第五讲：圆的切线与三角函数(2014)

三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质在数学中，三角函数是一种基本的函数类型，其中的很多图像和性质对理解数学十分重要。

它们有助于理解各种模型的表示和应用，增强数学思维的能力和加深数学知识。

本文就三角函数的图像与性质做一些简单的介绍。

I、三角函数图像1、正弦曲线：正弦曲线是由参数从0到2π（2π是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线。

它是圆的切线，有一定的规律性，并且把圆分为一个完整的一个周期，表现的曲线是一个“s”字形，形成有节奏的变化形式。

2、余弦曲线：余弦曲线是一条由参数从0到2π（2π是将一个周期跨越两次）形成的空间曲线，它也是圆的切线，有一定的规律性，但是它把圆分为两个半周期，比较起来更加缓和，表现的曲线是一个“v”字形，形成有节奏的变化形式。

3、正切曲线：正切曲线可以由参数0到π（π是将一个周期跨越一次）形成的曲线。

它也是一个椭圆的切线，有一定的规律性，把椭圆分为一完整周期，表现的曲线是一个“z”字形，形成有节奏的变化形式。

II、三角函数的性质1、周期性：三角函数的周期性就是说其值的变化是有如左图5000式的一个循环周期，在实际应用中可以利用该性质进行参数估计。

2、增减性：三角函数具有明显的增减性，具体表现为当参数逐渐增加时，函数值会自动增大，而当参数逐渐减小时，函数值则会自动减小。

3、几何性：三角函数有一个令人惊讶的性质，即在几何上其值就等于一定参数的弧度，而且参数的变化也不会影响该弧度。

4、极限性：参数π/2处的正切函数的值无穷大，表示非常接近的范围内函数的变化是接近无穷大的，而参数为0处的余弦函数为1，表示函数在某一点的取值趋势没有了变化，变成一个规定值。

总结来说，三角函数可以说是数学之中一个基本的概念，其图形和性质极其重要，可以帮助我们更深入的理解数学，增进数学的应用能力，因此，值得我们认真好好的学习。

第五讲：圆的切线与三角函数—2015年中考数学一、知识点睛1 . 锐角三角函数定义：在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA=∠A的正切：tanA= ，它们统称为∠A的锐角三角函数二、例题专讲【例1】(2014 贵州省黔南州) 如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为．9. （2013年北京市）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=12∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，求BC和BF的长．相应专练11．如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC=6，sinA=53s in =∠A ，则⊙O 的半径为 .2．如图，梯形PCEN 中， P C ∥ME ，∠P=90º，PM=ME ，以CE 为直径的⊙O 与PM 切于D ，若CE=20，PM=16，则tan ∠PCD 的值为 .4．如图，⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，过B 点的切线与AD 的延长线交于C ，若AD=CD ，则sin ∠OCA 的值是 .6．如图，PA,、PB 分别切⊙O 于A 、B ，PA 、BO 的延长线交于点Q ，连AB ，若sin ∠AQO ＝54sin =∠AQO ， 则tan ∠ABP 的值为（ ）A ．2 B ．3 C ．3 D ．32三、解答题部分【例2】已知线段长求三角函数值1．如图，AB 为⊙O 的直径，CD=CB ，CE ⊥AD 于E ，连BE.（1）求证：CE 为⊙O 的切线；（2）若AE=6，⊙O 的半径为5，求tan ∠BEC 的值.相应专练28．如图，AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于A 、D ，CO 的延长线交⊙O 于M ，连BD 、DM.（1）求证：B D ∥CM ；（2）若sin ∠MCD ＝53s i n =∠MCD ，求cos ∠BDM 的值.9. (2013 陕西省) 如图，直线l 与⊙O 相切于点D ，过圆心O 作EF ∥l 交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE 、AF ，并分别延长交直线l 于B 、C 两点.（1）求证：∠ABC +∠ACB=90°；（2）当⊙O 的半径R=5,BD=12时，求tan ∠ACB 的值.10. (2014 四川省攀枝花市) 如图，△ABC 的边AB 为⊙O 的直径，BC 与圆交于点D ，D 为BC 的中点，过D 作DE ⊥AC 于E ．（1）求证：AB=AC ；（2）求证：DE 为⊙O 的切线；（3）若AB=13，sinB=，求CE 的长．11. (2014 四川省甘孜州) 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 的中点O 为圆心，OA 为半径的圆交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE ，OE ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2＝2CD ·OE（3）若cos ∠BAD ＝53，BE ＝314，求OE 的长．。

lOD BCAODCOOQ CDPOBA圆的切线､切线长定理与弦切角定理一､圆的切线: 1.切线的判定:2.切线的性质:【运用举例】例1.如图,已知⊙O 所内接△ABC,过点B 作直线BD,∠DBC=∠A,试说明,BD 与⊙O 相切｡例2.如图,已知CB 是⊙O 的切线,C 是切点,OB 交⊙O 于点D,∠B=30,BD=6㎝,求BC ｡例3､如图,PA ､PB 切⊙O 于点A ､B ,点C 是⊙O 上一点,且∠ACB =65°,求∠P 的度数.例4､已知:如图AB 是⊙O 的直径,P 是AB 上的一点(与A ､B 不重合),QP ⊥AB,垂足为P,直线QA 交⊙O 于点C 点,过C 点作⊙O 的切线交直线QP 于点D,求证:△CDQ 是等腰三角形.当P 点在AB 的延长线上时,其他条件不变,这个结论还成立吗?试说明.二､切线长定理1､切线长:我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 2､切线长定理:符号语言:∵PA ､PB 是O⊙的切线,A ､B 是切点,∴,PA=PB 【运用举例】例1.在△ABC 中,AB=5cm BC=7cm AC=8cm, ⊙O 与BC ､AC ､ AB 分别相切于 D ､ E ､F,则 AF=_____, BD=_______ ､CF=________例2､如图,PA ､PB 是⊙O 的切线,切点分别是A ､B,直线EF 也是⊙O 的切线,切点为Q,交PA ､PB 为E ､F 点,已知12PA cm ,求△PEF 的周长.例3､已知:如图,P 为⊙O 外一点,PA,PB 为⊙O 的切线,A 和B 是切点,BC 是直径. 求证:AC∥OP.例4.如图,AB ､CD 分别与半圆O 切于点A ､D,BC 切⊙O 于点E,若AB=4,CD=9,求⊙O 的半径｡三､弦切角定理及其推论OCB AP1､弦切角:________________________________________________________________｡问题: 以下各图中的角哪个是弦切角?2､弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半｡3､弦切角定理的推论:若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等｡【运用举例】例1､如图,四边形ABCD为圆内接四边形,AB是直径,MN切⊙O于C点,∠BCM=38°,那么∠ABC 的度数是( )A.38°;B.52°;C.68°;D.42°.例2.已知:如图,PA切⊙O于点A,割线PBC交⊙O于B和C两点,∠P=15°,∠ABC=47°,求∠C的度数.例3､已知:如图7-179,OA是⊙O半径,B是OA延长线上一点,BC切⊙O于C,CD⊥OA于D.求证:CA平分∠BCD.例4､如图,AB是⊙O的弦,CD是经过⊙O上的点M的切线.求证:(1)如果AB//CD,那么AM=MB;(2)如果AM=BM,那么AB//CD.例5.如图,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB,AC分别相交于E,F.求证:EF∥BC.例6､如图,Rt ABC∆中,90BAC∠=︒,以AB为直径的⊙O交BC于点D,切线DE交AC于E.求证:12DE AC=.例7､如图,AB是⊙O的直径,AD､BC､CD是⊙O的切线,切点分别为A､B､C､DO交AE于F,OC交BE 于G.求证:(1)CO DO⊥(2)四边形EFOG是矩形.·AODBBBCE。

两圆公切线的求法
两个圆的公切线可以分为内公切线和外公切线。

以下是求解两个圆的公切线的方法：
### 内公切线：
步骤：
1. 找到圆心之间的连线：记两个圆的圆心分别为O1和O2，连接O1O2。

2. 计算圆心之间的距离：记为d，即O1O2的长度。

3. 计算圆心之间的夹角：用反三角函数计算夹角θ，其中θ = arccos((r1 + r2) /
d)，其中r1和r2分别是两个圆的半径。

4. 计算公切线的长度：利用三角函数计算公切线的长度，公切线长度L = sqrt(d^2 - (r1 - r2)^2)。

5. 计算公切线与连线的夹角：公切线与连线的夹角等于θ。

6. 确定切点坐标：切点坐标可以通过在O1O2上适当距离O1和O2处作垂直线得到。

### 外公切线：
步骤：
1. 找到圆心之间的连线：同样连接O1O2。

2. 计算圆心之间的距离：记为d，即O1O2的长度。

3. 计算圆心之间的夹角：用反三角函数计算夹角θ，其中θ = arccos((r1 + r2) /
d)。

4. 计算公切线的长度：利用三角函数计算公切线的长度，公切线长度L = sqrt(d^2 - (r1 + r2)^2)。

5. 计算公切线与连线的夹角：公切线与连线的夹角等于θ。

6. 确定切点坐标：切点坐标同样可以通过在O1O2上适当距离O1和O2处作垂直线得到。

需要注意的是，当两个圆相交或包含关系时，可能不存在外公切线或内公切线。

在这种情况下，需要根据具体情况进行讨论。