复旦大学大学物理 1-7 第7章 刚体的转动

z ω,α v r P r O θ
参考方向
角速度ω 角加速度
＝ lim
t 0
d t dt
＝ lim
t 0
d d 2 刚体 定轴 dt t dt 2
线速度和线加速度
dv d d ( r ) r ( r ) dt dt dt
一、 刚体定轴转动的转动动能
由平行轴定理：
o
c
定轴转动可分解为刚体绕过质心轴的转 动和随质心（绕定轴作圆周运动）的平动。
二、力矩的功
外力
内力
1. 平行于定轴的外力对质元不做功。
2. 由于刚体内两质元的相对距离不变，一对内力 做功之和为零。
设作用在质元mi上的外力
位于转动平面内。 z
合外力对刚体做的元功：
o
二、非刚体( I 可变)的角动量守恒
当 I 增大，就减小，当 I 减小，就增大。
spinning skater
Ii > If ωi<ωf
跳水运动员收缩身体，减小转动惯量，则增大旋转速 度，增加转体次数。
中间收缩，增 加转体次数
入水时展开， 减小转动速度
起跳时，平动加转动
恒星的演变、塌缩：
m1
[例] 均质细棒：m1、 l ，水平轴O，小球：m2与棒相 碰，碰前 ,碰后 ，设碰撞时间很短，棒保持竖直， 求碰后棒的角速度。 O
系统对O轴角动量守恒
注意：系统总动量一般不守恒，因为轴承处 的外力不能忽略。只当碰撞在打击中心时， Nx=0，系统的水平动量守恒
§7.5 刚体定轴转动的功能原理
得：
讨论： 当 l =(2/3)l时， Nx =0 ，此时F的作用点称打击中心。 l > (2/3)l 时，Nx >0 ；l < (2/3)l时， Nx <0 。 打击中心就是当给这个点施加一个冲量P后，木棒的上端 瞬时速度是0，这也就是为什么我们用棒球棍击球找一个 打击中心，这样手握的地方振动感最低，最舒服。
取惯性坐标系 ，
描述质点系转动的动力学方程：
1. 对于质点系，由于所有内力对任意参考点的力矩为 零，所以刚体所受相对于原点O 的力矩等于合外力矩。 2. 由于外力矩在垂直于转轴方向上的分量 Mxy 被轴承上 支承力的力矩所抵消，只需要考虑由外力在垂直于转轴 方向的分量产生的沿转轴方向的力矩Mz 。
设第 i 个质元 mi 受外力
， 并假定
垂直于转轴z。 z
所受相对于O点的外力矩为：
被转轴抵消 y 刚体所受的相对于转轴的合力矩： x
二、刚体定轴转动的角动量
刚体所受的相对于O 的角动量：
z
共面
x
y
对整个刚体：
称为刚体对转轴 z 的转动惯量。 为刚体相对于转轴 z 的角动量。
转动惯量是量度刚体转动惯性大小的物理量.
2
fr
N 0
N
mR 784 N
I M ， R
2
求物块下降加速度。
TR Iຫໍສະໝຸດ mg T ma约束条件：R a
m
2m a g 2m M
若M 0，a g
[例]
均质细棒： m ， l ，对水平轴O：
，铅直
位置时，一水平力 F 作用于距 O为 l′ 处，计算O 轴对棒的 作用力(轴反力)。 设轴反力为 Nx，Ny。 由转动定律： 由质心运动定律： O c
刚体特点的说明
说明 1) 理想化的力学模型； 2) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变；
特点： １）内力作功为零 ２）刚体上任意三点（不在 一条直线上）可以确定刚体 的空间位置
刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间 相对距离保持不变的质点系。
一、刚体运动的基本形式
1. 平动 刚体内任一直线在运动过程中始终保持平行。 刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
切向加速度 径向加速度
v r
定轴转动与直线运动的比较：
β
v a
定轴转动
直线运动
d dt
0
d dt t
t
dx v dt dv a dt
v v0 adt
x x0 vdt
0
dt
0
t
0 dt
0
0 t
2. 转动 a. 定轴转动 刚体上所有质点都绕同一直线(即转轴)作圆周运动。 如：摩天轮，门、 窗的转动等。
特点： 刚体内所有的点具有相同的角位移、角速 度和角加速度。 ——刚体上任一点作圆周运动的 规律即代表了刚体定轴转动的规律
瞬时转轴：
转轴随时间变化 —— 一般转动
定轴转动的特点：
•各质点都作圆周运动； •各质点圆周运动的平面垂直于轴线，圆心在轴线上； •各质点的矢径在相同的时间内转过的角度相同。
转过的角度
§7.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律
定轴转动角动量定理：
当 即
时， 有 (常量)
定轴转动角动量守恒定律：刚体在定轴转动中，当对转 轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变。
适用于刚体，非刚体和物体系。
一、 刚体( I 不变)的角动量守恒
若 M=0，则 I =常量，而刚体的 I 不变，故 的 大小，方向保持不变。 如：直立旋转陀螺不倒。 此时，即使撤去轴承的支撑作用， 只有o点支撑，刚体仍将作定轴 转动——定向回转仪（陀螺 仪）—— 可以作定向装置。 如：炮管和枪管里的来复线（螺旋膛线）。
三、刚体定轴转动定律
由质点系的角动量定理： 对刚体的定轴转动，有： 而且 设转动过程中I不变， 则有： 刚体定轴转动定律： 刚体在作定轴转动时，刚体的角 加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯 量成反比。 得到：
是关于刚体定轴转动的动力学方程。 (与 F = ma 比较) 推广到 I 可变情形： ——刚体定轴转动的角动量定理
刚体对任一转轴的转动惯量 I 等于对通过质心的平行 转轴的转动惯量 Ic 加上刚体质量 m 乘以两平行转轴 间距离 d 的平方。 Ic I 证明： d o c
在一系列的平行轴中， 对质心的转动惯量最小
在质心系中求质心位置
[例] 计算挂钟摆锤对O轴的转动惯量。 O
平行轴定理
[例] 设一薄板，已知对板面内两垂直轴的转动惯量分别为 Ix、Iy，计算板对z 轴的转动惯量Iz。 z O x 称垂直轴定理 (适用于薄板)。 如圆盘(m、R)对过圆心的垂直轴的转动惯量： y
力矩的功： 功率：
三、刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。
四、刚体的重力势能
以地面为势能零点，刚体和地球 系统的重力势能：
z
i O
为物体质心的
坐标。
五、 刚体定轴转动的功能原理 外力的功: 将重力矩作的功用 重力势能差表示：
——刚体定轴转动的功能原理 其中，M是除重力以外的其它外力的合力矩。 若M=0，则 ——刚体的机械能守恒定律
例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量L和角速度ω. 解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里
dm (2) O dx x
转动惯量因转轴位置而变，故 必须指明是关于某轴的转动惯量。
[例] 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。 (1) 圆环(一维)： dm
(2) 圆盘（两维）：
o r
dm
转动惯量与刚体的质量分布有关。
二、平行轴定理
[例] 细杆A ： (m ， l)可绕轴转动，水平处静止释放，在 竖直位置与静止物块B ： (m) 发生弹性碰撞，求碰后： (1)物块B的速度 vB ，(2)细杆A 的角速度2 ， (3)细杆A A 转过的最大角度 θmax 。 c c B 角动量守恒 机械能守恒
[例] 一质量为m ，长为 l 的均质细杆，转轴在O点，距A 端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，求(1) 水平位置的角速度和角加速度。(2)到达垂直位置时的角 速度和角加速度。 c B A O
(1)
方向：

(2)
A
c O
B

[例] 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水 平面上。若它的初角速度为0，绕中心o旋转，问经过 多长时间圆盘才停止？停止时圆盘转过了多少度？（设 摩擦系数为） 摩擦力的力矩： dr r o d R
0 t
0 1000 r / min 2000 / 60 104 . 7rad/s t 外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。 0 t 5s
0 0 20 . 9rad/s 2
M fR NR I mR
32
3


0
cosd
12
L mR (2 g sin )
2g 12 ( sin ) R
L mR
2
[例] 水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角速 度，一人(m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度u沿半 径向边缘走去，计算经时间 t，求转台的角速度。 人与转台组成的系统对竖直 轴的角动量守恒： m2
mgR cos
由质点的角动量定理
dL mgR cos dt
dL mgR cos dt d L mgR cos d t
考虑到
d dt , L mRv mR