第七章 无穷级数38915

第七章无穷级数10常数项级数概念及性质1、定义P264 ∑an=a1+a2+ +an+n=1∞an称为一般项或通项 Sn=u1+u2+ +un称为前n项部分和例1、1 =3+3+ +3+ =0.331010210n1+2+3+ +n+1-1+1-1+ +(-1)n-1+2、定义Sn=∑uKK=1nan=Sn+1-Sn如{Sn}收敛，则∑an收敛n=1∞3、几个重要极限等比级数（几何）∑aqn，当q<1 收敛，q≥1 发散；n=0∞P级数∑Pn=1∞1nP>1 收敛，P≤1 发散；∞1P=1当，∑ 又称调和级数。

n=1n4、级数性质 P266性质5是级数收敛的必要条件即∑an收敛→liman=0n=1n→∞∞例1、∑n=1∞n-11n-1 发散，∵ liman=lim=≠0 n→∞n→∞2n+122n+1 3n例2、∑ 发散，∵ lim=-1≠0 nnn→∞n-3n=1n-3∞3n例3、∑11 发散，但lim=0 n→∞nn=1n∞20正项级数判别法∑un∞n=1un≥0正项级数部分和数列{Sn}单调递增∴正项级数收敛部分和数列有上界1、比较判别法设Vn≥un，如∑Vn收敛，则∑un收敛n=1∞n=1∞∞∞ 如∑un发散，则∑Vn发散n=1n=1例、判别下列级数敛散性∞（1）∑n=114n+n2 （2）∑∞sin2n=1n2nπ 解（1）由于∞14n2+n≥14n2+n2=11⋅ 5n∵∑1发散，∴原级数发散 nn=1sin2（2）由于nπ∞1≤1，而∑收敛，∴原级数收敛 222n=1nnn比较判别法的极限形式如limun=A 则有n→∞Vn∞∞0<A<+∞时∑un，∑Vn，同时收敛，同时发散 n=1n=1A=0 如∑Vn 收敛，则∑un收敛n=1∞n=1∞∞∞A=+∞ 如∑un 收敛，则∑Vn收敛 n=1n=1判别下列级数敛散性例、∑lnn=1∞n+1 nlnn+1∞1=1 又∑发散，∴原级数发散 1n=1nn limn→∞1例、（1）∑ （2）∑(1-cos) nn=1n2+1+nn=1∞1∞ （3）∑lnn n=2n∞1解：（1）由limn→∞nn2+n+n=lim=1 21n→∞n+n+nn111-cos21（2）lim=lim= 1n→∞n→∞12n2n2∵ ∑∞12n=1n 收敛∴原级数收敛lnn1（3）∵ >nn∴∑例、P2712、比判别法∞(n≥3) ∵ ∑1 发散，nn=1∞lnn 发散 n=1n例7.7 7.8 设正项级数∑un的一般项满足n=1∞un+1lim=ρ n→∞un则当ρ<1时，级数收敛，ρ>1时发散，ρ=1不定3、根值法设∑un为正项级数，如limun=ρn=1∞n→∞则当ρ<1时，级数收敛，ρ>1时发散，ρ=1不定正项级数判别其敛散性的步骤：⎧≠0发散首先考察limun⎨ n→∞=0需进一步判别⎩①如un中含n!或n的乘积通常选用比值法；②如un是以n为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法；③如un含形如nα（α可以不是整数）因子，通常用比较法；④利用级数性质判别其敛散性；⑤据定义判别级数敛散性，考察limSn是否存在，实际上考察{Sn}n→∞是否有上界。

第七章无穷级数一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点无穷级数是数学分析的重要内容之一，它在研究函数的分析性质、函数逼近、近似计算和微分方程定性理论等领域起着非常重要的作用. 无穷级数的核心是收敛性理论，它的本质就是“无穷多项的和”，但不是从“有限项相加”到“无限项相加”的简单推广，两者有着本质的区别，例如，对于有限项求和而言，加法交换律、结合律以及加法和乘法的分配律总是成立，有限个连续函数的和也是连续函数，但这些规律和性质却不能直接搬到无穷级数上去. 这就要求人们要用一种新的数学思想来研究无穷级数.本章内容由数项级数、函数列与函数项级数、幂级数与傅里叶级数四部分组成，后两者氏特殊的函数项级数. 本章重点是各种级数的收敛性和一致收敛性的概念及其判别法，难点主要有以下几点：●数项级数收敛性判别方法；● 函数列与函数项级数一致收敛性判别法以及一致收敛的函数列与函数项级数的性质；● 幂级数的收敛半径以及和函数的性质，函数的幂级数展开； ● 将函数展成傅里叶级数的条件和方法.三、本章的基本知识要点（一）数项级数 1.级数的收敛性（1）级数收敛和发散的定义 若数项级数∑∞=1n nu的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛，称S 为数项级数的和，记为∑∞==1n n u S 或.∑=n u S若{}n S 发散，则称级数∑∞=1n nu发散.（2）级数收敛的条件① 级数收敛的必要条件：级数∑∞=1n nu收敛.0lim =⇒∞→n n u② 级数收敛的柯西准则（充要条件） （10）级数∑∞=1n nu收敛⇔0>∀ε，+∈∃N N ，N n >∀，+∈∀N p ，有.21ε<++++++p n n n u u u（20）级数∑∞=1n nu发散⇔00>∃ε，+∈∀N N ，N n >∃0，+∈∃N p 0，使得.0210000ε≥++++++p n n n u u u（3）收敛级数的性质 ① 线性运算性质：若级数∑nu和∑nv都收敛，则对任意常数d c ,，级数()∑+n ndv cu也收敛，且().∑∑∑+=+n n n nv d u c dv cu② 级数的收敛性与前面有限项的值无关：去掉，增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性.③ 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和. 2.正项级数收敛性的判别 （1）（充要条件）正项级数∑nu收敛⇔部分和数列{}n S 有界（即+∈∃R M ，+∈∀N n ，有.M S n ≤）（2）(比较原则) 设∑nu和∑nv是两个正项级数，且+∈∃N N ，N n >∀，有n n v u ≤，则① ∑nv收敛⇒∑nu收敛； ②∑nu发散⇒∑nv发散.（3）(比较原则的极限形式) 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数，l v u nnn =∞→lim，则① 当+∞<<l 0 时，级数∑nu和∑nv同敛态；② 当0=l 且级数∑nv收敛⇒∑nu收敛；③ 当+∞=l 且级数∑nv发散⇒∑nu发散.（4）(比式判别法或称达朗贝尔判别法) 设∑nu是正项级数，且+∈∃N N 0及常数)1,0(∈q .① 0N n >∀有q u u nn ≤+1⇒∑n u 收敛； ② 0N n >∀有11≥+nn u u ⇒∑n u 发散. （5）(比式判别法的极限形式) 设∑n u 是正项级数，且q u u nn n =+∞→1lim，则 ① 当1<q 时，级数∑nu收敛；② 当1>q 或+∞=q 时，级数∑nu发散.注 当1=q 时不能用本法判别级数的敛散性.（6）(根式判别法或称柯西判别法) 设∑nu是正项级数，且+∈∃N N 0及正常数l .① 0N n >∀有1<≤l u n n ⇒∑nu收敛；② 0N n >∀有1≥n n u ⇒∑nu发散.（7）(根式判别法的极限形式) 设∑nu是正项级数，且l u n n =，则① 当1<l 时，级数∑nu收敛；② 当1>l 或+∞=l 时，级数∑nu发散.注 当1=l 时不能用本法判别级数的敛散性.（8）(积分判别法) 设f 为],1[+∞上的非负减函数，则正项级数∑)(n f 与反常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散.3.一般项级数收敛性的判别（1）(交错级数的莱布尼茨判别法) 若交错级数∑+-n n u 1)1(（0>n u ）满足条件：数列{}n u 单调递减且趋于0，则∑+-n n u 1)1(收敛.（2）级数条件收敛和绝对收敛的定义 ① 若级数∑nu 收敛，则称级数∑nu绝对收敛;② 若级数∑nu收敛而∑nu发散，则称级数∑nu条件收敛.③ 绝对级数的级数一定收敛.（3）(阿贝尔判别法) 若{}n a 为单调有界数列，且级数∑nb收敛，则∑nn b a 也收敛.（4）(狄利克雷判别法) 若数列{}n a 单调递减，且0lim =∞→n n a ，又级数∑nb的部分和数列有界，则∑nn ba 收敛.（二）函数列与函数项级数 1.函数列及其一致收敛性（1）函数列的收敛域及极限函数① 设有一定义于同一数集E 上的函数列(){}x f n ，若对E x ∈0，数列(){}0x f n 收敛，则称0x 为函数列(){}x f n 的收敛点，若数列(){}0x f n 发散，则称0x 为函数列(){}x f n 的发散点，函数列(){}x f n 的所有收敛点的集合称为它的收敛域. 若E D x ⊂∈∀，数列(){}x f n 收敛，设)()(lim x f x f n n =∞→，则称)(x f 为函数列(){}x f n 的极限函数或称函数列(){}x f n 在D上点点收敛于函数)(x f ，记为.),()(lim D x x f x f n n ∈=∞→或)()(x f x f n → ),(∞→n .D x ∈② 函数列极限的N -ε定义：⇔∈=∞→D x x f x f n n ),()(lim 对每一固定的D x ∈，0>∀ε，恒存在正数),(x N N ε=（一般说来N 的值与ε和x 有关），使得当N n >时，总有.)()(ε<-x f x f n（2）函数列一致收敛的定义① 函数列(){}x f n 在D 上一致收敛于函数)(x f ⇔0>∀ε，+∈∃R N ，使得当Nn >时，对一切D x ∈，有.)()(ε<-x f x f n记为)()(x f x f n →→ ),(∞→n .D x ∈② 函数列(){}x f n 在D 上不一致收敛于函数)(x f ⇔00>∃ε，+∈∀R N ，总存在正整数N n >0与点D x ∈0，使得.)()(0000ε≥-x f x f n（3）函数列一致收敛的判别法① 利用函数列一致收敛的定义.② 柯西准则：)()(x f x f n →→ ),(∞→n .D x ∈⇔0>∀ε，+∈∃R N ，使得当N m n >,时，对一切D x ∈，都有.)()(ε<-x f x f m n③ 确界极限判别法：函数列(){}x f n 在D 上一致收敛于函数)(x f⇔.0)()(sup lim =-∈→∞x f x f n Dx n④ 优数列判别法：若+∈∃R N ，当N n >时，对一切D x ∈，有n n a x f x f ≤-)()(，且0lim =∞→n n a ，则函数列(){}x f n 在D 上一致收敛于)(x f .注 数列}{n a 称为优数列.（4）一致收敛函数列的性质① 连续性：若函数列(){}x f n 在D 上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数)(x f 在D 上也连续，且D x ∈∀0，有).(lim lim )(lim lim 00x f x f n x x n n n x x →→∞→∞→=② 可积性：若函数列(){}x f n 在],[b a 上一致收敛于)(x f ，且每一项都连续，则)(x f 在],[b a 上也可积，且.d )(lim d )(lim d )(⎰⎰⎰→∞→∞==bab a ban n n n x x f x x f x x f③ 可微性：设函数列(){}x f n 在],[b a 上有定义，若],[0b a x ∈为(){}x f n 的收敛点，(){}x f n 的每一项在],[b a 上有连续的导数，且(){}x f n '在],[b a 上一致收敛，则(){}x f n 在],[b a 上一致收敛，其极限函数)(x f 在],[b a 上可导，且()).(d d lim )(lim d d )(d d x f x x f x x f x n n n n →∞→∞==2.函数项级数及其一致收敛性（1）函数项级数的收敛域及和函数设有一定义于同一数集E 上的函数列(){}x u n ，称++++)()()(21x u x u x u n ，.E x ∈为定义在E 上的函数项级数，记为∑∞=1)(n nx u或∑).(x u n 并称)()(1x u x S nk k n ∑==，E x ∈， ,2,1=为函数项级数∑)(x u n 的部分和数列. 若E x∈0，部分和数列)}({0x S n 收敛，则称0x 为函数项级数∑)(x u n的收敛点，若数列)}({0x Sn发散，则称0x 为函数项级数∑)(x u n 的发散点. 级数∑)(x u n的所有收敛点的集合称为它的收敛域. 若E D x ⊂∈∀，级数∑)(x u n的和数列(){}x S n 收敛于函数)(x S ，则称)(x S 为级数∑)(x u n的和函数，记为)()()()(21x S x u x u x u n =++++ ，.D x ∈注 函数项级数的收敛性指的就是它的和函数列的收敛性.（2）函数项级数一致收敛的定义 设(){}x S n 是函数项级数∑)(x u n的部分和数列，若(){}x S n在D 上一致收敛于函数)(x S ，则称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于函数)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛，即0>∀ε，+∈∃R N ，N n >∀，D x ∈∀，有.)()(ε<-x S x S n（3）函数项级数一致收敛的判别法 ① 利用函数项级数一致收敛的定义. ② 柯西准则：函数项级数∑)(x u n在数集D 上一致收敛⇔0>∀ε，+∈∃RN ，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有.)()(ε<-+x S x S n p n或.)()()(21ε<++++++x u x u x u p n n n注 当1=p 时得到函数项级数一致收敛的必要条件：∑)(x u n在数集D 上一致收敛⇔函数列(){}x u n 在D 上一致收敛于零.③ 确界极限判别法：函数项级数∑)(x u n在D 上一致收敛于函数)(x S⇔.0)()(sup lim =-∈→∞x S x S n Dx n④ 优级数判别法：设函数项级数∑)(x u n定义在数集D 上，∑nM为收敛的正项级数，若对一切D x ∈，有n n M x u ≤)(，,,2,1 =n 则级数∑)(x u n在D 上一致收敛.⑤ 阿贝尔判别法：设 （10）∑)(x u n在区间I 上一致收敛；（20）I x ∈∀,)}({x v n 是单调的； （30）)}({x v n 在I 上一致有界.则级数)()(x v x u nn∑在I 上一致收敛.⑥ 狄利克雷判别法：设（10）∑)(x u n的部分和数列在区间I 上一致有界；（20）I x ∈∀,)}({x v n 是单调的； （30）在I 上0)(→→x v n ).(∞→n则级数)()(x v x u nn∑在I 上一致收敛.（4）一致收敛函数项级数的性质 ① 连续性：若函数项级数∑)(x u n在区间],[b a 上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在],[b a 上也连续.② 逐项求积：若函数项级数∑)(x u n在区间],[b a 上一致收敛，且每一项都连续，则∑⎰⎰∑=.d )(d )(babannx x u x x u③ 逐项求导：若函数项级数∑)(x u n在],[b a 上每一项都有连续的导函数，],[0b a x∈为∑)(x u n的收敛点，且)(x u n∑'在],[b a 上一致收敛，则∑=)()(x u x S n在上可导，且可逐项求导，即().)(d d)(d d ∑∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛x u xx u x n n （三）幂级数1.幂级数的一般形式：()∑∞=-0n nnx x a ；特殊形式：x an n n∑∞=0.2.阿贝尔定理：若幂级数x ann n∑∞=0在0≠=x x 收敛，则对满足不等式x x <的任何x ，幂级数x ann n∑∞=0收敛而且绝对收敛；若幂级数x a nn n ∑∞=0在x x =发散，则对满足不等式x x >的任何x ，幂级数x a n n n ∑∞=0发散.3.幂级数的收敛半径和收敛区间 幂级数x ann n∑∞=0的收敛域是以原点为中心的区间，若以R 2表示区间的长度，则称R 为幂级数的收敛半径.（1）当0=R 时，幂级数x ann n∑∞=0仅在0=x 处收敛；（2）当∞=R 时，幂级数x ann n∑∞=0在),(+∞-∞上收敛；（3）当0>R 时，幂级数x ann n∑∞=0在),(R R +-内收敛；对一切满足不等式R x >的x ，幂级数x ann n∑∞=0都发散；在R x ±=处，可能收敛也可能发散.（4）()R R ,-称为幂级数x ann n∑∞=0的收敛区间.4.幂级数收敛半径定理：对于幂级数x a n n n ∑∞=0，若ρ=→∞n n n a lim ，或ρ=+∞→nn n a a 1lim ，则（1）当+∞<<ρ0时，幂级数x a n n n ∑∞=0的收敛半径是ρ1=R ；（2）当0=ρ时，幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径是+∞=R ；（3）当+∞=ρ时，幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径是0=R .5.幂级数的一致收敛性质 （1）设幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径为()0>R ，则在它的收敛区间()R R ,-内任意闭区间],[b a 上幂级数都一致收敛.（2）设幂级数x ann n∑∞=0的收敛半径为()0>R ，且在R x =（或R x -=）时收敛，则幂级数在],0[R （或]0,[R -）上一致收敛.6.幂级数的分析性质 （1）幂级数x ann n∑∞=0的和函数是()R R ,-内的连续函数；若幂级数在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右（或左）连续.（2）幂级数x ann n∑∞=0与其逐项求导及逐项积分所得的幂级数具有相同的收敛区间.（3）设幂级数x ann n∑∞=0在收敛区间()R R ,-内的和函数为()x f ，()R R x ,-∈∀，则① ()x f 在x 可导，且()∑∞=-=11n n nxnax f ；② ()x f 在0与x 这个区间上可积，且()x n a t t f n n n x11d +∞=∑⎰+=. （4）记()x f 为幂级数x ann n∑∞=0在收敛区间()R R ,-内的和函数，则在()R R ,-内具有任意阶导数，求可逐项求导任意次，即() +++++='-x na x a x a a x f n n 1232132， () +-++⋅+=''-x a n n x a a x f n n 232)1(232， ()() +-++=+x a n n n a n x fn n n 12)1()1(!（5）记()x f 为幂级数x ann n∑∞=0在0=x 的某邻域内的和函数，则幂级数的系数与()x f 在0=x 处的各阶导数有如下关系： ()()() ,2,1,!0,00===n n fa f a n n7.幂级数的运算 （1）若幂级数x ann n∑∞=0与x b nn n ∑∞=0在0=x 的某邻域内有相同的和函数，则称这两个幂级数在此邻域内相等.（2）幂级数x ann n∑∞=0与x b nn n ∑∞=0在0=x 的某邻域内相等 ,2,1,0,==⇒n b a n n（3）若幂级数x ann n∑∞=0与x b nn n ∑∞=0的收敛半径分别为a R 与b R ，则有x a x ann n nn n∑∑∞=∞==0λλ，a R x <.()x b a x b x ann n n nn n nn n∑∑∑∞=∞=∞=+=±0，R x <. x c x b x a n n n n n n n n n ∑∑∑∞=∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛000,R x <. 其中λ为常数，},m in{b a R R R =，kn nk k n ba c -=∑=.8. 泰勒级数（1）设()x f 在0x x =处存在任意阶的导数，则称()()()()()()()() +-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f 00200000!!2 为()x f 在0x 的泰勒级数，当00=x 时，称级数()()()()() +++''+'+x n f x f x f f nn !0!20002为函数的麦克劳林级数.（2）()x f 在0x 的泰勒级数收敛于()()0lim =⇔∞→x R x f n n ，其中()x R n 为()x f 在0x 的泰勒公式余项.（3）余项的形式 ① 皮亚诺型余项()()()nn x x o x R 0-=，()()x o x R n n =.② 拉格朗日型余项 ()()()()()101!1++-+=n n n x x n fx R ξ（ξ介于0x 与x 之间）()()()()10001)!1(++-+-+=n n x x n x x x fθ，10<<θ. ()()()()xn fx R n n n 11!1+++=ξ（ξ介于0与x 之间）()()x n x fn n 11)!1(+++=θ，10<<θ. ③ 柯西型余项()()()()()01!x x x n fx R n n n --=+ξξ（ξ介于0x 与x 之间）()()()()()100011!++---+=n n n x x n x x x fθθ，10<<θ.()()()()x x n fx R n n n ξξ-=+!1（ξ介于0与x 之间）()()()()xn x x x fn nn 10011!++--+=θθ，10<<θ.④ 积分型余项()()()()t t x t f n x R nx x n n d !101-=⎰+.()()()()t t x t f n x R nx n n d !101-=⎰+.（4）五个基本展开式① R ,!!21e 2∈+++++=x n x x x nx .② ()()R ,!121!5!3sin 12153∈+--+-+-=--x n x x x x x n n . ③ ()()R,!21!4!21cos 242∈+-+-+-=x n x x x x nn .④ ()()()()1,!11!21112<++--++-++=+x x n n x x x nααααααα.⑤ ()()(]1,1,1321ln 132-∈+-+-+-=+-x nx xx x x nn . 9. 函数的幂级数展开的方法（1）直接法先求出函数在0x x =处的各阶导数，其次估计余项，证明()0lim =→∞x R n n ，最后写出函数的展开式.（2）间接法利用基本展开式，经过四则运算或变量替换得到函数的幂级数展开式，或在收敛区间内用逐项求导或逐项积分求出函数的导数或原函数，再经逆运算得到函数的幂级数展开式（四）傅里叶级数1.三角函数系与三角级数（1）函数列 ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 统称为三角函数列或三角函数系.（2）三角函数系具有正交性，即在三角函数系中，任何两个不同的函数的乘积在[]ππ,-上的积分都等于零，而其中任何一个函数的平方在[]ππ,-上的积分都不等于零.（3）由三角函数系产生的形如()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 的级数称为三角级数. （4）若级数 ()∑∞=++102n n n b a a 收敛，则级数 ()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.2.以π2为周期的函数的傅里叶级数 （1）傅里叶系数公式若在整个数轴上()()∑∞=++=10sin cos 2n n n nx b nx a a x f 且等式右边级数一致收敛，则有如下关系：()x nx x f a n d cos 1⎰-=πππ， ,2,1,0=n ， ()x x x f b n d sin 1⎰-=πππ， ,2,1=n .（2）以()x f 的傅里叶系数为系数的三角级数称为()x f 的傅里叶级数，记为()x f ～()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a .（3）收敛定理：若以π2为周期的函数()x f 在[]ππ,-上按段光滑，则在没一点[]ππ,-∈x ，()x f 的傅里叶级数收敛于()x f 在点x 处的左、右极限的算术平均值，即()()()∑∞=++=-++10sin cos 2200n n n nx b nx a a x f x f ，其中n n b a ,为()x f 的傅里叶系数.（4）收敛定理的推论：若()x f 是以π2为周期的连续函数，且在[]ππ,-上按段光滑，则()x f 的傅里叶级数在()+∞∞-,上收敛于()x f .3.以l 2为周期的函数的傅里叶级数 设()x f 是以l 2为周期的函数，级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛++10sin cos 2n n n l x n b l x n a a ππ，其中()x l x n x f l a l l n d cos 1π⎰-=， ,2,1,0=n ，()x lx n x f l b l l n d sin 1π⎰-=， ,2,1=n ，称为函数()x f 的傅里叶级数，n n b a ,称为傅里叶系数.4.正弦级数与余弦级数（1）设()x f 是以l 2为周期的可积偶函数，或是定义在[]l l ,-上的可积偶函数，则()x f 可展成余弦级数()x f ～lx n a a n n πcos 210∑∞=+，其中 ()x lxn x f l a l n d cos 20π⎰=， ,2,1,0=n .（2）设()x f 是以l 2为周期的可积奇函数，或是定义在[]l l ,-上的可积奇函数，则()x f 可展成正弦级数()x f ～lxn b n n πsin1∑∞=， 其中 ()x lxn x f l b l n d sin 20π⎰=， ,2,1=n . 5.贝塞尔不等式及其推论（1）贝塞尔不等式若函数()x f 在[]ππ,-上可积，则()()x x fb a a n nn d 1221222⎰∑-∞=≤++πππ，其中n n b a , 为()x f 的傅里叶系数.（2）推论1（黎曼-勒贝格定理）：若()x f 为可积函数，则()0d cos lim =⎰-∞→x nx x f n ππ，()0d sin lim =⎰-∞→x nx x f n ππ.（3）推论2：若()x f 为可积函数，则()0d 21cos lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→x x n x f n π，()0d 21sin lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞→x x n x f n π. 5.傅里叶级数部分和的积分表达式若()x f 是以π2为周期的函数，且在[]ππ,-可积，则它的傅里叶级数部分和()x S n 可写成()()t t tn t x f x S n d 2sin221sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰-πππ，当0=t 时，被积函数中的不定式有极限212sin221sin lim 0+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→n t tn t来确定.四、基本例题解题点击【例1】讨论下列级数的敛散性： 1.()∑∞=2ln ln 1n nn ； 2. ()∑-1na （1>a ）； 3. ∑nn n !； 4. ∑33n n .【提示】本题涉及到正项级数的几种常用的敛散性判别法，其中第三题困难之处在于寻找与()1-na 同阶无穷小，利用()1-a x 的泰勒展开式，将展开式中的x 替换为n1后即可知()1-na 与n1同阶. 【解】1. 当e 2>n 时，()21ln 1ln n n n <，而∑21n收敛，故()∑∞=2ln ln 1n n n 收敛. 2. 0ln 1lim 11lim 0>=-=-+→∞→a x a na x x nn ，而∑n 1发散，故()∑-1na 发散.3. 由于 1e 11lim lim 1<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→+∞→nn n n n n n u u ，故∑n n n!收敛.4. 由于1313lim lim 3<==∞→∞→nn n n n n u ，故∑33n n 收敛. 【例2】设∑a n2与∑bn 2都收敛，证明下列级数也都收敛：1.∑n n b a ； 2. ()∑+2n n b a ; 及 3. ∑na n. 【证明】1.由()b a b a n n n n 2221+≤及∑a n 2和∑b n 2的收敛性可知∑n n b a 收敛. 2. 由()b b a a n b a n n n n n 2222++≤+及∑a n2和∑bn 2的收敛性与上小题的结果可知()∑+2n nb a收敛.3. 由⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤a n n a n n 22121及∑a n 2与∑n21的收敛性可知∑n a n 收敛. 【例3】判断级数()nnn ln 1∑-的收敛性（中国地质大学2006年硕士研究生入学试题）. 【提示】考查交错级数收敛的判别法与级数的条件收敛性.【解】当e >x 时，0ln 1ln 2<-='⎪⎭⎫ ⎝⎛x xx x ，所以，当3≥n 时，n n ln 单调递减，且0ln lim =∞→n n n ，由交错级数的莱布尼茨判别法可知()nn n ln 1∑-收敛，但是()n n n n 1ln 1≥-，而∑n1发散，故()nn n ln 1∑-条件收敛. 【例4】证明下列级数收敛:1. nn n n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+111cos ； 2.()∑∞=-12sin 1n nn n . 【证明】1. 设n n u n cos =，nn n v ⎪⎭⎫⎝⎛+=11.对于级数∑∞=1n n u ，由于⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1单调递减且01lim =∞→n n 及∑=nk k 1cos 有界，由狄利克雷判别法可知∑∞=1n nu收敛.又数列{}n v 单调递增有上界，根据阿贝尔判别法，原级数收敛.2. 由于22cos 1sin 2nn -=，故原级数收敛性证明可转化为下面两个级数的收敛性：()∑∞=-121n n n，()∑∞=+-1122cos 1n n nn .根据莱布尼茨判别法可知，级数()∑∞=-121n n n收敛.级数()()∑∑∞=+∞=+-=-11112cos 12122cos 1n n n n nn nn ，有数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1单调递减且01lim =∞→nn ，而()()∑∑=+=+-=-nk k nk k k k 11112cos 1cos 211cos 212cos 1 ()()()()1cos 112cos 12cos 13cos 5cos 1cos 3cos 1cos 211≤-++-++--+=+n n n . 由狄利雷判别法可知，级数()∑∞=+-1122cos 1n n nn 收敛. 因此级数()∑∞=-12sin 1n n nn收敛.【例5】讨论下列函数列在给定区间上的一致收敛性：1. ()x x x f nnn +=1， （1） []1,0∈x ； （2） []δ-∈1,0x ()10<<δ.2. ()nn n x x f ⎪⎭⎫⎝⎛+=1，[]1,0∈x .【解】1. （1）()()⎪⎩⎪⎨⎧=<≤==∞→.1,21,10,0lim x x x f x f n n 由于(){}x f n 中的每一项都在[]1,0上连续，而其极限函数()x f 在[]1,0上不连续，因此函数列(){}x f n 在[]1,0上不一致收敛.（2）因为 ()()0lim ==∞→x f x f n n，[]δ-∈1,0x . 又 ()()()()n nnn x n x x x x f x f δδδδ-+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--≤≤-≤≤1111sup sup 1010. 所以，()()0sup lim 10=--≤≤∞→x f x f n x nδ，故函数列(){}x f n 在[]δ-1,0上一致收敛. 2. ()()e 1lim lim x nn n n n x x f x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∞→∞→，[]1,0∈x .又 ()()()0e 11<-⎪⎭⎫ ⎝⎛+='--x n n n x x f x f ，故()()x f x f n -在[]1,0上严格单调递减，即有()()0e 111≤-≤-⎪⎭⎫⎝⎛+-x f x f n n n .由此得 ()()()∞→→-⎪⎭⎫⎝⎛+≤--n n x f x f n n 0e 111. 故函数列(){}x f n 在[]1,0上一致收敛.【例6】证明函数列 ()()nn x nx x f -=1 ),2,1( =n 在闭区间]1,0[上收敛，但不一致收敛.【证明】]1,0[∈∀x ，显然有()()01lim lim =-=∞→∞→n n n n x nx x f . 即()()nn x nx x f -=1在闭区间]1,0[上收敛于零，但是由于()∞→→⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n f nn e 1111，从而()00sup lim ]1,0[≠-∈∞→x f n x n，因此()x f n 在]1,0[上不一致收敛. 【例7】讨论下列函数项级数的一致收敛性： 1.()∑∞=++12n n nnn x x ，[]1,0∈x ；2.()∑∞=+-121n nxn ，()+∞∞-∈,x ；3.()∑∞=+-1cos 1n nxn ，.2,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈ππx 【解】1. 因为()n n n n nn x nx nn x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+∑∑∞=∞=+11122，故设()n x x u n 2=，()nn n x x v ⎪⎭⎫⎝⎛+=1.由优级数判别法，易证()∑∞=1n n x u 在[]1,0上一致收敛.[]1,0∈∀x ，数列(){}x v n 单调递增，且()e e ≤≤x n x v ，[]1,0∈x ，+∈N n ，由阿贝尔判别法可知，原级数在[]1,0上一致收敛.2. 此级数为交错级数，由莱布尼茨判别法易证该级数在()+∞∞-,上收敛，设()x S n 与()x S 分别为级数()∑∞=+-121n nxn 的前n 项部分和与和函数，则()()01cos 11→<++≤-nx n x S x S n ()∞→n .由柯西准则可知()∑∞=+-121n nxn 在()+∞∞-,上一致收敛.3. 设()()nn x u 1-=，()x n x v n cos 1+=. 则级数()∑∞=1n n x u 的部分和数列在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上一致有界. 对⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∀2,2ππx ，(){}x v n 单调递减且趋于零. 并且 []()01lim 0sup lim 2,2==-∞→-∈∞→nx v n n x n ππ， 即(){}x v n 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上一致收敛于零. 由狄利克雷判别法知，原级数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上一致收敛.【例8】设()x x x u n n ln =，(]1,0∈x . 1. 讨论()∑∞=1n n x u 在(]1,0上的收敛性和一致收敛性.2. 计算()x x u n n d 11⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=.【解】1. ()∑∞=1n n x u 的部分和为()()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈--=.1,0,1,0,1ln 1x x xxx x x S n n由此可知()∑∞=1n n x u 在(]1,0上收敛且和函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈-=.1,0,1,0,1ln x x xx x x S 又()())1(1ln 1lim 1ln lim lim 111S x xx x x S x x x≠-=+-=-=+→+→+→，即和函数()x S 在(]1,0上不连续，因此()∑∞=1n n x u 在(]1,0上不一致收敛.2. ()()1d 1ln d ln d 1ln d 1ln d 10101010101+-=--=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰⎰⎰∑∞=x x x x x x x x x x x x x x u n n.6111d 1d 121211011011π-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∑∑⎰⎰∑∞=∞=-∞=-n n n n n n x n x x n x【知识扩展提示】利用极限函数或和函数的不连续性来证明函数列或函数项级数的不一致收敛性是一种非常简洁而又十分有效地办法.【例9】求下列幂级数的收敛半径和收敛域：1. ()x n nn n 111+∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+； 2. x n nn211∑⎪⎭⎫⎝⎛+. 【解】1. 因为 ()e 11lim 11lim 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+∞→n n n n n n n n ,所以幂级数的收敛半径是e1=R . 当e 1±=x 时，()nn n n n n n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+++e 11e 11111，由于数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++111n n 严格单调递减且收敛于e （当∞→n 时），从而有e 111>⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n ，即1e 111>⎪⎭⎫⎝⎛++n n ，所以有()0e 111lim 1≠⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→nn n n n ， 由级数收敛的必要条件知，幂级数在e 1±=x 处发散，因此原幂级数的收敛域为.e 1,e 1⎪⎭⎫ ⎝⎛- 2. 【解法一】令y x =2，则原幂级数为y n nn∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+11.由于111lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n nn n ，故幂级数的收敛半径为.1=R 当1±=y 时，因为 ()0e 111lim ≠=±⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n nn n ，所以幂级数y n n n ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+11在1±=y 处发散，故y n nn∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+11的收敛域为()1,1-，由()1,12-∈=y x 得 ()1,1-∈x ，即原幂级数的收敛域为()1,1-.【解法二】令()x n x u n nn 211⎪⎭⎫⎝⎛+=，则()()()()x x nx n x u x u nn n n n n n n 22221111111lim lim =+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++∞→+∞→， 由正项级数收敛的比式判别法可知，当12<x 即()1,1-∈x 时原幂级数绝对收敛，当12>x 时幂级数发散，因此幂级数的收敛半径为1=R ，易证当1±=x 时幂级数发散，故原幂级数的收敛域为()1,1-.【知识扩展提示】求幂级数的收敛域一般分为两步：首先求收敛半径，其次考虑级数在端点处的敛散性. 对于缺少偶次项或奇次项的幂级数（如第2题）可以用变量替换或用正项级数收敛性判别法来确定收敛半径和收敛域.【例10】求∑∞=+11n nn x的收敛域与和函数.【解】由于111lim =+→∞n n n ，故收敛半径为1=R ，又∑∞=+111n n 发散，()∑∞=+-111n n n 收敛，因此幂级数的收敛域为[).1,1- 令()∑∞=+=11n nn x x f ，()()∑∞=++==111n n n xx xf x g ，则()xxx x g n n -=='∑∞=11， 所以 ()()().1ln d 1d 00x x t ttt t g x g xx---=-='=⎰⎰ 从而当0≠x 时，()()()x x x x g x f ---==1ln 1，又显然有()00=f ，故 ()()[)()⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=.0,0,1,00,1,1ln 1x x xx x f 【知识扩展提示】通常利用幂级数的四则运算性质、逐项求导性质及逐项积分性质来求幂级数的和函数【例11】求x sin 2在0=x 处的幂级数展开式.【解】因为 ()()∑∞=-=02!21cos n nnn xx ，R x ∈，所以()()()()()()∑∑∞=--∞=-=--=-=12121022!221!22121212cos 121sin n nn n n nn x n n x x x ，.R x ∈【例12】求函数()x x f 2=在ππ<<-x 上的傅里叶展开式，并计算∑∞=121n n.【解】 补充定义()ππ2=f ，再把()x f 延拓为周期为π2的周期函数，则()x f 在R 上连续，且在[]ππ,-上按段光滑. 由收敛定理知，()x f 可以展成傅里叶级数，由于ππππ22032d 1==⎰-x x a .()nx nx x a nn 2241d cos 1-==⎰-πππ，,,2,1 =n0d sin 12==⎰-πππx nx x b n ， ,2,1=n .所以当ππ<<-x 时，()().cos 143122nx nx f n n ∑∞=-+=π当π=x 时，上面等式也成立，于是∑∞=+=1222143n nππ，故.61212π=∑∞=n n五、扩展例题解题点击【例1】利用柯西收敛准则证明： 1.()∑-nn 1收敛； 2.∑n 1发散.【证明】1. 0>∀ε，令ε11+=N ，则当N n >时，对+∈∀N p ，有（1）若p 为奇数，()pn n n p +-+++-+-112111ε<+<⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=11111312111n p n p n n n n . （2）若p 为偶数，则()pn n n p +-+++-+-112111 ε<+<+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=1111121312111n p n p n p n n n n . 所以，()∑-nn 1收敛.2. 取210=ε，0>∀N ，总存在正整数N n >0，00n p =，则000000021212121212111ε==++>+++++n n n n n n . 所以，∑n 1发散.【例2】讨论∑n1cos ln 的敛散性. 【提示】 利用同阶无穷小.【解】由于 21cos 2sin limcos ln lim 020==-→→x x x xx x x ，所以 2111cosln lim 2=-→∞nn n ，又∑n21收敛，所以，∑n1cos ln 收敛. 【例3】证明：∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n11ln 1 收敛. 【证明】由nn n 111ln 11<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+，得 ()()nn n n n n n n n 23111111111ln 10<+++=+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<， 而∑n231收敛，故∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n 11ln 1 收敛. 【例4】设()x f 1在],[b a 上黎曼可积，令()()t t f x f xann d 1⎰=+， ,2,1=n 证明：(){}x f n在],[b a 上一致收敛于0（清华大学2003年硕士研究生入学试题）.【证明】由于()x f 1在],[b a 上黎曼可积，从而在],[b a 上有界，即存在0>M ，使得()M x f ≤1，从而有()()()a x M t t f x f xa -≤≤⎰d 12，()()()()22321d d a x M t a t M t t f x f xax a-=-≤≤⎰⎰， 依次可推出()()()!11--≤-n a x M x f n n ，所以有()()()!11--≤-n a b M x f n n .易证正项级数()()∑---!11n a b n 收敛，由级数收敛的必要条件可知()()0!1lim 1=---∞→n ab n n ，故(){}x f n 在],[b a 上一致收敛于0.【例5】设t t nt t a n d sin sin 320⎰⋅=π，证明∑∞=11n na 发散（2009年首届中国大学生数学竞赛（数学专业）赛区试题）.【证明】213230320d sin sin d sin sin d sin sin I I t t ntt t t nt t t t nt t nn +=⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰ππππ.2d d sin sin 2203301n t t n t t nt t I n πππ=<⋅=⎰⎰, 828d 2d sin sin 2332322n n t t t t t nt t I nn πππππππππ<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅<⋅=⎰⎰.因此，n a n π211>，由此得∑∞=11n na 发散. 【例6】设f 在0=x 的某邻域内有定义，()0f ''存在，证明：∑⎪⎭⎫⎝⎛n f 1绝对收敛的充要条件是()()000='=f f （南京大学2002年硕士研究生入学试题）.【证明】充分性. 由于()0f ''存在，故()()()()()02120lim 2lim lim 0020f x f x f x x f xx f x x x ''='-'='=→→→.从而，()()02111lim2f nn f n ''=∞→，而∑n21收敛，因此，∑⎪⎭⎫⎝⎛n f 1绝对收敛. 必要性. 由∑⎪⎭⎫ ⎝⎛n f 1绝对收敛可知，01lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n f n ，又由于f 在0=x 处连续，故()00=f . 又()()()()x x f x f x f f x x 00lim 0lim 0→→=-='，从而有()01lim f n nf n '=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→，由于∑⎪⎭⎫⎝⎛n f 1绝对收敛，所以().00='f 【例7】设(){}x f n 是定义在],[b a 上的无穷次可微函数序列且逐点收敛，并在],[b a 上满足()M x f n ≤'.1. 证明：(){}x f n 在],[b a 上一致收敛；2. 设()()x f x f n n ∞→=lim ，问()x f 是否一定在],[b a 上处处可导，为什么（2009年首届中国大学生数学竞赛（数学专业）赛区试题）？【证明】1. 0>∀ε，将区间],[b a 分成K 等份，分点为()Ka b j a x j -+=，K j ,,2,1 =，使得ε<-Kab . 由于(){}x f n 在有限个点{}K j x j ,,2,1, =上收敛，因此N n m N >>∀>∃,0，使得()()ε<-j n j m x f x f 对每个K j ,2,1=都成立，于是，],[b a x ∈∀，设],[1+∈j j x x x ，则()()()()()()()()x f x f x f x f x f x f x f x f n j n j n j m j m m n m -+-+-≤-()()()()()()()εηξ12+<-'+-+-'=M x x f x f x f x x f j n j n j m j m. 因此，(){}x f n 在],[b a 上一致收敛.2. 不一定. 令()nx x f n 12+=在]1,1[-上满足题中条件，但是()()x x f x f n n==∞→lim 在]1,1[-上不能保证处处可导（在0=x 处就不可导）.【例8】证明：函数()∑=nnx x f 3sin 在()+∞∞-,上连续，且有连续的导函数.【证明】由于对()+∞∞-∈∀,x ，有nnnx 331sin ≤， ,2,1=n且级数∑n31收敛，故由优级数判别法知∑nnx 3sin 在()+∞∞-,上一致收敛.又n nxn nx 23cos sin ='⎪⎭⎫ ⎝⎛，而n n nx 221cos ≤，() ,2,1,,=+∞∞-∈n x ， 由∑n21收敛知∑nnx 2cos 在()+∞∞-,上一致收敛. 又nnx 2cos () ,2,1=n 在()+∞∞-,上连续，从而由可积性定理知()x f 在()+∞∞-,上具有连续的导函数，从而()x f 也在()+∞∞-,上连续.【例9】将所有有理数排成一个数列{}n r ，试讨论函数()()∑-=2sng nn r x x f 的连续性（厦门大学2006年硕士研究生入学试题）.【解】 因为()212sng nnn r x ≤-，且∑21n收敛，故由优级数判别法知()∑-2sng nn r x 在R 上一致收敛. R 0∈∀x ，当{}n r x ∉0时，通项()2sng nn r x -在0x x =处连续，由一致收敛函数项级数的和函数连续性定理知，()x f 在0x x =处连续. 当{}n k r r x ∈=0时，因为()()()2sng 2sng kk kn nn r x r x x f -+-=∑≠，右边第一项在k x x =处连续，第二项在k x x =处间断，因此()x f 在k x x =处不连续. 综上所述，()x f 在所有无理点处连续，在所有有理点处不连续.【例10】求下列级数的收敛域：1. ()()n x x n n 2111+++∑； 2. .113212nn n x x n ⎪⎭⎫⎝⎛+-++∑ 【解】1. 令x x y 21++=，则原级数为()y n n n ∑+11，易求得其收敛域为[]1,1-，即当1112≤++≤-x x 时，原级数收敛，解次不等式得01≤≤-x . 因此原级数的收敛域为[].0,1-2. 令x xy +-=11，则原级数为y nn n n ∑++2321. 由于3321lim 2=++∞→n n nn n，所以幂级数y n n n n ∑++2321的收敛半径为31，易求得其收敛域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31，因此当311131≤+-≤-x x 时，原级数收敛，解不等式得 221≤≤x ，故原级数的收敛域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21. 【例11】设有幂级数x n nnn n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1221，求1. 收敛半径与收敛域.2. 和函数在收敛域内的导函数.【解】1. 由于n n nn n n22n 21222n ≤+≤，且222lim 2lim 2==→∞→∞n n n n n n ，故2n 21lim 2n=+→∞n n n ，因此收敛半径为21=R . 当21±=x 时，级数∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+12121212121n n n nn n n n n 收敛，故收敛域为.21,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 2. 令()x n nx f n n n ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1221，.21,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈x 因为 ()∑∞=-=-11ln n n n xx ，[).1,1-∈x故 ()()().21ln 11211121111xx x nx x x x n x f n nn n n---=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+='∑∑∞=-∞= 【例12】求幂级数()∑∞=+11n nxn n 的收敛域及和函数.【解】由于 ()11lim =+→∞nn n n ，故()∑∞=+11n n x n n 的收敛半径为1=R ，又当1±=x 时，级数()()∑∞=±+111n nn n 发散，因此，()∑∞=+11n nxn n 的收敛域为()1,1-.令()()∑∞=-+=111n n xn n x f ，()1,1-∈x ，则由幂级数的逐项可积性，得()()()∑∑⎰⎰∞=∞=-+=+=11011d 1d n n n x n xx n t tn n t t f .()().1d 1d 1211101xx xt t n t tn n n n xnx n n-==+=+∑∑⎰⎰∑∞=∞=+∞= 所以， ()()22211211x x x x x x n n n --='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∑∞=，()()()2221212x x x x x f -='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，因此()()()21121x xx xf xn n n n-==+∑∞=. 【例13】求级数()∑∞=+1!1n n n的和. 【解】令()()x n n x f nn ∑∞=+=1!1，易求得该幂级数的收敛域为()+∞∞-,. 由幂级数的逐项求导和逐项积分性质，有()()()∑∑∞=∞==--=-='11e !11!1n x n n n x n x x n x x f . 故 ()()e x t e t x f x xt 11d 0-+==⎰. 从而有()().11!11==+∑∞=f n nn【知识扩展提示】利用幂级数求数项级数的和，要记住几个基本幂级数展开式.【例14】将下列函数在0=x 处展成幂级数： 1. ()t ttx f xd sin 0⎰=； 2. ()()x x f 22ln +=. 【解】1. 因为()()!121sin 120+-=+∞=∑n t t n n n，R t ∈，从而()()!121sin 20+-=∑∞=n t t t nn n ，于是()()()()()()∑∑⎰⎰∞=+∞=+⋅+-=+-==0120020!12121d !121d sin n n n n x n n xn n x t n t t t t x f ，R x ∈ 2. 因为()()nxx nn n ∑∞=--=+1111ln ，(]1,1-∈x ，所以。

第四篇 无穷级数第七章 无穷级数无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是研究函数的性质及进行数值计算方面的重要工具. 本章首先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题，最后介绍工程中常用的傅里叶级数.第1节 常数项级数的概念与性质1.1常数项级数的概念一般的，给定一个数列ΛΛ,,,,,321n u u u u则由这数列构成的表达式ΛΛ+++++n u u u u 321叫做（常数项）无穷级数, 简称（常数项）级数, 记为∑∞=1n n u , 即3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n u u u u u ,其中第n 项n u 叫做级数的一般项.作级数∑∞=1n n u 的前n 项和n ni i n u u u u u s +⋅⋅⋅+++==∑= 3211称为级数∑∞=1n n u 的部分和. 当n 依次取1,2,3…时，它们构成一个新的数列11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，…，12...n n s u u u =+++，…根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。

定义 如果级数∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞→lim , 则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和, 并写成ΛΛ 3211+++++==∑∞=n n n u u u u u s ;如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞=1n n u 发散.当级数∑∞=1n n u 收敛时, 其部分和n s 是级数∑∞=1n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值12n n n n r s s u u ++=-=++L叫做级数∑∞=1n n u 的余项.例1 讨论等比级数（几何级数）n n aq ∑∞=0(a ≠0)的敛散性.解 如果1≠q , 则部分和qaq q a q aq a aqaq aq a s n n n n ---=--=+⋅⋅⋅+++=-111 12. 当1<q 时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1.当1>q 时, 因为∞=∞→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0发散.如果1=q , 则当1=q 时, n s na =→∞ , 因此级数n n aq ∑∞=0发散;当1-=q 时, 级数n n aq ∑∞=0成为Λ+-+-a a a a ,因为n s 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零, 所以n s 的极限不存在, 从而这时级数n n aq ∑∞=0发散.综上所述, 如果1<q , 则级数nn aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1; 如果1≥q , 则级数n n aq ∑∞=0发散.例2 判别无穷级数∑∞=+1)11ln(n n 的收敛性. 解 由于n n nu n ln )1(ln )11ln(-+=+=,因此)1(ln )ln )1(ln( )ln3ln4()ln2ln3()1ln 2(ln +=-++⋅⋅⋅+-+-+-=n n n s n ,而 ∞=∞→n n S lim ，故该级数发散.例3 判别无穷级数∑∞=+1)1(1n n n 的收敛性. 解 因为111)1(1+-=+=n n n n u n , 所以)1(1 431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n111)111( )3121()211(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n , 从而1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n , 所以这级数收敛, 它的和是1.1.2 收敛级数的基本性质根据无穷级数收敛、发散的概念，可以得到收敛级数的基本性质.性质1如果级数∑∞=1n n u 收敛于和s , 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数∑∞=1n n ku 也收敛, 且其和为ks .证明 设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ku 的部分和分别为n s 与n σ, 则) (lim lim 21n n n n ku ku ku ⋅⋅⋅++=∞→∞→σks s k u u u k n n n n ==⋅⋅⋅++=∞→∞→lim ) (lim 21,这表明级数∑∞=1n n ku 收敛, 且和为ks .性质2 如果级数∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 分别收敛于和s 、σ, 则级数)(1n n n v u ±∑∞=也收敛, 且其和为σ±s .证明 如果∑∞=1n n u 、∑∞=1n n v 、)(1n n n v u ±∑∞=的部分和分别为n s 、n σ、n τ， 则)]( )()[(lim lim 2211n n n n n v u v u v u ±+⋅⋅⋅+±+±=∞→∞→τ)] () [(lim 2121n n n v v v u u u +⋅⋅⋅++±+⋅⋅⋅++=∞→σσ±=±=∞→s s n n n )(lim .性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.比如, 级数)1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 是收敛的; 级数 )1(1 43132121110000⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅+n n 也是收敛的;级数)1(1 541431⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅n n 也是收敛的.性质4 如果级数∑∞=1n n u 收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数（1-1)+（1-1) +⋅ ⋅ ⋅收敛于零, 但级数1-1+1-1+⋅ ⋅ ⋅却是发散的.推论 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 性质5 如果∑∞=1n n u 收敛, 则它的一般项n u 趋于零, 即0lim 0=→n n u .证明 设级数∑∞=1n n u 的部分和为n s , 且s s n n =∞→lim , 则0lim lim )(lim lim 110=-=-=-=-∞→∞→-∞→→s s s s s s u n n n n n n n n n .注: 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.例6 证明调和级数13121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n是发散的. 证明 假若级数∑∞=11n n收敛且其和为s , ns 是它的部分和.显然有s s n n =∞→lim 及s s n n =∞→2lim . 于是0)(lim 2=-∞→n n n s s .但另一方面,2121 212121 21112=+⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++++=-n n n n n n s s n n ,故0)(lim 2≠-∞→n n n s s , 矛盾. 这矛盾说明级数∑∞=11n n必定发散.习题7-11. 写出下列级数的前四项:（1） ∑∞=1!n n n n ； （2）∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---121)1(1)1(n n n n . 2. 写出下列级数的一般项（通项）:（1）Λ-+-+-8141211 ； （2）Λ+-+-97535432a a a a ； （3）Λ++++7151311. 3. 根据级数收敛性的定义，判断下列级数的敛散性: （1）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+111ln n n ; （2）ΛΛ++++6sin 62sin 6sin πππn . 4. 判断下列级数的敛散性: （1）∑∞=+131n n ; （2）ΛΛ+++++n 31916131;（3）∑∞=+112n n n （4）ΛΛ+-+-+-+-2)1(2222n.第2节 常数项级数的收敛法则2.1 正项级数及其收敛法则现在我们讨论各项都是正数或零的级数，这种级数称为正项级数. 设级数ΛΛ+++++n u u u u 321 （7-2-1）是一个正项级数，它的部分和为n s .显然，数列{}n s 是一个单调增加数列，即：ΛΛ≤≤≤≤n s s s 21如果数列{}n s 有界，即n s 总不大于某一常数M ，根据单调有界的数列必有极限的准则，级数（7-2-1）必收敛于和s ，且M s s n ≤≤. 反之，如果正项级数（7-2-1）收敛于和s .根据有极限的数列是有界数列的性质可知，数列{}n s 有界. 因此，有如下重要结论：定理 1 正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是它的部分和数列{n s }有界.定理2 (比较审敛法) 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 且n n u v ≤ ),2,1(Λ=n . 若级数∑∞=1n n v 收敛, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 反之, 若级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 发散.证明 设级数∑∞=1n n v 收敛于和σ, 则级数∑∞=1n n u 的部分和),2,1(21321ΛΛΛ=≤++≤++++=n v v v u u u u s n n n σ即部分和数列{}n s 有界, 由定理1知级数∑∞=1n n u 收敛.反之, 设级数∑∞=1n n u 发散, 则级数∑∞=1n n v 必发散. 因为若级数∑∞=1n n v 收敛, 由上已证明的结论, 将有级数∑∞=1n n u 也收敛, 与假设矛盾.推论 设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果级数∑∞=1n n v 收敛, 且存在自然数N , 使当N n ≥时有)0(>≤k kv u n n 成立, 则级数∑∞=1n n u 收敛; 如果级数∑∞=1n n v 发散, 且当N n ≥时有)0(>≥k kv u n n 成立, 则级数∑∞=1n n u 发散.例1 讨论p -级数1 413121111⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++=∑∞=pp p p p n n n 的收敛性, 其中常数0>p .解 设1≤p . 这时n n p 11≥, 而调和级数∑∞=11n n 发散, 由比较审敛法知, 当1≤p 时级数pn n11∑∞=发散.设1>p . 此时有⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=≤=----⎰⎰11111)1(111111p p n n p n n p p n n p dx x dx n n ),3,2(Λ=n . 对于级数⎪⎪⎭⎫⎝⎛----∞=∑1121)1(1p p n n n , 其部分和 111111)1(11)1(11 3121211------+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p p p p p p n n n n s . 因为1)1(11lim lim 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-∞→∞→p n n n n s . 所以级数⎪⎪⎭⎫⎝⎛----∞=∑1121)1(1p p n n n 收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数pn n 11∑∞=当1>p 时收敛. 综上所述, p -级数p n n11∑∞=当1>p 时收敛, 当1≤p 时发散. 例2 证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的. 证明 因为11)1(1)1(12+=+>+n n n n , 而级数 11 3121111⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=+∑∞=n n n 是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.定理3 （比较审敛法的极限形式)设∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 都是正项级数, 如果)0(lim +∞<<=∞→l l v u n nn , 则级数∑∞=1n n u 和级数∑∞=1n n v 同时收敛或同时发散.证明 由极限的定义可知, 对l 21=ε, 存在自然数N , 当N n >时, 有不等式l l v ul l n n 2121+<<-, 即n n n lv u lv 2321<<.再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论.例3 判别级数∑∞=11sinn n的收敛性. 解 因为111sin lim =∞→nn n , 而级数∑∞=11n n 发散, 根据比较审敛法的极限形式, 级数∑∞=11sin n n 发散.用比较审敛法审敛时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数∑∞=1n nv作为比较的基准.最常选用做基准级数的是等比级数和p -级数.定理4 (比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 若正项级数∑∞=1n n u 的后项与前项之比值的极限等于ρ，即ρ=+∞→n n n u u 1lim,则当1<ρ时级数收敛;当1>ρ (或∞=+∞→nn n u u 1lim )时级数发散; 当1=ρ时级数可能收敛也可能发散.例4 判别级数∑∞=1!1n n 收敛性. 解 因为1011lim !1)!1(1lim lim1<=+=+=∞→∞→+∞→n n n u u n n nn n , 根据比值审敛法可知，所给级数收敛. 例5 判别级数∑∞=13!n n n 的收敛性. 解 因为,31lim 3!3)!1(lim lim11+∞=+=+=∞→+∞→+∞→n n n u u n nn n nn n ,根据比值审敛法可知,所给级数发散. 定理5 (根值审敛法, 柯西判别法)设∑∞=1n n u 是正项级数, 如果它的一般项n u 的n 次根的极限等于ρ，即ρ=∞→n n n u lim ,则当1<ρ时级数收敛; 当1>ρ (或+∞=∞→nn n u lim )时级数发散; 当1=ρ时级数可能收敛也可能发散.定理6（极限审敛法）设∑∞=1n n u 为正项级数，（1）如果0lim >=∞→l nu n n （或+∞=∞→n n nu lim ），则级数∑∞=1n n u 发散；（2）如果1>p ，而l u n n pn =∞→lim （+∞<≤l 0），则级数∑∞=1n n u 收敛.证明 （1）在极限形式的比较审敛法中，取n v n 1=，由调和级数∑∞=11n n发散，知结论成立.（2）在极限形式的比较审敛法中，取p n n v 1=，当1>p 时，p -级数∑∞=11n p n收敛，故结论成立.例6 判定级数)11ln(12∑∞=+n n的收敛性.解 因)(1~)11ln(22+∞→+n n n ，故 11lim )11ln(lim lim 22222=⋅=+=∞→∞→∞→nn n n u n n n n n ， 根据极限审敛法，知所给级数收敛.2.2 交错级数及其审敛法则下列形式的级数,4321Λu u u u -+-称为交错级数. 交错级数的一般形式为n n n u ∑∞=--11)1(, 其中0>n u .定理7（莱布尼茨定理）如果交错级数n n n u ∑∞=--11)1(满足条件:(1) 1(1,2,3,)n n u u n +≥=L ; (2) 0lim =∞→n n u ,则级数收敛, 且其和1u s ≤, 其余项n r 的绝对值1+≤n n u r .证明 设前n 项部分和为n s ，由)()()(21243212n n n u u u u u u s -+-+-=-Λ,及n n n n u u u u u u u u s 21222543212)()()(--+-+--=--Λ，看出数列{}n s 2单调增加且有界)(12u s n ≤, 所以收敛.设)(2∞→→n s s n , 则也有)(12212∞→→+=++n s u s s n n n ,所以)(∞→→n s s n ，从而级数是收敛的, 且1u s <.因为Λ+-≤++21n n n u u r |也是收敛的交错级数, 所以1+≤n n u r .2.3 绝对收敛与条件收敛对于一般的级数：,21ΛΛ++++n u u u若级数∑∞=1n nu收敛，则称级数∑∞=1n nu绝对收敛；若级数∑∞=1n nu收敛， 而级数∑∞=1n nu发散, 则称级数∑∞=1n nu条件收敛.级数绝对收敛与级数收敛有如下关系： 定理8 如果级数∑∞=1n nu绝对收敛, 则级数∑∞=1n nu必定收敛.证明 令)(21n n n u u v +=),2,1(Λ=n . 显然0≥n v 且n n u v ≤ ),2,1(Λ=n .因级数∑∞=1n nu收敛，故由比较审敛法知道，级数∑∞=1n nv，从而级数∑∞=12n nv也收敛.而n n n u v u -=2，由收敛级数的基本性质可知：∑∑∑∞=∞=∞=-=1112n n n n n nu v u，所以级数∑∞=1n nu收敛.定理8表明，对于一般的级数∑∞=1n nu，如果我们用正项级数的审敛法判定级数∑∞=1n nu收敛，则此级数收敛.这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛性判定问题.一般来说，如果级数∑∞=1n nu发散, 我们不能断定级数∑∞=1n nu也发散. 但是, 如果我们用比值法或根值法判定级数∑∞=1n nu发散, 则我们可以断定级数∑∞=1n nu必定发散. 这是因为, 此时|u n |不趋向于零, 从而n u 也不趋向于零, 因此级数∑∞=1n nu也是发散的.例7 判别级数∑∞=12sin n nna 的收敛性. 解 因为|221|sin n n na ≤, 而级数211n n ∑∞=是收敛的, 所以级数∑∞=12|sin |n nna 也收敛, 从而级数∑∞=12 sinnnna绝对收敛.例8判别级数∑∞=13nnna（a为常数）的收敛性.解因为)(1)1(33311∞→→⎪⎭⎫⎝⎛+=+=++naannnanauunnnn,所以当1±=a时，级数∑∞=±13)1(nnn均收敛；当1≤a时，级数∑∞=13nnna绝对收敛；当1>a时，级数∑∞=13nnna发散.习题7-21. 用比较审敛法判定下列级数的收敛性：（1）∑∞=+121 21n n；（2）∑∞=++1)2)(1(1nnn；（3）∑∞=+11n nn；（4）∑∞=12sinnnπ；（5）∑∞=> +1)0(11nnaa.2. 用比值审敛法判定下列级数的敛散性:（1）∑∞=1! 2nnn; （2）∑∞=⋅1!3nnnnn;（3）∑∞=+1)1 2(nnnn; （4）∑∞=+112tannnnπ.3. 判定下列级数的敛散性:（1）∑∞=12nnn; （2）∑∞=+1)1(nnnn;（3）∑∞=13sin 2nnnπ; （4）∑∞=14!nnn;（5）∑∞=+ +121)1 (nnnn.4. 判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1）∑∞=+ -111)1(n nn; （2）∑∞=-+-11)1ln(1)1(nnn;（3）∑∞=--111sin)1(n nn; （4）∑∞=--11ln)1(nnnn.第3节 幂级数3.1 函数项级数的概念给定一个定义在区间I 上的函数列{})(x u n , 由这函数列构成的表达式ΛΛ+++++)()()()(321x u x u x u x u n ,称为定义在区间I 上的(函数项)级数, 记为∑∞=1)(n n x u .对于区间I 内的一定点0x , 若常数项级数∑∞=10)(n n x u 收敛, 则称点0x 是级数∑∞=1)(n n x u 的收敛点. 若常数项级数∑∞=10)(n nx u发散, 则称点0x 是级数∑∞=1)(n n x u 的发散点.函数项级数∑∞=1)(n n x u 的所有收敛点的全体称为它的收敛域, 所有发散点的全体称为它的发散域.在收敛域上, 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和是x 的函数)(x s , )(x s 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数, 并写成∑∞==1)()(n n x u x s . 函数项级数)(x u n ∑的前n 项的部分和记作)(x s n , 即)()()()()(321x u x u x u x u x s n n ++++=Λ.在收敛域上有)()(lim x s x s n n =∞→.函数项级数∑∞=1)(n n x u 的和函数)(x s 与部分和)(x s n 的差)()()(x s x s x r n n -=叫做函数项级数∑∞=1)(n n x u 的余项. 并有0)(lim =∞→x r n n .3.2 幂级数及其收敛性函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数, 这种形式的级数称为幂级数, 它的形式是ΛΛ+++++=∑∞=n n n n nx a x a x a a x a22100,其中常数ΛΛ,,,,,210n a a a a 叫做幂级数的系数.定理1（阿贝尔定理) 对于级数∑∞=0n n nx a，当)0(00≠=x x x 时收敛, 则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数∑∞=0n n n x a 当0x x =时发散, 则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散.证 先设0x 是幂级数∑∞=0n nnx a的收敛点, 即级数∑∞=0n n n x a 收敛. 根据级数收敛的必要条件,有0lim 0=∞→nn n x a , 于是存在一个常数M , 使),2,1(0Λ=≤n M x a n n .这样级数∑∞=0n n nx a的的一般项的绝对值n n nn n n nn nn x x M x x x a x x x a x a ||||||||||0000⋅≤⋅=⋅=.因为当0x x <时, 等比级数nn x x M ||00⋅∑∞=收敛, 所以级数∑∞=0||n n n x a 收敛, 也就是级数∑∞=0n n nx a绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明.倘若幂级数当0x x =时发散而有一点1x 适合01x x >使级数收敛, 则根据本定理的第一部分, 级数当0x x =时应收敛, 这与所设矛盾. 定理得证.推论 如果级数∑∞=0n n nx a不是仅在点0=x 一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定的正数R 存在, 使得当R x <时, 幂级数绝对收敛; 当R x >时, 幂级数发散;当R x =与R x -=时, 幂级数可能收敛也可能发散. 正数R 通常叫做幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径. 开区间),(R R -叫做幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛区间. 再由幂级数在x R =±处的收敛性就可以决定它的收敛域. 幂级数∑∞=0n n nx a的收敛域是),(R R -或),[R R -、],(R R -、],[R R -之一.若幂级数∑∞=0n nn x a只在0=x 收敛, 则规定收敛半径0=R , 若幂级数∑∞=0n nnx a 对一切x 都收敛, 则规定收敛半径+∞=R , 这时收敛域为),(+∞-∞.定理2 如果ρ=+∞→||lim 1nn n a a , 其中n a 、1+n a 是幂级数∑∞=0n n n x a 的相邻两项的系数, 则这幂级数的收敛半径⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞=≠=∞+=ρρρρ 00 10 R .证明|| ||||lim ||lim 111x x a a x a x a n n n nn n n n ρ=⋅=+∞→++∞→. (1) 如果+∞<<ρ0, 则只当1<x ρ时幂级数收敛, 故ρ1=R .(2) 如果0=ρ, 则幂级数总是收敛的, 故+∞=R .(3) 如果+∞=ρ, 则只当0=x 时幂级数收敛, 故0=R .例1 求幂级数 ∑∞=12n nnx 的收敛半径与收敛域.解 因为1)1(lim lim 221=+==∞→+∞→n n a a n nn n ρ,所以收敛半径为11==ρR . 即收敛区间为)1,1(-.当1±=x 时, 有221)1(n n n =±，由于级数∑∞=121n n 收敛，所以 级数∑∞=12n nnx 在1±=x 时也收敛.因此, 收敛域为]1,1[-.例2 求幂级数∑∞=0!1n nx n = !1 !31!21132⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++n x n x x x 的收敛域.解 因为0)!1(!lim !1)!1(1lim ||lim 1=+=+==∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n ρ,所以收敛半径为+∞=R , 从而收敛域为),(+∞-∞.例3 求幂级数∑∞=0!n n x n 的收敛半径. 解 因为+∞=+==∞→+∞→!)!1(lim ||lim 1n n a a n n n n ρ, 所以收敛半径为0=R , 即级数仅在0=x 处收敛. 例4 求幂级数∑∞=022)!()!2(n nx n n 的收敛半径. 解 级数缺少奇次幂的项, 定理2不能应用. 可根据比值审敛法来求收敛半径:幂级数的一般项记为nn x n n x u 22)!()!2()(=. 因为 21||4 |)()(|lim x x u x u n n n =+∞→, 当142<x 即21||<x 时级数收敛; 当142>x 即21||>x 时级数发散, 所以收敛半径为21=R .3.3 幂级数的运算 设幂级数∑∞=0n nn xa 及∑∞=0n n n x b 分别在区间),(R R -及),(R R ''-内收敛, 则在),(R R -与),(R R ''-中较小的区间内有加法:∑∑∑∞=∞=∞=+=+000)(n n n n n nn n nn x b a x b x a .减法:∑∑∑∞=∞=∞=-=-00)(n n n n n nn n nn x b a x b x a .乘法: )()(00∑∑∞=∞=⋅n n n n nn x b x a Λ++++++=2021*********)()(x b a b a b a x b a b a b aΛΛ+++++-nn n n x b a b a b a )(0110.除法: .221022102210ΛΛΛΛΛΛ+++++=++++++++++n n nn n n x c x c x c c x b x b x b b x a x a x a a 关于幂级数的和函数有下列重要性质：性质1 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数)(x s 在其收敛域I 上连续.性质2 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数)(x s 在其收敛域I 上可积, 并且有逐项积分公式∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===0100001)()(n n n n xnn xn nn x x n a dx x a dx x a dx x s )(I x ∈,逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数)(x s 在其收敛区间),(R R -内可导, 并且有逐项求导公式∑∑∑∞=-∞=∞=='='='110)()()(n n n n n n n n n x na x a x a x s ()x R <,逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例6 求幂级数∑∞=+011n nx n 的和函数.解 求得幂级数的收敛域为)1,1[-. 设和函数为)(x s , 即∑∞=+=011)(n n x n x s , )1,1[-∈x .显然1)0(=s . 在∑∞=++=0111)(n n x n x xs 的两边求导得： ()x x x n x xs n n n n -=='⎪⎭⎫⎝⎛+='∑∑∞=∞=+1111)(001.对上式从0到x 积分, 得)1ln(11)(0x dx x x xs x--=-=⎰.于是, 当0≠x 时, 有)1ln(1)(x xx s --=. 从而 [)()⎪⎩⎪⎨⎧=⋃∈--=,0 1 ,1,01,0- )1ln(1)(x x x xx s . 提示: 应用公式)0()()(0F x F dx x F x-='⎰, 即⎰'+=xdx x F F x F 0)()0()(.ΛΛ 11132++++++=-n x x x x x. 习题7-31．求下列幂级数的收敛区间（1）∑∞=1n nnx ； （2）∑∞=-1)1(n nn x n ；（3）∑∞=⋅+12)2(n n n n x ； （4）∑∞=++-11212)1(n n n n x ； （5）∑∞=-1)5(n n n x ； （6）∑∞=+1212n n nx n ；（7）∑∞=-1)1(2n nn x n ； （8）∑∞=-1)5(n n n x . 2. 利用逐项求导法或逐项积分法，求下列级数的和函数 （1）∑∞=-1122n n nx1<x ; （2）∑∞=--11212n n n x .第4节 函数展开成幂级数4.1函数展开成幂级数给定函数)(x f , 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数)(x f . 如果能找到这样的幂级数, 我们就说,函数)(x f 能展开成幂级数, 而该级数在收敛区间内就表达了函数)(x f .如果)(x f 在点0x 的某邻域内具有各阶导数Λ),(),(x f x f ''' Λ),()(x f n ，则当∞→n 时, )(x f 在点0x 的泰勒多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!)( )(!2)())(()()(00)(200000-+⋅⋅⋅+-''+-'+=成为幂级数)(!2)())(()(200000⋅⋅⋅+-''+-'+x x x f x x x f x f )(!)(00)(⋅⋅⋅+-+n n x x n x f 这一幂级数称为函数)(x f 的泰勒级数.显然, 当0x x =时,)(x f 的泰勒级数收敛于)(0x f .需要解决的问题: 除了0x x =外, )(x f 的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于)(x f ?定理 设函数)(x f 在点0x 的某一邻域)(0x U 内具有各阶导数, 则)(x f 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是)(x f 的泰勒公式中的余项)(x R n 当n →∞时的极限为零, 即lim ()0 n n R x →∞= 0(())x U x ∈.证明 先证必要性. 设)(x f 在)(0x U 内能展开为泰勒级数, 即)(!)( )(!2)())(()()(00)(200000⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-''+-'+=n n x x n x f x x x f x x x f x f x f , 又设)(1x s n +是)(x f 的泰勒级数的前1+n 项的和,则在)(0x U 内)(1x s n +)(x f →)(∞→n .而)(x f 的n 阶泰勒公式可写成)()()(1x R x s x f n n +=+，于是=)(x R n 1()()0n f x s x +-→)(∞→n .再证充分性. 设)(0)(∞→→n x R n 对一切)(0x U x ∈成立.因为)(x f 的n 阶泰勒公式可写成)()()(1x R x s x f n n +=+, 于是=+)(1x s n )(x f )()(x f x R n →-，即)(x f 的泰勒级数在)(0x U 内收敛, 并且收敛于)(x f .在泰勒级数中取00=x , 得⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+ !)0( !2)0()0()0()(2nn x n f x f x f f ,此级数称为)(x f 的麦克劳林级数.要把函数)(x f 展开成x 的幂级数，可以按照下列步骤进行： 第一步 求出)(x f 的各阶导数: ΛΛ),(,),(),(),()(x f x f x f x f n ''''''.第二步 求函数及其各阶导数在00=x 处的值:ΛΛ),0(,),0(),0(),0()(n f f f f '''''' .第三步 写出幂级数!)0( !2)0()0()0()(2⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+''+'+nn x n f x f x f f ,并求出收敛半径R .第四步 考察在区间(),(R R -内时是否)(0)(∞→→n x R n .1)1()!1()(lim )(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ 是否为零. 如果)(0)(∞→→n x R n , 则)(x f 在),(R R -内有展开式ΛΛ !)0( !2)0()0()0()()(2+++''+'+=nn x n f x f x f f x f )(R x R <<-.例1 试将函数xe xf =)(展开成x 的幂级数. 解 所给函数的各阶导数为),2,1()()(Λ==n e x f x n , 因此),2,1(1)0()(Λ==n fn .得到幂级数⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ !1 !2112n x n x x , 该幂级数的收敛半径+∞=R .由于对于任何有限的数ξ,x (ξ介于0与x 之间), 有)!1(||)!1( |)(|1||1+⋅<+=++n x e x n e x R n x n n ξ, 而0)!1(||lim1=++∞→n x n n , 所以0|)(|lim =∞→x R n n , 从而有展开式 2111 2!!x n e x x x n =+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ()x -∞<<+∞. 例2 将函数x x f sin )(=展开成x 的幂级数.解 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2 sin )()(πn x x fn ),2,1(Λ=n ,所以)0()(n f 顺序循环地取),3,2,1,0(,1,0,1,0ΛΛ=-n , 于是得级数⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅-+--- )!12()1( !5!312153n x x x x n n , 它的收敛半径为+∞=R .对于任何有限的数ξ,x (ξ介于0与x 之间), 有11(1)sin ||2|()| 0(1)!(1)!n n n n x R x x n n πξ+++⎛⎫+⎪⎝⎭=≤→++ n →∞.因此得展开式35211sin (1) 3!5!(21)!n n x x x x x n --=-+-+-+-L L ()x -∞<<+∞.例3 将函数mx x f )1()(+=展开成x 的幂级数, 其中m 为任意常数.解 )(x f 的各阶导数为1)1()(-+='m x m x fΛ,)1)(1()(2-+-=''m x m m x fΛΛ,)1)(1()2)(1()()(n m n x n m m m m x f -++---=所以ΛΛΛ),1()2)(1()0(,),1()0(,)0(,1)0()(+---=-=''='=n m m m m f m m f m f f n且()0n R x → 于是得幂级数ΛΛ++-⋅⋅⋅-++-++nx n n m m m x m m mx !)1( )1( !2)1(12. 以上例题是直接按照公式计算幂级数的系数，最后考察余项是否趋于零.这种直接展开的方法计算量较大，而且研究余项即使在初等函数中也不是一件容易的事.下面介绍间接展开的方法，也就是利用一些已知的函数展开式，通过幂级数的运算以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.这样做不但计算简单，而且可以避免研究余项.例4 将函数x x f cos )(=展开成x 的幂级数. 解 已知)!12()1( !5!3sin 12153ΛΛ+--+-+-=--n x x x x x n n )(+∞<<-∞x .对上式两边求导得)( )!2()1( !4!21cos 242+∞<<-∞+-+-+-=x n x x x x n n ΛΛ. 例5 将函数)1ln()(x x f +=展开成x 的幂级数.解 因为x x f +='11)(, 而x +11是收敛的等比级数∑∞=-0)1(n n n x )11(<<-x 的和函数:)1( 11132⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-=+n n x x x x x.所以将上式从0到x 逐项积分, 得)1ln()(x x f +=⎰⎰+='+=xx dx xdx x 0011])1[ln(∑⎰∑∞=+∞=+-=-=01001)1(])1([n n nx n nn n x dx x )11(≤<-x .上述展开式对1=x 也成立, 这是因为上式右端的幂级数当1=x 时收敛, 而)1ln(x +在1=x 处有定义且连续.常用展开式小结:211 1n x x x x=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅- (11)x -<<, 2111 2!!xn e x x x n =+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ()x -∞<<+∞,35211sin (1) 3!5!(21)!n n x x x x x n --=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅- ()x -∞<<+∞, 242cos 1 (1) 2!4!(2)!n n x x x x n =-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅ ()x -∞<<+∞, 2341ln(1) (1) 2341n n x x x x x x n ++=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+ (11)x -<≤,!2)1(1)1(2⋅⋅⋅+-++=+x m m mx x m (1) (1) !n m m m n x n -⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅(11)x -<<4.2 幂级数的展开式的应用4.2.1 近似计算有了函数的幂级数展开式，就可以用它进行近似计算，在展开式有意义的区间内，函数值可以利用这个级数近似的按要求计算出来.例6 计算5245的近似值(误差不超过410-).解 因为5/15555)321(323245+=+=, 所以在二项展开式中取51=m , 532=x , 即]. )32)(151(51!2132511[32452555⋅⋅⋅+-⋅-⋅+=.这个级数从第二项起是交错级数， 如果取前n 项和作为5245的近似值, 则其误差(也叫做截断误差),1+≤n n u r 可算得,103258352243||4910222-<⨯=⨯⨯⨯⨯=u 为了使误差不超过410-, 只要取其前两项作为其近似值即可. 于是有.0049.3)2432511(32455≈⋅+≈.例7 利用3!31sin x x x -≈ 求ο9sin 的近似值, 并估计误差. 解 首先把角度化成弧度,91809⨯=πο(弧度)20π=(弧度),从而()320!312020sin πππ-≈ . 其次, 估计这个近似值的精确度. 在x sin 的幂级数展开式中令20π=x , 得20!7120!5120!312020sin 753⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππππ.等式右端是一个收敛的交错级数, 且各项的绝对值单调减少. 取它的前两项之和作为20sin π的近似值, 起误差为3000001)2.0(120120!51||552<⋅<⎪⎭⎫ ⎝⎛≤πr .因此取157080.020≈π, 003876.0203≈⎪⎭⎫ ⎝⎛π.于是得 15643.09sin ≈ο，这时误差不超过510-. 例8 计算定积分dx e x ⎰-2122π的近似值, 要求误差不超过410-（取56419.01≈π）.解 将xe 的幂级数展开式中的x 换成2x -, 得到被积函数的幂级数展开式!3)(!2)(!1)(1322222Λ⋅+-+-+-+=-x x x ex 20(1)!n n n x n ∞==-∑ ()x -∞<<+∞. 于是, 根据幂级数在收敛区间内逐项可积, 得dx x n dx n x dx e n n n n n n x ⎰∑⎰∑⎰∞=∞=--=-=210202102021!)1(2]!)1([222πππ) !3721!25213211(1642Λ+⋅⋅-⋅⋅+⋅-=π. 前四项的和作为近似值, 其误差为900001!49211||84<⋅⋅≤πr , 所以5295.0)!3721!25213211(12642212≈⋅⋅-⋅⋅+⋅-≈⎰-ππdx e x .例9 计算积分dx x ⎰+5.00411的近似值, 要求误差不超过410-.解 因为ΛΛ+-+-+-=+n n x x x x x)1(11132. 所以ΛΛ )1( 111412844+-++-+-=+nn x x x x x对上式逐项积分得dx x⎰+5.00411=dx x x x x n n ])1(1[412845.00ΛΛ+-++-+-⎰ 5.0014139514)1(1319151⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++-+-=+ΛΛn n x n x x x x ΛΛ++-++-+-=+141395)5.0(14)1()5.0(131)5.0(91)5.0(515.0n n n . 上面级数为交错级数，所以误差14)5.0(141++<n n n r ，经试算 00625.0)5.0(515≈⋅，00022.0)5.0(919≈⋅，000009.0)5.0(13113≈. 所以取前三项计算，即≈+⎰dx x5.004110.49400.493970.0002200625.0-0.50000≈=+.4.2.2 欧拉公式设有复数项级数为,)()()(2211ΛΛ+++++++n n iv u iv u iv u （7-4-1）其中n n v u , ),3,2,1(Λ=n 为实常数或实函数.如果实部所成的级数ΛΛ++++n u u u 21 （7-4-2）收敛于和u ，并且虚部所成的级数ΛΛ++++n v v v 21 （7-4-3）收敛于和v ，就说级数（1）收敛且其和为iv u +.如果级数（7-4-1）各项的模所构成的级数ΛΛ+++++++2222222121n n v u v u v u收敛，则称级数（7-4-1）绝对收敛.如果级数（1）绝对收敛，由于),,2,1(,,2222Λ=+≤+≤n v u v v u u n n n n n n那么级数（7-4-2），（7-4-3）绝对收敛，从而级数（7-4-1）收敛.考察复数项级数ΛΛ+++++n z n z z !1!2112 )(iy x z += （7-4-4） 可以证明级数（7-4-4）在整个复平面上是绝对收敛的.在x 轴上)(x z =它表示指数函数x e ，在整个复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记作z e ，于是z e 定义为=z e ΛΛ+++++n z n z z !1!2112 )(∞<z （7-4-5） 当0=x 时，z 为纯虚数iy ，（7-4-5）式成为ΛΛ++++++=n iyiy n iy iy iy e)(!1)(!31)(!21132 Λ-++--+=5432!51!41!31!211y i y y i y iy)!51!31()!41!211(5342ΛΛ-+-+-+-=y y y i y y y i y sin cos +=把y 换写为x ，上式变为x i x e ixsin cos += （7-4-6）这就是欧拉公式. 应用公式（7-4-6），复数z 可以表示为指数形式：,)sin (cos θρθθρi e i z =+= （7-4-7）其中z =ρ是z 的模，z arg =θ是z 的辐角在（7-4-6）式中把x 换成x -，又有x i x e ix sin cos -=-与（7-4-6）相加、相减，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--ie e x e e x ix ixixix2sin 2cos （7-4-8）这两个式子也叫做欧拉公式.（7-4-6）式或（7-4-8）式揭示了三角函数与复变量指数函数之间的一种联系.最后，根据定义式（7-4-5），并利用幂级数的乘法，我们不难验证2121z z z z e e e =+.特殊地，取1z 为实数x ，2z 为纯虚数iy ，则有).sin (cos y i y e e e e x iy x iy x +==+这就是说，复变量指数函数ze 在iy x z +=处的值是模为xe 、辐角为y 的复数.习题7-41.将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间：（1）xa y = )1,0(≠>a a ; （2）2)1(1x y +=;（3）3sin xy =; （4）)2ln(x y -=; （5）211xy -=; （6）)1ln()1(x x y ++=.2.将函数x x f ln )(=展开成)1(-x 的幂级数.3.将函数xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数. 4.利用函数的幂级数展开式求3ln 的近似值（误差不超过0.0001）5.利用欧拉公式将函数x e xcos 展开成x 的幂级数.第5节 傅里叶级数5.1三角级数 三角函数系的正交性正弦函数是一种常见而简单的周期函数.例如描述简谐振动的函数)sin(ϕ+=wt A y ,就是一个以ωπ2为周期的正弦函数，其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 为振幅，ω为角频率，ϕ为初相.在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦函数的周期函数，它们反应了较复杂的周期运动.如电子技术中常用的周期为T 的矩形波,就是一个非正弦周期函数的例子.为了深入研究非正弦周期函数，联系到前面介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数,我们也想将周期为T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数)sin(n n t n A ϕω+组成的级数来表示，记为)sin()(10n n nt n AA t f ϕω++=∑∞= （7-5-1）其中 ),3,2,1(,,0Λ=n A A n n ϕ都是常数.将周期函数按上述方式展开，它的物理意义是很明确的，这就是把一个比较复杂的周期运动看作是许多不同频率的简谐振动的叠加.在电工学上，这种展开称为是谐波分析.其中常数项0A 称为是)(t f 的直流分量；)sin(11ϕω+t A 称为一次谐波；而)sin(22ϕω+t A ,Λ),sin(33ϕω+t A依次称为是二次谐波，三次谐波，等等.为了以后讨论方便起见，我们将正弦函数)sin(n n t n A ϕω+按三角公式变形，得)sin(n n t n A ϕω+=t n A n n ωϕcos sin +t n A n n ωϕsin cos ，并且令002A a =，n n n A a ϕsin =，n n n A b ϕcos =，lπω=，则（1）式右端的级数就可以改写为∑∞=++10)sin cos (2n n n ltn b l t n a a ππ （7-5-2） 形如（7-5-2）式的级数叫做三角级数，其中),3,2,1(,,0Λ=n b a a n n 都是常数. 令,x lt=π（7-5-2）式成为,)sin cos (21∑∞=++n n n nx b nx a a （7-5-3） 这就把以l 2为周期的三角级数转换为以π2为周期的三角级数.下面讨论以π2为周期的三角级数（7-5-3）.我们首先介绍三角函数系的正交性. 三角函数系:ΛΛ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x （7-5-4）在区间],[ππ-上正交，就是指在三角函数系（7-5-4）中任何不同的两个函数的乘积在区间],[ππ-上的积分等于零，即 ⎰-=ππ0cos nxdx ),2,1(Λ=n , ⎰-=ππ0sin nxdx ),2,1(Λ=n , ⎰-=ππ0cos sin nxdx kx ),2,1,(Λ=n k , ⎰-=ππ0sin sin nxdx kx ),,2,1,(n k n k ≠=Λ,⎰-=ππ0cos cos nxdx kx ),,2,1,(n k n k ≠=Λ. 三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间],[ππ-上的积分不等于零, 即 ⎰-=πππ212dx ,⎰-=πππnxdx 2cos ),2,1(Λ=n ,⎰-=πππnxdx 2sin ),2,1(Λ=n .5.2 函数展开成傅里叶级数设)(x f 是周期为π2的周期函数, 且能展开成三角级数:∑∞=++=10)sin cos (2)(k k k kx b kx a a x f . （7-5-5）那么系数Λ,,,110b a a 与函数)(x f 之间存在着怎样的关系? 假定三角级数可逐项积分, 则]cos sin cos cos [cos 2cos )(1⎰⎰∑⎰⎰--∞=--++=ππππππππnxdx kx b nxdx kx a nxdx a nxdx x f k k k =πn a类似地⎰-=πππn b nxdx x f sin )(，可得⎰-=πππdx x f a )(10,⎰-=πππnxdx x f a n cos )(1, ),2,1(Λ=n ,⎰-=πππnxdx x f b n sin )(1, ),2,1(Λ=n .系数Λ,,,110b a a 叫做函数)(x f 的傅里叶系数.由于当0=n 时，n a 的表达式正好给出0a ，因此，已得结果可合并写成1()cos ,(1,2,),1()sin ,(1,2,).n n a f x nxdx n b f x nxdx n ππππππ--⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩⎰⎰L L （7-5-6）将傅里叶系数代入（5）式右端，所得的三角级数∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a 叫做函数)(x f 的傅里叶级数.一个定义在),(∞+-∞上周期为π2的函数)(x f , 如果它在一个周期上可积, 则一定可以作出)(x f 的傅里叶级数. 然而, 函数)(x f 的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛, 它是否一定收敛于函数? 一般来说, 这两个问题的答案都不是肯定的.定理1 （收敛定理, 狄利克雷充分条件) 设)(x f 是周期为π2的周期函数, 如果它满足: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则)(x f 的傅里叶级数收敛, 并且当x 是)(x f 的连续点时, 级数收敛于)(x f ;当x 是)(x f 的间断点时, 级数收敛于)]()([21+-+x f x f .由定理可知，函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多，若记⎭⎬⎫⎩⎨⎧+==+-)]()([21)(|x f x f x f x C ，在C 上就成立)(x f 的傅里叶级数展开式C x nx b nx a a x f n n n ∈++=∑∞=,)sin cos (2)(1. （7-5-7） 例1 设)(x f 是周期为π2的周期函数, 它在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x f 0 1 0 1)(，将)(x f 展开成傅里叶级数.解 所给函数满足收敛定理的条件, 它在点πk x = ),2,1,0(Λ±±=k 处不连续, 在其它点处连续, 从而由收敛定理知道)(x f 的傅里叶级数收敛, 并且当πk x =时收敛于0)11(21)]0()0([21=+-=++-x f x f ,当πk x ≠时级数收敛于)(x f . 傅里叶系数计算如下:⎰⎰⎰=⋅+-==--πππππππ00cos 11cos )1(1cos )(1nxdx nxdx nxdx x f a n ),2,1(Λ=n ;⎰⎰⎰⋅+-==--πππππππ0sin 11sin )1(1sin )(1nxdx nxdx nxdx x f b n]1cos cos 1[1]cos [1]cos [100+--=-+=-πππππππn n n n nx n nxπn 2=[1-(-1)n]⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=⋅⋅⋅== 6, 4, 2,0 ,5 ,3 ,1 4n n n π.于是)(x f 的傅里叶级数展开式为] )12sin(121 3sin 31[sin 4)(⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅++=x k k x x x f π),2,,0;(Λππ±±≠+∞<<-∞x x .例2 设)(x f 是周期为π2的周期函数, 它在],(ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<<-≤≤=0 00 )(x x x x f ππ. 将)(x f 展开成傅里叶级数.解 所给函数满足收敛定理的条件, 它在点π)12(+=k x ),2,1,0(Λ±±=k 处不连续, 因此, )(x f 的傅里叶级数在π)12(+=k x 处收敛于2)0(21)]0()0([21ππ=+=+-+-x f x f . 在连续点x ))12((π+≠k x 处级数收敛于)(x f .。

第七章 无穷级数(无穷离散量之和的数学模型)无穷级数的理论在高等数学中占有重要地位。

它是与数列、极限密切相关的一个概念，它几乎与微积分同时诞生，牛顿就曾把二项式级数作为研究微积分的工具；为了解决微积分诞生时混乱的逻辑基础，拉格朗日也曾试图用无穷级数重建微积分理论，但由于当时对无穷级数认识的粗糙性，均未获成功。

无穷级数之所以难以捉摸是由于它与无穷（或无限）纠缠在一起。

随着运动和变量进入数学，无穷这个孪生鬼怪也同时降生，当时的数学家尽量避免无限，免得像阿基里斯追不上兔子一样困惑恼人。

直到19世纪中叶，才由大数学家Cauchy 揭开了无限的面纱，建立起无穷级数的严格理论。

所谓无穷级数就是无穷多个数或函数之和，它是研究无限离散量之和的数学模型，是人们认识客观事物间数量关系的一个很重要的数学工具，是数学分析的重要内容之一，是现代数学的重要方法已被广泛应用到了数学自身，以及自然科学和社会科学的各个领域。

它是高等数学中研究函数性质的一个重要工具，它可以表达一个函数（或数），也可以将一些复杂的量表示成简单量的无穷和，从而得到复杂量实用的近似计算公式。

我们将利用无限与有限的辩证关系，以极限为工具建立级数理论。

我们将级数分为两大类来研究，常数项级数（也简称为数项级数）和函数项级数，我们先介绍数项级数。

§1 常数项级数的概念与性质一、数项级数的概念1、实例 已知线段AB ，设其长为S ，取A 1为AB 的中点，A 2为A 1B 的中点，…，依次取下去，A n 为A n-1B 的中点，则n 可无限增大，记各线段长度为,,,,,122111 n n n a A A a A A a AA ===- 则得各部分线段的长度数列,,,,21n a a a ，其中S a n n 21=. 将这无穷多个数依次用加号连接，得到的应是线段的总长度表达式++++=n a a a S 21.这里出现了无穷多个数依次相加的式子，在物理、化学等许多学科中，常能遇到这种无穷多个数或函数相加的情形，在数学上给出其定义，即2、定义1 设有数列}{n u ，则称式子++++n u u u 21为（常数项）无穷级数，简称为（数项）级数，其中依次叫做级数的第1项，第2项，…，un 又叫做级数的一般项或通项，利用通项级数可简记为∑∞=1n n u ，即++++=∑∞=n n n u u u u 211. (1) 例如+++++n 21814121——等比(或几何)级数， n n u 21=，即有 ∑=∞=121,21,,81,41,21n n n .++++n 21 ， n u n =， 即有 ∑=++++=nn n n 121 .+-+-1111———波尔察诺级数， 1)1(+-=n n u ， 即有 ∑-=+-+-∞=+11)1(1111n n .注 我们只有有限多个数相加的定义，并没有无穷多个数相加的定义，因而上述定义只是形式上的定义，例如波尔察诺级数：设 +-+-+=11111x ， 则 0)11()11(=+-+-= x ；1)11()11(1=-----= x ； 211)1111(1=⇒-=+-+--=x xx .没有一个确定的数值与之对应，这是数学的精确度不可靠，还是解法有问题？是Cauchy 指出以上解法犯了“墨守成规”的错误，即把“有限运算的结合律以及有限项相加总存在和”等观念照搬到无限项的运算中去了，这一论断澄清了当时对无限运算的糊涂观念。

第七章 无穷级数【数学1要求，3傅里叶系数之前内容要求】2019考试内容常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 函数项级数的收敛域与和函数的概念 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 函数的傅里叶（Fourier ）系数与傅里叶级数 狄利克雷（Dirichlet ）定理 函数在[－l ，l]上的傅里叶级数 函数在[0，l]上的正弦级数和余弦级数2019考试要求1. 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2. 掌握几何级数与p 级数的收敛与发散的条件。

3. 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。

6. 了觖函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7. 理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10. 掌握,sin ,cos ,ln(1)(1)xe x x x x α++及的麦克劳林（Maclaurin ）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

一、三基层面及其拓展1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1lim n k n k S u ∞→∞==∑存在，称级数收敛。

第七讲 无穷级数一、主要知识点（一）常数项级数1．数项级数的概念（1）无穷级数定义：121n n n u u u u ∞==++++∑ ．（2）敛散性定义： 若S S n n =∞→lim (有限)，则级数∑∞=1n n u 收敛，其和为∑∞==1n nuS ．若n n S ∞→lim 不存在，则∑∞=1n n u 发散，没有和．2．数项级数的性质（1）级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n ku 有相同的敛散性)0(≠k ．（2）设级数∑∞=1n n u 及∑∞=1n n v ，则若S u n n =∑∞=1，σ=∑∞=1n n v ，则σ±=±∑∞=S v u n n n )(1；若∑∞=1n n u 收敛，∑∞=1n n v 发散，则)(1∑∞=±n n n v u 发散；若∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 均发散，则)(1∑∞=±n n n v u 敛散性不能确定．（3）在级数∑∞=1n n u 中添加、去掉或改变有限项不影响级数∑∞=1n n u 的敛散性．（4）设级数∑∞=1n n u 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．（5）级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件：0lim =∞→n n u ．3．正项级数∑∞=1n n u )0(≥n u 判敛法（1）收敛的基本定理：正项级数∑∞=1n n u 收敛的充分必要条件是部分和数列}{n S 有上界．（2）比较判别法1：设级数∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 均为正项级数，若存在N ，当N n >时，有n n v u ≤≤0成立，则1）若级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛．2）若级数∑∞=1n n u 发散，则级数∑∞=1n n v 发散．（3）比较法的极限形式2：设级数∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 均为正项级数，且limn n nu A v →∞=(0)n v ≠，则1）当+∞<<A 0，则级数∑∞=1n n u 与级数∑∞=1n n v 敛散性相同．2）当0=A ，若级数∑∞=1n n v 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛．3）当+∞=A ，若级数∑∞=1n n v 发散，则级数∑∞=1n n u 发散．常用作比较的级数：几何级数⎪⎩⎪⎨⎧-=∑∞=发散,10q aaqn n1||1||≥<q q ； -p 级数⎩⎨⎧=∑∞=发散收敛11n pn11≤>p p ；调和级数+++=∑∞=3121111n n是发散的．注意：若级数的分母、分子关于n 的最高次数分别为p 和q ，即1qpn n n αβ∞=++∑（其中,αβ为含n 的次数分别低于,p q 的多项式），则当1p q ->时级数收敛，当1p q -≤时级数发散． （4）比值判别法（达朗贝尔判别法）（适用于n u 中含有!n ,nn 及na 等因子）：设级数∑∞=1n n u (0≥n u )，若ρ=+∞→nn n u u 1lim，则11111n n n n u u ρρρ∞=∞=⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑若，则级数发散若，则级数收敛若，方法失效．（5）根值判别法（柯西判别法）（适用于n u 含有以n 为指数幂的因子）：设级数∑∞=1n n u (0≥n u )，若ρ=∞→nnn u lim，则11111n n n n u u ρρρ∞=∞=⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑若，则级数发散若，则级数收敛若，方法失效．注意：根值法，比值法条件是充分条件而非必要条件． （6）拉阿伯判别法：设级数∑∞=1n n u (0n u >)，若1lim (1)n n n u n u ρ→∞+-=，则11111n n n n u u ρρρ∞=∞=⎧>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑若，则级数收敛若，则级数发散若，方法失效．（7）柯西积分判别法：若函数()(0)f x x >是非负的不增函数，则级数1()n f n ∞=∑与广义积分1()f x dx +∞⎰同时收敛或同时发散．例如：级数11pn n∞=∑；21(l n )pn n n ∞=∑；21l n (l n )pn n n n ∞=∑与广义积分1pdx x+∞⎰；2(l n )pdx x x +∞⎰；2l n (l n)pdx x x x +∞⎰当1p >时同时收敛，当1p ≤时同时发散．4．一般项级数判敛法（1）交错级数)0()1(11≥-∑∞=-n n n n u u 莱布尼兹判敛法：若交错级数∑∞=--11)1(n n n u ，满足条件1）1,(1,2,)n n u u n +≤= ；2）0lim =∞→n n u ，则交错级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛，且其和1u s ≤，余项1+≤n n u R ．注意：证明比较n u 与1+n u 大小的方法有三种：1）比值法：考查11<+nn u u ；2）差值法：考查01<-+n n u u ；3）由一般项n u 找出连续可导函数)(x f ，使)(n f u n =，考查导数0)(<'x f ，函数)(x f 就是单调减少，则有n n u u <+1．（2）亚伯耳判敛法：级数1nn n uv ∞=∑(其中,n n u v 为实数)满足条件1）级数1n n u ∞=∑收敛，2）{}n v 为单调有界数列，则级数1n n n u v ∞=∑收敛．（3）狄里克利判敛法：级数1nn n uv ∞=∑(其中,n n u v 为实数)满足条件1）部分和数列1nn ii S u==∑有界，2）当n →∞时，n v 为单调趋向于零，则级数1n n n u v ∞=∑收敛．（4）绝对收敛与条件收敛判别：绝对收敛：若级数∑∞=1||n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 为绝对收敛．条件收敛：若级数∑∞=1||n n u 发散，而级数∑∞=1n n u 收敛，则称级数∑∞=1n n u 为条件收敛．若级数∑∞=1||n n u 收敛，则级数∑∞=1n n u 收敛，反之不一定成立．如∑∞=-1)1(n nn．注意：若用比值法（或根植法）判定级数∑∞=1||n n u 发散，则级数∑∞=1n n u 一定发散．（二）幂级数1．幂级数的收敛区间设幂级数∑∞=0n n n x a ，若1lim ||n n na a ρ+→∞=（或limn ρ→∞=，则收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩当时当时当时．收敛区间[],R R -、(,)R R -、[,)R R -、(,]R R -四种情况之一．注意：若幂级数为∑∞=022n nn xa 或∑∞=++01212n n n x a （即缺少项的幂级数）时，应如何求收敛半径？2．幂级数的和函数（1）幂级数和函数的性质：设幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数()S x 在区间收敛区间(,)R R -内连续、可导、可积，且可逐项求导、逐项积分，即11()(),(,)n n nn n n S x ax na xx R R ∞∞-==''==∈-∑∑，1(),(,)1x x nn n n n n a S x dx a x dx xx R R n ∞∞+====∈-+∑∑⎰⎰．（2）幂级数和函数的求法： 1）求出给定幂级数的收敛域；2）通过加、减、逐项积分或微分、变量代换（如：以x -代替x ，以2x 代替x ）等运算，将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式，如：① 当所给的幂级数系数的分母出现!n 时，常常转化到xe 的展开式；② 当所给的幂级数系数出现)!2()1(n n-或1(1)(21)!n n +-+时，常常转化到x cos 或x sin 的展开式；③ 当系数是n 的多项式时，常常通过幂级数的加、减、逐项积分或微分运算，转化到等比级数xx n n -=∑∞=110，从而得到新的幂级数的和函数．3）对于得到的和函数再做相反的分析运算，便得原幂级数的和函数．3．函数的幂级数展开（1）泰勒级数：nn n x x n x f)(!)(000)(-∑∞=；（2）麦克劳林级数：()(0)!n nn fx n ∞=∑．（3）函数展开成幂级数1）展开式的唯一性：无论用什么方法将函数展为幂级数的展开式是唯一的； 2）展开的条件：函数在某点0x 的邻域内有任意阶导数；3）展开的方法：直接展开法与间接展开法．（4）直接展开法：利用泰勒级数nn n x x n x f)(!)(000)(-∑∞=，按下列步骤将函数)(x f 在点0x 展开．1）先求出函数)(x f 的各阶导数在0x x =处的值)(0x f ，0()f x '()00()()n f x fx ''再写出级数nn n x x n x f)(!)(000)(-∑∞=；2）写出拉格朗日余项)!1())(()(10)1(+-=++n x x fx R n n n ξ ，证明lim ()n n R x →∞是否趋于零，若lim ()0n n R x →∞=，则nn n x x n x fx f )(!)()(000)(-=∑∞=，即函数)(x f 在0x 处能展开成泰勒级数．3）求出收敛区间．（5）间接展开法：利用下面已知的6个函数的展开式，通过适当的变量代替，四则运算，复合及逐项积分、微分运算将一个函数展开成幂级数——间接展开法． 常用的函数展开式1）23011,(1,1)1nnn x x x x x x x ∞==++++++=∈--∑；2）23011(1)(1),(1,1)1n nnnn x x x x x x x∞==-+-++-+=-∈-+∑ ；3）231111,(,)2!3!!!nxnn xe x x x x x n n ∞==++++++=∈-∞+∞∑；4）212135011sin (1)(1),(,)3!5!(21)!(21)!n n nnn xxx x x x x n n ++∞==-+-+-+=-∈-∞+∞++∑ ；5）2224011cos 1(1)(1),(,)2!4!(2)!(2)!nnnnn xxx x x x n n ∞==-+-+-+=-∈-∞+∞∑ ；6）1231111(1)ln(1)(1),(1,1]23nn nn n xxx x x x x nn-∞-=-+=-+-+-+=∈-∑；7）2(1)(1)(1)(1)1,2!!nn x x x x n ααααααα---++=+++++1(1)(1)1,(1,1)!nn n x x n ααα∞=--+=+∈-∑．（三）傅里叶级数1．周期函数的傅立叶级数（1）以2π为周期函数：设)(x f 在区间],[ππ-上是可积函数， ⎰-==πππ),2,1,0(,c o s )(1n n x d x x f a n ⎰-==πππ),2,1(,sin )(1n nxdx x f b n则称级数∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa为函数)(x f 的傅里叶级数，称n n b a ,为傅里叶系数． （2）以2l 为周期函数：设)(x f 在区间],[l l -上是可积函数， ⎰-==l l n n dx l x n x f l a ),2,1,0(,cos )(1 π ⎰-==l ln n dx lx n x f lb ),2,1(,sin)(1 π则称级数∑∞=++10)sincos(2n n n lx n b lx n a a ππ为函数)(x f 的傅里叶级数，称n n b a ,为傅里叶系数．2．傅立叶级数收敛定理设函数)(x f 满足狄里克雷条件1）在区间],[l l -上连续或只有有限个第一类间断点； 2）在区间],[l l -上只有有限个极值点， 则傅里叶级数∑∞=++10)sincos(2n n n lx n b lx n a a ππ在区间],[l l -上收敛，并且其和函数)(x f 有1）当x 为)(x f 连续点时，∑∞=++10)sincos(2n n n lx n b lx n a a ππ)(x f =；2）当x 为)(x f 间断点时，∑∞=++10)sincos(2n n n l x n b l x n a a ππ2)0()0(++-=x f x f ；3）当x 为)(x f 端点时，∑∞=++10)sincos (2n n n lx n b lx n a a ππ2)0()0(-++-=l f l f ．3．奇偶函数展开为傅立叶级数正弦级数：nx b n n sin 1∑∞=，其中⎰=ππsin )(2nxdx x f b n ，1,2,n = ；余弦级数：nx a a n n cos 210∑∞=+，其中⎰=ππcos )(2nxdx x f a n ，1,2,n = ．二．例题分析1． 判别常数项级数敛散性例1．设∞=∞→n n a lim ，且0≠n a ，判别级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111n n na a 的敛散性． 解： 令111+-=n n n a a u ，则前n 项的部分和111322111)11()11()11(++-=-++-+-=n n nn a a a a a a a a S ，因为01lim1=+∞→n n a ，所以11lim a S n n =∞→，即原级数收敛且其和11a S =．例2．判别级数下列级数敛散性（1）∑∞=-1)cos1(n nπ； （2）11n ∞=∑（3）若级数)0(1≥∑∞=n n n a a 收敛，则级数∑∞=1n n na 收敛．解：（1）因为nn2sin2cos12ππ=-，所以将其与级数∑∑∞=∞==222212)2(2n n nn ππ比较，又因为 1)2(22s i n2lim222=∞→n nn ππ，所以级数nn 2sin221π∑∞=收敛，从而级数∑∞=-1)cos1(n nπ收敛．（2）将级数1n ∞=∑211n n∞=∑进行比较，即求极限222l i ml i m1(!)n n n n u nn n→∞→∞=，令22(!)n nny n =，则21ln 2ln 2ln !2[ln ln !]n y n n n n nn=-=-12[(l n l n 1)(l nl n 2)(l n l n)]nn nn n=-+-+-112l nni i n n==-∑，于是 1011l i m l n 2l i ml n 2l n l n 2nn n n i i y xdx n n→∞→∞==-=-=∑⎰， 所以 2l i m n n y e →∞=，因此由级数∑∞=121n n收敛得到级数1n ∞=∑（3）由于)1(21122na na na n n n +≤⋅=，而且级数∑∞=1n n a 与级数∑∞=121n n均收敛，所以级数∑∞=1n n na 收敛．练习题：判别级数的敛散性（1）)0,0(1>>∑∞=s a na n sn ；当1<a 时，级数收敛，当1>a 时，级数发散，当1=a 时，级数为∑∞=11n sn，这是p 级数，当1>s 时收敛，当1≤s 时发散．（2）∑∞=1!3n nnnn ；（发散） （3）)0(111>+∑∞=a an n；（1>a 收敛，1≤a 发散） （4）∑∞=1233cosn nn n π；(收敛) （5）∑∞=+-+111)1(n n n n n．（收敛）例3．判别下列级数敛散性，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？（1）1)1ln()1(1++-∑∞=n n n n； （2）1!(1)nnnn e n n∞=-∑；（3）当k 为何值时，级数221(1)(ln )nkn n n ∞=-∑收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？解：（1）先考虑正项级数1)1ln(1++∑∞=n n n ．将级数1)1ln(1++∑∞=n n n 与级数111+∑∞=n n 进行比较，因为)2(,1)1l n (11>++<+n n n n ，由级数111+∑∞=n n 的发散，即可得级数1)1ln(1++∑∞=n n n 发散，但是交错级数1)1ln()1(1++-∑∞=n n n n，满足条件：1）ln(1)ln(1)1limlimlim0111n x x n x n x x →∞→+∞→+∞++===+++，2）n n u u <+1，证明之， 令 1)1l n ()()(++===x x x f n f u n ，因为导数1ln(1)()0,(3)1x f x x x -+'=<≥+，所以函数)(x f 当3≥x 时，是单调减少的，从而 n n u u ≤+1，),4,3( =n ，于是，由莱布尼兹判别法知级数1)1ln()1(1++-∑∞=n n n n条件收敛．（2）先考虑正项级数1!nnn e n n∞=∑，因为111(1)!(1)1!(1)n n n nnnnen u e n e n u nn+++++==+，而1(1)ne n+<，所以11(1,2,)n nu u +> ，于是11n n u u u e ->>>= ，则lim 0n n u →∞≠，从而lim (1)0n n n u →∞-≠，故原级数1!(1)nnnn e n n∞=-∑发散．（3）当1k ≥时，22110ln ln kn nn n<≤，由级数221ln n n n∞=∑收敛得到级数221ln kn n n∞=∑收敛，所以当1k ≥时，级数221ln kn n n ∞=∑绝对收敛；当01k ≤<时，由于211ln k n nn>，由级数21n n∞=∑发散得到级数221ln kn n n∞=∑发散，由因为21ln n ku n n=单调减少，且21lim0ln kn n n→∞=，2莱布尼茨判别法知级数221(1)(ln )nkn n n ∞=-∑收敛，于是级数221(1)(ln )nkn n n ∞=-∑条件收敛；当0k <时，由于21lim0ln kn n n→∞=∞≠，则级数221(1)(ln )nkn n n ∞=-∑发散．练习题：判断下列级数的敛散性，若收敛则说明是绝对收敛还是条件收敛？（1）1ln (1)nn n n∞=-∑；（条件收敛）（2）11(1)(1)!n nn nn +∞=-+∑．（发散）例4．设1211211212345632313n u n n n=+-++-+++--- ，111123n v n n n=++++ ，求（1）1010u v ；（2）lim n n u →∞．解：因为1211211212345632313n u n n n=+-++-+++---11111111234532313n n n =++++++++-- 21212121[()()()()]33669933n n -++++++++111111111(1)2345323n n =++++++-++++ ， 所以（1）10111111121330u =++++，10111111121330v =++++，于是10101u v =； （2）由于当n →∞时，1111ln 23n C n++++-→ （0.577216C ≈称欧拉常数），则有1111ln 23n C n nε++++=++ ，（其中n ε为无穷小） 于是 111111111(1)2345323n u n n=++++++-++++ l n 3(l n )n n C n C n τε=++-++，（其中,n n τε为无穷小） 3lnn n n nτε=+-，故3lim lim [ln]ln 3n n n n n n u nτε→∞→∞=+-=．2．求幂级数收敛域、收敛区间例5．求下列幂级数的收敛域（1）nn x n n ∑∞=12)!2()!(； （2）nn n xn n 212)1(∑∞=-+；（3）∑∞=--1)21(2)1(n nnnx n； （4）∑∞=+⨯+1129)13(n nn n x ．解：（1）因为4121)12(1lim)!2()!()!22(])!1[(limlim221=++=++==∞→∞→+∞→n n n n n n a a n n nn n ρ，所以收敛半径为4=R ．当4=x 时，原级数为∑∞=124)!2()!(n nn n ，令nn n n b 4)!2()!(2=，因为112221>++=+n n b b nn ，则0211>=>>>-b b b n n ，所以0lim ≠∞→n n b ，因此级数发散；当4-=x 时，原级数为∑∞=-12)4()!2()!(n nn n ，由于0lim ≠∞→n n b ，所以0)1(lim ≠-∞→n nn b ，因此级数发散，于是级数nn x n n ∑∞=12)!2()!(收敛域为)4,4(-．（2）令t x =2，则nn n t n n 2)1(1∑∞=-+=nn t nn ∑∞=++112，因为 221121111lim22121lim1=+++++=+++++=∞→+∞→nnn n n n n n nn n ρ，所以级数nn t nn ∑∞=++112的收敛半径为12R '=，从而级数nn n xn n 212)1(∑∞=-+的收敛半径为21=R ，当21±=x 时，级数∑∑∞=∞=++=++1111)21(12n nn nnn n n 发散，因此原幂级数的收敛域为)21,21(-．（3）令t x =-21，则=--∑∞=1)21(2)1(n nnnx n∑∞=-12)1(n nnnt n，因为 2112lim212lim1=+=+=∞→+∞→nnn n nn n ρ，所以幂级数12(1)nnnn ∞=-∑的收敛半径为12R '=，从而原级数∑∞=--1)21(2)1(n nnnx n的收敛半径为21=R ，当21-=x 时，级数∑∑∞=∞==--111)21(2)1(n n nnnnn 发散；当21=x 时，级数∑∑∞=∞=-=-11)1()21(2)1(n nn nnnnn 收敛，因此幂级数1(1)nnnn ∞=-∑的收敛域为]21,21(-． 又因为t x =-21，则212121≤-<-x ，从中解出10≤<x ，于是原级数∑∞=--1)21(2)1(n nnnx n的收敛域为]1,0(．（4）设nn n n x x u 9)13()(12++=，因为由比值法211232|13|919)1(|13|9|13|lim)()(lim)(+=+++==+++∞→+∞→x n x n x x u x u x n n n n n n n n ρ，所以，当1|13|91)(2<+=x x ρ，即3234<<-x 时，原级数绝对收敛；当1|13|91)(2<+=x x ρ，即34-<x 或32>x 时，原级数发散；又当34-=x 时，原级数为∑∞=-13n n发散；当32=x 时，原级数为∑∞=13n n发散，因此该幂级数的收敛域为)32,34(-． 练习题：求下列幂级数的收敛半径及收敛域1．11(3(2))nnnn x n ∞=+-∑；（[,3)-） 2．12141-∞=∑n n nxn ；（)2,2(-）3．∑∞=-⨯--1215)2()1(n nnn n x ．(]52,52[,5+-=R )例6．设111123n u n=++++，求幂级数1nn nxu ∞=∑的收敛半径、收敛区间及收敛域． 解：因为1111111123limlimlim11111231n n n n n nn u n u u u n ρ→∞→∞→∞++++++====+++++ ，所以收敛半径为1R =，收敛区间为收敛区间（－1,1）． 当1x =-时，级数1(1)nn nu ∞=-∑为交错级数，且1111lim0,n nnn u u u →∞+=>，由莱布尼茨判别法知级数1(1)nn nu ∞=-∑收敛；当1x =时，由于2n u n <，即有112nu n>，所以级数11n nu ∞=∑，于是幂级数1nn nxu ∞=∑的收敛域为[1,1)-．3．幂级数的求和（1）求出给定幂级数的收敛域；（2）通过加、减、逐项积分或微分、变量代换（如：以x -代替x ，以2x 代替x ）等等运算，将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式，如：① 当所给的幂级数系数的分母出现!n 时，常常转化到x e 的展开式；② 当所给的幂级数系数出现)!2()1(n n-或)!12()1(1---n n 时，常常转化到x cos 或x sin 的展开式；③ 当系数是n 的多项式时，常常通过幂级数的加、减、逐项积分或微分运算，转化到等比级数xx n n -=∑∞=110，从而得到新的幂级数的和函数；（3）对于得到的和函数再做相反的分析运算，便得原幂级数的和函数． 例7．求下列幂级数的和函数（1）)1(21212-∞=∑-n n nxn ； （2）∑∞=+1)1(n nn n x； （3）20(2)!nn xn ∞=∑；（4）求nn x n n ∑∞=+1!1的和函数，并由此求nn n n 8!11∑∞=+之值．解：（1）先求收敛域因为2222211211212lim21)12(2212limlimx xn n xn xn u u n n nnn n nn n =-+=-+==∞→-+∞→+∞→ρ，当1212<=xρ，即2||<x 时，幂级数)1(21212-∞=∑-n n nxn 收敛；当1212>=xρ，即2||>x 时，幂级数)1(21212-∞=∑-n n nxn 发散；当2||±=x 时，幂级数∑∑∞=-∞=-=-1112122212n n n nn n 发散，因此该级数)1(21212-∞=∑-n n nxn 的收敛域为)2,2(-．再求其和函数，当0≠x 时=)(x S )1(21212-∞=∑-n n nxn 211()2n nn x-∞='=∑2112n nn x -∞='⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 2221112()212n n x x xx x ∞='⎛⎫'⎪⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭∑ 222222(2)xx xx '+⎛⎫== ⎪--⎝⎭，)0(≠x 当0=x 时，21)0(=S ．于是该幂级数的和函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-+=0,210,)2(2)(222x x x x x S ． （2）显然幂级数∑∞=+1)1(n nn n x的收敛区间为]1,1[-，求和函数)(x S ：当0=x 时，0)0(=S ；当0≠x 时，因为 ()1n 1n 1()(1)n nx xxS x n n n +∞∞=='⎛⎫'==⎪+⎝⎭∑∑，且 ()11n 1n111()()(1)1n n n n xxxS x xn n nx+∞∞∞-===''⎛⎫'''====⎪+-⎝⎭∑∑∑，两边积分得 ()01()l n (1)1x x S x d x x x'==---⎰， 两边再积分一次得 0()l n (1)(1)l n (1)x x S x x d x x x x=--=---⎰， 因此 )1l n ()11(1)(x xx S ---=，于是该幂级数的和函数为⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=0,0)1,0()0,1(),1ln()11(1)(x x x xx S ．（3）级数的收敛域为(,)-∞+∞,令22421()1(2)!2!4!(2)!nnn xxxxs x n n ∞===+++++∑ ，两边求导，得213211()(21)!1!3!(21)!n n n xxxxs x n n --∞='==++++--∑于是有 234212()()1!2!3!4!(21)!(2)!n nx xxxxxs x s x n n -'+=++++++-而23421211!2!3!4!(21)!(2)!n nxx xxxxxe n n -=+++++++-所以()()xs x s x e '+= 这为一阶非齐次线性微分方程，可解得通解为1()2xxs x C ee -=+,由初始条件(0)1s =，得12C =,故 201()(2)!2nx xn xe en ∞-==+∑.（4）先求幂级数nn x n n ∑∞=+1!1的收敛域， 因为0)!1(2lim1!)!1(2limlim1=++=+++==∞→∞→+∞→n n n n n n u u n n nn n ρ，所以收敛半径为+∞=R ，收敛区间为),(+∞-∞．再求和函数，因为该幂级数的系数带有!n ，所以它的和函数与指数函数x e 有关．于是 =)(x S nn xn n ∑∞=+1!11111(1)!!nnn n x xn n ∞∞===+-∑∑11111(1)!!n nn n x xx n n ∞∞-===+--∑∑1)1(1-+=-+=xxxe x e xe，),(+∞-∞∈x ，最后取8=x ，得118!nn n n ∞=+=∑198-e ．练习题：求下列幂级数的和函数（1）∑∞=+0)1(n n x n ；（)1,1(,)1(1)(2-∈-=x x x S ）（2）∑∞=+11n nx n n．（⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈-+-=0,0)1,0()0,1(),1ln(111)(x x x x x x S ）例8．计算下列各题：（1）设幂级数0n n n a x ∞=∑的系数满足012,1,(1,2,)n n a na a n n -==+-= ，求此幂级数的和函数．（2）设12211,1,23,(1)n n n a a a a a n ++===+≥，求幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径、收敛域及和函数．（3）求级数31()n n x ∞=∑中20x 的系数．解：（1）据题意知1(1)1n n n a a --=-，因此 120111111(1)(1)(1)1!!n n n a a a a nn n n n ---=-=-==-=- ，所以 11!n a n =+，于是为11()(1)!!nnnnnn n n n s x ax xx xn n ∞∞∞∞======+=+∑∑∑∑1||11x e x x=+<-． （2）因为2123n n n a a a ++=+为差分方程，则特征方程为 2230r r --=， 其根为123,1r r ==-，所以11123(1)n n n a c c --=+-，由121,1a a ==得12121,31c c c c +=-=，求出1212c c ==，所以111(3(1))2n n n a --=+-．下面讨论级数11111(3(1))2nn n nn n n a x x ∞∞--===+-∑∑，因为 11111(1)33(1)3limlimlim 313(1)1()3nn n n n n n n n n n nu u ρ-+--→∞→∞→∞--++-====+-+-，所以幂级数12(1)nnnn ∞=-∑的收敛半径为12R '=，从而原级数1111(3(1))2n n nn x ∞--=+-∑的收敛半径为13R =，当13x =-时，级数11111(1)1(3(1))()[()]333nn n nnn n ∞∞--==-+--=-∑∑发散； 当13x =时，级数111111(1)(3(1))()[]333nn n nnn n ∞∞--==-+-=-∑∑发散，因此幂级数1111(3(1))2n n nn x ∞--=+-∑的收敛域为11(,)33-． 设111111111()(3(1))[(3)(1)]223n n nnn nn n n s x x x x ∞∞∞---====+-=+-∑∑∑131(1)61321(13)(1)xxx x xxx x -=+=-+-+，11(,)33x ∈-．（3）因为333311()()()11n n x x x xx∞===--∑，因为230111nnn xx x x x x∞===++++++-∑ ，该式两边两阶导数，得23223243(2)(1)(1)nx x n n x x =+⋅+⋅+++++- 0(2)(1)nn nn x ∞==++∑，于是31(2)(1)(1)2nn n n x x ∞=++=-∑，则3333311(2)(1)()()()112n n n n xn n x x xxx∞∞+==++===--∑∑，故级数31()n n x ∞=∑中20x 的系数为19181712⨯=．4．求数项级数的和方法：1）利用级数收敛的定义：先求出部分和n S ，再求其极限S S n n =∞→lim 为所求；2）引入相应的幂级数：① 找一个幂级数n n n x a ∑∞=1，使n nn u x a =0；② 求幂级数nn n x a ∑∞=1的收敛区间(,)R R -，若当0(,)x R R ∈-时，幂级数01nn n a x ∞=∑收敛，则∑∞=1n n u 也收敛；③ 求出幂级数n n n x a ∑∞=1的和函数)(x S ，再让x 在收敛区间内取个特定的值0x x =，即可求出其和．例9．求下列数项级数的和：（1）1n S ∞==∑；（2）∑∞==12n nnS ；（3）∑∞=12!n n n； （4）01(1)(21)!nn n n ∞=+-+∑．解：（1）因为)1()12(+-++-+=n n n n u n ，所以+-+-+-+-=+++=)]32()34[()]21()23[(21n n u u u S+--+-+++-+-+)]1()1[()]43()45[(n n n n)]1()12[(+-++-++n n n n)12(21+-++-=n n12121++++-=n n ．因此该级数的和∑∞=++-+=1)122(n n n n S 21lim -==∞→n n S ．（2）解：设幂级数nn x n ∑∞=1，只要求出幂级数n n x n ∑∞=1在点210=x 收敛，且其和即为数项级数∑∞==12n nnS 的和．显然级数n n x n ∑∞=1的收敛区间为)1,1(-，和函数1111()()nn nn n n S x nxx nxx x ∞∞∞-==='===∑∑∑211(1)n n x x x x x x x ∞=''⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑． 当21=x 时，∑∞==12)21(n nn S 2)211(212=-=， 即所求的数项级数的和为221==∑∞=n nn S ．或用另一方法如下：该级数的部分和nn n S 223222132++++=，且1432223222121+++++=n n n S ，上两式相减得11322211))21(1(2122121212121++---=-++++=n nn nn n n S ，从而n n n nS 2))21(1(2--=，于是 2]2))21(1(2[lim lim =--==∞→∞→n n n n n nS S ．（3）根据该数项级数的特点，先考虑指数函数xe 的幂级数12012!(1)!(2)!n n n xn n n xxxe n n n --∞∞∞======--∑∑∑，取1=x 得，012111!(1)!(2)!n n n e n n n ∞∞∞======--∑∑∑，因此级数的和∑∞=12!n n n1111(1)!(1)!n n n n n n ∞∞==-+===--∑∑21112(2)!(1)!n n e n n ∞∞==+=--∑∑．（4）因为)!12(1)1(0++-∑∞=n n n n)!12(22)1(210++-=∑∞=n n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-=∑∞=)!12(1)!12(12)1(210n n n n n 01111(1)(1)2(2)!2(21)!nnn n n n ∞∞===-+-+∑∑又由于正弦函数)!12()1(sin 120+-=+∞=∑n xx n n n，余弦函数)!2()1(cos 20n xx nn n∑∞=-=，取1=x ，得)!12(1)1(1sin 0+-=∑∞=n n n，)!2(1)1(1cos 0n n n∑∞=-=，于是)!12(1)1(0++-∑∞=n n n n1(c o s 1s i n 1)2=+． 练习题 求下列数项级数的和（1）1121211()n n n aa∞+-=-∑；(1a -)（2）1312nn n ∞=-∑．（提示：考虑1(31)n n n x ∞=-∑，结果为5）例10．求极限])2....(842[lim 312719131nnn ∞→．解： 因为该级数的一般项为23111231113339273333[248 (2)]22ninni n i n=++++∑== ，所以若求出级数∑∞=13n nn 的和，则∑=∞=∞→133127191312])2....(842[lim n nnn nn ．先求出幂级数∑∞=1n nnx 的和，再取31=x 即得数项级数∑∞=13n nn 的和．因为 1111()()nn nn n n S x n x x n x x x∞∞∞-==='===∑∑∑21()()1(1)nn x x x x x xx ∞=''===--∑，所以 43)311(313)31(20=-==∑∞=n nnS ， 从而 211121113l i m ()3339273334l i m [248 (2)]222nnnn n nn nn ∞→∞=+++→∞∑=== ． 5．函数展为幂级数（用间接法展开）例11．将下列函数展为x 的幂级数 （1） )1ln()(2++=x x x f ；（2）将)1()(xe dxd x f x-=展开为x 的幂级数，并求数项级数∑∞=+1)!1(n n n 的和；（3）已知61212π=∑∞=n n，求定积分dx xx ⎰-101ln ．解：（1）因为=)(x f )1ln(2++x x 的导数为122()(1)f x x -'=+，),21(2x u m =-=，又导函数122()(1)f x x -'=+的展开式为122()(1)f x x -'=+++-----++---+-+=nxn n x x 242)121()121)(21(!1)121)(21(!21)21(1+--+++-=nnxn n x x 242!)!2(!)!12()1(!!4!!3211∑∞=--+=12!)!2(!)!12()1(1n nnxn n ，上式两边从0到x 积分，得)11(,12!)!2(!)!12()1()(112≤≤-+--+=∑∞=+x n x n n x x f n n n．（2）因为 ),(,!!1!31!211032+∞-∞∈=++++++=∑∞=x n xx n x x x e n nnx，所以xe x1-+∞<<=++++++=∑∞=--||0,!!1413121111132x n xxn x x x n n n上式两边对x 求导，得 )1()(xe dx d xf x-=1122)!1(!1433221-∞=-∑+=+-++++=n n n xn nxn n x x ，当1=x ，即可得11)1()1()!1(1211=+-=-==+==∞=∑x xxx xn xe xexe dxd f n n．（3）因为)1,1(,110-∈=-∑∞=x x x n n，所以111ln ln ()(ln )1nnn n xdx x x dx x xdx x∞∞====-∑∑⎰⎰⎰11112000ln 1(1)n n n x x x n n +∞+=⎡⎤=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦∑ 1200ln 1lim 1(1)n x n x x n n ∞+→+=⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦∑。