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《弹性力学》第十一章 弹性波

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弹性波动理论

弹性波动理论

四、波动方程 若应力体内两相邻质点应力相同，无相对运动，静止平衡状态
若二者之间有应力差，产生波动
为研究弹性波动形成的物理机制和传播规律，须建立波的运动方程（波动方程）
波动方程: 研究介质中质点位移随时间和空间的变化规律。
在弹性理论中，对于均匀、各向同性、理想弹性介质中的三维波动方程式为
(
)
x
2u
2u t 2
一个体积为V的立方体，在流体静压力P的挤压下所发生体积形变。即每个正
截面的压体变模量（压缩模量）: 压力P与体积相对变化之比
P K=-
(1.7)
(4) 切变模量（μ）
切变模量（刚性模量）:表示了物体切应力与切应变之比
μ=
(1.8)
对于液体: μ=0，不产生切应变，只有体积变化。
(5) 拉梅常数（λ、μ） 弹性力学中：受力物体内任意点受力 沿坐标轴分为三个分力，每个分力 都会引起纵向和横向沿三个轴的应力与应变。
因此：振动图是描述地震波质点位移随时间的变化规律的图像。 图中： t1――初至，质点刚开始振动 △t――波（质点振动）的延续时间，△t的大小直接影响地震勘探的分辨率。
1.8 (a) 振动图 (b)波形记录
体波：纵、横波，在整个空间
面波：弹性分界面附近 瑞利面波：自由界面，地滚波，R波 特点：低频、低速，能量大（强振幅），旋转（铅垂面，椭圆，逆转）
天然地震中，危害极大 勒夫面波：低速带顶底界面，平行界面的波动，振动方向垂直传播方向，
SH波 特点：对纵波勘探影响不大，对横波勘探严重干扰
图1.5 (a)瑞雷面波的传播 (b)勒夫面波的传播
自然界中绝大部分物体，在外力作用下，既可显弹，也可显塑
地震勘探，震源是脉冲式的，作用时间很短（持续十几～几十毫秒），岩土受 到的作用力很小，可把岩、土介质看作弹性介质，用弹性波理论来研究地震波。

《弹性力学》第十一章 弹性波

《弹性力学》第十一章 弹性波
这种位移称为等容位移。而相应于这种位移状态的弹性 波就是等容波。
15
由于 e 0 ，故不计体力的运动微分方程，简化后得等
容波的波动方程：
2u 2 2 c u 2 2 t
2 2 2 c 2 2 t
2w 2 2 c w 2 2 t
E 其中 c2 2(1 )
v E
得

30
v钢 5130 m / s , v混凝土 3500 m/ s
31
c2 就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。
16
对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如下结论：
在弹性体中，形变、应力以及质点速度，都将和位移以相
同的方式与速度进行传播。
17
§11-3 纵波与横波
一、纵波 [定义] 弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向（图示）
纵波的传播形式
18
将x轴取为波的传播方向，则弹性体内任取一点的位 移分量都有：
11
[证]：在弹性体的任一点处，该点对z 轴的旋转量
u z x y u 将 代入，可得： y x
z 0
同理
x 0
y 0
即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零。 [得证]
12
在无旋位移状态下
u w e 2 x y z
然后介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运 动微分方程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传 播速度公式。
3
§11-1 弹性体的运动微分方程
本章仍然采用如下假设：
（1） 弹性体为理想弹性体。 （2） 假定位移和形变都是微小的。
上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假 设。因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程， 以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用

弹性波场理论基本概念介绍

弹性波场理论基本概念介绍

弹性波场理论基本概念介绍引言测绘是一门数学性很强的学科，许多数学的理论在测绘中应用非常的普遍。

如最小二乘法，最小范数法，回归分析法，各种曲线拟合法，蒙特卡罗法，模拟退火法，遗传算法，等等。

只要是在数学领域可以应用的方法，在测绘的实际应用中同样可以。

同时，测绘学科也是一门与地球物理紧密相关的学科，在地球物理中的很多理论方法在解决测绘问题中都起到了非常重要的作用。

如流体力学的应用，弹性力学的应用，等等。

本文主要是介绍一下地球物理学的关于弹性波场的理论，最后做了简要的展望。

弹性波场就是在弹性介质中传播的波。

弹性介质在外力或扰动的作用下会发生体积和形状的变化(称为形变)，产生所谓应变。

应变可分为纵向(或胀缩)应变和横向(或剪切)应变。

这些应变用弹性常数来表示。

当一扰动作用于均匀各向同性完全弹性介质时，在弹性介质内有胀缩应变的纵向位移形式向前传播的纵波存在，同时也有以剪切横向位移形式向前传播的横波存在。

纵波传播速度比横放传播速度快，在地震时纵波比横波先到。

地震波的实质就是地下岩石中传播的弹性波。

在地震波传播范围内绝大部分岩石都可以 近似地看成理想弹性体或完全弹性体。

因此弹性力学的许多理论和概念可以引人地震勘查中 来。

在这里我们重复了一些弹性力学的概念，是为了将它们引伸到地震勘查范围中来，着眼点是从地震勘查的角度描述这些基本概念。

一 应力和应变(一)应力当弹性体在外力作用下发生形变时，总有一种阻止弹性体形变，欲恢复弹性体原状的内力，这种内力称为内应力，简称应力。

应力可定义为单位面积上的内力。

注意，应力的量纲不是力的量纲而是单位面积上力的量纲，因此有的书将应力称为“胁强”。

根据力的分解定理，可将弹性体内任意方向的应力分解为垂直于单位面积的法向应力和 相切于单位面积的剪切应力。

描述弹性体内某一点M 的应力，在直角坐标系中常取一小平行六面体、六面体的每个面都垂直坐标轴(图1)，考虑这些面上的应力，可得九个应力分量，即法向应力xx σ，yy σ，zz σ剪切应力xy σ，xz σ，yx σ，yz σ，zx σ，zy σ。

弹性波动力学

弹性波动力学

学习意义：理解不同边界条件下的地震波波动方程的含义，理解各种弹性力学参数的物理意义并将参数和地下介质的岩性问题联系起来，最终为地震剖面的岩性解释服务。

刚体：变形忽略不计的物体弹性波：扰动在弹性介质中的传播波前面：波在介质中传播的某个时刻，介质内已扰动的区域和未扰动区域间的界面称为波前面地震波分类：纵波横波，平面波球面波柱面波，体波界面波表面波 哑指标：在同一项中重复两次从而对其应用求和约定的指标 自由指标：在同一项中出现一次因而不约定求和的指标各项同性张量：如果一个张量的每个分量都是坐标变换下的不变量，则称此张量为各项同性张量张量性质：二阶实对称张量的特征值都是实数：二阶实对称张量对应于不同特征值的两个特征向量垂直：二阶实对称张量总存在三个相互垂直的主方向：在主轴坐标系内二阶实对称张量的矩阵形式是对角形：三个相互垂直主方向的右手坐标系为主轴坐标系弹性：物体受外力时发生形变，外力消除时物体回到变形前的水平 弹性变形：在弹性范围内发生的可恢复原状的变形 弹性体：处于弹性变形阶段的物体弹性波动力学基本假设：物体是连续的：物体是线性弹性的：物体是均匀分布的：物体是各项同性的：小变形假设：无体物初应力假设 位形：弹性体在任意时刻所占据的空间区域参考位形：弹性体未受外力作用处在自然情况下的位形 运动：刚性平移，刚性转动，变形应变主方向：如果过p 点的某个方向的线源，在变形后只沿着他原来的方向产生相对伸缩主应变：沿着应变主方向的相对伸缩体力：连续分布作用于弹性体每个体元上的外力称为体力 面力：连续分布作用于弹性体表面上的力 运动微分方程的物理意义：表示应力张量在弹性体内部随点位置变化时应满足的关系式内能：弹性体在某个变形状态下，其内部分子的动能以及分子之间相互作用具有的势能总和应变能密度：单位体积内的弹性体所具有的应变能 广义胡克定律：线性弹性体内一点处的应力张量分量可以表示为该点处应变量张量的线性齐次方程动弹性模量：由介质的速度参数表达的弹性模量极端各向异性弹性体：过p 点任意方向都不同的弹性体粘滞力：实际流体中两层流体相互滑动流体间相互作用的阻力 理想流体介质：可以将粘滞力忽略的流体无旋波：无旋位移场的散度对应弹性体的涨缩应变场以波的形式传播（涨缩应变场）无散波：无散位移场的旋度对应弹性体的转动情况以波的形式运动平面波：波前面离开波源足够远时脉冲型和简谐型均匀和非均匀平面波 非频散波：波的传播速度仅仅依赖媒介密度拉美系数等而与波的频率无关 频散波：波的传播速度与频率有关频散：初始扰动的没一个简谐成分都以不同速度前进，从而初始波形在行进中发生了变化相速度：简谐波的传播速度群速度：由简谐波叠加而成的波其合成振幅的传播速度非均匀平面波：如果波的等位相面各点振幅不同，既等位相面和等振幅面不平行球面波：弹性媒质的位移矢量场具有球对称性，且只是空间变量和时间变量的函数 1、证明：kmjn kn jm im n ijk e e δδδδ-=；2、321321321n n n m m m i i i imne δδδδδδδδδ=3、321321321n n n m m m i i i ijkimn ijk e e e δδδδδδδδδ=4、kmjn kn jm knkm ki jn jm ji inim ii δδδδδδδδδδδδδ-==5、如果i i e a a =，ii e b b =，i i e c c=，证明：c b a b c a c b a )()()(∙-∙=⨯⨯；k ijk j i e e c b c b =⨯)()()(k ijk j i m m k ijk j i e e c b e a e e c b a c b a ⨯=⨯=⨯⨯n m kn ijk j i m k m ijk j i m e e e c b a e e e c b a=⨯=)(njn im jm in j i m n knm kij j i m e c b a e e e c b a)(δδδδ-==nn m m n m n m n n m m m n m e c b a e c b a e c b a c b a-=-=)(c b a b c a e c b a e b c a n n m m n n m m)()(∙-∙=-=分析：由于标量对坐标的选择无关，因此，如果证明了物理量在坐标变换前后相等，即可以认为此物理量是标量。

【优质】弹性波场理论基本概念介绍

【优质】弹性波场理论基本概念介绍

弹性波场理论基本概念介绍引言测绘是一门数学性很强的学科，许多数学的理论在测绘中应用非常的普遍。

如最小二乘法，最小范数法，回归分析法，各种曲线拟合法，蒙特卡罗法，模拟退火法，遗传算法，等等。

只要是在数学领域可以应用的方法，在测绘的实际应用中同样可以。

同时，测绘学科也是一门与地球物理紧密相关的学科，在地球物理中的很多理论方法在解决测绘问题中都起到了非常重要的作用。

如流体力学的应用，弹性力学的应用，等等。

本文主要是介绍一下地球物理学的关于弹性波场的理论，最后做了简要的展望。

弹性波场就是在弹性介质中传播的波。

弹性介质在外力或扰动的作用下会发生体积和形状的变化(称为形变)，产生所谓应变。

应变可分为纵向(或胀缩)应变和横向(或剪切)应变。

这些应变用弹性常数来表示。

当一扰动作用于均匀各向同性完全弹性介质时，在弹性介质内有胀缩应变的纵向位移形式向前传播的纵波存在，同时也有以剪切横向位移形式向前传播的横波存在。

纵波传播速度比横放传播速度快，在地震时纵波比横波先到。

地震波的实质就是地下岩石中传播的弹性波。

在地震波传播范围内绝大部分岩石都可以 近似地看成理想弹性体或完全弹性体。

因此弹性力学的许多理论和概念可以引人地震勘查中 来。

在这里我们重复了一些弹性力学的概念，是为了将它们引伸到地震勘查范围中来，着眼点是从地震勘查的角度描述这些基本概念。

一 应力和应变(一)应力当弹性体在外力作用下发生形变时，总有一种阻止弹性体形变，欲恢复弹性体原状的内力，这种内力称为内应力，简称应力。

应力可定义为单位面积上的内力。

注意，应力的量纲不是力的量纲而是单位面积上力的量纲，因此有的书将应力称为“胁强”。

根据力的分解定理，可将弹性体内任意方向的应力分解为垂直于单位面积的法向应力和 相切于单位面积的剪切应力。

描述弹性体内某一点M 的应力，在直角坐标系中常取一小平行六面体、六面体的每个面都垂直坐标轴(图1)，考虑这些面上的应力，可得九个应力分量，即法向应力xx σ，yy σ，zz σ剪切应力xy σ，xz σ，yx σ，yz σ，zx σ，zy σ。

弹性波的基本理论PPT课件

弹性波的基本理论PPT课件

Pn
lin
f s
df ds
第6页/共33页
因此应力的数学定义为：单位横截面上 所产生的内聚力称为应力。
根据力的分解定理，可以将力分解成 垂直于单元面积的应力—法向应力; 相切于单元面积的应力—切向应力（剪 切应力）。
第7页/共33页
正应力 x ，y，z 使介质产生纵波;切应力xy,xz, yz; ij 使介质产生横波,下脚标 i表示应力方向，j表示应力作用于垂 直于j轴的平面。
第3页/共33页
将速度v是空间连续变化函数的介质定义为连续介质。连续介质是层状 介质的一种极限情况。即当层状介质的层数无限增加，每层的厚度h无限减小， 层状介质就过渡为连续介质，如
v=v0(1+z) 叫线性连续介质。V0是表层介质的速度，z是深度，是速度随深度的变化率。
第4页/共33页
（一）应力与应变 应力：弹性体受力后产生的恢复原来
E f /s L / L
物理定义：杨氏弹性模量表示固体对所受 作用力的阻力的度量。
第12页/共33页
固体介质对拉伸力的阻力越大，则杨氏弹性模量越大，物体越 不易变形；反过来说，坚硬的不易变形的物体，杨氏弹性模量大。
第13页/共33页
•
在拉伸变形中，物体的伸长总是伴随着垂直方向的收缩，所以把
介质横向应变与纵向应变之比称泊松比，
一般岩石的泊松比为0.25左右。
第16页/共33页
设一物体，受到静水柱压力p 的作用，产 生体积形变，△v/v, 其中v是物体的原体 积， △v 是体积变化量。但形状未发生变 化。则这种情况下的应力与应变的比称为 体变模量。
K p v / v
第17页/共33页
• 指物体受剪切应力作用，并发生形状变化时，应力与应变之比。 如图所示，受剪切力为xy , 切变角为，则剪切模量为 = xy /

弹性波

某一弹性介质内的弹性波在传播到介质边界以前，边界的存在对弹性波的传播没有影响，如同在无限介质中传播一样，这类弹性波称为体波。体波传播到两个弹性介质的界面上，即发生向相邻弹性介质深部的折射和向原弹性介质深部的反射。此外，还有一类沿着一个弹性介质表面或两个不同弹性介质的界面上传播的波，称为界面波。如果和弹性介质相邻的是真空或空气，则界面波称为表面波。弹性波绕经障碍物或孔洞时还会发生复杂的绕射现象。
斯通利波
在两种不同介质的半空间体的交界面上传播的波称为斯通利波，因斯通利首先发现并研究这种波而得名。它是一种波速与两个介质的性质有关的变态瑞利波。斯通利波的存在与介质的弹性拉梅常数和介质密度有关。在两个介质的拉梅常数λ1、G1和λ2、G2满足λ1/G1=λ2/G2=1的情况下，存在条件如图所示，如果两个介质的密度ρ1和ρ2之比ρ1/ρ2和G1/G2在图示坐标系中对应的点落在曲线A和曲线B之间，斯通利波就存在。在地震学中，理论上已证明斯通利波是存在的，但尚未观测到。
式中为拉普拉斯算符；α和β分别为纵波波速和横波波速;嗞=嗞(x,y,z,t)为标量势；ψx=ψx(x,y,z,t)、ψy=ψy(x,y,z,t)、ψz=ψz(x,y,z,t)为矢量势φ(x,y,z,t)的三个分量。ψx、ψy、ψz统称为波函数，它们和嗞同坐标系中的三个位移分量u、v、w的关系为：
上述波动方程是根据下面的假设导出的：①弹性介质中各质点间的相对位移为无穷小量；②介质是完全线弹性的，即应力和应变之间呈均匀线性关系，服从胡克定律；③介质是各向同性的；④不计外力（如重力、体积力、摩擦力等）。
在精确理论发展的同时，近似解理论也得到发展。有限差分方法先被用于解决短杆中弹性波的传播问题，后被推广到一些复杂结构中波的传播问题。有限元法逐步用于研究弹性波问题，开始用于分析细杆中弹性波的传播，后用于分析各种结构（柱、板、壳体）中的波的传播以及层状介质、正交异性介质中的波的传播等。非线性弹性波的传播问题的研究也取得初步成果。

弹性动力学中的基本波

vudi??xxuex???xyuveyx??????xzuwezx??????yyvey???yzvwezy??????zzwez???222xxxxyyyyzzzzeee???????????????????????xzxzyzyzxyxyeee??????????????175174下面是本章要用到的第一章中的公式21弹性波控制方程一弹性波方程的导出弹性体的运动状态由弹性体每一点上的位移向量uu所决定
6、波动方程的定解问题
下面是本章要用到的第一章中的公式
xx 2 exx yy 2 eyy zz 2 ezz
u exx x
v eyy y
w ezz z
(1-74)
xz exz yz eyz xy exy
(2-19)
，并代入式（2-19），可得： 用E 和v 表示 、
2(1 ) 1 1 2
(2-20)
可见纵波速度大于横波速度。对自然界中常见的岩石 来说， ＝ ,即 =0.25。具有这种性质的物体称为 ＝1.73； 泊松体。对泊松体而言，

总结：在均匀各向同性完全弹性介质中，纵波和横 波彼此独立存在和传播，在非均匀介质中，纵波和横波 彼此不能分开、独立传播，即纵波能产生横波，横波也 能产生纵波。 2 VS VP 拉梅方程
u u p us grad curl
（2 －3 ）
其中 和 称为位移位， 为标量位， 为向量位。
up为标量位的梯度，其旋度为零，称为无旋场；us为向
量位的旋度，其散度为零，称为无散场；即
curl ( grad ) 0 div(curl ) 0
（2－4）

弹性力学知识点总结

弹性力学知识点总结弹性力学是力学的一个重要分支，研究固体物体的变形和回复过程。

在本文中，将对弹性力学的几个重要概念和原理进行总结和介绍。

1. 弹性模量弹性模量是衡量固体物体抵抗形变的能力的物理量。

根据胡克定律，弹性模量E可以通过应力σ和应变ε的比值得到：E = σ/ε。

其中，应力表示受力物体单位面积上的力的大小，应变表示物体在应力作用下产生的形变程度。

2. 胡克定律胡克定律是弹性力学的基本原理，描述了理想弹性体在弹性应变范围内的力学行为。

根据胡克定律，应变与应力成正比。

即ε = σ/E，其中E为杨氏模量。

3. 杨氏模量杨氏模量是衡量固体材料抗拉性能的物理量，表示固体在单位面积上受到的拉力与单位长度的伸长量之比。

杨氏模量的定义为：E =F/AΔL/L0，其中F为受力物体的拉力，A为受力物体的横截面积，ΔL为拉伸后的长度增量，L0为原始长度。

4. 泊松比泊松比是衡量固体材料体积收缩性的物理量。

泊松比定义为物体在一轴方向上受力引起的形变量与垂直方向上的形变量之比。

公式表示为：μ = -εlateral/εaxial。

5. 应力-应变关系弹性力学中的应力-应变关系描述了材料在受力作用下的力学行为。

对于弹性材料，应力与应变成线性关系，即应力和应变成比例。

6. 弹性极限弹性极限是指固体材料可以弹性变形的最大程度。

超过弹性极限后，材料将会发生塑性变形。

7. 弹性势能弹性势能是指物体在形变后能够恢复到初始状态的能力。

弹性势能可以通过应变能来表示，其大小等于物体在受力作用下形变所储存的能量。

8. 弹性波传播弹性波是在固体中传播的一种机械波。

根据介质的不同，弹性波可以分为纵波和横波。

9. 斯内尔定律斯内尔定律描述了弹性力学体系中应力与应变之间的关系。

根据斯内尔定律，弹性变形是由应力和应变之间的线性关系所描述的。

10. 压力容器设计弹性力学在压力容器设计中起着重要作用。

根据弹性力学的原理，可以计算压力容器在不同压力下的变形情况，从而设计出满足安全要求的容器结构。

【冲击动力学】第4讲 弹性动力学和弹性波


无体力作用下的弹性动力学方程
E 1
2(1 ) 1 2e x2u2u t 2
E 1
2(1
)
1
2
e y
2
v
2v t 2
E 1
2(1 ) 1 2
e z
2
w
2w t 2
2021/4/3
纵波和横波
静力平衡下的弹性体受到载荷作用时,并不是弹性体的所有部分立刻产生位移、 应力等,而是随着时间的流逝,位移、应力等以波动的形式以一定的速度逐渐 传播的。下面我们介绍两种主要的弹性波：无旋波（纵波）和等容波（横波）
u 0,t
1 2
f
ct
f
ct
+
1 2c
ct
ct
g
s ds
1 2
f
ct
f
ct
+
1 2c
ct
ct
g
s ds
0
Example 2
• For an infinite rod, if the initial displacement and the initial velocity are even functions, then:
ux
x,t
1 2
f
x
ct
f
x
ct
+
1 2c
g
x
ct
g
x
ct
f x f x f x f x
f x f x f x f x
ux
x,t
1 2
f
x
ct
f
x
ct +
1 2c
g
x
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E (1 ) 令：c1 (1 )(1 2 )
则上式简写成
2ur 2 ur 2ur 1 2ur r 2 2 0 2 r r r r c1 t
假定
（a）
ur r
27
则 (r, t ) 是位移的势函数。代入（a）式得
3 2 2 2 1 2 2 2 2 0 3 2 r r r r r c1 t r
2u E 1 e 2 ( u) 2 t 2(1 ) 1 2 x
2 E 1 e 2 ( ) 2 t 2(1 ) 1 2 y
2w E 1 e 2 ( w) 2 t 2(1 ) 1 2 z
E (1 ) 其中 c1 (1 )(1 2 )
c1 就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度
14
二、等容波 所谓等容波是指在弹性体内，波动所产生的变形中体积应 变为零 。即弹性体中任一部分的容积（即体积）保持不变。 假定弹性体的位移u,v,w满足体积应变为零的条件，即：
u w e 0 x y z
然后介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运 动微分方程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传 播速度公式。
3
§11-1 弹性体的运动微分方程
本章仍然采用如下假设：
（1） 弹性体为理想弹性体。 （2） 假定位移和形变都是微小的。
上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假 设。因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程， 以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用
显然，球面波的传播速度等于 c1 (球面波是无旋波）。f 1 表示由内向外传播的球面波， f 2 表示由外向内传播的球面 波。
29
练习11.1 什么是弹性波？研究弹性波有何意义？ 答：（略） 练习11.2 已知钢的弹性模量E=210GPa，密度=7950kg/m3,
混凝土的弹性模量E=30GPa， 密度=2400kg/m3 ,问在此两 种材料杆中纵波的传播速度。 解： 由纵波在一维直杆中的传播速度公式
E(1 ) d 2ur 2 dur 2 ( 2 2 2 ur ) k r 0 (1 )(1 2 ) dr r dr r
ur ur (r，而不计体力时，用径向惯性力 , t) 此时， 2u r 2 代替 kr ， t
26
即得：
E(1 ) 2ur 2 ur 2ur 2u r ( 2 2 ) 2 0 (1 )(1 2 ) r r r r t
c2 就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。
16
对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如下结论：
在弹性体中，形变、应力以及质点速度，都将和位移以相
同的方式与速度进行传播。
17
§11-3 纵波与横波
一、纵波 [定义] 弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向（图示）
纵波的传播形式
18
将x轴取为波的传播方向，则弹性体内任取一点的位 移分量都有：
整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波（如图b），其 传播速度为波动方程的系数 c1 。
f1
b
a c t 1 (a)
c
x
c1t
(b)
c1t
22
二、横波
[定义] 弹性体的质点运动方向垂直于弹性波的传播方向。
横波的传播形式
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仍然将x轴放在波的传播方向，y轴为质点位移方向，则 弹性体内任取一点的位移分量都有
v E
得

30
v钢 5130 m / s , v混凝土 3500 m/ s
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u u ( x, t )
从而 而
0
w0
u e x
e 2u x x 2
2 u 2 u 2 x
e 0 y
e 0 z
0
2
2 w 0
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代入不计体力的运动微分方程，可见其第二、第三式成为
恒等式，而第一式简化为：
2 2u u 2 c1 2 t x 2
f1 ( x c1t c1t )
如果令 x1 x c1t ，则函数可写为
f1 ( x1 c1t ) ，其形式 同原函数 f1 ( x c1t ) 完全类同，只是横坐标发生平移 c1t
见图。因此
f1 ( x c1t ) 表示以速度c1 向x轴正向传播的波。
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同理
f 2 ( x c1t ) ，表示以同样速度 c1 向x轴负向传播的波。
2w 2 t
其中ρ为弹性体的密度。
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由平衡关系，并简化后得：
x yx zx 2u X 2 0 x y z t
y 2 Y 2 0 y z x t zy xy
z xz yz 2w Z 2 0 z x y t
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§11-2 无旋波与等容波
一、无旋波
所谓无旋波是指在弹性体中，波动所产生的变形不存在旋 转，即弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零。
假定弹性体的位移u,v,w可以表示成为：
u x
y
w z
其中 ( x, y, z, t ) 是位移的势函数。这种位移称为无旋位 移。而相应于这种位移状态的弹性波就称无旋波。
上式称为弹性体的运动微分方程。它同几何方程和 物理方程一起构成弹性力学动力问题的基本方程。
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注1：几何方程 u x x
y y
yz
zx
xy
w y z
u w z x
u x y
w z z
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注2：物理方程
(1 ) E 其中 c1 (1 )(1 2 )
c1 为纵波在弹性体中的传播速度。
显然纵波的传播速度与无旋波相同。事实上，纵波就是 一种无旋波。
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纵波波动方程的通解是：
u( x, t ) f1 ( x c1t ) f 2 ( x c1t )
该通解的物理意义：以其第一项为例，函数 f1 ( x c1t ) 在某 一个固定时刻将是x的函数，可以用图(a)中的曲线abc表示 （假设是这种形状），在 t 时间之后，函数变为：
u0
从而
( x, t )
2
w0
2 2 2 w0 u0 而 2 x 代入不计体力的运动微分方程，可见其第一、第三式成为恒 等式，第二式简化为：
e0
2 2 2 c2 2 t x 2
E c2 2(1 )
c2 为横波在弹性体中的传播速度。由于横波的体积应变
由于
（b）
3 2 2 2 1 2 r 3 2 2 r r r r r r r r
2 t 2 r
2 t 2 r

所以（b）式可写成
1 2 1 2 0 r 2 2 2 r r r c1 r t
1 x [ x ( y z )] E
yz
zx
2(1 ) yz E
2(1 ) zx E
1 y [ y ( z x )] E
1 z [ z ( x y )] E
xy
2(1 ) xy E
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由于位移分量很难用应力及其导数来表示，所以弹 性力学动力问题通常要按位移求解。将应力分量用位移 分量表示的弹性方程代入运动微分方程，并令：
得：
u w e x y z
2 e u 2 u) X 2 0 x t 2 e 2 ) Y 2 0 y t 2 e w 2 w) Z 2 0 z t
于讨论动力问题的任一瞬时，所不同的仅仅在于，静力
问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替。
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对于任取的微元体，运用达朗伯尔原理，除了 考虑应力和体力以外，还须考虑弹性体由于具有加 速度而产生的惯性力。每单位体积上的惯性力在空 间直角坐标系的x,y,z方向的分量分别为:
2u 2 t
2 2 t
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对r积分一次，得：
由于令F(t)=0，并不会影响位移 ur ，因此上式可简写成为：
2 2 2 r r c 1 2 2 t r
1 2 1 2 r 2 2 F t 2 r r c1 t
它的通解是：
r f1 r c1t f 2 r c1t
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E 1 ( 2(1 ) 1 2 E 1 ( 2(1 ) 1 2 E 1 ( 2(1 ) 1 2
这就是按位移求解动力问题的基本微分方程，也称 为拉密（Lame)方程。 要求解拉密方程，显然需要边界条件。除此之外， 由于位移分量还是时间变量的函数，因此求解动力问题 还要给出初始条件。 为求解上的简便，通常不计体力，此时弹性体的运 动微分方程简化为：
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[证]：在弹性体的任一点处，该点对z 轴的旋转量
u z x y u 将 代入，可得： y x
z 0
同理
x 0
y 0
即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零。 [得证]
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在无旋位移状态下
u w e 2 x y z
从而
e 2 2 2u x x x
e 2 y
e 2w z
同理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
将上三式代入不计体力的运动微分方程，并简化后 得无旋波的波动方程
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2u 2 2 c u 1 2 t
2 2 2 c 1 2 t