2B ．3C．4 D．5－1分析： f ( x)与 y＝3－x 的交点为( x1,3－ x1)．则 f( x) 与y＝ 3－x的交点为 (3 －x1，x1) ．答案： B二、填空题x 2＋1 x ≥0 ，9．函数 y ＝ 2x ＜ 0的反函数是 __________．x分析：由 y ＝ x 2＋ 1( x ≥0) ，得 x ＝y － 1，且 y ≥1，故 y ＝ － 1( x ≥1) ．x222由 y ＝ x ( x ＜ 0) ，得 x ＝ y ( y ＜ 0) ，故 y ＝ x ( x ＜0) ．x 2＋ 1 x ≥0 ，∴函数 y ＝ 2x ＜0的反函数为xx － 1x ≥1 ， y ＝ 2x ＜ 0 .xx － 1≥1 ，x答案： y ＝ 2x ＜0x－1－ 1＋6] ·[f － 110．设 f ( x ) ＝log ( x ＋ 6) 的反函数为 f ( x ) ，若 [ f ( m )( n ) ＋ 6] ＝ 27，则 f ( m3＋ n ) ＝ __________.分析： f －1( x ) ＝ 3x － 6， [ f － 1( m ) ＋6] ·[f －1( n ) ＋ 6] ＝ 3m · 3 n ＝ 3m ＋n ＝ 27， m ＋ n ＝ 3， f ( m＋ n ) ＝ f (3) ＝ 2.答案： 211．已知函数 y ＝f ( x ) 是奇函数， 当 x ≥0时，f ( x ) ＝ 3x － 1，设 f ( x ) 的反函数是 y ＝ g ( x ) ，则 g ( － 8) ＝ __________.分析：当 x ＜ 0 时，－ x ＞0， f ( －x ) ＝ 3－x － 1.又 ∵ f ( x ) 是奇函数，∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，即－ f ( x ) ＝ 3－x－1. ∴ f ( x ) ＝ 1－ 3－x .3x － 1x ≥0 ， ∴ f (x )＝1－3－ xx ＜ 0 ，log 3 x ＋1x ≥0 ， ∴ f －1( x ) ＝1－ xx ＜ 0 ，－ log 3∴ f －1( － 8) ＝ g ( － 8) ＝－ log 3(1 ＋8)＝－ log 332＝－ 2.答案：－ 212．设函数 y ＝ f ( x ) 存在反函数 y ＝ f －1( x ) ，且函数 y ＝ x －f ( x ) 的图像过点 (1,2) ，则函数 y ＝ f －1( x ) － x 的图像必定过点 __________．分析：由 y ＝ x － f ( x ) 过点 (1,2) ，得 f (1) ＝－ 1，即函数 y ＝ f ( x ) 的图像过点 (1 ，－ 1) ，所以反函数 y ＝ f －1( x ) 的图像过点 ( － 1,1) ，代入 y ＝ f －1( x ) － x 得 y ＝ f －1( － 1) － ( －1) ＝1 ＋1＝ 2，即此函数图像过点 ( － 1,2).答案： ( － 1,2)三、解答题13．已知函数 f ( x ) ＝ log 2(2 x ＋ 1) ．(1) 求证：函数 f ( x ) 在 ( －∞，＋∞ ) 内单一递加；(2) 记 f － 1x 的方程 f －1上有解，( x ) 为函数 f ( x ) 的反函数．若对于 ( x ) ＝ m ＋ f ( x ) 在 [1,2] 求 m 的取值范围．2x 1＋ 1分析： (1) 任取 x 1 ＜x 2，则 f ( x 1) － f ( x 2) ＝log 2(2 x 1＋ 1) － log 2(2 x 2＋1) ＝ log 22x 2＋ 1. ∵ 1＜ 2, 0＜2 1＋ 1＜ 2 2＋ 1， x x x x2x 1＋ 12x 1＋ 1 ∴0＜ 2＋1 ＜ 1，∴ log 2 2 ＜ 0. 2x2x ＋ 1 ∴ f ( x 1) ＜f ( x 2) ，即函数 f ( x ) 在 ( －∞，＋∞ ) 上单一递加．(2) 方法一：∵ f －1( x ) ＝ log 2(2 x － 1)( x ＞ 0) ， ∴m ＝ f －1( x ) － f ( x ) ＝log 2(2 x － 1) － log 2(2 x ＋ 1)x－1 22＝ log 22x ＋1＝ log 2(1 － 2x ＋ 1) ．222 当 1≤ x ≤2时， ≤ x ＋ 1 ≤ ，5 2 3 1 2 3∴ 3≤1－ 2x ＋ 1≤ 5，∴ m 的取值范围是 [log1 33， log5] ．2 2方法二：由已知，得f －1( x ) ＝ log 2(2 x － 1) ，解方程 log 2(2 x － 1) ＝m ＋ log 2(2 x ＋ 1) ，得2m ＋ 1x ＝ log 2 1－ 2m .2m ＋ 113∵ 1≤ x ≤2，∴ 1≤log 2( 1－2m ) ≤2，解得 log 23≤ m ≤log 25.1 322∴ m 的取值范围是 [log 3， log5] ．ax． 14． (2020 ·上海春 ) 已知函数 f ( x ) ＝ log (8 － 2 )( a ＞ 0，且 a ≠1) (1) 若函数 f ( x ) 的反函数是其自己，求 a 的值；(2) 当 a ＞ 1 时，求函数 y ＝ f ( x ) ＋ f ( － x ) 的最大值．分析： (1) 函数 f ( x ) 的反函数f －1( x ) ＝ log 2(8 － a x ) ．由题意，可得 log a (8 － 2x ) ＝ log 2(8 － a x ) ，∴ a ＝ 2.(2) 由题意，可知 8－ 2x ＞ 0，解得 x ＜3.则 y ＝f ( x ) ＋ f ( － x ) 的定义域为 ( － 3,3) ．f ( x ) ＋f a (8 － 2 x a － x a － 8(2 x ＋ 2 －x)] ．( － x ) ＝log ) ＋ log (8 －2 ) ＝log [65 x－ x时，等号建立．∵2＋ 2 ≥2，当 x ＝ 0∴ 0＜ 65－ 8(2 x ＋ 2－x ) ≤49.当 a ＞1 时，函数 y ＝ f ( x ) ＋ f ( － x ) 在 x ＝ 0 处获得最大值 log a 49.x－ 115．已知 f ( x ) ＝ 2 ，设 f ( x ) 的反函数为 f( x ) ．(1) 若对于 x 的方程 f －1( ax ) · f －1( ax 2) ＝ f －1(16) 的解都在区间 (0,1) 内，务实数 a 的范围；(2) 若函数 f －1a在区间 [2 ，＋∞ ) 上单一递加，求正实数a 的范围．x ＋ －3x分析：∵ f ( x ) ＝2x ，∴ f －1( x ) ＝ log 2x .(1) 原方程化为 log 2 ( ax ) ·log 2( ax 2) ＝ log 216? (log 2a ＋ log 2x ) ·(log 2a ＋ 2log 2x ) ＝4?2log 2＋ 3log 2 log2－4＝ 0.2 x 2＋ log 2aa x令 log 2x ＝ t ＜ 0，22∴方程 2t ＋ (3log 2a ) t ＋ log 2 a －4＝ 0 的根为负数．＝9log22≥0，2a － 8 log 2 a － 43∴t 1＋ t 2＝－ 2log 2a ＜ 0，1 2＞ 0.t 1· t 2＝log 2 a － 42即 log 2a ＞ 2，∴ a ＞4.∴ a 的范围是 (4 ，＋∞ ) ．(2) ∵ f －1 x ＋ a － 3 ＝log2 x ＋ a －3 在 [2 ，＋∞ ) 上单一递加，xxa∴ g ( x ) ＝ x ＋ x －3 在 [2 ，＋∞ ) 上恒为正且单一递加，a∴ g (2) ＝ 2＋ 2－3＞ 0，即 a ＞2，且当 2≤ x 1＜ x 2 时，x 1x 2－ a 恒有 g ( x 2) － g ( x 1) ＝( x 2－ x 1)＞ 0 建立．x 1x 2∵ x 2－ x 1＞0， x 1x 2＞ 4，∴ a ≤4，又∵ a＞2，∴ a 的范围为(2,4]．。

第七节 数学归纳法预习设计 基础备考知识梳理1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出 的推理方法叫归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为 归纳法和 归纳法．2．数学归纳法(1)数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果：①当n 取第1个值0n 时命题成立；②假设当 ,(,+∈=N k k n 且≥k 0n )时，命题成立的前提下成立的前提下，推出当1+=k n 时命题也成立，那么可以断定这个命题对于n 取第1个值后面的所有对正整数成立．(2)数学归纳法证题的步骤；①（归纳奠基）证明当n 取第一个值 时，命题成立． ②（归纳递推）假设 *),(0N k n k ∈≥时命题成立，证明当 对命题也成立． 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立，典题热身1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为)3(21-n n 条时，第一步检验n 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.0答案：C2．已知,121111)(2nn n n n f +⋅⋅⋅⋅+++++=则( ) )(.n f A 中共有n 项，当2=n 时，3121)2(+=f )(.n f B 中共有1+n 项，当2=n 时，413121)2(++=f )(.n f c 中共有n n -2项，当2=n 时，3121)2(+=f )(.n f D 中共有12+-n n 项，当2=n 时，413121)2(++=f 答案：D3．用数学归纳法证明等式⋅⋅=+++12)()2)(1(n n n n n *),)(12(.3N n n ∈-⋅ 从”到“1+k k 左端需增乘的代数式为（ ）12.+k A )12(2.+k B 112.++k k c 132.++k k D 答案：B 4．记凸k 边形的内角和为),(k f 则凸1+k 边形的内角和=+)1(k f +)(k f答案：π5．用数学归纳法证明“n n 53+”能被6整除”的过程中，当=n 1+k 时，对式子)1(5)1(3+++k k应变形为答案：6)1(3)5(3++++k k k k课堂设计 方法备考题型一 用数学归纳法证明等式【例1】（2009．绵阳模拟）设nn f 131211)(++++= ).(⋅∈N n 求证：,2](1)([)1(...)2()1(≥-⋅=-+++n n f n n f f f *).N n ∈题型二 用数学归纳法证明不等式【例2】求证：当*)(1N n n ∈≥时，+++++211)(21(n .1...312n n>≥++ 题型三 用数学归纳法证明整除问题【例3】用数学归纳法证明121)1(-+++n n a a 能被1.2++a a 整除*).(N n ∈ 题型四 归纳、猜想、证明【例4】 已知数列}{n a 中，22+=a a （a 为常数），n s 是}{n a 前n 项和，且n s 是n na 与na 的等差中项．(1)求⋅31,a a(2)猜想n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明．技法巧点(1)利用数学归纳法可以对不完全归纳的问题进行严格的证明．(2)利用数学归纳法可以证明与正整数有关的等式问题．(3)利用数学归纳法可以证明与正整数有关的不等式问题．(4)利用数学归纳法可以证明整除问题，在证明时常常利用凑数、凑多项式等恒等变形．失误防范1．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个（或两个以上）初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础．2．注意1+=k n 时命题的正确性．3．在进行1+=k n 命题证明时，一定要用*)(N k k n ∈=时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．随堂反馈1．用数学归纳法证明下列等式⋅+=+++⨯+⨯+⨯)1(4)22(2186641421n n n n I 2．若不等式24131...312111a n n n n >++++++++对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论． 3．求证：*)(17)13(N n n n ∈-⨯+能被9整除．4．设数列}{n a 满足 ,3,2,1,112=+-=+n na a a n n n(1)当21=a 时，求,,,432a a a 并由此猜想出n a 的一个通项公式；(2)当31≥a 时，证明对所有的,1≥n 有.2+≥n a l高效作业 技能备考一、选择题1．对于不等式*),(12N n n n n ∈+<+某学生采用数学归纳法证明过程如下：(1)当1=n 时，,1111+<+不等式成立．(2)假设)(⋅∈=N k k n 时，不等式成立，即,1+<+k k k 则1+=k n 时，23)1()1(22++=+++k k k k)2()23(2++++<k k k.1)1()2(2++=+=k k∴ 当1+=k n 时，不等式成立，上述证法 ( )A ．过程全部正确B ．n=l 验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+l 的推理不正确 答案：D2．用数学归纳法证明等式2)1()12(531+=+++++n n *)(N n ∈的过程中，第二步假设k n =时等式成立，则当=n 1+k 时应得到( )2)12(531.k k A =+++++2)2()32(531.+=+++++k k B2)2()12(531.+=+++++k k C2)3()32(531.+=+++++k k D答案：B3．某个命题与自然数n 有关，若*)(N k k n ∈=时命题成立，那么可推得当1+=k n 时该命题也成立．现已知当5=n 时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当6=n 时，该命题不成立B ．当6=n 时，该命题成立C ．当4=n 时，该命题不成立D ．当4=n 时，该命题成立答案：C4．已知-=⨯++⨯+⨯+⨯+-na n n n (333433321132 *)N n c b ∈+对一切都成立，则a 、b 、c 的值为 （ ） 41,21.===c b a A 41.===c b a B 41,0.===c b a C D ．不存在这样的a 、b 、c 答案：A 5．在数列}{n a 中，,.311=a 且n n a n n s )12(-=，通过求,,32a a ,4a 猜想n a 的表达式为 )1)(1(1.+-n n A )12(21.+n n B )12)(12(1.+-n n c )22)(12(1.++n n D答案：C6．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2)(k k f ≥成立时，总可推出2)1()1(+≥+k k f 成立”．那么，下列命题总成立的是 ( )A ．若9)3(≥f 成立，则当1≥k 时，均有2)(k k f ≥成立B ．若25)5(≥f 成立，则当5≤k 时，均有2)(k k f ≥成立C ．若49)7(<f 成立，则当8≥k 时，均有2)(k k f <成立D ．若25)4(=f 成立，则当4≥k 时，均有2)(k k f ≥成立答案：D二、填空题7．若,)2(321)(2222n n f ++++= 则)1(+k f 与)(k f 的递推关系是答案：22)22()12()()1(++++=+k k k f k f8．在数列}{n a 中，,11=a 且112,,s s s n n +成等差数列(n s 表示 数列}{n a 的前n 项和），则432,,s s s 分别 为 由此猜想=n s 答案：1212815,47,23--n π 9．下面三个判断中，正确的是),(1)(2⋅∈++++=N n k k k n f n ①当1=n 时，11)(=n f),(121...31211)(⋅∈+++++=N n n n f ② 当1=n 时，;31211)(++=n f ),(1312111)(⋅∈++++++=N n n n n n f ③ 则⋅++++++=+431331231)()1(k k k k f k f 答案：②三、解答题10．（2011．肇庆模拟）已知数列}{n a 中，=+=1,211n a a *),)(2sin(N n a n ∈π求证：.101<<<+n n a a 11.数列}{n a 满足*).(2N n a n s n n ∈-=(1)计算,,,,4321a a a a 并由此猜想通项公式,n a(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．12．已知数列∈=-++=≥+n a a a a a a n n n n n (11,0,0),{2211).⋅N 记,21n n a a a s +++=++++++= )1)(1(111211a a a T n ⋅+++)1()1)(1(121n a a a 求证：当*N n ∈时，;1)1(+<n n a a.2)2(->n s n。

第七节 立体几何中的向量方法预习设计 基础备考知识梳理1．两个重要向量(1)直线的方向向量： 直线的方向向量是指和这条直线平行（或重合）的向量，一条直线的方向向量有 个．(2)平面的法向量：直线⊥l 平面a ，取直线l 的方向向量，则这个向量叫做平面a 的法向量，显然一个平面的法向量有 个，它们是共线向量．2．直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线1l 的方向向量为),,,(1111c b a u =直线2l 的方向向量为).,,(2222c b a u =如果,//21l l 那么⇔=⇔2121//u u u u λ如果,21l l ⊥那么⇔=⋅⇔⊥02121u u u u(2)直线l 的方向向量为),,,(111c b a u =平面a 的法向量为).,,(222c b a n =若,//αl 则⇔=⋅⇔⊥0n u n u若,α⊥l 则⇔=⇔kn u n u //(3)平面n 的法向量为),,,(1111c b a u =平面β的法向量为).,,(2222c b a u =若=⇔=⇔),,(//,//1112121c b a ku u u u βα若,βα⊥则⇔=⇔⊥0.2121u u u u3．利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角：设a 、b 分别是两异面直线21l l 、的方向向量，则(2)求直线与平面所成的角：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ.则=><=|,cos |sin n a θ(3)求二面角的大小：(I)若AB 、CD 分别是二面角βα--l 的两个半平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量、的夹角（如图①所示）．(Ⅱ)设21n n 、分别是二面角βα--l 的两个半平面α、β的法向量，则向量21n n 与的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小（如图②③）．典题热身1.已知两平面的法向量分别为),1,1,0(),0,1,0(==n m 则两平面所成的二面角为 ( )45.A 135.B 13545.或C 90.D答案：C2．已知正四棱锥S-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成的角的余弦值为 ( )31.A 32.B 33.c 32.D 答案：C3．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为a ，M ，N 分别为B A 1和AC 上的点，,321a AN M A == 则MN 与平面C C BB 11的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案：B4．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，O 是1111D C B A 的中心，则0到平面11D ABC 的距离是( )21.A 42.B 22.C 23.D答案：B5．已知,//αl 且l 的方向向量为(2，m ，1)，平面a 的法向量为),2,21,1(则=m 答案：-8课堂设计 方法备考题型一 利用空间向量证明平行与垂直【例1】如图，已知直三棱柱-ABC 111C B A 中，△ABC 为等腰直角三角形，,90o BAC =∠且 F E D AA AB 、、,1=分别为BC C C A B 、、11的中点．求证：//)1(DE 平面ABC;⊥F B 1)2(平面AEF ．题型二 利用空间向量求空间线线角与线面角【例2】如图，已知点P 在正方体AB ////D C B A CD -的对角线/BD 上，.60 =∠PDA(1)求DP 与/CC 所成角的大小；(2)求DP 与平面D D AA //所成角的大小．题型三 利用空间向量求空间面面角与点面距离【例3】如图所示，正三棱柱-ABC 111C B A 的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．(1)求证：⊥1AB 平面;1BD A(2)求二面角B D A A --1余弦值的大小；(3)求点C 到平面BD A 1的距离．题型四 利用空间向量研究空间中的探索性问题【例4】如图①所示的正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B （如图②）．在图②中：(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由．(2)求二面角E- DF-C 的余弦值．(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使APIDE?证明你的结论，技法巧点1．法向量的求法设n 是平面M 的一个法向量，AB 、CD 是M 内的两条相交直线，则,0,0=⋅=⋅n n 由此可求出一个法向量H （向量CD AB 及已知）．2．证明空间向量的平行、垂直的方法(1)证线线平行与垂直．若直线21l l 和的方向向量分别为,21νν和则：⋅⇔2121////ννl l ①.0.212121=⇔⊥⇔⊥ννννl l ②(2)证线面平行与垂直．若直线l 的方向向量为v ，平面a 的法向量为n ，则：.n //⊥⇔ναl ① .//n l να⇔⊥②(3)证明面面平行与垂直，若平面α和β的法向量分别为,21n n ⋅则,////21n n ⇒βα①⋅⊥⇒⊥21n n βα②3．利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线1l 和2l 的方向向量分别为1ν和,2ν它们所成的角为θ，则.|,cos |cos 21><=υνθ(2)利用空间向量方法求直线与平面所成的角，可以有两种办法；①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）； ②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．(3)利用空间向量方法求二面角，也可以有两种办法：①分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；②通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为,21n n 和则二面角的大小等于).,(,2121><-><n n n n π或失误防范1．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理，如可证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证直线a ∥b ，只需证明向量)(R b a ∈=λλ即可，若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．2．利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角，随堂反馈1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为万，能使α//l 的是( ))0,0,2(),0,0,1(.-==n a A )1,0,1(),5,3,1(.==n a B)1,0,1(),1,2,0(.--==n a C )1,3,0(),3,1,1(.=-=n a D答案：D2. 设平面α的法向量为（1，2，-2），平面β的法向量为,2(-),,4k -若,//βα则=k ( )2.A 4.-B 4.c 2.-D答案：C3．若直线l 的方向向量),,1,2(m e =平面a 的法向量=n ),2,21,1(且,α⊥l 则=m 答案：44．如图，在棱长为1的正方体AB 1111D C B A CD -中，M 和N 分别是11B A 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为答案：52 高效作业 技能备考一、选择题1．长方体1111D C B A ABCD -中，．E AD AA AB ,1,21===为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为 ( )1010.A 1030.B 10152.c 10103.D 答案：B2．在正方体1111D C B A ABCD -中，若E 为11C A 中点，则直线CE 垂直于（ ）AC A . BD B . D A C 1. A A D 1.答案：B3．在90的二面角的棱上有A 、B 两点，AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB ，已知,3,5==AC AB ==BD CD 则,25（ ）4.A5.B6.c7.D答案：A4．若直线l 的方向向量与平面a 的法向量的夹角等于,120 则直线l 与平面a 所成的角等于 ( )120.A 60.B 30.c D ．以上均错答案：C5．已知长方体1111D C B A ABCD -中，,2,41===CC BC AB 则直线1BC 和平面11D DBB 所成角的正弦值为 ( )23.A 25.B 510.c 1010.D 答案：C6．（2011．德州模拟）二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个平面内，且都垂直于AB ．已知,172,8,6,4====CD BD AC AB 则该二面角的大小为( )150.A 45.B 60.c 120.D答案：C二、填空题7．(2011．上海模拟)设平面α与向量)4,2,1(--=a 垂直，平面β与向量)1,3,2(=b 垂直，则平面α与β 的位置关系是答案：垂直8．（2011．成阳模拟）正四棱锥S-ABCD 中，O 为顶点S 在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO = OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角的大小为答案：309．矩形ABCD 中，BC EF BC AB //,1,3==且G EB AE ,2=为BC 中点，K 为△AFD 的外心，沿EF 将矩形折成 120的二面角A-EF-B ，则此时KG 的长是答案：3三、解答题10.（2011．南昌模拟）如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，=CA .2,2=====AD AB BD CD CB(1)求证：AO ⊥平面BCD;(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．11.（2011．福州质检）如图，在三棱锥P-ABC 中，=∠==ACB BC AC ,2.,,90AC PC AB BP AP ⊥==(1)求证：PC ⊥AB;(2)求二面角B-AP-C 的余弦值．12．(2011．深圳模拟)如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，==BC AC .90,1,31 =∠=ACB AA (1)求异面直线B A 1与1CB 所成角的余弦值．(2)问：在11B A 边上是否存在一点Q ，使得平面QBC 与平面BC A 1所成的角为?30 若存在，请求点Q 的位置，若不存在，请说明理由，。

指数函数教案：突破高考的秘密武器高考是每个学生所面临的最大考试，也是考生人生中一个举足轻重的关口。

指数函数是高中数学中一个非常重要和基础的内容，也是高考数学选择题中一个应该会做的难点。

本文将会探讨如何通过指数函数教案突破高考。

一、知识点梳理1.定义：指数函数是形如 y=a^x 的函数，其中 a>0，且a≠1，x 是实数。

2.特征（1）定义域：(-∞, +∞)（2）值域：(0, +∞)（3）单调性：当 a>1 时，y=a^x 单调递增；当 0<a<1 时，y=a^x 单调递减。

（4）y 轴截距：（0,1），即此函数必过 y 轴 (0,1)。

（5）与 x 轴交点：y=13.常见函数常见的指数函数有：（1）y=2^x（2）y=3^x（3）y=e^x（4）y=10^x4.基本性质（1）同底数幂相乘，底数相同，指数相加。

（2）同底数幂相除，底数相同，指数相减。

（3）不同底数幂无法直接相加或相减，但是可以用对数将不同底数幂转化为同底数的幂进行计算。

二、思维导图为了帮助学生更好地掌握指数函数的知识点，可以通过思维导图的形式进行知识点梳理。

下面是一张简单的思维导图：其中的实心箭头代表指数函数的基本性质，空心箭头代表了指数函数的常见函数。

三、解题方法指数函数是高中数学中一个难点，但是只要正确应用解题方法，就可以轻松解决指数函数题目。

1.求解函数值对于求指数函数的函数值，可以直接带入变量中进行计算。

如：求 y=2^x 在 x=3 时的函数值，直接带入得 y=2^3=8。

2.指数函数的性质当 a>1 时，y=a^x 单调递增；当 0<a<1 时，y=a^x 单调递减。

根据单调性，可以解决一些大小关系问题。

如：y=2^x 和 y=3^x 在 x>0 时，哪个更大？由于 y=2^x 单调递增，y=3^x 单调递增，所以当 x>0 时，y=3^x > y=2^x，即 y=3^x 更大。

第七节 离散型随机变量及其分布列预习设计 基础备考知识梳理1．离散型随机变量的分布列 如果随机试验的结果可以用一个 来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做2．离散型随机变量的分布列及性质(1)-般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为,1x X x x x n i ,,,,,2 取每一个值),,2,1(n i x i =的概率,)(i i p x X p ===则表称为离散型随机变量X 的 ，简称为X 的 ．有时为了表达简单，也用等式 表 示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质;,,2,1,0n i Pi =≥①.11=∑=ni i P ②3．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，即其分布列为其中p= 称为成功概率．(2)超几何分布列：在含有M 件次品数的N 件产品中，任取咒件，其中含有X 件次品数，则事件}{k X =发生的概率为：==)(k X P ),,,2,1,0(m k C C C n Nk n M N k M =--其中=m ，且 ，则称分布列为超几何分布列．典题热身1．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X ，那么4=X 表示的随机试验结果是( )A ．2颗都是4点B ．1颗1点，另1颗3点C ．2颗都是2点D ．1颗是l 点，另l 颗是3点，或者2颗都是2点答案：D2．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五4码，不放回地任意抽取两个球，设两个球号码之和为繁X 的所有可能取值个数为 ( )25.A 10.B 7.c 6.D答案：C3．若随机变量X 的分布列为),3,2,1(2)(===i ai i X p 则==)2(X p （ ） 91.A 61.B 31.c 41.D 答案：C4．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所人中女生人数不超过1人的概率是 答案：54 5．若ξ是离散型随机变量，31)(,31)(21====x p x p r ξξ且,21x x <又已知,92)(,34)(==ξξD E 则21x x +的值为答案：3课堂设计 方法备考题型一 利用离散型随机变量的分布列求解概率分布问题【例1】袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各两个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量X 的分布列；(3)计分介于20分到40分之间的概率．题型二 离散型随机变量分布列的性质及应用【例2】设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X+1的分布列；(2)︱X-1︱的分布列．题型三 超几何分布【例3】某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中的男生人数，求X 的分布列．技法巧点(1)所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数，(x)的自变量是实数x ，而在随机变量的概念中，随机变量X 是试验结果．(2)对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．(3)求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率，失误防范掌握离散型随机变量的分布列，需注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X 所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X 的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的，每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.随堂反馈1．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于( )1.A 221.±B 221.-c 221.+D 答案：C2．(2011．烟台模拟)随机变量X 的概率分布规律为=X p ()1()+=n n a n ),4,3,2,1(=n 其中a 是常数，则 )2521(<<X p 的值为( ) 32.A 43.B 54.c 65.D 答案：D3．（2011．安溪模拟）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P(X)， 则)4(=X p 的值为( )2201.A 5527.B 22027.c 2521.D 答案：C4．（2011．荆门模拟）由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失（以“x 、y”代替），其表如下：则丢失的两个数据依次为答案：2，55．随机变量X 的分布列为若321,,P P P 成等差数列，则公差d 的取值范围是 答案：3131≤≤-d 高效作业 技能备考一、选择题1．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于 ( )1.A 221.±B 221.-C 221.+D 答案：C2．已知随机变量X 的分布列为：..,,2,1,21)(⋅===k k X P k则)42(≤<X p 等于 ( ) 163.A 41.B 161.c 165.D 答案：A3．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则)0( =ξP 的值为 ( )1.A 21.B 31.c 51.D 答案：C4．（2011．广州模拟）在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，而X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于.156817C C C 的是 ( ) )2(.=X p A )2(.≤X p B )4(.=X P C )4(.≤X P D答案：C5．某射手射击所得环数X 的分布列为：则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为 ( )28.0.A 88.0.B 79,0.c 51.0.D答案：C6．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为1的概率 ( )3532.A 3512.B 353.c 352.D 答案：B二、填空题7．从装有3个红球，两个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为：答案：0.10.60.38．抛掷2颗骰予，所得点数之和X 是一个随机变量，则=≤)4(X p答案：619．(2011．济宁实验中学模拟)随机变量ξ的分布列如下；若a 、b 、c 成等差数列，则==)1|(|ξp 答案：32 三、解答题10．（2011．广州模拟）某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示：(1)从这50名教师中随机选出2名，求两人所使用版本相同的概率；(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列，11．(2011．西安五校联考)已知袋子里有红球3个，蓝球两个，黄球1个，其大小和质量都相同，从中任取一球确定颜色后再放回，取到红球后就结束选取，最多可以取三次．(1)求在三次选取中恰有两次取到蓝球的概率；(2)求取球次数的分布列．12．(2010．天津高考)某射手每次射击击中目标的概率是,32且各次射击的结果互不影响． (1)假设这名射手射击五次，求恰有两次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击五次，求有三次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击三次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得O 分．在三次射击中，若有二次连续击中，而另外一次未击中，则额外加1分；若三次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列，。

第七节 正弦定理和余弦定理预习设计 基础备考知识梳理1．正弦定理和余弦定理2．在△ABC 中，已知a ，b 和A 解三角形时，解的情况3．三角形常用的面积公式a a h h a s (21)1(⋅=表示a 边上的高）．⋅====R abcA bcB acC ab s 4sin 21sin 21sin 21)2(r c b a r s )((21)3(++=为内切圆半径）．(4)设),(21c b a P ++=则.))()((c p b p a P P S ---=典题热身1．已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若,2=c ,120,6 ==B b 则a 等于 ( )6.A 2.B 3.c 2.D答案：D2．已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a 、b 、c 成等比数列，且,2a c =则cosB 等于 ( )41.A 43.B 42.c 32.D 答案：B3．在△ABC 中，,24,34,60===b a A 则B 等于 ( )13545.或A 135.B 45.C D ．以上答案都不对答案：C4．(2011．福建高考)若△ABC 的面积为,60,2,3o C BC ==则边AB 的长度等于答案：25．（2010．绍兴一模）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若,1,2,45===∠a b B 则=∠C答案：105 课堂设计 方法备考题型一 应用正、余弦定理解三角形【例1】(2010．浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知⋅-=412cos C (1)求C sin 的值；(2)当C A a sin sin 2,2==时，求b 及c 的长．题型二 应用正、余弦定理判断三角形的形状【例2】（2010．辽宁高考）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且.s i n )2(s i n )2(s i n 2C b c B c b A a +++=(1)求A 的大小；(2)若,1sin sin =+C B 试判断△ABC 的形状，题型三 与三角形面积有关的问题【例3】在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知⋅==3,2πC c(1)若△ABC 的面积等于;,,3b a 求(2)若,2sin 2)sin(sin A A B C =-+求△ABC 的面积． 技法巧点(1)应熟练掌握和运用内角和定理：++=++22,B A c B A π22π=C 中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．(2)正弦、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得,c o s s i n s i n 2s i n s i n s i n 222A C B C B A ⋅⋅-+=可以 进行化简或证明．(3)根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换.，失误防范1．利用正弦定理解三角形应注意的问题在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．2．三角形形状的判断在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形（如因式分解、配方等）求解，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能，随堂反馈1．(2011．重庆高考)若△ABC 的内角A 、B 、C 满足=A sin 6,sin 3sin 4C B =则=B cos ( )415.A 43.B 16153.c 1611.D 答案：D2．（2011．浙江高考）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若,sin cos B b A a =则=+B A A 2cos cos sin ( )21.-A 21.B 1.-c 1.D 答案：D3．(2010．北京高考)某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为a 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 ( )2cos 2sin 2.+-ααA 3cos 3sin .+-ααB 1cos 3sin 3.+-ααC 1cos sin 2.+-ααD答案：A4．（2011．北京高考）在△ABC 中，若==∠=A B b sin ,4,5π,31则=a 答案；3255．(2010．广东高考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若,2,3,1B C A b a =+-≡= 则=C sin答案：1高效作业 技能备考一、选择题1．(2011．四川高考)在△ABC 中，-+≤C B A 222sin sin sin ,sin sin C B 则A 的取值范围是 ( ) )6,0.(πA ),6[ππ⋅B )3,0.(πc ),3.(ππD 答案：C2．已知锐角△ABC 的面积为,3,4,33==CA BC 则角C 的大小为 ( ) 75.A 60.B 45.C 30.D答案：B3．已知△ABC 中，C B A ∠∠∠、、的对边分别为a 、b 、c ．若=a ,26+=c 且,75 =∠A 则b 等于( )2.A 324.+B 324.-C 26.-D答案：A4．(2011．滨州质检)△ABC 中，,30,1,3e B AC AB =∠==则△ABC 的面积等于 ( )23.A 43.B 3223.或c 4323或⋅D 答案：D5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若=B c cos ,cos C b 且,32cos =A 则B sin 等于 ( ) 66.±A 66.B 630.±C 630.D 答案：D6．（2011．福州模拟）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若,s i n 32s i n ,322B C bc b a ==- 则=A ( )o A 30. 60.B 120.C 150.D答案：A二、填空题7．(2011．南京模拟)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若,54cos ,7,5===C b a 则角A 的大小为 答案：4π8．（2011．沈阳模拟）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若,222bc a c b +=+且 ,4=⋅AB AC 则△ABC 的面积等于答案：329．（2011．上海模拟）在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A （-1，O ），C(l ，0)，顶点B 在椭圆13422=+y x 上，则BC A sin sin sin +的值为 答案：2三、解答题10.（2011．湖北高考）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知⋅===41cos ,2,1C b a(1)求△ABC 的周长；(2)求cos(A- C)的值．11. (2011．湖南高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足.cos sin C a A c = (1)求角C 的大小；(2)求)4cos(sin 3π+-B A 的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小，12．（2011．江苏高考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ,b,c ．(1)若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；(2)若,3,31cos c b A ==求C sin 的值，。

开卷速查(七)二次函数与幂函数A级基础巩固练1．函数y＝x－x 13的图像大致为()ABCD解析：函数y＝x－x 13为奇函数．排除C、D；当x＞0时，由x－x 13＞0，即x3＞x可得x2＞1，即x＞1，结合选项，选A.答案：A 2．幂函数y ＝x m 2－4m(m ∈Z )的图像如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵y ＝x m 2－4m(m ∈Z )的图像与坐标轴没有交点， ∴m 2－4m ＜0，即0＜m ＜4.又∵函数的图像关于y 轴对称，且m ∈Z ， ∴m 2－4m 为偶数，因此m ＝2. 答案：C3．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图像可能是( )ABCD解析：∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0.∴图像开口向上与y 轴交于负半轴． 答案：D4．已知f (x )＝x12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b ) 解析：因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a .答案：C5．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( )A ．f (－3)<c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<c <f (－3)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)解析：由已知可得二次函数图像关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (2)＝f (0)＝c .答案：D6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2＋2x，作出f(x)的大致图像如图中实线所示，结合图像可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，即－2＜a＜1.答案：C7．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x m－2为奇函数，则m＝__________.解析：由f(x)＝(m2－5m＋7)x m－2为幂函数得：m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3，又因为该函数为奇函数，所以m＝3.答案：38．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝__________.解析：由f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，可知b≠0，∴f(x)为二次函数，f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.∵f(x)为偶函数，∴其对称轴为x＝0，∴－(2a＋ab)＝0，解得a＝0或b＝－2.若a＝0，则f(x)＝bx2，与值域是(－∞，4]矛盾，∴a≠0，b ＝－2，又f(x)的最大值为4，∴2a2＝4，∴f(x)＝－2x2＋4.答案：－2x 2＋49．二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意x 恒有f (2＋x )＝f (2－x )，若f (1－2x 2)＜f (1＋2x －x 2)，则x 的取值范围是__________．解析：由f (2＋x )＝f (2－x )，知x ＝2为对称轴，由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x 2－2|＜|1＋2x －x 2－2|，即|2x 2＋1|＜|x 2－2x ＋1|，∴2x 2＋1＜x 2－2x ＋1，∴－2＜x ＜0.答案：(－2,0)10．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－3,2)时，f (x )＞0；当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )＜0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立，求c 的取值范围． 解析：由题意，得x ＝－3和x ＝2是函数f (x )的零点，且a ＜0，则⎩⎨⎧0＝a ×(－3)2＋(b －8)×(－3)－a －ab ，0＝a ×22＋(b －8)×2－a －ab .解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝5.∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(1)由图像知，函数在[0,1]内单调递减， ∴当x ＝0时，y ＝18； 当x ＝1时，y ＝12.∴f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]． (2)令g (x )＝－3x 2＋5x ＋c .∵g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞上单调递减，要使g (x )≤0在[1,4]上恒成立，则需要g (1)≤0.即－3＋5＋c ≤0，解得c ≤－2.∴当c ≤－2时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立．B 级 能力提升练11．已知x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a2＞0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(0,4)解析：二次函数图像开口向上，对称轴为x ＝a2，又x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a2＞0恒成立，即f (x )最小值＞0.①当a 2≤－1，即a ≤－2时，f (－1)＝1＋a ＋a 2＞0，解得a ＞－23，与a ≤－2矛盾；②当a 2≥1，即a ≥2时，f (1)＝1－a ＋a2＞0， 解得a ＜2，与a ≥2矛盾；③当－1＜a 2＜1，即－2＜a ＜2时，Δ＝(－a )2－4·a2＜0，解得0＜a ＜2.综上得实数a 的取值范围是(0,2)． 答案：A12．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．解析：当x 0∈[－1,2]时，由f (x )＝x 2－2x 得f (x 0)∈[－1,3]，又对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，∴当x 1∈[－1,2]时，g (x 1)∈[－1,3]．当a ＞0时，⎩⎨⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 13．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b ＜1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解析：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a ＞0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎨⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎨⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0.当a ＜0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎨⎧f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎨⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b ＜1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4. ∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．14．[2015·“江淮十校”联考]设二次函数f (x )＝x 2－ax ＋b ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，求函数f (x )的解析式；(2)若F (x )＝f (x )＋2－a －a 2且f (1)＝0，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数a 的取值范围．解析：(1)由f (x )＝x ，得x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0.∵A ＝{x |f (x )＝x }＝{1,2}，∴1,2是关于x 的一元二次方程x 2－(a ＋1)x ＋b ＝0的两个实数根．∴⎩⎨⎧a ＋1＝3，b ＝2.⇒⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.∴f (x )＝x 2－2x ＋2.(2)∵f (1)＝0，∴1－a ＋b ＝0，b ＝a －1. ∴F (x )＝f (x )＋2－a －a 2＝x 2－ax ＋(1－a 2)．①当Δ≤0，即(－a )2－4(1－a 2)≤0，－255≤a ≤255时，应满足⎩⎨⎧a2≤0，－255≤a ≤255⇒－255≤a ≤0.②当Δ＞0，即a ＜－255或a ＞255时，设方程F (x )＝0的两个实数根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)．若a2≥1，则x 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥1，F (0)＝1－a 2≤0⇒a ≥2；若a2≤0，则x 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤0，F (0)＝1－a 2≥0.⇒－1≤a ＜－255.综上，实数a的取值范围是－1≤a≤0或a≥2.。

s立体几何■考点调查360。

・第四节直线、平面平行的判定及其性质课前学案基础诊断夯基固本基础自测矚莎梳理1・直线与平面平行(1)判定定理:(2)性质定理:2 •平面与平面平行(1)判定定理:(2)两平面平行的性质定理:答案:U]外[2\l(^a；a(Za；a//1③交线BJa// a；tzU0；aPl0 = b⑤相交[6]a C CI；6C Q!；« A6 = P； a// B;b///3⑦相交⑧交线⑨&〃二a；0Gy二b1个转化——三种平行关系间的转化性质定理i 判定定理判定定理I线线平行「线面平行面面平行I性质定理性质定理I判定定理2个注意点——证明平行问题应注意的两个问题(1)在推证线面平行时，必须满足三个条件：一是直线a在已知平面外；二是直线b在已知平面内；三是两直线平行.(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行.1.下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是（）A.—个平面内的一条直线平行于另一个平面B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：由面面平行的定义可知，-平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故£）正确.答案：D2.已知直线山b,平面％则以下三个命题：①若a〃b, bUa,贝ija〃a ②若a〃b, a/7a,贝!jb〃a ③若a//a, b〃a,贝lja//b.其中真命题的个数是（）A・0个B・1个C・2个D・3个解析：对于命题①，若a〃b, bUa,则应有a//a或aUa,所以①不正确；对于命题②，若a〃b, a〃a,则应有b//a或bUot,因此②也不正确；对于命题③，若a〃a, b//a,则应有a〃b或a与b相交或a与b 异面，因此③也不正确.答案：力3.若一直线上有相异三个点A, B, C到平面a的距离相等, 那么直线1与平面（X的位置关系是（）A・l〃a B・1丄aC. 1与a相交且不垂直D・l〃a或lUa解析：由于1上有三个相异点到平面a的距离相等，则1与a 可以平行，lUa时也成立.答案：D4.平面a〃平面卩，aCa, bcp,则直线a, b的位置关系是解析：由a〃卩可知，a, b的位置关系是平行或异面. 答案：平行或异面5・在正方体ABCD-AiBiCQi中,E是DD】的中点，则BD］与平面ACE的位置关系为_________解析：如图.连接AC, BD交于O点，连接OE,因为OE〃BDi，而OEU平面ACE, BD&平面ACE,所以BD】〃平面ACE.答案：平行L ___ _【例1］如图，直三棱柱ABC —AiBiCi中，D, E分别是AB,BBi的中点.(1)证明：BCi〃平面AiCD；(2)设AAi = AC=CB = 2, AB = 2^2,求三棱锥C—AQE 的体积.B解析：（1）证明：连接AC】交AiC于点F,则F为AC】中点. 又D是AB的中点，连接DF,则BG〃DF.因为DFU平面AiCD, BC&平面A]CD,所以BCi 〃平面AiCD.B(2)因为ABC—AibCi是直三棱柱，所以AAi丄CD.由已知AC=CB, D为AB的中点，所以CD丄AB•又AAi AAB = A,于是CD 丄平面ABBiAi・由AAi = AC=CB = 2, AB = 2辺得ZACB=90°, CD = \[i,= DE=^/3, AiE = 3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE丄A1D・所以Vc_A[ DE = ? X ㊁ X & X 书 X 迈=1 •»名师点拨判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；⑵利用线面平行的判定定理(Ma, bUa, a〃b=>a〃a)；⑶利用面面平行的性质(a//p, aCa=>a/7p)；(4)利用面面平行的性质(a〃卩,a<ia, a<ip, a〃a=>a〃卩).通关特训1如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB〃CD, ZDAB = 90°, PA丄底面ABCD,且PA = AD=DC= | AB=1, M 是PB的中点.(1)求证：AM = CM；(2)若N是PC的中点，求证：DN〃平面AMC・证明：（1）T在直角梯形ABCD中，AD=DC = |AB=1, •••AC = Q BC=dABC 丄AC,又PA丄平面ABCD, BCU平面ABCD,ABC丄PA,又PAAAC = A, ABC丄平面PAC,ABC 丄PC.在7?rAPAB中，M为PB的中点，则AM = |PB,在7?rAPBC中，M为PB的中点，则CM=|P B,.•- AM = CM ・(2)如图，连接DB交AC于点F,VDC^|AB, ADF=|FB・取PM的中点G,连接DG, FM,则DG〃FM, 又DGQ平面AMC, FMU平面AMC, ADG 〃平面AMC.连接GN,则GN//MC, GNG平面AMC, MCU 平面AMC.「•GN〃平面AMC,又GNQDG = G, •••平面DNG〃平面AMC,又DNU平面DNG, •••DN〃平面AMC.【例2】如图，在三棱柱ABGAiDCi中，E, F, G, H分别是AB, AC, Alb，A1C1的中点，求证：(1)B, C, H, G四点共面；(2)平面EFA［〃平面BCHG.BB证明：(1)VG日是厶ABC］的中位线, 又AGH^BC, AB, C, H, G四点共面.(2)TE、F分别为AB、AC的中点,•••EF〃BC,•••EFQ平面BCHG, BCU平面BCHG,AEF〃平面BCHG.TAiG 緬EB,•••四边形A|EBG是平行四边形，•••A]E〃GB ・••• AiEG平面BCHG, GB U平面BCHG. •••AiE 〃平面BCHG.VAiEnEF=E, •••平面EFAi 〃平面BCHG.A名师点拨判定面面平行的四种方法(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用).(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用).(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用).通关特训2如图，四棱柱ABCD —A1B1CQ ］的底面ABCD 是 正方形，O 是底面中心，AQ 丄底面ABCD, AB=AA!= A /2・ (1) 证明：平面AjBD 〃平面CDiBi ；(2) 求三棱柱ABD —AiBQi 的体积.AB解析：(l)iiE明：由题设知，BB]統DDi，•••四边形BB]D]D是平行四边形，又BDQ平面CDiBi，EQiU平面CDiBp •••BD〃平面CDiBi・TAiDi 統Bi© 統BC,•••四边形AiBCDi是平行四边形，•••AiB〃DiC ・又AiB评面CDiB], DiCU平面CDiB], 平面CDiBi・XVBDnA1B = B,•••平面AiBD〃平面CD J B J.(2) V AiO丄平面ABCD,・•・A|O是三棱柱ABD —AiBQ]的高. XVAO = ^AC=1, AA I=3，.•・AiO=#AAf—OA2=1.又s△曲述,=1 ‘•：V ABD-A I B]D]=S^ABD X A]O= 1.E【例3】如图所示，四边形ABCD为矩形，DA丄平面ABE, AE = EB = BC = 2, BF丄平面ACE于点F,且点F在线段CE上.(1)求证：AE丄BE；(2)设点M在线段AB上，且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN〃平面ADE.E解析：（1）证明：由DA 丄平面ABE 及AD/7BC,得BC 丄平面 ABE,又AEU 平面ABE,所以AE 丄BC,因为BF 丄平面ACE, AEU 平面ACE, 所以BF 丄AE,XBCnBF=B, BC, BFU 平面 BCE,所以AE 丄平面BCE.因为BEU 平面BCE,故AE 丄BE.CBA(2)在ZkABE 中，过点M 作MG 〃AE 交BE 于点G,在厶BEC 中,过点G 作GN 〃BC 交CE 于点N,连接MN,则由爭=BE =W =3, 得 CN=|cE.因为MG 〃AE, AEU 平面ADE, MGQ 平面ADE,所以MG 〃平面ADE,CB又GN〃BC, BC//AD, ADU平面ADE, GNG平面ADE,所以GN〃平面ADE,又MGAGN=G,所以平面MGN〃平面ADE,因为MNC平面MGN,所以MN〃平面ADE.故当点N为线段CE上靠近C的一个三等分点时，MN〃平面ADE.•名师点拨空间平行的探索性问题求解方法(1)对命题条件的探索常釆用以下三种方法：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件.(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.通关特训3如图所示，在正方体ABCD —AiB]C]Di中，0为底面ABCD的中心，P是DDi的中点，设Q是CCi上的点，则当点Q 在什么位置时，平面DiBQ〃平面PAO?A B解析：当Q为CCi的中点时，平面DiBQ〃平面PAO.证明如下：TQ为CC|的中点，P为DDi的中点，QB // PA ・VP, O分别为DD1，DB的中点，•••DiB〃P O.又VDiBC平面PAO, POU平面PAO, QBG平面PAO, PAU平面PAO,平面PAO, QB〃平面PAO,XD1BnQB=B, DjB, QBC平面DiBQ, •••平面DiBQ〃平面PAO.word部分:请做：旬主园地备考泰餐word部分:请做：开卷速查（8十三）点此进入该wo rd板块。