苏州振华中学必修第二册第二单元《复数》测试卷(有答案解析)

一、选择题 1．12i12i+=- A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A ．2B 1C 1D ．33．已知复数z 满足()20161i z i -=（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -4．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．325．若复数(1a iz i i+=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．26．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知集合，()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，则实数m 的值为 （ ） A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或68．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -9．已知(,)a bi a b R +∈是11ii+-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．110．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．在复平面内，复数201812z i i=++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ）A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i二、填空题13．已知复数z 满足1z =，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________.14．已知i 为虚数单位，计算：132cos sin 233i i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+÷-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭_________. 15．设复数z ，满足11z =，22z =，123z z i +=-，则12z z -=____________． 16．已知11z i --=，则z i +的取值范围是_____________；17．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________. 18．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________. 19．已知，则 =____．20．已知|z|=3,且z+3i 是纯虚数,则z=________.三、解答题21．复数2(1)32z i a i =--++（α∈R ）.（1）若z 为纯虚数求实数a 的值，及z 在复平面内对应的点的坐标； （2）若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a 的取值范围.22．（1）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，m 、n ∈R ，求m n +的值；（2）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，m 、n ∈R ，求m n +的值.23．设复数z 1=1-ai （a ∈R ），复数z 2=3+4i ． （1）若12z z R +∈，求实数a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求|z 1|．24．设复数12i z a =+（其中a R ∈），234z i =-． （Ⅰ）若12z z +是实数，求12z z ⋅的值；（Ⅱ）若12z z 是纯虚数，求1z ．25．（1）已知()232z z z i i ++=-，求复数z ；（2）已知复数z 满足2z z-为纯虚数，且1z i -=，求复数z ． 26．复数z 满足||1z =，且2120z z z++<．求z ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2．B解析：B 【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得x ma |1|11z i -+==，故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题．3．B解析：B 【分析】 根据题意求出1122z i =+，即可得到z ，得出虚部. 【详解】20164504=⨯，201641i i ∴==.111122z i i ∴==+-，1122z i ∴=-，z ∴的虚部为12-.故选:B. 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，易错点在于没能弄清虚部的概念导致选错.4．B解析：B 【分析】先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=. 故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的除法运算化简复数1a iz i+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22a a a a z +++-+===+-+-为纯虚数，1010a a +≠⎧∴⎨-=⎩，即1a =，故选C. 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.6．B解析：B【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.7．B解析：B 【分析】根据交集的定义可得()()2231563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可. 【详解】因为()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，所以()()2231563m m m m i --+--=，可得223131560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.8．A解析：A 【分析】根据欧拉公式求出2cos sin22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cossin22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A. 【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .9．A解析：A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．10．C解析：C 【解析】 【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】因为201812z i i =++()()22231122555i i i i i i --=+=-=--+- ，复数201812z i i =++对应的点的坐标为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故复数201812z i i =++对应的点位于第三象限,故选C. 12．B解析：B 【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+， 又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3. 故选：B.二、填空题13．1【分析】复数满足为虚数单位）设利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出【详解】解：复数满足为虚数单位）设则当且仅当时取等号故答案为：1【点睛】本题考查了复数的运算法则模的计算公式及其三角函数求值解析：1 【分析】复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出． 【详解】 解：复数z 满足||1(z i =为虚数单位）， 设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．则|2||cos (sin 2)|1z i i θθ-=+-，当且仅当sin 1θ=时取等号． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．【分析】先把转化为再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案【详解】解：原式故答案为：【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则属于基础题解析：144-+【分析】先把12+转化为cos sin 33i ππ+，再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案.【详解】 解：原式cossin2cos sin 3333i i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+÷⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos sin 2cos 3333i isin ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1cos sin 23333i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1344i =-+.故答案为：134i -+. 【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则，属于基础题.15．【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值【详解】设在复平面中对应的向量为对应的向量为如下图所示：因为所以所以又因为所以所以所以又故答案为：【点睛】 解析：6【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值. 【详解】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯，又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=，所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==， 6. 【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈； （2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .16．【分析】利用复数的几何意义求解表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点表示复平面内到点的距离结合两点间距离公式可求范围【详解】因为在复平面内表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点即复数对应的点解析：1]【分析】利用复数的几何意义求解，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，z i +表示复平面内到点(0,1)-的距离，结合两点间距离公式可求范围. 【详解】因为在复平面内，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；z i +表示复平面内的点到点(0,1)-11=，11=，所以z i +的取值范围是1].故答案为：1]-. 【点睛】结论点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z x yi =+，则z a bi --表示复平面内点(,)x y 与点(,)a b 之间的距离，z a bi r --=表示以(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆上的点.17．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：－1 【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出． 【详解】()()212122i i i z i i i+-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．【分析】先写出的三角形式再进行化简整理即可【详解】设则∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查复数三角形式的定义属基础题解析：313i +【分析】先写出1z z-的三角形式，再进行化简整理即可. 【详解】设01z z z -=，则001,arg 23z z π==， ∴0113cos sin 23344z i ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=， ∴1134z i z -=+，解得31z i =+. 故答案为：31i +. 【点睛】本题考查复数三角形式的定义，属基础题.19．-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式即得a 的值详解：由题得(1-i)31+i-3i=a ∴a=(1-i)4(1+i)(1-i)-3i=-2i·-2i2-3i=-2-3i 故答案为-2-3i 点睛：（1）解析：-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式，即得 a 的值. 详解：由题得，故答案为-2-3i点睛：（1）本题主要考查复数的综合运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)本题是一个易错题，已知没有说“a”是一个实数，所以它是一个复数，如果看成一个实数，解答就错了.20．3i 【解析】设z=a+bi(ab ∈R)因为|z|=3所以a2+b2=9又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数所以即又a2+b2=9所以a=0b=3所以z=3i解析：3i 【解析】 设z=a+bi(a,b ∈R), 因为|z|=3,所以a 2+b 2=9. 又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数,所以a 0,b 30,=⎧⎨+≠⎩即a 0,b 3.=⎧⎨≠-⎩又a 2+b 2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.三、解答题21．（1）23a =，(0,1)-；（2）2(,)3+∞. 【分析】（1）先化简出z 的代数形式，再根据题意求实数a 的值和z 在复平面内对应的点的坐标； （2）先化简出z 的代数形式，再根据题意建立不等式求实数a 的取值范围即可.【详解】解：因为2(1)32z i a i =--++，所以2(1)32(23)z i a i a i =--++=-- （1）若z 为纯虚数，则230a -=，解得：23a =， 此时z i =-，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)-， 所以z 为纯虚数时实数23a =，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)- （2）若z 在复平面内对应的点位于三象限， 则23010a -<⎧⎨-<⎩，解得23a > 所以z 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围：2(,)3+∞.【点睛】本题考查复数的代数形式、利用复数的几何意义求对应的点的坐标与求参数、利用复数的分类求参数的范围，是基础题.22．（1）1；（2）8.【分析】（1）将21x i =-代入方程10mx n +-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值； （2）解法一：将21x i =-代入方程210x mx n ++-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值；解法二：由题意可知，关于x 的二次方程210x mx n ++-=的两根分别为21i -和21i --，利用韦达定理可求出m 、n 的值，由此可计算出m n +的值.【详解】（1）由已知得()2110m i n -+-=，()120n m mi ∴--+=，1020n m m --=⎧∴⎨=⎩，解得10n m =⎧⎨=⎩，1m n ∴+=； （2）解法一：由已知得()()2212110i m i n -+-+-=，()()4240n m m i ∴--+-=， 40240n m m --=⎧∴⎨-=⎩，62n m =⎧∴⎨=⎩，8m n ∴+=；解法二：21i -是实系数方程21=0x mx n ++-的根，–12i ∴-也是此方程的根，因此()()()()121212121i i m i i n ⎧-++--=-⎪⎨-+--=-⎪⎩，解得26m n =⎧⎨=⎩，8m n ∴+=. 【点睛】本题考查虚根与方程之间的关系求参数，一般将虚根代入方程，利用虚数相等列方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.23．（1）a =4（2）54 【分析】（1）由已知利用复数代数形式的加减化简，再由虚部为0求得a 值；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简12z z ,由实部为0且虚部不为0求得a 值，再由复数模的计算公式求|z 1|.【详解】解：（1）∵z 1=1-ai （a ∈R ），z 2=3+4i ，∴z 1+z 2=4+（4-a ）i ，由12z z R +∈，得4-a =0，即a =4；（2）由12z z =()()()()134134343434342525ai i ai a a i i i i ----+==-++-是纯虚数， 得{340340a a -=+≠，即34a =， ∴|z 1|=|314i -54=． 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是中档题．24．（Ⅰ）22＋4i （Ⅱ）152z =【分析】（Ⅰ）利用复数z 1＋z 2是实数，求得a ＝4，之后应用复数乘法运算法则即可得出结果； （Ⅱ）利用复数的除法运算法则，求得12z z ，利用复数是纯虚数的条件求得a 的值，之后应用复数模的公式求得结果【详解】（Ⅰ）∵z 1＋z 2＝5＋（a －4）i 是实数，∴a ＝4，z 1＝2＋4i ，∴z 1z 2＝（2＋4i ）（3－4i ）＝22＋4i ；（Ⅱ）∵()()12643823425a a i z ai z i -+++==-是纯虚数， ∴133,222a z i ==+，故152z ==． 【点睛】 该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数是实数的条件，复数的乘法运算法则，复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.25．（1）1-±；（2）2z i =或1z i =-+或1z i =+.【分析】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据复数的运算法则和复数相等得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z ；（2）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据2z z-为纯虚数和1z i -=列出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，可得出复数z .【详解】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，由()232z z z i i ++=-，得()22232a b ai i ++=-，根据复数相等得22322a b a ⎧+=⎨=-⎩，解得1a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩1z =-； （2）设复数(),z a bi a b R =+∈， 则()()()222222222a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a bi a bi a b a b -⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=-++ ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭， 由题意可得2220a a a b -=+，2220b b a b +≠+. ()11z i a b i -=+-=1=，所以有()()()2222222222202011a a b a b b a b a b a b ⎧+-⎪=+⎪⎪++⎪≠⎨+⎪⎪+-=⎪⎪⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩或11a b =±⎧⎨=⎩. 因此，2z i =或1z i =-+或1z i =+.【点睛】本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.26．1z =-或12z =-± 【分析】由题意可知设复数cos sin z i αα=+,计算出2z ,2z ,1z ,代入2120z z z++<中可得cos 23cos 02sin cos sin 0ααααα+<⎧⎨+=⎩可求得复数z . 【详解】由题意可知：cos sin z i αα=+,则222cos sin 2sin cos z i αααα=-+,22cos 2sin z i αα=+,1cos sin i zαα=-, ∴212(cos23cos )(2sin cos sin )0z z i zααααα++=+++<, ∴cos 23cos 02sin cos sin 0ααααα+<⎧⎨+=⎩,即()cos 23cos 0sin 2cos 10αααα+<⎧⎨+=⎩， 若sin 0α=，则cos21α=，由cos23cos 0αα+<得cos 1α=-，所以1z =-，若1cos 2α=-，则1cos 2cos 23cos 02ααα=-+<，，得122z =-±，∴1z =-或122z =-±. 【点睛】本题考查复数的计算，关键在于设出复数z 的三角形式进行运算，理解复数小于零的含义，属于中档题.。

一、选择题1．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i --B ．1i -C ．1i +D ．1i -+2．设a R ∈，则复数22121a aiz a-+=+所对应点组成的图形为（ ） A ．单位圆B ．单位圆除去点()1,0±C ．单位圆除去点()1,0D ．单位圆除去点()1,0-3．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）. ①两个复数不能比较大小；②复数i 1z =-对应的点在第四象限；③若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =； ④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0B ．1C ．2D ．34．能使得复数()32z a ai a R =-+∈位于第三象限的是（ ）A ．212a i -+为纯虚数B ．12ai +模长为3C ．3ai +与32i +互为共轭复数D ．0a >5．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．326．如果复数z 满足|||i 2|i z z ++-=，那么|1|z i ++的最小值是( ) A ．1 B 2C ．2D7．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知复数12z =-，则z z +=（ ）A ．122i -- B ．122-+ C ．122i + D ．122-9．已知i 为虚数单位，复数32i2iz +=-，则以下命题为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75-C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限10．设313iz i+=-，则232020z z z z ++++=（ ）A ．1B ．0C ．1i --D ．1i +11．已知复数z 满足()211i i z+=-(i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --12．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A．z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限二、填空题13．已知复数1510z i =+ ，234z i =-，复数z 满足12111z z z =+，则z =_____________．14．设z 为复数，且1z =，当23413z z z z ++++取得最小值时，则此时复数z =______.15．已知1i z z -=-+，则复数z =______. 16．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.17．若23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则p q +=______.18．已知复数()22356()=-+-+∈z k k k k i k R ，且0z <，则k =________. 19．若复数(3)(12)z i i =--，则z 的共轭复数z 的虚部为_____ 20．若复数z 满足2z i z i -++=，则1z i --的取值范围是________三、解答题21．复数1z 、2z 满足120z z ⋅≠，1212||||z z z z +=-，证明：21220z z <.22．已知复数()212(24)z a a i =--+，()221z a a i =-+，12z z z =-（i 为虚数单位，a R ∈）.（1）若复数12z z z =-为纯虚数，求12z z ⋅的值； （2）若1z z i +=-，求z i +的值.23．（1）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，m 、n ∈R ，求m n +的值；（2）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，m 、n ∈R ，求m n +的值.24．（1）已知1-（其中i 为虚数单位）是关于x 的方程1x ba x+=的一个根，求实数a ，b 的值；（2）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5，7中任取1个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 25．已知复数z 使得2z i R +∈，2zR i∈-，其中i 是虚数单位. （1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围. 26．设复数12,z z 满足12122210z z iz iz +-+=. （1）若12,z z 满足212z z i -=，求12,z z .（2）若1z =k ，使得等式24z i k -=恒成立？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数. 【详解】 由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+. 故选：D 【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的2．D解析：D 【分析】根据复数222221212111a ai a az i a a a -+-==++++，得到复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，然后由22212,11a ax y a a -==++，利用复数的模求解. 【详解】因为复数222221212111a ai a az i a a a-+-==++++， 所以复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 即22212,11a ax y a a-==++， 所以222222212111a a x y a a ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 因为22212111a x a a-==-+++， 又因为a R ∈， 所以211a +≥， 所以22021a <≤+， 所以221111a -<-+≤+， 即11x -<≤，所以复数z 对应点组成的图形为单位圆除去点()1,0-. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及复数模的轨迹问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．B解析：B 【分析】根据复数121,2z z ==，可得①是错误的；根据复数的表示，可得②是错误的；根据复数的分类，列出方程组，可得③是正确的；根据1231,,1z z i z ===-，可得④错误的.对于①中，例如复数121,2z z ==，此时12z z <，所以①是错误的；对于②中，复数i 1z =-对应的点坐标为(1,1)-位于第二象限，所以②是错误的；对于③中，若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则满足2210320x x x ⎧-=⎨++≠⎩，解得1x =，所以③是正确的；对于④中，例如1231,,1z z i z ===-，则()()22110i i -++=，所以④错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的表示与复数的运算的综合应用，其中解答中熟记复数的概念与运算，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．A解析：A 【分析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a ai a R =-+∈是第三象限的点.【详解】322z a ai a ai =-+=--由题意可知，若复数在第三象限，需满足200a a -<⎧⎨-<⎩，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.123z ai =+==，解得：a =a =C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件. 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.5．B解析：B 【分析】先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=. 故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．A解析：A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z 的轨迹．然后利用点到直线的距离公式求解即可． 【详解】：∵|z ＋i|＋|z －i|＝2∴点Z 到点A （0，-1）与到点B （0，1）的距离之和为2． ∴点Z 的轨迹为线段AB ．而|z ＋1＋i|表示为点Z 到点（-1，-1）的距离． 数形结合，得最小距离为1 故选A ． 【点睛】本题只要弄清楚复数模的几何意义，就能够得到解答．7．B解析：B 【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.8．C解析：C 【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得12z z +=+，从而求得结果.详解：根据122z =--，可得12z =-+，且1z ==，所以有1112222z z +=-++=+，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.9．D解析：D 【分析】利用复数的除法运算，化简32i2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可. 【详解】()()()()32i 2i 32i 47i2i 2i 2i 55z +++===+--+， z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，5z ==，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.10．B解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由等比数列的前n 项和公式及虚数单位i 的运算性质求解． 【详解】 3(3)(13)1013(13)(13)10i i i iz i i i i +++====--+， 20202020232020(1)(1)(11)0111z z i i i z z z zz i i---∴+++⋯+====---．故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，训练了等比数列前n 项和的求法，是基础题．11．B解析：B 【解析】因为()211i i z+=-，所以22(1)112i iz i i i ==+=-- ，选B. 12．D解析：D 【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论． 【详解】由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则22z ==，z的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ． 【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -． 二、填空题13．【分析】根据复数的四则运算公式求得再结合复数的模的计算公式即可求解【详解】由题意复数则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的四则运算公式以及复数模【分析】根据复数的四则运算公式，求得552z i =-，再结合复数的模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数1510z i =+ ，234z i =-，则()()()()1211111510344251034510510343425i i i z z z i i i i i i -++=+=+=+=+-+--+， 所以()()()254225554242422i z i i i i ⨯-===-++-，所以2z ==.. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的四则运算公式，以及复数模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【分析】设复数的辐角为将用表示出来再利用二倍角公式二次函数性质求最小值可得与的值即可得复数【详解】设复数的辐角为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式涉及三角恒等变换及二次函数性质解析：144-±【分析】设复数z 的辐角为θ，将23413z z z z ++++用θ表示出来，再利用二倍角公式，二次函数性质求最小值，可得cos θ与sin θ的值，即可得复数z . 【详解】设复数z 的辐角为θ，23413z z z z ++++==2cos22cos 3θθ=++ 24cos 2cos 1θθ=++ 21334cos 444θ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭所以1cos 4θ=-，sin4θ=± 所以14z=-±， 故答案为：14- 【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式，涉及三角恒等变换及二次函数性质，属于中档题.15．【分析】设根据得到再利用复数相等的条件列出方程组求得的值即可求解【详解】设则因为所以即根据复数相等的条件得解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的模的计算公式的应用其中解解析：i -【分析】设()i ,z x y x y =+∈R ，根据1i z z -=-+，得到(i 1i x y +=-+，再利用复数相等的条件列出方程组，求得,x y 的值，即可求解. 【详解】设()i ,z x y x y =+∈R，则z =因为1i z z -=-+，所以i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+，根据复数相等的条件得11x y ⎧⎪-=-⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以i z =，所以i z =-.故答案为：i - 【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的模的计算公式的应用，其中解答中熟记复数模的计算公式和复数相等的条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16．【分析】写出P 点对应的复数为根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数【详解】解：由题意得P 点对应的复数为由复数乘法的几何意义得：故填故答案为：【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义属于基础题【分析】写出P 点对应的复数为1i +，根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数. 【详解】解：由题意得，P 点对应的复数为1i +， 由复数乘法的几何意义得：(1)cos sin 33z i i ππ⎛⎫=+⋅+= ⎪⎝⎭，故填1122++.. 【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.17．38；【分析】假设另外一个根为根据是实数结合韦达定理可得结果【详解】假设另外一个根为是方程的一个根则①由可知是的共轭复数所以②把②代入①可知所以故答案为：38【点睛】本题重在考查是实数掌握复数共轭复【分析】假设另外一个根为z ，根据z z 是实数，结合韦达定理，可得结果.【详解】假设另外一个根为z ，23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根， 则 ()232232p i z q i z ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩① 由,p q R ∈，可知z 是23i -的共轭复数，所以32z i =-- ②把②代入①可知1226p q =⎧⎨=⎩所以38p q +=故答案为：38【点睛】本题重在考查z z 是实数，掌握复数共轭复数的形式，属基础题18．2【分析】由知为实数且的实部小于零由此可构造方程求得结果【详解】解得：故答案为：【点睛】本题考查根据复数为实数求解参数值的问题关键是能够明确复数只有在虚部为零即为实数时才可以比较大小解析：2.【分析】由0z <知z 为实数且z 的实部小于零，由此可构造方程求得结果.【详解】0z < z R ∴∈ 2256030k k k k ⎧-+=∴⎨-<⎩，解得：2k = 故答案为：2【点睛】本题考查根据复数为实数求解参数值的问题，关键是能够明确复数只有在虚部为零，即为实数时才可以比较大小.19．7【分析】利用复数乘法运算化简为的形式由此求得共轭复数进而求得共轭复数的虚部【详解】故虚部为【点睛】本小题主要考查复数乘法运算考查共轭复数的概念考查复数虚部的知识解析：7利用复数乘法运算化简z 为a bi +的形式，由此求得共轭复数，进而求得共轭复数的虚部.【详解】()()31217z i i i =--=-，17z i =+，故虚部为7.【点睛】本小题主要考查复数乘法运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部的知识.20．【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段表示线段上的点到的距离根据数形结合思想结合点到直线距离公式可得结果详解：因为复数满足在复平面内设复数对应的点为则到的距离之和为所以点的轨迹为解析：【解析】分析：由复数的几何意义解得点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果. 详解：因为复数z 满足2z i z i -++=，在复平面内设复数z 对应的点为(),z x y ，则(),z x y 到()()0,1,0,1-的距离之和为2，所以点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，可得最小距离是()0,1与()1,1的距离，等于1；最大距离是()0,1-与()1,1即1z i --的取值范围是⎡⎣，故答案为⎡⎣.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.三、解答题21．见解析．【分析】通过复数的模相等，判断两个复数对应的向量垂直，然后设出复数比证明即可．【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由1212||||z z z z +=-知，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，∴12OZ OZ ⊥，故可设12z ki z =(k ∈R 且0k ≠)，∴22221220z k i k z ==-<. 【点睛】本题关键之处在于模长相等的处理，可以得到1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形． 22．（1）123626z z i ⋅=--；（2）1或4. 【分析】 （1）由复数12z z z =-为纯虚数，可得2220230a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，从而可求出a 的值，进而可求出12z z ⋅的值；（2）由1z z i +=-，可得复数z 在直线y x =-上，所以22232a a a a --=-++，从而可求出a 的值，进而可得z i +的值【详解】解：（1）()()22122241()z z a a a a i a R -=--+--++∈为纯虚数， ∴2220230a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，解得2a =， ∴128z i =-，225z i =-，∴12(28)(25)3626z z i i i ⋅=-⋅-=--.（2）()()2212223z z z a a a a i =-=--+--， ∵1z z i +=-，∴复数z 对应的点22(2,23)a a a a ----在直线y x =-上，即22232a a a a --=-++，解得1a =-或52a =. 当1a =-时，0z =，1z i +=； 当52a =时，7744z i =-，7344z i i +=-=. 【点睛】此题考查复数的有关概念，考查复数的模，考查计算能力，属于中档题23．（1）1；（2）8.【分析】（1）将21x i =-代入方程10mx n +-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值；（2）解法一：将21x i =-代入方程210x mx n ++-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值；解法二：由题意可知，关于x 的二次方程210x mx n ++-=的两根分别为21i -和21i --，利用韦达定理可求出m 、n 的值，由此可计算出m n +的值.【详解】（1）由已知得()2110m i n -+-=，()120n m mi ∴--+=，1020n m m --=⎧∴⎨=⎩，解得10n m =⎧⎨=⎩，1m n ∴+=； （2）解法一：由已知得()()2212110i m i n -+-+-=，()()4240n m m i ∴--+-=， 40240n m m --=⎧∴⎨-=⎩，62n m =⎧∴⎨=⎩，8m n ∴+=； 解法二：21i -是实系数方程21=0x mx n ++-的根，–12i ∴-也是此方程的根， 因此()()()()121212121i i m i i n ⎧-++--=-⎪⎨-+--=-⎪⎩，解得26m n =⎧⎨=⎩，8m n ∴+=. 【点睛】本题考查虚根与方程之间的关系求参数，一般将虚根代入方程，利用虚数相等列方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.24．（1）2a b ==；（2）120.【分析】（1）根据题意，将1x =-代入方程1x b a x +=可得11a =，变形可得1()14b i a ++-=，由复数相等的定义分析可得答案； （2）根据题意，分2种情况讨论：①选出的3个数字中含有0，②选出的3个数字中不含0，求出每种情况三位数的数目，由加法原理计算可得答案．【详解】（1）根据题意，1是方程1x b a x +=的一个根，则有11a =，变形可得：1()14b i a ++=，则有1140b a ⎧+=⎪⎪=，解可得2a b ==；（2）根据题意，分2种情况讨论：①选出的3个数字中含有0，此时有2111342248C C C A =种情况，即有48个没有重复数字的三位数；②选出的3个数字中不含0，此时有21334372C C A =种情况，即有72个没有重复数字的三位数；故可以组成4872120+=个没有重复数字的三位数．【点睛】本题主要考查复数的除法运算、复数相等以及排列组合的应用，属于基础题． 25．（1）42i +；（2）()2,2-.【分析】(1)根据2z i R +∈、2z R i∈-，结合复数的加法、除法运算即可求出z ，进而由共轭复数的概念求得z ；(2) 复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，即对应复数的实部、虚部都小于0，解不等式即可求得m 的范围【详解】（1）设(),z x yi x y R =+∈，则()22z i x y i +=++∵2z i R +∈∴2y =- 又22242255z x i x x i R i i -+-==+∈--， ∴4x =综上，有42z i =- ∴42z i =+（2）∵m 为实数，且()()()()2224212482z mi m i m m m i +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦ ∴由题意得()21240820m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩，解得22m -<< 故，实数m 的取值范围是()2,2-【点睛】本题考查了复数，利用复数的四则运算及共轭复数的概念求复数，另外依据复数所处的象限求参数范围26．（1）123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-. （2）存在，k =【分析】（1）由条件可得211230z iz --=，设1z a bi =+，即可算出（2）由条件得212212iz z z i -=+，然后22212iz z i-=+22427z i -=【详解】（1）由212z z i -=，可得212z z i =-， 代入已知方程得()()1111222210z z i iz i z i -+--+=， 即211230z iz --=.令()1,z a bi a b =+∈R ， 所以()22230a b i a bi +---=， 即()222320a b b ai +---=， 所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩. 所以123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-. （2）由已知得212212iz z z i -=+，又1z =所以22212iz z i-=+22222132iz z i -=+， 所以()()()()22222121322iz iz z i z i ---=+-， 整理得()()224427z i z i -+=，所以22427z i -=，即24z i -=，所以存在常数k =，使得等式24z i k -=恒成立.【点睛】设()1,z a bi a b =+∈R ，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.。

一、选择题1．满足条件34z i i -=+的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ） A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆2．设a R ∈，则复数22121a aiz a-+=+所对应点组成的图形为（ ） A ．单位圆B ．单位圆除去点()1,0±C ．单位圆除去点()1,0D ．单位圆除去点()1,0-3．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ） A ．22i - B ．22i + C ．22i -+ D ．22i -- 5．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --6．已知z 是纯虚数，21z i＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i 7．复数z 满足23z z i +=-，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -8．设313iz i+=-，则232020z z z z ++++=（ ）A ．1B ．0C ．1i --D ．1i +9．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --10．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i +D ．2i -11．复数51i i-的虚部是( )A ．12B ．2i C ．12-D ．2i -12．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（ ）A．)2 B．)1 C．)2-D．)1-二、填空题13．设z 为复数，且1z =，当23413z z z z ++++取得最小值时，则此时复数z =______.14．若23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则p q +=______.15．若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．16．化简2012221i ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭________.点集{||1|1,}D z z z C =++=∈，则||z 的最小值_____和最大值________.17．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________. 18．已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则20001a i i+=+______. 19．若实数,m n 满足20212(4)(2)i mi n i ⋅+=+，且z m ni =+，则||z =_____．20．若复数z 满足2z i z i -++=，则1z i --的取值范围是________三、解答题21．已知复数1z 、2z满足1||1z =、2||1z =，且12||4z z -=，求12z z 与12||z z +的值.22．实数m 取什么值时,复数22(56)(215)z m m m m i =+++-- (1)与复数212i -相等(2) 与复数1216i +互为共轭复数 (3)对应的点在x 轴上方.23．已知z 为复数，2z i +为实数，且(12)i z -为纯虚数，其中i 是虚数单位． （1）求复数z ；（2）若复数z 满足1z ω-=，求ω的最小值． 24．已知复数1z 满足：111z i z =++. （1）求1z ；（2）若复数()()22111z a a z a R =-+-∈，且2z 是纯虚数，求a 的值.25．已知1(3)(?4)z x y y x i =++-,2(42)(53)(,)z y x x y i x y R =--+∈,设12z z z =-,且132z i =+,求复数1z ,2z .26．若z C ∈，42i z z +=，sin sin i ωθθ=-（θ为实数），i 为虚数单位. （1）求复数z ； （2）求z ω-的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】因为34z i i -=+，所以5z i -=，22(1)25,x y +-= 因此复数z 在复平面上对应点的轨迹是圆，选C.2．D解析：D 【分析】根据复数222221212111a ai a az i a a a -+-==++++，得到复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，然后由22212,11a ax y a a -==++，利用复数的模求解. 【详解】因为复数222221212111a ai a a z i a a a-+-==++++， 所以复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 即22212,11a ax y a a-==++， 所以222222212111a a x y a a ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 因为22212111a x a a-==-+++， 又因为a R ∈，所以211a +≥， 所以22021a <≤+， 所以221111a-<-+≤+， 即11x -<≤，所以复数z 对应点组成的图形为单位圆除去点()1,0-. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及复数模的轨迹问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．C解析：C 【分析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案． 【详解】若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件. 故选C. 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．4．A解析：A 【解析】 【详解】由b 是方程()()2440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2440b i b ai ++++=,整理可得：()()2440b a i b b ++++=，所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，故选A .5．B解析：B 【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.6．D解析：D 【分析】根据复数的运算，化简得到21[(2)(2)]12z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)， 则＝＝＝ [(2－b )＋(2＋b )i]．∵∈R ，∴2＋b ＝0，解得b ＝－2， ∴z ＝－2i. 故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7．A解析：A 【解析】令22()331,1z a bi z z a bi a bi a bi i a b =+∴+=++-=-=-∴==8．B解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由等比数列的前n 项和公式及虚数单位i 的运算性质求解． 【详解】 3(3)(13)1013(13)(13)10i i i iz i i i i +++====--+， 20202020232020(1)(1)(11)0111z z i i i z z z zz i i---∴+++⋯+====---．故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，训练了等比数列前n 项和的求法，是基础题．9．A解析：A 【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--，即可求得其共轭复数. 【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--， 所以Z 的共轭复数为2i +. 故选：A 【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解.10．A解析：A 【分析】根据欧拉公式求出2cos sin22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】 ∵2cossin22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A. 【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .11．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可. 【详解】由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i ii i +==-+-+，则复数51i i-的虚部是12.本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．A解析：A 【分析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0A 221417AC =+=则0212AC z AC -<-<+,即01721172z -<-<+ 故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.二、填空题13．【分析】设复数的辐角为将用表示出来再利用二倍角公式二次函数性质求最小值可得与的值即可得复数【详解】设复数的辐角为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式涉及三角恒等变换及二次函数性质解析：1154-±【分析】设复数z 的辐角为θ，将23413z z z z ++++用θ表示出来，再利用二倍角公式，二次函数性质求最小值，可得cos θ与sin θ的值，即可得复数z . 【详解】设复数z 的辐角为θ，23413z z z z ++++==2cos22cos 3θθ=++ 24cos 2cos 1θθ=++ 21334cos 444θ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭所以1cos 4θ=-，sin 4θ=± 所以144z=-±， 故答案为：14- 【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式，涉及三角恒等变换及二次函数性质，属于中档题.14．38；【分析】假设另外一个根为根据是实数结合韦达定理可得结果【详解】假设另外一个根为是方程的一个根则①由可知是的共轭复数所以②把②代入①可知所以故答案为：38【点睛】本题重在考查是实数掌握复数共轭复解析：38； 【分析】假设另外一个根为z ，根据z z 是实数，结合韦达定理，可得结果. 【详解】假设另外一个根为z ，23i -是方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则()232232p i z q i z ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩① 由,p q R ∈，可知z 是23i -的共轭复数， 所以32z i =-- ② 把②代入①可知1226p q =⎧⎨=⎩所以38p q +=故答案为：38 【点睛】本题重在考查z z 是实数，掌握复数共轭复数的形式，属基础题15．0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解【详解】是关于的实系数方程的一个根是关于的实系数方程的另一个根则即故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算解析：0 【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解. 【详解】1i -是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根，1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0 【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题.16．13【分析】根据复数的代数形式的除法乘方运算法则计算可得根据复数的几何意义得到的轨迹即可得到的最值；【详解】解：设因为即根据复数的几何意义可知表示以为圆心为半径的圆上的点集则故答案为：；；【点睛】本解析：1- 1 3 【分析】根据复数的代数形式的除法、乘方运算法则计算可得，根据复数的几何意义得到z 的轨迹，即可得到||z 的最值； 【详解】解：2012221i ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭)()()201222111i i i ⎡⎤-=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦2012022⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭20120⎫=+⎪⎪⎝⎭1006222⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()100610062514221i i i i ⨯+=-====-设(),z x yi x y R =+∈，因为{||1|1,}D z z z C =++=∈即11x yi +++=根据复数的几何意义可知{||1|1,}D z z z C =+=∈表示以(1,-为圆心，1为半径的圆上的点集，则max13z ==，min 11z ==，故答案为：1-；1；3. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，也考查了复数模的求法与几何意义，是中档题．17．【分析】先写出的三角形式再进行化简整理即可【详解】设则∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查复数三角形式的定义属基础题解析：1+【分析】先写出1z z-的三角形式，再进行化简整理即可. 【详解】设01z z z -=，则001,arg 23z z π==，∴011cos sin 23344z i ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，∴1144z z -=+，解得13z i =+.故答案为：13i +. 【点睛】本题考查复数三角形式的定义，属基础题.18．【分析】利用纯虚数的定义复数的运算法则即可求出【详解】解：为纯虚数且解得故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则纯虚数的定义考查了推理能力与计算能力属于基础题 解析：1i -【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可求出.【详解】解：2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，210a ∴-=，且10a +≠，解得1a =20001112(1)111(1)(1)i i i i i i i ++-∴===-+++-. 故答案为：1i -.【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 19．【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算再利用复数相等求出最后由复数的模的计算公式求出【详解】因为所以已知等式可变形为即解得【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则复数相等的概念【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算，再利用复数相等求出,m n ，最后由复数的模的计算公式求出z ．【详解】因为2021i i =，所以已知等式可变形为2(4)44i mi n ni +=+-，即2444m i n ni -+=+-，2444m n n ⎧-=-⎨=⎩ 解得31m n =⎧⎨=⎩ ，3i z =+z ∴=．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则，复数相等的概念以及复数的模的计算公式的应用．20．【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段表示线段上的点到的距离根据数形结合思想结合点到直线距离公式可得结果详解：因为复数满足在复平面内设复数对应的点为则到的距离之和为所以点的轨迹为解析：【解析】分析：由复数的几何意义解得点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果. 详解：因为复数z 满足2z i z i -++=，在复平面内设复数z 对应的点为(),z x y ，则(),z x y 到()()0,1,0,1-的距离之和为2，所以点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离， 可得最小距离是()0,1与()1,1的距离，等于1；最大距离是()0,1-与()1,1的距离，等于5；即1z i --的取值范围是1,5⎡⎤⎣⎦，故答案为1,5⎡⎤⎣⎦.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.三、解答题21．12473z i z +=±，12||4z z +=. 【分析】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，从模长入手，可以得到2221212||||z z z z +=-，进而得到以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形.【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由于222(71)(71)4++-=，故2221212||||z z z z +=-，故以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥，则1212||||4z z z z +=-=，()()212717147717171z z ++==±=±--+. 【点睛】本题的易错点在12771z z =-，原因是12,z z 可以交换位置，所以这个取正负值均可. 22．（1）m ＝－1（2）m ＝1（3）m<－3或m>5.【解析】解：(1)根据复数相等的充要条件得22562{21512m m m m ++=--=-解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得225612{21516m m m m ++=--=-解得m ＝1. (3)根据复数z 的对应点在x 轴的上方可得m 2－2m －15>0，解得m<－3或m>5.23．（1）=42z i -（2）1【详解】试题分析：（1）求复数z 时采用待定系数法，首先=(,)z a bi a b R +∈设，代入已知条件得到关于,a b 的方程，从而解得,a b ，得到复数z （2）采用待定系数法得到复数ω实虚部的关系式，进而结合两点间距离公式得到ω的最小值试题（1）=(,)z a bi a b R +∈设，则2(2)z i a b i +=++，因为2z i +为实数，所以有20b +=①(12)(12)()2(2)i z i a bi a b b a i -=-+=++-，因为(12)i z -为纯虚数，所以20,20a b b a +=-≠，②由①②解得4,2a b ==-.故=42z i -.（2）因为=42z i -，则42z i =+，设(,)x yi x y R ω=+∈，因为1z ω-=，即22(4)(2)1x y -+-=又ωω的最小值即为原点到圆22(4)(2)1x y -+-=上的点距离的最小值，因为原点到点(4,2)=r=1，原点在圆外，所以ω的最小值即为1.考点：1.待定系数法；2.复数运算及相关概念；3.数形结合法24．（1）1z i =-；（2）1a =-.【分析】（1）设1,(,)z a bi a b R =+∈，将已知条件化简后可得1z ；（2）将2z 化简整理，令实部为0，可得a 的值.【详解】（1）设1,(,)z a bi a b R =+∈，1(1)(1)i a bi a b i =+++=+++，100,,11b a b a +=⎧=⎧⎪∴∴⎨=-=+⎩∴1z i =-.（2）由（1）得221(1)(),z a a i a =---∈R由2z 是纯虚数得：21010a a ⎧-=⎨-≠⎩， 1a ∴=-.【点睛】本题主要考查复数的有关概念及四则运算等基本知识.考查概念识记､运算化简能力，属于基础题.25．1z =59,i -287.z i =--【分析】明确复数1z ,2z 的实部与虚部，结合加减法的运算规则，即可求出复数z ，从而用,x y 表示出z ，接下来根据复数相等的充要条件列出关于,x y 的方程组求解，即可得出1z ,2z .【详解】∵12z z z =- ()()()()344253x y y x i y x x y i =++---++ ()()342x y y x ⎡⎤=+--⎣⎦ ()()453y x x y i ⎡⎤+-++⎣⎦ ()()534x y x y i =-++. ∴()()534z x y x y i =--+.又∵132z i =+∴531342x y x y -=⎧⎨+=-⎩∴21x y =⎧⎨=-⎩∴()()1321142z i =⨯-+--⨯ 59,i =-∴()()24122523187.z i i ⎡⎤⎡⎤=⨯--⨯-⨯+⨯-=--⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查复数代数形式的加减运算、共轭复数的定义以及复数相等的充要条件，属于中档题.复数相等的性质是：若两复数相等则它们的实部与虚部分别对应相等.26．（1）1i 2z =+；（2）[]0,2. 【分析】（1）设(),z a bi b a =+∈R ，根据复数相等，得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z 的值；（2）利用复数的模长公式以及辅助角公式得出z ω-=，利用正弦函数的值域可求出z ω-的取值范围.【详解】 （1）设(),z a bi b a =+∈R ，则z a bi =-，()()42a bi a bi i ++-=∴，即62a bi i +=，所以621a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，122z i ∴=+； （2）()11sin cos sin cos 222z i i i ωθθθθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝-=+⎭---+=== 1sin 16πθ⎛⎫ ≤⎝--⎪⎭≤，022sin 46πθ≤--⎛⎫ ⎪⎝⎭≤∴， 02z ω∴≤-≤，故z ω-的取值范围是[]0,2.【点睛】本题考查复数的求解，同时也考查了复数模长的计算，涉及复数相等以及辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.。

一、选择题1．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆2．已知12,z z C ∈，121z z ==，12z z +=12z z -=（ ）A ．0B ．1CD ．2 3．设i 为虚数单位，复数23i z i +=，则z 的共轭复数为（ ） A ．32i - B ．32i +C ．32i --D ．32i -+ 4．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i -- C ．10111012i -- D ．10111010i - 7．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( )A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --8．复数51i i-的虚部是( ) A ．12 B ．2i C ．12- D ．2i - 9．复数z 满足(12)3z i i +=+，则z =（ ） A ．15i + B ．1i - C ．15i - D ．1i +10．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 11．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限12．若32a i i -+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32二、填空题13．若i 为虚数单位，则计232020232020i i i i ++++=___________.14．若复数z 满足||1z i -，则2z i +（i 为虚数单位）的最小值为______．15．若12ω=+（i 为虚数单位），则3ω=_______. 16．已知复数342i z i-=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于第_____象限. 17．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________.18．在复平面内，复数(3)a z =-+表示的点在直线y x =上，则z =_______． 19．复数z 及其共轭复数z 满足（1+i ）z ﹣2z ＝2+3i ，其中i 为虚数单位，则复数z ＝_____ 20．已知复数032z i =+，其中i 是虚数单位，复数z 满足003z z z z ⋅=+，则复数z 的模等于__________.三、解答题21．已知方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，p R ∈．（1）若123x x -=，求实数p 的值；（2）若123x x +=，求实数p 的值．22．当实数m 取什么值时，复数224(6)Z m m m i =-+--分别满足下列条件？ （1）复数Z 实数；（2）复数Z 纯虚数；（3）复平面内，复数Z 对应的点位于直线y x =-上.23．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值.24．在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.25．已知z 是纯虚数，并使得21z i +∈-R ，求z 26．关于x 的方程()2236110x m x m --++=的两根的模之和为2，求实数m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【详解】 因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.2．B解析：B【分析】 利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得12z z -.【详解】设12,z a bi z c di =+=+，则()()12z z a c b d i +=+++，()()12z z a c b d i -=-+-. 依题意得：22221,1a b c d +=+=，12z z +=⇒()()223a c b d +++=⇒()222223a b c d ac bd +++++=⇒()21ac bd +=.所以12z z -==1==.故选：B【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题. 3．B解析：B【分析】 由题意首先由复数的运算法则求得z 的值，然后求解其共轭复数的值即可.【详解】22232323321i i i i z i i i ++-====--，则32z i =+， 故选B .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．B解析：B【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.5．A解析：A【详解】 因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ． 6．B解析：B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.7．A解析：A【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--，即可求得其共轭复数. 【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z i i i +--===-+--， 所以Z 的共轭复数为2i +.故选：A【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解. 8．A解析：A【解析】【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.【详解】 由复数的运算法则可知：51i i-()()()1111122i i i i i +==-+-+， 则复数51i i-的虚部是12. 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．D解析：D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得1i z =-，利用共轭复数的定义可得结论.【详解】()12i 3i z +=+，()()()()3i 12i 3i 55i 1i 12i 12i 12i 5z +-+-∴====-++-， 所以1z i =+，故选D.复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．B解析：B【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可．【详解】()15i z i -+＝，()()()()51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=-故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题11．D解析：D【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则22z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．12．C解析：C先化简复数，再利用纯虚数的定义求解.【详解】 由题得()(32)(32)(23)32(32)(32)13a i a i i a a i i i i -----+==++-， 因为32a i i-+为纯虚数， 则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =. 故选：C【点睛】结论点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈则0a =且0b ≠，不要漏掉了0b ≠.二、填空题13．【分析】设两边乘以相减结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则计算可得所求和【详解】设上面两式相减可得则故答案为：【点睛】本题考查数列的求和方法：错位相减法以及复数的运算考查等比数列的求和公式以及 解析：10101010i -【分析】设232020232020S i i i i =+++⋯+，两边乘以i ，相减，结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则，计算可得所求和．【详解】设232020232020S i i i i =+++⋯+，2342021232020iS i i i i =+++⋯+，上面两式相减可得，2320202021(1)2020i S i i i i i -=+++⋯+-20202021(1)(11)20202020202011i i i i i i i i--=-=-=---， 则(1)202020201010101012i i i S i i +=-=-=--． 故答案为：10101010i -．【点睛】本题考查数列的求和方法：错位相减法，以及复数的运算，考查等比数列的求和公式，以及化简运算能力，属于中档题．14．【分析】设由知点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部表示点与点的距离数形结合即可得到答案【详解】设由可得此式表示复平面上的点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部此式表示点与点的距离故所以的最小值为故答案1设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +，知点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，数形结合即可得到答案.【详解】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +可得22((1)1a b -++≤，此式表示复平面上的点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，故min 11PB AB =-==1.所以2z i +-1.1【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生数形结合思想以及数学运算求解能力，是一道中档题. 15．-1【分析】先把转化为复数的三角形式再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可【详解】解：复数对应的点在第一象限则所以所以所以故答案为：-1【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及 解析：-1【分析】先把122ω=+转化为复数的三角形式，再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可.【详解】解：复数122ω=+对应的点在第一象限，则1r ==，1cos 2θ=， 所以arg 3z π=，所以1cos isin 2233i ππω=+=+， 所以33cos sin cos isin 133333333i ππππππππω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：-1.【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的乘法运算法则，属于基础题.16．一【分析】化简得到得到复数对应象限【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为（21）故复数在复平面内对应的点位于第一象限故答案为：一【点睛】本题考查了复数的模复数除法复数对应象限意在考查学生对于复数知识 解析：一【分析】化简得到2z i =+，得到复数对应象限.【详解】()()()3452522222i i z i i i i i -+====+---+，复数z 在复平面内对应的点的坐标为（2,1）， 故复数z 在复平面内对应的点位于第一象限.故答案为：一.【点睛】本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用. 17．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：－1【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i +-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.【点睛】 本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 18．【分析】根据复数几何意义列方程解方程得再根据共轭复数概念得结果【详解】解：由题意可得解得∴∴故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念考查基本分析求解能力属基础题解析：66i -【分析】根据复数几何意义列方程，解方程得9a =，再根据共轭复数概念得结果.【详解】解：由题意可得3a =-，解得9a =，∴66z i =+，∴66z i =-．故答案为：66i -【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．【分析】设代入题目所给已知条件利用复数相等的条件列方程组解方程组求得的值【详解】设则于是有解得即【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算考查复数相等的概念考查方程的思想属于基础题 解析：9522i -+ 【分析】设,(,)z a bi a b R =+∈，代入题目所给已知条件，利用复数相等的条件列方程组，解方程组求得z 的值.【详解】设,(,)z a bi a b R =+∈，则()()()1223i a bi a bi i ++--=+，()()323a b a b i i --++=+，于是有233a b a b --=⎧⎨+=⎩ 解得9252a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即9522z i =-+. 【点睛】 本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的概念，考查方程的思想，属于基础题. 20．【分析】可设出复数z 通过复数相等建立方程组从而求得复数的模【详解】由题意可设由于所以因此解得因此复数的模为：【点睛】本题主要考查复数的四则运算相等的条件比较基础【分析】可设出复数z ，通过复数相等建立方程组，从而求得复数的模.【详解】由题意可设z a bi =+，由于003z z z z ⋅=+，所以 (32)(23)(33)(23)a b a b i a b i -++=+++，因此32332323a b a a b b -=+⎧⎨+=+⎩，解得132a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此复数z2=. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，相等的条件，比较基础. 三、解答题21．（1）52p =或2-；（2）2p =-或94．【分析】（1）根据韦达定理，得出12121,x x x x p +=-=，22121212()4x x x x x x -=+-，则可求出实数p 的值；（2）根据题意，对两根12,x x 进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p 的值.【详解】解：（1）方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ， 则由韦达定理知：12121,x x x x p +=-=，22121212()4149x x x x x x p ∴-=+-=-=，52p ∴=或2-； （2）①当1x ，2x 为两个实根，140p =-≥，即14p ≤时， ()()2222121212121212222x x x x x x x x x x x x +=++=+-+， 1229p p ∴-+=，则2p =-，②当1x ，2x 为一对共轭虚根，140p =-<，即14p >时， 由123x x +=，12x x =，得132x =， 由韦达定理可得2194p x ==， 综上所述，2p =-或94. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.22．（1）2m =-或3m =；（2）2m =；（3）2m =-或52m =. 【分析】（1）由虚部为0，求解m 值；（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解m 值；（3）由实部与虚部的和为0，列式求解m 值．【详解】解：由题可知，复数224(6)Z m m m i =-+--，（1）当Z 为实数时，则虚部为0，由260m m --=，解得：2m =-或3m =；（2）当Z 纯虚数时，实部为0且虚部不为0，由224060m m m ⎧-=⎨--≠⎩，解得：2m =； （3）当Z 对应的点位于直线y x =-上时，则0x y +=，即：实部与虚部的和为0，由224(6)0m m m -+--=，解得：2m =-或52m =． 【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 23．(1) 12z i =-或2i z =-.(2) 3m =±，5n =.【分析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩， 所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题24．（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-；（2）证明详见解析，当ab cd =时.【分析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =，()23,4OZ =-，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ 、2OZ 计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅的大小，并得出何时取等号.【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=-证明（2）1z a bi =+，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++ ()1,OZ a b =，()2,OZ c d =12OZ OZ ac bd ∴⋅=+，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥ 所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ . 【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．25．-2i【分析】设()z bi b R =∈，代入21z i +-进行化简，根据21z i +-为实数，列方程，解方程求得b 的值，也即求得z .【详解】设()z bi b R =∈，代入21z i +-得()()()()()212221112bi i b b i bi R i i i ++-+++==∈--+，所以20b +=，解得2b =-.所以2z i =-.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题. 26．56-或76【分析】 若设方程的两个根为1x ，2x ，则由一元二次方程根与系数的关系得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩，由题意可得，12122x x x x =+=+=，代入可求得m 的值，然后考虑两个根不是实数时，根据复数的运算可求.【详解】设方程的两根为1x ，2x ，则韦达定理可得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩， ①0∆≥，即m ≤m ≥时，此时由120x x >，可得1x ，2x 同号， 12122x x x x ∴+=+=，解得56m =-或7m 6=； ②∆<0，即331212m -+<<时，1x ，2x 为一对共轭虚根，12x x =， 由122x x +=，可得121x x ==，从而有21211x x x ⋅==，解得m =综上，实数m 的值为56-或76. 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系的简单应用，复数的运算，属于中档题.。

一、选择题1．当z =时，100501z z ++=（ ）A ．1B ．-1C ．iD ．i -2．复数()211i z i+=-，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知z 是纯虚数，21z i＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i4．已知集合，()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，则实数m 的值为 （ ） A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或65．已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（ ）A ．1i --B ．1i +C D - 6．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --7．已知(,)a bi a b R +∈是11ii+-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．18．若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的值是（ ） A ．52B ．1C ．1-D ．52-9．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝A ．B ．2C ．4D10．在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.A ．0B ．1C ．2D ．311．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ）A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i12．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（ ）A ．)2 B ．)1C ．)2-D ．)1-二、填空题13．复平面上点,()Z a b 对应着复数Z a bi =+以及向量(,)OZ a b =，对于复数123,,z z z ，下列命题都成立；①1221z z z z +=+；②1212z z z z +≤+；③2211z z =；④1212z z z z ⋅=⋅；⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，则23z z =.则对于非零向量123OZ OZ OZ ，，仍然成立的命题的所有序号是___________.14．已知复数z 满足||1z =，则|i ||i |z z ++-的最大值是__________.15．复数2018|)|z i i i =+（i 为虚数单位），则||z =________. 16．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数12z i --的最大值为______.17．已知复数z 满足()14i z a i +=+（i 为虚数单位），且z =，则实数a =________．18．已知复数1z =，i 为虚数单位，则34z i -+的最小值为_________.19．若复数214tz t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限,则实数t 的取值范围是____. 20．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z = _________________；三、解答题21．（1）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，m 、n ∈R ，求m n +的值；（2）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，m 、n ∈R ，求m n +的值.22．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限. （1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值.23．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且(3)z i ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）． （1）设复数121m iz i+=-，求1z ；（2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．24．已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+.（1）求||z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值.25．已知z 为复数，2z i +为实数，且(12)i z -为纯虚数，其中i 是虚数单位． （1）求复数z ；（2）若复数z 满足1z ω-=，求ω的最小值．26．已知i 是虚数单位，复数11()z ai a R =-∈，复数2z 的共轭复数234z i =-. （1）若12z z R +∈，求实数a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据100501z z ++的结构特点，先由z =，得到()2212-==-i z i ，再代入100501z z ++求解.【详解】因为z =所以()221,2-==-i z i所以()()()2550250100,1=-=-=-=-=-z i i z i i ，所100501++=-z z i ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题.2．C解析：C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 在复平面内对应的点的坐标得答案． 【详解】()()()()212121,1,1111i i i iz i z i ii i i +⋅+====-+∴=-----⋅+ 即z 的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限 .故选C. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．D解析：D 【分析】根据复数的运算，化简得到21[(2)(2)]12z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)， 则＝＝＝ [(2－b )＋(2＋b )i]．∵∈R ，∴2＋b ＝0，解得b ＝－2， ∴z ＝－2i. 故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4．B解析：B 【分析】根据交集的定义可得()()2231563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可. 【详解】因为()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，所以()()2231563m m m m i --+--=，可得223131560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.5．A解析：A 【分析】化简得到1z i =-+，再计算共轭复数得到答案. 【详解】()()()1212i z i i -=++，故()()()()()()()()()121212131211212125i i i i i i i z i i i i +++++++====-+--+，故1z i =--.故选：A . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.6．A解析：A 【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，即可求得其共轭复数.【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，所以Z 的共轭复数为2i +. 故选：A 【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解.7．A解析：A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．8．A解析：A 【分析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：12z -±=，由此可得αβ-的m 表示形式，根据3αβ-=即可求得m 的值. 【详解】因为20z z m ++=，所以z =，又因为3αβ-=，所以3=，所以419m -=，解得：52m =. 故选A. 【点睛】实系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，有两虚根为,αβ，注意此时的240b ac ∆=-<，因此在写方程根时应写成：2b x -±=而不能写成了2b x -±=.9．A解析：A 【解析】 【分析】首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可. 【详解】由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y =⎧⎨=⎩，则2x y ==，22x yi i +=+== 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A解析：A 【解析】对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2212230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===， 所以该命题是错误的. 故选A.11．B解析：B 【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+， 又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3. 故选：B.12．A解析：A 【分析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0AAC ==则0212AC z AC -<-<+,0212z <-< 故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.二、填空题13．①②③【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定；③由判定；④结合复平面中向量数量积判定；⑤结合复平面中向量数量积判定【详解】解：①成立满足加法的交换律故①正确；②在复平解析：①②③ 【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定； ③由221111z z z z ==判定； ④结合复平面中向量数量积判定； ⑤结合复平面中向量数量积判定. 【详解】解：①1221z z z z +=+成立，满足加法的交换律，故①正确； ②在复平面内，根据复数模长的几何意义知，1212z z z z +，，分别对应三角形的三边，则1212z z z z +<+，若120,z z =或或12,z z 对应的向量方向相同时，有1212z z z z +=+， 综上，1212z z z z +≤+，故②正确； ③221111z z z z ==成立，故③正确；④121212cos z z z z z z θ⋅=⋅≤⋅，故④不成立， ⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，121213132323cos ,cos ,cos cos ,z z z z z z z z z z z z αβαβ===不一定等于，故⑤不成立.故答案为：①②③ 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复a bi +与复平面上的点(,)a b 一一对应.14．【分析】设则化简可得；然后分类讨论去绝对值在根据三角函数的性质即可求出结果【详解】设则当时所以的最大值是；当时所以的最大值是；当时所以综上的最大值是故答案为：【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何解析：【分析】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤<，则化简可得coscos2222z i z i θθθθ++-=++-；然后分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果． 【详解】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤< ．则z i z i ++-===coscos2222θθθθ=++-．02θπ≤<，02θπ∴≤<．当0,24θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0sin cos 1222θθ≤≤≤≤，所以2z i z i θ+-=+，z i z i ++-的最大值是当3,244θππ∈⎛⎤ ⎥⎝⎦时，cos sin 122θθ≤<<≤，所以2z i z i θ++-=，z i z i ++-的最大值是；当3,24θππ∈⎛⎫⎪⎝⎭时，1cos sin 22θθ-<<<<sin cos 22θθ<，2z i z i θ++-=-，z i z i ++-<．综上，z i z i ++-的最大值是故答案为： 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数模的求法,训练了利用三角函数求最值,是中档题．15．1【分析】由复数模的求法及虚数单位的性质化简求值【详解】解：由题得故答案为：1【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位的性质是基础题解析：1 【分析】由复数模的求法及虚数单位i 的性质化简求值. 【详解】解：由题得222|13|1(3)1211z i i =++=+-=-=，||1z ∴=.故答案为：1. 【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位i 的性质，是基础题.16．【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解即可【详解】解：设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆如图：表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为故 解析：221+【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由12z i --的几何意义求解即可． 【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=, 得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，如图：2212(1)(2)z i a b --=-+-z 在复平面内对应点到点(1,2)P 的距离所以12z i --最大值为22||1(11)(02)1212PA +=--+-=． 故答案为：221． 【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题.17．0【分析】先化简再利用建立方程最后解得实数的值【详解】解：∵∴∵∴解得：故答案为：0【点睛】本题考查复数的运算复数的几何意义求参数是基础题解析：0【分析】先化简4422a a z i +-=+，再利用z ==后解得实数a 的值.【详解】解：∵ ()14i z a i +=+，∴ ()()4(1)4(4)(4)4411(1)222a i i a i a a i a a z i i i i +-+++-+-====+++-∵z =，∴ z == 解得：0a =，故答案为：0.【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义求参数，是基础题.18．4【分析】利用复数的几何意义转化求解即可【详解】解:复数z 满足为虚数单位复数z 表示：复平面上的点到(00)的距离为1的圆的几何意义是圆上的点与的距离所以其最小值为：故答案为：4【点睛】本题考查复数的解析：4【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可.【详解】解:复数z 满足1z =，i 为虚数单位， 复数z 表示：复平面上的点到(0，0)的距离为1的圆. 34z i -+的几何意义是圆上的点与()34-，的距离，14-= .故答案为：4.【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题. 19．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数再由复数在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组求解即可得结论【详解】在复平面内对应的点位于第四象限解得实数的取值范围是故答案为【点睛】复数是高考中的必解析：()1,2-【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数214t z t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组,求解即可得结论.【详解】 ()()2222i 114441i i i t t z t t t t ⎡⎤-++=-+=-+=--+⎢⎥-⎣⎦， 在复平面内对应的点位于第四象限,24010t t ⎧->∴⎨--<⎩，解得12t -<<， ∴实数t 的取值范围是()1,2-，故答案为()1,2-.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.20．【分析】先根据复数除法得再根据共轭复数概念得【详解】因为所以即【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等属于基本题复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：2i +【分析】 先根据复数除法得z ，再根据共轭复数概念得z .【详解】因为()1243i z i +=+，所以43212i z i i+==-+,即2.z i =+ 【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等，属于基本题.复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi 三、解答题21．（1）1；（2）8.【分析】（1）将21x i =-代入方程10mx n +-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值； （2）解法一：将21x i =-代入方程210x mx n ++-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值；解法二：由题意可知，关于x 的二次方程210x mx n ++-=的两根分别为21i -和21i --，利用韦达定理可求出m 、n 的值，由此可计算出m n +的值.【详解】（1）由已知得()2110m i n -+-=，()120n m mi ∴--+=，1020n m m --=⎧∴⎨=⎩，解得10n m =⎧⎨=⎩，1m n ∴+=； （2）解法一：由已知得()()2212110i m i n -+-+-=，()()4240n m m i ∴--+-=， 40240n m m --=⎧∴⎨-=⎩，62n m =⎧∴⎨=⎩，8m n ∴+=； 解法二：21i -是实系数方程21=0x mx n ++-的根，–12i ∴-也是此方程的根，因此()()()()121212121i i m i i n ⎧-++--=-⎪⎨-+--=-⎪⎩，解得26m n =⎧⎨=⎩，8m n ∴+=. 【点睛】本题考查虚根与方程之间的关系求参数，一般将虚根代入方程，利用虚数相等列方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.22．(1) 12z i =-或2i z =-.(2) 3m =±，5n =.【分析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩， 所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题23．（1）12z =；（2）13a > 【分析】 (1)先根据条件得到13z i =-，进而得到15122z i =--，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到2(3)(31)10a a i z ++-=，根据复数对应的点在第一象限得到不等式30310a a +>⎧⎨->⎩，进而求解. 【详解】∵1z mi =+，∴1z mi =-.∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i ⋅+=-+=++-.又∵(3)z i ⋅+为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-．∴13z i =-.（1）13251122i z i i -+==---，∴1z = （2）∵13z i =-，∴2(3)(31)1310a i a a i z i -++-==-， 又∵复数2z 所对应的点在第一象限，∴30310a a +>⎧⎨->⎩，解得：13a >． 【点睛】如果Z 是复平面内表示复数z a bi =+(),a b ∈R 的点，则①当0a >，0b >时，点Z 位于第一象限；当0a <，0b >时，点Z 位于第二象限；当0a <，0b <时，点Z 位于第三象限；当0a >，0b <时，点Z 位于第四象限;②当0b >时，点Z 位于实轴上方的半平面内；当0b <时，点Z 位于实轴下方的半平面内．24．（1；（2）7a =-，13b =-．【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得z ；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．试题（1）∵21021010(3)33310i i i z i i i +--====-++，∴z = （2）∵2(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+，∴837{{(6)113a b a a b +==-⇒-+==-． 考点：复数的计算．25．（1）=42z i -（2）1【详解】试题分析：（1）求复数z 时采用待定系数法，首先=(,)z a bi a b R +∈设，代入已知条件得到关于,a b 的方程，从而解得,a b ，得到复数z （2）采用待定系数法得到复数ω实虚部的关系式，进而结合两点间距离公式得到ω的最小值试题（1）=(,)z a bi a b R +∈设，则2(2)z i a b i +=++，因为2z i +为实数，所以有20b +=①(12)(12)()2(2)i z i a bi a b b a i -=-+=++-，因为(12)i z -为纯虚数，所以20,20a b b a +=-≠，②由①②解得4,2a b ==-.故=42z i -.（2）因为=42z i -，则42z i =+，设(,)x yi x y R ω=+∈，因为1z ω-=，即22(4)(2)1x y -+-= 又ωω的最小值即为原点到圆22(4)(2)1x y -+-=上的点距离的最小值，因为原点到点(4,2)=r=1，原点在圆外， 所以ω的最小值即为1.考点：1.待定系数法；2.复数运算及相关概念；3.数形结合法26．（1）4；（2）54. 【分析】（1）先求出124(4)z +z =+a i -，再根据12z z R +∈，求出实数a 的值；（2）由已知得1234(34)25z a a i z --+=，再根据12z z 是纯虚数求出a 的值即得解. 【详解】 223434z i z i =-∴=+（1）由已知得12(1)(34)4(4)z +z =ai ++i =+a i --12,40z z R a +∈-=∴4a ∴=（2）由已知得121(1)(34)34(34)34(34)(34)25z ai ai i a a i z i i i -----+===++- 12z z 是纯虚数，340340a a -=⎧∴⎨+≠⎩,解得34a=，135 144z i∴=-==.【点睛】本题主要考查复数的计算和复数的概念，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.。

一、选择题 1．满足条件34z i i -=+的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆 2．复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ）A ．2a ≠，或1a ≠B ．2a ≠，且1a ≠C ．2a =，或0a =D ．0a = 3．若复数z 满足12z i i •=+，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．1 4．已知复数()()31z m m i m Z =-+-∈在复平面内对应的点在第二象限，则1z =（ ） A ．2B ．2C ．22D ．12 5．已知复数，是z 的共轭复数，则= A ．B ．C ．1D ．2 6．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ）A ．4B ．2C ．0D ．2-8．已知i 是虚数单位，复数z 满足()341z i i +=+，则z 的共轭复数在复平面内表示的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．下列命题中,正确的命题是（ ）A ．若1212,0z z C z z ∈->、，则12z z >B ．若z R ∈，则2||z z z ⋅=不成立C ．1212,,0z z C z z ∈⋅=，则10z =或20z =D ．221212,0z z C z z ∈+=、，则10z =且20z = 10．若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的值是（ ）A ．52B ．1C ．1-D ．52-11．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = )A ．2i -+B ．2i -C ．2i --D ．2i +12．在复平面内，复数201812z i i =++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二、填空题13．已知复数z 满足1z =，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________. 14．若z a bi =+，21z R z∈+，则实数a ，b 应满足的条件为________. 15．若复数z满足||1z i -，则2z i +（i 为虚数单位）的最小值为______． 16．从集合{}0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数i a b +，其中虚数有______个.17．复数1z 、2z 分别对应复平面内的点1M 、2M ，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 是虚数单位），则2212z z +=________.18．复数3(2) i (,)z x y x y =++-∈R ，且||2z =，则点(,)x y 的轨迹是_____________．19．已知i 是虚数单位，则复数21i z i-=+的共轭复数是_______. 20．已知|z|=3,且z+3i 是纯虚数,则z=________. 三、解答题21．已知复数1z 、2z满足1||1z =、2||1z =，且12||4z z -=，求12z z 与12||z z +的值.22．已知()()212162=10,25,,51z a i z a i a R i a a--=+-∈+-为虚数单位.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值； （2）求12z z ⋅的值.23．已知复数()212(24)z a a i =--+，()221z a a i =-+，12z z z =-（i 为虚数单位，a R ∈）.（1）若复数12z z z =-为纯虚数，求12z z ⋅的值；（2）若1z z i +=-，求z i +的值.24．已知m R ∈，复数2(1i)(5i 3)(46i)z m m =+-+-+，当m 为何值时，（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？（4）z 在复平面内对应的点在第四象限？25．复数()()212510,1225,z a a i z a a i =++-=-+-，其中a R ∈ .（1）若2a =-，求1z 的模；（2）若12z z +是实数，求实数a 的值.26．已知关于x 的方程x 2+kx+k 2﹣2k=0有一个模为1的虚根，求实数k 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】 因为34z i i -=+，所以5z i -=，22(1)25,x y +-= 因此复数z 在复平面上对应点的轨迹是圆，选C.2．C解析：C【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出.【详解】解：由于复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上,因此, 220a a -=，解得2a =，或0a =故选C【点睛】熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键. 3．D解析：D【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【详解】12iz i =+，()12i iz i i ∴-⋅=-+，2z i =-+则z 的共轭复数2z i =+的虚部为1．故选D ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．C解析：C【解析】分析：由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定m 的范围，然后结合题意即可求得最终结果.详解：由题意可得：3010x m m Z -<⎧⎪->⎨⎪∈⎩，即13m <<且m Z ∈，故2m =，则：1z i =-+，由复数的性质11222z z ===. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．A解析：A【分析】利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，， 故答案为：A.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.6．A解析：A【详解】因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ． 7．C解析：C【分析】根据实系数一元二次方程的根与系数的关系，求出p ,q 即可求解.【详解】因为复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根， 所以1z i =+也是方程的一个根， 故z z p z z q +=-⎧⎨⋅=⎩，即22p q =-⎧⎨=⎩， 所以0p q +=，故选：C【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的根，根与系数的关系，属于中档题.8．A解析：A【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【详解】复数z 满足()341z i i +=+，∴()()()()3434134z i i i i +-=+-，∴257z i =-，∴712525z i =-． ∴712525z i =+． 则复平面内表示z 的共轭复数的点71,2525⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限． 故选：A ．【点睛】此题考查复数的运算和几何意义，涉及共轭复数概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，根据几何意义确定点的位置.9．C解析：C【分析】A ．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B ．根据实数的共轭复数还是其本身判断2||z z z ⋅=是否成立；C ．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D ．考虑特殊情况：12,1z i z ==，由此判断是否正确.【详解】A ．当122,1i z z i =+=+时，1210z z -=>，此时12,z z 无法比较大小，故错误；B ．当0z =时，0z z ==，所以20z z z ⋅==，所以此时2||z zz ⋅=成立，故错误；C ．根据复数乘法的运算法则可知：10z =或20z =，故正确；D ．当12,1z i z ==时，2212110z z +=-+=，此时10z ≠且20z ≠，故错误. 故选：C.【点睛】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若z C ∈，则有2z z z ⋅=. 10．A解析：A【分析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：12z -±=，由此可得αβ-的m 表示形式，根据3αβ-=即可求得m 的值.【详解】因为20z z m ++=，所以12z -±=，又因为3αβ-=，所以3=，所以419m -=，解得：52m =. 故选A.【点睛】 实系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，有两虚根为,αβ，注意此时的240b ac ∆=-<，因此在写方程根时应写成：x =x = 11．C解析：C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--．故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．12．C解析：C【解析】 因为201812z i i =++()()22231122555i i i i i i --=+=-=--+- ，复数201812z i i=++对应的点的坐标为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故复数201812z i i =++对应的点位于第三象限,故选C. 二、填空题13．1【分析】复数满足为虚数单位）设利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出【详解】解：复数满足为虚数单位）设则当且仅当时取等号故答案为：1【点睛】本题考查了复数的运算法则模的计算公式及其三角函数求值 解析：1【分析】复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出．【详解】 解：复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．则|2||cos (sin 2)|1z i i θθ-=+-，当且仅当sin 1θ=时取等号．故答案为：1．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14．或【分析】根据复数的运算得出再由复数是实数的条件得出实数应满足的条件【详解】因为故有所以或即或是ab 应满足的条件故答案为：或【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念属于中档题解析：0b =或221a b +=根据复数的运算得出21+z z ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b+-++--=+--，再由复数是实数的条件得出实数a ，b 应满足的条件.【详解】()22222211()1212z a bi a bi a bi z a bi a abi b a b abi +++===+++++-+-+()()222222212()14a b abi a bi a b a b+--=++-- ()()()22222222222112214a a b b a b i a bi ab a b a b+-++--+=+-- ()()()2222322222212214a a b ab b a b b a b i a b a b+-+++--=+-- ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b +-++--=+-- 因为21z R z ∈+，故有()2210b b a --=,所以0b =或2210b a --=， 即0b =或221a b +=是a ，b 应满足的条件.故答案为：0b =或221a b +=.【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念，属于中档题.15．【分析】设由知点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部表示点与点的距离数形结合即可得到答案【详解】设由可得此式表示复平面上的点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部此式表示点与点的距离故所以的最小值为故答案1【分析】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +，知点(,)P a b在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b与点(2)B 的距离，数形结合即可得到答案.【详解】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +可得22((1)1a b -++≤，此式表示复平面上 的点(,)P a b在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，故min 11PB AB =-==1.所以2z i +-1.1【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生数形结合思想以及数学运算求解能力，是一道中档题. 16．36【分析】若复数为虚数则分两种情况讨论即得解【详解】从集合中任取两个互不相等的数组成复数当时对应的有6个值；当取123456时对应的只有5个值所以虚数有（个）故答案为:36【点睛】本题考查了虚数的解析：36【分析】若复数i a b +为虚数，则0,0a b =≠，分0,0a a =≠两种情况讨论即得解.【详解】从集合{}0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数i a b +，当0a =时，对应的b 有6个值；当a 取1,2,3,4,5,6时，对应的b 只有5个值.所以虚数有66536+⨯=（个）.故答案为:36.【点睛】本题考查了虚数的定义，考查了学生概念理解，数学运算，分类讨论的能力，属于基础题. 17．【解析】【分析】设为坐标原点根据可知以线段为邻边的平行四边形是矩形且线段的中点为由此可计算出的值【详解】设为坐标原点由知以线段为邻边的平行四边形是矩形即为直角又是斜边的中点且所以所以故答案为：【点睛 解析：100【解析】【分析】设O 为坐标原点，根据1212z z z z +=-可知以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，且线段12M M 的中点为()4,3M ，由此可计算出2212z z +的值. 【详解】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，且245OM ==，所以12210M M OM ==， 所以22222121212100z z OM OM M M =+=+=.故答案为：100.【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及复数模的计算，解题的关键就是要分析出以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形的形状，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 18．以为圆心2为半径的圆【分析】根据复数模的定义确定复数对应点满足条件化简即得轨迹【详解】解：∵∴即点的轨迹是以为圆心2为半径的圆故答案为：以为圆心2为半径的圆【点睛】本题考查复数模的定义以及圆的方程含 解析：以(3,2)-为圆心，2为半径的圆【分析】根据复数模的定义确定复数对应点满足条件，化简即得轨迹.【详解】解：∵||2z =，∴22(3)(2)4x y ++-=，即点(,)x y 的轨迹是以(3,2)-为圆心，2为半径的圆．故答案为：以(3,2)-为圆心，2为半径的圆【点睛】本题考查复数模的定义以及圆的方程含义，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算法则化简求出复数z 进而求得其共轭复数从而求得结果详解：因为所以故答案是点睛：该题考查的是有关复数的除法运算以及共轭复数的概念与求解问题在解题的过程中需要对复数 解析：1322i + 【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算法则化简，求出复数z ，进而求得其共轭复数，从而求得结果. 详解：因为2(2)(1)13131(1)(1)222i i i i z i i i i ----====-++-， 所以1322z i =+，故答案是1322i +. 点睛：该题考查的是有关复数的除法运算以及共轭复数的概念与求解问题，在解题的过程中，需要对复数的除法运算法则灵活掌握，以及共轭复数满足的条件是实部相等，虚部互为相反数.20．3i 【解析】设z=a+bi(ab ∈R)因为|z|=3所以a2+b2=9又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数所以即又a2+b2=9所以a=0b=3所以z=3i解析：3i【解析】设z=a+bi(a,b ∈R),因为|z|=3,所以a 2+b 2=9.又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数,所以a 0,b 30,=⎧⎨+≠⎩即a 0,b 3.=⎧⎨≠-⎩又a 2+b 2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.三、解答题21．12473z i z+=±，12||4z z +=. 【分析】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，从模长入手，可以得到2221212||||z z z z +=-，进而得到以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形.【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由于222(71)(71)4++-=，故2221212||||z z z z +=-，故以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥，则1212||||4z z z z +=-=，()()212717147717171z z ++==±=±--+. 【点睛】本题的易错点在127171z z +=-，原因是12,z z 可以交换位置，所以这个取正负值均可. 22．（1）3；（2）3i -+.【分析】（1）求出12z z +，再根据复数的分类求出a 值；（2）写出共轭复数，然后由复数的乘法运算法则计算．【详解】（1）()2116105z a i a =--+，()22251z a i a=+--， ()()()()2212162162102525105151z z a i a i a a i a a a a ⎛⎫⎡⎤+=--++-=++--- ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭由题意知12z z +为实数，∴()()225100,50,10,a a a a ⎧---=⎪⎨+≠⎪-≠⎩，解得3a =. （2）当3a =时，12z i =-，21z i =-+， 12z i =+， 则()()12213z z i i i ⋅=+-+=-+.【点睛】本题考查复数的加法、乘法运算法则，考查共轭复数的概念，考查复数的分类，属于基础题．23．（1）123626z z i ⋅=--；（2）1. 【分析】 （1）由复数12z z z =-为纯虚数，可得2220230a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，从而可求出a 的值，进而可求出12z z ⋅的值；（2）由1z z i +=-，可得复数z 在直线y x =-上，所以22232a a a a --=-++，从而可求出a 的值，进而可得z i +的值【详解】解：（1）()()22122241()z z a a a a i a R -=--+--++∈为纯虚数， ∴2220230a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，解得2a =， ∴128z i =-，225z i =-，∴12(28)(25)3626z z i i i ⋅=-⋅-=--.（2）()()2212223z z z a a a a i =-=--+--， ∵1z z i +=-，∴复数z 对应的点22(2,23)a a a a ----在直线y x =-上，即22232a a a a --=-++，解得1a =-或52a =. 当1a =-时，0z =，1z i +=； 当52a =时，7744z i =-，7344z i i +=-=. 【点睛】此题考查复数的有关概念，考查复数的模，考查计算能力，属于中档题24．（1）6m =或1m =-（2）6m ≠且1m ≠-（3）4m =（4）46m <<【分析】由题意得解得22(34)(56)z m m m m i =--+--，（1）由2560m m --=，求出m 即可；（2）2560m m --≠，即可得出m ； （3）由22340560m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得m 范围； （4）根据象限特征，由22340560m m m m ⎧-->⎨--<⎩，解得m 范围. 【详解】解：()()()21i 5i 346i z m m =+-+-+=()()223456i m m m m --+--，（1）由2560m m --=得6m =或1m =-，即当6m =或1m =-时，z 为实数；（2）由2560m m --≠得6m ≠且1m ≠-，即当6m ≠且1m ≠-时，z 为虚数；（3）由22340{560m m m m --=--≠，，得4m =， 即当4m =时，z 为纯虚数；（4）由22340{560m m m m -->--<，，解得46m <<， 即当46m <<时，z 在复平面内对应的点在第四象限.【点睛】本题考查复数的有关概念及其运算法则、方程与不等式的解法，考查推理能力与计算能力．25．（1）（2）5a =-或3a =.【解析】（1）2a =-，则136z i =+，则1z ===， ∴1z 的模为.（2）()()2125101225z z a a i a a i +=++-+-+- ()()()261025a a a i ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ ()()26215a a a i =-++- 因为12z z +是实数，所以22150a a +-=，解得5a =-或3a =故5a =-或3a =.26．1【解析】分析：设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，利用韦达定理列方程可求得k 的值，结合判别式小于零即可得结果.详解：由题意，得()222423800k k k k k k ∆=--=-+<⇒<或83k >， 设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，212=2z z k k ⋅- 221k k ⇒-= 1211k k ⇒==．所以1k =点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，实系数方程有虚数根的条件，共轭复数的性质、共轭复数的模，意在考查基础知识的掌握与综合应用，属于中档题.。

一、选择题1．已知12,z z C ∈，121z z ==，12z z +=12z z -=（ ）A ．0B ．1CD ．2 2．若复数z 满足12z i i •=+，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．13．设i 为虚数单位，复数z 满足21ii z=-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-iB ．-1-iC ．1+iD ．-1+i4．已知复数()()31z m m i m Z =-+-∈在复平面内对应的点在第二象限，则1z=（ ）A B ．2C ．2D ．125．已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2B ．2C ．12D ．-16．若复数z 满足()11z i i --⋅=+，则z =（ ）A BC ．D ．37．已知i 为虚数单位，复数32i2iz +=-，则以下命题为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75-C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限8．已知(,)a bi a b R +∈是11ii+-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．19．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则ab的值为（ ） A ．32-B ．23-C ．23D ．3210．设3iz i+=，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．-1C ．3D ．-311．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.A ．0B ．1C ．2D ．312．已知复数21aiz i+=-是纯虚数，则实数a 等于（ ） A ．5B ．2C ．3D ．2二、填空题13．定义运算a c ad bcb d=-，复数z 满足z 1i 1i i=+，则复数z =______.14．计算：662321123i i i ⎛⎫-++= ⎪ ⎪-+⎝⎭_______________. 15．若复数(2)(1)()z a a i a R =-++∈对应的点位于第二象限，则z 的取值范围是_______.16．已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则20001a i i+=+______. 17．复数(1)(z i i i =-为虚数单位）的共轭复数为________. 18．若复数214tz t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限,则实数t 的取值范围是____. 19．若复数 z =21ii-,则3z i + =__________ 20．已知，则 =____．三、解答题21．在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号. 22．已知复数z 满足|3+4i|+z=1+3i. (1)求z ； (2)求()()2134i i z++的值.23．若z C ∈，i 为虚数单位，且|22|1z i +-=，求|22|z i --的最小值.24．如图，在复平面内，已知复数z 1，z 2，z 3对应的向量分别是OA OB OC ，，，i 是虚数单位，若复数123z zz z ⋅=，求11i 2z +.25．设12cos ,1sin z x i z i x =+=+（x 为实数且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，i 是虚数单位），求函数()212f x z z =-的值域.26．已知复数()()21,,z a i bi a b R =+-∈，其中i 是虚数单位. （1）若5z i =-，求a ，b 的值；（2）若z 的实部为2，且0a >，0b >，求证：214a b+≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得12z z -. 【详解】设12,z a bi z c di =+=+，则()()12z z a c b d i +=+++，()()12z z a c b d i -=-+-. 依题意得：22221,1a b c d +=+=，123z z +=⇒()()223a c b d +++=⇒()222223a b c d ac bd +++++=⇒()21ac bd +=.所以12z z -()()()2222222a c b d a b c d ac bd =-+-=+++-+1111=+-=.故选：B 【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.2．D解析：D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出． 【详解】12iz i =+，()12i iz i i ∴-⋅=-+，2z i =-+则z 的共轭复数2z i =+的虚部为1． 故选D ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．B解析：B 【分析】利用复数的运算法则解得1z i =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】∵复数z 满足21ii z=-，∴()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．C解析：C 【解析】分析：由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定m 的范围，然后结合题意即可求得最终结果.详解：由题意可得：3010x m m Z -<⎧⎪->⎨⎪∈⎩，即13m <<且m Z ∈，故2m =，则：1z i =-+，由复数的性质11z z === 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．C解析：C 【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 6．A解析：A 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解. 【详解】由()11z i i --⋅=+，得()()21111i i i z i i i+-+--===--，则2z i =-+，∴z ==故选：A 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的模的运算，属于中档题.7．D解析：D 【分析】利用复数的除法运算，化简32i2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可. 【详解】()()()()32i 2i 32i 47i 2i 2i 2i 55z +++===+--+，z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，5z ==，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.8．A解析：A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．9．B解析：B 【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值. 【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=， 因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi 10．D解析：D 【解析】 因为z=3ii+13i =-∴z 的虚部为-3，选D. 11．A解析：A 【解析】对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2212230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===， 所以该命题是错误的. 故选A.12．B解析：B 【分析】 化简复数2222a a z i -+=+，根据复数z 是纯虚数，得到202a -=且202a+≠，即可求解. 【详解】 由题意，复数()()()()2122211122ai i ai a az i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 是纯虚数，可得202a -=且202a+≠，解得2a =， 所以实数a 等于2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的基本概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】根据新运算定义得到即运算化简即得解【详解】由得得故答案为：【点睛】本题考查了复数的四则运算考查了学生新概念理解数学运算的能力属于基础题 解析：2i -【分析】根据新运算定义，得到z 1i 1i i=+，即i i 1i z -=+，运算化简即得解.【详解】 由z 1i 1i i=+，得i i 1i z -=+，得12i2i iz +==-. 故答案为：2i - 【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生新概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14．【分析】由于次数比较高先利用的周期性将其次数降低再进行四则运算【详解】故答案为：【点睛】本主要考查了有关的幂的运算和复数的四则运算还考查了转化问题运算求解的能力属于基础题解析：2i【分析】由于次数比较高，先利用()*ni n ∈N 的周期性，将其次数降低，再进行四则运算.【详解】661i ⎛⎫+= ⎪ ⎪-⎝⎭33233121⎡⎤+⎛⎫⎢⎥=+=+= ⎪ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦i i i i i i i . 故答案为：2i 【点睛】本主要考查了有关i 的幂的运算和复数的四则运算，还考查了转化问题，运算求解的能力，属于基础题.15．【分析】根据复数的几何意义可知复数对应的点的坐标为再根据该点位于第二象限得即而再用二次函数法求其取值范围【详解】因为复数对应的点的坐标为又因为该点位于第二象限所以解得所以因为所以故答案为：【点睛】本解析：2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】根据复数的几何意义，可知复数(2)(1)()z a a i a R =-++∈对应的点的坐标为21a a -+（,），再根据该点位于第二象限，得2010a a -<⎧⎨+>⎩即1a 2-<< ，而||z ===范围. 【详解】因为复数(2)(1)()z a a i a R =-++∈对应的点的坐标为()21a a -+,， 又因为该点位于第二象限，所以20,10,a a -<⎧⎨+>⎩解得1a 2-<<.所以||z ===因为1a 2-<<，所以||,32z ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【点睛】本题主要考查复数的几何意义，复数的模，还考查运算求解的能力，属于中档题.16．【分析】利用纯虚数的定义复数的运算法则即可求出【详解】解：为纯虚数且解得故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则纯虚数的定义考查了推理能力与计算能力属于基础题 解析：1i -【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可求出. 【详解】 解：2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，210a ∴-=，且10a +≠，解得1a =20001112(1)111(1)(1)i i i i i i i ++-∴===-+++-.故答案为：1i -. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.17．【分析】根据复数的乘法运算可求z 写出其共轭复数即可【详解】因为所以故填【点睛】本题主要考查了复数的运算共轭复数属于中档题 解析：1i -【分析】根据复数的乘法运算可求z,写出其共轭复数即可. 【详解】因为()1z i i =-1i =+， 所以 1z i =-， 故填1i - 【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数，属于中档题.18．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数再由复数在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组求解即可得结论【详解】在复平面内对应的点位于第四象限解得实数的取值范围是故答案为【点睛】复数是高考中的必 解析：()1,2-【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数214tz t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组,求解即可得结论. 【详解】()()2222i 114441i i i t t z t t t t ⎡⎤-++=-+=-+=--+⎢⎥-⎣⎦， 在复平面内对应的点位于第四象限,24010t t ⎧->∴⎨--<⎩，解得12t -<<， ∴实数t 的取值范围是()1,2-，故答案为()1,2-.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.19．【解析】分析：先化简复数z 再求再求 的值详解：由题得所以故答案为：点睛：（1）本题主要考查复数的运算共轭复数和复数的模的计算意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力(2)复数的共轭复数【解析】分析：先化简复数z,再求3z i +，再求3z i + 的值. 详解：由题得2i 2i(1i)22i1i 1i (1i)(1i)2z +-+====-+--+，所以31312,3z i i i i z i +=--+=-+∴+==点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数,z a bi =-||z =20．-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式即得a 的值详解：由题得(1-i)31+i-3i=a ∴a=(1-i)4(1+i)(1-i)-3i=-2i·-2i2-3i=-2-3i 故答案为-2-3i 点睛：（1）解析：-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式，即得 a 的值.详解：由题得，故答案为-2-3i 点睛：（1）本题主要考查复数的综合运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)本题是一个易错题，已知没有说“a”是一个实数，所以它是一个复数，如果看成一个实数，解答就错了.三、解答题21．（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-；（2）证明详见解析，当ab cd =时.【分析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =，()23,4OZ =-，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ 、2OZ 计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅的大小，并得出何时取等号.【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=-证明（2）1z a bi =+，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++ ()1,OZ a b =，()2,OZ c d =12OZ OZ ac bd ∴⋅=+，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++ ()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ .【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．22．（1）43i --；（2）2【分析】（1）先求出为34i 5+= ,即可求出z ，再根据共轭复数的定义即可求出z ；（2）根据复数的运算法则计算即可得出结论.【详解】(1)因为|3+4i|=5,所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.(2)===2. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.23．3【分析】根据|22|1z i +-=，结合复数减法的模的几何意义，判断出z 对应点的轨迹，再根据复数减法的模的几何意义，结合圆的几何性质，求得|22|z i --的最小值.【详解】由|22|1z i +-=得|(22)|1z i --+=，因此复数z 对应的点Z 在以022z i =-+对应的点0Z 为圆心，1为半径的圆上，如图所示.设|22|y z i =--，则y 是Z 点到22i +对应的点A 的距离.又04AZ =，∴由图知min 0||13y AZ =-=.【点睛】本小题主要考查复数减法的模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 24．3【分析】由题图可知，z 1＝3＋i ，z 2＝1－2i ，z 3＝－2＋2i ，再求出复数z,再求11i 2z +. 【详解】解：由题图可知，z 1＝3＋i ，z 2＝1－2i ，z 3＝－2＋2i ，则123(3)(12)5222z z i i z z i ⋅+-===--+，∴532222z z+=-++==.【点睛】本题主要考查复数的几何意义，考查复数的计算和模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.25．3⎡⎤-⎣⎦【分析】求出()f x的解析式后利用辅助角公式化简得到()34f x xπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，由x的范围结合正弦函数的性质可得()f x的值域.【详解】()()()()22212cos11sin32cos sinf x z z x x x x=-=-+-=-+34xπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭,因为0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故3,444xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦sin14xπ⎛⎫≤+≤⎪⎝⎭，所以()f x的值域为3⎡⎤-⎣⎦.【点睛】本题考查复数的模的计算以及三角函数的值域的求法，此类问题属于中档题.26．（1）31ab=⎧⎨=⎩或232ab=⎧⎪⎨=⎪⎩;（2）见解析.【分析】（1）由复数的乘法可得()22z a b ab i=+--，由5z i=-可知2521a bab+=⎧⎨-=⎩，从而可求出a，b的值；（2）由z的实部为2可得22a b+=，结合“1”的代换可知211442a ba b b a⎛⎫+=++⎪⎝⎭，由基本不等式可证明214a b+≥.【详解】（1）解：由()()()21225z a i bi a b ab i i=+-=+--=-，则2521a bab+=⎧⎨-=⎩，解得31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）证明：由题意知，22a b +=，所以()21121142422a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0a >，0b >，所以44a b b a +≥=， 当且仅当4a b b a =，即11,2a b == 时等号成立，则()2114442a b +≥⨯+=. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了基本不等式，考查了复数的定义.运用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.。

一、选择题1．已知复数1z ，2z 满足()1117i z i +=-+，21z =，则21z z -的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）.①两个复数不能比较大小；②复数i 1z =-对应的点在第四象限；③若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==.A ．0B ．1C ．2D ．3 3．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 4．设x ∈R ，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的( ) A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．在复平面内，O 是原点，,,OA OC AB 对应的复数分别为－2＋i ，3＋2i, 1＋5i ，那么BC 对应的复数为( )A ．4＋7iB ．1＋3iC ．4－4iD ．－1＋6i 6．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（ ）A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限 7．已知z 是纯虚数，21z i ＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i 8．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若C z ∈，且22i 1z +-=，则22i z --的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．复数51i i-的虚部是( ) A ．12 B ．2i C ．12- D ．2i -11．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限12．若复数2(1)34i z i+=+，则z =（ ）A ．45B ．35C ．25D ．5二、填空题13．设复数z 满足341z i --=，则z 的最大值是_______.14．已知虚数(),2z x yi x yi =+-+（x ，y R ∈）的模为4，则23z i +-的取值范围为________．15．已知复数z 满足||1z =，则|i ||i |z z ++-的最大值是__________.16．设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.17．若z 为复数，且22z z -=+，则|z －1|的最小值是________．18．若复数(3)(12)z i i =--，则z 的共轭复数z 的虚部为_____19．若复数z 满足2z i z i -++=，则1z i --的取值范围是________20．定义运算a c ad bcb d =-，复数z 满足i 1i 1i z =+，z 为z 的共轭复数，则z ＝___________. 三、解答题21．计算下列各式：（1）32322323i i i i+-+-+；（2）()3111i i i i +++-； 22．（1）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，m 、n ∈R ，求m n +的值；（2）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，m 、n ∈R ，求m n +的值.23．（1）在复数范围内解方程()232i z z z i i -++=+（i 为虚数单位） （2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<<（i）求z的值及z的实部的取值范围；（ii）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数；（iii）在（ii）的条件下求2ωμ-的最小值．24．如图，在复平面内，已知复数z1，z2，z3对应的向量分别是OA OB OC，，，i是虚数单位，若复数123z zzz⋅=，求11iz+.25．已知1(3)(?4)z x y y x i=++-,2(42)(53)(,)z y x x y i x y R=--+∈,设12z z z=-,且132z i=+,求复数1z,2z.26．已知复数()()21,,z a i bi a b R=+-∈，其中i是虚数单位.（1）若5z i=-，求a，b的值；（2）若z的实部为2，且0a>，0b>，求证：214a b+≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先求得1z，设出2z，然后根据几何意义求得21z z-的最大值.【详解】由()()()()11711768341112i ii iz ii i i-+--++====+++-，令2z x yi=+，x，y R∈，由222||11z x y=⇒+=，()()()()22213434z z x y i x y-=-+-=-+-2z对应点在单位圆上，所以21z z-表示的是单位圆上的点和点()3,4的距离，()3,4到圆心()0,05=，单位圆的半径为1， 所以21max 516z z -=+=.故选：D【点睛】 本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的最值的计算.2．B解析：B【分析】根据复数121,2z z ==，可得①是错误的；根据复数的表示，可得②是错误的；根据复数的分类，列出方程组，可得③是正确的；根据1231,,1z z i z ===-，可得④错误的.【详解】对于①中，例如复数121,2z z ==，此时12z z <，所以①是错误的；对于②中，复数i 1z =-对应的点坐标为(1,1)-位于第二象限，所以②是错误的；对于③中，若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则满足2210320x x x ⎧-=⎨++≠⎩，解得1x =， 所以③是正确的； 对于④中，例如1231,,1z z i z ===-，则()()22110i i -++=，所以④错误的. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的表示与复数的运算的综合应用，其中解答中熟记复数的概念与运算，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 3．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】 ()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.4．A解析：A【解析】分析：先化简“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”，再利用充要条件的定义判断.详解：因为复数()()211z x x i =-++为纯虚数， 所以210, 1.10x x x ⎧-=∴=⎨+≠⎩因为“x=1”是“x=1”的充要条件，所以“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的充分必要条件. 故答案为A.点睛：（1）本题主要考查纯虚数的概念，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b≠0漏掉了. 5．C解析：C【解析】BC BA AO OC AB OA OC =++=--+15(2)3244i i i i =----+++=-，选C.6．B解析：B【分析】首先分析题目，设z x yi =+，将其代入11z z -=+进行化简可得0x =，从而可得结论. 【详解】设z x yi =+，则11x yi x yi +-=++，即()()222211x y x y -+=++，解得0x =，所以z yi =，它对应的点在虚轴上.故选B.【点睛】本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题. 7．D解析：D【分析】根据复数的运算，化简得到21[(2)(2)]12z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)，则＝＝＝ [(2－b )＋(2＋b )i]． ∵∈R ，∴2＋b ＝0，解得b ＝－2，∴z ＝－2i.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8．A解析：A【详解】 因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ． 9．B解析：B【分析】由复数的模的几何意义，可得z 在复平面的轨迹是以()2,2-为圆心，以1为半径的圆，根据圆的几何性质可得结果.【详解】设i z x y =+(),x y ∈R ，则()22i 22i 1z x y +-=++-=，所以()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆. ()()22i 22i z x y --=-+-=，表示点(),x y 和()2,2之间的距离， 故()min 22i 22413z r --=---=-=.故选：B.【点睛】本题考查复数的模的几何意义，考查圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 10．A解析：A【解析】 【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.【详解】由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i i i i +==-+-+， 则复数51i i-的虚部是12.本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D【分析】 利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则2z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．12．C解析：C【分析】 先求出8625i z -=，再求出||z 得解. 【详解】 由题得()()()()212342863434343425i i i i i z ii i i +-+====+++-，所以102255z ===. 故选：C二、填空题13．6【解析】分析：先找到复数z 对应的点的轨迹再求的最大值详解：设复数则所以复数对应的点的轨迹为（34）为圆心半径为1的圆所以的最大值是故答案为6点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题意在考查学生对这 解析：6【解析】分析：先找到复数z 对应的点的轨迹，再求z 的最大值.详解：设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22341,(3)(4)1x yi i x y +--=∴-+-=， 所以复数对应的点的轨迹为（3,4）为圆心半径为1的圆，所以z 1516=+=.故答案为6点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi r ++=表示以点(a,b)为圆心r 为半径的圆,不要死记硬背，直接化成直角坐标，就一目了然. 14．【分析】由模长公式易得设（）表示的几何意义为点到点的距离结合图形求出距离的范围即可得解【详解】因为虚数（）的模为4所以有故点的轨迹是以圆心半径为的圆设（）表示的几何意义为点到点的距离由图可知点到点的 解析：[]1,9【分析】由模长公式易得()22216x y -+=，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，结合图形求出距离的范围即可得解.【详解】因为虚数()2x yi -+（x ，y R ∈）的模为4，所以有()22216x y -+=， 故点(,)x y 的轨迹是以圆心(2,0)A ，半径为4r =的圆，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离， 由图可知，点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为AB r +，最小值为AB r -，又因为5AB ==，所以点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为9，最小值为1， 则23z i +-的取值范围为[]1,9.故答案为[]1,9.【点睛】本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x 和y 关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.15．【分析】设则化简可得；然后分类讨论去绝对值在根据三角函数的性质即可求出结果【详解】设则当时所以的最大值是；当时所以的最大值是；当时所以综上的最大值是故答案为：【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何 解析：2【分析】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤<，则化简可得2cos 2cos 2222z i z i θθθθ++-=++-；然后分类讨论去绝对值，在根据三角函数的性质，即可求出结果．【详解】设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤< ． 则2222cos sin 1()cos sin )1(z i z i θθθθ++-=+++- ()()2221sin 21sin 2sin cos 2sin cos 2222θθθθθθ=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝-=⎭+-2cos 2cos 2222θθθθ=++-． 02θπ≤<，02θπ∴≤<． 当0,24θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，20sin cos 1222θθ≤≤≤≤， 所以222z i z i θ+-=+，z i z i ++-的最大值是22 当3,244θππ∈⎛⎤ ⎥⎝⎦时，22cos sin 122θθ≤<<≤，所以2z i z i θ++-=，z i z i ++-的最大值是；当3,24θππ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭时，1cos sin 22θθ-<<<<sin cos 22θθ<，2z i z i θ++-=-，z i z i ++-<．综上，z i z i ++-的最大值是故答案为：【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数模的求法,训练了利用三角函数求最值,是中档题． 16．【分析】首先设(且)代入方程化简为再分和两种情况求验证是否成立【详解】设(且)则原方程变为所以①且②；（1）若则解得当时①无实数解舍去；从而此时或3故满足条件；（2）若由②知或显然不满足故代入①得所 解析：74- 【分析】首先设z a bi =+ (a ，b ∈R 且221a b +=)，代入方程，化简为()()222320ax ax bx bx i +++-=，再分0b =和0b ≠两种情况求,a x 验证是否成立.【详解】设z a bi =+，(a ，b ∈R 且221a b +=) 则原方程2230zx zx ++=变为()()222320ax ax bx bx i +++-=.所以2230ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，2230x x --=此时1x =-或3，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得38a =-，8b =±，所以83z =-±.综上满足条件的所以复数的和为337188884i i ⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：74-【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z a bi =+后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数z .17．【分析】首先根据题意得到复数到的距离与到的距离相等即复数在虚轴上再设出计算的最小值即可【详解】因为复数满足所以在复平面内复数到的距离与到的距离相等即复数在虚轴上设所以的最小值为故答案为：【点睛】本题 解析：1【分析】首先根据题意得到复数z 到(2,0)-的距离与到(2,0)的距离相等，即复数z 在虚轴上.再设出z bi =，计算1z -的最小值即可.【详解】因为复数z 满足22z z -=+，所以在复平面内，复数z 到(2,0)-的距离与到(2,0)的距离相等.即复数z 在虚轴上，设z bi =，b R ∈.111z bi -=-+=≥， 所以1z -的最小值为1.故答案为：1【点睛】本题主要考查复数代数式的形式及其几何意义，同时考查学生的转化能力，属于中档题. 18．7【分析】利用复数乘法运算化简为的形式由此求得共轭复数进而求得共轭复数的虚部【详解】故虚部为【点睛】本小题主要考查复数乘法运算考查共轭复数的概念考查复数虚部的知识解析：7【分析】利用复数乘法运算化简z 为a bi +的形式，由此求得共轭复数，进而求得共轭复数的虚部.【详解】()()31217z i i i =--=-，17z i =+，故虚部为7.【点睛】本小题主要考查复数乘法运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部的知识.19．【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段表示线段上的点到的距离根据数形结合思想结合点到直线距离公式可得结果详解：因为复数满足在复平面内设复数对应的点为则到的距离之和为所以点的轨迹为解析：【解析】分析：由复数的几何意义解得点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果. 详解：因为复数z 满足2z i z i -++=，在复平面内设复数z 对应的点为(),z x y ，则(),z x y 到()()0,1,0,1-的距离之和为2，所以点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，可得最小距离是()0,1与()1,1的距离，等于1；最大距离是()0,1-与()1,1即1z i --的取值范围是⎡⎣，故答案为⎡⎣.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.20．2＋i 【解析】根据题意得到=故得到z=2-i ＝2＋i 故答案为2＋i解析：2＋i【解析】 根据题意得到1z i zi i i =-=1i +,故得到z=2-i ，z ＝2＋i.故答案为2＋i.三、解答题21．（1）0；（2）8i -【分析】利用复数的乘除运算法则求解.【详解】计算下列各式：（1）()()23233232023232323i i i i i i i i i i i i--++-+=+=-=-+-+；（2）()())3338111i i i i i i i i i+++=-++-=-=-.【点睛】 本题主要考查复数的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．（1）1；（2）8.【分析】（1）将21x i =-代入方程10mx n +-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值； （2）解法一：将21x i =-代入方程210x mx n ++-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值；解法二：由题意可知，关于x 的二次方程210x mx n ++-=的两根分别为21i -和21i --，利用韦达定理可求出m 、n 的值，由此可计算出m n +的值.【详解】（1）由已知得()2110m i n -+-=，()120n m mi ∴--+=，1020n m m --=⎧∴⎨=⎩，解得10n m =⎧⎨=⎩，1m n ∴+=； （2）解法一：由已知得()()2212110i m i n -+-+-=，()()4240n m m i ∴--+-=， 40240n m m --=⎧∴⎨-=⎩，62n m =⎧∴⎨=⎩，8m n ∴+=； 解法二：21i -是实系数方程21=0x mx n ++-的根，–12i ∴-也是此方程的根，因此()()()()121212121i i m i i n ⎧-++--=-⎪⎨-+--=-⎪⎩，解得26m n =⎧⎨=⎩，8m n ∴+=. 【点睛】本题考查虚根与方程之间的关系求参数，一般将虚根代入方程，利用虚数相等列方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.23．（1）122z i =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）()()()()()23235512225i i i i z z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩122z ∴=-±（2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ω为实数 220b b a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z = ()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211*********a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a b μ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++ 令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．24．3【分析】由题图可知，z 1＝3＋i ，z 2＝1－2i ，z3＝－2＋2i ，再求出复数z,再求i 2z +. 【详解】解：由题图可知，z 1＝3＋i ，z 2＝1－2i ，z 3＝－2＋2i ，则123(3)(12)5222z z i i z z i ⋅+-===--+，∴532222z z+=-++==.【点睛】本题主要考查复数的几何意义，考查复数的计算和模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.25．1z=59,i-287.z i=--【分析】明确复数1z,2z的实部与虚部，结合加减法的运算规则，即可求出复数z，从而用,x y表示出z，接下来根据复数相等的充要条件列出关于,x y的方程组求解，即可得出1z,2z.【详解】∵12z z z=-()()()()344253x y y x i y x x y i=++---++()()342x y y x⎡⎤=+--⎣⎦()()453y x x y i⎡⎤+-++⎣⎦()()534x y x y i=-++.∴()()534z x y x y i=--+.又∵132z i=+∴531342x yx y-=⎧⎨+=-⎩∴21xy=⎧⎨=-⎩∴()()1321142z i=⨯-+--⨯59,i=-∴()()24122523187.z i i⎡⎤⎡⎤=⨯--⨯-⨯+⨯-=--⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查复数代数形式的加减运算、共轭复数的定义以及复数相等的充要条件，属于中档题.复数相等的性质是：若两复数相等则它们的实部与虚部分别对应相等.26．（1）31ab=⎧⎨=⎩或232ab=⎧⎪⎨=⎪⎩;（2）见解析.【分析】（1）由复数的乘法可得()22z a b ab i=+--，由5z i=-可知2521a bab+=⎧⎨-=⎩，从而可求出a，b的值；（2）由z的实部为2可得22a b+=，结合“1”的代换可知211442a ba b b a⎛⎫+=++⎪⎝⎭，由基本不等式可证明214a b+≥.【详解】（1）解：由()()()21225z a i bi a b ab i i =+-=+--=-，则2521a b ab +=⎧⎨-=⎩， 解得31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）证明：由题意知，22a b +=，所以()21121142422a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0a >，0b >，所以44a b b a +≥=， 当且仅当4a b b a =，即11,2a b == 时等号成立，则()2114442a b +≥⨯+=. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了基本不等式，考查了复数的定义.运用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.。

一、选择题1．能使得复数()32z a aia R =-+∈位于第三象限的是（ ） A ．212a i -+为纯虚数B ．12ai +模长为3C ．3ai +与32i +互为共轭复数D ．0a > 2．若复数z 满足12z i i •=+，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．13．已知复数23i -是方程220x px q ++=的一个根，则实数p ，q 的值分别是（ ） A ．12，26 B ．24，26 C ．12，0D ．6，8 4．设x ∈R ，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的( ) A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的值是（ ）A ．52B ．1C ．1-D ．52- 6．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．已知复数1223,z i z a bi =+=+（,R,0a b b 且∈≠），其中i 为虚数单位，若12z z 为实数，则a b 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．328．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝A ．B ．2C ．4 D9．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（ ）A ．2B ．12CD ．2 10．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 11．已知复数z 满足()12i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题13．已知复数z 满足1z =，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________.14．i 表示虚数单位，则201211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭______. 15．化简：202020191z i i ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+⎝⎭________. 16．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________. 17．设1x ，2x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______． 18．在复平面内，复数(3)a z =-+表示的点在直线y x =上，则z =_______． 19．已知复数()()()4231234a i z i i -=-+⋅-，且1z =，则实数a =_________. 20．定义运算a c ad bcb d =-，复数z 满足i 1i 1i z =+，z 为z 的共轭复数，则z ＝___________. 三、解答题21．已知复数1z 、2z满足1||1z =、2||1z =，且12||4z z -=，求12z z 与12||z z +的值.22．已知i 为虚数单位，关于x 的方程()()2690x i x ai a R -+++=∈有实数根b . （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足20z a bi z ---=，求z 为何值时，z 有最小值，并求出z 的最小值.23．（1）在复数范围内解方程()232i z z z i i -++=+（i 为虚数单位） （2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<< （i ）求z 的值及z 的实部的取值范围；（ii ）设11z zμ-=+，求证：μ为纯虚数； （iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．24．已知z 为复数，2z i +为实数，且(12)i z -为纯虚数，其中i 是虚数单位． （1）求复数z ；（2）若复数z 满足1z ω-=，求ω的最小值．25．已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的两根为1x 、2x . （1）若134x i =+，求p 的值；（2）若121x x -=，求实数p 的值.26．（1）求复数2320191i i i i z i++++=+的值. （2）复数()213105z a i a =+-+，()22251z a i a=+--，若12z z +是在复平面内对应的点在第三象限，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a aia R =-+∈是第三象限的点.【详解】 322z a ai a ai =-+=--由题意可知，若复数在第三象限，需满足200a a -<⎧⎨-<⎩ ，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.123z ai =+==，解得：a =a =C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件.故选：A【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.2．D解析：D【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【详解】12iz i =+，()12i iz i i ∴-⋅=-+，2z i =-+则z 的共轭复数2z i =+的虚部为1．故选D ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．A解析：A【分析】复数23i -是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q 的值.【详解】因为23i -是方程220x px q ++=的一个根，所以22(23)(23)0i p i q -+-+=， 即(224)3100p i p q --++=，所以22403100p p q -=⎧⎨-++=⎩，解得12,26p q ==，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题. 4．A解析：A【解析】分析：先化简“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”，再利用充要条件的定义判断. 详解：因为复数()()211z x x i =-++为纯虚数， 所以210, 1.10x x x ⎧-=∴=⎨+≠⎩ 因为“x=1”是“x=1”的充要条件，所以“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的充分必要条件. 故答案为A.点睛：（1）本题主要考查纯虚数的概念，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b≠0漏掉了.5．A解析：A【分析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：z =，由此可得αβ-的m 表示形式，根据3αβ-=即可求得m 的值.【详解】因为20z z m ++=，所以12z -±=，又因为3αβ-=，所以3=，所以419m -=，解得：52m =. 故选A.【点睛】 实系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，有两虚根为,αβ，注意此时的240b ac ∆=-<，因此在写方程根时应写成：x =x = 6．C解析：C【解析】【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．B解析：B【分析】先根据复数乘法计算，再根据复数概念求a,b 比值.【详解】因为()1223(z z i a bi =++)()23(32a b a b =-++) i ， 所以320a b +=，因为0b ≠，所以23a b =-，选B. 【点睛】 本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi8．A解析：A【解析】【分析】首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可.【详解】由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y =⎧⎨=⎩，则2x y ==，22x yi i +=+==本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 9．A解析：A【解析】由()1i z i +=，得()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -=+++-＝＝，2z ∴=＝故选A ． 10．D解析：D【分析】 利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则2z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．11．D解析：D【解析】()12i z i -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，13213i,i,22z z =+=+13i,22z z =-的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D. 12．A解析：A【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限. 故选:A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．1【分析】复数满足为虚数单位）设利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出【详解】解：复数满足为虚数单位）设则当且仅当时取等号故答案为：1【点睛】本题考查了复数的运算法则模的计算公式及其三角函数求值 解析：1【分析】复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出．【详解】 解：复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．则|2||cos (sin 2)|1z i i θθ-=+-，当且仅当sin 1θ=时取等号．故答案为：1．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14．1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简再利用复数的乘法计算可得【详解】解：且……故答案为：【点睛】本题考查复数的代数形式的乘除运算以及复数的乘方属于基础题解析：1【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简11i i+-，再利用复数的乘法计算可得． 【详解】 解：()()()211111i i i i i i ++==--+ 且1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =…… 2012201245034111i i i i i ⨯+⎛⎫∴==== ⎪-⎝⎭故答案为：1【点睛】本题考查复数的代数形式的乘除运算以及复数的乘方，属于基础题.15．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等 解析：1i --【分析】利用i的幂的性质化简即可得答案.【详解】 2019201633i i i i i =⋅==-，()1010202010102101010082222i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原式=1i --.故答案为：1i --.【点睛】本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1i i=-等等. 16．【分析】先写出的三角形式再进行化简整理即可【详解】设则∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查复数三角形式的定义属基础题解析：13+【分析】 先写出1z z-的三角形式，再进行化简整理即可. 【详解】 设01z z z -=，则001,arg 23z z π==，∴011cos sin 23344z i ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，∴114z z -=+，解得1z =+.故答案为：13i +. 【点睛】 本题考查复数三角形式的定义，属基础题.17．-2【分析】设（s ）则则利用是实数可得于是取则代入化简即可得出【详解】设（s ）则则∵是实数∴∴∴∴∴取则∴则故答案为：【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理考查了复数的概念考查了复数的性 解析：-2【分析】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+．利用212x x 是实数，可得223s t =．于是122x x s +=，2212x x s t =+．2112210x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，取12x x ω=，则210ωω++=，31ω=．代入化简即可得出． 【详解】设1i x s t =+（s ，t ∈R ，0t ≠）．则2i x s t =-．则122x x s +=，2212x x s t =+．∵()223223122222i 33i i s t x s st s t t x s t s t s t+--==+-++是实数， ∴2330s t t -=，∴223s t =．∴122x x s +=，2212x x s t =+． ∴()22221212121242s x x x x x x x x =+=++=， ∴122110x x x x ++=， 取12x x ω=， 则210ωω++=，∴31ω=． 则2481632248163211111122222211x x x x x x S x x x x x x ωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220ωωωω=++++2=-．故答案为：2-．【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了复数的概念，考查了复数的性质210ωω++=，属于中档题.18．【分析】根据复数几何意义列方程解方程得再根据共轭复数概念得结果【详解】解：由题意可得解得∴∴故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念考查基本分析求解能力属基础题解析：66i -【分析】根据复数几何意义列方程，解方程得9a =，再根据共轭复数概念得结果.【详解】解：由题意可得3a =-，解得9a =，∴66z i =+，∴66z i =-．故答案为：66i -【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．【分析】化简的表达式根据列方程由此求得的值【详解】依题意由于即即即即解得故填：【点睛】本小题主要考查复数的除法乘法和乘方运算考查复数模的运算考查运算求解能力属于中档题解析：2±【分析】化简z 的表达式，根据1z =列方程，由此求得a 的值.【详解】依题意，()()()433434a i z i i -=--⋅-()()()()44343434i i a i i ---⋅-=-42534a i i -⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭()()()()434253434a i i i i ⎡⎤-+=-⋅⎢⎥-+⎣⎦()434432525a a i ++-⎡⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦，由于1z =，即()4344325125a a i ++-⎡⎤-⋅=⎢⎥⎣⎦，即()()44344334431252525a a i a a i ++-++-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，即()24334125255a a i -++=，即223443125255a a +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22525125a +=，24a =，解得2a =±. 故填：2±【点睛】本小题主要考查复数的除法、乘法和乘方运算，考查复数模的运算，考查运算求解能力，属于中档题. 20．2＋i 【解析】根据题意得到=故得到z=2-i ＝2＋i 故答案为2＋i解析：2＋i 【解析】根据题意得到1z i zi i i =-=1i +,故得到z=2-i ，z ＝2＋i.故答案为2＋i.三、解答题21．1243z z +=±，12||4z z +=. 【分析】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，从模长入手，可以得到2221212||||z z z z +=-，进而得到以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形.【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由于222(71)(71)4++-=， 故2221212||||z z z z +=-，故以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥，则1212||||4z z z z +=-=，()()212717147717171z z ++==±=±--+. 【点睛】 本题的易错点在12771z z =-，原因是12,z z 可以交换位置，所以这个取正负值均可. 22．（1）3a b ==；（2）min 2z =【分析】（1）方程()()2690x i x ai a R -+++=∈有实数根b ，可得()()2690b b b i a -++-=，根据复数相等列出式子解出a ，b 的值即可；（2）设i z x y =+（x ，y R ∈），由332z i z --=，得()()()2222334x y x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示一个圆，再结合图形，可得z ，再求出z ，进而求出最小值即可.【详解】（1）b 是方程()()26i 90x x ai a R -+++=∈的实数根， ()()2690b b a b i ∴-++-=，2690b b a b ⎧-+=∴⎨=⎩，解得3a b ==. （2）设i z x y =+（x ，y R ∈），由332z i z --=，得()()()2222334x y x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦， ()()221122x y ++-=z 对应的点Z 到点()1,1-的距离为2， 构成的图形是以()11,1O -为圆心，2为半径的圆，如图所示.当点Z 在1OO 所在的直线上时，z 有最大值或最小值，12OO =22r = ∴当1z i =-时，z 有最小值，且min 2z =【点睛】本题考查复数相等的概念，考查复数及其共轭复数，考查复数的模，考查复数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题. 23．（1）132z =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】 （1）()()()()()23235512225i i i i z z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩ 132z ∴=- （2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ω为实数 220b b a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z = ()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211*********a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a bμ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++ 令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．24．（1）=42z i -（2）1【详解】试题分析：（1）求复数z 时采用待定系数法，首先=(,)z a bi a b R +∈设，代入已知条件得到关于,a b 的方程，从而解得,a b ，得到复数z （2）采用待定系数法得到复数ω实虚部的关系式，进而结合两点间距离公式得到ω的最小值试题（1）=(,)z a bi a b R +∈设，则2(2)z i a b i +=++，因为2z i +为实数，所以有20b +=① (12)(12)()2(2)i z i a bi a b b a i -=-+=++-，因为(12)i z -为纯虚数，所以20,20a b b a +=-≠，②由①②解得4,2a b ==-.故=42z i -.（2）因为=42z i -，则42z i =+，设(,)x yi x y R ω=+∈，因为1z ω-=，即22(4)(2)1x y -+-=又ωω的最小值即为原点到圆22(4)(2)1x y -+-=上的点距离的最小值，因为原点到点(4,2)=r=1，原点在圆外，所以ω的最小值即为1.考点：1.待定系数法；2.复数运算及相关概念；3.数形结合法25．（1）6；（2）p =或p =±【分析】（1）将134x i =+代入方程，将复数化为一般形式，利用复数相等可求得实数p 的值； （2）列出韦达定理，由121x x -=可得出关于p 的等式，由此可解得实数p 的值.【详解】（1）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的一根为134x i =+，所以，()()()()23434251832440i p i p p i +-++=-+-=，所以，1832440p p -=-=，解得6p ；（2）2100p ∆=-，由题意得121225x x p x x +=⎧⎨=⎩.若0∆≥，即2100p ≥，则121x x -===，解得p =；若∆<0，即100p <，由2250x px -+=，可得22210024p p x ⎫-⎛⎫⎪-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得12p x =+，22p x =，则121x x i -===，解得p =±.综上所述，p =或p =±【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）在解第一问时，可利用实系数的二次方程的两个虚根互为共轭复数来求解； （2）在解第二问时，应对二次方程是否有实根进行分类讨论，并结合韦达定理求解. 26．（1）1122z i =-+；（2）()1,3 【分析】（1）根据4142434,1,,1n n n n i i i i i i +++==-=-=得414243442340,n n n n i i i i i i i i n N +++++++=+++=∈，进而得2311122i i i z i i ++==-++； （2）由题得()()()2121321551a z z a a i a a -+=++-+-，再结合题意，根据复数的几何意义得()()2130512150a a a a a -⎧<⎪+-⎨⎪+-<⎩，解不等式组即可得答案. 【详解】解：（1）由于4142434,1,,1n n n n i i i i i i +++==-=-=，所以414243442340,n n n n i i i i i i i i n N +++++++=+++=∈，而201945043=⨯+， 所以()232019231111111222i i i i i i i i z i i i i --++++++-=====-++++； （2）()()()()22123232102510255151z z a i a i a a i a a a a ⎛⎫⎡⎤+=+-++-=++-+- ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭()()()21321551a a a i a a -=++-+-， 因为12z z +在复平面内对应的点在第三象限，所以()()2130512150a a a a a -⎧<⎪+-⎨⎪+-<⎩，解不等式组得：13a <<. 故实数a 的取值范围是()1,3【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义求参数，考查运算能力，是中档题.。

一、选择题1．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A ．2B 1C 1D ．3 2．当z =时，100501z z ++=（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -3．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i) 5．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2 B ．2 C ．12 D ．-16．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（ ）A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限 7．已知z 是纯虚数，21z i ＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i 8．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 10．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22iC ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 11．复数11i i +-的实部和虚部分别为a ，b ，则a b +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．若32a i i -+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．32二、填空题13．如果复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为__14．若复数z 满足||1z i -，则2z i +（i 为虚数单位）的最小值为______． 15．已知1i z z -=-+，则复数z =______.16．定义运算a cad bc b d =-，复数z 满足z 1i 1i i =+，则复数z =______.17．若12ω=+（i 为虚数单位），则3ω=_______. 18．已知复数()2a i z a R i+=∈+是纯虚数，则a 的值为__________. 19．若z 为复数，且22z z -=+，则|z －1|的最小值是________．20．若复数 z =21i i-,则3z i + =__________ 三、解答题21．复数1z 、2z 满足120z z ⋅≠，1212||||z z z z +=-，证明：21220z z <. 22．已知()()212162=10,25,,51z a i z a i a R i a a--=+-∈+-为虚数单位.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值； （2）求12z z ⋅的值.23．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值.24．设虚数z 满足2510z z +=+.（1）求z 的值；（2）若()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z . 25．已知复数z 1＝2＋a i (其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且21z 为纯虚数．(1)求实数a 的值；(2)若11iz z =-，求复数z 的模||z . 26．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根.(1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得x ma |1|11z i -+==， 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题． 2．D解析：D【分析】根据100501z z ++的结构特点，先由z =，得到()2212-==-i z i ，再代入100501z z ++求解. 【详解】因为z = 所以()221,2-==-i z i所以()()()2550250100,1=-=-=-=-=-z i i z i i ，所100501++=-z z i ，故选：D【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题. 3．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.4．A解析：A【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确；对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确；对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 5．C解析：C【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C.6．B解析：B【分析】首先分析题目，设z x yi =+，将其代入11z z -=+进行化简可得0x =，从而可得结论. 【详解】设z x yi =+，则11x yi x yi +-=++，即()()222211x y x y -+=++，解得0x =，所以z yi =，它对应的点在虚轴上. 故选B.【点睛】本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题. 7．D解析：D【分析】根据复数的运算，化简得到21[(2)(2)]12z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)，则＝＝＝ [(2－b )＋(2＋b )i]． ∵∈R ， ∴2＋b ＝0，解得b ＝－2，∴z ＝－2i.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8．B解析：B【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限．详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅- 22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 9．C解析：C【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i ,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.10．D解析：D【分析】 利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则22z ==，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -．11．A解析：A【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果.【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+， 所以0,1a b ==， 所以1a b +=，故选：A.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题思路如下：（1）利用复数除法运算法则先化简复数11i i+-； （2）确定出复数的实部和虚部各是多事； （3）进而求得a b +的值.12．C解析：C【分析】先化简复数，再利用纯虚数的定义求解.【详解】 由题得()(32)(32)(23)32(32)(32)13a i a i i a a i i i i -----+==++-， 因为32a i i-+为纯虚数， 则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =. 故选：C【点睛】结论点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈则0a =且0b ≠，不要漏掉了0b ≠.二、填空题13．【分析】先化简再解方程即得解【详解】由题得因为复数的实部和虚部互为相反数所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法运算考查复数实部虚部的概念意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析：23- 【分析】 先化简222(4)125bi b b i i ---+=+，再解方程224+055b b ---=即得解. 【详解】由题得2(2)(12)22(4)12(12)(12)5bi bi i b b i i i i -----+==++-， 因为复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数， 所以2242+0,553b b b ---=∴=-. 故答案为：23- 【点睛】 本题主要考查复数的除法运算，考查复数实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．【分析】设由知点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部表示点与点的距离数形结合即可得到答案【详解】设由可得此式表示复平面上的点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部此式表示点与点的距离故所以的最小值为故答案1【分析】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +，知点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，数形结合即可得到答案.【详解】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +可得22((1)1a b -++≤，此式表示复平面上的点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，故min 11PB AB =-==1.所以2z i +-1.1【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生数形结合思想以及数学运算求解能力，是一道中档题. 15．【分析】设根据得到再利用复数相等的条件列出方程组求得的值即可求解【详解】设则因为所以即根据复数相等的条件得解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的模的计算公式的应用其中解 解析：i -【分析】设()i ,z x y x y =+∈R ，根据1i z z -=-+，得到(i 1i x y +=-+，再利用复数相等的条件列出方程组，求得,x y 的值，即可求解.【详解】设()i ,z x y x y =+∈R，则z = 因为1i z z -=-+，所以i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+，根据复数相等的条件得11x y ⎧⎪-=-⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以i z =，所以i z =-. 故答案为：i -【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的模的计算公式的应用，其中解答中熟记复数模的计算公式和复数相等的条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16．【分析】根据新运算定义得到即运算化简即得解【详解】由得得故答案为：【点睛】本题考查了复数的四则运算考查了学生新概念理解数学运算的能力属于基础题解析：2i -【分析】 根据新运算定义，得到z 1i 1i i =+，即i i 1i z -=+，运算化简即得解. 【详解】 由z 1i 1i i =+，得i i 1i z -=+，得12i 2i iz +==-. 故答案为：2i -【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生新概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 17．-1【分析】先把转化为复数的三角形式再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可【详解】解：复数对应的点在第一象限则所以所以所以故答案为：-1【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及 解析：-1【分析】先把122ω=+转化为复数的三角形式，再利用复数三角形式乘法运算法则进行解题即可.【详解】解：复数122ω=+对应的点在第一象限，则1r ==，1cos 2θ=， 所以arg 3z π=，所以1cos isin 2233i ππω=+=+， 所以33cos sin cos isin 133333333i ππππππππω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：-1.【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的乘法运算法则，属于基础题.18．【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为再根据复数是纯虚数令实部为零虚部不为零求解【详解】因为复数又因为复数是纯虚数所以解得所以的值为故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算和概念还考查了运算求解的 解析：12- 【分析】 先利用复数的乘除法运算化简复数为()()1121255z a a i =++-，再根据复数z 是纯虚数，令实部为零，虚部不为零求解.【详解】 因为复数()()()()()()21121222255a i i a i z a a i i i i +-+===++-++-， 又因为复数z 是纯虚数， 所以()()11210,2055a a +=-≠， 解得12a =-， 所以a 的值为12-. 故答案为：12-【点睛】 本题主要考查复数的运算和概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.19．【分析】首先根据题意得到复数到的距离与到的距离相等即复数在虚轴上再设出计算的最小值即可【详解】因为复数满足所以在复平面内复数到的距离与到的距离相等即复数在虚轴上设所以的最小值为故答案为：【点睛】本题 解析：1【分析】首先根据题意得到复数z 到(2,0)-的距离与到(2,0)的距离相等，即复数z 在虚轴上.再设出z bi =，计算1z -的最小值即可.【详解】因为复数z 满足22z z -=+，所以在复平面内，复数z 到(2,0)-的距离与到(2,0)的距离相等.即复数z 在虚轴上，设z bi =，b R ∈.111z bi -=-+=≥， 所以1z -的最小值为1.故答案为：1【点睛】本题主要考查复数代数式的形式及其几何意义，同时考查学生的转化能力，属于中档题. 20．【解析】分析：先化简复数z 再求再求 的值详解：由题得所以故答案为：点睛：（1）本题主要考查复数的运算共轭复数和复数的模的计算意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力(2)复数的共轭复数【解析】分析：先化简复数z,再求3z i +，再求3z i + 的值. 详解：由题得2i 2i(1i)22i 1i 1i (1i)(1i)2z +-+====-+--+，所以31312,3z i i i i z i +=--+=-+∴+==点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数,z a bi =-||z =三、解答题21．见解析．【分析】通过复数的模相等，判断两个复数对应的向量垂直，然后设出复数比证明即可．【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由1212||||z z z z +=-知，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，∴12OZ OZ ⊥，故可设12z ki z =(k ∈R 且0k ≠)，∴22221220z k i k z ==-<. 【点睛】本题关键之处在于模长相等的处理，可以得到1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形． 22．（1）3；（2）3i -+.【分析】（1）求出12z z +，再根据复数的分类求出a 值；（2）写出共轭复数，然后由复数的乘法运算法则计算．【详解】（1）()2116105z a i a =--+，()22251z a i a=+--， ()()()()2212162162102525105151z z a i a i a a i a a a a ⎛⎫⎡⎤+=--++-=++--- ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭由题意知12z z +为实数， ∴()()225100,50,10,a a a a ⎧---=⎪⎨+≠⎪-≠⎩，解得3a =. （2）当3a =时，12z i =-，21z i =-+， 12z i =+， 则()()12213z z i i i ⋅=+-+=-+.【点睛】本题考查复数的加法、乘法运算法则，考查共轭复数的概念，考查复数的分类，属于基础题．23．(1) 12z i =-或2i z =-.(2) 3m =±，5n =.【分析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩， 所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题24．（1）5；（2）22i -或22-+. 【分析】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），根据条件2510z z +=+得出x 、y 所满足的关系式，从而可得出z 的值；（2）将复数()12i z -表示为一般形式，然后由题意得出实部与虚部相等，并结合2225x y +=，求出x 、y 的值，即可得出复数z .【详解】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），则()25252z x yi +=++，()1010z x yi +=++， 由2510z z +=+=2225x y +=，因此，5z ==； （2）()()()()()121222i z i x yi x y y x i -=-+=++-，由于复数()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则22x y y x +=-，所以22325y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此，i 22z=-或22i -+. 【点睛】 本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的几何意义，解题时要结合已知条件将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于中等题.25．（1）a ＝2．（2）|z |＝2．【分析】（1）根据复数的运算，求得21z 244a ai =-+，由21z 为实数，列出方程组，即可求解； （2）化简复数得2z i =，利用复数的模的计算公式，即可求解.【详解】(1)z ＝ (2 ＋ a i)2 ＝ 4－a 2 ＋ 4a i ，因为z 为纯虚数， 所以解得a ＝2.(2)z 1＝2＋2i ，z ＝＝＝＝2i ，∴|z |＝2.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念和复数的分类，其中解答中熟记复数的基本运算公式和复数的基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 26．(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【解析】【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程 ，又25w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=.（2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b += 又25w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。