厂商理论概述

厂商理论在这一章里我们研究经济的供给边，研究商品和服务是任何生产出来的，生产商品和服务的基本单位我们称之为厂商。

这里研究的厂商是完全竞争的厂商，它们的市场力很小，不能影响商品和服务的价格，每一个厂商是无数多个厂商中的一个。

4.1 生产集和以前一样，我们假设商品的个数为n 。

一个生产向量（投入-产出向量或生产计划）是一个向量n n R y y y ∈=),(1 ，其中正数表示产出，负数表示投入，并且生产向量的元素可以等于0，这意味着这个商品既没有被生产也没有用来作为投入。

例如如果)0,3,6,2,5(,5--==y n 意味着利用5个单位的商品1和6个单位的商品3生产出2个单位的商品2和3个单位的商品4，商品5既没有被生产也没有用来作为投入。

并不是每一个生产向量都是技术上可行的，所有的技术上可行的生产向量构成的集合称为生产集，记为Y 。

Y 就代表了厂商的技术水平。

从短期看，有些投入是固定的，集合}:{)(i z y Y y z Y i 对某个=∈=称为短期或约束生产集。

有时我们也用一个函数)(⋅F 来描述生产集，这个函数称为变换函数，它满足如下性质：}0)(:{≤∈=y F Y y Y 并且0)(=y F 当且仅当y 是Y 的边界元。

集合{}0)(:=∈y F R y n称为变换边界。

如果)(⋅F 是可微的，生产向量y 满足0)(=y F ，那么对于任意的商品k l 和，比率 k llk y y F y y F y MRT ∂∂∂∂=)()()(被称为商品l 对于商品k 在y 处的边际变换率，它测度的是如果减少一个单位的商品l 应该增加多少单位的商品k 。

因为，由0)(=y F ，我们有0)()(=∂∂+∂∂l lk k dy y y F dy y y F故有 k l l k y y F y y F dy dy ∂∂∂∂-=)()( 生产向量Y y ∈称为有效的，如果不存在y y Y y >'∈',。

如果厂商只生产一种商品，不妨设为第n 种商品，那么生产集中的元素可写为),(y x -，其中+-+∈∈R y R x n ,1。

集合}),(:{)(1Y y x R x y V n ∈-∈=-+称为投入要求集。

)(y V 表示的是所有能生产出y 单位产出的投入组合集。

集合})()(:{)(1y y y V x y V x R x y Q n >''∉∈∈=-+对所有但称为等产量集，它表示恰好能生产y 单位产出的投入组合集。

}),(:max{)(Y y x y x f ∈-=称为生产函数。

固定产出水平为y 且y x f =)(，我们能定义投入l 关于投入k 在x 处的边际技术替代率为 k llk x x f x x f x MRTS ∂∂∂∂=)()()(，它测度的是为保持产出水平不变减少一个单位的投入l 需增加多少单位的投入k 。

事实上，由y x f =)(，我们有 0)()(=∂∂+∂∂k kl l dx x x f dx x x f ，故有 k l l k x x f x x f dx dx ∂∂∂∂-=)()(。

例子4.1.1：柯比-道格拉斯技术假设a 是一个参数，且10<<a ，柯比-道格拉斯技术能用下列生产集表示}:),,{(121321a a x x y R y x x Y -≤∈--=相应地有}:),{()(121221a a x x y R x x y V -+≤∈=}:),{()(121221a a x x y R x x y Q -+=∈=},:),,{()(2121321z x x x y R y x x z Y a a =≤∈--=-aa x x y y x x F --=--12121),,(a a x x x x f -=12121),(例子4.1.2：里昂惕夫技术假设b a ,是参数，且0,0>>b a 。

里昂惕夫技术由下述生产集表示 )},m in(:),,{(21321bx ax y R y x x Y ≤∈--=相应地有)},m in(:),{()(21221bx ax y R x x y V ≤∈=+)},m in(:),{()(21221bx ax y R x x y Q =∈=+ ),mi n (),,(2121bx axy y x x F -=-- ),mi n (),(2121bx axx x f =4.2 生产集的性质在这一节里我们给出生产集的性质，这些性质通常被假设生产集具有。

它们中的每一个都是在特定的环境下成立，甚至下列性质有些是相互排斥的。

（1）Y 是非空的。

这个假设是说厂商一定有事情可干，否则我们没有必要研究它的行为。

（2）Y 是闭集。

也即如果,,y y Y y n n →∈那么Y y ∈。

这个假设纯粹是技术上的考虑。

（3）没有免费的午餐。

如果Y y ∈，0≥y ，那么一定有0=y 。

这也即是说没有任何投入是不可能生产出产出的。

（4）不生产是可能的。

这也即是说Y ∈0。

（5）自由处置。

它的意思是如果y y Y y ≤'∈,，那么一定有Y y ∈'。

或Y R Y n ⊂-+。

经济解释为额外数量的投入能够自由处置。

（6）不可逆性。

假设0,≠∈y Y y 。

不可逆性是说Y y ∈-。

换句话说，一旦一定量的投入组合产生了一定量的产出，要想使同样的产出转换成同样的投入是不可能的。

（7）非递增的规模报酬。

如果对于任意的,Y y ∈]1,0[∈α，有α,Y y ∈那么生产技术Y 具有非递增的规模报酬。

换句话说，任意可行的投入-产出向量的规模能够被成比例地减少。

注意到，非递增的规模报酬蕴涵不生产是可能的。

（8）非递减的规模报酬。

如果对于任意的,Y y ∈1≥α，有α,Y y ∈那么生产技术Y 具有非递减的规模报酬。

换句话说，任意可行的投入-产出向量的规模能够被成比例地增加。

（9）常数规模报酬。

如果对于任意的,Y y ∈0≥α，有α,Y y ∈那么生产技术Y 具有常数规模报酬。

（10）可加性。

假设,Y y ∈,Y y ∈'可加性要求Y y y ∈'+。

或简单地，Y Y Y ⊂+。

这蕴涵着对于任意的正整数k ，有Y ky ∈。

（11）凸性。

假设生产集Y 是凸的，也即如果,Y y ∈,Y y ∈']1,0[∈α，那么Y y y ∈'-+)1(αα。

这是微观经济学中的基本假设之一。

如果不生产是可能的，也即Y ∈0，那么凸性蕴涵Y 具有非递增的规模报酬。

（12）Y 是一个凸锥。

如果,Y y ∈,Y y ∈'常数0,0≥≥βα，有Y y y ∈'+βα，那么Y 是一个凸锥。

命题4.2.1 ：生产集Y 是可加的并且满足非递增报酬条件当且仅当它是一个凸锥。

证明：凸锥的定义直接蕴涵可加性和非递增报酬。

反过来，如果可加性和非递增报酬成立，我们想要证明对于任意,Y y ∈,Y y ∈'常数0,0≥≥βα，有Y y y ∈'+βα。

为此，设k 是满足},max{βα>k 的整数，由可加性，Y ky ∈，Y y k ∈'。

由于ky k y )/(αα=，非递增报酬条件蕴涵Y y ∈α。

相似地，Y y ∈'β。

又由可加性，Y y y ∈'+βα。

4.3 利润最大化和成本最小化在这一节里，我们开始研究厂商的市场行为。

和研究消费需求一样，我们假设n 种商品的价格为,0),,(1>>=n p p p 并且它是独立于厂商的生产计划的。

我们假设厂商的目标是最大化它的利润。

并且，我们一直假设厂商的生产集Y 满足非空性，闭性和自由处置。

4.3.1 利润最大化问题给定一个价格向量0),,(1>>=n p p p 和一个生产计划n R y ∈，厂商选择生产计划n R y ∈所产生的利润为l nl l y p py ∑==1。

由于在一个生产计划中，投入被记为负数，产出被记为正数，从而l nl l y p py ∑==1刚好是总收益减去总的成本，也即利润。

给定厂商的技术约束，它由生产集Y 表示，厂商的利润最大化问题为：Yy t s y p Max y∈⋅.. 如果使用表示生产集Y 的变换函数)(⋅F ，那么厂商的利润最大化问题可以等价地写为： 0)(..≤⋅y F t s yp Max y给定生产集Y ，对应每一个价格向量0),,(1>>=n p p p ，厂商的利润函数}:{)(Y y y p Max p ∈⋅=π，也即是利润最大化问题的解的值。

厂商的供给对应)}(:{)(p y p Y y p y π=⋅∈=，也即是使得利润达到最大的生产计划的集合。

一般地，)(p y 是一个集合，而不是一个单个的向量。

也有可能不存在使得利润达到最大的生产计划。

例如，假设2=n ，厂商使用一个单位的物品1生产出一个单位的物品2，也即是它的生产技术是常数规模报酬的，如果12p p ≤，那么0)(=p π。

如果12p p >，那么厂商的利润为212)(y p p -，这里2y 是物品2 的产出水平，显然，选择适当的2y ，可以使得利润任意大。

因此，如果12p p >，+∞=)(p π。

如果变换函数)(⋅F 是可微的，那么利润最大化问题的解可以用一阶条件来刻划。

如果)(*p y y ∈，那么，对于某个0≥λ，*y 必须满足如下的一阶条件：n l y y F p ll ,,1,)(* =∂∂=λ 或，用矩阵记号，上面的一阶条件可表示为：)(*y F p ∇=λ （4.3.1） 由此一阶条件可得到下列等式： ),(/*y MRT p p lk k l =对于所有的k l ,如果不是这样，厂商的生产计划的一个微小的改变能够增加它的利润。

当生产集Y 对应的是具有可微生产函数)(z f 的单产出的技术时，我们能够把厂商的决策问题归结为对投入水平z 的选择。

在这种特殊的情形下，我们用标量0>p 记为厂商的产品的价格，向量0>>w 记为厂商的投入的价格。

此时厂商的利润最大化问题可表示为：z w z pf Max z ⋅-≥)(0如果*z 是最优的，那么它必须满足如下的一阶条件： l lw z z f p ≤∂∂)(*，如果0*>l z 取等号，1.,1-=n l 。

或，用矩阵记号，上面的一阶条件可表示为：0])([,)(***=⋅-∇≤∇z w z f p w z f p （4.3.2）因此，每一个被使用的投入品l （也即0*>l z ）的边际产品等于它的相对于产品的价格，p w l /。

对于任意两种投入品l 和k ，只要0),(**>>k l z z ，上面的条件蕴涵着k l lk w w MRTS /=。