大学物理农业大学出版01-2-1刚体转动(工)

3
1 J mR 2 2
A C l 2 l 2
3.均匀杆： m
A
c x
dm
dx
1 2 J c ml 12
1 2 J A ml 3

补充计算 J 的几条规律
JC J m 1.平行轴定理
C
d
J J C md 2
对同一个刚体 J C 最小
2.对薄平板刚体的正交轴定理
平行 z
J z mi ri
fi
i i
Fi
应用牛顿第二定律，可得：
O
Fi f i mi ai
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
Fi sin i fi sin i mi ai mi ri
用ri乘以上式左右两端：
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri
z
L mi ri vi ( mi ri 2 )
m i
2
vi
定义转动惯量
J mi ri
i
2J r dmL J二、刚体的转动动能
1 Ek mv 2 质点运动的动能: 2
刚体是由许多质点组成的,
第

ri
mi
vi
Oi
i 小块质元的质量 mi

z
z


d dt

0
0
定轴转动的特点 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
四、刚体转动的角速度和角加速度 角坐标 (t ) z
约定 沿逆时针方向转动 r 角位移
L r p r mv 大小 L rmv sin
L 的方向符合右手法则.
L
v

r
2 刚体定轴转动的角动量 质元
Loi r mi v 大小：m i v i ri 方向：
i i
m i 对转轴 o 的角动量

O

ri
z
k Fz
M z k r F M z rF sin
O
r
F F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
M M1 M 2 M 3
二. 刚体定轴转动定律
对刚体中任一质量元 mi
O’
Fi -外力
f i -内力
ω
ri
mi
v v 0 at
0 t
1 2 2
x x0 v 0 t at
2 2 0
0 0t t
1 2
2
v v 2a( x x0 ) 2 02 2 ( 0 )
例题 一条缆索绕过一定滑论拉动一升降机,滑 论半径为 0.5m, 如果升降机从静止开始以 a=0.4m/s2匀加速上升，求：
N
得到：
i 1
Fi ri sin i (mi ri )
2 i 1
N
N
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表 示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚 体转动惯量，以J 表示。于是得到
d M J J dt
刚体定轴 转动定律
dL d( J ) M dt dt
1-7 刚体的转动
教学基本要求
一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌 握角量与线量的关系. 二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕 定轴转动的转动定理. 三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运 动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题. 四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能 在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能 守恒定律 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体 的简单系统的力学问题.
理论计算
J
m r （分立）
2 i i

r 2 dm 连 续 ） （
一质点对O点：J = m r 2
单位： kg m2
例：
m
r
dm
O
同样质量做成半径r 的圆环，对中心轴
J r dm mr
2 m
2
转动惯性的计算方法 质量离散分布刚体的转动惯量
2 j j 2 11
J m r m r m r
2
设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出 上述类似方程，将N 个方程左右相加，得：
i 1
Fi ri sin i fi ri sin i (mi ri )
2 i 1 i 1
N
N
N
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
i 1
f i ri sin i 0
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .

刚体的平面运动 .
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
三、刚体的定轴转动 •定轴转动：
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆 周运动，且在相同时间内转过相同的角度。
刚体定轴转动（一 维转动）的转动方向可 以用角速度的正负来表 示. 角加速度
P

Fi 0 , M i 0
d F
: 力臂
F
Fi 0 , M i 0
F
F
分析
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方向的两个分量 其中 Fz 对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的 力矩
F Fz F
刚体定轴转动的角加 速度与它所受的合外力矩 成正比 ，与刚体的转动 惯量成反比 .
图示,已知 例： 求: 解:
M
R m M
N
at mg T ma
T
Mg
1 J MR 2 2
m Mm 2m g a g g T (m M ) R 2m M 2m M 2
y
mg
TR J a at R
T
一半径为R，质量为 m 匀质圆盘，平放 在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的 轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
例6

d r dr
R
e
解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元 的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
an r
et v a
t
v r r e t
a t r a n r
2
2 a ret r en
匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒 量时，刚体做匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
设圆盘经过时间t停止转动，则有
2 1 0 t g 0 dt R 0 d 3 2
由此求得
3 R t 0 4 g
例题:一静止的细棒，长为 l，质量为 M，可绕一端的o 轴在水平面内转动。 一质量为m，速度 v 为的子弹在水平 面内沿与棒垂直的方向射入另一端。 2 设击穿后子弹的速度减为 v 。求棒的 角速度。
此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是
M rdmg g rred dr ge 0 d 0 r dr 2 3 geR 3 2 2，代入得 因m=eR M mgR 3
R 2 2
根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即 获得负的角加速度.
2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
一、刚体 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组） 刚体最简单的运动形式：平动、转动 .
§1-7-1 刚体的平动、转动和定轴转 动
二、平动和转动
▲平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持 完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是 平行于它们的初始位置间的连线 . 刚体平动 质点运动
2 2 2 j
2 j j 2
质量连续分布刚体的转动惯量
J m r r dm
j
dm
：质量元
一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . O
l 2
例
O
r
dr
dr l 2 O´
O´
l
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元 dm dr dJ r 2dm r 2dr
J z Mh2 Jz
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
常用的几个转动惯量
1.均匀薄圆环： C
J mR2
R
m
2.均匀圆盘：
dJ r dm dm 2r dr
2
r
dr
C R
m
J
R
0
1 R 4 2r dr 2
r
1 3 J 2 r dr l 0 12 1 2 ml 12
l/2 2
如转轴过端点垂直于棒
1 2 J r dr ml 0 3
l 2
转动惯量与转轴位置有关
决定转动惯量 的大小的因素
转动惯量与质量分布有关
转动惯量与材料性质有关
转动惯量是描述刚体对轴转动惯性大小的物理量 平行轴定理: 刚体对任一轴的转动惯量 J, 等于对过中 Jc 心的平行轴的 转动惯量与二轴间的垂直 距离 h 的平方和刚体质量的乘积之和。