第六章-弹性波波动方程及其解ppt课件

注意： a）（ y与x的区别
(b) 波的传播 u与速 质度 点振v的 动区 速别 度
u波速，由媒质周确 期性定 函数
vyAsin[(tx)]质元振动速度
t
u
12
例1 一平面简谐波沿 Ox轴正方向传播，
已知振幅 A1.0m，T 2.0s，λ2.0m. 在 t 0
时坐标原点处的质点在平衡位置沿 Oy 轴正向 运动. 求：(1)波动方程；(2)t 1.0s波形图； (3) x0.5m 处质点的振动规律并作图.
E E k E p V2A 2s2 i[n (t u x )]
• 任何时刻介质元的动能与势能相等
• 总能量在0-Emax间周期性变化 • 波是能量传播的一种形式
yAco ts 2 ( l2 x0)
yAcos(t (xl)0)
17
2、如图所示，一平面简谐波沿X轴正向传播，已知
O点的振动方程为 yo Aco2 s( t) ，BC为两种
介质的分界面，入射波在Q点反射，OQ=l。设
波反射时无相位突变，且透射波可忽略不计，
则反射波在坐标为X的P点的表达式为：
（A） yAco2s(t x)； y
t
u
E k1 2 VA 22si2 n (tu x)
19
介质元势能
Ep
1 2
k (dy ) 2 ; u
E ; dy Aw sin[ w (t x ) ]
dx u
u
F E dv s dx
E
F /s dv
kdy / s dy / dt
kdxdt s
k Es dxdt
dx
dx
Ep
波动
1
机械波的产生
产生条件： ·存在振源—产生机械波 ·有弹性介质—传播 波的本质：传播振动状态， 也是传播能量的一种方式。

大学物理波动课件引言波动是物理学中的一个重要概念，涉及到的领域广泛，包括声波、电磁波、机械波等。

本文旨在介绍大学物理中波动的基本概念、波动方程、波动特性以及波动在各个领域的应用，以帮助读者更好地理解和掌握波动知识。

一、波动的基本概念1.1波的定义波是一种能量传递的方式，它是由振源产生的振动在介质中传播的过程。

波可以分为两大类：机械波和电磁波。

机械波需要介质来传播，如声波和水波；而电磁波不需要介质，可以在真空中传播，如光波和无线电波。

1.2波的参数波的参数包括波长、波速、频率和振幅。

波长是相邻两个波峰（或波谷）之间的距离，通常用λ表示；波速是波在介质中传播的速度，通常用v表示；频率是单位时间内通过某一点的完整波的个数，通常用f表示；振幅是波的振动幅度，即波的最大偏离度。

二、波动方程2.1机械波方程机械波的波动方程可以表示为：y=Asin(2πft2πx/λ+φ)其中，y表示介质中某一点的位移，A表示振幅，f表示频率，λ表示波长，x表示该点距离振源的距离，φ表示初相位。

2.2电磁波方程电磁波的波动方程可以表示为：E=E0sin(2πft2πx/λ+φ)其中，E表示电场强度，E0表示振幅，其他参数与机械波方程相同。

三、波动特性3.1干涉干涉是指两个或多个波相遇时，它们的振动叠加产生的现象。

当两个波峰相遇时，振动加强；当波峰与波谷相遇时，振动减弱。

干涉现象广泛应用于光学、声学等领域。

3.2衍射衍射是指波传播过程中遇到障碍物或通过狭缝时，波的传播方向发生改变的现象。

衍射现象广泛应用于光学、声学等领域，如光栅、声呐等。

3.3折射折射是指波从一种介质传播到另一种介质时，波的传播方向发生改变的现象。

折射现象广泛应用于光学领域，如透镜、棱镜等。

3.4反射反射是指波遇到界面时，部分能量返回原介质的现象。

反射现象广泛应用于光学、声学等领域，如镜子、回声等。

四、波动应用4.1声学领域波动在声学领域有着广泛的应用，如声音的产生、传播、接收和利用。

x u
)+j
t = t 1+Δ t y´= A cos ω ( t 1+Δ t
x u
)+j
y
..
y y´ 1
O x ut
t
x´
令 y1=y´ 得：x ´= x +uΔ t 这表示相应于位移y1的相位，向前传播了
uΔt的距离。
三、波动方程的一般形式
y = A cos ω ( t
x u
)+j
质点的振动速度：
可以证明对于无吸收的各向同性的均 匀介质，在三维空间传播的一切波动过程
都满足下列方程：
ξ2
ξ2
ξ2
1 ξ2
x 2 + y 2 + z 2 = u2 t 2
ξ 质点的位移
谢谢观看！
二、波动方程的物理意义
1. x =x 1 (常数)
y = A cos ω ( t
x1 u
)+j
y
o
t
表示 x1 处质点的振动方程
2. t = t 1 (常数) y
o
x
y = A cos ω ( Fra bibliotek 1x u
)+j
表示在 t 1 时刻的波形
3. t 与 x 都发生变化
t = t1
y1 = A cos ω ( t 1
平面简谐波的波动方程为:
y = A cos ω ( t
x u
)+j
y
=
A cos
2π
(
t T
x
l
)+j
波动方程的 另外几种形式：
y = A cos 2π (n t

一、波动方程
7.2.3 一维势垒的简单讨论 粒子在I区，具有能量E>0。各区 的势垒如下，求粒子在各区出现 的几率。
0 (0<x<x1) [I区] V＝
V2>E (x1<x<x2) [II区]
0 (x>x2) [III区]
一、波动方程 列出此问题的薛定谔方程：
2 d 2u V x u Eu 2 2m dx d 2u 2m 2 V E u 2 dx
此方程比较难解，令 x,
2
2
(1)
mk 2
4
那么
d 2u 2mE mk 2 2 2 2 4 u 0 2 d
(2)
一、波动方程 令括号内第二项的常数部分为1，用λ代替括号内第一项，那么 2化简为：
d 2u 2 u 0, 2 d
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要 描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方 程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
px i x
所以动量px可以用算符 i 来表示。同理有 x
p y i y
pz i z
一、波动方程
那么
p p p p 2 2 2 x y z 2 2
2 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2
波函数两边取对t的偏导
i E , t

波动方程和行波法剖析课件
目录 Contents
• 波动方程的基本概念 • 行波法的基本原理 • 波动方程的解析解法 • 波动方程的数值解法 • 行波法的应用实例
01
波动方程的基本概念
பைடு நூலகம்
波动方程的定义
波动方程
描述波动现象的基本数学模型，通常 用于描述物理场（如声场、电磁场、 水波等）随时间和空间的变化规律。
03
最后，通过迭代求解差分方程 ，得到波在每个网格点上的值 ，从而得到波的传播和演化过 程。
行波法的优缺点
优点
行波法简单易懂，易于编程实现，能够处理复杂的边界条件和初始条件，适用 于求解各种类型的波动方程。
缺点
行波法需要设定初始条件和边界条件，对于某些复杂的波动问题可能需要较高 的计算成本和精度要求。
水波传播的模拟
要点一
总结词
利用行波法模拟水波的传播，有助于研究水波的形成、演 化及对环境的影响。
要点二
详细描述
在水波传播的模拟中，行波法能够模拟水面的波动情况， 包括波浪的生成、传播和消散。通过调整参数，可以研究 不同条件下水波的传播规律，如风速、水深、地形等，对 于水文学、海洋学等领域具有重要意义。
03
波动方程的解析解法
分离变量法
将波动方程的解表示为若干个变量的 乘积或商的形式，以便分别求解。
VS
分离变量法是一种求解波动方程的常 用方法。通过假设波动方程的解可以 表示为若干个变量的乘积或商的形式 ，我们可以将一个复杂的偏微分方程 转化为若干个简单的常微分方程，从 而方便求解。
积分变换法
利用积分变换将波动方程化为易于求解的形式，再进行逆变换得到原方程的解。
地震学
用于模拟地震波的传播和反射，进行地震预 测和地球结构研究。

03
电磁波
13
麦克斯韦电磁场理论
2024/1/24
变化的电场产生磁场
01
麦克斯韦通过理论推导，得出变化的电场会在其周围空间产生
磁场，这是电磁波产生的理论基础。
变化的磁场产生电场
02
同样地，变化的磁场也会在其周围空间产生电场，这种相互产
生的电磁场就是电磁波。
电磁波的传播
03
电磁波的传播不需要介质，可以在真空中传播，传播速度等于
该表达式描述了波的振动状态和传播特性。
2024/1/24
11
惠更斯原理与波的衍射
惠更斯原理
介质中任一波面上的各点，都可以看 做发射子波的波源，其后任意时刻， 这些子波在波前进方向的包络面就是 新的波面。
波的衍射
波在传播过程中遇到障碍物或小孔后 通过散射继续传播的现象。
2024/1/24
12
2024/1/24
VS
波动能量传输的机制
在波动过程中，介质中的质点受到周期性 变化的力的作用而做受迫振动，从而将能 量从波源传输到远处。这种能量传输方式 具有方向性和连续性。
2024/1/24
27
06
非线性波动与现代光学技 术
2024/1/24
28
非线性波动概述及特点
非线性波动定义
描述物理量之间非线性关系的波动现象。
《大学物理波动学》ppt课件
2024/1/24
1
contents
目录
2024/1/24
• 波动学基本概念与原理 • 机械波 • 电磁波 • 干涉与衍射现象 • 多普勒效应与波动能量传输 • 非线性波动与现代光学技术
2
01
波动学基本概念与原理

01波动基本概念与分类Chapter波动定义及特点波动定义波动特点机械波电磁波物质波030201波动分类与举例波动方程简介一维波动方程三维波动方程波动方程的解02机械波Chapter机械波形成条件与传播方式形成条件振源、介质、振动方向与波传播方向关系传播方式横波（振动方向与波传播方向垂直）与纵波（振动方向与波传播方向平行）波前与波线波前为等相位面，波线为波的传播方向01020304机械波传播过程中，介质质点不断重复着振源的振动形式周期性振源振动的最大位移，反映波的能量大小振幅相邻两个波峰或波谷之间的距离，反映波的空间周期性波长单位时间内波传播的距离，与介质性质有关波速机械波性质与参数描述平面简谐波及其表达式平面简谐波波动方程波动方程的解03电磁波Chapter电磁波产生原理与传播特性电磁波产生原理电磁波传播特性电磁波谱及其应用电磁波谱电磁波应用电磁波在介质中传播规律折射定律反射定律透射定律衰减规律04光学波动现象Chapter干涉现象及其条件分析干涉现象的定义和分类01干涉条件的分析02干涉现象的应用03衍射现象及其规律探讨衍射现象的定义和分类衍射规律的分析衍射现象的应用偏振现象的定义和分类偏振是光波中电场矢量的振动方向相对于传播方向的不对称性。

根据光波中电场矢量的振动方向不同，偏振可分为线偏振、圆偏振和椭圆偏振等。

要点一要点二偏振规律的分析偏振现象遵循一定的规律，如马吕斯定律、布儒斯特定律等。

这些规律揭示了偏振光在传播过程中的特点和变化规律。

偏振现象的应用偏振现象在光学、光电子学等领域有着广泛的应用。

例如，利用偏振片可以实现光的起偏和检偏；利用偏振光的干涉和衍射可以制作各种光学器件和测量仪器；同时，偏振也是液晶显示等现代显示技术的基本原理之一。

要点三偏振现象及其应用研究05量子力学中波动概念引入Chapter德布罗意波长与粒子性关系德布罗意波长定义01粒子性与波动性关系02实验验证03测不准原理对波动概念影响测不准原理内容对波动概念的影响波动性与测不准原理关系量子力学中波动方程简介薛定谔方程波动函数的物理意义波动方程的解与粒子性质06波动在科学技术领域应用Chapter超声技术声音传播利用高频声波进行无损检测、医学诊断和治疗等。

t 1.0s
波形方程
y 1.0 cos( π - π x) 2
1.0 sin(π x)
y/m
1.0
o
2.0
x/m
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图
第二节 波动学基础
3） x 0.5m 处质点的振动规律并做图 . y (1.0m) cos[2 π( t - x ) - π] 2.0s 2.0m 2
x 0.5m 处质点的振动方程
y (1.0m)cos(π t - π)
y
y/m
3
1.0
3*
2
4
4O
2
0 * 1.0 * 2.0 * t / s
1 -1.0*1
*
x 0.5 m 处质点的振动曲线
第二节 波动学基础
讨 论 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向
和 x 0 点的初相位.
y -Acos2π ( t - x )
-
x)
2π T 2π
C
B
u B
TC
2π d dC
第二节 波动学基础
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示，
求 O、a、b、c 各
点振动初相位.
(-π ~ π )
t =0 A y
Oa
-A
A
O
y o π
O
A
O
y
a
π 2
O A
u
b c
A
y
y
t=T/4
x
b 0
c
-π 2
§8.5 波的干涉与衍射
波程差 r2 - r1
k k 0,1,2,
A A1 A2 振动始终加强
3 ) (k 1 2) k 0,1,2,

VS
特征量
包括振幅 $A$、角频率 $omega$、相位 $varphi$，分别表示振动的幅度、快慢和 初始状态。
简谐振动能量转换
动能与势能转换
在简谐振动过程中，物体的动能和势能不断 相互转换，总机械能保持不变。
能量守恒
简谐振动的能量在动能和势能之间相互转换， 但总能量保持不变，遵守能量守恒定律。
节。
03
液晶显示技术
液晶显示技术利用偏振光和液晶分子的特性实现对光的调制。通过控制
液晶分子的排列方式，可以改变偏振光的透过率，从而实现对图像的显
示和控制。
05
多普勒效应与声波传播特 性
多普勒效应产生原因及公式推导
产生原因
波源与观察者之间存在相对运动，导 致观察者接收到的波的频率发生变化。
公式推导
THANKS
感谢观看
振动的分类
根据振动的性质可分为简谐振动、 阻尼振动、受迫振动等。
简谐振动模型建立
弹簧振子模型
由弹簧连接的质量块在平衡位置附近 的往复运动，是简谐振动的理想模型。
单摆模型
在重力作用下，摆球绕固定点做小幅 度的摆动，可近似看作简谐振动。
简谐振动方程与特征量
简谐振动方程
描述物体简谐振动的数学表达式，一般为 $x=Acos(omega t+varphi)$。
混沌在自然界和人类社会中表现
自然界中的表现
混沌现象在自然界中广泛存在，如气候变化、地震、湍流等都是混沌现象的典型例子。
人类社会中的表现
人类社会中的许多复杂系统也表现出混沌现象，如股票市场、交通系统、社交网络等。
混沌的利与弊
混沌现象既有利也有弊。一方面，混沌现象可以带来创新和变革，如艺术创作和科学研究中的灵感常常 来源于混沌；另一方面，混沌现象也可能导致不可预测的风险和危机，如金融危机和自然灾害等。

又 • u • uS 0



2

代入纳维方程 ( )( • u ) u f u




uS f uS

2 2
VS uS f uS
2

vs

结论：在均匀各向同性弹性体内，切变扰动以速度VS向
(4)
(5)
式u j , ji (ui , jj u j ,ij ) f i ui即为位移在弹性体
内传播时所满足的方程 .称为纳维 ( Navier)方程.
纳维方程是线性弹性假设条件下得到的各向同性弹性体中
的弹性波最基本方程。
指标表示的纳维方程 ( )u j , ji ui , jj f i ui
§6.1 线性弹性动力学的基本方程
1.
基本方程
➢
➢
运动微分方程 ji , j
几何方程
1
eij (ui , j u j ,i )
2
2 ui
f i 2
t
u1
e11
x1
u2
e22
x2
u
e33 3
x3
1 u1 u2
e12 (

)
2 x2 x1
v p t
上式表示波场是以速度VP向外传播的无旋场。

转动矢量表示的横波方程



2
( )( • u ) u f u两边取旋度

2




(


u
)
( )( ( • u )) 2 ( u ) ( f )

2 E 1 e ( 2 ) 2 t 2 (1 ) 1 2 y
2 E 1 e ( 2w) 2 t 2 (1 ) 1 2 z
一、无旋波 所谓无旋波是指在弹性体中，波动所产生的变形不存在旋转， 即 弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零。 假定弹性体的位移 u,v,w 可以表示成为：
纵波波动方程的通解是：
u( x, t ) f1 ( x c1t ) f 2 ( x c1t )
二、横波 [定义] 弹性体的质点运动方向垂直于弹性波的传播方向。
横波的传播形式
由于横波的体积应变 e=0，故横波为等容波。
这就是按位移求解动力问题的基本微分方程， 也称为拉密 （Lame) 方程。 要求解拉密方程，显然需要边界条件。除此之外，由于位移分量 还是时间变量的函数，因此求解动力问题还要给出初始条件。 为求解上的简便，通常不计体力，此时弹性体的运动微分方程简 化为：
2u E 1 e ( 2u ) 2 t 2 (1 ) 1 2 x
z
1 [ z ( x y )] E
1 E
xy
2 (1 ) xy E
由于位移分量很难用应力及其导数来表示， 所以弹性力学动力问 题通常要按位移求解。 将应力分量用位移分量表示的弹性方程代入运 动微分方程，并令：
e
得到：
u w x y z
弹性波
概述： 当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时， 并不是在弹性体的 所有各部分都立即引起位移、形变和应力。在作用开始时，距荷载作 用处较远的部分仍保持不受干扰。 在作用开始后， 荷载所引起的位移、 形变和应力，就以波动的形式用有限大的速度向别处传播。这种波动 就称为弹性波。 本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程， 然后介绍弹性 波的几个概念，针对不同的弹性波，对运动微分方程进行简化，最后 给出波在无限大弹性体中传播速度公式。 本章仍然采用如下假设： （1） 弹性体为理想弹性体。 （2） 假定位移和形变都是微小的。 上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假设。因此， 在 静力问题中给出的物理方程和几何方程， 以及把应力分量用位移分量 表示的弹性方程，仍然适用于讨论动力问题的任一瞬时，所不同的仅 仅在于，静力问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替。 对于任取的微元体，运用达朗伯尔原理，除了考虑应力和体力以 外，还须考虑弹性体由于具有加速度而产生的惯性力。每单位体积上 的惯性力在空间直角坐标系的 x,y,z 方向的分量分别为:

＝
2π
2π
d ＝Cd
C (本题结束)
判断各点运动 方向的技巧
上坡下行
例题：有一列横波向右
下坡上行
传播， 画出波形曲线上 A、B 、C 、D 、E 、F 各 点的运动方向和四分之
y C· B· ·D
u
一周期后的波形曲线。
· A 0
T 4
E·
·F
x
特别要注意：波的传播方向，这是关键。
例题：图（a）中所表示的x ＝0 处质点振动的初相位
y(m) 0.04
0
－0.04
u＝0.08 m/s
.a
b.
0.2
0.4
x (m)
例题：一列沿x 正向传播的简谐波，已知t1=0和
t2=0.25s时的波形如图。
试求： （1）振动方程 （2）波动方程 （3）作出波源振动曲线。
（练习册P32计算题3·版书）
y(m)
u
0.02m
t1 t2
..
.
0
P
x (m)
置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
波波
函 数
动 方 程
y
=A
cos ω
(
t－
x
u
)
+j
波向x 轴正方向 传播也称右行波
波向x 轴负方向 传播也称左行波
y
=A
cos
ω
(
t
＋
x
u
) +j
物理意义：波线上任一点（距原点为 x）处 的质点任一瞬间相对其平衡位置的位移。
当波向x 轴正方向传播而且已知 距离0点为xo的Q点振动方程为：
与图（b）所表示的振动的初相位分别为：

2
一、波动方程
薛定谔方程
氢原子中的电子非相对论能量动量关系：
E p / 2m V (r )
2
把式中的能量E和动量P换成相应的算符，并作用在波函数上：
i 2 V (r ) t 2m
2
再用它算氢原子，结果对了，这就是薛定谔猜到的薛定谔方程。
ˆ 一般写成： i H t
ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2
(3)
(4)
一、波动方程
3+4：
3-4：
ka 2u 2C cos 0 2 ka (1,3,5,...) 2 2 k
n 0,1, 2,...
(7)
7式给出能量算符 H的本征值，是简谐振子的量子化能级。能 级差为hν，最低能级是 hν/ 2 而不是0！ 许多物理问题可以简化为简谐振子问题，这一结果具有普遍 意义。 例如电磁振荡可以分解为一系列的简谐振动，所以辐射场的 能量子是一份一份的，每一份的能量为hν，这就是普朗克假 设的物理本质。
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要 描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方 程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
一、波动方程
在红色区域V＝∞，1式写为：
d 2 u 2m 2 2 V E u u; 2 dx

13
电磁波能量传递与衰减
能量传递
电磁波传递能量时，其能量与振幅的平方成正比。在传播过程中，电磁波的能量可以转化为其他形式的能量，如 热能、机械能等。
衰减
电磁波在传播过程中会受到各种因素的影响而逐渐减弱，如空气的吸收、物体的反射和折射等。衰减的程度取决 于电磁波的频率、传播介质和距离等因素。为了减小衰减，可以采取一些措施，如使用高增益天线、选择合适的 传播介质等。
2024/1/28
12
电磁波谱及应用领域
2024/1/28
电磁波谱
按照频率从低到高，电磁波谱包括无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、 X射线和伽马射线等。
应用领域
电磁波在通信、广播、电视、雷达、遥感、医疗、科学研究等领域有广泛应用。 例如，无线电波用于移动通信和广播，微波用于卫星通信和微波炉，红外线用于 遥控和夜视仪，可见光用于照明和显示，紫外线用于消毒和防伪等。
机械波可以用波动方程来描述，波动 方程反映了波的振幅、频率、波长等 参数与传播距离和时间的关系。
9
机械波能量传递与衰减
能量传递
机械波在传播过程中，介质中的质点通过振动将能量传递给相邻的质点，从而实现能量的传递 。波的振幅越大，传递的能量越多。
衰减
机械波在传播过程中，由于介质的吸收、散射等原因，波的振幅会逐渐减小，这种现象称为波 的衰减。衰减程度与介质的性质、波的频率等因素有关。
2024/1/28
8
机械波参数与描述方法
波长
波长是指相邻两个同相位点之间的距 离，用λ表示。波长反映了波的空间
周期性。
波速
波速是指波在介质中传播的速度，用 v表示。波速与波长和频率的关系为
v=λf。
2024/1/28

某一弹性介质内的弹性波在传播到介质边界以前，边界的存在对弹性波的传播没有影响，如同在无限介质中 传播一样，这类弹性波称为体波。体波传播到两个弹性介质的界面上，即发生向相邻弹性介质深部的折射和向原 弹性介质深部的反射。此外，还有一类沿着一个弹性介质表面或两个不同弹性介质的界面上传播的波，称为界面 波。如果和弹性介质相邻的是真空或空气，则界面波称为表面波。弹性波绕经障碍物或孔洞时还会发生复杂的绕 射现象。
应力波
应力波是应力和应变扰动的传播形式，弹性波是应力波的一种，即扰动或外力作用引起的应力和应变在弹性 介质中传递的形式。弹性介质中质点间存在着相互作用的弹性力。某一质点因受到扰动或外力的作用而离开平衡 位置后，弹性恢复力使该质点发生振动，从而引起周围质点的位移和振动，于是振动就在弹性介质中传播，并伴 随有能量的传递。在振动所到之处应力和应变就会发生变化。弹性波理论已经比较成熟，广泛应用于地震、地质 勘探、采矿、材料的无损探伤、工程结构的抗震抗爆、岩土动力学等方面。
图一
反射折射
弹性波到达界面后，一部分返回到原来的弹性介质内，即发生反射现象；另一部分穿过界面进入相邻的另一 弹性介质内，即发生折射现象。在同一弹性介质中，介质本身不均匀引起的弹性波传播方向改变也称为弹性波的 折射（若传播方向改变后与原来的传播方向相反则为反射）。纵波入射到平面交界面上会产生一个反射纵波和一 个反射横波；横波入射到平面交界面上，也会发生同样的现象。
绕射
弹性波在传播过程中遇到障碍物边缘或孔洞时所发生的弯折现象称为波的绕射。障碍物或孔洞越小，波长越 长，则绕射现象越显著。绕射现象反映出波的特性。在地震学中，研究震源附近区域内弹性波的传播时需要考虑 波的绕射。
研究
弹性波传播问题的研究可分为理论研究和实验研究两方面。

(3)入射波引起S1面上质元振动的表达式为： y入（ S1 ) d l A cos (t ) u1
d l x l A cos (t ) u1 u2
Ｙ
y入（ )
u2
d l D A cos (t ) u1 u2
y(cm)


o
A 2
B
7
x(cm)
分析：而种可能（1）波沿＋x方向传播， （2）波沿—x方向传播。
B
2
4 4
A
1
3 解： 1 (1) 2 1 5 ＝ 2 1
1＝
20 ( m) 3
（不符合条件）
1 ) 2 (2 2 2 5 ＝ 2 2
（4）若使上述两列反射波在区内叠加后的合振幅A为最大， 问媒质2的厚度至少应为多厚。
y1反 x 2l＋d A cos (t ) u1 u1
a

Ｙ
u Ｓ1
Ｓ2
Ｘ
o
d

区 区 x 2l d 2 D D l y2反 A cos t u1 u2 u1 x 2l＋d x 2l d 2 D t (t u u ) 2k u1 u2 1 1 u1 (k 0,1,2,) 2 D u 即：－ 2k D 2 (2k 1) u2 2
经S2面反射到区的波动表达式为：
Ｙ
u Ｓ1
Ｓ2
Ｘ
a

o
d

x y2反 A cos (t ) u1 yS 2反（ o ) A cos(t )
区

弹性动力学主要目标是在给定扰动源及边界条件、初始条件下求解弹性物体的动力响应。

解答的形式有两种：一种是波动解，一种是振动解。

前者描述行波在弹性介质中的传播过程，后者描述弹性体的振动。

为了说明两者的联系与差异，首先考察波动与振动两个物理现象。

一个原来处于静止状态的物体，当期局部受到突然的扰动，并不能立即引起物体各部分的运动。

如图1.2所示的一根半无限长杆端部受到打击时，远离杆端的区域并不能立即感受到端部的打击信号，而要经过一定的时间后才能接受到这个信号。

这是动力问题和静力问题最根本的区别。

实际上由于连续介质中的各个指点由某种约束力而彼此联系起来，在未受到扰动之前，质点之间的相互作用力处于平衡状态。

当某一个质点受到扰动以后，它就要偏离原来的平衡位置而进入运动状态。

由于质点间相对位置的变化，使得受扰动质点痛其周围质点之间增加了附加的弹性力，从而与受扰动质点相邻的质点也必然受到影响而进入运动状态。

这种作用依次传递下去，便形成一个由扰动源开始的波动现象。

这种扰动借质点间的弹性力而逐渐传播的过程，称为弹性波。

如果介质是无限的，扰动将会随时间的发展一直传播出去。

然而一个实际的物体总是有边界的，当扰动到达边界时，将要和边界发生相互作用而产生反射。

对一个有界的物体，由于扰动在其边界上来回反射，从而使得整个物体就会呈现出在其平衡位置附近的一种周期性的振荡现象，称之为弹性体的振动。

弹性波和弹性体的振动之间存在着本质的内在联系。

这两种现象的形成有着相同的机制，它们都是由介质的弹性和惯性两个基本性质所决定。

弹性性质有使发生了位移的质点回复到原来平衡位置的作用，而运动质点的惯性有使当前的运动状态持续下去的作用，或者说弹性是贮存势能的要素，惯性是维持动能的表征。

正由于这两种特性的存在，系统的能量才得以保持和传递，外部的扰动才能激发起弹性波和弹性体的振动。

弹性波的传播和弹性体的振动，实际上可以看作是同一物理问题的不同表现形式。