金新学案北师大高中数学必修检测：空间直角坐标系的建立 空间直角坐标系中点的坐标 含解析

．空间直角坐标系的建立．空间直角坐标系中点的坐标时间：分钟满分：分班级姓名分数一、选择题(每小题分，共×＝分)．在空间直角坐标系中，点的坐标是()，则点关于轴对称的点在平面上的射影的坐标为( )．() ．(－，－)．(－，－) ．(－)答案：解析：点关于轴对称的点是′(－，－)，点′在平面上的射影的坐标为(－，－)．．在空间直角坐标系中，已知点(，，)，过作平面的垂线，则垂足的坐标为( )．(，，) ．(，，)．(，) ．(，，)答案：解析：根据空间直角坐标系的概念知，平面上点的坐标为，坐标、坐标与点的坐标，坐标分别相等，∴(，，)．．在空间直角坐标系中，＝表示( )．轴上的点．过轴的平面．垂直于轴的平面．平行于轴的直线答案：解析：＝表示所有在轴上的投影是点(，)的点的集合，所以＝表示经过点(，)且垂直于轴的平面．．已知(，－)，记到轴的距离为，到轴的距离为，到轴的距离为，则( )．>>．>>．>>．>>答案：解析：借助长方体来思考，、、分别是三条面对角线的长度．∴＝，＝，＝.．空间直角坐标系中，到坐标平面, ，的距离分别为的点有( )．个．个．个．个答案：解析：分别为()、(，－)、(，－)、(，－，－)、(－)、(－，－)、(－，－)、(－，－，－)．三棱锥－中，()，()，()，()此三棱锥的体积为( )．．．．答案：解析：，，两两垂直，－＝····＝二、填空题(每小题分，共×＝分)．已知点(－)，()，则线段的中点坐标是．答案：解析：由两点(，，)，(，，)的中点坐标为，知线段的中点坐标是.．已知平行四边形中，()，(，－)，(，－)，则点的坐标为．答案：(，－)解析：设平行四边形的两条对角线的交点为点，则为，的中点．由()，(，－)，得点的坐标为.又点(，－)，所以点的坐标为(，－)．．在空间直角坐标系中，点(－，－)在平面上的射影为点，则点关于原点对称的点的坐标是．答案：()解析：由题意，知点的坐标为(－，－)，点关于原点对称的点的坐标是()．三、解答题(共分，＋＋)．已知正方体－，，，分别是，，的中点，且正方体的棱长为.请建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点及点，，的坐标．解：建立如图所示的空间直角坐标系－.则()，()，()，()，()，()，()，()，，，.．如图，已知长方体－的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点(－，－，－)，求其他七个顶点的坐标．解：由题意，得点与点关于平面对称，故点的坐标为(－，－)；点与点关于平面对称，故点的坐标为(，－，－)；点与点关于轴对称，故点的坐标为(，－)；由于点，，，分别与点，，，关于平面对称，故点，，，的坐标分别为(－，－，)，(－)，()，(，－)．．如图，，分别是⊙，⊙的直径，与两圆所在的平面均垂直，＝，是⊙的直径，＝＝，∥，试建立适当的空间直角坐标系，求出点，，，，，的坐标．解：因为与两圆所在的平面均垂直，∥，所以⊥平面.又平面，平面，所以⊥，⊥.又是圆的直径，所以＝.又＝＝，所以⊥，＝.所以＝＝＝＝.如图所示，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，。

3．1空间直角坐标系的建立3．2空间直角坐标系中点的坐标学习目标 1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标．知识点空间直角坐标系思考1在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置．在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置．为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？思考2空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？梳理(1)空间直角坐标系①建系方法：过空间任意一点O作三条两两互相______的轴、有________的长度单位．②建系原则：伸出右手，让四指与大拇指________，并使四指先指向________正方向，然后让四指沿握拳方向旋转________指向________正方向，此时大拇指的指向即为________正向．③构成要素：________叫作原点，________轴统称为坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为________平面、________平面和________平面．(2)空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中，空间一点P的坐标可用三元有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组________叫作点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作________，其中x叫作点P的________，y叫作点P的________，z叫作点P的________．特别提醒：(1)在空间直角坐标系中，空间任一点P与有序实数组(x，y，z)之间是一种一一对应关系．(2)对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问题，要记住“关于谁对称谁不变”的原则．类型一确定空间中点的坐标例1已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为52，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．引申探究1．若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标．1题图2题图2．若本例中的条件变为“正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10”，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．反思与感悟(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．②充分利用几何图形的对称性．(2)求某点M的坐标的方法作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点坐标(x，y，z)．(3)坐标平面上的点的坐标特征xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y,0)．yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z)．xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x,0，z)．(4)坐标轴上的点的坐标特征x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)．y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)．z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．跟踪训练1建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．类型二已知点的坐标确定点的位置例2在空间直角坐标系中作出点P(5,4,6)．反思与感悟已知点P的坐标确定其位置的方法(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置．(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.跟踪训练2点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．yOz平面上类型三空间中点的对称问题命题角度1关于点和线的对称问题例3(1)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标是()A．(0,0,0) B．(2，－1，－4)C．(6，－3，－12) D．(－2,3,12)(2)已知点A(－3,1，－4)，则点A关于x轴的对称点的坐标为()A．(－3，－1,4) B．(－3，－1，－4)C．(3,1,4) D．(3，－1，－4)反思与感悟(1)利用线段中点的坐标公式可解决关于点的对称问题．(2)解决关于线对称问题的关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本例(2)中点A关于x轴对称，则对称点的横坐标不变，纵、竖坐标都变为其相反数．跟踪训练3在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2,3，－4)两点的位置关于________对称．命题角度2关于平面对称例4在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是()A．(－1,3，－5) B．(1，－3,5)C．(1,3,5) D．(－1，－3,5)反思与感悟本题易错点是把关于平面对称与关于线对称搞混，破解此类题关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本题，点P关于平面xOy对称，则对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为其相反数．跟踪训练4点(1，a，b)关于平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是(1,2，c)和(d，－2，－3)，则a，b，c，d的值分别是________．1．点Q(0,0,2 017)的位置是()A．在x轴上B．在y轴上C．在z轴上D．在平面xOy上2．点(2，－1,5)与点(2，－1，－5)()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于xOy平面对称D．关于z轴对称3．点A(－1，3，2)在xOz平面的投影点的坐标为()A．(－1，－3，2) B．(－1,0,2)C．(1，3，－2) D．(0，3，0)4．如图所示，点P′在x轴的正半轴上，且|OP′|＝2，点P在xOz平面内，且垂直于x轴，|PP′|＝1，则点P的坐标是________．5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点N的坐标．1．空间中确定点M的坐标的三种方法(1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的横坐标和纵坐标，再由射线M1M 的指向和线段MM1的长度确定竖坐标．(2)构造以OM 为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M 的位置，可以确定点M 的坐标．(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M 在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M 的坐标． 2．求空间对称点的规律方法(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．答案精析问题导学 知识点 思考1 三个．思考2 空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直． 梳理 (1)①垂直 相同 ②垂直 x 轴 90° y 轴 z 轴 ③点O x ，y ，z xOyyOz xOz (2)(x ，y ，z ) P (x ，y ，z ) 横坐标 纵坐标 竖坐标 题型探究例1 解 因为|PO |＝|PB |2－|OB |2＝169－25＝12， 所以各顶点的坐标分别为P (0,0,12)， A ⎝⎛⎭⎫522，－522，0，B⎝⎛⎭⎫522，522，0，C ⎝⎛⎭⎫－522，522，0， D ⎝⎛⎭⎫－522，－522，0.引申探究1．解 各顶点的坐标分别为P (0,0,12)，A (5,0,0)，B (0,5,0)，C (－5,0,0)，D (0，－5,0)． 2．解 因为正四棱锥P －ABCD 的底面边长为4，侧棱长为10，所以正四棱锥的高为223，以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC ，AB 所在的直线分别为x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A (2，－2,0)，B (2,2,0)，C (－2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,223)．跟踪训练1解以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，AO＝32×2＝3，从而可知各顶点的坐标分别为A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，－1,3)．例2解方法一第一步：从原点出发沿x轴正方向移动5个单位．第二步：沿与y轴平行的方向向右移动4个单位．第三步：沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.方法二以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.跟踪训练2C[∵点(2,0,3)的纵坐标为0，∴此点是x O z平面上的点，故选C.]例3(1)C(2)A[(1)根据题意知，M为线段PP3的中点，设P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，∴P3(6，－3，－12)．故选C.(2)∵在空间直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，又点A(－3,1，－4)，∴点A关于x轴对称的点的坐标是(－3，－1,4)．故选A.]跟踪训练3y轴例4C[∵两点关于平面xOy对称，则横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标互为相反数，∴点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是(1,3,5)．故选C.]跟踪训练42,3，－3,1当堂训练1．C 2.C 3.B 4．(2,0,1)5．解 (1)显然A (0,0,0)，由于点B 在x 轴的正半轴上且|AB |＝4， 所以B (4,0,0)．同理可得D (0,3,0)，A 1(0,0,5)．由于点C 在坐标平面xOy 内，BC ⊥AB ，CD ⊥AD ， 则点C (4,3,0)．同理可得B 1(4,0,5)，D 1(0,3,5)，与点C 的坐标相比， 点C 1的坐标中只有z 坐标与点C 不同， |CC 1|＝|AA 1|＝5，则点C 1(4,3,5)．(2)由(1)知C (4,3,0)，C 1(4,3,5)，则C 1C 的中点为(4＋42，3＋32，0＋52)，即N (4,3，52)．。

3.1 空间直角坐标系的建立 3.2 空间直角坐标系中点的坐标3.3 空间两点间的距离公式时间：25分钟1．下列叙述中，正确的个数是( )①空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式；②空间直角坐标系中，在yOz平面内的点的坐标一定是(0，b，c)的形式；③空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定是(0,0，c)的形式；④空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式．A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标可写成(a,0,0)的形式，故①错；在yOz 平面内的点的坐标可写成(0，b，c)的形式，故②正确；在z轴上的点的坐标可写成(0,0，c)的形式，故③正确；在xOz平面内的点的坐标可写成(a,0，c)的形式，故④正确．因此选C.2．点P(1，2，3)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )A．(0,0，3) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)答案 D解析由空间点的坐标的定义知Q的坐标为(1，2，0)．3．在空间直角坐标系中，点P(2,3,4)和点Q(－2，－3，－4)的位置关系是( ) A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对答案 C解析点P和点Q的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称．4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7 C．－1 D．1答案 D解析由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y 轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.5．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )A．在x轴上B．在xOy平面内C．在yOz平面内D．在xOz平面内答案 C解析∵A点横坐标为0，∴点A在yOz平面内．6．光线由点A(1,2,3)射出，经xOy平面反射后，射到B(－3，1,4)，则光线所经过的距离为( )A.18B.66C.14D.26答案 B解析由光的反射原理，点A关于xOy平面的对称点A′(1，2，－3)，∴|A′B|＝＋2＋－2＋－3－2＝66，故选B.7．到定点(1,0,0)的距离小于或等于1的点的集合是( )A．{(x，y，z)|(x－1)2＋y2＋z2≤1}B．{(x，y，z)|(x－1)2＋y2＋z2＝1}C．{(x，y，z)|x＋y＋z≤1}D．{(x，y，z)|x2＋y2＋z2≤1}答案 A解析由已知可设动点M(x，y，z)，则由两点间的距离公式得(x－1)2＋(y－0)2＋(z－0)2≤1，即(x－1)2＋y2＋z2≤1.故选A.8．正方体不在同一平面上的两个顶点的坐标分别为A(－1，2，－1)、B(3，－2,3)，则正方体的棱长为________．答案 4解析由题意可知A、B两点位于正方体的体对角线上，从而可据此求得正方体的棱长为4.画出图形，数形结合，更为直观．9．已知点A(3,5，－7)和点B(－2,4,3)，则线段AB在坐标平面yOz上的射影的长度为________．答案101解析求线段AB在坐标平面yOz上的射影长，可先求A、B两点在yOz上的射影，然后再用两点间距离公式，A(3,5，－7)在yOz上的射影是A′(0,5，－7)，B(－2，4,3)在yOz 上的射影是B′(0,4,3)，故|A′B′|＝d(A′，B′)＝－2＋－2＋－7－2＝101.10．直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．求|MN|的长．解 如图所示，以C 为原点，以CA 、CB 、CC 1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，∵CA ＝CB ＝1，AA 1＝2，∴N (1,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2. 由两点间的距离公式得|MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋－2＝62. 故|MN |的长为62.。

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 空间直角坐标系随堂检测 文北师大版(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．以棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA 1B 1B 对角线交点的坐标为( )A.B.(0，12，12)(12，0， 12)C.D.(12，12，0)(12，12，12)【解析】　可以直接求解，可以借助中点坐标公式求解．【答案】　B2．设点B 是点A(2，－3,5)关于xOy 面的对称点，则A 、B 两点距离为( )A ．10 B.10D ．3838【解析】　由于A 、B 关于xOy 对称，则A ，B 的横，纵坐标相等，z 坐标互为相反数，故B 点坐标为(2，－3，－5)，|AB|＝Error!＝10，选A.【答案】　A3.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO-A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为( )a B.a222C ．a D.a12【解析】　由图易知A(a,0,0)，B(a ，a,0)，C(0，a,0)，A′(a,0，a)．∴F ，E.(a ，a 2，0)(a 2，a 2，a 2)∴|EF|＝(a －a 2)2＋(a 2－a 2)2＋(0－a 2)2＝ a.a24＋a2422【答案】　B4．一束光线自点P(1,1,1)发出，遇到xOy 平面被反射，到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的路程是( )B.3747D.3357【解析】　选D.设Q 点关于平面xOy 的对称点为Q′，则所求路程为PQ′的长．由题意知Q′(3,3，－6)．∴|PQ′|＝Error!＝.57【答案】　D5．点P(x ，y ，z)满足Error!＝2，则点P 在( )A ．以点(1,1，－1)为圆心，以2为半径的圆上B ．以点(1,1，－1)为中心，以2为棱长的正方体上C ．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定【解析】　式子Error!＝2的几何意义是动点P(x ，y ，z)到定点(1,1，－1)的距离为2的点的集合．故选C.【答案】　C6．若A 、B 两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1)B(2cosθ，2sinθ，1)则|AB|的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[1,5]C ．(1,5)D ．[1,25]【解析】　|AB|＝Error!＝Error!＝Error!∈[1,5]．∴|AB|∈[1,5]．【答案】　B二、填空题(每小题6分，共18分)7．点P(1,2,3)关于y 轴的对称点为P 1，P 关于坐标平面xOz 的对称点为P 2，则|P 1P 2|＝__________.【解析】　∵P 1(－1,2，－3)，P 2(1，－2,3)．∴|P 1P 2|＝Error!＝.14【答案】　.148．已知三角形的三个顶点为A(2，－1,4)，B(3,2，－6)，C(5,0,2)，则BC 边上的中线长为__________．【解析】　设BC 的中点为D ，则D ，(3＋52，2＋02，－6＋22)即D(4,1，－2)．∴BC 边上的中线|AD|＝Error!＝2.11【答案】　.119．已知x ，y ，z 满足(x －3)2＋(y －4)2＋z 2＝2，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值是__________．【解析】　2由已知得点P(x，y，z)在以M(3,4,0)为球心，为半径的球面上，x2＋y2＋z2表示原点O与点P的距离的平方，显然当O，P，M共线且P在O与M之间时，|OP|最小，此时232＋4222|OP|＝|OM|＝－＝5－.2∴|OP|2＝27－10.【答案】　27－102三、解答题(共46分)10．(15分)如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，O P=2，连接AP、BP、CP、DP，M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标．【解析】　如上图所示，B点坐标为B(1,1,0)，∵A点与B点关于x轴对称，得A(1，-1,0)，C点与B点关于y轴对称，得C(-1,1,0)，D与C点关于x轴对称，得D(-1，-1,0)，又P(0,0,2)，由中点公式可得E ，F .11．(15分)在空间直角坐标系中，解答下列各题：30(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最小．【解析】　(1)设点P(x,0,0)，30由题意得|P0P|＝Error!＝.解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．(2)由已知，可设M(x,1－x,0)，则|MN|＝Error!＝Error!.所以，当x＝1时，|MN|min＝51，此时点M的坐标为(1,0,0)．12．(16分)已知空间直角坐标系O—xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点．(1)求点P的坐标满足的条件；(2)求平面α与坐标平面围成的几何体的体积．【解析】　(1)因为OA⊥α，所以OA⊥AP，由勾股定理得：|OA|2＋|AP|2＝|OP|2，即3＋(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＝x2＋y2＋z2，化简得：x＋y＋z＝3.(2)设平面α与x轴、y轴、z轴的点分别为M，N，H，则M(3,0,0)，N(0,3,0)，H( 0,0,3)，所以|MN|＝|NH|＝|MH|＝，2所以等边三角形MNH 的面积为×(3)2＝，342923又|OA|，故三棱锥O—MNH 的体积为3××＝.13923392。

空间直角坐标系及在立体几何中的应用【第一课时】空间直角坐标系【学习目标】1．了解空间直角坐标系的建系方式。

2．掌握空间中任意一点的表示方法。

3．能在空间直角坐标系中求出点的坐标。

4．掌握空间两点间的距离公式【学习过程】一、知识梳理1．如图，OABC—D′A′B′C′是单位正方体。

以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：轴、轴、轴。

这时我们说建立了一个__________O—，其中点O叫做__________，轴、轴、轴叫做__________。

通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为O平面、O平面、O平面。

2．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为________，如无特别说明，本书建立的坐标系都是_______。

3．空间一点M的坐标可以用_____________来表示，_________叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中__________叫做点M的横坐标，__________叫做点M的纵坐标，__________叫做点M的竖坐标。

4．在空间直角坐标系中，怎样确定空间一点1111(,,)P x y z 2222(,,)P x y z 12PP M (1,2,3)P x ()A (1,2,3)-()B (1,2,3)--()C (1,2,3)--()D (1,2,3)--(3,5,1),(3,5,1)P Q ---()A x ()B yOz ()C ()D (,,)P x y z 3y =P ()A y ()B xOz ()C xOz ()D y (2,1,3)A -xOy ()A 2x =-()B 1y =()C 2x =-1y =()D 2x =-1y =(2,3,6)-x y 1C 1C2a 的坐标。

3如图所示，点A 0，0，a ，在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E 、F 分别是AC ．AD 的中点。

学习资料专题§3空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念.2.会在空间直角坐标系中用三元有序数组刻画点的位置.(重点、难点)[基础·初探]教材整理空间直角坐标系阅读教材P89至P91“例3”以上部分，完成下列问题.1.空间直角坐标系的建立：(1)空间直角坐标系建立的流程图：平面直角坐标系↓↓空间直角坐标系(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：①伸出右手，让四指与大拇指垂直；②四指先指向x轴正方向；③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向；④大拇指的指向即为z轴正方向.(3)有关名称：如图2­3­1所示，图2­3­1①O叫作原点；②x，y，z轴统称为坐标轴；③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，由x，y轴确定的平面记作xOy平面，由y，z轴确定的平面记作yOz平面，由x，z轴确定的平面记作xOz平面.2.空间直角坐标系中点的坐标：(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画.(2)空间任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标.(3)空间直角坐标系中，点一一对应三元有序数组.(4)对于空间中点P坐标的确定方法是：过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O，P 为顶点的长方体，如果长方体在三条坐标轴上的顶点P1，P2，P3的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)给定空间直角坐标系，空间任意一点与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系.( )(2)点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的xOy坐标平面上.( )(3)空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标为(0，y,0).( )(4)在不同的空间直角坐标系中，同一点的坐标可能不同.( )【答案】(1)√(2)×(3)√(4)√[小组合作型]如图1111F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标.图2­3­2【精彩点拨】 取D 为空间坐标系的原点，过D 点的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，按定义确定E ，F ，G 坐标.【自主解答】 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，E 点在平面xDy 中，且|EA |＝12.∴E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0. ∵B 点和B 1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12. 同理可得G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，12.1.题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性.2.求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的投影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标.[再练一题]1.在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AD ＝3，AB ＝5，AA 1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标.【导学号：39292118】【解】 如图，以DA 所在直线为x 轴，以DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O ­xyz .∵长方体的棱长AD ＝3，DC ＝AB ＝5，DD 1＝AA 1＝4，显然D (0,0,0)，A 在x 轴上，∴A (3,0,0)；C 在y 轴上，∴C (0,5,0)；D 1在z 轴上，∴D 1(0,0,4)；B 在xOy 平面内，∴B (3,5,0)；A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，∴C1(0,5,4).由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，∴B1的横坐标为3，纵坐标为5，∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，∴B1的竖坐标为4，∴B1(3,5,4).【精彩点拨】解答本题可有三种思路：①利用平移点的方法，将原点按坐标轴的方向三次平移得点M；②构造适合条件的长方体，使三条棱长分别为4,2,5，通过和原点相对的顶点确定M的位置；③通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点M.【自主解答】法一：将原点沿x轴正方向平移4个单位得点M1(4,0,0)，再把M1沿与y轴平行的直线且与y轴相反方向平移2个单位，得到点M2(4，－2,0)，最后把M2沿与z轴平行的直线且与z轴相同方向平移5个单位即得点M.法二：以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，且棱长分别为4,2,5，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M.法三：在x轴上找到坐标为4的点，过此点作与x轴垂直的平面α；在y轴上找到坐标为－2的点，过此点作与y轴垂直的平面β；在z轴上找到坐标为5的点，过此点作与z轴垂直的平面γ，则α，β，γ交于一点，此交点即为所求的点M.已知点M的坐标(x0，y0，z0)，确定它的位置的方法有：(1)先在x轴上取横坐标为x0的点M1；再将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向的负向(y0＜0)或正向(y0＞0)平移|y0|个单位，得到点M2；再将点M2沿与z轴平行的方向的正向(z0＞0)或负向(z0＜0)平移|z0|个单位，就可得到点M(x0，y0，z0).(2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体与O相对的顶点即为所求的点M.(3)先在x轴上找到点M1(x0,0,0)，过M1作x轴的垂直平面α；再在y轴上找到点M2(0，y0,0)，过M2作y轴的垂直平面β；在z轴上找到点M3(0,0，z0)，过M3作z轴的垂直平面γ，三个平面α，β，γ交于一点，此交点即为所求点M.[再练一题]2.在空间直角坐标系中，作出点P (5,4,6).【解】 法一：第一步从原点出发沿x 轴正方向移动5个单位，第二步沿与y 轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z 轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P .法二：以O 为顶点构造长方体，使这个长方体在点O 处的三条棱分别在x 轴、y 轴、z 轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求点P .[探究共研型]探究1 111222点坐标，空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)的中点坐标是什么？【提示】 平面上两点P 1，P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；空间中两点P 1，P 2中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22. 探究2 在空间直角坐标系中，关于一个平面对称的点有什么特点？关于一条坐标轴对称的点有什么特点？【提示】 关于哪个平面的对称点在这个平面上的坐标不变，另外的坐标变成原来的相反数.关于一条坐标轴的对称点这个坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数.探究3 在空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标有什么特点？【提示】 三个坐标分别互为相反数.求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴对称的点的坐标.【精彩点拨】 解答本题可先作出点A 的坐标，然后借助于图形，分析其对称点的情况.【自主解答】 如图所示，过A 作AM ⊥xOy 交平面于M ，并延长到C ，使|AM |＝|CM |，则A 与C 关于坐标平面xOy 对称点C (1,2,1).过A 作AN ⊥x 轴于N ，并延长到点B ，使|AN |＝|NB |，则A 与B 关于x轴对称且B (1，－2,1)，∴A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2,1)；A (1,2，－1)关于x 轴对称的点的坐标为(1，－2,1).点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点有如下特点：(1)P (x ，y ，z )――――――→关于原点对称P 1(－x ，－y ，－z )；(2)P (x ，y ，z )――――――→关于x 轴对称P 2(x ，－y ，－z )；P (x ，y ，z )――――――→关于y 轴对称P 3(－x ，y ，－z )；P (x ，y ，z )――――――→关于z 轴对称P 4(－x ，－y ，z ).记忆口诀：“关于谁对称谁不变，其余相反”.(3)P (x ，y ，z )――――――――――→关于坐标平面xOy 对称P 5(x ，y ，－z )；P (x ，y ，z )――――――――――→关于坐标平面yOz 对称P 6(－x ，y ，z )；P (x ，y ，z )――――――――――→关于坐标平面xOz 对称P 7(x ，－y ，z ).[再练一题]3.写出点P (－2,1,4)关于y 轴，z 轴，yOz 面，xOz 面的对称点的坐标.【解】 (1)点P 关于y 轴的对称点坐标为P 1(2,1，－4)，(2)点P 关于z 轴的对称点坐标为P 2(2，－1,4)，(3)点P 关于面yOz 的对称点为P 3(2,1,4)，(4)点P 关于面xOz 对称的点为P 4(－2，－1,4).1.点M ⎝⎛⎭⎪⎫0，26，－13所在的位置是( ) A.x 轴上B.xOz 平面内C.xOy 平面内D.yOz 平面内【解析】 ∵M 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，26，－13，x ＝0， ∴点M 在平面yOz 内.【答案】 D2.在空间直角坐标系中，点M (－2,1,0)关于原点的对称点M ′的坐标是( )A.(2，－1,0)B.(－2，－1,0)C.(2,1,0)D.(0，－2,1)【解析】 很明显点M 和M ′的中点是原点，所以点M ′的坐标是(2，－1,0).【答案】 A3.在空间直角坐标系中，已知点A (－1,2，－3)，则点A 在yOz 平面内射影的点的坐标是________.【解析】 由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知，点A 在yOz 平面内的射影的点的坐标是(0,2，－3).【答案】 (0,2，－3)4.已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________.【解析】 设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1， ∴中点坐标为(4,0，－1).【答案】 (4,0，－1)5.如图2­3­3，正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1(底面为正方形的直棱柱)中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上且C 1E ＝3EC .试建立适当的坐标系，写出点B ，C ，E ，A 1的坐标.【导学号：39292119】图2­3­3【解】 以点D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.依题意知，B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4).。

教学设计3．1空间直角坐标系的建立3．2空间直角坐标系中点的坐标整体设计教学分析学生已经对立体几何以及平面直角坐标系的相关知识有了较为全面的认识，学习“空间直角坐标系”有了一定的基础．这对于本节内容的学习是很有帮助的．但部分同学仍然会在空间思维与数形结合方面存在困惑．本节课的内容是非常抽象的，试图通过教师的讲解而让学生听懂、记住、会用是徒劳的，必须突出学生的主体地位，通过学生的自主学习与和同学的合作探究，让学生亲手实践，这样学生才能获得感性认识，从而为后续的学习及上升到理性认识奠定基础．通过激发学生学习的求知欲望，使学生主动参与教学实践活动．创设学习情境，营造氛围，精心设计问题，让学生在整个学习过程中经常有自我展示的机会，并有经常性的成功体验，增强学生的学习信心，从学生已有的知识和生活经验出发，让学生经历知识的形成过程．通过阅读教材，并结合空间坐标系模型，模仿例题，解决实际问题．三维目标1．掌握空间直角坐标系的有关概念；会根据坐标找相应的点，会写一些简单几何体的有关坐标．2．通过空间直角坐标系的建立，使学生初步意识到：将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思想方法．3．通过本节的学习，培养学生类比、迁移、化归的能力．重点难点教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标．教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标，以及相关应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.大家先来思考这样一个问题，天上的飞机的速度非常的快，即使是民航飞机速度也非常快，有很多飞机时速都在1 000 km以上，而全世界又这么多飞机在空中风驰电掣，速度是如此的快，岂不是很容易撞机吗？但事实上，飞机的失事率是极低的，比火车、汽车要低得多，原因是，飞机都是沿着国际统一划定的航线飞行，而在划定某条航线时，不仅要指出航线在地面上的经度和纬度，还要指出航线距离地面的高度．为此我们学习空间直角坐标系．思路2.我们知道数轴上的任意一点M都可用对应的一个实数x表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M都可用对应的一对有序实数(x，y)表示．那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x，y，z)表示出来呢？为此我们学习空间直角坐标系．推进新课新知探究提出问题①在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？②在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？图1③在空间，我们是否可以建立一个坐标系，使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢？④观察图1，体会空间直角坐标系该如何建立．图2⑤观察图2，建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M如何用坐标表示呢？讨论结果：①在初中，我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度．这是数轴的三要素．数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示．②在初中，我们学过平面直角坐标系，平面直角坐标系是以一点为原点O，过原点O 分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy，xOy称平面直角坐标系，平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：互相垂直；原点重合；通常取向右、向上为正方向；单位长度一般取相同的．平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示，括号里横坐标写在纵坐标的前面，它们是一对有序实数(x，y)．③在空间，我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系，即空间直角坐标系，空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来．④观察图1，OABC—D′A′B′C′是单位正方体，我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系，以O为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长度，建立三条数轴Ox，Oy，Oz称为x轴、y 轴和z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz，其中O叫坐标原点，x轴、y轴和z轴叫坐标轴．如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，我们又得到三个坐标平面xOy平面、yOz平面、zOx平面．由此我们知道，确定空间直角坐标系必须有三个要素，即原点、坐标轴方向、单位长度．图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定(如图3)．用右手握住z轴，当右手的四个手指从x轴正向以90°的角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向．我们称这种坐标系为右手直角坐标系．如无特别说明，我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系．图3注意：在平面上画空间直角坐标系O—xyz时，一般使∠xOy＝135°，∠zOy＝90°.即用斜二测画法画立体图，这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度，而在x轴上的长度取原来长度的一半．同学们往往把在x轴上的长度取原来的长度，这就不符合斜二测画法的约定，直观性较差．⑤建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M就可以用坐标来表示了．观察图2，已知M为空间一点．过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P，Q，R，这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x，y，z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x，y，z.这组数x，y，z就叫作点M的坐标，并依次称x，y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标．坐标为x，y和z的点M通常记为M(x，y，z)．反过来，一个有序数组x，y，z，我们在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y 的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P，Q与R分别作x轴，y轴和z轴的垂直平面．这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x，y，z为坐标的点．数x，y，z就叫作点M的坐标，并依次称x，y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标．(如图2所示)坐标为x，y，z的点M通常记为M(x，y，z)．我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x，y，z之间的一一对应关系．注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征．如果点M在yOz平面上，则x＝0；同样，zOx面上的点，y＝0；xOy面上的点，z＝0；如果点M在x轴上，则y＝z＝0；如果点M在y轴上，则x＝z＝0；如果点M在z轴上，则x＝y＝0；如果M是原点，则x＝y＝z＝0.空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定，因此，常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”．事实上，我们的生活空间应该是四度空间，应加上时间变量t，即(x，y，z，t)，它表示在时刻t所处的空间位置是(x，y，z)．应用示例思路1例1 如图4，点P′在x轴正半轴上，|OP′|＝2，P′P在xOz平面上，且垂直于x轴，|P′P|＝1.求点P′和P的坐标．图4解：点P′的坐标为(2,0,0)，点P的坐标为(2,0,1).变式训练已知点P′在x轴正半轴上，|OP′|＝2，PP′在xOz平面上，且垂直于x轴，|PP′|＝1，求点P′和P的坐标．解：显然，P′在x轴上，它的坐标为(2,0,0)．若点P在xOy平面上方，则点P的坐标为(2,0,1)．若点P在xOy平面下方，则点P的坐标为(2,0，－1)．点评：当没有图时，注意点P有两种可能的位置情况，不要漏解.例2 在空间直角坐标系中作出点P(3，－2,4)．活动：在空间直角坐标系中，给定点的坐标，如何确定点的位置呢？已知点P(x，y，z)，可以先确定P′(x，y,0)在xOy平面上的位置．|P′P|＝|z|，如果z ＝0，则点P即点P′；如果z＞0，则点P与z轴的正半轴在xOy平面的同侧；如果z＜0，则点P与z轴的负半轴在xOy平面的同侧．师生讨论后，即可依此方法作出P点．解：先确定P′(3，－2,0)在xOy平面上的位置．因为点P的z坐标为4，则|P′P|＝4，且点P和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就确定了点P在空间直角坐标系中的位置，如图5.图5例3在同一个空间直角坐标系中画出下列各点：A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,2,0)，D(0,2,0)，A′(0,0,1)，B′(3,0,1)，C′(3,2,1)，D′(0,2,1)．解：在空间直角坐标系中，画出以上各点，如图6，它们刚好是一个长方体的六个顶点．图6思路2例1 如图7，长方体OABC—D′A′B′C′中，|OA|＝3，|OC|＝4，|OD′|＝2.写出D′，C，A′，B′四点的坐标．图7活动：学生阅读题目，对照刚学的知识，先思考，再讨论交流，教师适时指导，要写出点的坐标，首先要确定点的位置，再根据各自坐标的含义和特点写出．D′在z轴上，因此它的横、纵坐标都为0；C在y轴上，因此它的横、竖坐标都为0；A′是zOx面上的点，y ＝0；B′不在坐标面上，三个坐标都要求．解：D′在z轴上，而|OD′|＝2，因此它的竖坐标为2，横、纵坐标都为0，因此D′的坐标是(0,0,2)．同理，C的坐标为(0,4,0)．A′是zOx平面上的点，y＝0，A′的横坐标就是|OA|＝3，A′的竖坐标就是|OD′|＝2，所以A′的坐标就是(3,0,2)．点B′在yOx平面上的射影是点B，因此它的横坐标与纵坐标与B点的横坐标与纵坐标相同，在yOx平面上B 点的横坐标为3、纵坐标为4，点B′在z轴上的射影是D′，它的竖坐标与D′的竖坐标相同，点D′的竖坐标为2，所以点B′的坐标是(3,4,2)．点评：能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础，一定掌握如下方法，过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，确定x，y和z，同时掌握一些特殊的点的坐标表示的特征.变式训练有下列叙述，其中正确叙述的个数为( )①在空间直角坐标系中，在Oy 轴上的点的坐标一定可记为(0，b,0)；②在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可记为(0，b ，c )；③在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c )；④在空间直角坐标系中，在zOx 平面上的点的坐标一定可记为(a ，b ，c )．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C例2 如图8，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1和D 1B 1的中点，棱长为1，求E ，F 点的坐标．图8解：方法一：从图中可以看出E 点在xOy 平面上的射影为B ，而B 点的坐标为(1,1,0)，E 点的竖坐标为12，所以E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12；F 点在xOy 平面上的射影为G ，而G 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0，F 点的竖坐标为1，所以F 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，1. 方法二：从图中条件可以得到B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)，B (1,1,0)．E 为BB 1的中点，F 为D 1B 1的中点，由中点坐标公式得E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫1＋12，1＋12，1＋02＝⎝⎛⎭⎫1，1，12，F 点的坐标为⎝⎛⎭⎫1＋02，1＋02，1＋12＝⎝⎛⎭⎫12，12，1. 点评：(1)平面上的中点坐标公式可以推广到空间，即设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 的中点P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22；(2)熟记坐标轴上的点的坐标和坐标平面上的点的坐标表示的特征.变式训练1．在例2中求B 1(1,1,1)点关于平面xOy 对称的点的坐标．解：设所求的点为B 0(x 0，y 0，z 0)，由于B 为B 0B 1的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝1＋x 02，1＝1＋y 02，0＝1＋z 02.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝1，z 0＝－1.所以B 0(1,1，－1)． 2．在例2中求B 1(1,1,1)点关于z 轴对称的点的坐标．解：设所求的点为P (x 0，y 0，z 0)，由于D 1为PB 1的中点，因为D 1(0,0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋x 02，0＝1＋y 02，1＝1＋z 02.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－1，z 0＝1.所以P (－1，－1,1). 3.在例2中求B 1(1,1,1)点关于原点D 对称的点的坐标． 解：设所求的点为M (x 0，y 0，z 0)，由于D 为MB 1的中点，因为D (0,0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝1＋x 02，0＝1＋y 02，0＝1＋z 02.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－1，y 0＝－1，z 0＝－1.所以M (－1，－1，－1).知能训练课本本节练习第1,2,3题．拓展提升在空间直角坐标系中的点P (x ，y ，z )关于①坐标原点；②横轴(x 轴)；③纵轴(y 轴)；④竖轴(z 轴)；⑤xOy 坐标平面；⑥yOz 坐标平面；⑦zOx 坐标平面的对称点的坐标是什么？解：根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知：点P (x ，y ，z )关于坐标原点的对称点为P 1(－x ，－y ，－z )；点P (x ，y ，z )关于横轴(x 轴)的对称点为P 2(x ，－y ，－z )；点P (x ，y ，z )关于纵轴(y 轴)的对称点为P 3(－x ，y ，－z )；点P (x ，y ，z )关于竖轴(z 轴)的对称点为P 4(－x ，－y ，z )；点P (x ，y ，z )关于xOy 坐标平面的对称点为P 5(x ，y ，－z )；点P (x ，y ，z )关于yOz 坐标平面的对称点为P 6(－x ，y ，z )；点P (x ，y ，z )关于zOx 坐标平面的对称点为P 7(x ，－y ，z )．点评：其中记忆的方法为：关于谁谁不变，其余的相反．如关于横轴(x 轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标相反.变式训练在空间直角坐标系中的点P (a ，b ，c )，有下列叙述：①点P (a ，b ，c )关于横轴(x 轴)的对称点是P 1(a ，－b ，c )；②点P (a ，b ，c )关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(a ，－b ，－c )；③点P (a ，b ，c )关于纵轴(y 轴)的对称点是P 3(a ，－b ，c )；④点P (a ，b ，c )关于坐标原点的对称点为P 4(－a ，－b ，－c )．其中正确叙述的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0分析：①②③错，④对．答案：C课堂小结1．空间直角坐标系的建立．2．空间直角坐标系中点的坐标的确定．3．空间直角坐标系中点的位置的确定．4．中点公式：P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则P 1P 2中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.5．空间直角坐标系中点的对称点的坐标． 作业习题2－3 A 组第1,2,3题．设计感想通过复习相关内容，为新课的引入和讲解做好铺垫．设置问题，创设情境，引导学生用类比的方法探索新知．由于学生的空间观念还比较薄弱，教学中宜多采用教具演示，尽量使学生能够形象直观地掌握知识内容．本课时可自制空间直角坐标系模型演示，帮助学生理解空间直角坐标系的概念．如果学生先前的学习不是主动的、不是入脑的，那么老师的血汗与成绩就不成比例，更谈不上学生的创新意识．鉴于此，在教学中积极挖掘教学资源，努力创设出一定的教学情境，设计例题思路，与高考联系，吸引学生，引起学生学习的意向，即激发学生的学习动机，达到学生“想学”的目的．为能增强学生学习的目的性，在教学中指明学生所要达到的目标和所学的内容，即让学生知道学到什么程度以及学什么．同时调整教学语言，使之简明、清楚、易听明白，注重一些技巧，如重复、深入浅出、抑扬顿挫等．备课资料备用习题1．在空间过点M (1,2，－3)作z 轴的垂线，交z 轴于点N ，则垂足N 的坐标为…( )A ．(1,0,0)B ．(0,2,0)C ．(0,0,3)D ．(0,0，－3)分析：由于z 轴上的点横坐标、纵坐标都为0，且竖坐标不变仍为－3，所以垂足N 的坐标为(0,0，－3)．答案：D2．点P(a，b，c)到坐标平面zOx的距离为()A.a2＋c2B．|a| C．|b| D．|c|分析：由空间点的坐标的意义我们就可以知道，|b|就是点P(a，b，c)到坐标平面zOx 的距离，故正确答案为C.答案：C点评：这里要注意，求P(a，b，c)到zOx坐标平面的距离，所得结果应该是一正值，这里不能将答案误认为是b，而应是|b|.(设计者：高建勇)。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．下列说法：①在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定可记为(，，)；②在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标一定可记为(，，)；③在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标一定可记为(，)；④在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标一定可记为(，)．其中，正确的个数是( )．．．．解析：由定义可知，在轴上的点(，，)，有＝＝，所以点的坐标可记为()，故①错，②③④正确，故选.答案：.如图，在空间直角坐标系中，点(，，)，过点作平面的垂线，则垂足的坐标为( )．(，，)．(，，)．(，，)．(，)解析：点在平面上，＝，其余不变，∴(，，)．答案：．在空间直角坐标系中()，(－)两点的位置关系是( )．关于平面对称．关于轴对称．以上都不对．关于坐标原点对称解析：∵、两点对应的横坐标互为相反数，∴、关于平面对称．答案：．如图，在正方体－中，棱长为，是上的点，且＝，则点的坐标为( )．．()．解析：∵＝，∴＝＝.又在上，∴的坐标为.答案：二、填空题(每小题分，共分)．在空间直角坐标系中，点的坐标是()，则点关于轴对称的点在坐标平面上的射影的坐标为．解析：点关于轴对称点为(－，－)，在上的射影的坐标为，即(－，－)．答案：(－，－)．以正方体－的棱、、所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱中点坐标为．答案：三、解答题(每小题分，共分)．已知－为正四棱锥，为底面中心，＝，＝，试建立空间直角坐标系，并求出各顶点的坐标．解析：因为所给几何体为正四棱锥，其底面为正方形，对角线相互垂直，故以为原点，互相垂直的对角线、所在直线为轴、轴，为轴建立如图所示坐标系．∵正方形边长＝，∴＝＝＝＝，又∵＝.∴(，－，)，(，)，(，，)，(－，)，()．．已知为平行四边形，且()，(，－)，(，－)，求点的坐标．解析：∵为平行四边形，且()，(，－)，∴线段的中点坐标为.设点的坐标为(，，)，则对角线的中点坐标也为.∴(\\((＋)＝(),(－)＝,(＋)＝－))，解得(\\(＝＝＝－)).。

§3空间直角坐标系3．1空间直角坐标系的建立3．2空间直角坐标系中点的坐标学习目标核心素养1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念.2.会在空间直角坐标系中用三元有序数组刻画点的位置．(重点、难点)1.通过空间直角坐标系的建立方法及有关概念培养数学抽象素养.2.通过在空间直角坐标系中用三元有序数组，刻画点的位置提升直观想象素养.1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系建立的流程图：平面直角坐标系↓通过原点O，再增加一条与xOy平面垂直的z轴↓空间直角坐标系(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：①伸出右手，让四指与大拇指垂直；②四指先指向x轴正方向；③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向；④大拇指的指向即为z轴正方向．(3)有关名称：如图所示，①O叫作原点；②x，y，z轴统称为坐标轴；③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，由x，y轴确定的平面记作xOy平面，由y，z轴确定的平面记作yOz平面，由x，z轴确定的平面记作xOz平面．2．空间直角坐标系中点的坐标(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画．(2)空间任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x轴坐标，第二个是y轴坐标，第三个是z轴坐标．(3)空间直角坐标系中，点一一对应三元有序数组．(4)对于空间中点P坐标的确定方法是：过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O，P为顶点的长方体，如果长方体在三条坐标轴上的顶点P1，P2，P3的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．思考：画空间直角坐标系时，任意两坐标轴的夹角是否都画成90°呢？提示：不是，空间直角坐标系中，任意两坐标轴的夹角都是90°，但在画直观图时通常画为∠xOy＝135°，∠xOz＝135°.1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一象限内C[点(2,0,3)的y轴坐标为0，所以该点在xOz平面上．]2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是()A.a2＋b2B．|a|C．|b| D．|c|D[点P(a，b，c)到坐标平面的距离应为|c|.]3．在空间直角坐标系中，自点P(－4，－2,3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为________．(－4,0,0)[∵点P(－4，－2,3)，∴自点P引x轴的垂线，垂足坐标为(－4,0,0)．]求空间点的坐标【例1】 如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 是BB 1的中点，G 是AB 1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E ，F ，G 三点的坐标．[思路探究] 取D 为空间坐标系的原点，过D 点的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，按定义确定E ，F ，G 坐标．[解] 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，E 点在平面xDy 中，且|EA |＝12.∴E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0. ∵B 点和B 1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12. 同理可得G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，12.1．空间中点的位置和点的坐标是相对的，建立空间直角坐标系，要力争尽可能简捷地将点的坐标表示出来．因此，要确定各点到xDy 面、yDz 面、xDz 面的距离，同时中点坐标公式在空间直角坐标系中仍然适用．2．设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则P 1P 2中点P (x ，y ，z )坐标满足x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，z ＝z 1＋z 22.[跟进训练]1．(1)点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，26，－13所在的位置是( ) A ．x 轴上B ．xOz 平面上C ．xOy 平面内D ．yOz 平面内(2)正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，且|BP |＝13|BD ′|，建立如图所示的空间直角坐标系，则P 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13 (1)D (2)D [(1)∵M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，26，－13，x ＝0， ∴点M 在平面yOz 内．(2)如图所示，过P 分别作平面xOy 和z 轴的垂线，垂足分别为E ，H ，过E 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，由于|BP |＝13|BD ′|，所以|DH |＝13|DD ′|＝13，|DF |＝23|DA |＝23，|DG |＝23|DG |＝23，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13，故选D.] 已知点的坐标确定点的位置[解] 法一：先确定点M ′(2，－6,0)在xOy 平面上的位置，因为点M 的竖坐标为4，则|MM ′|＝4，且点M 和z 轴的正半轴在xOy 平面的同侧，这样就可确定点M 的位置了(如图所示)．法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为2,6,4的长方体，使此长方体在点O 处的三条棱分别在x 轴正半轴、y 轴负半轴、z 轴正半轴上，则长方体中与顶点O 相对的顶点即为所求的点(图略)．由点的坐标确定点位置的方法(1)先确定点(x 0，y 0,0)在xOy 平面上的位置，再由竖坐标确定点(x 0，y 0，z 0)在空间直角坐标系中的位置；(2)以原点O 为一个顶点，构造棱长分别为|x 0|，|y 0|，|z 0|的长方体(三条棱的位置要与x 0，y 0，z 0的符号一致)，则长方体中与O 相对的顶点即为所求的点．[跟进训练]2．在空间直角坐标系中，作出点P (5,4,6)．[解] 第一步从原点出发沿x 轴正方向移动5个单位，第二步沿与y 轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z 轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P .求空间某对称点的坐标1．平面中，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的中点坐标是什么？类比平面中两点的中点坐标，空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)的中点坐标是什么？提示：平面上两点P 1，P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；空间中两点P 1，P 2中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22. 2．在空间直角坐标系中，关于一个平面对称的点有什么特点？关于一条坐标轴对称的点有什么特点？提示：关于哪个平面的对称点在这个平面上的坐标不变，另外的坐标变成原来的相反数．关于一条坐标轴的对称点这个坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数．3．在空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标有什么特点？提示：三个坐标分别互为相反数．【例3】求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．[思路探究]解答本题可先作出点A的坐标，然后借助于图形，分析其对称点的情况．[解]如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使|AM|＝|CM|，则A与C关于坐标平面xOy对称点C(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N，并延长到点B，使|AN|＝|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)，∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴对称的点的坐标为(1，－2,1).[跟进训练]3．写出点P(－2,1,4)关于y轴，z轴，yOz面，xOz面的对称点的坐标．[解](1)点P关于y轴的对称点坐标为P1(2,1，－4)，(2)点P关于z轴的对称点坐标为P2(2，－1,4)，(3)点P关于面yOz的对称点为P3(2,1,4)，(4)点P关于面xOz对称的点为P4(－2，－1,4)．1．空间直角坐标系的作图要求(1)将空间直角坐标系Oxyz画在纸上时，x轴与y轴，x轴与z轴均画成135°，而z轴垂直于y轴．(2)y轴和z轴的单位长度相同，x轴的单位长度为y轴(或z轴)单位长度的一半．(3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直．2．空间直角坐标系中点与有序实数组(x，y，z)的关系在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序实数组(x，y，z)之间是一种一一对应关系．(1)过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴，y轴，z轴分别交于P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次是x，y，z，这样对于空间任意一点A，就定义了一个有序数组(x，y，z)．(2)反之，对任意一个有序数组(x，y，z)，按照上述作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴，y轴，z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点即为所求的点A.1．思考辨析(1)给定空间直角坐标系，空间任意一点与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系．()(2)点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的xOy坐标平面上．()(3)空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标为(0，y,0)．()(4)在不同的空间直角坐标系中，同一点的坐标可能不同．()[解析](2)×，∵点P(1,0,2)的纵坐标为0，∴点P(1,0,2)应在坐标平面xOz上．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．在空间直角坐标系中，点M(－2,1,0)关于原点的对称点M′的坐标是() A．(2，－1,0)B．(－2，－1,0)C．(2,1,0) D．(0，－2,1)A[很明显点M和M′的中点是原点，所以点M′的坐标是(2，－1,0)．] 3．在空间直角坐标系中，已知点A(－1,2，－3)，则点A在yOz平面内射影的点的坐标是________．(0,2，－3)[由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知，点A在yOz平面内的射影的点的坐标是(0,2，－3)．]4．如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC.试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标．[解]以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．依题意知，B(2，2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．。

课时跟踪检测（二十五）空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标层级一学业水平达标1．已知A(－1,2,7)，B(－3，－10，－9)，则线段AB的中点关于原点对称的点的坐标是( )A．(4,8,2) B．(4,2,8)C．(4,2,1) D．(2,4,1)解析：选D由题意，得AB中点坐标为(－2，－4，－1)，∴关于原点对称的点的坐标为(2,4,1)．2．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．其中正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C②③④正确．3．已知P(1,3，－1)关于xOz面对称点为P′，P′关于y轴对称的点为P″，则P″的坐标为( )A．(1，－3，－1) B．(－1，－3,1)C．(1，－3,1) D．(－1,3,1)解析：选B由题意，得P′(1，－3，－1)，P″(－1，－3,1)．4．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于xOy平面的对称点的坐标是( )A．(－2,1，－4) B．(－2，－1，－4)C．(2，－1,4) D．(2,1，－4)解析：选A过点P向xOy平面作垂线，垂足为N，则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点，又N(－2,1,0)，所以对称点为P′(－2,1，－4)，故选A.5．已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为( )A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5 B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5C．λ＝2，μ＝10，v＝8 D．λ＝2，μ＝10，v＝7解析：选D两个点关于x轴对称，那么这两个点的x坐标不变，y坐标与z坐标均互为相反数，故有λ＝2,7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，∴λ＝2，μ＝10，v＝7.6．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则CC1中点N的坐标为________．解析：由题意C(0,2,0)，C1(0,2,2)，∴N(0,2,1)．答案：(0,2,1)7．点P(2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是________，________，________.解析：P (2,3,4)在x 轴上的射影为(2,0,0)，在y 轴上的射影为(0,3,0)，在z 轴上的射影为(0,0,4)． 答案：(2,0,0) (0,3,0) (0,0,4)8．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′关于原点对称的点的坐标是________．解析：点M 在xOz 上的射影为(－2,0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2,0,3)．答案：(2,0,3)9．如图，棱长为a 的正方体OABC -D ′A ′B ′C ′中，对角线OB ′与BD ′相交于点Q ，顶点O 为坐标原点，OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，试写出点Q 的坐标．解：因为OB ′与BD ′相交于点Q ，所以Q 点在xOy 平面内的投影应为OB 与AC 的交点，所以Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，z .同理可知Q 点在xOz 平面内的投影也应为AD ′与OA ′的交点，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，12a .10．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．解：以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设|AB |＝1，则|AD |＝2，|AA 1|＝4，所以|CF |＝|AB |＝1，|CE |＝12|AB |＝12， 所以|BE |＝|BC |－|CE |＝2－12＝32. 所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0，点F 的坐标为(1,2,1)． 层级二 应试能力达标1．已知点A (x,5,6)关于原点的对称点为(－2，y ，z )，则P (x ，y )在平面直角坐标系的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 由题可知，x ＝2，y ＝－5，z ＝－6，故(x ，y )＝(2，－5)，在第四象限．2．设z 为任一实数，则点(2,2，z )表示的图形是( )A ．z 轴B ．与平面xOy 平行的一直线C ．平面xOyD ．与平面xOy 垂直的一直线解析：选D (2,2，z )表示过点(2,2,0)且与z 轴平行的直线，即与平面xOy 垂直的直线．3．正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，且|BP |＝13|BD ′|，建立如图所示的空间直角坐标系，则P 点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13 解析：选D 如图所示，过P 分别作平面xOy 和z 轴的垂线，垂足分别为E ，H ，过E 分别作x 轴和y轴的垂线，垂足分别为F ，G ， 由于|BP |＝13|BD ′|，所以|DH |＝13|DD ′|＝13，|DF |＝23|DA |＝23，|DG |＝23|DC |＝23，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13，故选D.4．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1在空间直角坐标系中的位置如图所示，且AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1，则DD 1C 1C 所在平面上点的坐标形式是( )A ．(0，－2，－1)B ．(x ，－2，z )C ．(－3，－2，－1)D ．(－3，y ，z )解析：选B DD 1C 1C 所在的平面平行于xOz 面，且与xOz 面的距离为2，上面任意一点的y 坐标都是－2，而x ，z 坐标可取任意实数．5．以棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B 1B 对角线交点的坐标为________．解析：如图所示，A (0,0,0)，B 1(1,0,1)．平面AA 1B 1B 对角线交点是线段AB 1的中点，所以由中点坐标公式得所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12 6．如图所示，在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，点P 在BD ′上，BP ＝13BD ′，则P 点坐标为________．上，∵BP ＝13BD ′，所以P x ＝P y ＝解析：点P 在坐标平面xOy 上的射影在BD23，P z ＝13∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13 7．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E ，F ，G ，H 的坐标． 解：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．∵点E 在z 轴上，且为D 1D 的中点，故点E 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12.过F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，则|FM |＝|FN |＝12， 故点F 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0. 因为点G 在y 轴上，又|GD |＝34，故点G 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. 过H 作HK ⊥CG 于点K ，由于H 为C 1G 的中点，故|HK |＝12，|CK |＝18. ∴|DK |＝78.故点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.8．依次连接四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD ，且已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，求顶点D 的坐标．解：设线段AC 与BD 的交点为M ，设点M 的坐标为M (x 1，y 1，z 1)，点D 的坐标为D (x 2，y 2，z 2)，由M 既是线段AC 的中点，也是线段BD 的中点，得x 1＝72，y 1＝4，z 1＝－1， 又2＋x22＝72，－5＋y22＝4，1＋z22＝－1， ∴x 2＝5，y 2＝13，z 2＝－3.∴顶点D 的坐标为(5,13，－3)．。