优质课一等奖因式分解提公因式法共31页文档

注意：公因式可以是数字，字母，也 可以是单项式，还可以是多项式。
先分解因式，再求值。
4a2（x+7）-3（X+7），其中a=-5， x=3
解： 4a2（x+7）－3（x+7） = （x+7）（ 4a2 －3）
当a=－5，x=3时， 原式=（3+7）〔4×（－5）2－3〕
=10×(100 －3) =970
3
系数：各项系数的
x
1 指数：相同字母
的最低次幂
最大公约数。 字母：各
项的相同
字母
所以，公因式是3x 。
指出下列各多项式中各项的公因式：
因式 找公因式的方法：
②3mx-6nx2 ③4a2b+10ab2 ④x4y3+x3y3
3x
2ab x3y3
①系数取各系数 的最大公约数； ②字母取各项的 相同字母，而且 各字母的指数取
⑴ x2+x= x(x+1) ;
⑵ x2-1= (x+1)(x-1); ⑶ a2+2ab+b2= (a+b)2 .
观察“回忆”与“探究”，你能发现它们之 间
的联系与区别吗？回忆 ⑴ x(x+1)= x2+x ; ⑵ (x+1)(x-1)= x2-1 ; ⑶ (a+b)2= a2+2ab+b2 .
注意：
公因式是多项式中各项都含有的公共的因 式。
m(a+b+c)＝ma+mb+mc (乘法的分配律 ) ma+mb+mc＝m(a+b+c) ( 因式分解 )
像这样,将多项式 ma+mb+mc写成 m(a+b+c)的 形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

三、自学指导
1、自学课本mb；24－8；35 20 ；4 b－2a ab
找公因式的方法：
1公因式的系数应取各项系数的绝对值的最大公因数
2字母取各项的相同字母的最低次幂
新晃第二中学备课纸
教学过程与设计
自我创新
自学反馈二
1、什么叫提取公因式法
2、确定下列多项式的公因式，并解因式
=4a ．2 4a ．3bc
= 4a 2 3bc
教学
反
思
解: 8 12a c公因式：4a
=4a ．2 4a ．3bc
= 4a 2 3bc
六、巩固练习
1、下面的分解因式对吗如果不对，应怎样改正
2、选择（见幻灯片）
七、知识拓展
1、把多项式分解因式
2、学科王28页16题、17题
八、谈谈本节课的体会
板
书
设
计
例2：把8 12a c分解因式
解: 8 12a c公因式：4a
新晃第二中学备课纸
授课时间：最新年__2月____日（第___周第课时）总第课时
课题
提公因式法
课时安排
1
课型
新授
教学
目
标
知识
会初步用提公因式法进行因式分解
能力
树立学生全面认识问题、分析问题的思想，提高学生的观察能力、逆向思维能力
情感
在学习中体会乐趣,培养学生对生活的美好感情
教学重点
会初步用提公因式法进行因式分解
教学难点
找公因式,提公因式
教学方法
先学后教，当堂训练
教具
幻灯片
教学过程与设计
自我创新
一、复习引入
1、下列从左到右的变形是分解因式的有

《提公因式法》教学目标：1、了解因式分解的意义，了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形.2、会确定多项式中各项的公因式，会用提取公因式法分解多项式的因式.教学重难点教学重点：因式分解的概念及提取公因式法.教学难点：多项式中公因式确实定和当公因式是多项式时的因式分解.教学设计：〔一〕新课引入：回忆：运用所学知识填空〔1〕x 〔x +1〕= 〔2〕〔x +1〕〔x -1〕=〔3〕2ab 〔a 2+b +1〕=反之：〔1〕x 2+x = 〔2〕x 2-1=〔3〕2a ³b +2ab ²+2ab =观察以下式子的特点：〔1〕15=3×5〔2〕18=2×32 〔3〕x 2+x=x 〔x+1〕〔4〕x ²-1=〔x+1〕〔x-1〕〔5〕2a ³b +2ab ²+2ab =2ab 〔a ²+b +1〕由分解质因数类比到分解因式.〔二〕新知学习：1、分解因式的概念，与整式乘法的关系.稳固概念：判断以下各式从左到右哪些是因式分解？〔1〕m 〔a +b 〕=ma +mb〔2〕2a +4=2〔a +2〕〔3〕4a ²-6ab ²+2a =2a 〔2a -3b ²+1〕〔4〕a ²-2a +1=a 〔a -2〕+1〔5〕)10)(10(100)(2-+=-xy x y x y 2、确定公因式.问题：ma +mb +mc 这个多项式有什么特征？ 引入公因式概念.例1：找出6x ³y 5-3x ²y 4的公因式,归纳找公因式的方法.课堂练习一：找出以下各多项式中的公因式填在后面括号内.〔1〕3mx-6nx2〔〕〔2〕x4y3+x3y4 〔〕〔3〕12x2yz-9x2y2 〔〕〔4〕5a2-15a3+25a〔〕3、用提公因式法分解因式.m〔a+b+c〕＝ma+mb+mc可得ma+mb+mc＝m〔a+b+c〕，观察构成乘积的两个因式分别是怎样形成的？m是这个多项式的公因式，而另一个因式是原多项式除以公因式所得的商式.像这种分解因式的方法叫做提公因式法.想一想：提公因式法的理论依据是什么?4、知识运用：例2：把8a²b²+12ab²c分解因式例3：把－24x³－12x²＋28x分解因式.判断以下各式分解因式是否正确？如果不对，请加以改正.〔1〕2a2+4a+2=2〔a2+2a〕〔2〕3x2y3－6xy2z=3xy〔xy2－2yz〕把以下各式分解因式.〔1〕x2+x6〔2〕12xyz-9x2y2〔3〕-6x2-18xy+3x〔4〕2a n+2-4a n+1-6a n-1例4：把3a〔b+c〕-3〔b+c〕分解因式将以下各式分解因式.〔1〕p〔a2+b2〕-q〔a2+b2〕〔2〕 2a² 〔y-z〕2-4a〔z-y〕2例5：先分解因式，再求值.4a2〔x+7〕-3〔x+7〕，其中a=-5，x=3.5、拓展与提高：〔1〕20212+2021能被2021整除吗？〔2〕利用因式分解进行计算：23.1×24-46.2×7〔3〕将2a〔a+b-c〕-3b〔a+b-c〕+5c〔c-a-b〕分解因式.〔三〕课堂小结：〔1〕什么叫因式分解？〔2〕确定公因式的方法.〔3〕提公因式法分解因式的步骤.〔4〕提公因式法分解因式的步骤.有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法那么，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。

拓展训练
人教版数学八年级上册
3.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请 判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并 说明理由． 解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab-c-2bc＝0，
(a-c)＋2b(a-c)＝0，(a-c)(1＋2b)＝0，
∴a-c＝0或1＋2b＝0，
解：原式=-（a2-ab+ac）=-2a（a-2b+3c） （6）-2x3+4x2-2x
解：原式=-（2x3-4x2+2x）=-2x（x2-2x+1）
人教版数学八年级上册
拓展训练
人教版数学八年级上册
1.已知m-4n=-2，mn=5，求-m3n+8m2n2-16mn3的值. 解：-m3n+8m2n2-16mn3=-mn(m2-8mn+16n2)=-mn(m-4n)2 .
典例精析
例1 把8a3b2+12ab3c分解因式.
分析：找公因式
1.系数的最大公约数 4
2.找相同字母
ab
3.相同字母的最低指数 a1b2
公因式为：4ab2
解：8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc)
人教版数学八年级上册
典例精析
人教版数学八年级上册
复习引入
人教版数学八年级上册
单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
p(a+b+c)=pa+pb+pc
多项式与多项式相乘的法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个 多项式的每一项,再把所得的积相加.

知1－练
例 1 下列变形中从左到右属于因式分解的有(
①
8xy3＝2xy·4y2；
②
x2＋1＝x

＋

)
；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
感悟新知
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
＝－5a(3＋2b－bc)；
感悟新知
知3－练
(3)x(x－y)－y(y－x)；
解：原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；
(4)a2(a＋2b)－ab(－4b－2a).
原式＝a2(a＋2b)＋2ab(a＋2b)＝a(a＋2b)(a＋2b)＝a(a＋
2b)2.
课堂小结
提公因式法
概念
感悟新知
知3－练
解法提醒：当各项含有相同(或互为相反数)的因式时，
应把它作为一个整体看成公因式中的因式，相同的直接提，
互为相反数的变成相同的再提.
感悟新知
知3－练
5－1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A. x2－y
B. x2－2x
C. x2＋y2
D. x2－xy＋y2
感悟新知
即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，
－＝，
＝，
所以
解得
－＝－，
＝. 展开后对应项的系数相等
故另一个因式为x＋4，k的值为12.
感悟新知
知1－练
3－1. [中考·滨州] 把多项式x2＋ax＋b分解因式， 得(x＋
1)(x－3)，则a，b的值分别是( B )

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语文
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附赠 中高考状元学习方法
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前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他 们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实 际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方 面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校 的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
(2)6x3y2＋12x2y3－6x2y2.
6x2y2(x＋2y－1)
1 10．(7 分)已知 2x－y＝ ，xy＝2，求 2x4y3－x3y4 的值． 3
8 3
11．(7分)小颖的邻居家有两个小孩，不知道他们的年龄，只知 道他们的年龄分别是方程x2＋xy＝99中x，y的值，试求这两个小 孩的年龄． 解：x2＋xy＝x(x＋y)＝99＝9×11，∴x＝9， y＝2，∴这两个小孩的年龄分别为9岁和2岁
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青 春 风 采
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高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分英语141 分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学院 北京市文科状元 阳光女 孩--何旋
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来自北京二中，高考成绩672分，还有20分加分。“何 旋给人最深的印象就是她的笑声，远远的就能听见她的 笑声。”班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。“她是 学校的摄影记者，非常外向，如果加上20分的加分，她 的成绩应该是692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。考试结束后， 她还问我怎么给边远地区的学校捐书”。

(5)2a(y－z)－3b(z－y)
试一试
拓展应用
1、20042+2004能被2005整除吗?
2、先分解因式，再求值 4 a ( x 7 ) 3 ( x 7 ), 其中 a 5 , x 3
2
3、计算5×34＋24×33＋63×32
比一比，看谁算得快
已知：x=5，a－b=3， 求ax2－bx2的值。
整式乘法
互 逆
因分解
探索发现
因式分解：m a m b m c
解: m a m b m c m ( a b c )
提公因式法 公因式 多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式 把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以 分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这种 因式分解的方法，叫做提取公因式法。
合作探究：
已知(a－3)2＋︱b＋2 ︱=0， 分解因式：3x＋y－2ax＋2by
小结
2
2
是
不是
不是 不是 不是 不是 是
2
（4）x 3 x 1 x ( x 3) 1 （5）2x(x-3y)=2x2-6xy （6） 1 8 a b c 3 a b 6 a c
3 2
（7）
x2+4x+4=(x+2)2
做一做
计算下列各式:
(1) 3x(x-1)= _____
根据左面的算式填空:
因式分解—— 提公因式法
桦甸五中 吕艳杰
学习目标
1.明确提公因式法分解因式与单项 式乘多项式的关系。
2.能正确找出多项式的公因式，熟 练用提公因式分解简单的多项式。
请把下列多项式写成整式乘积的形式

用心想一想，马到功成
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB， D、E为垂足且PD=PE，
A
求证：点P在∠AOB的角平分线上． 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， O ∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP=OP，PD=PE ∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
问：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？
如图：两个长和宽分别为a和m，b 和m的长方形，合并成一个较大的 长方形，求这个新长方形的面积？
ma mb m a b
认真观察等式两边各有什么特点？
ma mb m a b
公因式
多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 x +4x呢？ 多项式mb +nb–b呢？
2
3
2
例1
（1）把 3a2-9ab分解因式.
解：原式 =3a•a-3a•3b
=3a(a-3b)
温馨提示
3a 3a a 9ab 3a 3b
2
分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ， (即将多项式化为两个因式的 乘积)
例2 把 9x2– 6xy+3xz 分解因式.
解： 9x2 – 6 x y + z
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145 分英语141分 文综 255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。

例2 把4x2 -6x因式分解.
分析 先确定公因式的系数，再确定字母. 这 两项的系数为4，6，它们的最大公约数是2； 两项的字母部分x2与x都含有字母x，且x的最 低次数是1，因此公因式为2x.
解 4x2 - 6x = 2x(2x-3)
例3 把8x2y4-12xy2z因式分解.
分析 公因式的系数是8 与12的最大公约数 4；公因式含的字母是各项中相同的字母x 和y，它们的指数取各项中次数最低的，因 此公因式为4xy2 .
2am(x+1)，4bm(x+1) 与8cm(x+1)的公因式 是2m(x+1).
b-3a可以看做 -(3a-b)，所以 2x(3a-b)与 y(b-3a)的公因式 是3a-b .
例4 把下列多项式因式分解. (1) x( x -2) – 3(x-2) ； (2)x(x -2)-3( 2-x) ．
解 ( a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2 = (a+c)(a-b)2 -(a-c)(a-b)2 = (a-b)2[(a+c)-(a-c)] = (a-b)2(a+c-a+c) = 2c(a-b)2
例6 把12xy2(x+y)-18x2y(x+y) 因式分解. 解 12xy2(x+y)- 18x2y(x+y) = 6xy(x+y)(2y-3x).
解 8x2y4-12xy2z = (4xy2)·2xy2-(4xy2)·3z = 4xy2(2xy2-3z).
说一说 下列多项式中各项的公因式是什么？
(1)2am(x+1)+4bm(x+1)+8cm(x+1)；
答：公因式是2m(x+1).

发展
提公因式法在数学中不断发展完善，现在已经成为中学数学 中的一个重要内容，也是数学竞赛中的常考点之一
02
提公因式法的原理
提公因式法的数学原理
公式解释
提公因式法是因式分解的一种常用方法，其基本思想是将一个多项式中的公 共因子提取出来，形成新的因子，从而将原多项式分解为多个因式的乘积。
数学原理
通过将多项式中所有项的公因式提取出来，并将其放在一个新的因子中，再 用这个公因式将原多项式进行因式分解。
3
提公因式法可以应用于各种不同的多项式中， 例如：二次三项式、高次多项式、分式等。
提公因式法的反思
01
提公因式法的应用有一定的局限性，因为有时候多项式没有公 因式可以提取。
02
在提公因式的过程中，需要注意不要漏掉任何一个公因式，同
时要避免将不是公因式的项也提取出来。
提取出来的公因式有时候可能并不是最简单的形式，需要进一
在分数的加减法中，提公因式法可以用来简化分数，从而更 容易进行加减运算。
数据的分析
在进行数据的分析时，提公因式法可以用来对数据进行分类 和整理，从而更好地理解数据的分布和特征。
对未来数学学习的建议
深入理解提公因式法的本质
提公因式法是一种重要的数学方法，需要深入理解其本质和原理，以便更好 地掌握和使用。
对余下的多项式继续进行因式分 解
提公因式法步骤的应用示例
例子1
将$2x^3+3x^2y-5x-3y$分解因式
例子2
将$3x^3-6x^2y+4xy^2-2y^3$分解因式
提公因式法步骤的注意事项
注意项中公因式的系数，有时候不是所有项系数的最大公约数 注意各项符号，有时候会出现负号，需要特别注意

《因式分解》优秀教案一等奖1、《因式分解》优秀教案一等奖教学目标：1、掌握用平方差公式分解因式的方法；掌握提公因式法，平方差公式法分解因式综合应用；能利用平方差公式法解决实际问题。

2、经历探究分解因式方法的过程，体会整式乘法与分解因式之间的联系。

3、通过对公式的探究，深刻理解公式的应用，并会熟练应用公式解决问题。

4、通过探究平方差公式特点，学生根据公式自己取值设计问题，并根据公式自己解决问题的过程，让学生获得成功的体验，培养合作交流意识。

教学重点：应用平方差公式分解因式．教学难点：灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．教学过程：一、复习准备导入新课1、什么是因式分解？判断下列变形过程，哪个是因式分解？2、我们已经学过的因式分解的方法有什么？将下列多项式分解因式。

x2+2xa2b-ab3、根据乘法公式进行计算：(1)（x＋3）(x－3)= (2)(2y＋1)(2y－1)= (3)(a＋b)(a－b)=二、合作探究学习新知(一) 猜一猜：你能将下面的多项式分解因式吗？（1）= (2)= (3)=(二)想一想，议一议: 观察下面的公式:＝（a＋b）（a—b）（这个公式左边的多项式有什么特征：_____________________________________公式右边是__________________________________________________________ 这个公式你能用语言来描述吗？_______________________________________(三)练一练：1、下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？① ② ③ ④2、你能把下列的数或式写成幂的形式吗？(1)( ) (2)( ) (3)( ) (4)= ( ) (5) 36a4=( )2 (6) 0.49b2=( )2 (7) 81n6=( )2 (8) 100p4q2=( )2（四）做一做：例3 分解因式：(1) 4x2- 9 (2) (x+p)2- (x+q)2（五）试一试：例4 下面的式子你能用什么方法来分解因式呢？请你试一试。

⑶x2– 4 + 3x=（x+2）（x-2）+ 3x；
⑷x2+ 4 - 4x=（x-2）2
⑸am+bm+cm=m（a+b+c）
新课讲解：
我们来观察分析am+bm+cm=m（a+b+c），这个式子由左边到右边的变形是多项式的因式分解，这里m是多项式am+bm+cm的各项am、bm、cm都含有的因式，称为多项式各项的公因式。
完成“议一议”由学生自己先做(或互相讨论)，然后回答，若有答不全的，教师(或其他学生)补充．
学生回答：
⑵-2m3+8m2-12m
= -（2m·m2-2m·4m+2m·6）
=-2m（m2-4m+6）
完成“想一想”由学生自己先做(或互相讨论)，然后回答，若有答不全的，教师(或其他学生)补充．
让学生自己先做，同桌互相纠错，
例题6：把下列各式分解因式：
⑴- 3x2+ 18x- 27；⑵18a2- 50；
⑶2x2y- 8xy+ 8y。
练习：第91页第1、2、3、4、5题
小结：
提公因式法分解因式的关键是确定公因式，当公因式是隐含的时候，多项式要经过适当的变形；变形的过程要注意符号的相应改变．
我们已经学习了提公因式法和运用公式法，要注意先看能否用提公因式法，分解因式要进行到每个多项式因式都不能再分解为止。
关键是确定多项式各项的公因式,然后,将多项式各项写成公因式与其相应的因式的积,最后再提公因式,把公因式写在括号外面,然后再确定括号里的因式,这个因式(括号里的)的项数与原多项式的项数相同,如果项数不一致就漏项了.
完成“议一议”

《因式分解》教案公开课获奖一、教学内容本节课选自人教版数学七年级下册第3章《整式的乘除》，具体内容为第2节“因式分解”。

详细内容包括因式分解的概念、意义、方法及其应用。

二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握因式分解的定义，理解其意义，并能运用提公因式法、平方差公式等方法进行因式分解。

2. 过程与方法：培养学生运用数学符号进行表达、计算和推理的能力，提高学生解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和探究精神。

三、教学难点与重点重点：因式分解的定义、意义、方法。

难点：如何运用提公因式法、平方差公式进行因式分解。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

学具：练习本、草稿纸、计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入（1）引导学生回顾整式的乘法，提出问题：“整式的乘法是将几个整式相乘，那么整式的除法又是怎样的呢？”（2）通过实例引导学生发现，整式的除法可以转化为整式的乘法，进而引出因式分解的概念。

2. 例题讲解（1）讲解因式分解的定义，举例说明。

（2）讲解提公因式法、平方差公式等因式分解的方法，并通过例题演示。

3. 随堂练习（1）让学生独立完成练习题，巩固因式分解的方法。

（2）针对学生的解答，进行点评和讲解。

4. 小组讨论（1）因式分解在实际问题中的应用。

（2）如何选择合适的因式分解方法。

（2）拓展因式分解的其他方法，如公式法、十字相乘法等。

六、板书设计1. 板书因式分解的定义、意义。

2. 列出提公因式法、平方差公式等因式分解的方法。

3. 示例题目和解题步骤。

七、作业设计1. 作业题目（1）分解因式：x^2 4（2）分解因式：a^2 + 2ab + b^2（3）应用题：已知长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求它的体积。

2. 答案（1）(x + 2)(x 2)（2）(a + b)^2（3）v = abc八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对因式分解的定义、意义、方法掌握程度如何，教学过程中是否存在不足。