第三章第五节 线性方程组解的结构课件

cr ,r 1
1
,2
cr,r 0
2
,L
,nr
cr 0
n
12
nr
0
1
0
便是方程组(3-14)
M 0
M 0
M 1
的一个基础解系.
由于初等变换是同解变换，故方程组（3-14）
x1 c1r1xr1 L c1n xn
x2
c2r1 xr1 L LL
c2n xn
量，故有 A1 0, A2 0
于是
A(k11 k22 ) k1 A1 k2 A2 k1 0 k2 0 0
所以 k11 k22 也是（3-2）解向量. 一般地，若 1,2,L ,m 是线性方程组的解 向量，则 k11 k22 L kmm 也是解向量.
3 基础解系 若齐次线性方程组有非零解，则它就有无穷
（3-17）的解，因此存在数 k1, k2 ,L , knr ，使
' k11 +k22 L kn r nr 即 ' k11 +k22 L knr nr
由定理3.18可知，求一个非齐次线性方程组
的通解时，只需求出它的某一个特解和对应的
齐次线性方程组的通解即可.
例3 求下列非齐次线性方程组的通解
且任一基础解系中解向量的个数为 n r.
第一步：对方程组AX=0的系数矩阵A作初等行
变换，化A为行最简形．不妨设
1 0 L 0 c1,r1 L c1n
0
A初等行变换
L 0
L00
1L
LL 0L
0L LL 0L
0
L 1
0 L 0
c2,r1 L LL cr,r1 L 0L LL 0L
c2n L

定理 ｎ元齐次线性方程组 Amn x 0的全体解所构成的 集合Ｓ是一个向量空间，当系数矩阵的秩为ｒ时，解空
间Ｓ的维数为ｎ-ｒ.
当rank( A) n时，线性方程组只有零解，故没有基础
解系（此时解空间只含有零向量，称为０维向量空间）
当rank( A) n时，线性方程组必有含ｎ-ｒ个向量的基
础解系 1,2 ,L ,nr ，此时线性方程组的解可以表示为 k11 k22 L knr nr
L
a12 L a22 L L
am1
am 2
L
a1n a2n L
,x
x1 x2
amn
xn
则上述方程组（1）可写成向量方程 Ax 0.
二、基础解系及其求法
１、基础解系的定义
方程组 Ax 0 解空间V的一组基称为齐次线性方程组的 一组基础解系,即解空间的某一个部分组 1,2 ,L ,s满足：
a 2 1 1 a 2 1 1
:
a 4a
2 10
1 3
0 0
b c
1 4
:
a 2 a4
1 0
0 0
c
b 3b
1
1
当a 4 0 时,ｂ可由 1,2 ,3 线性表示，且表达式唯一. 当a 4 0 且 c 3b 1 0 时,ｂ可由 1,2 ,3 线性表示，
但表达式不唯一；
1
2 10
,
2
1 5
,
3
1 4
,
b c
,
试问，当a,b,c 满足什么条件时
（１）ｂ可由 1,2 ,3 线性表示，且表达式唯一？
（２）ｂ可由 1,2 ,3 线性表示，且表达式不唯一？
（３）ｂ不能由1,2 ,3 线性表示？

性质2 若 X v 为AX o 的解，c为实数，则
X cv 也是 AX o 的解．
证 因
Av o
A(cv ) cAv c o o
结论：若 v1 , v2 ,, vs 是齐次线性方程组
AX=o的解，则 v1 , v2 ,, vs 的线性组合
c1v1 c2v2 cs vs

r2 r1 r3 r1
1 1 1 1 0 0 2 4 0 0 1 2

1 r2 2 r3 r2
1 1 1 1 1 1 0 1 r1 r2 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
现对 xr 1 , , xn 取下列 n r 组数：
1 x r 1 xr 2 0 , 0 x n
0 1 , 0

0 0 , . 1
1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 r2 2 r1 r2 0 0 1 2 1 0 0 1 2 r3 r2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 可见r ( A) r ( A, b) 2, 故方程组有解, 并有
证
于是
Au1 b, Av1 o
A(u1 v1 ) Au1 Av1 b o b
所以, X u1 v1 是方程组 AX b的解.
定理2 若 v1 , v2 ,, vn r 为导出组AX=o的一个 基础解系， u1 为非齐次线性方程组AX=b X
的任意一个解，则A c1v1 c2v2 cn r v n r , (c1 , c2 , , cn r )

下面证明1 ,2 ,,nr 是齐次线性方程组解空 间的一个基．
(1)证明1,2 ,,n 线性无关.
1 0
0
由于 n r个 n r 维向量
0 ,
1
,
,
0
0 0
1
线性无关， 所以 n r 个 n 维向量 1 ,2 ,,nr 亦
线性无关(定理5).
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(2)证明解空间的任一解都可由 1,2 ,,nr
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
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（2）若 x 1 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k1也是 Ax 0 的解．
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线
性方程组 Ax 0 的解空间,记作 S.
2
3
1
6
故通解为
x3
k1
1
k2
0
(k1, k2 R).
x4 x5
0 0
1 3
1
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事实上，为了避免分数运算，也可以把系数矩阵化为 行阶梯形矩阵,便得到基础解系.
1 2 1 3 0 1 2 1 3 0
A
0
2
1
1
0
0
2
1
1
0
上页 下页 返回
注: 1.解空间的基不是唯一的; 2. n元齐次线性方程组Amnx 0的全体解所构 成的集合S是一个向量空间,当R( Amn) r时, 解空间S的维数为n r.
当R( A) n时,方程组只有零解,故没有基础解 系(此时解空间只含一个零向量,为0维向量空间).
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xr
1
br 1 1
0
xr
2
br 2 0
1
L
xn
br ,nr 0
0
(4)
M
xn
M
0
M
0
M
1
令(4)为 k11 k22 L knr nr
(5)
易知：1,2 ,L ,nr 为齐次线性方程组(1)的一个
基础解系,(5)为方程组 Ax 0的通解.
x1 6 x2 4 x3 x4 4 x5 0
- 1 2 3
- 7 2 1
1
4 1
，
2
4 0
；
0
2
基础解系：
0
1
二、非齐次线性方程组解的性质
非齐次线性方程组
Ax b. (1)
与非齐次方程组 Ax b 对应的齐次方程组 Ax 0 称为该非齐次方程组的导出组.
（２）当 1时，方程组的矩阵为
1 2 2 1 0 0
A
2 3
1 1
1 1
:
0 0
1 0
1 0
所以 R A 2
k1, k2 , , ks ,有k11 k22 kss 也是 Ax 的0解.
齐次线性方程组基础解系的求法
若Ａ的秩为ｒ，则(1)的全部解不妨写成:
x1 b11 xr1 b12 xr2 L b1,nr xn
x2
b21 xr1 b22 xr2 L
b2,nr xn
M
xr
br1 xr1 br 2 xr2 L
br ,nr xn
xr1 xr1
（３）
xr
2
xr2
M
xn
xn
其中 xr1, xr2 ,L , xn 是任意实数.

VS
详细描述
高斯消元法的基本思想是将线性方程组转 化为上三角矩阵，然后通过回代过程求解 未知数。在消元过程中，通过行变换将方 程组的系数矩阵变为上三角矩阵，然后通 过回代过程求解未知数。该方法具有较高 的计算效率和精度，适用于大规模线性方 程组的求解。
迭代法
总结词
迭代法是一种求解线性方程组的方法，通过不断迭代逼近解的过程。
在物理领域的应用
力学系统
利用线性方程组描述多体系统的 运动状态，分析系统的平衡点和 稳定性，以及如何通过调整系统
参数实现稳定运动。
电路分析
通过线性方程组表示电路中的电流 和电压关系，分析电路的阻抗、导 纳和转移矩阵等参数，为电路设计 和优化提供依据。
波动方程
利用线性方程组描述波动现象，如 声波、光波和水波等，分析波的传 播规律和特性。
线性方程组解ppt课件
目录 CONTENT
• 线性方程组的基本概念 • 线性方程组的解法 • 线性方程组的解的性质 • 线性方程组的应用 • 线性方程组解的软件实现
01
线性方程组的基本概念
线性方程组的定义
线性方程组
由有限个线性方程组成的方程组，其中每个方程包含一个或多个 未知数。
线性方程
形如 ax + by + c = 0 的方程，其中 a, b, c 是常数，x 和 y 是未 知数。
详细描述
迭代法的基本思想是通过不断迭代逼近解的过程，最终得到线性方程组的近似解。迭代法有多种形式，如雅可比 迭代法、高斯-赛德尔迭代法和松弛迭代法等。这些方法通过迭代更新解的近似值，最终得到满足精度要求的解。 迭代法适用于大规模线性方程组的求解，但计算效率相对较低。
矩阵求解法
总结词

0
0
1.基础解系不惟一
x
k1
0 0
k2
4 1
k3
-5 0
2.但所含向量的 个数唯一且等于n-R(A)
0
0
1
1
2
3
1,2 ,3 是解吗? 1,2,3 线性无关吗?
任一解都 可由 1,2 ,3 表示吗? 1 ,2 ,3是基础解系吗?
基础解系所含向量的个数 = ?
-7-
例3 设 AmnBnl O ,证明 r( A) r(B) n 重要结论
证 记 B [1, 2 , , l ] 则由 AB O A i 0(i 1, , l) 说明 i (i 1, , l) 都是 Ax 0 的解 因此 r[1, 2 , , l ] r( N ( A)) n r( A)
齐次方程组解的结构定理
齐次方程组 Amn X 0 的基础解系所含向量个数为 n r ( r R( A) )
设一个基础解系为: 1 ,2 , ,n r 则通解为: x k11 k22 kn rn r (ki R)
例２．设ｎ阶矩阵Ａ的秩为ｎ－１，Ａ的每行元素之和 为零，写出ＡＸ＝０的通解． 解： Ann X 0 的基础解系所含向量个数为 n R( A) 1
对于齐次方程组 Amn x 0
只有零解 r( A) n (有非零解即有无限多解 r( A) n)
-3-
第四章
线性方程组解的结构
§4.1 线性方程组解的存在性定理 §4.2 齐次线性方程组解的结构 §4.3 非齐次线性方程组解的结构 §4.4 线性方程组在几何中的应用
-4-
§4.2 齐次线性方程组解的结构
设 是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x x 是 (2)的解,从而存在 ki 使得 x k11 k22 kn rn r x k11 k22 knrnr 其中1,2, ,nr为（2）的基础解系， 由此得:

二、基础解系及其求法
１．基础解系的定义
h1 ,h 2 , ,h t 称为齐次线性方程组 Ax 0的基础
解系, 如果 (1)h 1 ,h 2 , ,h t 是 Ax 0的一组线性无关 的解 ;
如果 h 1 , h 2 , , h t 为齐次线性方程组 的一组基础解系 Ax 0
, 那么 , Ax 0 的通解可表示为
,
h r 1 1 r 2 2 n n r
由于 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的解 ,故h 也是Ax 0 的 解.
下面来证明
h.
h r 1 1 r 2 2 n n r

0 1
b 11 br1

b1 ,n r b r ,n r 0 0
x1 x2 0 xn
x 1 b11 x r 1 b1 ,n r x n x b x b r ,n r x n r1 r 1 r
例1
求齐次线性方程组
x1 x 2 x 3 x 4 0, 2 x1 5 x 2 3 x 3 2 x 4 0, 7 x1 7 x 2 3 x 3 x4 0
的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 A 作初等行变换，化为阶梯型矩 阵，有
1 A 2 7 1 5 7 1 3 3 1 2 1
2 7 3 7 5 7 4 7 , , 1 1 2 0 0 1
即得基础解系
并由此得到通解 2 7 3 7 x1 x2 5 7 4 7 , ( , R ). c1 1 c 2 0 c1 c 2 x3 x4 0 1

28
例
x 1 − x 2 − x 3 + x 4 = 0, 求解方程组 x1 − x 2 + x 3 − 3 x 4 = 1, x − x − 2 x + 3 x = −1 2. 2 3 4 1
对增广矩阵作初等行变换
1 3 1 1 初等行变换 1 3 − 3 2 5 − 2 1 1
的基础解系及通解. 的基础解系及通解. 解
2 1 4 2 A= −1 − 2 0 0
23
1 0 0 0
2 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
2 − 1 0 0
(1)
x1 b a11 a12 L a1n 1 2 a21 a22 L a2n X = x2 , β = b 若记 A= M M , M M M x b a am2 L am n m n m1
5
二、齐次线性方程组的解
设有齐次线性方程组
+ a11x1 +a12x2 +L a1nxn = 0 a x +a x +L a x = 0 + 2n n 21 1 22 2 L L L L L L L L L L L L am1x1 +am2x2 +L amnxn = 0 +
1 − 1 − 1 1 1 1 − 1 − 1 r3 − 2 r2 r2 − 2 r1 4 A = 2 −5 3 2 r − 7r 0 − 7 5 1 3 1 7 − 14 10 8 r2 × ( − ) 7 − 7 3 1 7
21
x = k1ξ1 +k2ξ2 +L kn−rξn−r +η∗, +

方程组可写成向量方程
若
为方程 的
解，则
称为方程组的解向量，它也就是向量方程的解．
课件
２．齐次线性方程组解的性质
也是 的解.
（1）若 为 的解，则
证明
课件
（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解．
课件 证明 非齐次线性方程组解的性质 证明
其中 为对应齐次线性方程组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特解.
２．非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组Ax=b的通解为
课件
3．线性方程组的解法
课件
特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题．
证明
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和乘数运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的解空间．
课件
二、基础解系及其求法
课件
基础解系的定义 注：方程组的基础解系也是方程组解空间的基底。
*
*
课件
２．线性方程组基础解系的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨 设 的前 个列向量线性无关．
课件
第五节 线性方程组解的结构
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主要内容
04
03
01
课件
*
理解齐次线性方程组的基础解系、通解（全部解）和解空间的概念。掌握求齐次线性方程组的基础解系和通解的方法。
理解非齐次线性方程组的解的结构，掌握求非齐次线性方程组通解的方法。
一、齐次线性方程组解的性质
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
于是 的行最简形矩阵为
课件
课件 * 现对 取下列 组数：