1引言1 引言1.1 选题目的与意义混合型方程初边值问题是一个在现实和理论上都有重要意义的问题.方程式与混合型方程的区别是：（1）定义域不同；（2）初边值条件的提法不同（初始条件与边界条件中某一个是未知的）；（3）关于方程式利用的定义、定理、公式等理论在很多情况下不能直接应用于混合型方程问题;（4）实际应用不同.在混合型偏微分方程初边值问题分析性质方面，主要是研究问题解的唯一性和解关于初边值函数与自由项的连续依赖性以及解的存在性.混合型偏微分方程初边值问题是偏微分方程领域中的一个非常重要的分支，同时既是偏微分方程方向中的一个特殊方向之一，也是偏微分方程式的推广.本文改进了一些已有的结果，并进行推广，提出了一些问题和解的存在性，唯一性及连续依赖性.1.2国内外的研究现状对混合型二阶线性抛物-逆抛物型方程混合问题和Cauchy问题,混合型三阶线性双曲-逆双曲型方程混合问题和Cauchy问题,混合型二阶线性双曲-抛物型方程混合问题和Cauchy问题,混合型线性抛物-椭圆型方程混合问题,混合型线性双曲-椭圆型方程混合问题,混合型二阶非线性双曲-抛物型方程混合问题和Cauchy问题,混合型非线性抛物-椭圆型方程混合问题,混合型非线性双曲-椭圆型方程混合问题等等,国内的陈恕行,倪星棠[3][4],刘丹平,王景荣,孙和生[19],闻国椿[6][9][11][12],孙龙祥[17],肖黎明[14],张福元, ,国外的Ж.О.Тахиров, Т.Д.Джураев等都作过广泛深入的研究并取得了不少的成果.近十余年以来,有许多学者在这方面也做了大量细致的工作.并取得了一些重要且完美的结果.在混合型偏微分方程初边值问题分析性质方面,则主要是研究问题解的先验估计式及利用先验估计式研究解的唯一性和解关于初边值函数与自由项的连续依赖性,而利用积分方程组理论研究解的存在性.混合型方程早在20世纪50年代特里谷米研究，在发现它们与空气动力学问题有联系后,对这类方程的研究就更加活跃了.1959年А.В.Бицадзе建立了混合型偏微分方程问题,在此基础上19世纪70年代末В.И.Врагов与Т.Д.Джураев对关于混合型二阶双曲-抛物型方程问题进行了多方面研究,取得合型偏微分方程问题，在此基础上19世纪70年代末В.И.Врагов与Т.Д.Джураев对于混合型二阶双曲—抛物型方程进行了多方面研究，取得了一系列成果.混合1引言型二阶双曲—抛物型方程未知边界问题，М.Мамажанов与Д.Халмуратов关于混合型三维带特征双曲-抛物型方程边值问题方面进行了进一步探讨并取得了很好的结果.20世纪90年代Д.Халмуратов研究了关于一般形式的混合型双曲-抛物型方程的边值条件问题并取得了很好的成果.20世纪90年代末Шавкат.Кадер研究了关于混合型拟线性双曲-抛物型方程边值问题并得到了一系列成果.2003年И.Т.Мамедов提出并研究了关于混合型二阶椭圆-抛物型方程边值问题,在这个问题方面得到了一系列有意义的研究成果.2004年Н.А.Пардаева提出并研究了一般二阶线性抛物型方程的非局部问题,得到了一些完美的结果.在国内陈恕行,倪星棠,王景荣,孙和生,闻国椿,孙龙祥,肖黎明,张福元等将偏微分方程中的研究成果及方法与积分方程理论和泛函分析中的一些重要理论及研究方法有机结合起来,研究了二阶和三阶混合型方程初边值问题解的存在唯一性和连续依赖性,得到了一系列创造性的成果.关于混合型双曲-抛物型方程初边值问题,国内外很多学者已作过许多重要研究,对于1维到n维,线性和非线性，双曲型和抛物型方程的初边值问题方面已经得到了很好的结果,如三阶非线性偏微分方程初边值问题解的存在性[7],一类拟抛物型方程的初边值问题[8]等,对于混合型方程初边值问题方面也有不少需要研究的问题，如一类双曲—抛物型方程的广义解[1]，半线性双曲方程和抛物方程解整体存在和不存在的两个门槛结果[2]等.尤其是高维混合型抛物-双曲型方程的初边值问题,如一类混合型椭圆—双曲型偏微分方程的正对称性证明与推广[5]，混合型抛物—半抛物型方程的未知边界问题在国内外还有待于进一步研究.线性和非线性混合型偏微分方程初边值问题是在偏微分方程式理论中的一个特殊方向之一,也就是说,是偏微分方程式理论的推广.在国内外，很多数学家对混合型方程进行了大量的研究.例如:倪星棠，Трикоми，Геллерстеда，Бицадзе，Франкля等数学家们研究局部和非局部初边值问题,变动边界问题和未知边界问题等等.问题的提出,证明的方法的大部分是现代混合型方程理论,主要是从如下的数学家们的研究中获得的,他们分别是А.В.Бчцадзе, М.С.Салахитдинов, Т.Д.Джураев, М.М.Смирнов, В.Н.Врагов, М.М.Мередов, Т.Ш.Калыменов, Нейсинтанг等.2预备知识2 预备知识2.1 定解问题的适定性定义和一些定理含有未知函数的偏导数的方程叫偏微分方程，常微分方程可以看成是特殊的偏微分方程.方程的个数是1的称为方程式，方程的个数多于1的称为方程组.对方程组而言，一般要求方程的个数与未知数的个数相同.如果方程的个数少于未知函数的个数，称方程组是欠定的.如果方程的个数多于未知函数的个数，称方程组是超定的.方程（组）中出现的未知函数的最高阶偏导数的阶数称为方程（组）的阶数.如果方程（组）中的项关于未知函数及各阶偏导数的整体来讲是线性的，就称方程（组）为线性的，否则就称为非线性的.非线性又分为半线性、拟线性和完全非线性.给定一个常微分方程，有通解和特解的概念.通解只要求满足方程， 定义 1[44] 既有初始条件又有边界条件的定解问题称为混合问题（有时也称初边值问题）.定义 2[44] 如果方程在Ω的某一部分上是某一种类型的（比如双曲型的），而在Ω的其余部分上是另一种类型的（比如椭圆型的），则称它在Ω中是混合型的.定义 3 [50]设X 是一个非空集，X 叫作距离空间，是指在X 上定义一个双变量的实值函数(,)x y ρ，满足下面三个条件：(1) (,)0x y ρ≥,且(,)0x y ρ=当且仅当x y =； (2) (,)(,)x y y x ρρ=;(3) (,)(,)(,)x y x z z y ρρρ≤+,,,x y z X ∀∈;称ρ为X 上的一个距离，以ρ为距离的空间X 记为(,)X ρ.定义 4（自映射）设X 是距离空间，A ：X X →是映射，方程u Au =的解称为算子A 的不动点.若存在01α≤<使得对一切,x y X ∈，均有(,)(,)Ax Ay x y ραρ≤则称A 是X 上的一个压缩映射（自映射）.定理 1 （Gronwall 不等式）若函数()A t 满足()()()A t cA t B t ′≤+ ，0t > ， 其中()B t 是非负的单增函数，0c >是常数，则有2预备知识1()(0)(1)()ct ct A t A e e B t c ′≤+− ，0t ≥ .定理 2 （不动点定理）设X 是一个完备的距离空间，T 是X 上的压缩映射，则T 有唯一的不动点.定理 3 （强极值原理）设函数u 在Ω内调和.如果u 不是正常数，则u 在Ω内既达不到最大值也达不到最小值.定理 4 （弱极值原理）设()T u C Q ∈∩2,1()T C Q 且满足[]0u ϕ≤，则u 的值一定在T Γ上达到，即max max TQu Γ=.2.2 一些重要不等式与恒等式1．Cauchy 不等式对任意,0a b ≥，有2222a b ab ≤+ .2. 带ε的Cauchy 不等式对任意,0a b ≥和0ε>，有2222a b ab εε≤+ .3. Young 不等式对任意,0a b ≥，1p < ，q <∞，111p q +=，有p qa b ab p q ≤+.4. 带ε的Young 不等式对任意,0a b ≥和0ε>,1,p q <<∞,111p q +=有qpqpa b ab p qεε−≤+.5.Green 恒等式2uu udx u dx udS nΩΩ∂Ω∂Δ=−∇+∂∫∫∫. 其中Ω是n R 中的有界区域,∂Ω是Ω的边界，12(,,...,)n x x x x =，22222212...n x x x ∂∂∂Δ=+++∂∂∂,12(,,...)n x x x u gradu u u u ∇==，n 是∂Ω上的单位外法向量.3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题在这一章中，将研究1n +维混合型双曲—抛物方程的Cauchy 问题解的先验模估计，利用先验模估计[41][42][43]证明解的唯一性和连续依赖性.利用积分方程组理论证明解的存在性.3.1 问题的提出设函数(,)(()T u x t Q c ∈∩2,1())T Q c 满足下列方程和初值条件：问题Ⅰ ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,0)(,0)()(,0)(,0)()tt t t t u x t u x t f x t v x t v x t g x t v x u x x v x u x x τγ+−+−−Δ=−Δ===== ,,,, (,)(,)T T n nx t Q x t Q x R x R +−∈∈∈∈ ,,,.(3.1.1)(3.1.2)(3.1.3)(3.1.4)其中121212(,,......)(,)(,,......,),(,)(,,......,),n n n x x x x u x t u x x x t f x t f x x x t ===，2221222212(,)(,,......,),......,{(,):}n t n g x t g x x x t x t x R t x x x ∂∂∂=Δ=+++Ω=≤−∂∂∂12((,,......),1,2,......),,(0,],n n n i T T T T R x x x x x R i n Q Q Q Q R T +−+==∈==∪=×[,0),[0,],[,0]n n n T T T Q R T Q R T Q R T −+−=×−=×=×−,(,),(,)f x t g x t 是已知连续可微函数 ，(),()x x τγ是未知连续可微函数 .3.2 问题解的先验模估计以及解的唯一性和连续依赖性本节主要研究问题解的先验模估计以及解的唯一性和连续依赖性，即把问题Ⅰ分成如下两个定解问题进行研究：问题Ⅱ (,)(,)(,)(,0)()(,0)()tt t u x t u x t f x t u x x u x x τγ−−−Δ=⎧⎪=⎨⎪=⎩,,, (,)T n n x t Q x R x R +∈∈∈,,. (3.2.1)(3.2.3)(3.2.4) 问题Ⅲ (,)(,)(,)(,0)()t v x t v x t g x t v x x τ+−Δ=⎧⎨=⎩，， (,)T nx t Q x R −∈∈ .， (3.2.2)(3.2.4) 定理3.2.1 设(,)()T u x t c Q +∈∩2,1()T c Q +是初值问题Ⅱ的解，则对于依赖于T3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题的常数11()c c T =，u 满足先验模估计：2222210()[()]tttt u u dx c dx f dxdt γτΩΩΩ+Δ≤+Δ+∫∫∫∫，（3.2.5） 其中 12122222222212......,......,.....n n x x x x x x n u u u u dx dx dx dx ττττΔ=+++Δ=+++=⋅⋅.定理3.2.2 设2,1(,)()()T T v x t c Q c Q −−∈∩是初值问题Ⅲ的解，则对于依赖于T 的常数22()c c T =，v 满足先验模估计：222200()ttttttv dx v dxdt c dx g dxdt τΩΩΩΩ+Δ≤+∫∫∫∫∫∫， （3.2.6）证明：对问题Ⅲ中的方程两边乘以(,)u x t 并在T Q −上积分，得ttttt t t v vdx v vdxdt gvdxdt ΩΩΩ−Δ⋅=∫∫∫∫∫∫， （3.2.7）对(3.2.7)式进行变换，并对其左端第一项中关于t 积分，利用部分积分以及初值条件，得22200111()222ttt t vv dt v dt v τ==−∫∫， (3.2.8)对(3.2.7)式左端第二项和右端利用不等式，222ab a b ≤+可知，220001122t t ttttv vdxdt v dxdt v dxdt ΩΩΩΔ⋅≤Δ+∫∫∫∫∫∫， (3.2.9)220001122tt ttttgvdxdt g dxdt v dxdt ΩΩΩ≤+∫∫∫∫∫∫，(3.2.10) 把(3.2.8)、(3.2.9)和(3.2.10)代入(3.2.7)式，得22222002tttt tttt v dx v dxdt dx v dxdt g dxdt τΩΩΩΩΩ+Δ≤++∫∫∫∫∫∫∫∫. (3.2.11)记 22200(),().tttttY t v dxdt F t dx g dxdt τΩΩΩ==+∫∫∫∫∫利用Gronwall 不等式,得3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题20()(0)(1)()tttt v dxdt Y t Y ee F t Ω=≤+−∫∫220()()ttttte F t e g dxdt dx τΩΩ≤=+∫∫∫.把上式代入(3.2.11)式得(3.2.6)式成立. 其中22()21t c c T e ==+.定理3.2.3 设2,1(,)(()())T T u x t c Q c Q ∈∩是初值问题Ⅰ的解，则对于依赖于T 的常数()c c T =，u 满足先验模估计：222222222300()[()]ttttt tt t uu u dx u dxdt c dx f dxdt g dxdt γττΩΩΩΩΩ++Δ+Δ≤++Δ++∫∫∫∫∫∫∫∫（3.1.12）定理3.2.4 双曲—抛物型方程cauchy 问题Ⅰ至多有一个古典解.证明：设问题Ⅰ有两个古典解，12(,)(,)u x t u x t 和，令12(,)(,)(,)u x t u x t u x t =−， 则(,)u x t 满足对应于0f g τγ====的问题Ⅰ， 利用先验模估计式(3.2.12)，得2222()0ttt t u u u dx u dxdt ΩΩ++Δ+Δ=∫∫∫故12......0n t x x x u u u u ====即,u x t 与无关， 所以 (,)u x t c =， 由 (,0)0,u x = 得 (,0)0u x c ==， 则 12(,)0(,)(,)u x t c u x t u x t ===−， 即 12(,)(,)u x t u x t ≡， 所以问题Ⅰ有唯一解.定理3.2.5 设2,1(,)(()())T T u x t c Q c Q ∈∩是初值问题Ⅰ的解，33()0c c T =>，3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题使得222222222300()[()]ttttttt t u u u dx u dxdt c dx f dxdt g dxdt γττΩΩΩΩΩ++Δ+Δ≤++Δ++∫∫∫∫∫∫∫∫（3.1.13） 证明：由文献[44]我们知道，对于问题Ⅱ可以推得，222220[()]tttttu dx dx t dx e tef dxdt τγτΩΩΩΩ≤++Δ+∫∫∫∫∫(3.2.14)由(3.2.12)式加(3.2.14)式得证(3.2.13)成立. 其中 33()max{1}t c c T e c c t ==++，.定理3.2.6 任取00,[,]n x R t T T ∈∈−，则对于任意的0ε>，均存在0δ>，只要 22220012121212()()()((,))max{,(),,,t t t L L L L K x t f f ττττγγΩΩΩ−Δ−−−20012((,))}L K x t g g −,δ<对应于111(,,)f τγ和222(,,)f τγ，11(,)g τ和22(,)g τ的解1u 和2u 就满足2220000121212()((,))((,))max{,(),()}t tL L K x t L K x t u u u u u u εΩ−−Δ−<. (3.2.15)证明：记 1212121212,,,,f f f u u u g g g τττγγγ=−=−=−=−=−，则u 满足问题Ⅰ，于是(3.2.13)式成立.2222200001212121212()()()((,))((,))max{,(),,,}t t t L L L L K x t L K x t f f g g ττττγγΩΩΩ−Δ−−−−≤22200003121212()((,))((,))max{,(),()}t t L L K x t L K x t c u u u u u u Ω−−Δ−3c δ≤取 3c δε=，得(3.2.14)式成立.所以问题Ⅰ的解连续地依赖于,,f g τγ和.3.3 解的存在性本文主要利用级数的收敛性定理证明解的存在性，首先给出一个引理.引理：设0lim (,)0tt t u x t →=及1(,)f x t −Δ存在，(,),(,)f x t g x t 是已知的连续可微函数，则20()(),x c τ∈Ω0()()x c γ∈Ω存在.3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题证明：因为(,)u u f x t tt−Δ=，当0t −→时， ()(,0)x f x τ−−Δ= . （3.3.1） (,)v v g x t t −Δ=， 当0t +→时，()()(,0)x x g x γτ+−Δ=. （3.3.2）由（3.3.1）式得1()(,0)x f x τ−−=Δ， 将（3.3.1）-（3.3.2）式整理,得()(,0)(,0)()x g x f x F x γ+−=−=，因为(,)(,)f x t x t 和g 是已知连续可微函数，所以()()x x τγ和存在唯一.定理 3.3.1设在n R 上(),()x x c τγ∞∈，在t Q +上(,)f x t c ∞∈，及满足12max (),max (),n ni i x Rx RM x M x τγ∈∈=Δ=Δ12322()M M TM T M =++，则问题Ⅱ的解存在.证明： 因为2212100001(,)()()()(,)(2)!(21)!(21)!i i t i i i i x i i i t t u x t x x t f x t d i i i τγττ+∞∞∞+====Δ+Δ+−Δ++∑∑∑∫ 所以2212100001(,)()()()(,)(2)!(21)!(21)!i i t iii ix i i i t t u x t x x t f x t d i i i τγττ+∞∞∞+===≤Δ+Δ+−Δ++∑∑∑∫ 2212100001()()()(,)(2)!(21)!(21)!i i t i ii i x i i i t t x x t f x t d i i i τγττ+∞∞∞+===≤Δ+Δ+−Δ++∑∑∑∫ 22122123000(2)!(21)!(21)!(22)i i i i i i T T T M M M i i i i ++∞∞∞===≤+++++∑∑∑22122123000(2)!(2)!(2)!i i i i i i T T T M M M i i i ++∞∞∞===≤++∑∑∑221230()(2)!ii T M M T M T i ∞=≤++∑221232102()2ii i T M M T M T ∞−=≤++∑3 1n +维混合型双曲—抛物型偏微分方程的Cauchy 问题20(2)!i i T M i ∞=≤∑202ii T M ∞=⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠∑.由Fourier 级数收敛定理[43]，因为202ii T M ∞=⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑收敛，所以原级数(,)u x t 绝对收敛.故问题Ⅱ的古典解存在.定理 3.3.2设在n R 上()x c τ∞∈，在t Q −上(,)g x t c ∞∈，及满足1max (),njx RN x τ∈=Δ2(,)[,0)max (,)}nj x x t R t N g x t ∈×−=Δ，12N N TN =+，则问题Ⅲ的解存在.证明：因为001(,)()()(,)!!j j j j x tj j t v x t x t g x t d j j τττ∞∞===Δ+−Δ∑∑∫所以0001(,)()()(,)!!j jj jx t j j t v x t x t g x t d j j τττ∞∞===Δ+−Δ∑∑∫12001()!!j jt j j T N N t d j j ττ∞∞==≤+−∑∑∫11200!(1)!j j j j T T N N j j +∞∞==≤++∑∑1200!!j jj j T T N N T j j ∞∞==≤+∑∑!jj T N j ∞=≤∑.由Fourier 级数收敛定理[43],因为级数0!jj T N j ∞=∑收敛，所以(,)v x t 绝对收敛.4 关于一类混合型偏微分方程的未知边界问题4 关于一类混合型偏微分方程的未知边界问题混合型方程的未知边界问题是在偏微分方程中比较特殊的一种问题，在这一章中，是在未知的边界区域上讨论一类混合型抛物—半抛物型方程的初边值问题，并研究这个问题解的唯一性.4.1 问题的提出在本节中先提出问题，为了讨论方便，把问题在化成两个定解问题进行讨论.设D t x u ∈),(满足如方程：0)),((sgn ),(=−t x u t t x u t xx ， D t x ∈),( ， （4.1.1） 及在1Γ、2Γ、3Γ、4Γ、5Γ上满足如下初边值条件，,)),(()(,)),(()(,0)),((,0)),((,),(),0(,)()0,()0,(0t t h u t h t t s u t s t t h u t t s u t x u t u x x u x u x x βατ−=======••−+,),(,),(,),(,),(,],[,0,),(535302Γ∈Γ∈Γ∈Γ∈−∈<<Γ∈t x t x t x t x T T t c x t x )7.1.4()6.1.4()5.1.4()4.1.4()3.1.4()2.1.4( 其中1D D =∪2D ， }0),(0:),{(1T t t s x t x D <<<<= ，},0),(0:),{(2≤≤−<<=t T t h x t x D },0,0:),{(1T t x t x ≤≤==Γ},0,0:),{(2c x t t x ≤≤==Γ},0,)(:),{(3T t t s x t x ≤≤==Γ}0,0:),{(4≤≤−==Γt T x t x ，}0,)(:),{(5≤≤−==Γt T t h x t x .)(x τ是连续可微的未知函数，且0)(=′′c τ，)(t s 、)(t h 分别为在],0[T ，]0,[T −上连续可微的未知边界函数，c h s ==)0()0(，H t s <<•)(0，0)(<<−•t h K ，βα,,,,c K H 均为正常数，)6.1.4(、)7.1.4(分别为求)(t s ，)(t h 的条件.为了方便讨论，把定解问题（4.1.1）—（4.1.7）分成如下两个问题：4 关于一类混合型偏微分方程的未知边界问题问题Ⅰ ,)),(()(,0)),((,),(),0(,)()0,(,0t t s u t s t t s u t x u t u x x u u u x xx t ατ=====−⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧•+ ,],0[,],0[,],0[,0,0,),(01T t T t T t c x c x D t x ∈∈∈<<≤≤∈ 问题Ⅱ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=====+•−,)),(()(,0)),((,),(),0(,)()0,(,00t t h u t h t t h u t x u t u x x u u u x xx t βτ ,]0,[,]0,[,]0,[,0,0,),(02T t T t T t c x c x D t x −∈−∈−∈<<≤≤∈4.2 解的唯一性为了证明问题Ⅰ和问题Ⅱ解的唯一性，应先证明未知边界函数()s t 和()h t 的唯一性，而要证明未知函数()s t 和()h t 的唯一性，必须要确定未知函数()s t 和()h t 的单调性，并利用弱极值原理证明问题解的唯一性.由此我们给出这样的两个定理，并给与证明.定理4.2.1设0)(>x τ，则0)(<<−•t h K 成立.证明：由混合型抛物型方程极值原理[24]，问题Ⅱ中的),(t x u 只能在542,,ΓΓΓ上取得极值。
