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弹性波正演模型的快速有限元算法
钱勇先
【期刊名称】《石油地球物理勘探》
【年(卷),期】1990(000)003
【摘要】用有限元法做弹性波正演模型计算已进入实用阶段,但有限元法所要求的大存储量和计算速度慢的缺点依然存在。
本文在深入分析有限元算法的基础上,注意到刚度矩阵,耦合矩阵在特殊单元中的对称性、耦合矩阵具有的转置性及某些特殊特征,采用正方形单元并将与节点相乘的元素归并到时间离散中运算,使计算速度提高一倍,使整体矩阵的存放量减少一半。
文中最后给出了一个计算实例,证实该快速算法的正确性。
【总页数】8页(P260-266,378)
【作者】钱勇先
【作者单位】江汉石油学院物探系
【正文语种】中文
【中图分类】TE13
【相关文献】
1.弹性波动方程数值解的有限元并行算法 [J], 王月英;孙成禹
2.一种基于矢量有限元与多层快速多极子技术的电磁散射快速并行算法 [J], 袁军;刘其中;郭景丽
3.基于能量最小化原理的弹性波CT成像频域有限元反演算法 [J], 薛龙;刘天云;张建民
4.拟地震法电磁波场有限元法正演模型 [J], 沈飚;何继善
5.基于能量最小化原理的弹性波CT成像频域有限元反演算法 [J], 薛龙;刘天云;张建民;
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205第八章 弹性连续体振动的有限元解上一章讨论的弹性连续体振动问题都只是在简单的特殊边界情况下才能得到精确解，而对于复杂弹性连续体的振动，通常无法得到精确解。
因此，只能采用近似解，近似解方法很多，其要旨在于将无限自由度系统（连续体）变换成为有限多自由度系统（离散系统）来处理。
下面仅介绍现代工程中常用的有限元分析法（简称有限元）。
有限元的基本思想是将一个复杂结构（连续系统）看成是有限个基本元素（单元）在有限个结点彼此相联结的组合结构。
每个单元都是一个弹性体。
有限元法通常是采用位移法，即以结点处的位移作为基本未知量，单元的位移是用结点位移的插值函数表示，单元以至整个结构的一切参数包括位移、应变、应力等都通过结点位移表示出来。
从振动问题来看，最后是将一个连续体的振动问题变成了一个以有限个结点位移为广义坐标的多自由度系统的振动问题。
由于平面刚架所采用的单元综合有受轴向力杆及横向弯曲的两种作用，因此本节着重通过平面刚架（杆系结构）的振动为例来阐明有限元的基本概念与分析步骤。
有限单元法分析过程基本上可分为结构离散化、单元分析、整体分析三个步骤。
一. 结构的离散化如图8-1所示平面刚架，它由三根杆件组成，杆件之间通过刚结点2、3相互连接，若在某些结点上受有作用在刚架平面内的激扰力，这就是一个平面刚架的振动问题。
结构的离散化就是将结构分成若干个单元。
在此例中，取三个杆各为一个单元。
共分成三个单元，在图中分别以①、②、③标明各单元的标号。
各单元之间以及它们与基础的联结点称为结点。
结点编号分别为1、2、3、4。
结点1、4是杆件和基础固定联结的结点，它们不能运动，称为固定结点。
2、3点是杆件间的联结点，是可以运动的，称为可动结点。
可动结点的数目乘以每个结点的基本未知量的数目就是整个结构的自由度数。
对于工程结构来说，结构划分的单元愈多，则结构的自由度数愈多，计算工作量就愈大，但计算结果愈有可能趋于精确解，因此在结构离散化过程中，划分单元的多少，应综合考虑精确度与计算工作量的因素。
第二章 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 2.1 引言本章将讨论通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元法列式的基本步骤。
最小位能原理的未知场变量是位移，以结点位移为基本未知量，并以最小位能为基础建立的有限单元位移元。
它是有限元方法中应用最普遍的单元。
对于一个力学或物理问题，在建立其数学模型以后，用有限元方法对它进行分析的首要步骤是选择单元形式。
平面问题三结点三角形单元是有限元方法最早采用，而且至今仍经常采用的单元形式。
我们将以此作为典型，讨论如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法与步骤，并进而导出弹性力学问题有限元方法的一般列式。
2.2 弹性力学平面问题的有限元列式2.2.1 单元位移模式及插值函数典型的三结点三角形单元结点编码为i,j,m 。
每个结点有两个位移分量，如图2.2所示。
每个结点的位移可用位移矢量i α表示，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i i i v u α ),,(m j i每个单元有6个结点位移分量（称为6个自由度），于是单元结点的位移向量可表示为[]Tm m j j i im j i e v u v u v u =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=ααααe α为单元结点位移列阵。
1．单元的位移模式和广义坐标在有限元方法中单元的位移模式，是指在单元内位移的插值函数，其一般形式采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简单，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。
假设3结点三角形单元位移模式选取一次多项式y x u 321βββ++=y x v 654βββ++= （2.2.1）它的矩阵形式是φβ=u （2.2.2）其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=v u u ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕϕφ00 []y x 1=ϕ[]T 654321βββββββ=由于三个结点也在单元内，满足位移模式，于是得i i i y x u 321βββ++=j j j y x u 321βββ++= （2.2.3） m m m y x u 321βββ++=上式是关于321,,βββ的线性方程组。
弹性体力学数值模拟算法弹性体力学数值模拟算法是一种用于模拟弹性材料力学行为的数值计算方法。
该算法可以通过计算机模拟得出弹性体的应力分布、变形情况以及其他相关参数，为工程设计、科学研究以及现实世界中的弹性材料应用提供了有力支持。
一、弹性体力学概述弹性体力学是研究物体由于外力而发生形变时的力学行为，主要关注物体的应力、应变以及相应的力学性质。
弹性体力学数值模拟算法正是基于这些力学特性进行计算。
在弹性体力学中，弹性模量、剪切模量以及泊松比等参数是十分关键的。
弹性体力学数值模拟算法通过考虑这些参数，结合物体的几何形状以及外力条件，利用计算方法来模拟物体的力学行为。
二、有限元法数值模拟算法有限元法是弹性体力学数值模拟算法中常用的一种方法。
该方法将弹性体划分为许多小的有限单元，在每个单元内进行数学计算，再通过组合这些小单元的结果，得出整个弹性体的力学行为。
具体而言，有限元法首先进行网格划分，将弹性体分割成许多小单元，然后在每个单元内利用数学公式推导出该单元的力学行为。
这些小单元之间通过边界条件相互连接，构成整个体系。
最后，通过求解线性方程组，得到弹性体的应力分布和变形情况。
有限元法数值模拟算法的优点是适用于各种复杂形状的弹性体，并且精度较高。
然而，该方法在处理大规模模拟问题时，计算量较大，需要较高的计算资源。
三、有限差分法数值模拟算法有限差分法是另一种常用的弹性体力学数值模拟算法。
该方法将弹性体通过网格划分为一系列小的节点，在每个节点处利用差分近似推导出该节点的力学行为。
有限差分法通过离散化的方式，将偏微分方程转化为差分方程，再通过求解这些差分方程得到相应的力学参数。
这个过程类似于对输出信号进行采样，将连续的物理问题离散化为一个个节点上的差分问题。
有限差分法数值模拟算法的优点是计算较为简单，容易实现。
但是对于复杂形状的物体，可能需要更多的节点和更小的步长来保证计算精度。
四、其他数值模拟算法除了有限元法和有限差分法，还有其他一些弹性体力学数值模拟算法，如边界元法、网格无关法等。
