下载文档原格式
ABCI1234A BCP1234300ABC E1234【三角形內角平分線性質】： 任一∆ABC ，若∠B 平分線與∠C 平分線相交於∆ABC 內的一點I ，則有∠BIC ＝900＋21∠A 。
【三角形外角平分線性質】：任一∆ABC ，若∠B 的外平分線與∠C 的外平分線相交於∆ABC 外的一點P ，則有∠BPC ＝900－21∠A 。
【證明】∠1＝∠2，∠3＝∠4(角平分線)∴∠A ＋（1800－2∠2）＋（1800－2∠3）＝1800(三角形內角和)⇒∠2＋∠3＝21800+∠A∴∠BPC ＝1800－（∠2＋∠3）＝900－21∠A 【三角形內、外角平分線性質】： 在∆ABC 中，內角∠B 的平分線與∠C 的外角平分線相交於一點E ， 則有∠BEC ＝21∠A 【證明】由外角定理知：∠3＋∠4 ＝（∠1＋∠2）＋∠A⇒∠4 －∠2＝21∠A由外角定理知： ∠4 ＝∠2＋∠BEC ∴∠BEC ＝∠4 －∠2＝21∠A由尺規作圖我們可得：1. SSS 全等性質（三個邊對應相等），2. SAS 全等性質（兩邊一夾角對應相等），3. ASA 全等性質（兩角一夾邊對應相等），AB C D4. AAS全等性質。
及SSA ( ASS) ，AAA 不全等。
平行四邊形平行四邊形的定義:兩雙對邊分別平行的四邊形稱為平行四邊形。
(由角來定義)如圖，若AB//CD且AD//BC，則ABCD稱為平行四邊形，以「□ABCD」表示。
平行四邊形的性質：從平行四邊形的性質來看，我們可以發現基本上都是由之前所學過的平行性質以及三角形的性質所構成，以下列出5點性質，我們將一一來證明。
【性質1】對角線將平行四邊形分為兩個全等三角形。
【性質2】平行四邊形之兩雙對邊分別相等。
【性質3】平行四邊形之兩雙對角分別相等。
【性質4】平行四邊形之兩對角線互相平分。
【性質5】平行四邊形之對邊平行且相等。
(定義+性質一)【性質1】對角線將平行四邊形分為兩個全等三角形。
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
角平分线的性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线段。
在几何学中，角平分线有着许多重要的性质和应用。
本文将详细介绍角平分线的性质，并通过实例来说明其应用。
一、角平分线的定义和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将角分成两个相等的角的线段。
角平分线有以下几个重要的性质：1. 角平分线上的点到角两边的距离相等。
这是因为角平分线将角分成两个相等的角，所以从角平分线上的任意一点到角两边的距离都是相等的。
2. 角平分线与角的两边相交，将角分成两个相等的角。
这是角平分线的定义。
3. 一个角的两条平分线相交于角的顶点，并且将角分成四个相等的角。
这是因为一个角的两条平分线相交于角的顶点，将角分成两个相等的角，而每个相等的角又被另一条平分线分成两个相等的角，所以整个角被平分线分成四个相等的角。
4. 角平分线与角的另一条边垂直相交。
这是因为角平分线将角分成两个相等的角，而相等的角的边垂直相交，所以角平分线与角的另一条边垂直相交。
二、角平分线的应用角平分线在几何学中有着广泛的应用，下面将通过实例来说明角平分线的应用。
例1：已知角ABC的角平分线AD，角ACD=60°，求角ABC的度数。
解：根据角平分线的性质，角ACD=角BCD=60°，所以角ABC=180°-60°-60°=60°。
例2：已知角ABC的角平分线AD，角ACD=40°，角BAD=30°，求角ABC的度数。
解：根据角平分线的性质，角ACD=角BCD=40°，所以角ABC=角ACD+角BAD=40°+30°=70°。
例3：已知角ABC的角平分线AD，角BAD=40°，角BCD=60°，求角ABC的度数。
解：根据角平分线的性质，角ACD=角BCD=60°，所以角ABC=角ACD+角BAD=60°+40°=100°。
角平分线的定义及性质应用角平分线是指从一个角的顶点到其两边上任意一点的线段，将这个角分成两个大小相等的角。
角平分线具有一些重要的性质和应用。
首先，角平分线的定义是从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角。
这意味着角平分线与角的两边所夹的角度大小是相等的。
这是角平分线最基本的性质之一。
其次，角平分线具有对称性。
如果一个角的平分线通过其顶点并交于角的另一边上的一个点，那么这个交点将把角分成两个大小相等的角。
同样地，这个交点也可以看作是这个角的另一个平分线通过其顶点并交于另一边上的一个点。
这个交点将角分成两部分，而这两部分的大小是相等的。
此外，角平分线还具有一些其他的重要性质和应用。
以下是其中的一些：1. 角平分线相交于角的内部：角平分线必定在角的内部相交。
这是因为在平面几何中，两点之间的直线是最短的路径，所以角平分线将角分成两部分时必须通过角的内部。
2. 角平分线垂直于角的边：如果一个角的平分线与角的一条边相交，那么它与这条边所夹的角是垂直的。
也就是说，平分线和边的交点处的两个相邻角度是垂直的。
这是一个很有用的性质，可以用来构造垂直角、垂直平分线和垂直双准线等几何图形。
3. 角平分线的长度相等：如果一个角的两条平分线相交，那么它们的长度是相等的。
换句话说，一个角的两条平分线与该角两条边的交点之间的距离是相等的。
这可以通过解析几何或使用三角函数来证明。
4. 角平分线被分成一定比例的线段：如果两个角的平分线相交于一个点，并且它们分别与这两个角的另外一条边相交于不同的点，那么这个交点将把角平分线分成一定比例的线段。
这个性质可以用于求解角平分线上的长度比例，从而解决几何问题。
5. 角平分线和三角形内心：在一个三角形中，三条角的平分线交于一点，这个点称为三角形的内心。
内心是三角形内接圆的圆心，角平分线与三角形内接圆的切点均相交于角的顶点。
内心的存在和性质可以用角平分线来证明。
综上所述，角平分线具有分割角度、对称性、相交于角的内部、垂直于角的边、长度相等、被分成一定比例的线段等性质。
角的平分线的性质（基础）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,PP P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质1．（2015春•启东市校级月考）如图，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM⊥AD 于M ，PN⊥CD 于N ，求证：PM=PN ．2、如下图, △ABC 中, ∠C ＝ 90 , AC ＝ BC, AD 平分∠CAB, 交BC 于D, DE ⊥AB 于E, 且AB ＝6cm , 则△DEB 的周长为( )A. 4cmB. 6cmC.10cmD. 以上都不对举一反三：AB AC ABD与△ACD 【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:的面积之比为（）A．3：2 B C．2：3、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．类型二、角的平分线的判定4、已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B＝∠C，BF＝CF.求证：AF为∠BAC的平分线.举一反三：【变式】（2014秋•肥东县期末）已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．。
2023-11-06contents •角平分线的性质的基本概念•角平分线的性质的应用•角平分线的性质的证明方法•角平分线的性质的实践应用•总结与展望•参考文献目录01角平分线的性质的基本概念定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
记法$\overset{\frown}{AB}$表示角平分线，简记为“ABfrown”或“frownAB”。
角平分线的定义语言描述一般地，我们用“$\overset{\frown}{AB}$”表示从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线。
符号表示$\overset{\frown}{AB}$或简记为“ABfrown”或“frownAB”。
角平分线的表示方法•定理：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的性质定理02角平分线的性质的应用利用角平分线的性质证明等腰三角形总结词角平分线性质是等腰三角形证明中的重要工具。
详细描述利用角平分线的性质，可以证明等腰三角形的两个底角相等，从而得出等腰三角形的性质。
这是因为在角平分线上，从顶角到两边分角线上的点到两边的距离相等，所以两边的三角形内角和相等，从而得出两个底角相等。
总结词角平分线性质也是证明平行四边形的重要工具。
要点一要点二详细描述在平行四边形ABCD中，AC和BD是对角线，O是AC的中点。
利用角平分线的性质，可以证明三角形ABO和三角形CBO全等，从而得出三角形ABO是等腰三角形。
因为等腰三角形的底边上的中线也是高，所以可以得出ABO是等腰三角形的高，从而得出AB和BC平行且相等，证明了平行四边形的性质。
利用角平分线的性质证明平行四边形•总结词：角平分线性质还可以用于证明三角形内角和定理。
•详细描述：在三角形ABC中，AD是角平分线。
利用角平分线的性质，可以证明三角形ABD和三角形ACD全等，从而得出三角形ABD和ACD的面积相等。
角的平分线的性质一. 基础知识1．角的平分线的性质(1)内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等．(2)书写格式如图所示，∵点P在∠AOB的角平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE.2．角的平分线的判定(1)内容角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(2)书写格式如图所示，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴点P在∠AOB的角平分线上．3．运用角的平分线的性质解决实际问题运用角的平分线的性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的距离．在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即可．运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等，常常确定两线夹角的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的过程，这是在解决实际问题中常用的方法．4．运用角的平分线的判定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距离相等，常先把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型(角的平分线)．然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角的平分线的判定得到角的平分线来解决问题．解技巧巧用角的平分线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性质或判定是解决问题的关键．找到解决问题的切入点就是已知条件中有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点．5．综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和判定的关系如下：对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据．析规律构造角的平分线的模型证明线段相等当有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平分线的性质得线段相等．同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可．6．运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题在实际问题中，确定位置(如建货物中转站、建集市、建水库等)的问题，常常用到角的平分线的性质来解决．尤其是涉及作图探究的题目，性质“角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上”的应用是寻找角的平分线的一种比较简单的方法．三角形有三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等，其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此交点．三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边所在的直线距离相等．三角形外角平分线共有三条，所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个．【例6】如下图所示，三条公路l1，l2，l3两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，可供选择的地方有多少处？你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角形三条边的距离相等；∠ACB，∠ABC的外角平分线交于一点，利用角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在∠CAB的平分线上，且到公路l1，l2，l3的距离相等；同理还有∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点；∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点，因此满足条件的点共有4个．作法：(1)如右图所示，作出△ABC两内角∠BAC，∠ABC的平分线的交点O1.(2)分别作出∠ACB，∠ABC的外角平分线的交点O2，∠BAC，∠BCA的外角平分线的交点O3，∠BAC，∠CBA的外角平分线的交点O4；故满足条件的修建点有四处，即点O1，O2，O3，O4处．课堂练习一、填空题1．已知：△ABC 中，∠B =90°， ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为 .2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．3．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________.4．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 5．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .6．如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF ______FG ，CE ________CF .7．如图，已知AB 、CD 相交于点E ，∠AEC 及∠AED 的平分线所在的直线为PQ 与MN ，则直线MN 与PQ 的关系是_________.8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等． 9．点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________．10．在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =32且BD ∶CD =9∶7，则D 到AB 的距离为 .第4题第5题第6题第7题二、选择题11．三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点 12．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）A 、PD ＝PEB 、OD ＝OEC 、∠DPO ＝∠EPOD 、PD ＝OD 13．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A 、1处B 、2处C 、3处D 、4处14．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）A 、4㎝B 、6㎝C 、10㎝D 、不能确定21DAPOEBl 2l 1l 3DCEB第12题 第13题 第14题15．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△MNP 的角平分线，MT ＝MP ，连接TQ ，则下列结论中不正确的是（ ）A 、TQ ＝PQB 、∠MQT ＝∠MQPC 、∠QTN ＝90°D 、∠NQT ＝∠MQTNTQPM第15题16．如图在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC =3 cm ，那么AE +DE 等于( )EDCBAA ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm17．如图，已知AB =AC ，AE =AF ，BE 与CF 交于点D ，则对于下列结论：①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上．其中正确的是（ ）A ．①B ．②C ．①和②D ．①②③EDC BAF18．如图，AB =AD ，CB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．OA =OCB ．点O 到AB 、CD 的距离相等C ．∠BDA =∠BDCD ．点O 到CB 、CD 的距离相等19．△ABC 中，∠C =90°，点O 为△ABC 三条角平分线的交点，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，且AB =10cm ，BC =8cm ，AC =6cm ，则点O 到三边AB 、AC 、BC 的距离为（ ）A ．2cm ，2cm ，2cm ；B ． 3cm ，3cm ，3cm ；C ． 4cm ，4cm ，4cm ；D ． 2cm ，3cm ，5cm 20．两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（ ）A ．两个三角形全等B ．如果还有一角相等，两三角形就全等C ．两个三角形一定不全等D ．如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等 三、解答与证明21． 如图，已知△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，求证：D 到AB 、AC 的距离相等.DCAO 第18题22． 如图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC .23． 如图，已知BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．求证：AE 平分∠FAC .F CAE24． 如图，已知AB =AC ，AD =AE ，DB 与CE 相交于O . (1)若DB ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，试判断OE 与OD 的大小关系.并证明你的结论. (2)若没有第（1）中的条件，是否有这样的结论?试说明理由.DCBAOE25．如图，∠B =∠C =90°M 是BC的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .重点题型讲解1.如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR ⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．（1）求BP、CQ、AR的长．（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．2.如图．AE、BD是△ABM的高．AE、BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM．（1）求证：BC=2AD；（2）求证：AB=AE+CE；（3）求证：DE平分∠MDB3.如图，点M（2，2），将一个90°的角尺的直角顶点放在点M处，角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B，AP平分∠OAB，交OM于点P，PN⊥x轴于N，把角尺绕点M旋转时：（1）求证：OM平分∠AOB；（2）求OA+OB的值4.如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求证：CH平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示）家庭作业1角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．2、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________.3、如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________.4、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .5、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等。
