沪科版数学九年级上册 22.2 相似三角形的判定 同步练习(带解析)

沪科版九年级上册数学相似三角形相似三角形要点提示1、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形. 2、相似三角形的判定方法1. 若DE ∥BC （A 型和X 型）则___________.2. 两个角对应相等的两个三角形__________.3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似.4. 三边对应成比例的两个三角形___________.性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧比的平方、对应面积比等于相似比、对应周长比等于相似、对应边成比例、对应角相等4321判定：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+两边对应成比例、直角三角形、三边对应成比例夹角相等、两边对应成比例，且、两角对应相等4321（1）相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。

当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形.全等三角形是相似三角形的特例.（2）相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似.②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似. ③三边对应成比例，两三角形相似.EA DCBCBA④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似（3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等.②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例.③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.典例分析1.△ABC 的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC 相似的△A′B′C′的最长边为15.求△ A′B′C′最短边的长.2.如图，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )3.如图，D 是△ABC 的边AB 上的点，请你添加一个条件，使△ACD 与△ABC 相似．你添加 的条件是_________4.在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为（ ）BCAD第3题A ．9.5B ．10.5C ．11D ．15.5基础强化1.如图，DE ∥BC ，在下列比例式中，不能成立的是（ ）A.DB AD ＝EC AE B.BC DE ＝EC AE C.AD AB ＝AE AC D.EC DB ＝ACAB2.下列判断中，正确的是（ ）A.各有一个角是67°的两个等腰三角形相似B.邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形相似C.各有一个角是45°的两个等腰三角形相似D.邻边之比都为2︰3的两个等腰三角形相似3.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则图中的相似三角形共有（ ）A.1对B.2对C.3对D.4对4.已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对5.如图，□ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC 于点F ，交DC 于点G ，则下列结论中错误的是（ ）A.△ABE ∽△DGEB.△CGB ∽△DGEC.△BCF ∽△EAFD.△ACD ∽△GCF6.如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC=6，则DE=__________；△ADE 与△ABC 的面积之比为：__________.7.如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是__________ A. 9：16B. 3：2C. 3：4D. 3：78.若两个相似多边形面积比为9:4，则它们的周长比是 9.如图，已知DE ∥BC ，AD = 1，DB = DE =2， 则 BC =ABCD10.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，FC = 5.4cm ，CE = 2.7 cm ，BE = 3.2 cm ，求DC 的长；能力提高1.如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为（ ）A.1B.23 C.2 D.252.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ︰BD ＝9︰4，则 AC ︰BC 的值为（ ）A.9︰4B.9︰2C.3︰4D.3︰2ABC DEF3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则△BAE相似于______．4.如图，在矩形ABCD中，E是BC中点，且DE⊥AC，则CD︰AD＝__________．5.一块直角三角形形状的铁皮材料，两直角边长分别为30 cm、40 cm，现要把它加工成一个面积最大的正方形，两种加工方法如图①、②，请你用学过的知识说明哪种加工方法符合要求？真题演练1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交边AB 、AC 于D 、E 两点，若AD ∶AB ＝1∶3，则△ADE 与△ABC 的面积比为________.2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，AF 平分∠DAE ，EF ⊥AE ，则CF 等于( )A. B.1 C. D.23.如图，△ABC 中，点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，连接DE ，线段BE 、CD 相交于点2332O.若OD＝2，则OC＝________.4.如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD＝2，BD＝4，∠ACD＝∠B，求AC 的长.。

【22.2第2课时,相似三角形判定定理1,同步练习,沪科版九年级数学上册（含答案）】22.2第2课时相似三角形判定定理1 一、选择题1.如图1,若DE∥FG,且AD=DF,则△ADE与△AFG的相似比为() 图 1 A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.2∶5 2.如图2,在△ABC 中,DE∥BC,ADDB=12,DE=3,则BC的长是() 图2 A.6 B.8 C.9 D.12 3.若△ABC∽△A＇B＇C＇,∠C=∠C＇=90°,AB=5,AC=3,A＇B＇=10,则B＇C＇的长为() A.8 B.10 C.6 D.无法确定4.若三角形的三边长之比为3∶5∶7,与它相似的三角形的最长边长是21,则另两边长之和是() A.15 B.18 C.21 D.24 5.如图3,F是▱ABCD的对角线BD上的一点,BF∶DF=1∶3,则BE∶EC的值为() 图 3 A.12 B.13 C.23 D.14 二、填空题 6.如图4,已知AB∥EF∥DC,则△AOB∽∽△COD. 图4 7.如图5,直线l1,l2,…,l6是一组等距的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E和点C,F.若BC=2,则EF的长是. 图5 8.如图6,E是▱ABCD的边CB延长线上一点,EA 分别交CD,BD的延长线于点F,G,则图中相似三角形共有对. 图6 9.如图7,在▱ABCD中,点E在AB上,CE,BD交于点F.若AE∶BE=4∶3,且BF=2,则DF=. 图7 10.如图8,在△ABC 中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延长线于点 F.若AD=1,BD=2,BC=4,则EF=. 图8 三、解答题11.如图9,已知△ABC∽△ADE,AE=5,EC=2.5,BC=4.77,∠BAC=∠C=40°. (1)求∠AED与∠ADE的大小; (2)求DE的长度. 图9 12.如图10,在△ABC中,点D在边AB上,点F,E在边AC上,DE∥BC,DF∥BE.求证:DFDE=BEBC. 图10 13.如图11,在▱ABCD中,E,F分别是边BC,CD上的点,且EF∥BD,AE,AF分别交BD于点G和点H,BD=12,EF=8.求: (1)DFAB的值;(2)线段GH的长. 图11 14. 如图12,AD是△ABC的中线,点E在AC上,BE交AD于点F.某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论: (1)当AFAD=12时,AEAC=13; (2)当AFAD=13时,AEAC=15; (3)当AFAD=14时,AEAC=17; …… 当AFAD=1n+1时,求AEAC的值,并说明理由. 图12 答案 1.A 2.[解析] C ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴DEBC=ADAB=ADAD+DB=13,∴BC=3DE=3×3=9. 3.[解析] A∵△ABC∽△A＇B＇C＇, ∴ABA＇B＇=BCB＇C＇. ∵∠C=90°, ∴BC=AB2-AC2=52-32=4, ∴510=4B＇C＇,解得B＇C＇=8.故选A. 4.[解析] D∵相似三角形的对应边成比例,∴与已知三角形相似的三角形的三边长之比也为3∶5∶7,∴另两边长分别为9和15,∴另两边长之和为24,故选D.5.[解析] A∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,BE∥AD,∴△BEF∽△DAF, ∴BE∶DA=BF∶DF=1∶3, ∴BE∶BC=1∶3,∴BE∶EC=1∶2.6.[答案] △FOE [解析] ∵AB∥EF,∴△AOB∽△FOE. ∵EF∥DC,∴△FOE∽△COD.7.[答案] 5 [解析] ∵l3∥l6,∴BC∥EF,∴△ABC∽△AEF, ∴BCEF=ABAE=25.∵BC=2,∴EF=5.8.[答案] 6 [解析] ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴BC∥AD,AB∥CD,△ABD∽△CDB. ∵AB∥CF,∴△EAB∽△EFC. ∵AD∥EC,∴△AFD∽△EFC, ∴△EAB∽△AFD. ∵AD∥BE, ∴△ADG∽△EBG. ∵DF∥AB,∴△GDF∽△GBA. ∴总共有6对.9.[答案] 143 [解析] ∵在▱ABCD中,AB∥CD,AB=CD, ∴△BEF∽△DCF,∴BEDC=BFDF.∵AE∶BE=4∶3,∴BEDC=37=BFDF. ∵BF=2,∴DF=143. 10.[答案] 23 [解析] ∵DE∥BC,∴∠F=∠FBC. ∵BF平分∠ABC,∴∠DBF=∠FBC, ∴∠F=∠DBF,∴DF=BD=2. ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, ∴ADAD+BD=DEBC,即11+2=DE4, 解得DE=43, ∴EF=DF-DE=2-43=23.故答案为23. 11.解:(1)由△ABC∽△ADE可知,∠AED=∠C. ∵∠BAC=∠C=40°, ∴∠AED=∠C=∠BAC=40°, ∴∠ADE=180°-∠BAC-∠AED=100°. (2)由△ABC∽△ADE可知AEAC=DEBC, ∴57.5=DE4.77,∴DE=3.18. 12.证明:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, ∴ADAB=DEBC. ∵DF∥BE,∴△ADF∽△ABE, ∴ADAB=DFBE,∴DFBE=DEBC,∴DFDE=BEBC. 13.解:(1)∵EF∥BD,∴△CFE∽△CDB, ∴FCDC=EFBD=812=23, ∴DFDC=13. 又∵DC=AB, ∴DFAB=13.(2)∵DC∥AB,∴△DFH∽△BAH, ∴FHAH=DFBA=13,∴AHAF=34. ∵EF∥BD,∴△AHG∽△AFE, ∴GHEF=AHAF=34, ∴GH=34EF=34×8=6. [素养提升] 解:当AFAD=1n+1时,AEAC=12n+1. 理由如下:如图,过点D作DG∥BE,交AC于点G, ∴△AEF∽△AGD,则AEAG=AFAD=1n+1, ∴AEEG=1n,即EG=nAE. ∵AD是△ABC的中线,DG∥BE, ∴EG=CG,则AC=(2n+1)AE, ∴AEAC=12n+1.。

_22.2第3课时相似三角形判定定理2同步练习,沪科版九年级数学上册（含答案）22.2第3课时相似三角形判定定理2 一、选择题1.已知一个三角形的两个内角分别是40°,60°,另一个三角形的两个内角分别是60°,80°,则这两个三角形() A.一定不相似B.不一定相似C.一定相似D.全等2.如图1,在△ABC中,∠AED=∠B,则下列等式成立的是() 图 1 A.DECB=ADDB B.AECB=ADBD C.DECB=AEAB D.ADAB=AEAC 3.下列各选项中的三角形有可能不相似的是() A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.各有一个角是60°的两个等腰三角形C.各有一个角是105°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形 4.如图2,在△ABC中,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD=4,BC=8,BD∶DC=5∶3,则DE的长为() 图 2 A.203 B.174 C.163 D.154 5.如图3,在矩形ABCD中,将△ABF沿着AF 折叠,点B恰好落在DC边上的点E处,则一定有() 图3A.△ADE∽△ECFB.△ECF∽△AEFC.△ADE∽△AEFD.△AEF∽△AFB6.[2018·淮南期末] 已知:如图4,∠ADE=∠ACD=∠ABC,则图中相似三角形共有() 图4 A.1对B.2对C.3对D.4对二、填空题7.如图5,在△ABC中,M是AB的中点,点N在BC上,BC=2AB,∠BMN=∠C,则BNNC=. 图58.如图6,已知在Rt△ABC中,CD是斜边上的高,AC=4,BC=3,则AD=. 图69.如图7,一束光线从y轴上的点A(0,1)发出,经过x轴上的点C反射后,反射光线经过点B(6,2),则点C的坐标是. 图7 三、解答题10.如图8,在正方形ABCD中,M 为BC上的点,E是AD的延长线上的点,过点E作EF⊥AM于点F,EF交DC于点N. (1)求证:△ABM∽△EFA; (2)当F为AM的中点时,若AB=12,BM=5,求DE的长. 图8 11.已知:如图9,△ABC是等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,∠ADE=60°. (1)求证:△ABD∽△DCE; (2)如果AB=3,EC=23,求DC的长. 图9 12.如图10,若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯,路灯的灯臂BC长2米,且与灯柱AB成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直,当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好,此时,路灯的灯柱AB的高应该设计为多少米(结果保留根号)? 图10 13.如图11,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(0,6),C是线段AB的中点.在x轴上是否存在一点P,使得以P,A,C为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 图11 答案1.[解析] C第一个三角形中第三个内角的度数为180°-40°-60°=80°,所以这两个三角形有两角分别相等,故这两个三角形相似.故选C. 2.[解析] C 根据“一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似”可以判定△ADE∽△ACB,再根据相似三角形的对应边成比例,可知等式DECB=AEAB成立. 3.A 4.[解析] D ∵BD∶DC=5∶3,BC=8,∴BD=5,DC=3.∵∠BDE=∠ADC,∠E=∠C,∴△BDE∽△ADC,∴BDAD=DEDC,即54=DE3,解得DE=154. 5.[解析] A根据题意可知,∠DAE+∠AED=∠AED+∠CEF=90°,∴∠DAE=∠CEF. 又∵∠D=∠C=90°,∴△ADE∽△ECF. 6.D 7.[答案] 17[解析] ∵M是AB的中点,∴AB=2BM. ∵BC=2AB,∴BC=4BM. ∵∠BMN=∠C,∠B=∠B, ∴△BMN∽△BCA,∴BMBC=BNAB=14. ∵BC=2AB,∴BN=18BC, ∴BNCN=17.故答案为17. 8.[答案] 165 [解析] 在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=5. ∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=90°, ∴△ADC∽△ACB,∴ACAB=ADAC, 则AD=AC2AB=165. 9.[答案] (2,0) [解析] 设点C的坐标是(x,0),则CO=x. 如图,过点B作BM⊥x轴于点M. ∵一束光线从y轴上的点A(0,1)发出,经过x轴上的点C反射后,反射光线经过点B(6,2), ∴AO=1,BM=2,OM=6,∠ACO=∠BCM. ∵∠AOC=∠BMC=90°, ∴△AOC∽△BMC, ∴AOBM=COCM,∴12=x6-x, 解得x=2.经检验,x=2是原方程的根且符合题意. 故答案为(2,0). 10.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABC=90°,AD∥BC, ∴∠EAF=∠AMB. ∵EF⊥AM,∴∠AFE=∠ABC=90°, ∴△ABM∽△EFA.(2)∵∠ABC=90°,AB=12,BM=5, ∴AM=AB2+BM2=13. ∵F为AM的中点,∴AF=6.5. ∵△ABM∽△EFA,∴AMEA=BMFA, ∴1312+DE=56.5,∴DE=4.9. 11.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠B=∠C=60°. ∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE,∠B=∠ADE=60°, ∴∠BAD=∠CDE, ∴△ABD∽△DCE. (2)由(1)得△ABD∽△DCE,∴BDCE=ABDC. 设DC=x,则BD=3-x,∴3-x23=3x, 解得x=1或x=2. 经检验,x=1或x=2都是原方程的根且符合题意. ∴DC 的长为1或 2. 12.解:如图,延长OC,AB交于点P. ∵∠ABC=120°,∴∠PBC=60°. ∵∠OCB=90°,∴∠P=30°. ∵AD=20米, ∴OA=12AD=10米. 在Rt△CPB中,∵BC=2米,∠P=30°, ∴PB=2BC=4米,PC=23米. ∵∠P=∠P,∠PCB=∠A=90°, ∴△PCB∽△PAO, ∴PCPA=BCOA, ∴PA=PC·OABC=103米, ∴AB=PA-PB=(103-4)米. 答:路灯的灯柱AB的高应该设计为(103-4)米. 13存在.因为A(8,0),B(0,6), 所以AO=8,BO=6.由勾股定理,得AB=10. 因为C为AB 的中点,所以AC=12AB=5. (1)若∠CPA=90°,则△CPA∽△BOA, 此时AP∶AO=AC∶AB, 即AP∶8=5∶10, 解得AP=4,所以OP=4, 所以点P的坐标为(4,0); (2)若∠PCA=90°,则△APC∽△ABO, 所以AP∶AB=AC∶AO, 即AP∶10=5∶8, 解得AP=6.25, 所以OP=8-6.25=1.75, 所以点P的坐标为(1.75,0). 综上所述,符合条件的点P的坐标为(4,0)或(1.75,0).。

22.2：相似三角形的判定 一、单选题1．如图，已知12∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍无法判断11ABC AB C ∽的是（ ）A ．11AB AC AB AC = B ．111AB BC AB B C = C ．1B C ∠=∠D ．1C C ∠=∠【答案】B 【解析】根据已知得到一组角相等，依据相似三角形的判定定理再添加一组角相等或是已知相等角的两条边对应成比例即可判定三角形相似.【解答】若12∠=∠，则可得11B AC BAC ∠=∠，A 、添加1111AB AC A B A C =，可利用两边及其夹角法判定相似，故本选项错误； B 、添加111AB BC AB B C =，不能判定两三角形相似，故本选项正确； C 、添加1B C ∠=∠，可利用两角法判定两三角形相似，故本选项错误；D 、添加1C C ∠=∠，可利用两角法判定两三角形相似，故本选项错误；故选B ．【点评】此题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是熟记判定定理并运用.2．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABP=∠CB ．∠APB=∠ABC C ．AP AB AB AC =D ．AB AC BP CB= 【答案】D【解答】试题分析：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C．当AP ABAB AC=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选D．考点：相似三角形的判定．3．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为2，22，10．A、三角形三边分别是2，10，32，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，25，与给出的三角形的各边成比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，13，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边5，13，4，与给出的三角形的各边不成正比例，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的判定，注意三边对应成比例的两三角形相似．4．已知一个三角形的两个内角分别是30，70，另一个三角形的两个内角分别是70，80，则这两个三角形（）A．一定相似B．不一定相似C．一定不相似D．不能确定【答案】A【解析】根据三角形内角和定理求出另一个内角的度数，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可作出判断．【解答】解：∵一个三角形的两个内角分别是30，70，∴另一个内角的度数是180307080--=，∴一个三角形的三个内角分别是30，70，80∴这两个三角形有两角对应相等∴这两个三角形一定相似．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定，判定方法有：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．5．如图，A，B，C，D，E，G，H，M，N都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使DEF 与ABC相似，则点F应是G，H，M，N四点中的（）A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M【答案】C【解析】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据三条边对应成比例，两三角形相似进行解答．【解答】设小正方形的边长为1，则ABC的各边分别为3、13、10，只能F是M或N时，△DEF各边是6，213，210．此时DEF与ABC各边对应成比例，DEF与ABC相似，故选：C【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．6．如图，ABC中，AB、AC边上的高CE、BD相交于P点，图中所有的相似三角形共有（）A．4对B．5对C．6对D．7对【答案】C【解析】根据相似三角形的判定方法进行判定即可【解答】解：∵AB、AC边上的高CE、BD相交于P点，∴∠AEC=∠BEC =∠ADB=∠BDC= 90°，∽∵∠A=∠A，∴ABD ACE∽∵∠BPE=∠CPD，∴BPE CPD∵∠ACE=∠PCD ，∴CPD CAE ∽，根据相似的传递性可得：CPD ABD ∽，BPE CAE ∽，BPE BDA ∽，∴图中有ABD ACE ∽，BPE CPD ∽，CPD CAE ∽，CPD ABD ∽，BPE BDA ∽，BPE CAE ∽，6对三角形相似．故选C ．【点评】本题考查相似三角形的判定定理，关键知道两角对应相等的两个三角形互为相似相似三角形，以及相似的传递性．7．如图////AB CD EF ，则图中相似三角形的对数为（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【答案】C【解析】由AB ∥CD ∥EF ，根据平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，可得△ACD ∽△AEF ，△ECD ∽△EAB ，△ADB ∽△FDE ．所以图中共有3对相似三角形．【解答】∵AB ∥CD ∥EF ，∴△ACD ∽△AEF ，△ECD ∽△EAB ，△ADB ∽△FDE .∴图中共有3对相似三角形.故选C.【点评】考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.8．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】求出△ABC 的三边长，再分别求出选项A 、B 、C 、D 中各三角形的三边长，根据三组对应边的比相等判定两个三角形相似，由此得到答案. 【解答】如图，223110AB =+=，AC=2，22212BC =+=,A 、三边依次为：22 ，5 ，1，∵10221225≠≠，∴A 选项中的三角形与ABC ∆不相似； B 、三边依次为：5、2、1，∵1022152==，∴B选项中的三角形与ABC∆相似；C、三边依次为：3、5、2，∵1022352≠≠，∴C选项中的三角形与ABC∆不相似；D、三边依次为：13、5、2，∵10222135≠≠，∴D选项中的三角形与ABC∆不相似；故选：B.【点评】此题考查网格中三角形相似的判定，勾股定理，需根据勾股定理分别求每个三角形的边长，判断对应边的比是否相等是解题的关键.9．如图，∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝DE，那么下列结论正确是()A．∠1＋∠2＋∠3＝135°B．△ABD∽△EBAC．△ACD∽△ECA D．以上结论都不对【答案】C【解析】∵AB=BC,∠B=90°，∴∠1=45°.设AB=BC=CD=DE=1,则AC=2,CE=2,∴12CDAC=,2122ACCE==，∵∠ACD=∠ACE，∴△ACE∽△DCA，故选C.10．以下两个图形必定相似的是（）A．有两条边对应成比例的等腰三角形B．有一角是25的等腰三角形C．有一个角是100的等腰三角形D．有一个角相等，两边成比例的三角形【答案】C【解析】应用两三角形相似判定定理，有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似，做题即可．【解答】解：A 、这两条边的夹角不一定相等，故错误；B 、这个角可能是不对应，若一个是顶角，一个是底角，则两图形不相似；C 、符合有两组角对应相等的两个三角形相似的判定；D 、这个角可能不是这两条边的夹角，故错误．故选C ．【点评】本题考查了相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 二、填空题11．如图，若B DAC ∠=∠，则ABC ∽________．【答案】DAC【解析】根据∠B=∠DAC ，∠C 为公共角即可判定△ABC ∽△DAC ．【解答】在ABC 和DAC △中，∵C C ∠=∠，B DAC ∠=∠∴ABC DAC △∽△．故答案为：DAC.【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知三角形相似的判定方法.12．如图，在四边形ABCD 中，//DE BC ，交AB 于点E ，点F 在AB 上，要使FCB ADE ∽，则在不标注其他字母的前提下，需添加的一个条件是________．【答案】//AD CF （答案不唯一）【解析】在题中，有平行已经可知一组角相等，要想相似，再找一组角相等即可，因此可添加一组平行，找同位角相等即可．【解答】解：要使要使FCB ADE ∽，已知//DE BC 得到DEA B ∠=∠，则再添加//AD CF 得到A CFB ∠=∠，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似判定两三角形相似．故答案为：//AD CF （答案不唯一） 【点评】本题考查相似三角形的判定，是一道考查相似三角形的判定的开放性的题，答案不唯一． 13．如图：点M 是Rt ABC 的斜边BC 上不与B 、C 重合的一定点，过点M 作直线截ABC ，使截得的三角形与原ABC 相似，这样的直线共有________条．【答案】3【解析】在直角三角形中，只要有一个锐角相等，两个直角三角形就相似，根据这个知识点作线即可.【解答】当过点M 的直线平行于AB 和AC 时，所截的三角形与△ABC 相似，当过M 的直线垂直于AC 时也相似，所以这样的直线共有三条.【点评】在直角三角形中，只要有一个锐角相等，两个直角三角形就相似.14．如图，D 是ABC 的边AC 上一点，30A ∠=，70C ∠=，80BDC ∠=，则图中的一对相似三角形是________．【答案】ABC BDC ∽【解析】两个三角形中两组对应角相等的三角形，互为相似三角形，根据这个判定定理可找出相似的三角形．【解答】解：∵ 30A ∠=，70C ∠=，∴ 180307080ABC ∠=--=，∵ C C ∠=∠，80BDC ABC ∠=∠=，∴ ABC BDC ∽△△．故答案为：ABC BDC ∽△△． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键熟练运用相似三角形的判定方法，本题属于基础题型． 15．如图，D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点，请你填上一个你认为正确的条件使AED ABC ∽，________．【答案】B AED ∠=∠（ADE C ∠=∠，AD AE AC AB =答案不唯一） 【解析】两个三角形中有两组对应角相等，那么这两个三角形是相似三角形，或者有两组边对应成比例并且它们的夹角相等，这两个三角形也是相似三角形．【解答】解：①∵ A A ∠=∠，B AED ∠=∠，∴ AED ABC △∽△；②∵ A A ∠=∠，ADE C ∠=∠，∴ AED ABC △∽△；③∵ A A ∠=∠，AD AE AC AB=, ∴ AED ABC △∽△．故答案为：B AED ∠=∠（ADE C ∠=∠，AD AE AC AB=答案不唯一）． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题关键是熟悉所有的相似三角形的判定定理．16．如图所示，D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点，试添加一个条件：________．使得ABC AED ∽．【答案】ADE C ∠=∠或AED B ∠=∠或AD AE AC AB= 【解析】由于∠DAE ＝∠CAB ，则∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B ，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判定△ABC ∽△AED ；当AD AE AC AB =时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定△ABC ∽△AED ．【解答】由于ABC 和AED 有一个公共角，所以利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．∵DAE BAC ∠=∠，∴ 当ADE C ∠=∠或AED B ∠=∠或AD AE AC AB=时，ABC AED ∽△△．故答案为：ADE C ∠=∠或AED B ∠=∠或AD AE AC AB =． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．17．如图，在ABC 中，P 为AB 上一点，则下列四个条件中（1）ACP B ∠=∠；（2）APC ACB ∠=∠；（3）2AC AP AB =⋅；（4）AB CP AP CB ⋅=⋅，其中能满足APC 和ACB 相似的条件有________．【答案】()1，()()23【解析】△APC 和△ACB 有公共角∠A ，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对（1）、（2）进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对（3）、（4）进行判断．【解答】∵∠PAC ＝∠CAB ，∴当∠ACP ＝∠B 时，△ACP ∽△APC ，所以（1）正确；当∠APC ＝∠ACB 时，△ACP ∽△APC ，所以（2）正确；当AP AC ＝AC AB，即AC 2＝AP•AB 时，△ACP ∽△APC ，所以（3）正确，（4）错误． 故答案为（1）（2）（3）．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．充分利用△APC 和△ACB 的公共角．18．如图，已知ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB ＝12，AC ＝8，AD ＝6，当AP 的长度为________时，ADP 和ABC 相似．【答案】4或9【解析】分别根据当△ADP ∽△ACB 时，当△ADP ∽△ABC 时，求出AP 的长即可．【解答】当ADP ACB ∽时，∴ AP AD AB AC=，∴ 6128AP =， 解得：AP ＝9，当ADP ABC ∽△△时， ∴AD AP AB AC =， ∴ 6128AP =， 解得：AP ＝4，∴ 当AP 的长度为4或9时，ADP △和ABC 相似．故答案为：4或9．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键． 19．在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，连结DE ，要使ADE 与ABC 相似，应添加的条件是________．（只需写出一个条件即可）【答案】ADE B ∠=∠（答案不唯一）【解析】由∠A 是公共角，根据相似三角形的判定定理求解即可求得答案．【解答】∵∠A 是公共角， ∴当∠ADE=∠B 或∠AED=∠B 或DE ∥BC 或AD:AC=AE:AB 等时，△ADE 与△ABC 相似. 故答案为∠ADE=∠B(答案不唯一).【点评】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定. 20．如图，锐角三角形ABC 的边AB 和AC 上的高线CE 和BF 相交于点D ．请写出图中的一对相似三角形，如________．【答案】ABF DBE ∽或ACE DCF ∽或EDB FDC ∽【解析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，答案不唯一．【解答】解：∵锐角三角形ABC 的边AB 和AC 上的高线CE 和BF 相交于点D∴AEC ∠＝BEC ∠＝AFB ∠＝CFB ∠＝90∵ABF ∠＝DBE ∠，ACE ∠＝DCF ∠∴ABF DBE ∽，ACE DCF ∽∵EDB ∠＝FDC ∠∴EDB FDC ∽∴ABF DBE DCF ACE ∽∽∽答案不唯一，如ABF DBE ∽或ACE DCF ∽或EDB FDC ∽等． 【点评】本题考查相似三角形的判定定理，通过角的相等判定三角形相似，属于一般题型． 三、解答题21．判断下列两组三角形是否相似，并说明理由．（1）ABC 和'''A B C 都是等边三角形；（2）ABC 中，90C =∠，AC BC =；'''A B C 中，'90C ∠=，''''A C B C =．【答案】（1）相似，理由详见解析；（2）相似，理由详见解析．【解析】（1）根据等边三角形各角相等，各边成比例，故这两个三角形相似；（2）易知两三角形均为等腰直角三角形，符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似的判定．【解答】（1）相似，等边三角形各角相等，各边成比例，故两这个三角形相似得到．（2）相似，由在ABC 中，90C =∠，AC BC =；'''A B C 中，'90C ∠=，''''A C B C =，易知两三角形均为等腰直角三角形，符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似的判定． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定方法是解题关键．22．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ．（1）写出图中的两对相似三角形；（2）选择其中的一对相似三角形说明它们相似的理由．【答案】（1）ACD ABC ∽，CDB ACB ∽；（2）详见解析【解析】（1）根据相似三角形的判定定理，结合图形可得出ACD ABC △∽△，CDB ACB ∽△△，ACD CBD △∽△；（2）根据题意可选择证明ACD ABC △∽△，利用等角代换得出B ACD ∠=∠，从而利用两角法判断ACD ABC △∽△．【解答】解：()1根据相似三角形的判定定理可知：图中的两对相似三角形为：ACD ABC △∽△和CDB ACB ∽△△； （2）∵90A B ∠+∠=，90A ACD ∠+∠=，∴B ACD ∠=∠，又∵90ACB ADC CDB ∠=∠=∠=，∴ACD ABC △∽△．【点评】本题考查有两组对应角相等的两三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．23．如图，ABC 中，D 是BC 上一点，且BAD CAE ∠=∠，DE 交AC 于点F ，要证明：ABC ADE ∽．（1）题中已具备哪一个条件？（2）在不添加任何辅助线的情况下，还需要哪一个条件？写出这个条件（要求：写出不同的四个条件，勿须证明）．【答案】（1）BAD CAE ∠=∠ 或BAC DAE ∠=∠；（2）B ADE ∠=∠ 或C E ∠=∠ 或 AB AC AD AE =或CDF EAF ∠=∠ 或 DF CF AF EF=． 【解析】（1）根据题意由题中已具备的条件出了已知BAD CAE ∠=∠还有可证明的出的BAC DAE ∠=∠； （2）由题意直接根据相似三角形的判定方法添加条件即可．【解答】解：（1）∵ BAD CAE ∠=∠，∴ BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，∴ BAC DAE ∠=∠，∴ 题中已具备的条件有：BAD CAE ∠=∠ 或BAC DAE ∠=∠；（2）B ADE ∠=∠ 或C E ∠=∠ 或 AB AC AD AE=或 CDF EAF ∠=∠ 或 DF CF AF EF=． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握，属于基础性题目．24．如图，BD 、AC 相交于点P ，连接BC 、AD ，且∠1＝∠2，求证：△ADP ∽△BCP ．【答案】见解析【解析】根据两角对应相等，两三角形相似的判定定理得解．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠DPA ＝∠CPB ，∴△ADP ∽△BCP ．【点评】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的各种判定方法是解题关键．25．如图，在平行四边形ABCD中，AC=2AB．求证：∠ABD=∠DAC．【答案】见解析．【解析】根据AC＝2AB证明AO ABAB AC=，从而可证得△AOB∽△ABC，得对应角相等，同时再利用平行线所截的内错角相等得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，AD∥BC，∵AC＝2AB，∴AO＝22AB，∴22 AOAB=，∵222AB ABAC AB==，∴AO AB AB AC=，∵∠CAB＝∠CAB，∴△AOB∽△ABC，∴∠ABD＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∴∠ABD＝∠DAC．【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形边、角、对角线的关系；在证明两角相等时，除了运用平行线、全等三角形外，还可以证明两三角形相似，得对应角相等．26．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：ABF FCE~；（2）若AB ＝23，AD ＝4，求EC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）233． 【解析】（1）先根据矩形的性质可得90B C D ∠=∠=∠=︒，再根据翻折的性质可得90AFE D ∠=∠=︒，然后根据角的和差、直角三角形的性质可得AFB FEC ∠=∠，最后根据相似三角形的判定即可得证； （2）设EC x =，先根据翻折的性质可得4AF AD ==，再根据勾股定理可得2BF =，从而可得2CF =，然后根据相似三角形的性质即可得．【解答】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C D ∠=∠=∠=︒，由翻折的性质得：90AFE D ∠=∠=︒，∴90,90AFB EFC FEC EFC ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴AFB FEC ∠=∠，在ABF 和FCE △中，B C AFB FEC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴ABF FCE ~；（2）设EC x =，由翻折的性质得：4AF AD ==，∴22224(23)2BF AF AB =-=-=，∵四边形ABCD 是矩形，4BC AD ∴==，∴2CF BC BF =-=，由（1）可知，ABF FCE ~，∴CF EC AB BF =，即2232x =， 解得233x =， 即233EC =． 【点评】本题考查了矩形的翻折问题、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．27．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME=∠A=∠B=α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对．【答案】△AME ∽△MFE ，△BMD ∽△MGD ，△AMF ∽△BGM ，证明见解析【解析】根据已知条件，∠DME=∠A=∠B=α，结合图形上的公共角，即可推出△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM ，△AMF ∽△BGM ．【解答】解：△AME ∽△MFE ，△BMD ∽△MGD ，△AMF ∽△BGM ，①∵∠AMD=∠B+∠D ，∠BGM=∠DMG+∠D又∠B=∠A=∠DME=α∴∠AMF=∠BGM ，∴△AMF ∽△BGM ；②∵∠EAM=∠EMF 、∠AEM=∠MEF ，∴△EMF ∽△EAM ；③∵∠DBM=∠DMG ，∠BDM=∠MDG ，∴△DMG ∽△DBM ． 【点评】 本题考查了相似三角形的判定，找出对应角相等来证明三角形相似是解答此题的关键．28．将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍，得''AB C ，即如图①，我们将这种变换记为[],n θ．()1如图①，对ABC 作变换60,3⎡⎤⎣⎦得''AB C ，则'':AB C ABC S S =________；直线BC 与直线''B C 所夹的锐角为________度；()2如图②，ABC 中，30BAC ∠=，90ACB ∠=，对ABC 作变换[],n θ得''AB C ，使点B 、C 、'C 在同一直线上，且四边形ABB C ''为矩形，求θ和n 的值； ()3如图③，ABC 中，AB AC =，36BAC ∠=，1BC =，对ABC 作变换[],n θ得''AB C ，使点B 、C 、'B 在同一直线上，且四边形''ABB C 为平行四边形，求θ和n 的值．【答案】(1) 3:1，60; (2) n =2, θ=60°；(3) θ=72°,n=152+． 【解析】【解析】（1）由旋转与相似的性质，即可得'':3AB C ABC S S =，然后由ABN 与'B MN 中，'B B ∠=∠，'ANB B NM ∠=∠，可得''BMB BAB ∠=∠，即可求得直线BC 与直线''B C 所夹的锐角的度数；（2）由四边形''ABB C 是矩形，可得'90BAC ∠=︒，然后由''CAC BAC BAC θ=∠=∠-∠，即可求得θ的度数，又由含30角的直角三角形的性质，即可求得n 的值；（3）由四边形''ABB C 是平行四边形，易求得'72CAC ACB θ=∠=∠=︒，又由'ABC B BA ~，根据相似三角形的对应成比例，易得()2''AB CB BB CB BC CB =⋅=+，继而求得答案.【解答】（1）根据题意得：''ABC AB C ~,∴()22''''33AB C ABC A B S S AB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭：，'B B ∠=∠，'ANB B NM ∠=∠，∴''60BMB BAB ∠=∠=︒.故答案为：3:1，60.()2∵四边形 ''ABB C 是矩形，∴'90BAC ∠=．∴''903060CAC BAC BAC θ=∠=∠-∠=-=．在 'Rt ABB 中，90ABB ∠='，'60BAB ∠=，∴'30AB B ∠=，∴'2AB n AB==； ()3∵四边形''ABB C 是平行四边形，∴'//'AC BB ，又∵36BAC ∠=，∴'''72CAC AC B θ=∠=∠=．∴'36BB A BAC ∠=∠=，而B B ∠=∠，∴'ABC B BA ∽，∴:':AB BB CB AB =，∴()2''AB CB BB CB BC CB =⋅=+，而 '''CB AC AB B C ===，1BC =，∴()211AB AB =+，∴152AB ±=，∵0AB>，∴''152B CnBC+==．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的性质.此题综合性较强，难度不大，注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法.。

相似三角形练习题一、选择题1、下列各组图形中不是位似图形的是（）D．A．B．C．2、若2：3=7：x，则x=（）A．2 B．33、两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，如果它们的面积之和为136cm2，则较大三角形的面积是（）A．36cm2B．85cm2C．96cm2D．100cm24、如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，-2）B．（-2，1）C．（）D．（1，-1）5、如图，已知点A在反比例函数y=(x < 0)上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB 并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为( )A .8B .12C .16D .206、如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=-的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（）A．2 B．-2 C．3 D．-37、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( )A .6B .5C .9D .8、如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于( ) A .5∶8 B .3∶8C .3∶5D .2∶59、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③=；④=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( ) A .1B .2C .3D .410、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y 与x之间的函数图象大致为（）A ．B．C ．D．11、在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O 出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．设△OMN的面积为S，则能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．12、如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（）A．S1=S3B．S2=2S4C．S2=2S1D．S1•S3=S2•S4二、填空题13、如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 __________ cm．14、如图，在△PMN中，点A、B分别在MP和NP的延长线上，==，则=__________ ．三、解答题15、已知=,求下列算式的值．（1）;（2）16、如图，△ABC为锐角三角形，AD 是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积。

沪科版九上数学相似三角形练习题一、选择题1、下列各组图形中不是位似图形的是（）A．B．C．D．2、若2：3=7：x，则x=（）A．2B．3C．3.5D．10.53、两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，如果它们的面积之和为136cm2，则较大三角形的面积是（）A．36cm2B．85cm2C．96cm2D．100cm24、如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，-2）B．（-2，1）C．（）D．（1，-1）5、如图，已知点A在反比例函数y=(x < 0)上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为( )A .8B .12C .16D .206、如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=-的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（）A．2B．-2C．3D．-37、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( )A .6B .5C .9D .8、如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于( )A .5∶8B .3∶8C .3∶5D .2∶59、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③=；④=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A .1B .2C .3D .410、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．11、在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M ，N ，直线m 运动的时间为t （秒）．设△OMN 的面积为S ，则能反映S 与t 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12、如图，已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD ，如果对角线AC 与BD 相交于点O ，△AOB、△BOC、△COD、△DOA 的面积分别记作S 1、S 2、S 3、S 4，那么下列结论中，不正确的是（）A．S1=S3B．S2=2S4C．S2=2S1D．S1•S3=S2•S4二、填空题13、如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 __________ cm．14、如图，在△PMN中，点A、B分别在MP和NP的延长线上，==，则= __________ ．三、解答题15、已知=,求下列算式的值．（1）;（2）16、如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积。

九年级上学期数学课时练习题22.2 相像三角形的判断一、精心选一选1﹒以下说法中，不正确的选项是（）A . 直角边长分别是6、4 和、3 的两个直角三角形相像B . 底角为 40°的两个等腰三角形相像C. 一个锐角为30°的两个直角三角形相像D . 有个角为30°的两个等腰三角形相像2﹒如图，点P 是平行四边形ABCD边AB 上的一点，射线CP交DA的延伸线于点E，则图中相像的三角形有（）A . 0 对B . 1 对 C. 2 对 D. 3对第 2 题图第 3 题图第 5 题图第 6 题图3﹒如图，在△ ABC △ ABC∽△ ADE 中，点的是（D、 E 分别在边）AB、 AC上，且DE不可以于BC，则以下条件中不可以判断A .∠AED ＝∠B B .∠ ADE＝∠C C.AD＝AED.AD＝AC AB AC AE AB4﹒如图，在以下两个三角形是（4×4 的正方形（每个小正方形的边长都为）1）网格中均有一个三角形，能相像的A .①和②①②B. ②和③③C. ①和③④D. ②和④5﹒如图，在△ABC中， DE ∥ BC，AD＝1，DE ＝ 4，则BC的长为（）DB2A . 12 B. 11 C. 10 D. 86﹒如图，在平行四边形ABCD中，点 E 是边AD上一点，且AE＝ 2ED ， EC交对角线BD于点F，则EF等于（）FC1123A . B. C. D.3232 7﹒如图，在平行四边形ABCD中， EF ∥ AB 交AD于点E，交BD于点F ， DE： EA＝3： 4， EF ＝ 3，则CD的长为（）A . 4 B. 7 C. 3 D. 12第 7 题图第 8 题图第 9 题图第 10 题图8﹒如图，在等腰梯形ABCD中， AD∥ BC，过点 C 作CE∥ AB， P 是梯形ABCD内一点，连结BP 并延伸交CD于点F，交CE 于点E，再连结PC.已知BP＝ PC，则以下结论错误的选项是（）A .∠1＝∠ 2 B. ∠ 2＝∠ E C. △PFC∽△ PCE D.△EFC ∽△ ECB9﹒如图，在△ ABC DEFG 是正方形中， AB ＝AC，点. 若 DE＝ 2cm，则D、 E 分别是AC 的长为（AB、 AC）的中点，点G、 F 在BC边上，四边形A . 3 3 cmB . 4cm C. 2 3 cm D. 2 5 cm10.如图，四边形 ABCD 中， AC 均分∠ DAB，∠ ADC ＝∠ ACB＝ 90°，点 E 为 AB 的中点，给出以下结论：① CE∥ AD ；② AC 2＝ AB AD ；③△ CDF ∽△ BCE；④ AC： AF＝ DE ：DF ，此中正确的有（）A . ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④二、仔细填一填11. 如图，有以下条件：①∠B＝∠ C；②∠ ADB ＝∠ AEC；③ADAE ；④ AD AE ；AC AB AB AC⑤ PE BP，此中一个条件就能使△BPE∽△ CPD 的条件有 ___________ 个，它们分别是PD PC__________________. （只填写序号）第 11 题图第12题图第13题图12.如图，在边长为 1 的正方形网格中有点 P、 A、 B、 C，则图中所形成的三角形中，相像的三角形是 ______________________.13.如图，已知△ ABC 中， AB＝ 5， AC＝ 3，点 D 在边 AB 上，且∠ ACD＝∠ B，则线段 AD 的长为__________ .14.如图，点 D 为△ ABC 外一点， AD 与 BC 边的交点为 E，AE ＝3， DE＝ 5，BE＝ 4，要使△BDE ∽△ ACE ，且点 B， D 的对应点为A， C，那么线段CE 的长应等于 ________.第 14 题图第15题图第16题图15.如图，正方形 ABCD 中， E 为 AB 的中点， AF ⊥ DE 于点 O，则AO等于 __________.DO16.如图，在矩形 ABCD 中， AB＝6， BC＝ 8，沿直线 MN 对折，使 A， C 重合，直线 MN 交 AC 于点 O，则线段 OM ＝ ________.三、解答题17. 已知：如图，△ ABC 中，∠合），∠ ADE＝ 45°. 求证：△BAC＝ 90°， AB＝ AC，点ABD∽△ DCE.D是 BC边上的一个动点（不与B，C重18. 在平行四边形ABCD 中， E 为 BC 边上的一点，连结AE.（1）若 AB＝ AE，求证：∠ DAE ＝∠ D；（2）若点 E 为 BC 的中点，连结 BD ，交 AE 于 F ，求 EF ：FA 的值 .19.如图，在△ ABC 中， D 、E 分别是边 AB、 AC 的中点， F 为 CA 延伸线上一点，∠F ＝∠ C.（1）若 BC＝8，求 FD 的长；（2）若 AB＝ AC，求证：△ ADE ∽△ DFE .20.如图，在△ ABC 中， AB ＝AC，点 P、 D 分别是 BC、 AC 边上的点，且∠ APD ＝∠ B.（1）求证： AC CD ＝CP BP；（2）若 AB＝ 10， BC＝ 12，当 PD∥ AB 时，求 BP 的长 .21.已知：如图， E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点， EF ⊥ AE， EF 分别交 AC、 CD 于点M、F ， BG⊥ AC，垂足为 G， BG 交 AE 于点 H.（1）求证：△ ABE∽△ ECF ；（2）找出与△ ABH 相像的三角形，并加以证明；（3）若 E 是 BC 的中点， BC＝ 2AB， AB＝ 2，求 EM 的长 .22. 如图，正方形ABCD 中， M 为 BC 上一点， F 是 AM 的中点， EF⊥ AM ，垂足为 F，交 AD 的延伸线于点 E，交 DC 于点 N.（1）求证：△ ABM∽△ EFA ；（2）若 AB＝ 12， BM ＝ 5，求 DE 的长 .23.如图，在△ ABC 中， AB ＝8cm， BC＝ 16cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动，点Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度运动 . 假如 P、 Q 分别从 A、 B 同时出发， 4 秒后停止运动，则在开始运动后第几秒，△BPQ 与△ BAC 相像？《相像三角形的判断》课时练习题参照答案一、精心选一选题号12345678910答案D D C B A A B D D C1﹒以下说法中，不正确的选项是（A . 直角边长分别是6、4 和）、3 的两个直角三角形相像B . C.底角为 40°的两个等腰三角形相像一个锐角为30°的两个直角三角形相像D . 有个角为30°的两个等腰三角形相像解答： A. 直角边长分别是6、 4 和、 3 的两个直角三角形相像，由于两边对应成比率，且夹角相等，因此这两个直角三角形相像，故 A 正确；B. 底角为40°的两个等腰三角形相像，由于有两角对应相等，因此这两个等腰三角形相像，故 B 正确；C. 一个锐角为30°的两个直角三角形相像，由于有两角对应相等，因此这两个等腰三角形相像，故C正确；D.有个角为 30°的两个等腰三角形相像，由于可能一个角为极点，另一个为底角，因此这两个等腰三角形不相像，故 D 错误，应选： D.2﹒如图，点P 是平行四边形ABCD边AB 上的一点，射线CP交DA的延伸线于点E，则图中相像的三角形有（）A . 0 对B . 1 对 C. 2 对 D. 3对解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC， AD∥ BC，∴△ EAP ∽△ EDC，△ EAP∽△ CPB，∴△ EDC ∽△ CBP，故有 3 对相像三角形．应选： D．3﹒如图，在△ ABC 中，点 D、 E 分别在边AB、 AC 上，且 DE 不可以于 BC，则以下条件中不可以判断△ ABC∽△ ADE的是（）A .∠AED ＝∠B B .∠ADE ＝∠C C.AD＝AED.AD＝AC AB AC AE AB解答：∵∠ DAE＝∠ CAB，∴当∠ AED ＝∠ B 或∠ ADE ＝∠ C 时，△ ABC ∽△ ADE ，当AD＝AC时，△ ABC∽△ ADE，AE AB应选： C.4﹒如图，在以下两个三角形是（4×4 的正方形（每个小正方形的边长都为）1）网格中均有一个三角形，能相像的①② ③④A . ①与②B . ①与③C. ②与③D . ②与④解答： 由勾股定理可求出图①中三角形的各边长分别为 2， 2 ，10 ，图③中三角形的各边长分别为2 2 ， 2， 25 ，∵2 ＝ 2 ＝ 210 ， 2225∴图①中三角形与图③中三角形相像，应选： B.5﹒如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC ，AD＝ 1，DE ＝ 4，则 BC 的长为（）DB 2A . 12B . 11C. 10D . 8解答： ∵AD＝ 1， AD+DB ＝ AB ，DB 2∴AD＝1，AB 3∵ DE ∥BC ，∴△ ADE ∽△ ABC ，∴DE＝AD ，即 4 ＝ 1，BCABBC 3解得： BC ＝ 12.应选： A.6﹒在平行四边形ABCD 中，点 E 是边 AD 上一点，且AE ＝ 2ED ，EC 交对角线 BD 于点 F ，则EF等于（）FC1 1 C.2 3 A . B .3D .322解答： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ ED ∥BC ， BC ＝ AD ， ∴△ DEF ∽△ BCF ，∴EF DE ， CF CB 设 ED ＝ k ，则 AE ＝ 2k ， BC ＝ 3k ，∴EFk1 ，CF3k3应选： A.7﹒如图，在平行四边形ABCD 中， EF ∥ AB 交 ADF ， DE ： EA ＝3： 4， EF ＝ 3，则 CD 的长为（于点）E ，交BD于点A . 4 B. 7 C. 3 D . 12解答：∵ DE： EA＝ 3： 4，∴DE ：DA ＝3：7，∵ EF ∥AB，∴DE EF ，DA AB∵EF ＝3，∴3 3，7 AB解得： AB＝ 7，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ CD＝ AB＝ 7，应选： B.8﹒如图，在等腰梯形ABCD 中， AD∥ BC，过点 C 作 CE∥ AB， P 是梯形 ABCD 内一点，连结BP 并延伸交CD 于点 F，交 CE 于点 E，再连结 PC. 已知 BP＝ PC，则以下结论错误的选项是（）A . ∠1＝∠ 2 B. ∠ 2＝∠ E C. △ PFC ∽△ PCE D . △EFC ∽△ ECB解答：∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴∠ ABC ＝∠ DCB ，∵ PB＝PC，∴∠ PBC ＝∠ PCB，∴∠ ABC －∠ PBC＝∠ DCB －∠ PCB，∴∠ 1＝∠ 2，故 A 正确，∵CE∥AB，∴∠ 1＝∠ E，∴∠ 2＝∠ E，故 B 正确；∵∠ CPF ＝∠ EPC，∴△ PFC ∽△ PCE，故 C 正确；由已知条件不可以证明△EFC ∽△ ECB，应选： D.9﹒如图，在△ ABC 中， AB ＝AC，点 D、 E 分别是 AB、 AC 的中点，点 G、 F 在 BC 边上，四边形DEFG 是正方形 . 若 DE＝ 2cm，则 AC 的长为（）A . 3 3 cm B. 4cm C. 2 3 cm D. 2 5 cm解答：∵ E 是 AAC 的中点，∴AE1 ，AC2∵四边形 DEFG 是正方形，∴ DE ∥ BC，∴ DE AE ，∴ 2 1 ，BC ACBC2∴BC＝4cm，∵ AB＝AC，且四边形DEFG 是正方形，∴FC ＝1( 4－2) ＝ 1cm，2由勾股定理得：EC＝EF 2FC 2＝ 5 cm，∴ AC ＝2EC ＝ 2 5 cm ，应选 D .10. 如图，四边形 ABCD 中， AC 均分∠ DAB ，∠ ADC ＝∠ ACB ＝ 90°，点 E 为 AB 的中点，给出以下结论：① CE ∥ AD ；② AC 2＝ AB AD ；③△ CDF ∽△ BCE ；④ AC ： AF ＝ DE ：DF ，此中正确的 有（ ） A . ①② B . ①②③C. ①②④D. ①②③④解答： ∵∠ ACB ＝ 90°，点 E 为 AB 的中点，∴ AE ＝CE ＝BE ，∴∠ ACE ＝∠ BAC ， ∵∠ DAC ＝∠ BAC ， ∴∠ ACE ＝∠ DAC ，∴ CE ∥AD ，故①正确；∵∠ ADC ＝∠ ACB ＝ 90°，∠ DAC ＝∠ BAC ， ∴△ ADC ∽△ ACB ，∴AC AD，即 AC 2＝ AB AD ，故②正确；AB AC∵ CE ∥AD ， ∴ FC EF ，∴ FC AF EF DF ，AF DFAFDF∴AC DE，故④正确，AF DF∵△ CDF 与△ BCE 不具备相像的条件，∴③不正确， 应选： C.二、仔细填一填11. 4，①②④⑤；12. △APB ∽△ CPA ；13. 9 ；514. 15 ；15. 1 ；16. 15 ；42411. 如图，有以下条件：①∠B ＝∠C ；②∠ ADB ＝∠ AEC ；③ADAE ；④ ADAE ；AC ABABAC⑤ PEBP，此中一个条件就能使△ BPE ∽△ CPD 的条件有 ___________ 个，它们分别是PD PC__________________. （只填写序号） 解答： 使△ BPE ∽△ CPD 的条件有 4 个，∵∠ CPD ＝∠ BPE ，∠ B ＝∠ C ，∴△ BPE ∽△ CPD ，故①切合； ∵∠ ADB ＝∠ AEC ，∴∠ CDP ＝∠ BEP ，∵∠ CPD ＝∠ BPE ，∴△ BPE ∽△ CPD ，故②切合 ∵∠ A ＝∠ A ，ADAE ，ABAC∴△ ACE ∽△ ABD ，∴∠ ADB ＝∠ AEC ，∴∠ CDP ＝∠ BEP ，∵∠ CPD ＝∠ BPE ，∴△ BPE ∽△ CPD ，故④切合；∵∠ CPD ＝∠ BPE ， PE BP，PDPC∴△ BPE ∽△ CPD ，故⑤切合，故答案为： 4，①②④⑤.12. 如图，在边长为 1 的正方形网格中有点 P 、 A 、 B 、 C ，则图中所形成的三角形中，相像的三角形是 ______________________.解答： ∵ AP ＝ 5 ， PB ＝ 1， PC ＝ 5，∴ AP 5 ， PB1 5 ， PC5AP55∵∠ APB ＝∠ CPA ， ∴△ APB ∽△ CPA ，故答案为：△ APB ∽△ CPA.13. 如图，已知△ ABC 中， AB ＝ 5， AC ＝ 3，点 D 在边 AB 上，且∠ ACD ＝∠ B ，则线段 AD 的长为__________ .解答： ∵∠ A ＝∠ A ，∠ ACD ＝∠ B ，∴△ ABC ∽△ ACD ，∴AB AC ，AC AD∵ AB ＝5， AC ＝ 3， ∴53 ，∴ AD ＝ 9，3 AD 5故答案为：9．514. 如图，点 D 为△ ABC 外一点， AD 与 BC 边的交点为 E ，AE ＝3， DE ＝ 5，BE ＝ 4，要使△BDE ∽△ ACE ，且点 B ， D 的对应点为 A ， C ，那么线段 CE 的长应等于 ________. 解答： ∵∠ AEC ＝∠ BED ，∴当 BE DE 时，△ BDE ∽△ ACE ，AE CE即4 5，3 CE∴ CE ＝15，4故答案为：15．415. 如图，正方形 ABCD 中， E 为 AB 的中点， AF ⊥ DE 于点 O ，则 AO等于 __________.DO解答： ∵∠ ADO ＝∠ ADO ，∠ DOA ＝∠ DAE ＝90°， ∴△ AOD ∽△ EAD ，∴AO AE 1 ， DOAD 2故答案为：1.216. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝6， BC ＝ 8，沿直线 MN 对折，使 A ， C 重合，直线 MN 交 AC 于点 O ，则线段 OM ＝ ________. 解答： 在 Rt △ABC 中， AB ＝ 6， BC ＝ 8， ∴ AC ＝10，∴ OC ＝ 5，∵ A 与 C 对于直线 MN 对称， ∴ AC ⊥MN ，∴∠ COM ＝ 90°，∵在矩形 ABCD 中，∠ B ＝90°，∴∠ COM ＝∠ B ＝ 90°， 又∵∠ MCO ＝∠ ACB ，∴△ COM ∽△ CBA ，∴OC OM ， BC AB∴ OM ＝15，4故答案为： 15.4三、解答题17. 已知：如图，△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90°， AB ＝ AC ，点 合），∠ ADE ＝ 45°. 求证：△ ABD ∽△ DCE. 解答： ∵∠ BAC ＝ 90°， AB ＝ AC ， ∴∠ B ＝∠ C ＝ 45° ，∴∠ 1+ ∠ 2＝ 180° －∠ B ＝ 135°，∵∠ 2+ ∠ ADE+∠ 3＝ 180°，∠ ADE ＝45°，∴∠ 2+ ∠ 3＝ 180° －∠ ADE ＝ 135°，D 是 BC边上的一个动点（不与B ，C重∴∠ 1＝∠ 3，∴△ ABD ∽△ DCE .18. 在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 边上的一点，连结 AE.（ 1）若 AB ＝ AE ，求证：∠ DAE ＝∠ D ；（ 2）若点 E 为 BC 的中点，连结 BD ，交 AE 于 F ，求 EF ：FA 的值 . 解答： （ 1）在平行四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， ∴∠ AEB ＝∠ DAE ，∵ AE ＝AB ，∴∠ B ＝∠ AEB ， ∴∠ B ＝∠ DAE ， ∵∠ B ＝∠ D ， ∴∠ DAE ＝∠ D ；（ 2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥BC ， AD ＝ BC ， ∴△ BEF ∽△ AFD ，∴EF BE ，FA AD∵ E 为 BC 的中点，∴ BE ＝ 1 BC ＝ 1AD ，即BE1 ，2 2AD2∴EF ：FA ＝1： 2．19.如图，在△ ABC 中， D 、E 分别是边 AB、 AC 的中点， F 为 CA 延伸线上一点，∠F ＝∠ C.（1）若 BC＝8，求 FD 的长；（2）若 AB＝ AC，求证：△ ADE ∽△ DFE .解答：（ 1）∵ D 、E 分别是边AB、 AC 的中点，∴DE ＝1BC＝ 4， DE∥ BC．2∴∠ AED ＝∠ C．∵∠ F ＝∠ C，∴∠ AED ＝∠ F ，∴FD ＝DE ＝ 4；（2）∵ AB＝ AC， DE ∥ BC．∴∠ B＝∠ C＝∠ AED ＝∠ ADE，∵∠ AED ＝∠ F ，∴∠ ADE ＝∠ F ，又∵∠ AED ＝∠ AED ，∴△ ADE ∽△ DFE ．20.如图，在△ ABC 中， AB ＝AC，点 P、 D 分别是 BC、 AC 边上的点，且∠ APD ＝∠ B.（1）求证： AC CD ＝CP BP；（2）若 AB＝ 10， BC＝ 12，当 PD∥ AB 时，求 BP 的长 .解答：（ 1）∵ AB＝ AC，∴∠ B＝∠ C，∵∠ APD ＝∠ B，∴∠ APD ＝∠ B＝∠ C，∵∠ APC ＝∠ BAP+∠ B，∠ APC＝∠ APD +∠ DPC ，∴∠ BAP ＝∠ DPC，∴△ ABP ∽△ PCD，∴BP AB ，CD CP∴AB CD ＝ CP BP ，∵ AB＝AC，∴AC CD＝ CP BP；（2）∵ PD ∥ AB，∴∠ APD ＝∠ BAP．∵∠ APD ＝∠ C，∴∠ BAP＝∠C．∵∠ B＝∠ B，∴△ BAP ∽△ BCA，∴BA BP ．BC BA∵ AB＝10， BC＝ 12，∴10BP，12 10∴ BP＝25 ．321.已知：如图， E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点， EF⊥ AE， EF 分别交 AC、CD 于点M 、F ， BG⊥ AC，垂足为 G， BG 交 AE 于点 H.（1）求证：△ ABE∽△ ECF ；（2）找出与△ ABH 相像的三角形，并加以证明；（ 3）若 E 是 BC 的中点， BC ＝ 2AB ， AB ＝ 2，求 EM 的长 . 解答： （ 1）∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ ABE ＝∠ ECF ＝ 90°，∵ EF ⊥AE ，∴∠ AEB+∠FEC ＝ 90°， ∵∠ AEB +∠ BAE ＝90°，∴∠ BAE ＝∠ FEC ， ∴△ ABE ∽△ ECF ； （ 2）△ ABH ∽△ ECM ， ∵ BG ⊥AC ，∠ ABC ＝90°，∴∠ ABH +∠BAG ＝ 90°，∠ ECM +∠ BAG ＝ 90° ， ∴∠ ABH ＝∠ ECM ， 又∠ BAH ＝∠ CEM ， ∴△ ABH ∽△ ECM ； （ 3）作 MN ⊥ BC 于点 N ， ∵ AB ＝BE ＝EC ＝2， MN ∥AB ，∴ABMN1，∠ AEB ＝45°，BC NC2∴∠ MEN ＝ 45°， NC ＝ 2MN ， ∴ MN ＝ EN ＝ 1NC ，2∵ NC+EN ＝ EC ＝ 2，∴ MN ＝ EN ＝ 2× 1 ＝ 2， 3 3∴ EM 2＝ MN 2+EN 2＝ ( 2)2+( 2)2 ，33∴ EM ＝2 2.322. 如图，正方形 ABCD 中， M 为 BC 上一点， F 是 AM 的中点， EF ⊥ AM ，垂足为 F ，交 AD 的延伸线于点 E ，交 DC 于点 N.（ 1）求证：△ ABM ∽△ EFA ；（ 2）若 AB ＝ 12， BM ＝ 5，求 DE 的长 . 解答： （ 1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AB ＝AD ，∠ B ＝ 90°， AD ∥ BC ， ∴∠ AMB ＝∠ EAF ，又∵ EF ⊥ AM ， ∴∠ AFE ＝ 90°， ∴∠ B ＝∠ AFE ， ∴△ ABM ∽△ EFA ；（ 2）解：∵∠ B ＝ 90°，AB ＝12， BM ＝5，∴ AM ＝ 122 52 ＝13， AD ＝12，∵ F 是 AM 的中点，∴ AF ＝ 1AM ＝，2 ∵△ ABM ∽△ EFA ，∴BMAM，即 5 13 ，AFAEAE∴AE＝，∴DE ＝AE－ AD＝．23.如图，在△ ABC 中， AB ＝8cm， BC＝ 16cm，点 P 从点 A 开始沿点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 4cm/s 的速度运动 . 假如 P、 Q停止运动，则在开始运动后第几秒，△BPQ 与△ BAC 相像？解答：设在开始运动后第 x 秒，△ BPQ 与△ BAC 相像，由题意得： AP＝ 2xcm，PB ＝（ 8﹣ 2x）cm，BQ＝ 4x，分两种状况考虑：当∠ BPQ ＝∠ C，∠ B＝∠ B 时，△ PBQ ∽△ CBA，AB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动，分别从 A、 B 同时出发， 4 秒后∴ BP BQ ，即 8 2 x 4 x ，BC AB168解得： x＝，当x＝ 0.8 秒时，△ BPQ 与△ BAC 相像；当∠ BPQ ＝∠ A，∠ B＝∠ B 时，△ BPQ ∽△ BAC，∴ BP BQ ，即 82x4x ，BA BC816解得： x＝ 2，当 x＝ 2 秒时，△ BPQ 与△ BAC 相像．综上，当x＝0.8 秒或 2 秒时，△ BPQ 与△ BAC 相像．。

相似三角形及平行线截相似三角形一、教材题目：P78练习如图，点D 在△ABC 的边AB 上，DE ∥BC,DE 交AC 于点E ，DF ∥AC,DF 交BC 于点F ，判断下列比例式子是否成立.()()()()1;2;3;4;AD AE AD DE AE DE DF BFDB EC DB BF EC BC AC BC====二、补充题目：部分题目来源于《典中点》4．如图，△ABC 与△ADE 相似，且∠ADE＝∠B，则下列比例式中正确的是( ) A.AE BE ＝AD DC B.AE AB ＝AB AC C.AD AC ＝DE AC D.AE AC ＝DE BC5．在△ABC 中，AB ＝12，BC ＝18，CA ＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是( )A ．27B ．12C ．18D ．2010．(2015·株洲)如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( )A.13B.23C.34D.4511．(2015·吉林)如图，利用标杆BE 测量建筑物的高度．若标杆BE 的高为1.5 m ，测得AB ＝2 m ，BC ＝14 m ，则楼高CD 为________m .12．如图所示，△AOB∽△COD，下列各式中正确的有( ) ①AB CD ＝BO CO ；②AB CD ＝AO DO ；③AO OD ＝BO CO ；④AO CO ＝BO DO. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个13．如图，在▱ABCD 中，M ，N 为对角线BD 的三等分点，连接AM 并延长交BC 于点E ，连接EN 并延长交AD 于点F. (1)证明△AMD∽△EMB； (2)求FNNE的值．14．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AD 上的点，且AE ＝12DE ，连接BE ，交AO 于点F. 求证：AF ＝OF.15．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于点E ，交BA的延长线于点F.(1)求证：∠DCP＝∠DAP；(2)若AB ＝2，DP∶PB＝1∶2，且PA⊥BF，求对角线BD 的长．16．(2015·江西)如图，已知直线y ＝ax ＋b 与双曲线y ＝kx (x ＞0)交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点(A 与B 不重合)，直线AB 与x 轴交于点P(x 0，0)，与y 轴交于点C. (1)若A ，B 两点坐标分别为(1，3)，(3，y 2)，求点P 的坐标；(2)若b ＝y 1＋1，点P 的坐标为(6，0)，且AB ＝BP ，求A ，B 两点的坐标；(3)结合(1)(2)中的结果，猜想并用等式表示x 1，x 2，x 0之间的关系(不要求证明)．答案一、 教材解：(1)(2)(4)成立．点拨：因为DE ∥BC ，DF ∥AC ，所以AE AC ＝DE BC ，AD DB ＝AE EC ，DF AC ＝BF BC ，AD DB ＝FCBF .而四边形DFCE为平行四边形，所以DE ＝FC ，所以AD DB ＝DEBF.故(1)(2)(4)成立，(3)不成立．二、 典中点4．D 点拨：∠A 为公共角，∠ADE 与∠B 是对应角，∠AED 与∠C 是对应角，即△A DE∽△ABC，所以AE AC ＝DEBC，故D 选项正确，其余均不正确．5．C10．C 点拨：根据相似三角形的判定，可得△ABE ∽△DCE，△DEF ∽△DAB ，根据相似三角形的性质，可得答案．解答相似三角形问题时，要善于从复杂 的图形中抽象出两种基本图形——X 形或A 型，然后利用相似三角形的性质求解． 11．1212．错解：D诊断：不能准确找出相似三角形的对应边，从而不能准确写出对应线段所成的比例式．正解：A13．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD∥BE.∴△AMD ∽△EMB.(2)解：∵AD∥BC，∴△FND ∽△ENB.∴FN NE ＝DN BN. ∵M ，N 为BD 的三等分点，∴DN BN ＝12.∴FN NE ＝12.14．证明： ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AE ∥BC ，AD ＝BC.∴△AEF ∽△CBF.∴AF CF ＝AEBC.∵AE ＝12DE ，∴AE AD ＝13，即AE BC ＝13.∴AF CF ＝13.∴AF＝14AC. ∴OF ＝AO －AF ＝12AC －14AC ＝14AC.∴AF ＝OF.15．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ＝AD ，∠CDP ＝∠ADP，又∵DP＝DP ， ∴△CDP ≌△A DP.∴∠DCP＝∠DAP.(2)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴CD ∥BA ，CD ＝BA.∴△CDP ∽△FBP ，∴DP BP ＝CD FB ＝CP FP ＝12，∴CD ＝12FB ，CP ＝12FP ，∴A 为BF 的中点．又∵PA⊥BF，∴PB ＝PF.由(1)可知△CDP≌△ADP ，∴PA ＝CP ，∴PA ＝12PB.在Rt △PAB 中，PB 2＝AB 2＋PA 2＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12PB 2，解得PB ＝433或PB ＝－433(舍去)，∴PD ＝233.∴BD＝PD ＋PB ＝2 3.方法总结：利用转化思想解关于相似三角形的综合题的方法：当图中存在相似三角形但利用相似三角形不能得到所需要的结果时，要看能否利用题目中的其他条件进行线段的转化或比的转化．通过转化很可能在已知与结论之间出现一座新的桥梁．16．解：(1)把A(1，3)代入y ＝k x ，得k ＝3，把B(3，y 2)代入y ＝3x，得y 2＝1，∴B(3，1)．把A(1，3)，B(3，1)分别代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，∴y ＝－x ＋4.令y ＝0，得x ＝4，∴P(4，0)．(2)∵AB＝PB ，∴B 是AP 的中点，由中点坐标公式知：x 2＝x 1＋62，y 2＝y 12，∵A ，B 两点都在双曲线上，∴x 1y 1＝x 1＋62·y 12，解得x 1＝2，∴x 2＝4.作AD⊥x 轴于点D ，则△PAD∽△PCO， ∴AD CO ＝PD PO ，即y 1b ＝46，又b ＝y 1＋1，∴y 1＝2，∴y 2＝1. ∴A(2，2)，B(4，1)． (3)x 1＋x 2＝x 0.点拨：(3)∵A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋b ＝y 1，ax 2＋b ＝y 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝y 2－y 1x 2－x 1，b ＝x 1y 2－x 2y 1x 1－x 2.∴y ＝y 2－y 1x 2－x 1x －x 1y 2－x 2y 1x 2－x 1.令y ＝0，得x ＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1，∵x 1y 1＝x 2y 2，∴x ＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1＝（y 2－y 1）（x 1＋x 2）y 2－y 1＝x 1＋x 2，即x 1＋x 2＝x 0.。

22.2～22.3一、选择题(每小题4分，共32分)1．若△ABC ∽△A 1B 1C 1，且∠A ＝100°，∠B ＝31°，则∠C 1的度数为( )A ．31°B ．49°C ．59°D ．100°2．已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比是( )A ．1∶4B ．4∶1C ．1∶2D ．2∶13．如图4－G －1，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB ＝12，则下列结论中正确的是( )A. AD AB ＝12B. DE BC ＝12C. △ADE 的周长△ABC 的周长＝13D. △ADE 的面积△ABC 的面积＝13图4－G －14．如图4－G －2，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，那么下列结论一定正确的是( )A ．AB 2＝BC ·BDB ．AB 2＝AC ·BD C ．AB ·AD ＝BD ·BC D ．AB ·AD ＝AD ·CD图4－G －25．在三角形纸片ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，AC ＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC 相似的是( )图4－G －36．如图4－G －4，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是( )图4－G －4A ．①和②B ．②和③C ．①和③D ．②和④7．如图4－G －5，已知AB ，CD ，EF 都与BD 垂直，垂足分别是B ，D ，F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是( )A. 13B. 23C. 34D. 45图4－G －58．如图4－G －6，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，P 是AC 的中点，过点P 的直线交AB 于点Q ，若以A ，P ，Q 为顶点的三角形和以A ，B ，C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为( )A ．3B ．3或43C ．3或34 D. 43图4－G －6二、填空题(每小题5分，共20分)9．如图4－G －7，O 是AC 的中点，将周长为4 cm 的菱形ABCD 沿对角线AC 方向平移AO 长度得到菱形OB ′C ′D ′，则四边形OECF 的周长是________ cm.图4－G －710．如图4－G －8所示是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB 的高度为36 cm ，那么它在暗盒中所成的像CD 的高度应为________cm.图4－G －811．一块三角尺ABC 按如图4－G －9放置，顶点A 的坐标为(0，1)，顶点C 的坐标为(－3，0)，∠B ＝30°，则点B 的坐标为________________．图4－G －912．如图4－G －10，在△ABC 中，P 为AB 上一点，在下列四个条件中：①∠ACP ＝∠B ；②∠APC ＝∠ACB ；③AC 2＝AP ·AB ；④AB ·CP ＝AP ·BC ，能满足△APC 和△ACB 相似的条件是________．图4－G－10三、解答题(共48分)13．(12分)如图4－G－11，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C.求证：(1)∠AED＝∠ADC；(2)AB2＝AE·AC.图4－G－1114．(10分)如图4－G－12，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离为多少千米．图4－G－1215．(12分)如图4－G－13，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在边CD，AD上滑动，当DM为多长时，△ABE与以点D，M，N为顶点的三角形相似？请加以说明．图4－G－1316．(14分)如图4－G－14所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，E是BC边上一点，且EC＝2BE.将正方形折叠，使点A与点E重合，折痕为MN，若四边形BCMN的面积和四边形ADMN的面积分别为S1，S2，求S1∶S2.图4－G－14教师详解详析1．B [解析] ∠C 1＝∠C＝180°－100°－31°＝49°.2．A [解析] 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得S △ABC ∶S △DEF ＝1∶4.故选A .3．C 4．A 5．D [解析] 剪下的三角形与原三角形有一个公共角，则利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”进行判定，只有D 项符合题意．6．C [解析] 由勾股定理先求出所有三角形的三边长，并求出三边之比，再根据“三边成比例的两个三角形相似”可知选择C 项．7．C [解析] ∵AB，CD ，EF 都与BD 垂直， ∴AB ∥CD ∥EF ，∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF AB ＝DF BD ，EF CD ＝BF BD ， ∴EF AB ＋EF CD ＝DF BD ＋BF BD ＝BDBD ＝1. ∵AB ＝1，CD ＝3，∴EF 1＋EF3＝1，∴EF ＝34.故选C .8．B [解析] 由于以A ，P ，Q 为顶点的三角形和以A ，B ，C 为顶点的三角形有一个公共角∠A，AQ 的对应边是AB 或AC ，所以过点P 的直线PQ 应有两种作法：(1)如图①，过点P 作PQ∥BC，这时△AQP∽△ABC，则AQ AB ＝APAC ，可求得AQ ＝3；(2)如图②，过点P 作∠APQ＝∠B，交AB 于点Q ，这时△APQ∽△ABC，于是有AQ AC ＝AP AB ，可求得AQ ＝43.故选B .9．2 [解析] 由题意知△COF∽△CAD，所以OF AD ＝OC AC ＝12.又因为AD ＝1 cm ，所以OF ＝12 cm .同理OE ＝EC ＝CF ＝12 cm ，所以四边形OECF 的周长是4×12＝2(cm )．10．16 [解析] 由三角形相似的性质：相似比等于对应高的比，所以CD 36＝2045，所以CD＝16(cm )．11．(－3－3，3 3) [解析] 过B 点作BE⊥x 轴于点E ，由∠BEC＝∠COA，∠EBC ＝∠OCA，可证△EBC∽△OCA，∴BE OC ＝BC AC ＝EC OA .在Rt △ACO 中，AC ＝OA 2＋OC 2＝10.在Rt △ABC中，∠CBA ＝30°，∴AB ＝2 10，∴BC ＝30，∴BE 3＝3010＝EC1，解得BE ＝3 3，EC ＝3，∴EO ＝EC ＋CO ＝3＋3.故答案为(－3－3，3 3)．12．①②③ [解析] 当∠ACP＝∠B，∠A 为公共角，所以△APC∽△ACB； 当∠APC＝∠ACB，∠A 为公共角，所以△APC∽△ACB；当AC 2＝AP·AB，即AC∶AB＝AP∶AC，∠A 为公共角，所以△APC∽△ACB；当AB·CP＝AP·BC，即CP BC ＝APAB ，而∠PAC＝∠CAB，所以不能判断△APC 和△ACB 相似．13．证明：(1)在△ADE 和△ACD 中， ∵∠ADE ＝∠C，∠AED ＝180°－∠DAE－∠ADE， ∠ADC ＝180°－∠DAE－∠C， ∴∠AED ＝∠ADC.(2)∵∠ADE＝∠C，∠DAE ＝∠CAD， ∴△ADE ∽△ACD ， ∴AD AC ＝AE AD， 即AD 2＝AE·AC. 又∵AD＝AB ，∴AB 2＝AE·AC.14．解：1千米＝1000米，1.8千米＝1800米．连接MN. ∵AC AM ＝301000＝3100，AB AN ＝541800＝3100， ∴AC AM ＝AB AN. 又∵∠BAC＝∠NAM， ∴△BAC ∽△NAM ， ∴BC MN ＝AC AM， 即45MN ＝3100，∴MN ＝1500(米)＝1.5(千米)． 答：M ，N 两点之间的直线距离为1.5千米． 15．解：DM ＝55或2 55.说明如下： 情况①：若△ABE∽△NDM， 则BE∶DM＝AE∶MN，此时DM ＝55； 情况②：若△ABE∽△MDN，则AB∶DM＝AE∶MN，此时DM ＝2 55.∴DM ＝55或2 55. 16．解：设MN 与AE 相交于点F.∵BC ＝3，EC ＝2BE ，∴EC ＝2，BE ＝1，∴AE ＝10.由题意知，MN 垂直平分AE ， ∴△AFN ∽△ABE ，∴AF AB ＝ANAE ，即12AE 3＝AN AE，∴AN ＝16AE 2＝53，∴BN ＝43.过点M 作MH⊥AB 于点H ，易推知△MNH≌△AEB，∴NH ＝BE ＝1，DM ＝AH ＝AN －NH ＝53－1＝23，∴MC ＝73，∴S 1∶S 2＝(73＋43)∶(53＋23)＝11∶7.。