极限是研究变量的变化趋势的一个基本工具

浅论高等数学中的极限思想作者：黄银海来源：《大东方》2018年第11期摘要：高数中许多重要的概念如导数、微分、积分等均建立在极限基础之上，而极限思想蕴涵着丰富的哲学理论，深刻领悟这些哲学理论对掌握高等数学的学习有着极其重要的意义。

关键词：高等数学极限思想哲学理论高等数学极限思想里蕴涵着丰富的哲学理论。

在教学中，教师如果能充分挖掘高等数学中的哲学理论，用哲学的观点和思维方法来指导高等数学教学，不仅可以培养学生的辩证思维，提高学生的哲学素养，还可以使学生从新的角度来认识数学、理解数学，感受数学的思想精髓。

极限思想是一种研究变量变化趋势的数学思想，体现了辩证法思想。

理解极限概念及其思想中所蕴涵的哲学理论，对掌握高等数学有着极其重要的意义。

一、极限思想里体现着对立统一律，极限思想是从有限到无限的工具和桥梁，无论是概念的引入还是概念本身，都体现了变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确的对立统一。

例如，对于数列{an}来说，若，当n→∞，其极限为2；在n的逐渐变大的过程中，数列中的{an}每一项的值随着n在不断变化，这个过程是动态的，项数也是有限的；但是，当项数n无限增大时，即n→∞时，an的值无限趋近于一个确定的常数2，这个无限运动变化的结果是一个数值，因此在极限思想中无限是有限的发展，有限是无限的结果，它们既相互对立又相互统一。

二、极限思想里体现着量变引起质变的规律，当量的变化达到一定程度会引起质的变化。

质变不仅可以完成量变，而且为新的量变又开启了航程。

如，当n为有限项时，sn是无穷小量，但当n→∞时，量变却引起sn“质”的变化，，此时sn却不再是无穷小量了。

在高等数学导数概念的引入例子中，为求曲线y=f（x）在点P处的切线的斜率，首先在曲线上另取一点Q，先得割线PQ的斜率；然后让点Q沿曲线y=f（x）无限地趋近点P，割线的极限位置就是曲线在点P处的切线，而割线PQ斜率的极限值就是曲线y=f（x）在点P处切线的斜率。

第一章 函数与极限高等数学主要研究对象是变量及其之间的相互关系．极限是研究变量的一种基本的和重要的方法．本章主要讨论函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的基本性质．第一节 函数一 预备知识：1.集合由事物组成的集体，无论它们是由其成员直接表示出来的，还是由它们成员所具有的某些本质属性表示出来的，都称为集合．集合是数学中的一个原始概念，以上的定义属描述性的．几乎所有的数学分支都与集合密切相关，我们所学的这门课与实数集就是紧密相关的．某事物a 是集合A 的一个成员，则称a 为A 的一个元素，记作a A ∈．若事物a 不是A 的元素，记作a A ∉．一个集合认为是已知的，如果对任何事物能判断它是否属于这个集合．若能写出这个集合的所有元素，则我们用一个括号将它们括起来表示这个集合，例如由元素12,,,n a a a L 组成的集合，可记作{}12,,,n A a a a =L ，而对不易列举出其所有元素的集合，通常用以下记号表示：设集合A 是由某种性质P 的元素x 所组成，就记作{|}A x x P =具有性质．例如 {|}N n n =为自然数代表全体自然数组成的集合， {|}R x x =为实数代表全体实数所组成的集合，{|}Z x x =为整数代表全体整数所组成的集合， {|}Q x x =为有理数代表全体有理数所组成的集合．若集合A 的元素都是集合B 的元素，即若x A ∈ ,则x B ∈，就称A 是B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇，例如N Z ⊆，Z Q ⊆，Q R ⊆．若A B ⊆，且B A ⊆，则称集合A 等于集合B ，记作A B =．一个极端的情形是集合中不含任何元素，这种集合称为空集，记作∅．2.邻域邻域也是我们以后常要用到的一个重要概念．设a R ∈，R δ∈且0δ>，数集{}x x a δ-<称为点a 的δ邻域，记作()a U δ；点a 叫做该邻域的中心，δ叫做该邻域的半径，如图1-1．图1-1点a 的δ邻域去掉中心后，称为点a 的去心邻域，记作0()aU δ，即 {}0()0a U x x a δδ=<-<．二 函数的概念1．变量与函数所谓变量，就是在某一过程中可以取不同值的量．相反，若在某一过程中保持不变的量就称为常量．通常用字母,,a b c 等表示常量，用字母,,,,,x y z u v t 等表示变量．在自然现象中，对同一个问题，往往同时出现几个变量，而这些变量又是相互联系、相互依赖的，以下就两个变量的情形举几个例子．例1 在自由落体运动中，路程s 随时间t 的变化而变化，它们之间的依赖关系由公式212s gt =表示，当t 在[0,)+∞内任意取定一个数值时，由上式就可确定s 的相应数值．例2 按邮章规定，国内外埠平信，每重20克或不足者付邮资1.20（元），以下累计，不得超过2公斤，则此邮章规定了由信重W 的值确定邮资M 的值的规则，其中02000W <≤（克），邮资M 与信重的关系表达为M=1.20(元) 当020W <≤，M=2.40(元) 当2040W <≤，L M=120.00(元) 当19802000W <≤．例3 设有半径为r 的圆，考虑圆内接于该圆的正n 边形的周长n S （如图1-2所示），由初等数学知识易知2sin n S nr n π=，于是此式表达了内接正n 边形周长n S 与边数n 之间的相互依赖关系．图1-2上面几个例子都反映了同一过程中有着相互联系的两个变量，当一个量在某个数集中变化时，按一定的规则，另一个量有唯一的一个值与它对应，函数概念正是从这一事实中抽象出来的．定义1 设D 是R 中的一个非空数集，若有一个对应规则f ，使得对于D 内每一个实数x ，都能由f 唯一地确定一个实数y ，则称对应规则f 为定义在D 上的一个函数，记为 (),y f x x D =∈，其中x 称为自变量，y 称为因变量．点集D 称为函数的定义域，记为()D f ．()f x 称为x 所对应的函数值，全体函数值的集合称为函数的值域，记为()R f ，即(){}()R f y y f x x D ==∈，．如上述例1中确定了一个定义在区间[0,)+∞上的一个以t 为自变量的函数，例2确定了区间(0,2000]上的以W 为自变量的函数，例3确定了数集{},3n n N n ∈≥上n 为自变量的函数．注（1）如果一个函数是用一个数学式子给出的，则其定义域约定为使这个式子有意义的自变量所取值的全体．（2）所谓两个函数相同，是指它们的定义域和对应法则分别相同．对函数()y f x =，任取()x D f ∈，对应函数值()y f x =，这样，以x 横坐标，y 为纵坐标就确定了XOY 平面上的一点，点集{}(,)(),()C x y y f x x D f ==∈一般描述出一条平面曲线，称为()f x 的图形（见图1-3）．图1-32．函数的表示法表示函数的方法主要有三种（1）解析法 当函数的对应法则用方程式给出时，称这种表示函数的方法为解析法（分析法）如上述例1至例3，这种方法是我们表示函数的主要方法．注 有时一个函数在其定义域的不同部分用不同的解析式表示，如上面的例2及以下例子：1,0,()sgn 0,0,1,0.x f x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩ 此函数称为符号函数，其定义域()(,)D f =-∞+∞，值域(){1,0,1}R f =-，参见图1-4．图1-4这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数，称为分段函数．（2）列表法 若函数()f x 可用一张含有自变量值与对应的函数值()f x 的表格来表示，则称为列表法．通常所用的三角函数表，对数表等都是用列表法表达的函数．（3）图像法 由图像给出函数的对应法则的方法称为图像法．3. 几个特殊的函数(1) 取整函数 []y x =，[]x 表示不超过x 的最大整数．对于取整函数[]x (如图1-5) ，可以证明：对任意的实数x ，有不等式：[]x []1x x ≤<+．(2) 狄利克雷(Dirichlet)函数：1, ()0, x y D x x ⎧==⎨⎩是有理数,是无理数.图1-5三 函数的主要性质1.有界性设函数()f x 的定义域为()D f ，()D D f ⊆，如果存在正数M ，使得当x D ∈时()f x M≤，则称()f x 是D 上的有界函数，否则称()f x 在D 上无界，即对任何正数M ，存在0x D ∈，使得0()f x M >．例如函数()sin f x x =，()cos g x x =在(,)-∞+∞上是有界函数，而函数1()f x x =在(0,1) 上无界，可是函数1()f x x=在(,1)c 上是有界的，其中01c <<． 有界函数图像的特点是它完全落在平行于x 轴的两条直线y M =±所组成的带形区域之中．2.单调性若函数()f x 的定义域为()D f ，()D D f ⊆，如果对任意12,x x D ∈，且12x x <，都有12()()f x f x <（12()()f x f x >） 则称f 在D 上是单调增加的（单调减少的），单调增加和单调减少函数统称单调函数．例如，函数2y x =在(,0)-∞上单调减少，在(0,)+∞上单调增加，而在(,)-∞+∞上不是单调的．函数3y x =在(,)-∞+∞上是单调增加的，如图1-6和图1-7．图1-6 图1-73.奇偶性设函数()f x 的定义域()D f 为关于原点对称的数集（即若()x D f ∈，则()x D f -∈）．如果对于任一点()x D f ∈有()()f x f x -= ，则称函数()f x 是偶函数，如果对于任一()x D f ∈ ，总有()()f x f x -=-，则称函数()f x 是奇函数．例如函数2()f x x =，()cos g x x =是偶函数．函数31()f x x =，1()sin g x x =是奇函数，函数()sin cos h x x x =+是非奇非偶函数，既奇又偶的函数只有()0f x =．偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称，如图1-8和图1-9．图1-8 图1-94.周期性 设函数()f x 的定义域为()D f ，如果存在正数l ，使得对任意()x D f ∈有()x l D f +∈，且总有()()f x l f x +=成立，则称()f x 为周期函数，称l 为()f x 的周期．由定义知道，若l 为()f x 的周期，则nl 也为其周期．通常，我们称l 为()f x 的周期，是指l 是()f x 的最小正周期．例如函数()sin f x x =，()cos g x x =是以2π为周期的函数，奇函数()sin h x x ω=是以2L πω=为周期的函数，这里0ω≠．周期函数在每个周期上，图形相同．四 反函数与复合函数1. 反函数在函数的定义中，有两个变量，一个自变量，一个因变量．然而在实际问题与数学问题中，哪个是自变量，哪个是因变量，并不是绝对的，应按所研究的具体问题而定．例如自由落体运动，其运动方程为：212s gt = [0,]t T ∈ ． （1）于是由时间t 可算出路程s ，其中g 为常量．可是，如果问题是由下落的距离来确定所需要的时间t ，那么就要由 （1）解出t ，把它表示为s 的函数t = [0,]s H ∈ ． （2） 这里H 是物体开始下落时与地面的距离．这表明，在一定的条件下，函数的自变量与因变量可以相互转化．这样得到的新函数，就称为原来那个函数的反函数，例如 （2）是（1） 的反函数．定义2 设函数()y f x =的定义域为()D f ，值域为()R f ，若对每一个()y R f ∈，()D f 中有唯一值x 使得()f x y =，于是在()R f 上确定一个函数，此函数称为函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，()y R f ∈ ． （3）注（1）若()y f x =有反函数，则按f 建立了()D f 与()R f 之间的一一对应关系．（2）由定义可知，()f x 也是函数1()f y -的反函数，或者说它们互为反函数，而且前者的定义域与后者的值域相同，前者的值域与后者的定义域相同．（3）由于习惯上用x 表示自变量，用y 表示因变量，因此（3）又常常记为1()y f x -= ()x R f ∈． （4）因为（3）与（4）有相同的定义域()R f 和相同的对应关系1f -，故（3）和（4）表示同一函数．（4）在同一坐标系中，()y f x =的图像与1()y f x -=的图象关于直线y x =对称，如图1-10．图1-102.复合函数先看一个实例，运动物体的动能是速度的函数：212E mv =，而速度v 又是时间t 的函数，对于自由落体，这个函数是v gt =，于是动能E 是时间t 的函数2212E mg t =． 一般地，两个函数的复合函数的定义如下：定义3 设 ()y f u = ()u D f ∈；()u g x =，()x D g ∈是两个已知函数，且()()D f R g ≠∅I （其中()R g 记函数()u g x =的值域），则称函数 [()],y f g x ={()()}x x g x D f ∈∈为由函数()y f u =与()u g x =复合而成的复合函数，其中()f u 称为外层函数，()g x 为内层函数，y 称为因变量，x 称为自变量，而u 称为中间变量．由定义可知，复合函数[()]f g x 的定义域为{()()}x g x D f ∈．例如2sin y x =可以看成2y u =和sin u x =复合而成，其定义域为(,)-∞+∞；y =可以看成y =，21u x =-复合而成，其定义域为[1,1]-．注 （1）当且仅当()()D f R g ≠∅I 时，两个函数才能进行复合，如arccos y u =，[1,1]u ∈-与22u x =+，(,)x ∈-∞+∞就不能进行复合．（2）复合函数也可以由三个或者三个以上函数复合而成，例如y =可以看成三个函数12y u = ，[0,)u ∈+∞，21u v =+ ，(,)v ∈-∞+∞， sin v x = ，(,)x ∈-∞+∞复合而成．五 初等函数中学数学课程中已经讨论过下列几类函数：1.幂函数：y x α=（α为常数）．2.指数函数：x y a =(0,1)a a >≠．3.对数函数：log a y x = (0,1)a a >≠．在科技中常用的以e 为底的对数函数log e y x =叫做自然对数函数，简记作ln y x =．4.三角函数常用的三角函数有：sin y x =，cos y x =， tan y x =，cot y x =等．5.反三角函数常用的反三角函数有：arcsin y x = ， arccos y x = ， arctan y x = ， arccot y x =等． 以上五类函数统称为基本初等函数．由常数及基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除四则运算和有限次的复合步骤所构成并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数．例如y 2012()n n n y P x a a x a x a x ==++++L ， y =都是初等函数．而分段函数一般不是初等函数，例如Dirichlet 函数就不是初等函数．六 经济学中常见的函数需求函数与供给函数．需求与供给是经济活动中的主要矛盾之一．在市场经济条件下, 需求与供给关系对商品的生产与销售有重要影响, 因此它们是经济学研究的重要对象．需求函数：某一商品的需求量是指在一定的价格水平下，在一定时间内消费者愿意而且有支付能力购买的商品数量．消费者对某种商品的需求量是由多种因素决定的，如商品价格、消费者的数量、经济收入状况、消费时段以及消费嗜好等．为简化问题，不考虑除价格以外的其他因素的影响或把其他因素看作相对稳定，那么需求量可看成是价格p 的一元函数，称为需求函数，记为()Q f p =．一般地，需求函数是价格的单调递减函数．人们常用下面这些简单的初等函数来近似表示需求函数：线性函数：Q ap b =-+，其中,0a b >；幂函数：a Q kp -=，其中0k >，0a >；指数函数：bp Q ae -=，其中,0a b >．供给函数：某一商品的供给量是指在一定的价格条件下，在一定时期内生产者愿意生产并可供出售的商品量．供给量也是由多个因素决定的，如果在一段时间内除价格以外的其他因素变化很小，则供给量Q 可以简化为价格p 的函数，记为()Q Q p =．一般说来,商品的市场价格越高，生产者愿意而且能够向市场提供的商品就越多，因此，一般的供给函数都是单调递增的．人们常用下面这些简单的初等函数来近似表示供给函数：线性函数：Q ap b =-，其中,0a b >；幂函数：a Q kp =，其中0k >，0a >；指数函数：bp Q ae =，其中,0a b >．例5 设某配电箱的价格为120元时，厂家可提供2万个该配电箱，当价格每增加2元时，厂家可多提供2000个，试求供给函数．解 p 为价格,Q 为配电箱供应量,依题意有：1202000020001000(100)2p Q p -=+⨯=-. 在同一个坐标系中作出需求曲线和供给曲线，两曲线的交点通常称之为供需平衡点，对应的价格p 称为均衡价格．习题1-11．求下列函数的定义域：（1）[]23log log y x =，（2）32arcsin 5x y - 2．若()f x 的定义域是[0,3](0)a a >，求()()f x a f x a ++-的定义域．3．验证：函数11x y x-=+的反函数是它本身． 4．求函数cos(3)y x =-的最小正周期．5．验证下列函数在区间(0,)+∞内是单调增加的： (1) 12x y -=，(2) ln y x x =+．5．设sin ,,3()0,.3x x x x πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩求(),(2)6πφφ-，作出函数()y x φ=的图形． 6．已知2211()3f x x x x+=++，求()f x ． 7．证明：定义在对称区间(,)l l -上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数之和（提示：考虑()(),()()f x f x f x f x +---的奇偶性）．8．设,0,()1,0.x x f x x ≥⎧=⎨<⎩（1）求(1)f x -； （2）求()(1)f x f x +-．（写出最终的结果）．9．在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于给定自变量0x 的函数值：（1）20,sin ;6y u u x x π=== ； （2）20,;1u y e u x x ===． 10．火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算，如从上海到某地每千克收0.15元，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费．试求上海到该地的行李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出这函数的图形．11．拟建一容积为V 的长方形水池，要求池底为正方形，如果池底单位面积的造价是四周单位造价的2倍．假定四周单位造价为k （元/平方米），试将总造价y （元）表示成底边长x （米）的函数，并确定此函数的定义域．12．某商品供给量Q 对价格P 的函数关系为P kQ a b c =+⋅(1c ≠)，已知当2P =时，30Q =；3P =时，50Q =；4P =时，90Q =，求供给量Q 对价格P 的函数关系．13．某化肥厂生产产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时，超过的部分按九折出售，试将销售总收益y （元）表示成销售量x （吨）的函数．第二节 数列极限一 数列极限的定义一个数列就是按照一定顺序排成的一列数1,23,,,,n a a a a L L ,简记为{}n a , 数列中的每一个数称为数列的项，第n 项n a 称为数列的一般项（或者通项）．数列也可以视为一个定义在正整数集N +上的函数:(),1,2,n a f n n ==L ．如果对任意n ,总有1n n a a +≤,则称{}n a 是单调递增的数列;类似可定义单调递减的数列.两者统称为单调数列. 如果存在常数1K ,使得1n a K ≤，1,2,n =L ，则称数列{}n a 有上界；如果存在常数2K ,使得2n a K ≥，1,2,n =L ，则称数列{}n a 有下界．如果存在常数0M >,使得数列{}n a 满足:n a M ≤，1,2,n =L ，则称数列{}n a 有界；否则称{}n a 无界，即如果对任何正数M ,至少有一项n a 满足n a M >．例如,公差0d >的等差数列是单调无界数列,首项10a >,公比01q <<的等比数列是单调有上界数列.下面考察n 无限增加时,其通项n a 的变化规律.先看下面表格给出的几个具体的例子：从上表可以看出,当n 无限增大时, 一般项n a 的变化规律可分为三类:第一类,如1n和21n ,当n 无限增大时, n a 无限趋于一个确定的数a ；第二类,如21n +,当n 无限增大时,n a 的值无限增大；第三类, 如()1n-,当n 无限增大时,没有确定的变化趋势.一般地,如果n 无限增大时,数列的项n a 无限趋近于某一个确定的常数a ,则称a 为数列{}n a 的极限.下面，我们按照无穷大列、无穷小列以及数列极限的顺序给出数列极限的严格定义. 定义1 设{}n D 是一个单调递增、无上界的正数列 ,则称{}n D 是一个恒正无穷大列. 例如，数列{}n α（其中α为正数）为恒正无穷大列．定义2 设{}n a 是一个数列,若存在一个恒正无穷大列{}n D ,使得对一切n 总有|| n n a D ≥,则称{}n a 是无穷大列.如果对一切自然数n ,都有 n n a D ≥,则称{}n a 是正无穷大列. 如果对一切自然数n ,都有 n n a D ≤-,则称{}n a 是负无穷大列．例1 证明数列{}n q （1q >）和{(1)sin}2n n n π-+是无穷大列. 证 由于1q >，所以1n n q q +>，所以正数列{}k q 是单调递增的．对于任何正常数K ，取正整数0ln []ln Kn q =，当0n n >时，有ln ln Kn q q q K >=，于是数列{}n q （1q >）无上界，故{}n q （1q >）是恒正无穷大列，从而是无穷大列．因为(1)sin12n n n n π-+≥-，而数列{1}n -当2n ≥时是恒正无穷大，所以数列{(1)sin}2n n n π-+是无穷大列． 定义3 设{}n a 是一个数列,若存在一个恒正无穷大列{}n D ,使得对一切n 总有1n na D =,则称{}n a 是恒正无穷小列. 定义4 设{}n a 是一个数列,若存在一个恒正无穷小列{}n α,使得对一切n 总有|| n n a α≤,则称数列{}n a 是无穷小列.例如,当α为正数时,数列{}n α-是恒正无穷小列；当0||1q <<时,数列{}n q 是无穷小列.定义5 设{}n a 是一个数列,如果存在一个常数A 和一个无穷小列{}n α,使得n n a A α=+,则称数列{}n a 以A 为极限, 或数列{}n a 收敛于A ,记为lim n n a A →∞=或者() n a A n →→∞时.否则,称数列{}n a 发散,也称极限lim n n a →∞不存在.显然，无穷小列的极限是0.注 我们约定：正无穷大列{}n D '以+∞为极限，记作lim nn D →∞'=+∞,负无穷大列{}n D ''以-∞为极限，记作lim nn D →∞''=-∞,无穷大列{}n D 以∞为极限，记作lim n n D →∞=∞. 例2 用极限定义证明:313lim212n n n →+∞+=+.证 因为31312122(21)n n n +--=++,而12(21)n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是无穷小列,故有313lim 212n n n →+∞+=+. 注 由定义5知道： lim n n a A →∞=的充分必要条件是n n a A α=+，其中{}n α是n →∞时的无穷小列，即lim 0n n α→∞=.由定义,表1-1的几个例子极限分别为:1lim0n n →∞=，21lim 0n n →∞=，()lim 21n n →∞+=+∞，()lim 1nn →∞-不存在．为便于以后求数列极限,我们将常用的几个数列极限归纳如下: (1)lim n c c →∞=,(2)1lim0n n α→∞=()0α>, (3)0, 01,1, 1,lim , 1,, 1.n n q ••q q q •••q →∞⎧<<⎪=⎪=⎨=-⎪⎪∞>⎩不存在注 数列极限的定义还有与上述定义等价的N ε-语言形式：对任意0ε>,都存在0N >,使得对任意n N >,都有n a a ε-<成立,则称数列{}n a 以a 为极限，记作 lim nn a a →∞=．三 无穷大列与无穷小列的基本性质性质1 若{}n D 和{}n D '是恒正无穷大列，则{}n n D D '+也是恒正无穷大列．若{}n a 和{}n a '是正无穷大列，则{}n n a a '+也是正无穷大列．证 因为{}n D 和{}n D '是恒正无穷大列，所以{}n D 和{}n D '均是单调递增且无上界，直接验证知道{}n n D D '+也是单调递增且无上界，故{}n n D D '+是恒正无穷大列．由第一个结论及正无穷大列的定义即可得到第二个结论的证明．同样，由恒正无穷大列和正无穷大列的定义，不难证明以下性质：性质2 若{}n D 是一个恒正无穷大列，M 是一个正数，则{}n MD 也是恒正无穷大列．若{}n a 是一个正无穷大列，M 是一个正常数，则{}n Ma 也是正无穷大列．由恒正无穷小列的定义不难知道，两个恒正无穷小列的和是恒正无穷小列，一个正数与一个恒正无穷小列的积是恒正无穷小列，一般地，我们有以下结论： 性质3 若{}n α和{}n β是无穷小列，则{}n n αβ±也是无穷小列．证 因为{}n α和{}n β是无穷小列，所以存在恒正无穷小列{}nα'和{}n β'使得n n αα'≤，n nββ'≤．令max(,)n n n γαβ''=，则{}n γ是恒正无穷小列，从而{2}n γ也是恒正无穷小列．于是有2n n n n nn n αβαβαβγ''±≤+≤+≤，故{}n n αβ±是无穷小列． 类似地可以证明以下性质：性质4 若{}n α是无穷小列，{}n ν是有界数列，则{}n n να⋅也是无穷小列．特别，若{}n α是无穷小列，M 是一个常数，则{}n M α⋅也是无穷小列．四 数列极限的性质下面,我们给出数列极限的几个基本性质.性质5(唯一性) 若数列{}n a 收敛,则数列{}n a 的极限唯一.证 若{}n a 收敛于A ,又收敛于A '，则存在两个无穷小列{}n γ与{}nγ'使得n n a A γ=+，又有n na A γ''=+，于是得n n A A γγ''-=-,由性质1知道{}n n γγ'-是一个无穷小列，故常数列{}A A '-是一个无穷小列，从而0A A '-=，即A A '=．性质6（有界性） 若数列{}n a 有极限A ,则数列{}n a 有界．证 因为{}n a 有极限A ，所以存在无穷小列{}n γ使得n n a A γ=+，于是存在标准无穷小列{}n α使得n n γα≤．故对任意正整数n ，有1n n n n a A A A A γγαα=+≤+≤+≤+．这就证得数列{}n a 有界．类似于前两个性质的证明，可得如下性质：性质7（保序性）若数列{}n a ,{}n b 均收敛,且存在正整数0N 使得0n N ≥时,n n a b ≤， 则lim lim n n n n a b →∞→∞≤.注 （1)性质6的等价命题是:若数列{}n a 无界,则数列{}n a 发散.例如数列(){}2n-是无界的,所以发散.（2)数列有界只是数列收敛的必要而非充分条件,即数列有界也不一定收敛.例如,数列(){}1n-有界,但它发散.（3) 如果性质7条件中的n n a b ≤换成n n a b <,未必有lim n n a →+∞<lim n n b →+∞.例如,取1n a n =-,1n b n=，显然对于任意正整数n ,都有n n a b <,但lim n n a →+∞=lim 0n n b →+∞=.习题1-21．证明数列2{(1)}n n -是无穷大列. 2．证明数列21{}1n +和数列cos {}xn是无穷小列. 3．观察如下的数列{}n a 的变化趋势，写出它们的极限：（1）n a 12n=； （2）n a 1n n =+； （3）n a (1)n n =--； （4）n a 1sin xn π=.4．用极限定义证明:222lim 12n n n →+∞-=+.5．若lim n n u a →∞=，证明lim n n u a →∞=，并举例说明反过来未必成立．第三节 函数极限一 自变量趋于无穷大时函数的极限我们知道，数列是定义在正整数集N +上的函数．数列的极限则反映了自变量n →∞时，{}n a 的变化趋势．值得注意的是，讨论数列极限时，自变量n 是正整数，它只有一种变化趋势：n →∞．而函数的自变量x 是实数，其变化趋势就不止一种：x 可能是趋于正无穷大、负无穷大，也可能是从某一固定点a 的某一侧趋于a ，还可能是以从两侧的任意方向趋于a ．因此，函数的极限就具有几种不同的形式．当然，这些不同形式的极限，与数列的极限还是具有一些相同之处．因此，我们先讨论自变量趋于无穷大时函数的极限，然后讨论自变量趋于常数a 时函数的极限．1．自变量趋于无穷大时的无穷大量定义1 设()0D x >是一个定义在区间(,)a +∞上的单调递增的函数，如果()D x 在这个区间上是无上界的，我们就称()D x 是+∞的一个邻域：()(,)a U a +∞=+∞上的恒正无穷大量，或者称()D x 是当x →+∞时的恒正无穷大量．定义2 设函数()f x 在区间(,)a +∞内有定义，如果存在一个邻域()a U +∞上的恒正无穷大量()D x ，使得对()a U +∞上的一切x 都有|()|()f x D x ≥，则称()f x 是当x →+∞时的无穷大量，记作lim (),()()x f x f x x →+∞=∞→∞→+∞　或 ．如果邻域()a U +∞上的一切x 都有()()f x D x ≥（或()()f x D x ≤-），则称()f x 是当x →+∞时的正无穷大量(或负无穷大量)，记作lim ()x f x →+∞=+∞，或()()f x x →+∞→+∞．后者记作lim ()x f x →+∞=-∞，或()()f x x →-∞→+∞．显然，恒正无穷大量是无穷大量．例1 函数(0)k y x k =>与函数(1)x y a a =>，都是邻域0()U +∞上的恒正无穷大量，而函数ln y x =则是邻域0()U +∞上的无穷大量以及邻域1()U +∞上的恒正无穷大量．我们也可以类似地定义当x →-∞时的无穷大量．例2 证明lim ()x x x →+∞=+∞，0()x U ∈+∞．证 在4x >时有222x x xx x x ⎛+≥+> ⎝．显然，函数()2xD x =在邻域4()U +∞上是单调递增的且无上界，而对于在邻域4()U +∞上的一切x ，都有()()f x D x ≥．所以()f x 是正无穷大量．由无穷大量的定义，不难证明以下结论：定理1 设()f x 、()g x 均是在邻域()a U +∞上当x →+∞时的正无穷大量，函数()0h x >是邻域()a U +∞上的有界函数，则有（1）()()f x g x +是邻域()a U +∞上当x →+∞时的正无穷大量； （2）()()f x h x +是邻域()a U +∞上当x →+∞时的正无穷大量； （3）()()f x g x ⋅是邻域()a U +∞上x →+∞时的正无穷大量． 2．自变量趋于无穷大时的无穷小量定义3 设函数()f x 在区间(,)a +∞内有定义，如果存在邻域()a U +∞上的恒正无穷大量()D x ，使得对邻域()a U +∞上的一切x 都有1()()f x D x =，则称()f x 是当x →+∞时的恒正无穷小量．定义4设函数()f x 在区间(,)a +∞内有定义，如果存在邻域()a U +∞上的恒正无穷小量()x α，使得对邻域()a U +∞上的一切x 都有|()|()f x x α≤，则称()f x 是当x →+∞时的无穷小量，记作lim ()0x f x →+∞=，或者()0()f x x →→+∞．显然，恒正无穷小量也是无穷小量．我们常常把无穷小量记为()x α、()x β、()x γ． 由例1不难知道，函数(0)k y x k =<与(1)x y a a -=>都是邻域0()U +∞上的无穷小量．下面仅就函数(0)k y x k =<中当1k =-时的情形加以证明．例3 用定义证明1lim0x x→+∞=． 证 由于()D x x =在(1,)+∞上是恒正无穷大量，而我们又有11()()f x x D x ==，所以 1lim0x x→+∞=． 由无穷小量的定义，也不难证明以下结论：定理2 设()x α、()x β均是在邻域()a U +∞上当x →+∞时的无穷小量，函数()h x 是在邻域()a U +∞上的有界函数，则有1）()()x x αβ±是当x →+∞时的无穷小量； 2）()()x x αβ⋅是当x →+∞时的无穷小量； 3）()()x h x α⋅是当x →+∞时的无穷小量．例4 证明11limsin 0x x x→+∞=． 证 因为在邻域1()U +∞上1x 是无穷小量，1sin x 是有界函数，所以当x →+∞时，11sin x x是无穷小量，即11lim sin 0x x x→+∞=．3．自变量趋于无穷大时函数的极限定义4 设函数()f x 在区间(,)a +∞内有定义，如果有一个实数A 和一个邻域()a U +∞上的无穷小量()x γ，使得()()f x A x γ=+，则称()f x 当x →+∞时以A 为极限，记作lim ()x f x A →+∞=，或()()f x A x →→+∞．注 （1）若设函数()f x 在区间(,)a -∞内有定义，按照以上定义1至定义4，我们可类似地定义()f x 是当x →-∞时的恒正无穷大量、无穷大量、恒正无穷小量、无穷小量概念，以及()f x 当x →-∞时以A 为极限的概念．（2）若设函数()f x 在区间12(,)(,)a a -∞+∞U 内有定义，我们可以同样地给出()f x 是当x →∞时的恒正无穷大量、无穷大量、恒正无穷小量和无穷小量概念，以及lim ()x f x A→∞=的定义；（3）在定理1和定理2中，若条件x 趋于+∞换为x 趋于-∞（或者x 趋于∞）时，相应结论成立；（4）不难证明，lim ()x f x A →∞= 当且仅当lim ()x f x A →-∞=，且lim ()x f x A →+∞=．二 自变量趋于常数时函数的极限关于自变量趋于常数时函数的极限，与前面类似，按照无穷大量、无穷小量以及自变量趋于常数时函数的极限的顺序给出严格定义．但是，当自变量趋于一点a 时，它可能是从a 的某一侧趋于它，也可能是以从两侧的任一方向趋于它．其函数值的变化因而就具有各种不同的形式，从而，函数的极限也具有各种不同的形式．甚至在这个点的左右两侧的变化趋势可能是完全不同的．因此，我们需要用不同于()x n →+∞→+∞的方式来讨论函数的极限．１．自变量趋于a 时的双向递增与无穷大量定义5 设函数()f x 在去心邻域0()aU δ内有定义，如果对于任意的012,()a x x U δ∈，当12||||a x a x -<-时都有21()()f x f x ≤，我们就称()f x 在去心邻域0()aU δ上是双向递增的． 定义6设函数()f x 在去心邻域0()aU δ内有定义，如果()0f x >在去心邻域0()a U δ上既是双向递增，又是无上界的，我们就称()f x 是去心邻域0()aU δ上的一个恒正无穷大量. 我们常将恒正无穷大量记为()D x ．。

高等数学教学备课系统与《高等数学多媒体教学系统（经济类）》配套使用教师姓名：________________________教学班级：________________________2005年9月1至2006年1月10微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.冯. 诺伊曼注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”.第一章函数、极限与连续函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象. 极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是函数的一个重要性态. 本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础.第一节函数概念在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着. 17世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念. 在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置.本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性.内容分布图示★集合的概念★集合的运算★区间★例1 ★邻域★函数概念★例2 ★例3 ★例4★例5 ★例6★函数的表示法★分段函数举例★例7★函数关系的建立★例8 ★例9函数的特性★有界性★例10 ★单调性★例11★奇偶性★例12 ★例13★周期性★例14 ★例15★内容小结★课堂练习★ 习题 1- 1★ 返回内容要点：一、 集合：集合的概念；集合的表示；集合之间的关系；集合的基本运算；区间；邻域； 二、 函数的概念：函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型. 函数的定义、函数的图形、函数的表示法三、 函数关系的建立：为解决实际应用问题, 首先要将该问题量化, 从而建立起该问题的数学模型, 即建立函数关系；四、 函数特性：函数的有界性；函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性.例题选讲：函数举例例1 解下列不等式, 并将其解用区间表示.(1) ;312<-x (2) ;323≥+x (3) ().9102<-<x例2 函数2=y . 定义域),(+∞-∞=D , 值域{}.2=f R 例3（讲义例1） 绝对值函数 ⎩⎨⎧<-≥==0,,||x x x x x y 例4判断下面函数是否相同, 并说明理由. (1) 1=y 与;cos sin 22x x y += (2) 12+=x y 与12+=y x .例5求函数 2112++-=x xy 的定义域. 例6 求函数()()245sin 3lg x x xx x f -++-=的定义域. 例7 设(),21,210,1⎩⎨⎧≤<-≤≤=x x x f求函数()3+x f 的定义域.例8（讲义例4）某工厂生产某型号车床, 年产量为a 台, 分若干批进行生产, 每批生产准备费为b 元, 设产品均匀投入市场, 且上一批用完后立即生产下一批, 即平均库存量为批量的一半. 设每年每台库存费为c 元. 显然, 生产批量大则库存费高; 生产批量少则批数增多, 因而生产准备费高. 为了选择最优批量, 试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.例9（讲义例5）某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a 公里以内,每公里k 元, 超过部分公里为k 54元. 求运价m 和里程s 之间的函数关系.例10 证明(1)（讲义例6）函数 12+=x xy 在),(+∞-∞上是有界的; (2) 函数21xy =在()1,0上是无界的.例11（讲义例7）证明函数xxy +=1在),1(∞+-内是单调增加的函数. 例12（讲义例8）判断函数)1ln(2x x y ++=的奇偶性. 例13 判断函数()()1111ln 11<<-+-+-=x xxe e xf xx 的奇偶性. 例14（讲义例9）设函数)(x f 是周期T 的周期函数，试求函数)(b ax f +的周期，其中b a ,为常数，且0>a .例15 若)(x f 对其定义域上的一切, 恒有),2()(x a f x f -=则称)(x f 对称于.a x =证明: 若)(x f 对称于a x =及),(b a b x <= 则)(x f 是以)(2a b T -=为周期的周期函数.例6（讲义例2）符号函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,1,0,0,0,1s g nx x x x y 例3（讲义例3）取整函数 ],[x y = 其中，][x 表示不超过x 的最大整数.函数的有界性： 函数的增减性： 函数的奇偶性： 函数的周期性：课堂练习1. 用分段函数表示函数 .|1|3--=x y2. 判别函数⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+=0,0,)(22x x x x x x x f 的奇偶性.3.设b a ,为两个函数, 且b a <. 对于任意实数x , 函数()x f 满足条件: ()(),x a f x a f +=- 及()()x b f x b f +=-证明: ()x f 以()a b T -=2周期.第二节 初等函数内容分布图示★ 反函数 ★ 例1 ★ 例2 ★ 复合函数 ★ 例3-4 ★ 例5★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 幂函数、指数函数与对数函数★ 三角函数 ★ 反三角函数★ 初等函数 ★ 函数图形的迭加与变换★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-2 ★ 返回内容要点：一、 反函数：反函数的概念；函数存在反函数的条件；在同一个坐标平面内, 直接函数)(x f y =和反函数)(x y ϕ=的图形关于直线x y =是对称的.二、 基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数. 三、 复合函数的概念 四、初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 初等函数的基本特征: 在函数有定义的区间内初等函数的图形是不间断的.例题选讲：求反函数例1（讲义例1）求函数xx y 411411+++-=的反函数.例2 已知x x x x x sgn ,0,10,00,1sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=为符号函数,求()x x y sgn 12+=的反函数.函数的复合例3（讲义例2）设 u u f y sin )(==，1)(2+==x x u ϕ，求)]([x f ϕ. 例4 （讲义例3） 设 u u f y arctan )(==，tt u 1)(==ϕ，)(x t φ=12-=x ，求 )]}([{x f φϕ. 例5 设(),1+=x x f (),2x x =ϕ 求()[]x f ϕ及()[],x f ϕ 并求它们的定义域. 例6（讲义例4）将下列函数分解成基本初等函数的复合. (1) ;sin ln 2x y = (2) ;2arctan x e y =(3) ).12ln(cos 22x y ++= 例7（讲义例5）设,0,10,2)(,1,1,)(2⎩⎨⎧≥-<+=⎩⎨⎧≥<=x x x x x x x x e x f x ϕ求)].([x f ϕ例8 设 ,1122xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 求().x f课堂练习1．下列函数能否复合为函数)]([x g f y =若能, 写出其解析式、定义域、值域. .1sin )(,ln )()2(;)(,)()1(2-====-====x x g u u u f y x x x g u u u f y2．分析函数 32cos arctan x e y =的复合结构.第三节 常用经济函数用数学方法解决实际问题，首先要构建该问题的数学模型，即找出该问题的函数关系. 本节将介绍几种常用的经济函数.内容分布图示★ 单利与复利 ★ 例1★ 多次付息 ★ 贴现 ★ 例2 ★ 需求函数 ★ 供给函数★ 市场均衡 ★ 例3 ★ 例4 ★ 成本函数 ★ 例5★ 收入函数与利润函数 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-3 ★ 返回内容要点：一、单利与复利利息是指借款者向贷款者支付的报酬, 它是根据本金的数额按一定比例计算出来的. 利息又有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等几种主要形式.单利计算公式设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+= 第二年末本利和为 )21()1(2r p rp r p s +=++=……第n 年末的本利和为 )1(nr p s n +=. 复利计算公式设初始本金为p (元), 银行年利率为r . 则 第一年末本利和为 )1(1r p rp p s +=+=第二年末本利和为 22)1()1()1(r p r rp r p s +=+++=……第n 年末的本利和为 .)1(nn r p s +=二、多次付息单利付息情形因每次的利息都不计入本金, 故若一年分n 次付息, 则年末的本利和为)1(1r p n r n p s +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=即年末的本利和与支付利息的次数无关.复利付息情形因每次支付的利息都记入本金, 故年末的本利和与支付利息的次数是有关系的. 设初始本金为p (元),年利率为r , 若一年分m 次付息, 则一年末的本利和为mm r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1易见本利和是随付息次数m 的增大而增加的.而第n 年末的本利和为mnn m r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1.三、 贴现票据的持有人, 为在票据到期以前获得资金, 从票面金额中扣除未到期期间的利息后, 得到所余金额的现金称为贴现.钱存在银行里可以获得利息, 如果不考虑贬值因素, 那么若干年后的本利和就高于本金. 如果考虑贬值的因素, 则在若干年后使用的未来值(相当于本利和)就有一个较低的现值.考虑更一般的问题: 确定第n 年后价值为R 元钱的现值.假设在这n 年之间复利年利率r 不变.利用复利计算公式有n r p R )1(+=,得到第n 年后价值为R 元钱的现值为nr Rp )1(+=,式中R 表示第n 年后到期的票据金额, r 表示贴现率, 而p 表示现在进行票据转让时银行付给的贴现金额.若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据, 且每张票据的贴现率都是相同的, 则一次性向银行转让票据而得到的现金nnr R r R r R R p )1()1()1(2210+++++++=式中0R 为已到期的票据金额, n R 为n 年后到期的票据金额.nr )1(1+称为贴现因子, 它表示在贴现率r 下n 年后到期的1元钱的贴现值. 由它可给出不同年限及不同贴现率下的贴现因子表.四、需求函数需求函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系.假定其它因素(如消费者的货币收入、偏好和相关商品的价格等)不变, 则决定某种商品需求量的因素就是这种商品的价格. 此时, 需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济量之间的数量关系)(p f q =其中, q 表示需求量, p 表示价格.需求函数的反函数)(1q fp -=称为价格函数, 习惯上将价格函数也统称为需求函数.五、 供给函数供给函数是指在某一特定时期内, 市场上某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系. 六、市场均衡对一种商品而言, 如果需求量等于供给量, 则这种商品就达到了市场均衡. 以线性需求函数和线性供给函数为例, 令s d q q =d cp b ap +=+0p ca bd p ≡--=这个价格0p 称为该商品的市场均衡价格（图1-3-3）.市场均衡价格就是需求函数和供给函数两条直线的交点的横坐标. 当市场价格高于均衡价格时, 将出现供过于求的现象, 而当市场价格低于均衡价格时,将出现供不应求的现象.. 当市场均衡时有,0q q q s d ==称0q 为市场均衡数量.根据市场的不同情况，需求函数与供给函数还有二次函数、多项式函数与指数函数等. 但其基本规律是相同的, 都可找到相应的市场均衡点(0p ,0q ).七、成本函数产品成本是以货币形式表现的企业生产和销售产品的全部费用支出, 成本函数表示费用总额与产量(或销售量)之间的依赖关系, 产品成本可分为固定成本和变动成本两部分. 所谓固定成本, 是指在一定时期内不随产量变化的那部分成本; 所谓变动成本, 是指随产量变化而变化的那部分成本. 一般地, 以货币计值的(总)成本C 是产量x 的函数, 即)0()(≥=x x C C称其为成本函数. 当产量0=x 时, 对应的成本函数值)0(C 就是产品的固定成本值.设)(x C 为成本函数, 称)0()(>=x xx C C 为单位成本函数或平均成本函数. 成本函数是单调增加函数, 其图象称为成本曲线.八、 收入函数与利润函数销售某种产品的收入R , 等于产品的单位价格P 乘以销售量x , 即,x P R ⋅= 称其为收入函数. 而销售利润L 等于收入R 减去成本C , 即,C R L -= 称其为利润函数.当0>-=C R L 时, 生产者盈利; 当0<-=C R L 时, 生产者亏损；当0=-=C R L 时, 生产者盈亏平衡, 使0)(=x L 的点0x 称为盈亏平衡点(又称为保本点).例题选讲：单利与复利例1（讲义例1）现有初始本金100元, 若银行年储蓄利率为7%, 问: (1) 按单利计算, 3年末的本利加为多少? (2) 按复利计算, 3年末的本利和为多少?(3) 按复利计算, 需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?贴现例2（讲义例2）某人手中有三张票据, 其中一年后到期的票据金额是500元, 二年后到期的是800元, 五年后到期的是2000元, 已知银行的贴现率6%, 现在将三张票据向银行做一次性转让, 银行的贴现金额是多少?市场均衡例3（讲义例3）某种商品的供给函数和需求函数分别为P Q P Q s d 5200,1025-=-=求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.例4（讲义例4）某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售商, 在这个基础上零售商每次多进100台电扇, 则批发价相应降低2元, 批发商最大批发量为每次1000台, 试将电扇批发价格表示为批发量的函数, 并求零售商每次进800台电扇时的批发价格.成本函数例5（讲义例5） 某工厂生产某产品, 每日最多生产200单位. 它的日固定成本为150元, 生产一个单位产品的可变成本为16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数.收入函数与利润函数例6（讲义例6）某工厂生产某产品年产量为x 台, 每台售价500元, 当年产量超过800台时, 超过部分只能按9折出售. 这样可多售出200台, 如果再多生产，本年就销售不出去了. 试写出本年的收益(入)函数.例7 已知某厂单位产品时，可变成本为15元，每天的固定成本为2000元，如这种产品出厂价为20元，求（1）利润函数；（2）若不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品. 例8（讲义例7）某电器厂生产一种新产品, 在定价时不单是根据生产成本而定, 还要请各销售单位来出价, 即他们愿意以什么价格来购买. 根据调查得出需求函数为.45000900+-=P x 该厂生产该产品的固定成本是270000元, 而单位产品的变动成本为10元. 为获得最大利润, 出厂价格应为多少?例9 已知该商品的成本函数与收入函数分别是xR x x C 113122=++=试求该商品的盈亏平衡点, 并说明盈亏情况.课堂练习 1．（1）设手表的价格为70元, 销售量为10000只, 若手表每只提高3元, 需求量就减少3000只, 求需求函数d Q .（2）设手表价格为70元, 手表厂可提供10000只手表, 当价格每只增加3元时, 手表厂可多提供300只, 求供应函数s Q . （3）求市场均衡价格和市场均衡数量.第四节 数列的极限极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术（参看光盘演示）, 就是极限思想在几何学上的应用. 又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄子.天下篇》一书中对“截丈问题”（参看光盘演示）有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想.极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法. 本节将首先给出数列极限的定义.内容分布图示★ 极限概念的引入 ★ 数列的定义 ★ 数列的极限 ★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 收敛数列的有界性★ 极限的唯一性 ★ 例7★ 收敛数列的保号性 ★ 子数列的收敛性★ 内容小结★ 习题1-4 ★ 返回内容要点：一、 数列的定义 二、 数列的极限：N -ε论证法，其论证步骤为：（1） 任意给定的正数ε, 令 ε<-||a x n ；（2） 上式开始分析倒推, 推出 )(εϕ>n ； （3） 取 )]([εϕ=N ，再用N -ε语言顺述结论. 三、 收敛数列的有界性 四、极限的唯一性五、收敛数列的保号性 六、子数列的收敛性例题选讲：数列的极限例1（讲义例1） 证明 .1)1(lim1=-+-∞→nn n n 例2 设C C x n (≡为常数）， 证明C x n n =∞→lim .例3 证明 ,0lim 0=→nn q 其中.1<q例4 设,0>n x 且,0lim >=∞→a x n n 求证 .lima x n n =∞→例5 用数列极限定义证明 323125lim-=-+∞→n n n .例6（讲义例2）用数列极限定义证明 .112lim 22=++-∞→n n n n 例7（讲义例3）证明数列1)1(+-=n n x 是发散的.课堂练习 1．设,0>p 证明数列pn n x 1=的极限是0.第五节 函数的极限数列可看作自变量为正整数n 的函数: )(n f x n =, 数列{}n x 的极限为a ，即：当自变量n 取正整数且无限增大（∞→n ）时，对应的函数值)(n f 无限接近数a . 若将数列极限概念中自变量n 和函数值)(n f 的特殊性撇开，可以由此引出函数极限的一般概念：在自变量x 的某个变化过程中，如果对应的函数值)(x f 无限接近于某个确定的数A ，则A 就称为x 在该变化过程中函数)(x f 的极限. 显然，极限A 是与自变量x 的变化过程紧密相关，自变量的变化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式. 本节分下列两种情况来讨论： 1、自变量趋于无穷大时函数的极限； 2、自变量趋于有限值时函数的极限.内容分布图示★ 自变量趋向无穷大时函数的极限★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 自变量趋向有限值时函数的极限★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 左右极限 ★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ 函数极限的性质 ★ 子序列收敛性 ★ 函数极限与数列极限的关系 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-5 ★ 返回内容要点：一、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、 自变量趋于有限值时函数的极限 三、 左右极限的概念四、函数极限的性质：唯一性 有界性 保号性 五、子序列的收敛性例题选讲：自变量趋于无穷大时函数的极限例1（讲义例1）用极限定义证明 .0sin lim=∞→xxx例2（讲义例2）用极限定义证明 .021lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx例3 证明 .111lim-=+-∞→x xx自变量趋于有限值时函数的极限例4(1)（讲义例3）利用定义证明 C C x x =→0lim （C 为常数）.(2) 证明 .lim 00x x x x =→例5（讲义例4）利用定义证明 211lim 21=--→x x x .例6 证明: 当00>x 时, 00lim x x x x =→.例7 验证xx x 0lim→不存在.左右极限的概念例8（讲义例5）设,0,10,)(⎩⎨⎧<+≥=x x x x x f 求 )(lim 0x f x →. 例9 设(),0,10,12⎩⎨⎧≥+<-=x x x x x f 求 ().lim 0x f x → 例10（讲义例6）设 ,2121)(11xx x f +-=求 ).(lim 0x f x →子序列的收敛性例7（讲义例7）证明 xx 1sinlim 0→ 不存在.课堂练习 1. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+=>=0,80,20,1sin )(2x x x x x x x f ,试问函数在0=x 处的左、右极限是否存在? 当0→x 时, )(x f 的极限是否存在?2. 若,0)(>x f 且.)(lim A x f =问: 能否保证有0>A 的结论? 试举例说明.第六节 无穷小与无穷大没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的感情，很少有别的观念能像无穷那样激励理智 产生富有成果的思想，然而也没有任何其它的概 念能像无穷那样需要加于阐明.-------大卫. 希尔伯特对无穷小的认识问题，可以远溯到古希腊，那时，阿基米德就曾用无限小量方法得到许多重要的数学结果，但他认为无限小量方法存在着不合理的地方. 直到1821年，柯西在他的《分析教程》中才对无限小（即这里所说的无穷小）这一概念给出了明确的回答. 而有关无穷小的理论就是在柯西的理论基础上发展起来的.内容分布图示★ 无穷小★ 无穷小与函数极限的关系 ★ 例1 ★ 无穷小的运算性质 ★ 例2 ★ 无穷大★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 无穷大与无界变量★ 无穷小与无穷大的关系 ★ 例6★ 内容小结★ 习题1-6 ★ 返回内容要点：一、 无穷小的概念二、无穷小的运算性质有限个无穷小的代数和仍是无穷小 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 三、无穷大的概念四、 无穷小与无穷大的关系例题选讲：无穷小的概念与无穷小的运算性质例1 根据定义证明: xx y 1sin 2=当0→x 时为无穷小. 例2（讲义例1）求 x xx sin lim ∞→.无穷大的概念例3（讲义例2）证明 ∞=-→11lim1x x .例4 证明 ()().11lim >+∞=-+∞→a a xx例5（讲义例3）当0→x 时, xx y 1sin 1=是一个无界变量, 但不是无穷大. 无穷小与无穷大的关系 例6（讲义例4）求 5lim 34+∞→x x x .课堂练习1. 求 .)1(22lim22--∞→x xx x第七节 极限运算法则本节要建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则. 在下面的讨论中，记号“lim ”下面没有表明自变量的变化过程，是指对0x x →和∞→x 以及单则极限均成立. 但在论证时，只证明了0x x →的情形.内容分布图示★ 极限运算法则 ★ 例1 ★ 例2★ 例3-4 ★ 例5 ★ 例6★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 复合函数的极限运算法则 ★ 例 12 ★ 例 13★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-7 ★ 返回内容要点：一、 极限的四则运算：定理1 推论1 推论2 二、复合函数的极限运算法则：定理2定理2 （复合函数的极限运算法则）设函数)]([x g f y =是由函数)(u f y =与函数)(x g u =复合而成, )]([x g f 在点0x 的某去心邻域内有定义, 若,)(lim ,)(lim 00A u f u x g u u x x ==→→且存在,00>δ 当),(00δx U x∈时, 有0)(u x g ≠, 则.)(lim )]([lim 0A u f x g f u u x x ==→→例题选讲：极限的四则运算例1（讲义例1）求 )53(lim 22+-→x x x .例2（讲义例2）求 27592lim 223---→x x x x .例3（讲义例3）求 3214lim21-+-→x x x x .例4（讲义例4）求 321lim 221-+-→x x x x .例5（讲义例5）求 147532lim 2323-+++∞→x x x x x .例6（讲义例6）计算.231568lim323-+++∞→x x x x x例7（讲义例7）求 .21lim 222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n n n n例8 计算 ()()()();1111lim3431x x x x x ----→例9（讲义例8）求 ).sin 1(sin lim x x x -++∞→例10 计算下列极限：（1）;1!sin lim32+∞→n n n n （2）.2tan lim /10x x ex+→ 例11（讲义例9）已知 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-+<-=0,1130,1)(32x x x x x x x f , 求 ).(lim ),(lim ),(lim 0x f x f x f x x x -∞→+∞→→复合函数的极限运算法则例12（讲义例10）求极限 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→)1(21ln lim 21x x x . 例13（讲义例11）已知2)5(lim 2=+--+∞→c bx ax x x , 求b a ,之值.课堂练习1. 求极限: .231lim)2(;lim )1(31sinxx ex xx x +-++∞→→2.在某个过程中, 若)(x f 有极限, )(x g 无极限, 那么)()(x g x f +是否有极限? 为什么?第八节 极限存在准则 两个重要极限内容分布图示★ 夹逼准则★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8★ 例9★ 单调有界准则 ★ 例10 ★ 例11 ★1sin lim0=→xxx★ 例12★ 例13 ★ 例14★ 例15 ★ 例16★ 例17★ 例18★ e n xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim ★ 例19 ★ 例21 ★ 例22★ 例23★ 例24 ★ 25★ 柯西极限存在准则 ★ 连续复利（例26） ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1-8★ 返回内容要点：一、准则I （夹逼准则）：如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:a) ),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ; b) ,lim ,lim a z a y n n n n ==∞→∞→那末数列n x 的极限存在, 且.lim a x n n =∞→注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出n y 与n z , 并且n y 与n z 的极限相同且容易求. 二、 准则II （单调有界准则）：单调有界数列必有极限. 三、 两个重要极限：1. 1sin lim 0=→x x x ； 2．e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim四、连续复利设初始本金为p (元), 年利率为r , 按复利付息, 若一年分m 次付息, 则第n 年末的本利和为mnn m r p s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1如果利息按连续复利计算, 即计算复利的次数m 趋于无穷大时, t 年末的本利和可按如下公式计算rt mtm pe m r p s =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→1lim若要t 年末的本利和为s , 则初始本金rt se p -=.例题选讲：夹逼准则的应用例1（讲义例1）求 .12111lim 222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 例2 求.)321(lim 1n n n n ++∞→例3 求 ()().1111lim 222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→n n n n n 例4 求 ().1lim >∞→a a nn n例5 求 ().0!lim >∞→a n a nn 例6（讲义例2）求 .!limnn n n ∞→ 例7（讲义例3）求 .lim n n n ∞→例8（讲义例4）求证).0(1lim >=∞→a a n n例9（讲义例5）求极限.1lim 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x单调有界准则的应用例10（讲义例6）设有数列31=x ，,,312 x x +=13-+=n n x x ,求 .lim n n x ∞→例11 设 0>a 为常数, 数列 n x 由下列定义: ),2,1(2111 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--n x a x x n n n 其中0x 为大于零的常数，求.lim n n x ∞→ 两个重要极限的应用例12（讲义例7）求 xxx tan lim0→.例13 求 .5sin 3tan lim0xxx →例14（讲义例8）求 .cos 1lim 20xxx -→ 例15 下列运算过程是否正确： 1sin lim tan lim sin .tan lim sin tan lim===→→→→xxx x x x x x x x x x x x x x x x例16 计算 .3cos cos lim 20x xx x -→例17 计算 ;cos sin 1lim2xx x x x -+→例18（讲义例9）求 3sin 2tan 2limxxx x +-+→. 例19（讲义例10）求 311lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛+n n n .例20（讲义例11）求 ().21lim /10xx x -→例21（讲义例12）求 xx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→11lim 例22（讲义例13）求 .23lim 2xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛++∞→例23 求 .1lim 22xx x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→ 例24 计算 ().lim /10xxx xe +→例25 求极限 ().tan lim 2tan 4/xx x π→连续复利例26（讲义例14） 一投资者欲用1000元投资5年, 设年利率为6%,试分别按单利、复利、每年按4次复利和连续复利付息方式计算, 到第5年末, 该投资者应得的本利和A .注: 连续复利的计算公式在其它许多问题中也常有应用如细胞分裂、树木增长等问题.课堂练习1. 求极限 .sin sin tan lim20xx xx x -→ 2. 求极限.)93(lim 1x x xx ++∞→第九节 无穷小的比较内容分布图示★ 无穷小的比较 ★ 例1-2 ★ 例3 ★ 常用等价无穷小 ★ 例4 ★ 等价无穷小替换定理 ★ 例5★ 例6★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 例 11★ 例1 2 ★ 等价无穷小的充要条件★ 例13★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-9 ★ 返回内容要点：一、 无穷小比较的概念：无穷小比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同.二、 常用等价无穷小关系：)0(~1)1()0(ln ~1~1~)1ln(21~cos 1~arctan ~arcsin ~tan ~sin 2是常数≠-+>--+-αααx x a a x a xe xx x x x x x x x x x x x x三、 关于等价无穷小的两个重要结论：定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件是).(ααβo +=定理2 设，是同一过程中的无穷小ββαα'',,,且ββαα''~,~，αβ''lim存在, 则 .lim limαβαβ''=例题选讲：无穷小比较概念的应用：例1（讲义例1）证明: 当0→x 时, x x 3tan 4为x 的四阶无穷小. 例2（讲义例2）当0→x 时, 求x x sin tan -关于x 的阶数.例3 当1→x 时，将下列各量与无穷小量1-x 进行比较. （1）;233+-x x （2）;lg x （3）().11sin1--x x 例4 证明.~1x e x -例5（讲义例4） 求极限.1211lim nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→例6（讲义例6）求 xxx 5sin 2tan lim0→.例7（讲义例7）求 .2sin sin tan lim30xxx x -→ 例8求 ().1cos 11lim3/120--+→x x x例9（讲义例8）求 121tan 1tan 1lim-+--+→x xx x例10计算 ().1ln lim 2cos 0x x e e xx x x +-→例11 计算 .sin cos 12lim2xxx +-→ 例12 求 ()().cos sec 1ln 1ln lim220xx x x x x x -+-+++→ 例13（讲义例9）求 xx x x 3sin 1cos 5tan lim 0+-→等价无穷小的应用：例3（讲义例3） 证明: 11lim0=-→xe x x . 例5（讲义例5）设,0≠α证明: .11)1(lim 0=-+→xx x αα无穷小等价替换定理的应用：课堂练习1. 求极限 βαβαβα--→e e lim .2. 任何两个无穷小量都可以比较吗?第十节 函数的连续性与间断点客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性. 本节将要引入的连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型.16、17世纪微积分的酝酿和产生，直接肇始于对物体的连续运动的研究. 例如伽利略所研究的自由落体运动等都是连续变化的量. 但直到19世纪以前，数学家们对连续变量的研究仍停留在几何直观的层面上，即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为连续函数. 19世纪中叶，在柯西等数学家建立起严格的极限理论之后，才对连续函数作出了严格的数学表述.连续函数不仅是微积分的研究对象，而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等，往往都要求函数具有连续性.本节和下一节将以极限为基础，介绍连续函数的概念、连续函数的运算及连续函数的一些性质.内容分布图示★ 函数的连续性 ★ 例1 ★ 例2 ★ 左右连续 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 连续函数与连续区间 ★ 例7★ 函数的间断点 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 例12 ★ 例 13 ★ 例14★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题1-10 ★ 返回内容要点：一、函数的连续性：函数的增量 连续性的三种定义形式二、左右连续的概念定理1 函数)(x f 在0x 处连续的充要条件是函数)(x f 在0x 处既左连续又右连续. 三、 连续函数与连续区间四、函数的间断点及其分类：第一类间断点 跳跃间断点 可去间断点；第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点；例题选讲：函数的连续性例1（讲义例1）试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f 在0=x 处连续. 例2设)(x f 是定义于[a , b ]上的单调增加函数, ),,(0b a x ∈如果)(lim 0x f x x →存在, 试证明函数)(x f 在点0x 处连续.例3（讲义例4）讨论⎩⎨⎧<-≥+=,0,2,0,2)(x x x x x f 在0=x 处的连续性.。

引言极限是研究变量的变化趋势的基本工具。

在高等数学中许多基本概念和研究问题的方法都和极限密切相关，如函数的连续、导数、定积分和无穷级数等都是建立在极限的基本之上的。

极限的思想和方法产生某些实际问题的精确解，并且对数学在实际中的应用也有着重要的作用。

因此研究生考试往往把求极限问题作为考核的一个重点，而在不同的函数类型条件下所采用的求极限的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，熟练和灵活的掌握各种技巧的应用。

本文主要介绍了导数在求极限中的基本应用，包括导数定义法，L ’Hospital 法则，Taylor 展式法及微分中值定理在求极限中的应用。

旨在让大家掌握各种导数方法适用的函数类型，要注意的事项及它的一些推广结论。

达到能灵活运用导数方法去求解一些极限问题以使问题简单化的目的。

第1章导数在求极限中的基本应用1.1导数定义法这种极限求法主要针对所给的极限不易求，但是函数满足导数定义的形式且能够确定的变化趋向的极限易求出时，可以用此法比较方便的求出极限.定义若函数()y f x =在其定义域中的一点0x 处极限存在，则称在0x 处可导，称此极限值为()f x 在0x 处的导数，记为0()f x '.显然，()f x 在0x 处的导数还有如下的等价定义形式：000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-.下面通过两个例子让大家逐步领悟导数定义法的内涵例1求极限tan sin 0limsin b x b xx xαα+-→-.解由于tan sin tan sin tan sin tan sin sin b x b xb x b b b xx xxxxαααααα+-+----=+.所以，tan sin tan sin 0tan limlimlimsin tan sin sin b x b xb x b b b xx x x xxxxxαααααα+-+-→→→---=+ln ln 2ln b b b αααααα=+=.例2(本题选自《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第二版.)设(0)f k '=，试证00()()lim a b f b f a k b a-+→→-=-.证明（希望把极限式写成导数定义中的形式）（拟合法思想：把要证的极限值k 写成与此式相似的形式） 两式相减，可得因0a -→，0b +→，所以有0b a >>，1a bb a b a<--又因(0)f k '=，故当0a -→，0b +→时右端极限为零，原极限获证.1.2L ’Hospital 法则本节主要总结了L ’Hospital 法则在求未定式极限中的应用，需要注意的问题，并深入分析了使用L ’Hospital 法则时实质是对无穷小或无穷大进行降阶.另外还指出L ’Hospital 法则与其他极限方法如无穷小的替换的结合.1. L ’Hospital 法则L ’Hospital 法则作为Cauchy 中值定理的重要应用，在计算未定式极限中扮演了十分重要的角色，这是因为对于未定式极限来讲极限是否存在，等于多少是不能用极限的四则运算法则解得的，而通过对分子分母求导再求极限能够很有效的计算出未定式的极限. 关于未定式：在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母都趋于零或都趋于无穷大的情况，由于这是无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很大的困难.事实上，这是极限可能存在也可能不存在.当极限存在时极限值也会有各种各样的可能.我们称这种类型的极限为0未定型或∞∞未定型.事实上，未定型除以上两种类型外还有0⋅∞，∞-∞，1∞，00，0∞等类型. L ’Hospital 法则： 定理[]4若函数f 和g 满足:①0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；②在点0x 的某空心邻域00()U x 内可导，且()0g x '≠； ③0()lim()x x f x A g x →'='(A 可为有限数或∞)； 则00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 注：以上结论在0x x ±→，或是x →∞（包括+∞和-∞）时也是成立的.2. L ’Hospital 法则的应用a) L ’Hospital 法则能处理的基本未定型极限是00型或∞∞型例1求lim n x x x e λ→∞（n 为正整数，0λ>）.（∞∞型）解连续使用L ’Hospital 法则n 次122(1)!lim lim lim lim 0n n n x x xn x x x x x x nx n n x n e e e e λλλλλλλ--→∞→∞→∞→∞-===⋅⋅⋅==. 从以上例中可看出L ’Hospital 法则的实质是对无穷小或无穷大进行降阶. 下面再看两个L ’Hospital 法则在解含有变限积分问题中的应用.例2求03(1cos )limxx t dt x→-⎰.分析：因为0(1cos )x t dt -⎰可导从而连续，所以此问题属于0型，可用L ’Hospital 法则求解.解032(1cos )(1cos )limlim03xx x t dt t dt x x →→--==⎰⎰.例3求极限110()lim x x f t x dt t αα++→⎰，其中0α>，()f x 为闭区间[]0,1上的连续函数. 解111100()()lim lim 1x x x x f t dt f t t x dt t x αααα++++→→=⎰⎰因0x →时，1x α单调递减趋于+∞， 使用L ’Hospital 法则，则111110001()()()()(0)lim lim lim lim 11xxx x x x f t f x dt f t f x f t x x dt tx xααααααααα+++++++→→→→+-====-⎰⎰. （2）在使用L ’Hospital 法则时，必须验证条件是否满足①所求的极限是否未定型极限；②求完导数后极限是否存在.其中第二条容易忽略.例4设()f x 为可导函数，(0)(0)1f f '==，求极限0(sin )1limsin x f x x→-.解0(sin )1limsin x f x x →-00cos (sin )lim lim (sin )(0)1cos x x x f x f x f x→→'⋅''====. （此题不能用L ’Hospital 法则求解，错误出在题目中没有给出在处连续的条件，所以不知道的极限是否存在，即不满足条件②，题目中只是说在处可导，而定理中要求在的某个邻域中可导） 当求导后的极限不存在时，原极限仍可能有极限，所以求导后极限不存在只能说明此时L ’Hospital 法则失效，不能说原式无极限.（3）对于其他未定型或极限0⋅∞、∞-∞、1∞、00、0∞等类型，可分别通过做商、通分、取对数转化成00型或∞∞型的极限，再使用L ’Hospital 法则.例5求极限1lim(1)tan2x x x π→-.解2111121122lim(1)tanlimlimlim sin 22cotcsc222x x x x xx x x x xπππππππ→→→→---====-.注：这是将0⋅∞型转化成了00型，如果选择不当把它化成∞∞型，则解题过程将会比较复杂.转化时一般规律是选择求导后式子简单的那种类型.例6求极限01limcot x x x→-.解将它改写成1cos sin cot sin x x x x x x x--=就化成了∞∞型，于是有01limcot x x x →-2000cos sin sin cos sin cos lim lim lim 0sin 2x x x x x x x x x x x xx x x x→→→---====. “1∞、00、0∞”可以通过如下转化化成型或型：例7 求极限2lim (arctan )x x x π→+∞.（1∞型）解因为2lim ln(arctan )2lim (arctan )x x x xx x eππ→+∞→+∞=而2lnarctan 2lim ln(arctan )lim1x x x x x xππ→+∞→+∞=所以22lim ln(arctan )2lim (arctan )x x x xx x eeπππ→+∞-→+∞==.例8 求极限1ln 0lim(cot )xx x +→.（0∞型）解因为当0x +→时tan x x :，所以0ln 111lim 1ln ln ln ln 00011lim (cot )lim ()lim ()tan x xxxx xx x x x e e x x+→+++--→→→====.（4）利用L ’Hospital 法则求数列极限——Stolz 公式Stolz 公式可以说是数列的L ’Hospital 法则，它对求数列的极限很有用. 定理1[4]（∞∞型的Stolz 公式） 设{}n x 严格递增（即n N ∀∈有1n n x x +<）且lim n n x →∞=+∞，若①11limn n n n n y y a x x -→∞--=-（有限数），则lim n n nya x →∞=；②a 为+∞或-∞，结论仍然成立.定理2[4]（0型的Stolz 公式）设n →∞时0n y →，{}n x 严格单调下降趋于零，若11limn n n n n y y a x x -→∞--=-，则limnn ny a x →∞=（其中a 为有限数，+∞或-∞）. 例9 求极限limln n n n →∞.解由于1lim lim 1ln x x x x x→+∞→+∞==+∞，所以limln n nn→∞=+∞. 例10证明1121lim 1p p p p n n n p +→∞++⋅⋅⋅+=+（p 为自然数）.证11112(1)lim lim (1)p p p pp p p n n n n nn n +++→∞→∞++⋅⋅⋅++=+- 1(1)1lim (1)1(1)12p n pp n p p p p n n →∞-+==+++++⋅⋅⋅+. 下面说明Stolz 公式必要时可以重复使用例11 02ln nk nk n CS n ==∑（其中(1)(1)12kn n n n k C k-⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅），求lim n n S →∞.解因2n 单调递增趋于+∞，可应用Stolz 公式（再次使用Stolz 公式）1ln()(1)ln(1)ln ln(1)1limlim(21)(21)22nn n n n n n n n n n n →∞→∞+++--+===+--.例12 求极限121112122223222lim()()()212121n n n n n ---→∞⋅⋅⋅---.解先取对数，再取极限.令121112122223222lim()()()212121n n n n n n x ---→∞=⋅⋅⋅---应用Stolz 公式故,原式1lim 2n n x →∞==.（5）L ’Hospital 法则与其他方法相结合使用，如与无穷小相结合.例13求极限22201cos lim sin x x x x →-.解422240011cos 12lim lim sin 2x x xx x x x →→-==. 有个别题目在使用L ’Hospital 法则时会出现循环现象，此时不能用L ’Hospital 法则求解，如下面一例.例14求极限lim x xx x x e e e e --→+∞-+.解221lim lim11x x xx x xx x e e e e e e ----→+∞→+∞--==++. 第2章Taylor 展式在求极限问题中的应用本节介绍运用Taylor 公式求解一些较复杂的未定型的函数极限及中值点的极限、无穷远处的极限.定理1[4]（带Peano 余项的Taylor 公式）设()f x 在0x 处有n 阶导数，则存在0x 的一个邻域，对于该邻域中的任一点x ，成立 其中余项()()n r x 满足()0()(())n n r x o x x =- 定理2[4]（带Lagrange 余项的Taylor 公式）设()f x 在[],a b 上有n 阶连续导数，且在(,)a b 上有1n +阶导数.设[]0,x a b ∈为一定点，则对于任意[],x a b ∈，成立其中余项()()n r x 满足(1)()10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+，ξ在x 和0x 之间. 注：函数()f x 在0x =处的Taylor 公式又称为函数()f x 的Maclaurin 公式. 几个常用函数的Maclaurin 公式:（为了便于书写，我们写出带Peano 余项的Taylor 公式）①231()2!3!!nxn x x x e x o x n =++++⋅⋅⋅++;②352122sin (1)()3!5!(21)!n nn x x x x x o x n ++=-+-⋅⋅⋅+-++; ③24221cos 1(1)()2!4!(2)!n n n x x x x o x n +=-+-⋅⋅⋅+-+; ④230123(1)()()()()()()n n nx x x x x o x αααααα+=++++⋅⋅⋅++ 其中α为任意实数，(1)(1)()!k k k αααα-⋅⋅⋅-+=，并规定0()1α=；⑤2341ln(1)(1)()234nn n x x x x x x o x n -+=-+-⋅⋅⋅+-+； ⑥3521122arctan (1)()3521n n n x x x x x o x n +-+=-+-⋅⋅⋅+-++. 1.用Taylor 公式巧解未定型极限由于L ’Hospital 法则的实质是对分子分母进行降阶，这意味着当遇到分子分母都是较高阶的情况时，必须多次应用L ’Hospital 法则，遇到分子分母有带根号项时，会越微分形式会越复杂.而用公式则可进一步到位，所以在求解未定型极限时，应该灵活使用公式法解决.从而避免应用法则出现的解题困难. 例1求极限2240cos limx x x e x -→-.解这是个0未定型极限问题，如果使用L ’Hospital 法则，则分子分母需求导四次，但若使用Taylor公式，则44401()112lim 12x x o x x →-+==-. 例2求极限0x →解这也是个0未定型的极限问题，因2441()624x x o x =-+，4224sin ln(1sin )sin (sin )2x x x o x +=-+用324sin [()]6x x x o x =-+代入，即有42245ln(1sin )()6x x x o x +=-+于是240ln(1sin )1)lim x x x→+- 424244405[()]6[()]76624lim 12x x x x x o x o x x →-+--+==-. 2.用Taylor 公式求中值点的极限例3（《本题选自数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第2版.第251页） 设（1）()f x 在00(,)x x δδ-+内是n 阶连续可微函数，此处0δ>； （2）当2,3,(1)k n =⋅⋅⋅-时，有()0()0n f x =但是(1)0()0n f x +≠； （3）当0h δ≠<时有000()()(())f x h f x f x h h hθ+-'=+①其中0()1h θ<<证明：lim ()h h θ→∞=证我们要设法从①式中解出()h θ，为此我们将①式左边的0()f x h +及右边的0(())f x h h θ'+在0x 处展开.由条件（2）知12,(0,1)θθ∃∈使得于是①式变成从而()h θ=因12,()(0,1)h θθθ∈，利用()()n f x的连续性，可得lim ()h h θ→∞=注：此题若用L ’Hospital 法则做将不胜其烦.例4设()()()()(),(01)!n n h f x h f x hf x f x h n θθ'+=++⋅⋅⋅++<<， 且(1)()0n f x +≠，证明：01lim 1h n θ→=+. 提示：1()(1)1()()()()()()!(1)!n n n n n h h f x h f x hf x f x f x o h n n +++'+=++⋅⋅⋅++++ 从而有()()(1)()()()()1n n n f x h f x h hf x o h h n θθθ++-=++. 证明2()11()()()()()2!!n n f x h f x hf x f x h f x h h n θ'''+=+++⋅⋅⋅++ 另0,h →得到(1)(1)01lim ()()1n n h f x f x n θ++→⋅=+，再由(1)()0n f x +≠，两边消去(1)()n f x +，即得到01lim 1h n θ→=+.3.用Taylor 公式求无穷远处的极限例5（《本题选自数学分析中的典型问题与方法》裴礼文.第2版.第249页）设函数()x ϕ在[)0,+∞上二次连续可微，如果lim ()x x ϕ→+∞存在，且()x ϕ''在[)0,+∞上有界，试证：lim ()0x x ϕ→+∞'=.证明要证明lim ()0x x ϕ→+∞'=，即要证明：0,0ε∀>∃∆>当0∆>时()x ϕε'<利用Taylor 公式，210,()()()()2h x h x x h h ϕϕϕϕξ'''∀>+=++即11()[()()]()2x x h x h h ϕϕϕϕξ'''=+--①记lim ()x A x ϕ→+∞=因ϕ''有界，所以，0M ∃>使得()x M ϕ''≤,（对x a ∀≥）故由①知211()(()())2x x h A A x Mh h ϕϕϕ'≤+-+-+②对0ε∀>，首先可取0h >充分小，使得2122Mh ε<，然后将h 固定，因lim ()x x A ϕ→+∞=，所以0∃∆>，当0x >时，从而由②式，即得()22x εεϕε'<+=.第3章微分中值定理在求极限问题中的应用微分中值定理是Role 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理和Taylor 中值定理的统称。

第一章函数极限与连续总结函数极限与连续是高等数学中的重要概念，对于函数的性质和特征有着深远的影响。

在第一章的学习中，我们主要学习了函数的极限以及连续的定义与性质。

本文将对第一章的内容进行总结。

函数的极限是研究函数在其中一点或其中一区间的变化趋势的工具。

当自变量趋近于其中一点或其中一区间时，函数的值也有可能趋近于其中一固定值，这个固定值就是函数的极限。

在函数的极限的概念中，我们主要学习了一些基本的性质和计算方法。

通过极限的四则运算法则，我们可以将复杂的函数进行简化和转化，从而更好地研究它们的性质。

我们还学习了一些常见的函数的极限值，如指数、对数、三角函数及其反函数的极限。

通过对函数的极限的学习，我们可以了解函数在其中一点或其中一区间的变化趋势，从而更好地理解函数的特征和性质。

极限的计算方法也有助于我们解决实际问题，比如利用极限来计算一些数列的极限，从而得到更加精确的近似值。

连续是函数的一个重要性质，它代表了函数图像的连贯性和平滑性。

连续函数的定义是：当自变量在其中一点或其中一区间内变化时，函数的值也会在同一点或同一区间内变化，并且不会有跳跃或断层的现象。

我们学习了一些常见的连续函数，并掌握了判断函数连续性的方法。

其中，我们主要研究了基本初等函数、分段函数和复合函数的连续性。

通过学习这些连续性的性质，我们可以更好地分析函数的行为和特点。

在函数极限和连续的学习中，我们还学习了一些重要的定理和概念。

例如，极限存在准则、函数极限的无穷大与无穷小、函数极限的唯一性等。

这些定理和概念帮助我们更好地理解和应用函数的极限和连续性。

总的来说，函数的极限和连续性是高等数学中重要的概念和工具。

通过学习函数的极限，我们可以更好地了解函数的性质和特征，对于求解实际问题和进行精确计算有着重要的作用。

而学习连续性则可以帮助我们判断函数的连贯性和平滑性，更好地分析函数的行为和特点。

对于进一步学习高等数学以及其他数学学科，函数的极限和连续性是必不可少的基础知识。

二元函数求极限的定义与基本性质在数学中，二元函数是指依赖于两个变量的函数。

求解二元函数的极限是研究其变化趋势和性质的重要手段之一。

本文将介绍二元函数求极限的定义，并探讨一些基本的性质。

一、二元函数求极限的定义对于给定的二元函数 f(x, y)，当自变量 (x, y) 的取值趋近于某个点(a, b) 时，如果函数值 f(x, y) 的极限存在且唯一，那么我们称该函数在点 (a, b) 处有极限，记作：lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中 L 为极限值。

二、二元函数极限的性质1. 唯一性：二元函数的极限值在同一点处只能有唯一的取值。

2. 有界性：如果函数在某点 (a, b) 处有极限，那么它在该点周围的某个邻域内是有界的。

3. 保号性：如果函数在某点 (a, b) 处的极限存在且大于零（或小于零），那么在该点附近的某个领域内，函数的取值也大于零（或小于零）。

4. 极限的四则运算性质：设二元函数 f(x, y) 和 g(x, y) 在点 (a, b) 处有极限，则它们的和、差、乘积以及商（当g(x, y) ≠ 0）仍在该点处有极限，并且有以下运算公式：lim_(x,y)→(a,b) (f+g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) + lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f-g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) - lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f*g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) * lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f/g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) / lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)5. 极限的复合性质：设函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处有极限 L，函数 g(u) 在点 L 处有极限 M，则复合函数 g(f(x, y)) 在点 (a, b) 处也有极限 M。

第1章 函数、极限与连续第2讲极限的定义与性质主讲教师 |引言为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势。

一尺之棰，日取其半，万世不竭。

--- 《庄子 • 天下篇》极限思想是研究变量变化趋势的基本工具,也是研究函数的一种基本方法.高等数学中的一系列基本概念,都是建立在极限理论基础之上的.01 数列极限的定义本节内容02 数列极限的性质03 函数极限的定义04 函数极限的性质我们知道，按照一定顺序排列的数称为数列，记为其中ᵆᵅ如果能，是哪个数？ᵆ1,ᵆ2,⋯,ᵆᵅ,⋯能否无限接近于某个确定的数值？割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。

--- 刘徽引例R观察下列数列的变化趋势：?+∞Ὅ定义1.6Ὅ定义1.7几何意义x 2x 1x N+1x N+2x 3xa a -εa +ε2εx na -εN -1N+1N+2N+3N+4nN 1O 234a a+ε注释（1）极限定义的关键在于什么是无限增大,什么是无限趋近；（3）研究一个数列的极限,关注的是数列后面无限项的问题,改变该数列前面任何有限多个项,都不能改变这个数列的极限；用定义证明极限时,关键是确定合适的 N (一般不唯一) !Ὅ例1解解得01 数列极限的定义本节内容02 数列极限的性质03 函数极限的定义04 函数极限的性质Ὅ 定理1.2Ὅ 定理1.3收敛数列的极限是唯一的。

即： （唯一性）收敛数列是有界的。

即：（有界性）（1）有界是数列收敛的必要条件;（2）无界数列必定发散。

Ὅ定理1.4（保序性）（保号性）὎定理1.5（收敛数列与子数列的关系）὎注定理 1.5 的逆否命题常用来证明数列的发散性。

常见情形如下：01 数列极限的定义本节内容02 数列极限的性质03 函数极限的定义04 函数极限的性质ᵆᵅ=ᵅ(ᵅ)ᵆ=ᵅ(ᵆ)一般函数？Ὅ定义1.9（自变量趋于无穷大时函数的极限）὎注几何意义O xyy =f (x )A A -εA +ε-X XὍ定理1.6Ὅ例2解考察极限与是否存在.因为所以不存在.὎定义1.12（自变量趋于有限值时函数的极限）὎注几何意义y =f (x )AA -ε-+A +εy O x类似地，在自变量趋于有限值时也可以定义单侧极限：Ὅ定理1.7Ὅ例3解὎注01 数列极限的定义本节内容02 数列极限的性质03 函数极限的定义04 函数极限的性质（唯一性）（局部有界性）Ὅ 定理1.8Ὅ 定理1.9Ὅ定理1.10（局部保序性）推论（局部保号性）Ὅ定理1.11（海涅定理）὎注（1）存在两个收敛于不同极限的子列；Ὅ 例4解函数草图：无限次振荡y x O1π1π2π3π4π5π6὎注当自变量取其他变化过程，包括上述极限的性质仍相应的成立，大家可以自行推导。

x 0
o
1
x
对数函数 y log a x (a 0, a 1)
y ln x
y log a x

(1,0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(a 1)
y log a x
(0 a 1)
x 0
lim ln x
例如：
求 lim f ( x), lim f ( x)
x 0
x , 1 x 0 y f ( x) sin x, 0 x 2 2 x 1, 2 x
n n
n
二、函数 y=f(x)的极限： 设函数 y=f(x) 在点 x0 的邻域内 ( 点 x0 可以除外 ) 有定义， 如果当自变量x无限趋近于x0(但x≠x0)时，函数f(x)无限 趋近于某个固定常数 A, 则称当 x 趋于 x0 时，函数以 A 为 极限。
记作
x x0
lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x x0 )
x x0
lim f ( x) lim f ( x) A
x 1, x 0 f ( x) 0 , x 0 x 1 , x 0 讨论 x 0 时 f ( x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 因为
例6. 设函数
f (0 0) lim f ( x)
lim sin x
不存在
二、自变量趋于有限值时函数的极限
x x0 x0
为有限值
f(x) →变化趋势?
例7 讨论当 x 2 时，函数
的变化趋势
x
… 1.999999
1.999999999
2
2.000000001
2.0000.1

极限的定义是什么概念极限的定义是什么概念极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

下面是店铺给大家整理的极限的定义是什么概念，希望能帮到大家!极限的定义是什么概念篇1“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”(“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果)的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。

极限是一种“变化状态”的描述。

此变量永远趋近的值A叫做“极限值”(当然也可以用其他符号表示)。

以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。

极限的定义是什么概念篇2定义可定义某一个数列{xn}的收敛：设{xn}为一个无穷实数数列的集合。

如果存在实数a，对于任意正数ε (不论其多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，均有不等式成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。

记作或。

如果上述条件不成立，即存在某个正数ε，无论正整数N为多少，都存在某个n>N，使得，就说数列{xn}不收敛于a。

如果{xn}不收敛于任何常数，就称{xn}发散。

对定义的理解：1、ε的任意性定义中ε的作用在于衡量数列通项与常数a的接近程度。

ε越小，表示接近得越近;而正数ε可以任意地变小，说明xn 与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。

但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N;又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2 等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。

论高等数学极限思想中所蕴涵的哲学思想作者：张敏张道振陈宇剑来源：《教师·中》2014年第08期摘要：高等数学中重要的概念均建立在极限基础之上，而极限思想蕴涵着丰富的辩证法思想，深刻领悟这些哲学思想对掌握高等数学有着极其重要的意义。

关键词：高等数学；极限；哲学思想高等数学属于自然科学，但其中蕴涵着丰富的哲学思想。

在教学中，教师如果能充分挖掘高等数学中的哲学思想，用哲学的观点和思维方法来指导高等数学教学，不仅可以培养学生的辩证唯物主义思想，提高学生的哲学素养，还可以使学生从新的角度来认识数学、理解数学、感受数学。

极限是一种研究变量变化趋势的数学方法，体现了辩证法思想。

理解极限概念和其思想中所蕴涵的哲学思想，对掌握高等数学有着极其重要的意义。

一、量变引起质变规律极限思想体现了量变引起质变的规律。

量变引起质变规律揭示了事物发展变化形式上具有的特点，当量的变化达到一定程度会引起质的变化。

质变不仅可以完成量变，而且为新的量变开辟道路。

在高等数学极限概念的引入中，为求曲线y=f（x）在点P 处的切线的斜率，首先在曲线上另取一点Q，并求割线PQ的斜率；然后让点Q沿曲线无限地趋近点P，割线的极限位置即是曲线在点P处的切线，而割线PQ斜率的极限就是切线的斜率。

在点Q沿曲线无限趋近点P的动态过程中，割线PQ的斜率在不断地发生变化，越来越接近切线斜率，但这只是一个量变的过程，它表示的终究是割线的斜率，而不是切线的斜率。

只有当点Q到达极限位置即点Q与点P重合时，割线PQ的斜率才发生质变，成为切线的斜率，体现了量变引起质变的规律。

二、对立统一规律极限是从有限到无限的工具和桥梁，无论是概念的引入还是概念本身，都体现了变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确的对立统一。

例如，对于数列an={1/n}，其极限为0。

数列中的每一项an的值在不断变化，这个过程是动态的，项数也是有限的，但是，当项数n无限增大时，an无限趋近于一个确定的常数0，这个无限运动变化的结果是一个数值，因此在极限思想中无限是有限的发展，有限是无限的结果，是对立统一的。

lim 无穷公式lim无穷公式是数学中的一个重要概念，用于描述一个函数在自变量趋向于无穷大时的极限值。

在数学中，极限是研究函数变化趋势的重要工具，而lim无穷公式则是计算这种趋势的数学表达式。

我们先来了解一下lim无穷公式的数学定义。

lim无穷公式可以表示为lim(f(x))=L，其中f(x)是一个函数，x是自变量，L是函数在x 趋向于无穷大时的极限值。

这个公式可以用来描述函数在自变量无穷大时的趋势，即函数的极限值。

在实际应用中，lim无穷公式有着广泛的应用。

例如，在物理学中，lim无穷公式可以用来描述物体在空气阻力下的速度变化趋势；在经济学中，lim无穷公式可以用来描述市场需求的变化趋势；在生物学中，lim无穷公式可以用来描述种群数量的增长趋势等等。

为了更好地理解lim无穷公式的应用，我们来举一个具体的例子。

假设有一个函数f(x)=1/x，我们想要计算lim(f(x))当x趋向于无穷大时的极限值。

根据lim无穷公式，我们可以将函数f(x)代入公式中，即lim(1/x)。

当x趋向于无穷大时，1/x的值将趋近于0。

因此，lim(1/x)的极限值为0。

这意味着函数f(x)在自变量趋向于无穷大时，其值将趋近于0。

除了上述例子，lim无穷公式还可以应用于更复杂的函数。

例如，我们可以考虑函数f(x)=x^2+3x+1，计算lim(f(x))当x趋向于无穷大时的极限值。

根据lim无穷公式，我们可以将函数f(x)代入公式中，即lim(x^2+3x+1)。

当x趋向于无穷大时，x^2和3x的值将趋近于无穷大，而常数1的值不会改变。

因此，lim(x^2+3x+1)的极限值为无穷大。

这意味着函数f(x)在自变量趋向于无穷大时，其值也将趋向于无穷大。

在实际计算lim无穷公式时，可以使用一些数学方法来简化计算过程。

例如，可以利用代数运算规则、极限运算法则和导数等方法来求解lim无穷公式。

这些方法可以帮助我们更快地计算lim无穷公式的极限值，提高计算效率。

x
x
2、 求极限 lim x px q x x
31
要求
1）了解极限的思想方法 2）会求基本的极限
两条经验
1).求趋于无穷的极限，根本思想是除 2).别忘了，还有两个充要条件
32
想一想下面的极限等于几?
lim
x
x
3 12 2x 18 3x 120
33
(7) 1,1,1,1,, 1 n1, 极限不存在
8
2n 1n
例1.求极限
lim
n
n
解：原式=
lim 2 n
1n
n
2
9
练习一下
1、 求极限lim 6n 1n 2
n
3n
２、
求极限 lim n
4n2 3n2
n
1
1
4 3
3、
求极限 lim n
1 n2
2 n2
n n2
1 2
4、 求极限lim n
f(x)
无限趋近于常数A, 则称当 x 时，函数 以fA( 为x )极限。
定义2.3 对于任意给定的正数 ,总存在正数 M ,
当 x <－M 时，恒有| f ( x ) A |
则称当 x 时，函数 以fA(为x )极限。
记作: lim f ( x ) A, f ( x ) A x . x
x
12
例2. 证明
lim
n
1 n1
0
（不作要求）
证
0,
要使
1 n1
0
1 n1
只要
n
1
1
即可
取
N
1
,则当
n N 时,

极限的几个概念极限是微积分的重要概念之一，它是描述函数在某一点处趋向于某个特定值的性质。

在数学中，我们通常用极限来刻画函数的变化趋势，为我们研究函数的性质和解决实际问题提供了有力的工具。

在这篇文章中，我将对极限的几个概念进行详细阐述。

首先，我们来介绍一下函数在某点的极限。

设函数f(x)定义在区间(a, b)上，如果对于任意给定的ε> 0，存在δ> 0，使得对于任意满足0 < x - a < δ的x，都有f(x) - L < ε成立，那么我们就说函数f(x)在点a的极限为L，记作lim(f(x)) = L，即：lim(x→a)⁡〖f(x) = L〗这个定义可以解释为：当自变量x趋近于a时，函数f(x)的值趋近于L。

如果函数在点a左右两侧的极限不相等，或者不存在，我们称之为函数在点a处的间断点。

接下来，我们介绍一下无穷极限的概念。

在函数的定义域中，如果x逼近于无穷大时，函数f(x)的极限存在且有确定的值L，那么称这个极限为无穷大。

如果x 逼近于无穷小时，函数f(x)的极限存在且有确定的值L，那么称这个极限为无穷小。

无穷大和无穷小是解决函数在无穷远处的行为问题非常有用的工具。

极限还有一些重要的性质。

首先是极限的唯一性。

如果函数在某一点的极限存在，那么这个极限是唯一的，即函数不能同时趋近于两个不同的值。

其次是四则运算的极限性质。

假设lim(x→a)⁡〖f(x) = L〗，lim(x→a)⁡g(x) = M，那么有以下结果：lim(x→a)⁡〖(f(x) ±g(x)) = L ±M〗、lim(x→a)⁡〖(f(x) ×g(x)) = L ×M〗和lim(x→a)⁡〖(f(x) ÷g(x)) = L ÷M〗。

最后是复合函数的极限。

设f(x)在点a的一个去心领域内有定义，而g(x)在点L的一个去心领域内有定义，并且lim(x →a)⁡f(x) = L，lim(y→L)⁡g(y) = M，那么有lim(x→a)⁡〖g(f(x)) = M〗。

第一章函数极限与连续高等数学可以说是变量数学，它的研究对象、研究方法与初等数学相比都有相当大的差异。

它主要研究对象是函数，它的主要内容是微积分学，它的主要手段是以极限为工具，并在实数范围内研究函数的变化率及其规律性，从而产生微积分的基本概念及性质。

本章主要介绍函数的概念及其基本性质；数列与函数的极限及其基本性质；连续函数的概念及其基本性质，为进一步学好函数的微积分打下一个良好的基础。

第一节函数的概念一、几个基本概念1 常量与变量在日常生活或生产实践中，观察某一个事件的结果往往是用一个量的形式来表现的，在观察的某一个过程中始终保持不变的量称之为常量，经常变化的量称之为变量。

通常用小写字母a、b、c ……等表示常量，用小写字母x、y、z、……表示变量。

例如：圆周率是永远不变的量，它是一个常量；某商品的价格在一定的时间段内是不变的，所以，在这段时间内它也是常量；又如一天中的气温，工厂在生产过程中的产量都是不断变化的量，这些量都是变量。

注意：1 常量和变量是相对的，它们依赖于所研究的过程和所研究的对象。

在不同的过程中常量和变量是可以转化的。

如商品的价格，某段时间是常量，另一段时间就有可能是变量了；2 从几何意义上来表示，常量对应数轴上的定点，变量对应数轴上的动点。

2 集合、区间集合是表示具有同一种属性的全体。

例如：某班的全体学生组成一个集合；长虹集团05年度的所有产品组成一个集合；所有正有理数仍组成一个集合等等。

有关集合的运算、集合的表示等方面的基本知识，中学数学已有介绍，这里就不一一赘述了下面向读者介绍高等数学中常用的数集及其简明表示符号：开区间：=；闭区间：；左半开区间（或右半闭区间）；右半开区间（或左半闭区间）；上述四个区间的长度都是有限长的，因此把它们统称为有限区间。

无穷区间有：；；；；。

如无特别声明，可用如下符号表示一些常用数集：R——实数集；Q——有理数集；Z——整数集；N ——自然数集。

有时为了讨论数轴上某点附近的性质，为此引入邻域的概念。

h( x ) f ( x) ， 而且有：g ( x0 ) 0 g ( x)
这时就计算： ( x0 ) h
当h( x0 ) 0时，就有lim f ( x)
x x0
1 g ( x) g ( x0 ) 此时有 lim lim x x0 f ( x) x x0 h( x) h( x0 ) 0 0. lim f x . x x0 h( x0 )
3 2、求 lim 3 x x 0
2 3、求 lim x 0 x
（二）极限的运算
1、极限的四则运算法则（P-66） 设 lim f x A， g x B，那么 lim
(1) lim( f g ) lim f lim g A B;
(2) lim( f g ) lim f lim g AB;
当自变量x本身既可以取正值，也可以 取负值的时候，就可以当x趋于无穷的定义
定义2.2’’
x
(P-61)
f x A( x ).
lim f x A 或
称为：当 x 时，f ( x)以A为极限
由定义2.2知，在例2.1中，有 1 1 或 0 x lim 0 x x x
n
2.718
（二）函数的极限
数列是一类特殊的函数，它的定义 域是正整数，对于数列已经定义了极限。 那么如果是一般的函数呢？即自变 量是连续取值的函数，它的极限又是如何 定义的？
1、x 时，函数f ( x)的极限
2、x x0时，函数f ( x)的极限
1、x 时，函数f ( x)的极限
(3) lim( Cf ) C lim f CA, 其中C是常数 f lim f A (4)若B 0, 则lim . g lim g B

第三章 函数极限§1 函数极限的概念引言在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”．二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例．通过数列极限的学习．应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”．例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势．我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即:()n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =.研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时，函数()f n 变化趋势．此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞．但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？为此，考虑下列函数:1,0;()0,0.x f x x ≠⎧=⎨=⎩类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势,由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化．但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同．而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限．下面，我们就依次讨论这些极限．一、x →+∞时函数的极限１．引言设函数定义在[,)a +∞上，类似于数列情形，我们研究当自变量x →+∞时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ．这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质．例如 1(),f x x x=无限增大时，()f x 无限地接近于０；(),g x arctgx x =无限增大时，()f x 无限地接近于2π；(),h x x x =无限增大时，()f x 与任何数都不能无限地接近．正因为如此，所以才有必要考虑x →+∞时，()f x 的变化趋势．我们把象()f x ，()g x 这样当x →+∞时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当x →+∞时有极限Ａ”．[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当x →+∞时函数极限的精确定义如下. 2. x →+∞时函数极限的定义定义１ 设f 为定义在[,)a +∞上的函数，Ａ为实数．若对任给的0ε>，存在正数Ｍ()a ≥，使得当x M >时有 |()|f x A ε-<, 则称函数f 当x →+∞时以Ａ为极限．记作lim ()x f x A →+∞=或()()f x A x →→+∞.３．几点注记 （１）定义１中作用ε与数列极限中ε作用相同，衡量()f x 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数x ，而不仅仅是正整数n ． （２） lim ()x f x A →+∞=的邻域描述：,(),U ε∀∃+∞当()x U ∈+∞时，()(;).f x U A ε∈（３）lim ()x f x A →+∞=的几何意义：对ε∀，就有y A ε=+和y A ε=-两条直线，形成以Ａ为中心线，以2ε为宽的带形区域．“当x M >时有|()|f x A ε-<”表示：在直线x M =的右方，曲线()y f x =全部落在这个带形区域内．如果ε给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线x M =一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线()y f x =在x M =的右边的全部落在这个更窄的带形区域内． （４）现记f 为定义在()U -∞或()U ∞上的函数，当x →-∞或x →∞时，若函数值()f x 能无限地接近于常数Ａ，则称f 当x →-∞或x →∞时时以Ａ为极限，分别记作， lim ()x f x A →-∞=或()()f x A x →→-∞，lim ()x f x A →∞=或()()f x A x →→∞．这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：lim ()x f x A →-∞=0,0,M ε⇔∀>∃>当x M <-时，|()|f x A ε-<，lim ()x f x A →∞=0,0,M ε⇔∀>∃>当||x M >时，|()|f x A ε-<．（５）推论：设()f x 为定义在()U ∞上的函数，则lim ()x f x A →∞=⇔lim ()lim ()x x f x f x A →+∞→-∞==．４．利用lim ()x f x →+∞＝Ａ的定义验证极限等式举例例１ 证明 1lim0x x→∞=. 例２ 证明 １）lim 2x arctgx π→-∞=-；２）lim 2x arctgx π→+∞=.二、0x x →时函数的极限１．引言上节讨论的函数f 当x →+∞时的极限，是假定f 为定义在[,)a +∞上的函数，这事实上是()U +∞，即f 为定义在()U +∞上，考虑x →+∞时()f x 是否趋于某个定数Ａ．本节假定f 为定义在点0x 的某个空心邻域()00U x 内的函数，．现在讨论当00()x x x x →≠时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列． 先看下面几个例子：例１ ()1(0)f x x =≠.（()f x 是定义在0(0)U 上的函数，当0x →时，()1f x →）例２ 24()2x f x x -=-.（()f x 是定义在0(2)U 上的函数，当2x →时，()4f x →）例３ 1()f x x=.（()f x 是定义在0(0)U 上的函数，当0x →时，()?f x →） 由上述例子可见，对有些函数，当00()x x x x →≠时，对应的函数值()f x 能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质．所以有必要来研究当00()x x x x →≠时，()f x 的变化趋势．我们称上述的第一类函数()f x 为当0x x →时以Ａ为极限，记作0lim ()x x f x A →=．和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法．不是严格的数学定义．那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量x 越来越接近于0x 时，函数值()f x 越来越接近于一个定数Ａ”→只要x 充分接近0x ，函数值()f x 和Ａ的相差就会相当小→欲使|()|f x A -相当小，只要x 充分接近0x 就可以了．即对0,0εδ∀>∃>，当00||x x δ<-<时，都有|()|f x A ε-<．此即0lim ()x x f x A →=．２．00()x x x x →≠时函数极限的εδ-定义 定义２ 设函数()f x 在点0x 的某个空心邻域()00;Ux δ'内有定义，Ａ为定数，若对任给的0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数f 当 x 趋于0x 时以Ａ为极限（或称Ａ为0x x →时()f x 的极限），记作0lim ()x x f x A →=或（0()()f x A x x →→.3．说明如何用εδ-定义来验证这种类型的函数极限 ４． 函数极限的εδ-定义的几点说明：（１）|()|f x A ε-<是结论，00||x x δ<-<是条件，即由00||x x δ<-<推出．（２）ε是表示函数()f x 与Ａ的接近程度的．为了说明函数()f x 在0x x →的过程中，能够任意地接近于Ａ，ε必须是任意的．这即ε的第一个特性——任意性，即ε是变量；但ε一经给定之后，暂时就把ε看作是不变的了．以便通过ε寻找δ，使得当00||x x δ<-<时|()|f x A ε-<成立．这即ε的第二特性——暂时固定性．即在寻找δ的过程中ε是常量；另外，若ε是任意正数，则2,2εε 均为任意正数，均可扮演ε的角色．也即ε的第三个特性——多值性；（|()|f x A ε-<|()|f x A ε⇔-≤） (3) δ是表示x 与0x 的接近程度，它相当于数列极限的N ε-定义中的Ｎ．它的第一个特性是相应性．即对给定的0ε>，都有一个δ与之对应，所以δ是依赖于ε而适当选取的，为此记之为0(;)x δε；一般说来，ε越小，δ越小．但是，定义中是要求由00||x x δ<-<推出|()|f x A ε-<即可，故若δ满足此要求，则,23δδ等等比δ还小的正数均可满足要求，因此δ不是唯一的．这即δ的第二个特性——多值性．（４）在定义中，只要求函数f 在0x 的某空心邻域内有定义，而一般不要求f 在0x 处的函数值是否存在，或者取什么样的值．这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x 趋于0x 的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关．所以可以不考虑f 在点a 的函数值是否存在，或取何值，因而限定“00||x x <-”．（５）定义中的不等式00||x x δ<-<00(,)x U x δ⇔∈；|()|()(;)f x A f x U A εε-<⇔∈．从而定义２⇔0,0εδ∀>∃>，当00(,)x U x δ∈时，都有()(;)f x U Aε∈⇔0,0εδ∀>∃>，使得()00(,)(;)f U x U A δε⊂． （６）εδ-定义的几何意义．例１．设24()2x f x x -=-，证明2lim ()4x f x →=.例２．证明 １）00lim sin sin x x x x →=；２）00lim cos cos x x x x →=.例３．证明 22112lim 213x x x x →-=--.例４．证明 0x x →=0(||1)x <.练习：１）证明 311lim31x x x →-=-; ２）证明 65lim 6x x x→+∞+=. 三、单侧极限１．引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如21,0(),0x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩或函数在某些点仅在其一侧有定义，如2()0f x x ≥．这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论．如讨论1()f x 在0x →时的极限．要在0x =的左右两侧分别讨论．即当0x >而趋于０时，应按21()f x x =来考察函数值的变化趋势；当0x <而趋于０时，应按1()f x x =来考察函数值的变化趋势；而对2()f x ，只能在点0x =的右侧，即0x >而趋于０时来考察．为此，引进“单侧极限”的概念． ２．单侧极限的定义定义３ 设函数f 在00(;)U x δ+'内有定义，Ａ为定数．若对任给的0,()0εδδ'∀>∃<>，使得当00x x x δ<<+时有|()|f x A ε-<, 则称数Ａ为函数f 当x 趋于0x 时的右极限，记作lim ()x x f x A +→=或0()()f x A x x +→→或0(0)f x A +=．类似可给出左极限定义（00(;)U x δ-，00x x x δ-<<，0lim ()x x f x A -→=或0()()f x A x x -→→或0(0)f x A -=）.注：右极限与左极限统称为单侧极限． ３．例子例5 讨论sgn x 在0x =的左、右极限．例6 1±处的单侧极限．４．函数极限0lim ()x x f x →与00lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→的关系．定理３.１ 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==.注：１）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：10lim ()0x f x →=．还可说明某些函数极限不存在，如由例２知0lim sgn x x →不存在．２）0(0)f x +，0(0)f x -，0()f x 可能毫无关系，如例２．作业：P47. 1（3）, （5）, 3， 7。

高等数学体系第一模块函数第一章集合第一节集合的性质1.无序性、互异性、确定性2.表示方法：N={0，1，2，…} N＊或N+={1,2,3,…}Z={0，±1，±2，…} Q={所有整数与分数}R={数轴上的点} C={直角坐标系上的点}虚数={a+bi中≠0} 纯虚数={虚轴（即y轴）上的点（除原点外）}3.表示方式：列举法、描述法4.运算：并集、交集、全集、补集5.关系：①元素与集合：ⅰ或¢（不属于）②集合与集合：包含或不包含—子集[2n个]（ф，…，本身）、相等、真子集【2n-1 个】（ф，…，不包含本身）{如：A真包含于B，XⅰB,且X¢A第二章函数（区别）圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）—多值函数第一节函数的概念一、定义： A,B为非空数集，集合A中任意一个数x,在集合B都有惟一确定的数f(x)与它对应,称f:AⅮB是函数。

【注】：区别：函数是映射的特殊情况。

映射：A,B为非空集合f:AⅮB（A中任意元素，B中惟一与它对应）[一对一，多对一，A中元素无剩余]第二节函数的定义域与值域定义域:x的取值范围值域:y的取值范围注意：①分式（分母≠0）②根式（偶次方根被开方数≥0）③真数＞0 ④底数＞0且≠1⑤负（零）指数幂≠0第三节函数的表示方法解析法（表示法）、图像法、列表法第四节分段函数x的不同取值范围，有不同对应法则第五节函数的基本性质一、单调性⑪增函数：a.设函数f(x)的定义域为D，区间IⅰD.如果对于区间I上任意两X1及X2，当X1＜X2时，恒有f(X1)<f(X2) b.求该函数的导数：f”(x)≥0 c.在分段函数里⑫减函数：设函数f(x)的定义域为D，区间IⅰD.如果对于区间I上任意两X1及X2，当X1<X2时，恒有f(X1)>f(X2) b.求该函数的导数：f”(x)≤0 c.在分段函数里②奇偶性（对称性）Ⅾ运用求定积分：⑪偶函数：a.（前提）设函数f(x)的定义域D关于原点对称。