圆切线相似和锐角三角函数综合题中考专题复习无复习资料

【典例分析】例 1 如图， AD 是△ABC 的外接圆⊙ O 的直径，点 P在 BC 延长线上，且满足∠ PAC=∠B．（1）求证： PA是⊙O 的切线；（ 2）弦 CE⊥AD 交 AB 于点 F，若 AF?AB=12 ，求 AC 的长．思路点拨（1）先根据直径所对的圆周角是直角和直角三角形的两锐角互余得出∠CAD +∠ D=90°，再根据同弧所对的圆周角相等和已知条件等量代换可得∠ CAD + ∠PAC=90°，根据切线的判定定理即可得出结论；2）先判断出∠ B=∠ ACF ，进而判断出△ABC∽△ ACF，得出比例式即可得出结论．满分解答（ 2），，［来，DP，使∠ PDA＝∠ ADC．（1）求证： PD是⊙ O的切线；（2）若 AC＝3， tan∠ PDC ＝，求 BC 的长．思路点拨（1）求出∠ ODA+ ∠PDA=∠ADC+ ∠ DAO=9°0 ，根据切线的判定得出即可；（2）求出∠ PDC= ∠DOC ，解直角三角形求出 = ，设 DC=4x ， OC=3x ，求出 3x+3=5x ，求出 x，即可得出答案．满分解答（ 1）证明：连接 OD∵OD=OA∴∠ ODA= ∠ OAD∵CD⊥AB 于点 C∴∠ OAD+∠ ADC=90°∴∠ ODA+∠ADC= 90°∵∠ PDA=∠ ADC ∴∠ PDA+∠ ODA =90° 即∠ PDO=90° ∴PD ⊥OD∵D 在⊙O 上∴PD 是⊙ O 的切线例3已知：如图①，在 Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于点 D ，且AB=5，AD=4 ，在AD 上取一点 G ，点P 是折线 CB ﹣BA 上一动点，以 PG 为直径作⊙ O 交AC 于点E ，连结PE ． 1）求 sinC 的值；使 AG=（2）当点 P 与点B 重合时如图②所示，⊙ O 交边AB 于点F ，求证：∠ EPG=∠FPG ；（3）点 P 在整个运动过程中：①当 BC 或AB 与⊙ O 相切时，求所有满足条件的 DE 长；②点 P 以圆心 O 为旋转中心，顺时针方向旋转90°得到P ′，当P ′恰好落在 AB 边上时，求 △OPP ′与△OGE 的（3）①⊙ O 与AB 相切有两种情况，与 BC 相切有一种情况，如图 3、4、5，灵活运用切线的性质，三角函 数与勾股定理分别求解即可；②如图 3中，用（ 2）可知，点 P 以圆心 O 为旋转中心，顺时针方向旋转 90°得到 P ， 当 P 恰好落在 AB 边上时，此时 △OPP ′与△OGE 的面积之比满分解答 = × × ： ×× × 如图 6中，当△POH 是等腰直角三角形时， 连接 PE ，利用相似三角形的性质求得 7.AE= ，PE= ，即 GE=AE=25： 24 ；× × ×（2）如图 2 中，连接 GF,在 Rt△ABD 中， BD= =3 ，∵ BG 是直径，∴∠ BFG=∠ AFG=90° ，∴ FG= ，∵DG=AD ﹣AG=4 ﹣ = ，∴GD=GF ，∴∠ EPG= ∠FPG；（3）①如图 3中，当⊙ O与 BC相切时，作 OH⊥AB 于H，∴ GPC=∠ABC=90° ，∴GP∥AB，∴∠ CGP=∠ A，∴ sin ∠A=sin ∠ PGC，∴PC= ，∴ PG= =3，OH=PB=∴此时⊙ O 与 AB 相切，连接 PE，∵PG是⊙O 的直径，∴∠ PEC=∠CDB=9°0 ，∴PE∥BD，∴DE：CD=PB ：BC，∴DE= ；如图 4中，当点 P 在 AB 上，⊙O 与 BC 相切时，设切点为 T ，连接 OT ， GH ，延长 TO 交GH 于N ，连接易证四边形 BTNH 是矩形，∴ AE= ， ∴DE=AD ﹣ AE=4﹣ = ；如图 5 中，当⊙ O 与 AB 相切时， GP ⊥ AB ，连接PH，∴ PA=PH+AH= ， [ 来源 :]PE ，∵PE ∥BD，当 P 恰好落在 AB 边上时，如图 6中，当△POH 是等腰直角三角形时，满足条件；连接 PE ，∵PH=GH= ，AH=2 ，∴ PA= ，OP=OH= ， ∵PE ∥BD ， ∴PA ：AB=AE ：AD=PE ：BD ，=× × ： × × × =25 ：24；此时 △OPP ′与△OGE 的面积之比 5=AE ： 4=PE ：3， ②如图 3 中，用（ 2）可知，点 P 以圆心 O 为旋转中心，顺时针方向旋转90°得到 P ，∴ GE=AE ﹣ AG= ，∴△ OPP ′与△OGE 的面积之比 = × × ： × × × =25： 7； 综上所述，满足条件的 △OPP ′与△OGE 的面积之比为 25：24 或 25：7．例 4 如图，已知在 中， ， ， 是边 上一点，以 为圆心， 为半径的⊙ 与边 的另一个交点为 ，连结 、 ．1) 求△ABC 的面积；2) 设 ， 的面积为 ，求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；3) 如果 是直角三角形，求 的长．(1) 分别求出 BC 和BC 上的高； (2)作DM ⊥ AB 垂足为 M ，用含 x 的式子表示出AP 和DM ；(3)分∠ ADP ＝90° 和∠ PAD ＝ 90°两种情况求解 .满分解答(2) 如图，作 DM ⊥AB 垂足为 M ，（3） ∠ APD < 90 °，过 C 作CE ⊥AB 交 BA 的延长线于 E ，可得 cos ∠ CAE ＝. ∴ AE= ， PE= ，[ 来源:ZXXK]①当∠ ADP＝ 90°时，cos∠APD ＝cos∠CAE＝，则，解得 x＝；②当∠ PAD ＝ 90°时，，解得 x＝ .所以 PB 的值为或 .例 5 已知：如图， AB 为⊙ O 的直径， C 是 BA 延长线上一点， CP 切⊙ O 于 P，弦 PD⊥ AB 于 E ，过点 B 作 BQ⊥CP于Q，交⊙ O于 H，（1）如图 1，求证： PQ＝ PE；（2）如图 2，G是圆上一点，∠ GAB ＝ 30°，连接 AG交PD于F，连接 BF，若tan∠BFE＝3 ，求∠C的度数；（3）如图 3，在（ 2）的条件下， PD＝6 ，连接 QC交BC于点M，求 QM的长．思路点拨（1）连接 OP，PB，由已知易证∠ OBP= ∠ OPB= ∠QBP，从而可得 BP平分∠ OBQ，结合BQ⊥CP于点Q， PE⊥AB 于点 E 即可由角平分线的性质得到 PQ=PE；（2）如下图 2，连接 OP，则由已知易得∠ CPO=∠PEC=90°，由此可得∠ C=∠ OPE，设 EF=x，则由∠ GAB=3°0 ，∠ AEF=90°可得 AE= ，在 Rt△BEF 中，由 tan∠ BFE= 可得BE= ，从而可得 AB= ，则OP=OA= ，结合 AE= 可得 OE= ，这样即可得到 sin∠ OPE= ，由此可得∠ OPE=30°，则∠C=30°；满分解答（1）如下图 1，连接 OP，PB，∵ CP切⊙ O于 P，∴OP⊥CP于点 P，又∵ BQ ⊥CP 于点 Q，∴OP∥BQ，∴∠ OPB=∠ QBP，∵ OP=OB ，∴∠ OPB=∠ OBP，∴∠ QBP=∠OBP，又∵ PE⊥ AB 于点 E，在 Rt 中 ,tan∠ B FE=3 ∴∴∴∴∴在 Rt PEO 中,∴30°；∴在 Rt 中，，∴，∴ QB=9 ，在△ABG 中，AB 为⊙O 的直径，∴ AGB=9°0 ，∵ BAG=3°0 ，∴BG=6 ， ABG=6°0 ，过点 G作 GN ⊥QB交QB的延长线于点 N，则∠ N=90°，∠ GBN=18°0 -∠ CBQ- ∠ABG=6°0 ，∴BN=BQ· cos∠GBQ=3 ，GN=B·Q sin∠GBQ= ，∴ QN=QB+BN=12 ，∴在 Rt△QGN 中， QG= ，∵∠ ABG= ∠ CBQ=6°0 ，∴ BM 是△BQG 的角平分线，∴QM ：GM=QB ：GB=9：6，∴ QM= .点睛：解本题第 3小题的要点是：（1）作出如图所示的辅助线，结合已知条件和（2）先求得BQ、 BG的长及∠ CBQ= ∠ABG=6°0 ；（2）再过点 G作GN⊥QB并交 QB的延长线于点 N，解出 BN和GN的长，这样即可在 Rt△QGN 中求得 QG 的长，最后在△BQG 中“由角平分线分线段成比例定理”即可列出比例式求得 QM 的长了 .例 6已知如图，抛物线与轴相交于 B（1，0），C（5，0）两点，与 y轴的正半轴相交于 A 点，过 A，B，C 三点的⊙ P与 y轴相切于点 A，M 为轴负半轴上的一个动点，直线 MB 交抛物线于N，交⊙ P 于 D ．（1）填空:A 点坐标是___________________ ，⊙ P半径的长是 __ _ ， = ， = ， = ；（2）若 S△BNC :S△AOB ＝ 48:5，求 N 点的坐标；（3）若△AOB与以 A，B，D为顶点的三角形相似，求 MB·MD 的值．思路点拨1）先将 B、C 两点坐标代入抛物线方程，再根据题意求得⊙P半径，进而求得抛物线方程；2）根据 S△BNC ：S△AOB=48 ：5求出 N点的 y坐标，将 yN 代入抛物线方程即可求得MB?MD 的值．N点坐标；（3）根据三角形相似的性质和射影定理便可求得满分解答（1）⊙ P 的半径 =3, = , = , = ；（3）过点 A 作直径 AQ 联接 BQ ，∴∠ ABQ=90o,∠BAO+ ∠AOB=90o,∵MA 与⊙ P相切于点 A，∴∠ OAB+∠BAO=90o, ∴∠ OAB= ∠AOB,而∠ AQB= ∠ADB,∴∠ OAB= ∠ADB, 而∠ AMB=AMD,∴△ MAB ∽△ MDA,,当△AOB ∽△ DBA 时，∠ ABD= ∠ AOB=90o,易证△AOB ∽△ BOM,则∴OM=∴; ⅱ当△AOB ∽△ DAB 时，∠ BAD= ∠AOB=90o,【变式训练】1．如图，直线 l 1∥l 2，⊙O 与 l 1和l 2分别相切于点 A 和点 B ．点 M 和点 N 分别是 l 1和l 2上的动点， MN 沿若∠ MON=9°0 ，则 MN 与⊙ O 相切；④ l 1和l 2的距离为 2，其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1 个答案】 B解析】分析】 首先过点 N 作NC ⊥AM 于点C ，直线 l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点 A 和点 B ，⊙O 的半径为 1，易求l 1和 l 2平移．⊙ O 的半径为 1，∠ 1=60 °．有下列结论：① MN=；②若 MN 与⊙ O 相切，则 AM= ；③得 MN= = ，l1和 l2的距离为 2；若∠ MON=90° ，连接 NO并延长交 MA 于点 C，易证得CO=NO ，继而可得即 O到MN 的距离等于半径，可证得 MN 与⊙ O相切；由题意可求得若 MN 与⊙ O相切，则AM= 或．【详解】如图 1，如图 3，若∠ MON=9°0 ，连接 NO 并延长交 MA 于点 C，则△AOC ≌△ BON，故 CO=NO ，△MON ≌△ MOM′ ，故 MN 上的高为 1，即 O 到 MN 的距离等于半径．故③正确；如图 2，2．如图， AB ，BC 是⊙ O 的弦，∠ B=60°，点 O 在∠ B 内，点 D 为 上的动点，点 M ，N ，P 分别是 AD ，DC ，CB 的中点．若⊙ O 的半径为 2，则 PN+MN 的长度的最大值是（ ）A ．【答案】 D 【解析】 【分析】连接 OC 、OA 、 BD ，作 OH ⊥AC 于 H ．首先求出 AC 的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题【详解】 解：连接 OC 、OA 、BD ，作 OH ⊥AC 于 H ．【点睛】B ．C ．本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．3．如图，AB是⊙ O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，CD ＝3，则 AB 的值是（）A ．3 B．C．6 D．【答案】 B【解析】【分析】连接 OD ，由圆周角定理可得∠ DOC ＝ 60°，根据三角函数可求 OD的长，即可求 AB 的长．【详解】连接 OD ，【点睛】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练运用这些性质进行推理是解本题的关键．4．如图，已知 AD ＝ 30，点B ，C 是 AD 的三等分点，分别以 AB 、BC 、CD 为直径作圆，圆心分别为 E 、F 、N ，则弦 MN 的长是 答案】 8解析】连接 PG 、MF ，过 F 作 FQ ⊥MN 于点 Q ，根据 AP 是⊙G 的切线，可证明 △AFQ ∽△AGP ，利用相似比，可求得 FQ=3，连接 F M ，在直角 △FQM 中根据勾股定理得到 MQ=4 ，则 MN=8 ．【详解】分析】[来源 :Z §X§X § K]G ，AP 切⊙ G 于点 P ，交⊙ F 于 M 、∴ FQ= PG=3，在直角△FQM 中， MQ== =4 ，则 MN=2MQ=8 ．故答案为： 8【点睛】本题主要考查切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，并且本题还考查了相似三角形的性质，对应边的比相等．5．如图，四边形 ABCD 中， AD ∥ BC，∠ ABC=90°，AB=5 ，BC=10 ，连接 AC 、 BD ，以 BD为直径的圆交 AC 于点 E．若 DE=3 ，则 AD 的长为.【答案】 2【解析】【分析】先证明△ADF ∽△ CAB，利用相似三角形的性质可得.再证明△DEF ∽△ DBA，利用相似三角形的性质可得，据此可求出 DF 的值，进而求出 AD 的值 .详解】如图所示，过点 D作DF ⊥AC于点 F，在 Rt △ABD 中，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ DEF=∠ DBA，又∵∠ DFE=∠ DAB =90°，∴ △DEF ∽△ DBA，即∴DF=2，∴AD=2 .故答案为： 2 .【点睛】本题主要了平行线的性质、勾股定理、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键 .6．如图，五边形是边长为的正五边形，是正五边形的外接圆，过点作的切线，与、的延长线交分别于点和，延长、相交于点，那么的长度是________答案】解析】分析】先证明 AG=AF ，由 SSS得到△OHD与△OED全等，得出∠ ODH= ∠ODE=5°4 ，证出∠ B=∠C=72°，设 GB=xcm ，由△DHB ∽△ GBD ，利用相似三角形对应边成比例列出比例式，求出x 的值，即可得出结果．详解】连接 DG ，如图所示：∵BC 是⊙ O 的切线，∴OD⊥BC，∴∠ BFO=∠ CFO=9°0 ，在△OHD 与△OED 中，∴△ OHD≌△ OED （ SSS），∴∠ ODH= ∠ ODE=5°4 ，∴∠ HDB= ∠ EDC=3°6 ，∴∠ B=∠ C=72°，∴ BD=DH=DE=DC=GF ，∴GF= BC ，设 GB=x ，∵∠ BDH= ∠BGD ，∠ B=∠B，∴△ DHB∽△ GBD，∴ ，即，整理得： x2-2x-4=0 ，解得： x=1± （负值舍去），∴ AG=GB=1+ ，∴ AB=2+2 ；故答案为： 2+2 ．【点睛】本题考查了正五边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，切线的性质；熟练掌握正五边形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．7．如图，已知在⊙ O中，直径 AB＝ 4，点 E是OA上任意一点，过 E作弦 CD⊥AB，点 F是上一点，连接 AF 交 CE 于点 H，连接 AC，CF，BD， OD.（1）求证： △ACH ∽△ AFC ；（2）猜想： AH ·AF 与AE ·AB 的数量关系，并证明你的猜想；（3）探究：当点 E 位于何处时， S △AEC ∶ S △BOD ＝ 1∶4？并加以说明．【答案】（ 1）详见解析；（ 2）AH ·AF ＝ AE ·AB ，证明详见解析； （3）当 OE ＝ （或 AE ＝ ）时，S △AEC ∶S △BOD ＝1∶4.解析】分析】 （1）根据垂径定理得到弧 AC=弧 AD ，再根据圆周角定理的推论得到∠ F=∠ACH ，根据两个角对应相等证明两个三角形相似；（ 2）连接 BF ，构造直角三角形，把要探索的四条线段放到两个三角形中，根据相似三角形的判定和性质 证明；（3）根据三角形的面积公式，得到两个三角形的面积比即为 AE ：OB ，进一步转化为 AE ：AO 的比，再根据半径的长求得 OE 的长．详解】(3)解：当 OE ＝ (或 AE ＝ )时， S △AEC ∶S △BOD ＝ 1∶ 4.∵直线 AB ⊥CD ，∴ CE ＝ED ，又∵ S △AEC ＝ AE ·CE ，【点睛】 能够综合运用垂径定理和圆周角定理的推论得到有关的角相等．掌握相似三角形的判定和性质．8．如图， 是 的直径， 是 上一点， ，S △BOD ＝ OB ·ED ，∴ ＝ ＝ ∵⊙ O 的半径∴ OE（2）若，，求的长 .【答案】（1）详见解析；（ 2） 2【解析】【分析】（1）连接 OC，由 AB 是直径可得∠ ACB=90° ，由 OA=OC 可得∠ BAC=OCA ，根据∠ ACD=∠B，∠B+∠ BAC=90°，通过等量代换可得∠ OCD=90°，即可得答案；根据∠ ACD= ∠B，∠ BAC=∠ADC=90°，可证明△ABC ∽△ ACD ，根据相似三角形的性质即可求出AC 的长.【详解】∴∴∴ 是的切线；【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理及性质是解题关键 . 9．如图所示，△ABC内接于⊙ O，AC是⊙O的直径，点 D是劣弧 AB的中点，过点D作直线 BC的垂线，分别交 CB，CA 的延长线于 E，F 两点．（1）求证： EF是⊙ O的切线；（2）若 EF＝8，EC＝6，求⊙ O的半径．【答案】（1）证明见解析；（ 2） .【解析】【分析】（1）连接 OD 交 AB 于点 G，依据垂径定理的推论可以得出OD ⊥ AB，结合题意易得 AB∥ EF ，进而不难得到 OD⊥ EF，即可证明结论；（2）先根据勾股定理求出 CF的长，由（ 1）知 OD∥CE，然后利用平行线分线段成比例列式求解即可求出⊙ O 的半径 .【详解】（1）证明：连结 OD，∵ D 是的中点，∴OD⊥AB.又∵ AC 为⊙O 的直径，∴BC ⊥AB ，∴ OD ∥ CE.又∵ C E ⊥EF ，∴ OD ⊥ EF ， 即 EF 是⊙ O 的切线．本题主要考查了切线的判定，圆周角定理的推论，垂径定理定理的推论，平行线分线段成比例定理 条直线是圆的切线常用的方法有：①若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先连 结过此点的半径，再证其与直线垂直；②若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂 线，再证垂足到圆心的距离等于半径 .10．如图， AB 是⊙ O 的直径， C 为⊙ O 上一点，经过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 D ，连接 ∠BCD ＝∠ CAB ． E 是⊙ O 上一点，弧 CB ＝弧 CE ，连接 AE 并延长与 DC 的延长线交于点 F ． （1）求证： DC 是⊙O 的切线；（ 2）若⊙ O 的半径为 3， sin ∠ D ＝ ，求线段 AF 的长．答案】 （1）见解析；（ 2） .解析】分析】 （1）连接 OC ，BC ，由 AB 是⊙ O 的直径，得到∠ ACB=90° ，即∠ 1+∠3=90°．根据等腰三角形的性质得到 ∠1=∠2．得到∠ DCB+ ∠3=90°．于是得到结论；.证明一AC ，BC ，（2）根据三角函数的定义得到 OD=5，AD=8 ．根据弧 CB＝弧 CE得到∠ 2=∠4．推出 OC∥AF ．根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（2）解：在 Rt△OCD 中， OC＝ 3， sinD ＝∴ OD ＝ 5，AD ＝ 8．∵弧 CB ＝弧 CE，∴∠ 2＝∠ 4．∴∠ 1＝∠ 4．∴OC∥AF．∴△ DOC∽△ DAF．=本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，三角形的性质与判定，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图， AB 是半圆 O的直径，点 P在 BA的延长线上， PD切⊙O于点 C，BD⊥PD，垂足为 D，连接 BC.（1）求证： BC 平分∠ PBD；（2）求证： PC2＝PA·PB；（3）若 PA＝ 2，PC＝ 2 ，求阴影部分的面积（结果保留π）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） S阴影＝2 －π.【解析】【分析】（1）连接 OC，由 PD切⊙O 于点 C，得到 OC⊥PD，根据平行线的性质得到∠ DBC= ∠BCO ，根据的预计实现的性质得到∠ OCB= ∠OBC ，等量代换得到∠ OBC= ∠ CBD ，于是得到即可；（2）连接 AC，由 AB 是半圆 O的直径，得到∠ ACB=90° ，推出∠ ACP= ∠ABC ，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据图形的面积公式即可得到结果．【详解】（ 1）连接 OC，∵PD切⊙O 于点 C，∴OC⊥PD，∵BD ⊥PD，∴BD ∥OC，∴∠ DBC＝∠ BCO，∵OC＝OB，∴∠ OCB＝∠ OBC，∴∠ OBC＝∠ CBD，∴BC 平分∠ PBD ；（3）∵ PC2＝PA·PB， PA＝2，PC＝2 ，∴PB＝6，∴ AB ＝ 4 ，∴O C＝2，PO＝4，∴∠ POC＝60°，∴ S阴影＝S△POC－ S扇形＝×2 ×2－＝2 －π.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．12．如图， AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点， AD⊥CE 于点 D，AC 平分∠DAB．（1）求证：直线 CE 是⊙ O 的切线；（2）若 AB＝10，CD＝ 4，求 BC 的长．【答案】(1)证明见解析； ( 2) BC＝2 或 4 ．【解析】【分析】(1)如图，连接OC，由 AC 平分∠ DAB 得到∠ DAC= ∠CAB ，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA= ∠CAB ，接着利用平行线的判定得到 AD ∥CO，而 CD⊥AD ，由此得到 CD ⊥ AD ，最后利用切线的判定定理即可证明 CD 为⊙ O 的切线；(2)证明△DAC ∽△ CAB ，根据相似三角形对应边成比例进行求解即可 .【详解】∴AD ∥CO，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∵OC是⊙ O直径且 C在半径外端，∴CD 为⊙ O 的切线；【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键 .13．如图，在⊙ O中，AB是⊙ O的直径， AE是弦， OG⊥AE于点 G，交⊙O 于点D，连结BD交AE 于点F，延长 AE 至点 C，连结 BC．（1）当 BC=FC 时，证明： BC是⊙O 的切线；（2）已知⊙ O的半径，当tanA= ，求 GF 的长．答案】（1）见解析；（2）1解析】分析】1）由 OD⊥AE 可知∠ D + ∠ GFD =90°，由等腰三角形的性质可得∠ BFC=∠ FBC，∠OBD=∠D，从而可证∠ OBC =90°；(2)连接 BE，在 Rt△AOG 中，可求出 OG= 3， AG=4，由垂径定理得 GE= AG=4，然后通过证明FEB，可求出 GF 的长 .【详解】∵⊙ O 半径， tanA= ，∴ sinA= ,cosA= ．∴在Rt△AOG 中，OG=OA sinA=5× =3，AG=OA cosA=5× =4=GE ．△FGD ∽△【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，三角形的中位线，相似三角形的判定与性质熟记切线的判定定理是解（ 1）的关键，证明△FGD∽△ FEB是解（ 2）的关键 . 14．如图， AB是⊙ O的直径，弦 CD⊥AB于点E，点 P在⊙ O上，弦 PB与CD交于点 F，且 FC＝FB．（1）求证： PD∥CB ；（2）若 AB＝26，EB＝8，求 CD 的长度．答案】（1）证明见解析；（2）CD ＝24．解析】分析】1）欲证明 PD∥ BC，只要证明∠ P＝∠ CBF 即可；2）由△ACE ∽△ CBE，可得，求出 EC，再根据垂径定理即可解决问题详解】2）连接 AC ，∵ AB 是直径，∴∠ ACB ＝90°，∵AB ⊥CD，∴CE＝ED，∠AEC＝∠ CEB ＝ 90°，∵∠ CAE+ ∠ ACE ＝90°，∠ ACE+∠BCE＝90°，∴∠ CAE ＝∠ BCE ，∴EC2＝144，∵EC>0，∴EC＝12，∴CD＝2EC＝24．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．15．如图⊙ O的内接△ABC中，外角∠ ACF 的角平分线与⊙ O相交于 D点，DP⊥AC，垂足为P，DH⊥BF，垂足为 H.问：（1） ∠PDC 与∠ HDC 是否相等，为什么？（2）图中有哪几组相等的线段？（3）当△ABC 满足什么条件时， △CPD ∽△ CBA ，为什么？答案】（ 1）相等，理由详见解析； （ 2）PC ＝HC ，DP ＝DH ，AP ＝BH ，ADACB ＝ 60 °时， △CPD ∽△ CBA.【解析】【分析】（1）根据“AAS ”证明△CDH ≌△ CDP 即可； （2）发现全等三角形，根据全等三角形的对应边相等证明出线段相等；（3）根据其中一个是直角三角形得到 AC 必须是直径． 再根据另一对角对应相等，＝∠ DCF ＝∠ ACB=60°才可．【详解】又∵ CD=CD ，∴△ CDH ≌△ CDP ，∴∠ PDC ＝∠ HDC .(2) ∵△ CDH ≌△ CDP ， ∴PC ＝HC ，DP ＝DH ，∵∠ DAP=∠ DBH ，∠ APD =∠BHD =90°， ∴△ADP ≌△ BDH ， ∴AP ＝BH ，AD ＝BD.BD ；(3)∠ ABC ＝ 90°且∠ 结合利用平角发现∠ PCD综上可得： PC ＝HC ，DP ＝DH ，AP ＝BH ，AD ＝BD.【点睛】 本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，圆周角定理的 推论等知识 .掌握全等三角形的判定和性质，能够根据已知的三角形的形状探索若相似应满足的条件是解答 本题的关键．16．如图 ,AB 是⊙ O 的直径, ⊙O 过 BC 的中点 D,DE ⊥ AC.求证: △BDA ∽△ CED.【答案】证明见解析 .【解析】【分析】不难看出 △BDA 和△CED 都是直角三角形，证明 △BDA ∽△ CED ，只需要另外找一对角相等即可，由于 是△ABC 的中线，又可证 AD ⊥BC ，即 AD 为 BC 边的中垂线，从而得到∠ B=∠C ，即可证相似． 【详解 】【点睛】 本题重点考查了圆周角定理、直径所对的圆周角为直角及相似三角形判定等知识的综合运用．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙ O ，交BC 于点D ，连接 AD ．过点 D 作DE ⊥ AC ，垂足为点 E ．（1）求证： DE 是⊙O 的切线；（2）当⊙ O 半径为 3，CE ＝ 2 时，求 BD 长．AD【答案】（1）证明见解析；（2）BD ＝2 ．【解析】【分析】（1）连接OD，AB为⊙ 0的直径得∠ ADB=90° ，由AB=AC ，根据等腰三角形性质得 AD平分BC，即DB=DC ，则 OD 为△ABC 的中位线，所以 OD∥AC，而 DE⊥AC，则 OD ⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90° ，得出△DEC∽△ ADB ，得出，从而求得 BD?CD=AB?CE ，由 BD=CD ，即可求得 BD2=AB?CE ，然后代入数据即可得到结果．【详解】（1）证明：连接 OD ，如图，∵AB 为⊙ 0 的直径，∴∠ ADB ＝ 90°，∴AD ⊥BC，∵AB ＝AC，∴AD 平分 BC，即 DB ＝DC，∵OA ＝OB，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE 是⊙ 0 的切线；【点睛】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质．18．如图，为的直径，，为上一点，且 AC=BC ，为 BC 上的一动点，延长至，使得，连接．1）求证：直线是的切线；2）若点由点运动到点，则线段扫过的面积是_______ ．（结果保留）答案】（1）见解析；（2）解析】分析】1）做辅助线根据证明,由相似三角形性质即可解题 ,（ 2）作出图像得 S 阴影=S△ABQ -S△AOC -S扇形BOC,即可解题 .【详解】（ 1）证明：连接．，即．是的直径，直线是的切线．[来源 :ZXXK]【点睛】本题考查了三角形的相似 ,切线的证明 ,不规则图形求面积 ,中等难度 ,证明切线是解题关键 . 19．如图，⊙ O是△ABC 的外接圆， AB 是⊙ O的直径，经过点 A作AE⊥OC，垂足为点 D，AE 与BC交于点 F，与过点 B 的直线交于点 E，且 EB＝ EF．（1）求BE 是⊙ O 的切线；答案】（1）见解析；解析】分析】1）由 OB ＝ OC可得∠ OBC ＝∠ OCB ，由EB ＝ EF可知∠ EBC ＝∠ EFB，根据∠ AFC+ ∠OCB＝ 90°可知∠EBC+ ∠OBC＝90°，即可得结论；（2）由（ 1）可知∠ AEB+ ∠ EAB ＝ 90°，由∠ AOD+ ∠ EAB ＝90°即可证明∠ AOD ＝∠ AEB ，设⊙ O 的半径为 r，根据 cos∠ AOD ＝ cos∠ AEB ＝可求出 r 的值，即可得 AB 的值，根据cos∠ AEB ＝＝可得 AE＝ BE，利用勾股定理求出 BE 的长即可 .【详解】（2）设⊙ O 的半径为 r，则 OA ＝OC＝r，又 CD＝ 1，∴OD＝r﹣1，∵∠ AOD+ ∠ EAB ＝90°，∠ AEB+ ∠ EAB ＝90°，∴∠ AOD＝∠ AEB，∴cos∠ AOD ＝ cos∠AEB ＝，∴在 Rt△AOD 中， cos∠ AOD ＝＝，即＝解得： r＝，∵AB 是⊙ O 的直径，∴ AB ＝ 5 ，在 Rt △AEB 中，∴AE ＝ BE ，又 AE 2＝AB 2+BE 2，即（ BE ）2＝ BE 2+52， 解得： BE ＝ ．20．如图，已知 Rt △ACE 中，∠ AEC=90°，CB 平分∠ ACE 交AE 于点 B ，AC 边上一点 O ，⊙O 经过点 B 、C ，与 AC 交于点D ，与 CE 交于点F ，连结 BF 。

中考专题训练——相似三角形与圆的综合1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长．2．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，∠ABP＝∠ABD，且AB2＝PB•BD，连接P A．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若P A＝2PB＝4，求BD的长．3．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点H，点B是弧CD的中点，过点A作AE∥CD，交射线DO于点E，DE与⊙O交于点F，BF与CD交于点G．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）已知AO＝5，AE＝，求BG的长．4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．5．某数学小组在研究三角形的内切圆时，遇到了如下问题：如图①，已知等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，如何在这个等腰三角形中画出其内切圆？小红同学经过计算，在高CD上截取DO＝3，以点O为圆心，以3为半径作的圆即为所求．（1）小红的方法是否正确？如果正确，给出理由；如果不正确，请给出你的方法．（2）如图②，在图①的基础上，以AB为边作一个正方形ABEF，连接FC并延长与BE 交于点G，则BG：GE的值为．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．（1）证明：△ABD∽△ACE．（2）若，BD＝5，CD＝9．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG＝∠F，求CG的长．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，AD平分∠BAC交于点D，EF切⊙O于D，BF ⊥AB交EF于F．（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．（2）若BF＝，AB＝4，求AE的长．8．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O．点D为的中点，对角线AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．9．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P在OE延长线上，且满足∠PCA＝∠ABC，连接P A，PC，AF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）证明：PE•OD＝DE•OE．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点B的切线交AC延长线于点D，点E为上一点，且BC＝EC，连接BE交AC于点F．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）若AB＝2，tan E＝，求EF的长．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠F AC＝∠BDC．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的角平分线AF交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE和BF，∠F＝∠ABE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AC＝5，AB＝13，求CD的长．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为直径作⊙O交AC于点F，点B恰好落在⊙O上，过D点作⊙O的切线DE交AC于点E，连接DF．（1）求证：∠FDE＝∠CDE；（2）若AB＝12，tan∠C＝，求线段DE的长．16．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为BE的中点．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若直线l切⨀O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F、点G．∠BAC＝45°，求的值．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）CD2＝CE•CA．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且弧CD＝弧CB，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连接AC交BD于F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AE于H点，CH交BD于M，若CA＝CE＝6，求CH和BF的长．19．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）求证：CF是⊙O的切线；（3）若，BE＝6，求⊙O的半径长．20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．（1）求证：OM＝ON；（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．22．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE＝12，，求⊙O的半径和EF的长．参考答案与试题解析1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长．【分析】（1）由垂径定理得出OD⊥AC，进而得出∠F AO+∠AOF＝90°，由圆周角定理结合已知条件得出∠AOF＝∠CAE，得出∠F AO+∠CAE＝90°，即∠OAE＝90°，即可证明AE是⊙O的切线；（2）连接AD，利用解直角三角形得出tan B＝＝，设AD＝3x，则BD＝4x，AB＝5x，由⊙O的半径10，得出AB＝5x＝20，求出x＝4，求出AD＝12，BD＝16，继而证明△ADH∽△BDA，利用相似三角形的性质即可求出DH的长．【解答】（1）证明：如图1，∵D是的中点，∴OD⊥AC，∴∠AFO＝90°，∴∠F AO+∠AOF＝90°，∵∠AOF＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠AOF＝∠CAE，∴∠F AO+∠CAE＝90°，即∠OAE＝90°，∵OA是半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，∵∠C＝∠B，，tan B＝，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴tan B＝＝，设AD＝3x，则BD＝4x，AB＝5x，∵⊙O的半径10，∴AB＝5x＝20，∴x＝4，∴AD＝3×4＝12，BD＝4×4＝16，∵D是的中点，∴AD＝CD＝12，∴∠DAC＝∠C，∵∠B＝∠C，∴∠DAC＝∠B，∵∠ADH＝∠BDA∴△ADH∽△BDA，∴，即，∴DH＝9．2．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，∠ABP＝∠ABD，且AB2＝PB•BD，连接P A．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若P A＝2PB＝4，求BD的长．【分析】（1）延长BO交⊙O于点E，连接AE，先证明△PBA∽△ABD，得出∠P AB＝∠ADB，由圆周角定理得出∠P AB＝∠E，由等腰三角形的性质得出∠OAE＝∠E，进而得出∠P AB＝∠OAE，由圆周角定理得出∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，进而得出∠BAO+∠P AB＝∠P AO＝90°，即可证明P A是⊙O的切线；（2）延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，利用勾股定理列方程求出⊙O的半径为3，进而得出OA＝3，OP＝5，BE＝6，再证明△P AO∽△EDB，利用相似三角形的性质即可求出BD的长度．【解答】（1）证明：如图1，延长BO交⊙O于点E，连接AE，∵AB2＝PB•BD，∴，∵∠ABP＝∠ABD，∴△PBA∽△ABD，∴∠P AB＝∠ADB，∵∠ADB＝∠E，∴∠P AB＝∠E，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠E，∴∠P AB＝∠OAE，∵BE为直径，∴∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，∴∠BAO+∠P AB＝∠P AO＝90°，∵OA是半径，∴P A是⊙O的切线；（2）解：如图2，延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，∵P A＝2PB＝4，∴PB＝2，设OA＝OB＝x，则OP＝x+2，∵∠P AO＝90°，∴P A2+AO2＝OP2，即42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OA＝3，OP＝2+3＝5，BE＝3+3＝6，∵△PBA∽△ABD，∴∠P＝∠BAD，∵∠BAD＝∠BED，∴∠P＝∠BED，∵BE为直径，∴∠BDE＝90°，∴∠P AO＝∠EDB＝90°，∴△P AO∽△EDB，∴，即，∴BD＝．3．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点H，点B是弧CD的中点，过点A作AE∥CD，交射线DO于点E，DE与⊙O交于点F，BF与CD交于点G．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）已知AO＝5，AE＝，求BG的长．【分析】（1）利用垂径定理的推论得到AB⊥CD，利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；（2）过点F作FM⊥AB于点M，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求出线段OE，OM，MF的长，利用全等三角形的判定与性质求得线段BH的长，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论．【解答】（1）证明：∵点B是弧CD的中点，AB为⊙O的直径，∴AB⊥CD，∵AE∥CD，∴AE⊥OA．∵OA为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：过点F作FM⊥AB于点M，如图，∵AO＝5，AE＝，AE⊥OA，∴OE＝＝．∵AE⊥AB，FM⊥AB，∴FM∥AE，∴△OMF∽△OAE，∴，∴，∴OM＝3，MF＝4．∴BM＝OB+OM＝5+3＝8，∴BF＝＝4．在△OFM和△ODH中，，∴△OFM≌△ODH（AAS），∴OM＝OH＝3，∴BH＝OB﹣OH＝2．∵FM⊥AB，AB⊥CD，∴CD∥FM，∴△BGH∽△BFM，∴，∴，∴BG＝．4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，证明DE是⊙O的切线，关键是证明OD⊥DE；（2）连接BD，根据（1）中OD∥AE得△OGD∽△AEG，从而求出AE的长，再根据△AED∽△ADB求出AD的长，再利用三角函数求出DF的长，利用S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB求出阴影部分的面积．【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，∵，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD//AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图所示，连接BD，∵OD//AE，∴△OGD∽△EGA，∴，∵，⊙O的半径为2，∴，∴AE＝3．∵AB是⊙O的直径，DE⊥AE，∴∠AED＝∠ADB＝90°，∵∠CAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴，即，∴，在Rt△ADB中，，∴∠DAB＝30°，∴∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，∴∠F＝30°，∵OD＝2，∴，∴．5．某数学小组在研究三角形的内切圆时，遇到了如下问题：如图①，已知等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，如何在这个等腰三角形中画出其内切圆？小红同学经过计算，在高CD上截取DO＝3，以点O为圆心，以3为半径作的圆即为所求．（1）小红的方法是否正确？如果正确，给出理由；如果不正确，请给出你的方法．（2）如图②，在图①的基础上，以AB为边作一个正方形ABEF，连接FC并延长与BE 交于点G，则BG：GE的值为．【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由等腰三角形的性质得出AD＝BD＝6，OC＝5，由勾股定理得出AC＝10，证明△CHO∽△CDA，，由相似三角形的性质得出OH＝3，继而得出AC是⊙O的切线，同理，BC是⊙O的切线，AB是⊙O的切线，即可得出⊙O是等腰△ABC的内切圆；（2）延长DC交FE于点M，由正方形的性质得出BE＝AB＝12，EF∥AB，由CA＝CB，CD⊥AB，得出AD＝BD＝6，DM⊥EF，继而得出FM＝ME＝6，DM＝BE＝12，由三角形中位线的性质得出GE＝8，进而得出BG＝4，即可求出BG：GE的值．【解答】解：（1）小红的方法正确，理由如下：如图①，过点O作OH⊥AC于点H，∵等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，OD＝3，∴AD＝BD＝6，OC＝CD﹣OD＝8﹣3＝5，∴AC＝＝＝10，∵∠CHO＝∠CDA＝90°，∠HCO＝∠DCA，∴△CHO∽△CDA，∴，即，∴OH＝3，∵OH⊥AC，∴AC是⊙O的切线，同理，BC是⊙O的切线，∵OD⊥AB，OD＝3，∴AB是⊙O的切线，∴⊙O是等腰△ABC的内切圆；（2）如图②，延长DC交FE于点M，∵四边形ABEF是正方形，AB＝12，∴BE＝AB＝12，EF∥AB，∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝6，DM⊥EF，∴FM＝ME＝6，DM＝BE＝12，∴MC是△EFG的中位线，MC＝DM﹣CD＝12﹣8＝4，∴GE＝2CM＝2×4＝8，∴BG＝BE﹣GE＝12﹣8＝4，∴，故答案为：．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．（1）证明：△ABD∽△ACE．（2）若，BD＝5，CD＝9．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG＝∠F，求CG的长．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质求得∠ACD+∠ABD＝180°，推出∠ABD＝∠ACE，即可证明；（2）①由△ABD∽△ACE，推出AE＝3CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理求解即可；②证明△EAG∽△EDA，利用三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AE⊥CE，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ACD+∠ABD＝180°，又∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE；（2）解：①在Rt△BDA中，AB＝5，BD＝5，∴AD＝＝15，∵△ABD∽△ACE，∴，即，∴AE＝3CE，在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，∴152＝（3CE）2+（9+CE）2，解得：CE＝﹣（舍去）或CE＝3；∴EC的长为3；②∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠CAG＝∠F，∠EAG＝∠CAE+∠CAG，∠EDA＝∠BAD+∠F，∴∠EAG＝∠EDA，∴△EAG∽△EDA，∴，∴AE2＝GE•ED，即AE2＝（EC+CG）•ED，∵CE＝3，∴AE＝3CE＝9，∴92＝（3+CG）×12，∴CG＝．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，AD平分∠BAC交于点D，EF切⊙O于D，BF ⊥AB交EF于F．（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．（2）若BF＝，AB＝4，求AE的长．【分析】（1）连接OD，证明BF∥AE，BC∥EF，可得结论；（2）根据平行四边形的性质可得CE＝BF＝，如图，连接OD，过点C作CG⊥EF于G，证明四边形CODG是正方形，△ABC∽△GCE，列比例式可得AE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵BF⊥AB，∴∠ABF＝90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC+∠ABF＝180°，∴BF∥AE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BC⊥OD，∵EF切⊙O于D，∴EF⊥OD，∴BC∥EF，∴四边形BCEF为平行四边形；（2）解：由（1）知：四边形BCEF为平行四边形，∴CE＝BF＝，如图，连接OD，过点C作CG⊥EF于G，∴∠COD＝∠ODG＝∠CGD＝90°，∵OC＝OD，∴四边形CODG是正方形，∴CG＝OC，∠BCG＝90°，∴∠ACB+∠ECG＝90°，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠CGE＝∠BAC＝90°，∴△ABC∽△GCE，∴＝，设⊙O的半径是r，则BC＝2r，∴＝，∴r＝（负值舍），∴BC＝2，∴AC＝＝＝2，∴AE＝AC+CE＝2+＝．8．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O．点D为的中点，对角线AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．【分析】（1）由点D为的中点，可得∠CBD＝∠ABD，根据AB为⊙O的直径，有∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD，又AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，有∠F＝90°﹣∠ABD，即得∠AEF＝∠F，AE＝AF；（2）证明△ADF≌△ADE，得AE＝AF，DE＝DF，由勾股定理求得AF，由三角形面积公式求得AD，进而求得DE，BE，再证明△BEC∽△AED，得BC，进而求得sin∠BAC 便可．【解答】（1）证明：∵点D为的中点，∴＝，∴∠CBD＝∠ABD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD，∵AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠ABD，∴∠AEF＝∠F，∴AE＝AF；（2）∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠F AD＝90°，∴∠ABD＝∠F AD，∵∠ABD＝∠CAD，∴∠F AD＝∠EAD，∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（ASA），∴AF＝AE，DF＝DE，在Rt△ADE中，AB＝4，BF＝5，∴AF＝＝3，∴AE＝AF＝3，∵S△ABF＝AB•AF＝BF•AD，∴AD＝＝＝，∴DE＝＝＝，∴BE＝BF﹣2DE＝，∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE＝90°，∴△BEC∽△AED，∴＝，∴BC＝＝，∴sin∠BAC＝＝，∵∠BDC＝∠BAC，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°∴sin∠BDC＝．9．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）连接OF，证明△DAO≌△DFO（SAS），可得∠DAO＝90°＝∠DFO，即可得DF与半圆O相切；（2）连接AF，证明△AOD∽△FBA，可得＝，DO＝，在Rt△AOD中，AD＝＝，即可得矩形ABCD的面积是．【解答】（1）证明：连接OF，如图：∵＝，∴∠DOA＝∠FOD，∵OA＝OF，OD＝OD，∴△DAO≌△DFO（SAS），∴∠DAO＝∠DFO，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAO＝90°＝∠DFO，∴OF⊥DF，又OF是半圆O的半径，∴DF与半圆O相切；（2）解：连接AF，如图：∵AO＝FO，∠DOA＝∠DOF，∴DO⊥AF，∵AB为半圆直径，∴∠AFB＝90°，∴BF⊥AF，∴DO∥BF，∴∠AOD＝∠ABF，∵∠OAD＝∠AFB＝90°，∴△AOD∽△FBA，∴＝，即＝，∴DO＝，在Rt△AOD中，AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AD•AB＝×10＝，答：矩形ABCD的面积是．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P在OE延长线上，且满足∠PCA＝∠ABC，连接P A，PC，AF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）证明：PE•OD＝DE•OE．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形性质及圆周角定理可得∠PCO＝90°，然后由切线的判定定理可得结论；（2）连接EC，FC，OC，证明Rt△ECD∽Rt△CFD，得出CD2＝DE•DF，继而得出CD2＝DE•OD+DE•OE，同理得出CD2＝OD•DE+OD•PE，进而得出DE•OD+DE•OE＝OD•DE+OD•PE，即可证明PE•OD＝DE•OE．【解答】证明：（1）如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACO+∠PCA＝90°，即∠PCO＝90°，∵OC是圆O的半径，∴PC是圆O的切线；（2）如图2，连接EC，FC，OC，∵EF是直径，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠CFE＝90°，∵D是AC的中点，EF是直径，∴AC⊥EF，∴∠CEF+∠ECD＝90°，∠EDC＝∠CDF＝90°，∴∠ECD＝∠CFD，∴Rt△ECD∽Rt△CFD，∴，∴CD2＝DE•DF，∴CD2＝DE（OD+OF）＝DE（OD+OE）＝DE•OD+DE•OE，同理Rt△PCD∽Rt△COD，∴，∴CD2＝OD•PD＝OD（PE+DE）＝OD•DE+OD•PE，∴DE•OD+DE•OE＝OD•DE+OD•PE，∴PE•OD＝DE•OE．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点B的切线交AC延长线于点D，点E为上一点，且BC＝EC，连接BE交AC于点F．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）若AB＝2，tan E＝，求EF的长．【分析】（1）因为BD是⊙O的切线，所以∠∠CBD＝∠A，因为BC＝EC，所以∠E＝∠EBC，由同弧所对的圆周角相等可得，∠A＝∠E，所以∠EBC＝∠CBD，即BC平分∠DBE．（2）由（1）可知，tan E＝tan A＝tan∠EBC＝，因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，所以tan A＝＝，即AC＝2BC，由AB＝2结合勾股定理可得，BC2+AC2＝AB2，即BC2+4BC2＝AB2，解得BC＝2，AC＝4，又因为tan∠EBC＝＝，所以CF＝1，AF＝3，BF＝，易证△ABF∽△ECF，所以AF：EF＝BF：CF，即3：EF＝：1，解之即可．【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠∠CBD＝∠A，∵BC＝EC，∴∠E＝∠EBC，∵∠A＝∠E，∴∠EBC＝∠CBD，即BC平分∠DBE．（2）解：由（1）知，∠A＝∠E＝∠EBC，∴tan E＝tan A＝tan∠EBC＝，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴tan A＝＝，即AC＝2BC，∵AB＝2，∴BC2+AC2＝AB2，即BC2+4BC2＝AB2，∴BC＝2，AC＝4，∵tan∠EBC＝＝，∴CF＝1，AF＝3，BF＝，∵∠A＝∠E，∠ABF＝∠ECF，∴△ABF∽△ECF，∴AF：EF＝BF：CF，即3：EF＝：1，解得EF＝．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠F AC＝∠BDC．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长．【分析】（1）作OH⊥F A，垂足为H，连接OE，利用直角三角形斜边上中线的性质得AD ＝CD，再通过导角得出AC是∠F AB的平分线，再利用角平分线的性质可得OH＝OE，从而证明结论；（2）根据BC＝6，sin B＝，可得AC＝8，AB＝10，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，利用Rt△AOE∽Rt△ABC，可得r的值，再利用勾股定理求出OD的长．【解答】（1）证明：如图，作OH⊥F A，垂足为H，连接OE，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AD＝，∴∠CAD＝∠ACD，∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，又∵∠F AC＝，∴∠F AC＝∠CAB，即AC是∠F AB的平分线，∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，∴OH＝OE，OH是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sin B＝，∴可设AC＝4x，AB＝5x，∴（5x）2﹣（4x）2＝62，∴x＝2，则AC＝8，AB＝10，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，∵Rt△AOE∽Rt△ABC，∴，即，∴r＝3，∴AE＝4，又∵AD＝5，∴DE＝1，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD＝．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）根据切线的性质可得∠DAO＝90°，从而可得∠D+∠ABD＝90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC＝90°，从而可得∠ACB+∠EBC＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；（2）根据已知可得BD＝3BC，然后利用（1）的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB＝3EC，然后根据AB＝AC，进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵AD与⊙O相切于点A，∴∠DAO＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°，∴∠ACB+∠EBC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠D＝∠EBC；（2）解：∵CD＝2BC，∴BD＝3BC，∵∠DAB＝∠CEB＝90°，∠D＝∠EBC，∴△DAB∽△BEC，∴＝＝3，∴AB＝3EC，∵AB＝AC，AE＝3，∴AE+EC＝AB，∴3+EC＝3EC，∴EC＝1.5，∴AB＝3EC＝4.5，∴⊙O的半径为2.25．14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的角平分线AF交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE和BF，∠F＝∠ABE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AC＝5，AB＝13，求CD的长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝∠AEB＝90°，进而得出∠F+∠FBE＝90°，由∠F＝∠ABE，得出∠ABE+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°，即可证明BF是⊙O的切线；（2）连接OE交BC于点G，由∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝5，AB＝13，得出BC＝12，，由圆周角定理得出，进而得出OE垂直平分BC，即可求出，OG是△ABC的中位线，得出，求出EG＝4，由∠CAE＝∠CBE，得出tan∠CAD＝tan∠EBG，得出，即可求出．【解答】（1）证明：如图1，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∴∠F+∠FBE＝90°，∵∠F＝∠ABE，∴∠ABE+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°，∴AB⊥BF，∵AB是⊙O的直径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OE交BC于点G，∵∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12，，∵AF平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∴，∴OE垂直平分BC，∴，OG是△ABC的中位线，∴，∴EG＝OE﹣OG＝﹣＝4，∵∠CAE＝∠CBE，∴tan∠CAD＝tan∠EBG，∴，即，∴．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为直径作⊙O交AC于点F，点B恰好落在⊙O上，过D点作⊙O的切线DE交AC于点E，连接DF．（1）求证：∠FDE＝∠CDE；（2）若AB＝12，tan∠C＝，求线段DE的长．【分析】（1）由切线的性质及圆周角定理得出∠ADF+∠FDE＝90°，∠ADB+∠CDE＝90°，证明△F AD≌△BAD，得出∠ADF＝∠ADB，即可证明∠FDE＝∠CDE；（2）由解直角三角形得出BC＝16，由勾股定理得出AC＝20，由全等三角形的性质得出AF＝AB＝12，进而得出CF＝8，由解直角三角形得出DF＝6，进而得出BD＝DF＝6，由勾股定理得出AD＝6，证明△EAD∽△DAB，由相似三角形的性质得出AE＝15，再利用勾股定理即可求出DE＝3．【解答】（1）证明：∵DE是⊙O的切线，AD为直径，∴AD⊥DE，∴∠ADF+∠FDE＝90°，∠ADB+∠CDE＝90°，∵AD是直径，∴∠AFD＝∠ABD＝90°∵AD平分∠BAC，∴∠F AD＝∠BAD，在△F AD和△BAD中，，∴△F AD≌△BAD（AAS），∴∠ADF＝∠ADB，∴∠FDE＝∠CDE；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝12，tan∠C＝，∴BC＝＝＝16，∴AC＝＝＝20，∵△F AD≌△BAD，∴AF＝AB＝12，∴CF＝AC﹣AF＝20﹣12＝8，在Rt△CDF中，DF＝CF•tan∠C＝8×＝6，∴BD＝DF＝6，∴AD＝＝＝6，∵∠ABD＝∠ADE＝90°，∠EAD＝∠DAB，∴△EAD∽△DAB，∴，即，∴AE＝15，∴DE＝＝＝3．16．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为BE的中点．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若直线l切⨀O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F、点G．∠BAC＝45°，求的值．【分析】（1）连接AD，由AB为⊙O的直径可得出AD⊥BC，由点D为弧BE的中点利用圆周角定理可得出∠BAD＝∠DAC，利用等角的余角相等可得出∠ABD＝∠ACD，进而可证出△ABC为等腰三角形；（2）连接OD，则OD⊥GF，由OA＝OD可得出∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，利用“内错角相等，两直线平行”可得出OD∥AC，根据平行线的性质可得出＝、∠GOD ＝∠BAC＝45°，根据等腰直角三角形的性质可得出GO＝DO＝BO，进而可得出＝＝＝．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：连接AD，如图1所示．∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC．∵点D为弧BE的中点，∴＝，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠ABD＝∠ACD，∴△ABC为等腰三角形．（2）连接OD，如图2所示．∵直线l是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥GF．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，∴OD∥AC，∴＝，∠GOD＝∠BAC＝45°，∴△GOD为等腰直角三角形，∴GO＝DO＝BO，∴＝＝＝．∴＝．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）CD2＝CE•CA．【分析】（1）连接OD，证DO∥AB，得出∠ODB＝90°即可得出结论；（2）连接DE，证△CDE∽△CAD，根据线段比例关系即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠DAO＝∠ADO，∴DO∥AB，而∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴，∴CD2＝CE•CA．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且弧CD＝弧CB，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连接AC交BD于F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AE于H点，CH交BD于M，若CA＝CE＝6，求CH和BF的长．【分析】（1）连接OC，由垂径定理的推论得出OC⊥BD，由CE∥BD，得出OC⊥CE，即可证明CE是⊙O的切线；（2）连接OC，BC，由等腰三角形的性质得出∠CAB＝∠E，由圆周角定理得出∠BOC ＝2∠E，由OC⊥CE，得出∠BOC+∠E＝90°，求出∠E＝30°，进而求出CH＝3，EH ＝3，由等腰三角形的性质得出∠CAB＝30°，AE＝6，由圆周角定理得出∠ACB ＝90°，由解直角三角形求出AB＝4，由CE∥BD，得出，代入计算即可求出BF＝4，得出答案．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵弧CD＝弧CB，OC是半径，∴OC⊥BD，∵CE∥BD，∴OC⊥CE，∵OC是半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OC，BC，∵CA＝CE＝6，∴∠CAB＝∠E，∵∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOC＝2∠E，∵OC⊥CE，∴∠BOC+∠E＝90°，∴2∠E+∠E＝90°，∴∠E＝30°，∵CH⊥AE，∴CH＝CE＝×6＝3，EH＝＝＝3，∵CA＝CE＝6，CH⊥AE，∴∠CAB＝∠E＝30°，AE＝2EH＝6，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴cos∠CAB＝，∴AB＝＝＝＝4，∵CE∥BD，∴，即，∴BF＝4，∴CH的长为3，BF的长为4．19．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）求证：CF是⊙O的切线；（3）若，BE＝6，求⊙O的半径长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABC＝90°，由∠A＝40°，得出∠ACB＝50°，由点D是的中点，即可求出∠DCB＝∠ACB＝25°；（2）由圆周角定理得出∠BCD+∠CEF＝90°，由点D是的中点，得出∠DCB＝∠DCA，由等腰三角形的性质得出∠FCE＝∠FEC，进而得出∠ACF＝90°，即可证明CF 是⊙O的切线；（3）由解直角三角形得出＝，设BC＝4x，则CF＝5x，BF＝5x﹣6，由勾股定理得出方程（4x）2+（5x﹣6）2＝（5x）2，解方程求出x＝3，得出BC＝12，CF＝15，BF＝9，再证明△CFB∽△AFC，利用相似三角形的性质求出AC＝20，即可求出⊙O的半径长为10．【解答】（1）解：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，∵点D是的中点，∴∠DCB＝∠DCA＝∠ACB＝×50°＝25°；（2）证明：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠BCD+∠CEF＝90°，∵点D是的中点，∴∠DCB＝∠DCA，∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∴∠DCA+∠FCE＝90°，即∠ACF＝90°，∴AC⊥CF，∵AC是直径，∴CF是⊙O的切线；（3）解：在Rt△CBF中，sin∠F＝，∵，BE＝6，∴＝，∴设BC＝4x，则CF＝5x，BF＝5x﹣6，∵BC2+BF2＝CF2，∴（4x）2+（5x﹣6）2＝（5x）2，解得：x＝3或（不符合题意，舍去），∴BC＝12，CF＝15，BF＝9，∵∠CBF＝∠ACF＝90°，∠CFB＝∠AFC，∴△CFB∽△AFC，∴，即，∴AC＝20，∴OA＝AC＝×20＝10，∴⊙O的半径长为10．20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．（1）求证：OM＝ON；（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，利用圆心角，弦，弧，弦心距之间的关系定理可得OE＝OF，AE＝CF＝AB，利用等式的性质可得EM＝FN，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；（2）连接OB，利用相似三角形的判定与性质得到∠AOM＝∠B，利用同圆的半径线段，等腰三角形的性质和角平分线性质定理的逆定理得到∠AOM＝∠OAC，则得OM∥ON，利用等腰梯形的定义即可得出结论．【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图，∵AB＝AC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF，AE＝CF＝AB．∵AM＝CN，∴AE﹣AM＝FC﹣CN，即：EM＝FN．在△OEM和△OFN中，，∴△OEM≌△OFN（SAS）．∴OM＝ON；（2）连接OB，如图，∵AO2＝AM•AC，AC＝AB，∴AO2＝AM•AB，∴．∵∠MAO＝∠OAB，∴△OAM∽△BAO，∴∠AOM＝∠B．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠OAB＝∠AOM，∴OM＝AM．∵OM＝ON，∴AM＝ON．∵OE＝OF，OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠AOM＝∠OAC，∴OM∥AN．∵AM＜AN，∴OM＜AN，∴四边形AMON为梯形，∵AM＝ON，∴四边形AMON为等腰梯形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．【分析】（1）连接OE，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定定理解答即可；（2）连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC．∵AC⊥BC，∴OE∥BC，∴∠OED＝∠F．∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∴∠BDE＝∠F，∴BD＝BF；（2）解：连接BE，如图，∵∠BDE＝∠F，∴tan∠BDE＝tan∠F＝2，∵CF＝1，tan∠F＝，∴CE＝2．∵BD是⊙O直径，∴∠BED＝90°，∴BE⊥EF．∵EC⊥BF，∴△ECF∽△BCE，∴，∴EC2＝BC•CF．∴BC＝4．∴BF＝BC+CF＝5．∴BD＝BF＝5，即⊙O的直径为5．22．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．【分析】（1）由对顶角的性质，圆周角定理得出∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，即可证明△CED∽△BAD；（2）过点D作DF⊥EC于点F，由等边三角形的性质得出∠A＝60°，AC＝AB＝6，由DC＝2AD，得出AD＝2，DC＝4，由相似三角形的性质得，得出EC＝3DE，由含30°角的直角三角形的性质得出DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，进而得出FC＝5x，利用勾股定理得出一元二次方程（x）2+（5x）2＝42，解方程求出x的值，即可求出EC的长度．【解答】（1）证明：如图1，∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，∴△CED∽△BAD；（2）解：如图2，过点D作DF⊥EC于点F，∵△ABC是边长为6等边三角形，∴∠A＝60°，AC＝AB＝6，∵DC＝2AD，∴AD＝2，DC＝4，∵△CED∽△BAD，∴，∴EC＝3DE，∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，∴DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，∴FC＝5x，在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，∴（x）2+（5x）2＝42，解得：x＝或﹣（不符合题意，舍去），∴EC＝6x＝．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE＝12，，求⊙O的半径和EF的长．【分析】（1）连接OE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，从而可得∠AEO+∠OEB＝90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得∠CAE＝∠AEO，从而可得∠BEF＝∠AEO，然后可得∠BEF+∠OEB＝90°，从而求出∠OEF＝90°，即可解答；（2）利用（1）的结论可得∠BEF＝∠EAO，从而可证△FEB∽△F AE，然后利用相似三角形的性质可求出BE的长，再在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB的长，从而求出EF 的长，即可解答．【解答】（1）证明：连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEO+∠OEB＝90°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∵AE平分∠CAB，∴∠EAO＝∠CAE，∴∠CAE＝∠AEO，∵∠BEF＝∠CAE，∴∠BEF＝∠AEO，∴∠BEF+∠OEB＝90°，∴∠OEF＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵∠BEF＝∠AEO，∠EAO＝∠AEO，∴∠BEF＝∠EAO，∵∠F＝∠F，∴△FEB∽△F AE，∴＝＝，∴＝＝，∴BE＝6，∴AB＝＝＝30，∴＝，∴EF＝20，∴⊙O的半径为15，EF的长为20．。

圆与相似、三角函数-、圆中方程问题•1、如图，已知AB是O O的直径，/ ABC=90 , OC与O 0相交于点D,连接AD并延长交BC于点E, BC=3 CD=2(1) 求O O的半径.(2) 取BE的中点F,连接DF,求证：DF是O O的切线.2、如图，已知直线PA交O 0于A、B两点，AE是O 0的直径.点C为O 0上一点，且AC平分/ PAE过C作CD丄PA垂足为Db(1)求证：CD为O 0的切线；⑵若DC+DA=6 O 0的直径为10 ,求AB的长度.弟Z3也阍、圆与相似1 .(桂林2010) 25 .(本题满分10分)如图，O O是厶ABC的外接圆，FH是O O的切线，切点为F , FH // BC,连结AF 交BC于E,/ ABC的平分线BD交AF于D，连结BF .(1)证明：AF平分/ BAC;(2)证明：BF = FD ;(3)若EF = 4, DE = 3,求AD 的长.F E F H2、(2011?菏泽)如图，BD 为O O 的直径，AB=AC , AD 交 BC 于点 E,AE=2 , ED=4 , (1)求证：△ ABE ADB ; (2) 求AB 的长；(3) 延长DB 到F ，使得BF=BO ，连接FA ，试判断直线 FA 与O O 的位置关系，并说明理由.3、( 2011?日照)如图，AB 是O O 的直径, (1) Z AOC=2 / ACD ; (2) AC 2=AB?AD .4、( 2009?广安)已知：如图， AB 是O O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交O O 于E ,连接 DE 、BE , 且/ C= / BED . (1)求证：AC 是O O 的切线; OA=10 , AD=16，求 AC 的长AC 是弦，CD 是O O 的切线，C 为切点，AD 丄CD 于点D .求证:(2 )若C5、( 2008?大庆)如图，在Rt△ ABC中，/ C=90°, BE平分/ ABC交AC于点E,点D在AB边上且DE丄BE .(1 )判断直线AC与厶DBE外接圆的位置关系，并说明理由；( 2)若AD=6 , AE=6 2，求BC的长.D F连结AF交BC于G,连结6、如图，Rt△ ABC中，/ ACB = 90°,以AC为直径作O O交斜边AB于点D, C FCF交AB于E(1) 求证：DF=EF(2) DE = 3 , FD = 5，求O O 的半径.7、( 2010芜湖)如图，BD是O O的直径，OA丄OB , M是劣弧AB上一点，过点M作O O的切线MP交OA 的延长线于P点，MD与OA交于N点.(1)求证：PM=PN ;卄3(2)若BD=4 , PA= AO，过点B作BC // MP交O O于C点，求BC的长.2(1) 求证：直线 PB 是O O 的切线; (2) 求 cos / BCA 的值.9、(2006?齐宁)如图，在 △ ABC 中，/ C=90°以BC 上一点O 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点M ，交 BC 于点N . (1) 求证：BA?BM=BC?BN ;(2) 如果 CM 是O O 的切线，N 为OC 的中点，当 AC=3时，求AB 的值.三、圆与三角函数1、( 2007?济宁)如图，AB 为O O 的直径，弦 CD 丄AB 于点M ，过点B 作BE // CD ，交AC 的延长线于点 E , 连接BC . (1)求证：BE 为O O 的切线；(2)如果 CD=6 , tan / BCD= 1，求O O 的直径.28、如图所示，AC 为O O 的直径且PA 丄AC , BC 是O O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ,DB DPDC DO2、如图，AB 是O O 的直径，弦 CD 丄AB 于H ，过CD 延长线上一点 点为G ,连接AG 交CD 于K . (1) 求证：KE=GE ；(2) 若KG 2=KD?GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由；3(3) 在(2)的条件下，若 sinE= ，AK=2 5，求FG 的长.53、如图，在△ ABC , AB=AC ，以AB 为直径的O O 分别交 AC 、BC 于点D 、E ,点F 在AC 的延长线上，且/1CBF= - / CAB .2(1)求证：直线 BF 是O O 的切线；4、( 2009?北京)已知：如图，在 △ ABC 中，AB=AC , AE 是角平分线，BM 平分/ ABC 交AE 于点M ，经过 B , M 两点的O O 交BC 于点G ,交AB 于点F , FB 恰为O O 的直径. (1) 求证：AE 与O O 相切；E 作O O 的切线交AB 的延长线于F .切(2)若 AB=5 , sin / CBF=-，求BC 和BF 的长.(2) 当BC=4 , cosC=丄时，求O O的半径.35、( 2012甘肃兰州，26,10分)如图，Rt △ ABC 中，/ ABC=90，以AB 为直径的O O 交AC 于点D, E 是BC 的 中点，连结DE OE6、如图，AB 是O O 的直径，BC 丄AB 于点B ,连接OC 交O O 于点E ,弦AD // OC ,弦DF 丄AB 于点G . (1) 求证：点E 是弧BD 的中点； (2) 求证：CD 是O O 的切线；(3) 若sin / BAD= 4 , O O 的半径为5，求DF 的长.57、已知：如图， AB 是O O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交O O 于E ,连接DE 、BE ,且/ C= / BED . (1) 求证：AC 是O O 的切线；⑴判断DE 与O O 的位置关系并说明理由;2 )若 tanC=5—,DE=2，求 AD 的长.(2) 若OA=10, AD=16，求AC 的长.8 如图，Rt△ ABC中，/ ABC=90°，以AB为直径作O O交AC边于点D , E是边BC的中点，连接DE. (1求证：直线DE是O O的切线；(2)连接OC交DE于点F,若OF=CF，求tan/ACO的值.9、如图，AB是O O的直径，CD是O O的切线，切点为C.延长AB交CD于点E.连接AC，作/ DAC= / ACD , 作AF丄ED于点F,交O O于点G .(1求证：AD是O O的切线；(2)如果O O的半径是6cm, EC=8cm，求GF的长.E CF D10、已知，如图：在Rt△ ABC中，/ C=90° ,以BC为直径作O O交AB于D，取AC中点E,连结OE, ED的延长线与CB的延长线交于F .(1求证：DE是O O的切线;(2)如果O O的半径为3cm, ED=4cm，求sin / F的值.11、如图，AB为O O的直径，弦CD丄AB于点M，过点B作BE // CD，交AC的延长线于点E,连接BC .(1)求证：BE为O O的切线；丄屮1(2)如果CD=6 , tan/ BCD=，求O O 的直径.2。

圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合2. 如图，在 Rt A ABC 中，/ ACB = 90°以AC 为直径的O O 与AB 边交于点 D ，过点D 作O O 的切线，交BC 于点E.(1) 求证：点E 是边BC 的中点； ⑵求证：BC 2= BD-BA ;(3)当以点O , D , E , C 为顶点的四边形是正方形时，求证：△ ABC 是等腰直角三角形. 解：(1)连结 OD , v DE 为切线，•••/ EDC + Z ODC= 90° .•••/ ACB = 90°, ECD + Z OCD=90 ° •又 v OD = OC ，• / ODC = Z OCD ,•••/ EDC = Z ECD , • ED = EC. v AC 为直径，• /ADC = 90°,「./ BDE + Z EDC = 90°,/ B + Z ECD =90°, •/ B = / BDE , • ED = EB ,• EB = EC ,即点E 为边BC 的中点(2) v AC 为直径，•/ ADC = / ACB = 90° 又v/ B =/ B , •△ ABC CBD , • ABBC =BCBD , • BC2 = BD?BA1如图，BC 是O A 的直径，△ DBE 的各个顶点均在O =BC- BF.A 上，BF 丄DE 于点F.求证：BD-BEB E C⑶当四边形ODEC为正方形时，/ OCD = 45° .v AC为直径，•/ ADC = 90°, • / CAD =90 ° -/ OCD = 90°- 45°= 45 ° ,• Rt △ ABC 为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3. 如图，在△ ABC中，以AC为直径作O O交BC于点D，交AB于点G,且D是BC的中点，DE 丄AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1) 求证：直线EF是O O的切线；⑵已知CF = 5, cosA = 25,求BE的长.解：(1)连结OD.T CD = DB , CO = OA , A OD是厶ABC的中位线，•••OD// AB , AB = 2OD. •/ DE 丄AB , A DE 丄OD，即OD 丄EF,A 直线EF是O O的切线(2) •/ OD // AB，•/ COD = Z A , • cos/ COD = cosA = 25.在Rt△ DOF中，V/ ODF = 90°, • cos/ FOD = ODOF = 25.设O O 的半径为r，贝Urr+ 5= 25，解得r = 103,A AB = 2OD = AC = 203.在Rt△ AEF 中，v/ AEF= 90°,A cosA = AEAF = AE5 + 203= 25,A AE=143, • BE = AB —AE = 203- 143 = 24. (2015资阳)如图，在△ ABC中，BC是以AB为直径的O O的切线，且O O与AC相交于点D , E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是O O的切线；⑵连结AE，若/ C= 45 °,求sin / CAE的值.解：⑴连结OD , BD , V OD = OB，• / ODB =/ OBD. •/ AB 是直径，•/ ADB = 90°, •/ CDB = 90° .V E 为BC 的中点，• DE = BE，•/ EDB =/ EBD，•/ ODB +/ EDB = / OBD + / EBD，即/ EDO =/ EBO. V BC是以AB为直径的O O的切线，• AB 丄BC，•/ EBO= 90°, •/ ODE = 90°,A DE 是O O的切线⑵过点E作EF± CD于点F,设EF = x, V/ C= 45°,「仏CEF,^ ABC 都是等腰直角三角形，• CF= EF = x, • BE = CE = 2x,• AB = BC = 22x.在Rt A ABE 中，AE = AB2 + BE2 = 10x, • sin / CAE = EFAE = 10105. 如图，△ ABC内接于O O,直径BD交AC于点E,过点O作FG丄AB，交AC于点F,交AB于点H，交O O于点G.(1) 求证：OF -DE = OE-2OH ;(2) 若O O的半径为12,且OE ：OF : OD = 2 : 3 : 6，求阴影部分的面积.(结果保留根号)解：⑴V BD 是直径，•/ DAB = 90° .V FG 丄AB ,• DA // FO,• △ FOEADE , • FOAD = OEDE，即OF?DE = OE?AD. V O 是BD 的中点，DA // OH , • AD = 2OH , • OF?DE = OE?2OH ⑵VO O 的半径为12，且OE : OF : OD = 2 : 3 : 6,A OE= 4, ED = 8, OF= 6, • OH= 6•在Rt△ OBH 中，OB = 2OH，•/ OBH=30°，•/ BOH = 60°,A BH = BO?sin60° = 12X 32 = 63,A S 阴影=S 扇形GOB —S△OHB = 60X n X 122360 —12X 6X 63= 24 n —183类型三：圆与二次函数的综合6. 如图，在平面直角坐标系中，已知A( —4, 0), B(1 , 0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0, 2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A , B, C三点的抛物线的解析式；⑵求点D的坐标；⑶设平行于x轴的直线交抛物线于E, F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好解：⑴y =—12x2 —32x + 2与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由.(2) 以AB为直径的圆的圆心坐标为0' (—32, 0),二O' C = 52 , 0 ' 0 = 32. v CD 为圆0 '的切线，•••O' C丄CD,•••/ O' CO+Z DC0 = 90° •又vZ CO' 0+Z O' CO = 90°,「.Z CO' O = Z DCO，二△ O'CO s^ CDO , • O' OOC = OCOD , • 322= 20D ,• OD = 83，•点D的坐标为(83, 0)(3) 存在.抛物线的对称轴为直线x=—32,设满足条件的圆的半径为|r|,则点E的坐标为(一32 + r, r)或F( —32 —r, r)，而点E在抛物线y=—12x2 —32x + 2 上，• r =—12(—32 + |r|)2—32( —32 + |r|)+ 2, • r1 = —1 + 292, r2=—1—292(舍去).故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为一1 + 2927. 如图，抛物线y = ax2+ bx —3与x轴交于A , B两点，与y轴交于点C,经过A , B , C 三点的圆的圆心M(1 , m)恰好在此抛物线的对称轴上，O M的半径为•设O M与y轴交于点D,抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；⑵设Z DBC = a , Z CBE = 3,求sin( —3 的值；(3) 探究坐标轴上是否存在点P ,使得以P , A , C为顶点的三角形与厶BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)由题意，可知C(0 , —3) , —b2a= 1，•抛物线的解析式为y= ax2 —2ax —3(a>0).过点M作MN丄y轴于点N , 连结CM ,贝U MN = 1 , CM = 5 , • CN = 2,于是m=—1. 同理，可求得B(3 , 0) , • a x 32 —2a x 3—3= 0,解得a= 1. •抛物线的解析式为y = x2 —2x —3 (2)由(1)得，A( —1 , 0) , E(1 ,—4) , D(0 , 1) , •△ BCE 为直角三角形，BC = 32 , CE = 2 , • OBOD = 31 = 3 , BCCE = 322=3, • OBOD = BCCE ,即OBBC = ODCE , • Rt △ BOD sRt A BCE ,得Z CBE = Z OBD = 3 ,因此sin( a —3 ) = sin(Z DBC —Z OBD) = sin Z OBC =COBC = 22⑶显然Rt△ COA s Rt△ BCE ,此时点0(0, 0).过点A作AP2丄AC交y轴的正半轴于点P2 ,由Rt△ CAP2s Rt△ BCE ,得P2(0 , 13).过点C作CP3丄AC交x轴的正半轴于点P3 , 由Rt△ P3CA s Rt△BCE,得P3(9 , 0).故在坐标轴上存在三个点P1(0 , 0) , P2(0 , 13) , P3(9 , 0),使得以P , A, C为顶点的三角形与△ BCE相似。

专题35 锐角三角函数与圆综合（解析版）第一部分典例剖析+针对训练类型一利用垂径定理构造直角三角形典例1（2022•三水区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝42，以A为圆心，AB 为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的余弦值．思路引领：（1）过点A作AH⊥BD于H，利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH，由垂径定理即可解决问题；（2）过点D作DM⊥AC于M，利用面积法求出DM，再由勾股定理求出AM即可解决问题．解：（1）过点A作AH⊥BD于H，如图1所示：∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝42，∴AB=BC2―AC2=62―(42)2=2，∵12AB•AC=12BC•AH，∴AH=AB⋅ACBC=2×426=432，∴BH=AB2―AH2=22―(432)2=23，∵AH⊥BD，∴BH＝HD=2 3，∴BD=4 3；（2）过点D作DM⊥AC于M，如图2所示：由（1）得：AH=432，BD=43，AB＝2，∴AD＝AB＝2，CD＝BC﹣BD＝6―43=143，∵12AH•CD=12DM•AC，∴DM=AH⋅CDAC=432×14342=149，在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM=AD2―DM2=22―(149)2=892，∴cos∠DAC=AMAD=8922=492．总结提升：本题考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．针对训练1．（2021秋•湖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tan A=34．以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（ ）A．1B．75C．32D．2思路引领：根据已知易求BC，AB的长，进而可以求出直角三角形斜边上的高，所以想到过点C作CE⊥AB，垂足为E，利用等面积法求出CE，然后放在Rt△BCE中，利用勾股定理求出BE，再利用垂径定理求出BD，最后求出AD即可．解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tan A=3 4，∴BCAC=34，∴BC ＝3，∴AB =AC 2+BC 2=32+42=5，∵△ABC 的面积=12AB •CE =12AC •BC ，∴5CE ＝12，∴CE =125，在Rt △BCE 中，BE =BC 2―CE 2=32―(125)2=95，∵CE ⊥BD ，∴BD ＝2BE =185，∴AD ＝AB ﹣BD ＝5―185=75，故选：B ．总结提升：本题考查了解直角三角形，垂径定理，根据题目的已知条件添加辅助线是解题的关键．2．（2022秋•鄞州区期末）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在BC 延长线上，且满足∠CAD ＝∠B ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AC 是∠BAD 的平分线，sin B =35，BC ＝4，求⊙O 的半径．思路引领：（1）连接OA ，OC 与AB 相交于点E ，如图，由OA ＝OC ，可得∠OAC ＝∠OCA ，根据圆周角定理可得∠B =12∠AOC ，由已知∠CAD ＝∠B ，可得∠AOC ＝2∠CAD ，根据三角形内角和定理可得∠OCA +∠CAO +∠AOC ＝180°，等量代换可得∠CAO +∠CAD ＝90°，即可得出答案；（2）根据角平分线的定义可得∠BAC ＝∠DAC ，由已知可得∠BAC ＝∠B ，根据垂径定理可得，OC ⊥AB ，BE ＝AE ，在Rt △BEC 中，根据正弦定理可得sin B =CE BC =CE 4=35，即可算出CE 的长度，根据勾股定理可算出BE =BC 2―CE 2的长度，设⊙O 的半径为r ，则CE ＝OC ﹣CE ＝r ―125，在Rt △AOE 中，OA 2＝OE 2+AE 2，代入计算即可得出答案．证明：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC=AC，∴∠B=12∠AOC，∵∠CAD＝∠B，∴∠AOC＝2∠CAD，∵∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，∴2∠CAO+2∠CAD＝180°，∴∠CAO+∠CAD＝90°，∴∠OAD＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；解：（2）∵AC是∠BAD的平分线，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠CAD＝∠B，∴∠BAC＝∠B，∴OC⊥AB，BE＝AE，在Rt△BEC中，∵BC＝4，∴sin B=CEBC=CE4=35，∴CE=12 5，∴BE=BC2―CE2=42―(125)2=165，设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r―12 5，在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，r2＝（r―125）2+(165)2，解得：r =103．总结提升：本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．类型二 利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形典例2（2022•通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C ，D ，则cos ∠ADC 的值为（ ）A ．21313B ．31313C ．23D ．53思路引领：由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案．解：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，又∵点A ，B ，C 都在格点上，∴∠ADC ＝∠ABC ，在Rt △ABC 中，cos ∠ABC =BC AB =332+22=31313=cos ∠ADC ，故选：B ．总结提升：本题考查圆周角定理，直角三角形的边角关系，掌握圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．针对训练1．（2021•东海县模拟）如图，某广场上有一块半径125米的圆形绿化空地⊙O ，城市管理部门规划在这块空地边缘顺次选择四点：A，B，C，D，建成一个从A﹣B﹣C﹣D﹣A的四边形循环健身步道（步道宽度忽略不计）．若∠A＝90°，∠B＝53.2°，AB＝200米．（1）求步道AD的长；（2）求步道围成的四边形ABCD的面积．（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60）思路引领：（1）根据90°的圆周角所对的弦是直径可得BD是⊙O的直径，根据勾股定理即可求解；（2）过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F，解直角三角形求出AE、BE、AF、DF的长，证出四边形CDFE是矩形，即可求得四边形ABCD的面积．解：（1）连接BD，∵∠A＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴BD＝125×2＝250（米），∵AB＝200米，∴AD=BD2―AB2=2502―2002=150（米），答：步道AD的长是150米；（2）过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F，在Rt△ABE中，∠B＝53.2°，AB＝200米，∴AE＝AB•sin 53.2°≈200×0.80＝160（米），BE ＝AB •cos 53.2°≈200×0.60＝120（米），∵∠BAE +∠ABE ＝∠BAE +∠DAF ＝90°，∴∠DAF ＝∠ABE ＝53.2°，在Rt △ADF 中，DF ＝AD •sin 53.2°≈150×0.80＝120（米），∴AF ＝90（米），∴EF ＝AE ﹣AF ＝70（米），∵AE ⊥BC ，DF ⊥AE ，∠BCD ＝90°，∴四边形CDFE 是矩形，∴四边形ABCD 的面积为：12×120×160+120×70+12×120×90＝23400（平方米）．答：步道围成的四边形ABCD 的面积是23400平方米．总结提升：此题主要考查了解直角三角形的应用，以及圆周角定理，勾股定理的应用，关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．类型三 利用圆周角定理把角转化到直角三角形中典例3 （2021春•中原区校级月考）如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，连接AD ，作△ABD 的外接圆，将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在圆O 上．（1）求证：AE ＝AB ；（2）填空：①当∠CAD ＝ °时，四边形OBED 是菱形．②当∠CAB ＝90°，cos ∠ADB =13，BE ＝2时，BC ＝ ．思路引领：（1）利用折叠的性质得出AC ＝AE ，∠C ＝∠AED ，再判断出∠C ＝∠ABC ，得出AB ＝AC ，即可得出结论；（2）①先判断出△AOD 是等边三角形，得出∠ADO ＝60°，进而求出∠ADE ＝120°，再求出∠C ＝∠ABC ＝∠DAC ＝30°；②先求出EF＝1，再判断出∠AEB＝∠ADB，利用锐角三角函数求出AE，进而求出AB，即可得出结论．（1）证明：由折叠知，AC＝AE，∠C＝∠AED，∵∠ABC＝∠AED，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC，∴AE＝AB；（2）解：①如图，∵四边形AOED是菱形，∴DE＝OA＝AD，连接OD，∴OA＝OD，∴AD＝OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO＝60°，同理：∠ODE＝60°，∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝120°，由折叠知，CD＝DE，∠ADC＝∠ADE，∴∠ADC＝120°，∵AD＝DE，∴CD＝AD，∴∠CAD＝∠C=12（180°﹣∠ADC）＝30°，故答案为：30°．②如图，过点A作AF⊥BE于F，由（1）知，AE＝AB，∴EF=12BE＝1，∵∠ADB＝∠AEB，cos∠ADB=1 3，∴cos∠AEB=1 3，在Rt△AFE中，cos∠AEB==1 3，∴AE＝3EF＝3，由（1）知，AE＝AB，∴AB＝3，由（1）知，AB＝AC，∵∠CAB＝90°，∴BC=2AB＝32，故答案为：32．总结提升：此题是圆的综合题，主要考查了折叠的性质，圆周角定理，锐角三角函数，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求出∠ADC是解本题的关键．针对训练1．（2019•临河区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AB＝6，BC＝3，则tan∠ADC 的值为 ．思路引领：先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再利用勾股定理计算出AC＝33，利用正且的定义得到tan∠ABC=3，然后根据圆周角定理得到∠ADC＝∠ABC，从而得到tan∠ADC的值．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，AC=AB2―BC2=62―32=33，∴tan∠ABC=ACBC=333=3，∵∠ADC＝∠ABC，∴tan∠ADC=3．故答案为3．总结提升：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．2．（2019春•西陵区期中）如图，已知AD是⊙O的直径，弦BD＝弦BC，经过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．（1）求证：∠EBD＝∠CAB；（2）若BC=3，AC＝5，求sin∠CBA．思路引领：（1）连接OB，根据切线的性质得出∠OBD+∠EBD＝90°，由圆周角定理得出∠CAB＝∠BAD，∠ABO+∠OBD＝90°，即可证得∠EBD＝∠ABO，根据等腰三角形的性质即可证得∠OAB＝∠OBA，从而证得结论；（2）连接CD，交OB于M，根据垂径定理得出OB⊥CD，CM＝DM，然后根据三角形中位线定理求得OM=52，然后G根据勾股定理得出r2﹣（52）2＝（3）2﹣（r―52）2，解得r＝3，解直角三角形求得sin∠ADC=ACAD=56，根据圆周角定理∠CBA＝∠ADC，即可求得sin∠CBA=56．（1）证明：连接OB，∵BE是⊙O的切线，∴OB⊥BE，∴∠OBD+∠EBD＝90°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠ABO+∠OBD＝90°，∴∠EBD＝∠ABO，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OAB＝∠EBD，∵弦BD＝弦BC，∴BC=BD，∴∠CAB＝∠BAD，∴∠EBD＝∠CAB；（2）解：连接CD，交OB于M，∵BC=BD，∴OB⊥CD，CM＝DM，∵OA＝OD，∴OM=12AC=52，设圆的半径为r，∴BM＝r―5 2，∵BD＝BC=3，∵OD2﹣OM2＝BD2﹣BM2，∴r2﹣（52）2＝（3）2﹣（r―52）2，解得r＝3或r=―12（舍去），∴AD＝2r＝6，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴sin∠ADC=ACAD=56，∴sin∠CBA=5 6．总结提升：本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．类型四利用切线与相关半径的关系构造直角三角形典例4（2022•通辽）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．（1）求证：CD是圆的切线；（2）已知sin∠OCD=45，AB＝45，求AC长度及阴影部分面积．思路引领：（1）根据等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余以及等量代换得出∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥EC，进而得出EC是切线；（2）根据直角三角形的边角关系可求出OD、CD、AC、OC，再根据相似三角形的性质可求出EC，根据S阴影部分＝S△COE﹣S扇形进行计算即可．（1）证明：如图，连接OD，∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，∵∠AOB＝90°，∴∠A+∠ABO＝90°，又∵OB＝OD，∴∠ODB +∠BDE ＝90°，即OD ⊥EC ，∵OD 是半径，∴EC 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △COD 中，由于sin ∠OCD =45，设OD ＝4x ，则OC ＝5x ，∴CD =OC 2―OD 2=3x ＝AC ，在Rt △AOB 中，OB ＝OD ＝4x ，OA ＝OC +AC ＝8x ，AB ＝45，由勾股定理得，OB 2+OA 2＝AB 2，即：（4x ）2+（8x ）2＝（45）2，解得x ＝1或x ＝﹣1（舍去），∴AC ＝3x ＝3，OC ＝5x ＝5，OB ＝OD ＝4x ＝4，∵∠ODC ＝∠EOC ＝90°，∠OCD ＝∠ECO ，∴△COD ∽△CEO ，∴OC EC =CD OC ，即5EC =35，∴EC =253，∴S 阴影部分＝S △COE ﹣S 扇形=12×253×4―90π×42360=503―4π=50―12π3，答：AC ＝3，阴影部分的面积为50―12π3．总结提升：本题考查切线的判定，扇形面积的计算以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提．针对训练1．（2019•东河区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交AC的延长线于点F；若半径为3，且sin∠CFD=35，则线段AE的长是（ ）A．245B．5C．194D．225思路引领：连接OD，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的判定得到OD∥AB，再根据切线的性质得到OD⊥DF，则AE⊥EF，接着在Rt△ODF中利用正弦的定义求出OF＝5，然后在Rt△AEF中利用正弦定义可求出AE的长．解：连接OD，如图，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF为切线，∴OD⊥DF，∴AE⊥EF，在Rt△ODF中，∵sin∠CFD=ODOF=35，OD＝3，∴OF＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠F=AEAF=35，∴AE=35（3+5）=245．故选：A．总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形．第二部分专题提优训练1．（2022•东城区二模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BCD的值为 ．思路引领：连接AD、BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BCD＝∠BAD，根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义解答即可．解：连接AD、BD，∵AB为圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB=AD2+BD2=42+32=5，∴sin∠BAD=BDAB=35，由圆周角定理得：∠BCD＝∠BAD，∴sin∠BCD=3 5，故答案为：3 5．总结提升：本题考查的是解直角三角形、圆周角定理，熟记正弦的定义、掌握圆周角定理是解题的关键．2．（2022•青白江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知Rt△ABC可运动（平移或旋转），且∠C＝90°，BC=5+4，tan A=12，若以点M（3，6）为圆心，2为半径的⊙M始终在△ABC的内部，则△ABC的顶点C到原点O的距离的最小值为 ．思路引领：如图，设⊙M与AC相切于点J，与AB相切于点T，连接OC，MJ，MT，延长JM交AB于F．解直角三角形求出CM，OM，根据OC≥OM﹣CM即可解决问题．解：如图，设⊙M与AC相切于点J，与AB相切于点T，连接OC，MJ，MT，延长JM交AB于F．∵AC，AB是⊙O的切线，∴MJ⊥AC，MT⊥AB，∴∠AJM＝∠ATM＝90°，∴∠A+∠JMT＝180°，∵∠JMT+∠FMT＝180°，∴∠A＝∠FMT，∴tan A＝tan∠FMT=1 2，∵MT＝2，∴TF＝1，FM=MT2+FT2=22+12=5，∴JF＝MJ+MF＝2+5，∴AJ＝2FJ＝4+25，∵AC＝2BC＝8+25，∴CJ＝4，∵∠CJM＝90°，∴CM=CJ2+MJ2=42+22=25，∵M（3，6），∴OM=32+62=35，∵OC≥OM﹣CM，∴OC≥35―25，∴OC≥5，∴OC的最小值为5．故答案为5．总结提升：本题考查解直角三角形，切线的性质，坐标由图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．3．（2020秋•上虞区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，P是AB延长线上一点，且BP＝1，过点P作一直线，分别交⊙O于C，D两点，已知∠P＝30°．（1）求CD与PC的长；（2）连接BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积．思路引领：（1）过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，解直角三角形求得OH，PH，然后根据勾股定理求得CH，进而即可求得CD和PC；（2）求得△APD和△PBC的面积，进而即可求得四边形ABCD的面积．解：（1）过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，在Rt△OPH中，∠P＝30°，OP＝OB+BP＝2+1＝3，∴OH=12OP=12×3=32，PH＝OP•cos30°＝3×32=332，在Rt△OHC中，CH=OC2―OH2=22―(32)2=72．∵CD＝2CH，∴CD=2×72=7．∴PC=PH―HC=332―72=33―72．（2）由（1）知：PD=CD+PC=7+33―72=33+72，PA＝5，∠P＝30°，∴S△PBC=12PB⋅PC⋅sin30°=12×1×33―72×12=33―78，S△PAD=12PD⋅PA⋅sin30°=12×33+72×5×12=5(33+7)8，∴S四边形ABCD=S△PAD―S△PBC=5(33+7)8―33―78=63+374．总结提升：本题考查垂径定理，解直角三角形以及勾股定理的应用，三角形的面积，通过解直角三角形其实三角形的高是解题的关键．4．（2022秋•思明区校级期中）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是BCD上不与B，D重合的点，∠A＝30°．（1）求∠BED的大小；（2）若点F在AB的延长线上，且BF＝AB，求证：DF与⊙O相切．思路引领：（1）根据切线的性质，得出∠ABO＝90°，进而求出∠AOB＝60°，∠BOD＝120°，再根据圆周角定理得出答案；（2）根据等腰三角形的判定和性质可得AB＝DB，进而得出DB＝AB＝BF，根据“三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形”得出OD⊥DF即可．（1）解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，即∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∴∠BOD＝180°﹣60°＝120°，∴∠BED=12∠BOD＝60°，（2）证明：连接BD，∵OB＝OD，∠BOD＝120°，∴∠ODB=12（180°﹣60°）＝30°＝∠A，∴AB＝DB，又∵AB＝BF，∴DB＝AB＝BF，∴△ADF是直角三角形，即∠ADF＝90°，∵OD⊥DF，OD是半径，∴DF是⊙O的切线．总结提升：本题考查切线的性质和判定，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形性质，掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形的性质是正确解答的前提．5．（2020秋•平邑县期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB＝BE；（2）如果PD＝23，∠ABC＝60°，求BC的长．思路引领：（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥PC，则可判断OD∥BE，所以∠ODA＝∠E，加上∠ODA＝∠OAD，所以∠OAD＝∠E，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；（2）利用OD∥BE得到∠DOP＝∠ABC＝60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD＝2，PO ＝4，则PB＝6，然后在Rt△PBC中利用∠P＝30度得到BC的长．（1）证明：连接OD，如图，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PC，∵PC⊥BE，∴OD∥BE，∴∠ODA＝∠E，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠E，∴AB＝BE；（2）解：∵OD∥BE，∴∠DOP＝∠ABC＝60°，在Rt△POD中，∵∠P＝90°﹣∠POC＝30°，∴OD=33PD=33×23=2，∴PO＝2OD＝4，∴PB＝PO+OB＝6，在Rt△PBC中，BC=12PB＝3．总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．6．（2022•松阳县二模）如图，已知以AB为直径的半圆，圆心为O，弦AC平分∠BAD，点D在半圆上，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF与半圆O相切于点C．（2）若AO＝3，BF＝2，求tan∠ACE的值．思路引领：（1）根据垂直定义可得∠E＝90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可证AE∥OC，然后利用平行线的性质可求出∠OCF＝90°，即可解答；（2）根据已知可求出OF＝5，AF＝8，再在Rt△OCF中，利用勾股定理求出CF＝4，然后证明A字模型相似三角形△FCO∽△FEA，从而利用相似三角形的性质求出AE，EF的长，最后在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．（1）证明：∵CE⊥AD，∴∠E＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠EAC＝∠ACO，∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCF＝90°，∵OC是半⊙O的半径，∴EF与半圆O相切于点C；（2）∵AO＝3，BF＝2，∴OF＝OB+BF＝5，OC＝3，∴AF＝OF+OA＝8，∵∠OCF＝90°，∴CF=OF2―OC2=52―32=4，∵∠E＝∠OCF＝90°，∠F＝∠F，∴△FCO∽△FEA，∴FCEF=OCEA=OFAF，∴4EF=3EA=58，∴EA=245，EF=325，∴CE＝EF﹣CF=12 5，在Rt△ACE中，tan∠ACE=AECE=245125=2，∴tan∠ACE的值为2．总结提升：本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握切线的判定，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．（2022•石家庄模拟）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称．其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．（1）为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图1，P是⊙O外一点， ．求证： ．（2）如图2，在（1）的条件下，CD是⊙O的直径，连接AD，BC，若∠ADC＝50°，∠BCD＝70°，OC＝2，求OP的长．思路引领：（1）根据命题的条件和结论即可写成已知和求证，连接OA、OB，根据切线的性质可得∠OAP ＝∠OBP＝90°，然后证明Rt△OAP≌Rt△OBP，从而可得∠AOP＝∠BOP，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；（2）连接OA、OB，根据等腰三角形的性质求出∠AOD和∠BOC，从而求出∠AOB，然后在Rt△OBP 中利用锐角三角函数进行计算即可解答．解：（1）已知：如图1，P是⊙O外一点，PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP，求证：OP垂直平分AB，证明：连接OA、OB，∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠AOP＝∠BOP，∵OA＝OB，∴OP垂直平分AB，故答案为：PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，连接AB，OP；OP垂直平分AB；（2）连接OA、OB，∵OA＝OD，∴∠ADC＝∠DAO＝50°，∴∠AOD＝180°﹣∠ADC﹣∠DAO＝80°，∵OB＝OC，∴∠DCB＝∠OBC＝70°，∴∠BOC＝180°﹣∠DCB﹣∠OBC＝40°，∴∠AOB＝180°﹣∠AOD﹣∠BOC＝60°，由（1）得：∠BOP＝∠AOP=12∠AOB＝30°，∵∠OBP＝90°，OB＝OC＝2，∴OP=OBcos30°=232=433，∴OP的长为43 3．总结提升：本题考查了解直角三角形，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，根题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．。

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题05 圆与三角函数、相似结合的综合问题【典例分析】【例1】如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且»AN＝»BN，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．思路点拨（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB=∠MBF，得出OM∥BF，即可证得OM⊥MF，即可证得结论；（2）由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明△ACN∽△MCB，可得AC CNCM BC，即可求CM的长．满分解答（1）连接OM，∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM，∵BM 平分∠ABD ，∴∠OBM ＝∠MBF ，∴∠OMB ＝∠MBF ，∴OM ∥BF ，∵MF ⊥BD ，∴OM ⊥MF ，即∠OMF ＝90°，∴MF 是⊙O 的切线；（2）如图，连接AN ，ONQ ¶¶AN BN=， 4AN BN ∴==AB Q 是直径，¶¶AN BN=， 90ANB ∴∠=︒，ON AB ⊥2242AB AN BN ∴=+22AO BO ON ∴===22981OC CN ON ∴=-=-=221AC ∴=，221BC =A NMB ∠=∠Q ，ANC MBC ∠=∠ACN MCB ∴∆∆∽ ∴AC CN CM BC= AC BC CM CN ∴=g g73CM ∴=g73CM ∴=【例2】如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，过⊙O外的点D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，连接DC并延长交AB的延长线于点P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于点H．（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若HB=2，cos D=35，请求出AC的长．思路点拨（1）连接OC，易证∠COB=∠D，由于∠P+∠D=90°，所以∠P+∠COB=90°，从而可知半径OC⊥DC；（2）由（1）可知：cos∠COP=cos∠D=35，设半径为r，所以OH=r﹣2，从而可求出r的值，利用勾股定理即可求出CH的长度，从而可求出AC的长度．满分解答解：（1）DC与⊙O相切．理由如下：连接OC，∵∠COB=2∠A，∠D=2∠A，∴∠COB=∠D，∵DE⊥AP，∴∠DEP=90°，在Rt△DEP中，∠DEP=90°，∴∠P+∠D=90°，∴∠P+∠COB=90°，∴∠OCP=90°，∴半径OC⊥DC，∴DC与⊙O相切．（2）由（1）可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，∴cos∠COP=cos∠D=35，∵CH⊥OP，∴∠CHO=90°，设⊙O的半径为r，则OH=r﹣2．在Rt△CHO中，cos∠HOC=OHOC=2rr=35，∴r=5，∴OH=5﹣2=3，∴由勾股定理可知：CH=4，∴AH=AB﹣HB=10﹣2=8．在Rt△AHC中，∠CHA=90°，∴由勾股定理可知：AC=5【例3】如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=23，E是弧AB的中点，求EG•ED的值．思路点拨（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，劲儿利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根据cosB=23，得出AB的长，再求出AE的长，进而得出△AEG∽△DEA，求出答案即可．满分解答解：（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180°﹣∠E，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=23，BD=4，∴AB=6，∵E是»AB的中点，AB是⊙O的直径，∵∠AOE=90°，且AO=OE=3，∴AE=∵E是»AB的中点，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴AE DE EG AE，即EG•ED=2AE=18．【例4】如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．思路点拨（1）由题意知CD⊥OA，所以△ACD∽△ABO，利用对应边的比求出AD的长度，若Q与D重合时，则，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；（2）由于0＜t≤5，当Q经过A点时，OQ=4，此时用时为4s，过点P作PE⊥OB于点E，利用垂径定理即可求出⊙P被OB截得的弦长；（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与⊙P相切时，计算出此时的时间；②当Q与D重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t的取值范围．满分解答（1）∵OA=6，OB=8，∴由勾股定理可求得：AB=10，由题意知：OQ=AP=t，∴AC=2t，∵AC是⊙P的直径，∴∠CDA=90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴AC AD AB OA，∴AD=65t，当Q与D重合时，AD+OQ=OA，∴65t+t=6，∴t=30 11；（2）当⊙Q经过A点时，如图OQ=OA﹣QA=4，∴t=41=4s，∴PA=4，∴BP=AB﹣PA=6，过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F、G，连接PF，∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，∴PE BP OA AB=，∴PE=3.6，∴由勾股定理可求得：EF=2195，由垂径定理可求知：FG=2EF=419；（3）当QC与⊙P相切时，如图此时∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，∴AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴AQ AC AB OA=，∴62 106t t -=，∴t=18 13，∴当0＜t≤1813时，⊙P与QC只有一个交点，当QC⊥OA时，此时Q与D重合，由（1）可知：t=30 11，∴当30 11＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点，综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0＜t≤1813或3011＜t≤5．【例5】如图，△ABC内接于⊙O，2,BC AB AC==，点D为»AC上的动点，且10cos10B=.(1)求AB的长度；(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由.(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH CD DH=+.思路点拨（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB即可求得AB长；（2）连接DG，则可得AG为⊙O的直径，继而可证明△DAG∽△FAE，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG，连接BG，求得AF=3，FG=13，继而即可求得A D•AE的值；（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD.满分解答（1)过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=12BC=1，在RtΔAFB中，BF=1，∴AB=10cos10BFB==（2）连接DG，∵AF⊥BC，BF=CF，∴AG为⊙O的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ，∴AD ：AF=AG ：AE ，∴AD•AE=AF•AG ，连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ，∵AF=22AB BF =3， ∴FG=13， ∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG ）=3×103=10； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，∵∠ADB=∠ACB=∠ABC ，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，∴∠ADC=∠ADN ， ∵AD=AD ，CD=ND ，∴△ADC ≌△ADN ，∴AC=AN ，∵AB=AC ，∴AB=AN ，∵AH ⊥BN ，∴BH=HN=HD+CD.【例6】已知如图，抛物线与轴相交于B(1，0)，C(5，0)两点，与y 轴的正半轴相交于A 点，过A ，B ，C 三点的⊙P 与y 轴相切于点A ，M 为轴负半轴上的一个动点，直线MB 交抛物线于N ，交⊙P 于D ．(1)填空:A 点坐标是____，⊙P 半径的长是_______，=____，=____，=____；(2)若S △BNC :S △AOB ＝48:5，求N 点的坐标；(3)若△AOB 与以A ，B ，D 为顶点的三角形相似，求MB·MD 的值．思路点拨（1）先将B、C两点坐标代入抛物线方程，再根据题意求得⊙P半径，进而求得抛物线方程；（2）根据S△BNC：S△AOB=48：5求出N点的y坐标，将yN代入抛物线方程即可求得N点坐标；（3）根据三角形相似的性质和射影定理便可求得MB•MD的值．满分解答(1) ⊙P的半径=3,=,=,=；（2）由（1）知抛物线的解析式为=，∴A点的坐标为（0，），所以OA=，而OB=1,BC=OC-OB=5-1=4,,∵S△BNC:S△AOB＝48:5,∴,设点N的纵坐标为，则有，解得，而抛物线最小值是，∴，在中，时，（不合题意，舍去），，∴符合条件的N点的坐标是（7，）；…（3）过点A作直径AQ联接BQ，∴∠ABQ=90º,∠BAO+∠AOB=90º,∵MA与⊙P相切于点A，∴∠OAB+∠BAO=90º,∴∠OAB=∠AOB,而∠AQB=∠ADB,∴∠OAB=∠ADB,而∠AMB=AMD,∴△MAB∽△MDA,∴,∴…ⅰ当△AOB∽△DBA时，∠ABD=∠AOB=90º,易证△AOB∽△BOM,则∴OM=,,∴;ⅱ当△AOB∽△DAB时，∠BAD=∠AOB=90º,∴BD是⊙P的直径，∴∠DCB=90º,而BD=2×3=6,BC=4,∴∵∠DCB=∠MOB=90º,∴OM∥CD,∴△MOB∽△DCB, ∴,∴,∴,∴;所以，若△AOB 与以A,B,D 为顶点的三角形相似，MB·MD 等于或 【变式训练】1．如图，已知圆O 的内接六边形ABCDEF 的边心距2OM =，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．3【答案】D【详解】解：如图所示，连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，∵多边形ABCDEF 是正六边形，∴60COB ∠=o ，∵OC OB =，∴COB ∆是等边三角形，∴60OCM ∠=o ，∴sin OM OC OCM =•∠，∴3)sin 603OM OC cm ︒==．∵30OCN ∠=o ，∴123,223ON OC CN ===，∴24CE CN ==，∴该圆的内接正三角形ACE 的面积12334432=⨯⨯=故选：D ．2．如图，在ABC ∆中，O 是AB 边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的O e 与AC 相切于点D ，BD 平分ABC ∠，3AD OD =，12AB =，CD 的长是（ ）A ．3B ．2C ．33D ．3【答案】A【详解】 解：∵O e 与AC 相切于点D ，9033 30//90160636323033623AC ODADOAD ODODtanAADABD ABCOBD CBDOB ODOBD ODBODB CBDOD BCC ADOABC BC AB AC BCCBDCD BC∴⊥∴∠︒∴∴∠︒∠∴∠∠∴∠∠∴∠∠∴∴∠∠︒∴∠︒∴∠︒∴⨯QQQ，＝，＝，＝＝，＝，平分，＝，＝，＝，＝，，＝＝，＝，＝＝，＝＝，＝，＝＝＝；故选A．3．如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA AB PD AC⊥⊥，于点D，连接AP，设AP x PA PD y＝，﹣＝，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C ．D ．【答案】C【详解】设：圆的半径为R ，连接PB ，则1sin 22AP ABP x R R∠==， CA AB ⊥Q ，即AC 是圆的切线，则PDA PBA α∠∠＝＝， 则2122x PD APsin x x R R α⨯=＝＝ 则212y PA PD x x R-+＝＝- 图象为开口向下的抛物线，故选：C ．4．如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为A ．4B ．C ．6D ．【答案】B【详解】连结OD ，如图， ∵DF 是圆的切线， ∴OD ⊥DF ， ∴∠ODF=90°，∵△ABC 为等边三角形， ∴∠C=∠A=∠B=60°，AB=AC ， 而OD=OC ， ∴∠ODC=60°，∴∠ODC=∠A ， ∴OD ∥AB ， ∴DF ⊥AB在Rt △ADF 中，∠A=60°， ∴∠ADF=30°， ∴AD=2AF=2×2=4， 而OD ∥AB ，点O 为BC 的中点， ∴OD 为△ABC 的中位线， ∴AD=CD=4，即AC=8，∴AB=8， ∴BF=AB-AF=6， ∵FG ⊥BC ， ∴∠BGF=90°，在Rt △BFG 中，sinB=sin60°=， ∴FG=6×=3.5．如图，已知AB 是O e 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与O e 相切于点D ，过点B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C ，若O e 的半径为4，6BC ，则PA 的长为（ ）A ．4B ．3C ．3D ．2.5【答案】A【详解】连接OD ， ∵PD 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥PD ，∴∠PDO=90°，∵∠BCP=90°，∴∠PDO=∠PCB ，∵∠P=∠P ，∴△POD ∽△PBC ，∴PO ：PB=OD ：BC ，即PO ：（PO+4）=4：6，∴PO=8，∴PA=PO-OA=8-4=4，故选A.6．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．6cm C．2.5cm D．5cm【答案】D【详解】连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8．在Rt△EBC中，2222++=BE EC4845∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°．∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴OF OCBE BC=，即5445OF=，解得：OF=5．故选D．7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E，若DE=3，则AD的长为（）A．5 B．4 C．35D．25【答案】D【详解】如图：连接BE，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝10，∴AC＝5连接BE，∴∠BAC＝∠EDB，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°∴BD是圆的直径，∴∠BED＝90°＝∠CBA，∴△ABC∽△DEB，∴AB AC DE DB=，∴5553DB =，∴DB＝35，在Rt△ABD中，AD＝22BD AB-＝25，故选D．8．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=_____．【答案】23【详解】解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=∠D=90°，∵∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=30°，∴在Rt△ABD中，AB=ADcos30︒=43，∴在Rt△ABC中，AC=AB•cos60°=43×12=23．故答案为23．9．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM=____．【答案】3．【详解】连接OM，OC，∵OB=OC，且∠ABC=30°，∴∠BCO=∠ABC=30°，∵∠AOC为△BOC的外角，∴∠AOC=2∠ABC=60°，∵MA，MC分别为圆O的切线，∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，在Rt△AOM和Rt△COM中，，∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°，在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°，∴tan30°=，即=，解得：AM=．故答案为．10．如图，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上的动点，且60BPC ︒∠=，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是___．【答案】633+．【详解】过O 作OM AC ⊥于M ，延长MO 交⊙O 于P ，则此时，点P 到AC 距离的最大，且点P 到AC 距离的最大值PM =，∵OM AC ⊥，60A BPC ︒∠=∠=，⊙O 的半径为6，∴6OP OA ==， ∴3363322OM ==⨯= ∴633PM OP OM =+=+，∴则点P 到AC 距离的最大值是633+，故答案为：633+．11．如图，在⊙O 中，弦AB=1，点C 在AB 上移动，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为___．【答案】12【详解】 解：作OH ⊥AB ，延长DC 交⊙O 于E ，如图，∴AH=BH=12AB=12， ∵CD ⊥OC ，∴CD=CE ， ∵∠ABD=∠DEA ，∠BCD=∠ECA ，∴△BCD ∽△ECA ，∴BC CD CE AC=， ∴CD•CE=BC•AC ，∴CD 2=（BH-CH ）（AH+CH ）=（12-CH ）（12+CH ）=14-CH 2， ∴214CH - ∴当CH 最小时，CD 最大，而C 点运动到H 点时，CH 最小，此时CD=12，即CD 的最大值为12．故答案为12． 12．如图，已知半圆O 与四边形ABCD 的边AD AB BC 、、都相切，切点分别为D E C 、、，半径1OC =，则AE BE ⋅=___________.【答案】1【详解】如图，连接 OE ，∵AD 、AB 与半圆 O 相切，∴ OE ⊥AB ，OA 平分∠DOE ，∴∠AOE=12∠DOE ， 同理∠BOE=12∠EOC ， ∵∠DOE+∠EOC=180°，∴∠AOE+∠BOE=90°，即∠AOB=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠AOE=90°，∴∠ABO=∠AOE ，∵∠OEA=∠BEO=90°，∴△AEO ∽△OEB ，∴AE ：OE=OE ：BE ，∴AE•BE=OE²=1，故答案为1.13．如图，以AB 为直径的⊙O 与CE 相切于点C ，CE 交AB 的延长线于点E ，直径AB ＝18，∠A ＝30°，弦CD⊥AB，垂足为点F，连接AC，OC，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①¶¶BC BD=；②扇形OBC的面积为274π；③△OCF∽△OEC；④若点P为线段OA上一动点，则AP•OP有最大值20.25．【答案】①③④．【详解】∵弦CD⊥AB，AB是直径，∴»»BC BD=，所以①正确；∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°，∴扇形OBC的面积=2609273602ππ⨯⨯=，所以②错误；∵⊙O与CE相切于点C，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵∠COF=∠EOC，∠OFC=∠OCE，∴△OCF∽△OEC，所以③正确；∵AP•OP=(9-OP)•OP= -(OP-92)2+814，当OP=92时，AP•OP的最大值为814=20.25，所以④正确，故答案为：①③④．14．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，在劣弧¶AC上取一点D，使¶¶CD AB=，将△ADC沿AD对折，得到△ADE，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CE 3= C D ，劣弧¶CD的弧长为π，求⊙O 的半径．【答案】（1）见解析；（2）圆的半径为3．【详解】（1）∵¶¶CD AB =，∴∠CAD ＝∠BCA ＝α＝∠EAD ，设：∠DCA ＝∠DEA ＝β，∠DCE ＝∠DEC ＝γ，则△ACE 中，根据三角形内角和为180°，∴2α+2β+2γ＝180°，∴α+β+γ＝90°，∴CE 是⊙O 的切线；（2）过点A 作AM ⊥BC ，延长AD 交CE 于点N ，则DN ⊥CE ，∴四边形AMCN 为矩形， 设：AB ＝CD ＝x ，则CE 3=， 则CN 12=CE 3=＝AM ，而AB ＝x ， 则sin ∠ABM 3=ABM ＝60°， ∴△OAB 为等边三角形，即∠AOB ＝60°，¶¶60360CD AB ︒==⨯︒2πr ＝π，解得：r＝3，故圆的半径为3．15．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝，求的值．【答案】（1）详见解析；（2）7 9 .【详解】（1）证明：连接OC，则OC⊥CD，又AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠OCA，又OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠CAO，∴AC平分∠DAB．（2）解：连接BE交OC于点H，易证OC⊥BE，可知∠OCA＝∠CAD，∴COS∠HCF＝45，设HC＝4,FC＝5，则FH＝3．又△AEF∽△CHF，设EF＝3x，则AF＝5x，AE＝4x，∴OH＝2x∴BH＝HE＝3x＋3 OB＝OC＝2x＋4在△OBH中，（2x）2＋（3x＋3）2＝（2x＋4）2化简得：9x2＋2x－7＝0，解得：x＝79（另一负值舍去）．∴5759 AF xFC==．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.(1)求证：∠BAC=2∠DAC；(2)若AF＝10，BC＝45，求tan∠BAD的值.【答案】(1)见解析；(2) tan∠BAD=11 2.【详解】解：（1）∵AB＝AC，∴»AB=»AC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝12（180°−∠BAC）＝90°−12∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°−∠DAC，∴12∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝2∠DAC；(2)∵DF=DC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC,∴CB=CF,又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB= AF=10, AC=10. 又BC＝45，设AE＝x, CE=10－x,AB2－AE2=BC2－CE2, 100－x2=80－(10－x)2, x=6 ∴AE=6,BE=8,CE=4,∴DE=AE CEBE⋅=648⨯=3,∴BD＝BE＋DE＝3＋8＝11，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB•DH＝12BD•AE，∴DH＝•11633105 BD AABE⨯==，∴BH＝2244 5BD DH-=，∴AH＝AB−BH＝10−446 55=，∴tan∠BAD=DHAH=336=112.17．如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD=43DC，求DFCF的值．【答案】（1）证明见解析；（2）35．【详解】解：（1）证明：∵BC为直径，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵CE=CF∴∠4=∠5，∵∠3=∠4，∴∠3=∠5，∴∠2+∠5=90°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴直线CA是⊙O的切线；（2）由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，∴△ADF∽△ACE，∴AD DF DF AC CE CF==，∵BD=43 DC，∴tan∠ABC=CDBD=34∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴tan∠ACD=34，∴sin∠ACD=35 ADAC=，∴DFCF=35ADAC=．18．如图，AB是⊙C的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB· DA．延长AE至F，使AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED=4 5 .(1)求证：△DEB∽△DAE；(2)求DA，DE的长；(3)若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长.【答案】(1)证明见解析；(2)DA=1607，DE=1207；(3)MD＝35235.【详解】(1)DE2＝DB·DA，∴DE DB DA DE=，又∵∠D＝∠D，∴△DEB∽△DAE；(2)∵AB是⊙C的直径，E是⊙C上的点，∴∠AEB=90°，即BE⊥AF，又∵AE=EF，BF=10，∴AB=BF=10，∵△DEB ∽△DAE，cos ∠BED=45，∴∠EAD=∠BED，cos ∠EAD =cos ∠BED=45，在Rt△ABE中，由于AB＝10，cos ∠EAD＝45，得AE=ABcos∠EAD=8，∴226 BE AB AE=-=，∵△DEB ∽△DAE，∴6384 DE DB EBDA DE AE====，∵DB=DA-AB=DA-10，∴341034DEDADADE⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得16071207DADE⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验，16071207DADE⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是341034DEDADADE⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩的解，∴DA=1607，DE=1207；(3)连接FM，∵BE⊥AF，即∠BEF＝90°，∴BF是B、E、F三点确定的圆的直径，∵点F在B、E、M三点确定的圆上，即四点F、E、B、M在同一个圆上，∴点M在以BF为直径的圆上，∴FM⊥AB，在Rt△AMF中，由cos ∠FAM＝AM AF得AM＝AFcos ∠FAM ＝2AEcos ∠EAB＝2×8×45＝645，∴MD＝DA－AM＝16064352 7535-=.19．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AE上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F.（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF·DB；（3）在（2）的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长.【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）PD=4，OA=2．【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE，∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）证明：∵BD平分∠ABE，∴∠1=∠2，而∠2=∠AED，∴∠AED=∠1，∵∠FDE=∠EDB，∴△DFE ∽△DEB，∴DE：DF=DB：DE，∴2DE=DF•DB；（3）连结DE，如图，∵OD=OB，∴∠2=∠ODB，而∠1=∠2，∴∠ODB=∠1，∴OD∥BE，∴△POD∽△PBE，∴PD POPE PB=，∵PA=AO，∴PA=AO=BO，∴23PDPE=，即223PDPD=+，∴PD=4．20．如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE•CP；（3）当AB=43且CFCP=34时，求劣弧»BD的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）433．【详解】（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，∵∠AFC=90°，∠AEC=90°，∴∠FAC=∠EAC，即AC平分∠FAB；（2）∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB，∴CB CE CP CB=，∴BC2=CE•CP；（3）如图，作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°，∴△BMC∽△PMB，∴BM CM PM BM=，∴BM2=CM•PM=3a2，∴BM=3a，∴tan∠BCM=3 BMCM=，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°，∴»BD的长=1202343ππ⨯⨯=．21．如图，以AB 边为直径的⊙O 经过点P ，C 是⊙O 上一点，连结PC 交AB 于点E ，且∠ACP =60°，PA =PD ． （1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若点C 是弧AB 的中点，已知AB =4，求CE •CP 的值．【答案】（1）PD 是⊙O 的切线．证明见解析.（2）8.【详解】（1）如图，PD 是⊙O 的切线．证明如下：连结OP ，∵∠ACP=60°，∴∠AOP=120°，∵OA=OP ，∴∠OAP=∠OPA=30°，∵PA=PD ，∴∠PAO=∠D=30°，∴∠OPD=90°，∴PD 是⊙O 的切线．（2）连结BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，又∵C 为弧AB 的中点，∴∠CAB=∠ABC=∠APC=45°，∵AB=4，AC=Absin45°=．∵∠C=∠C ，∠CAB=∠APC ，∴△CAE ∽△CPA ，∴，∴CP•CE=CA 2=（）2=8．22．如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 平分BAC ∠，DC AC ⊥，过点B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ．(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线．(2)求证：CD BE AD DE ⋅=⋅．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】解：证明：(1)连接OD ，∵AD 平分BAC ∠，∴CAD BAD ∠=∠，∵OA OD =，∴BAD ADO =∠∠，∴CAD ADO ∠=∠，∴AC OD ∥，∵CD AC ⊥，∴CD OD ⊥，∴直线CD 是⊙O 的切线；(2)连接BD ，∵BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴90ABE BDE ︒∠=∠=，∵CD AC ⊥，∴90C BDE ︒∠=∠=，∵CAD BAE DBE ∠=∠=∠，∴ACD BDE ∆∆∽， ∴CD AD DE BE=， ∴CD BE AD DE ⋅=⋅．23．如图，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O e 分别与,BC AC 交于点,D E ，过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ．（1）求证：直线DF 是O e 的切线；（2）求证：24BC CF AC =g ；（3）若O e 的半径为4，15CDF ∠=︒，求阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）16433π- 【详解】解：（1）如图所示，连接OD ，∵AB AC =，∴ABC C ∠=∠，而OB OD =，∴ODB ABC C ∠=∠=∠，∵DF AC ⊥，∴90CDF C ∠+∠=︒，∴90CDF ODB ∠+∠=︒，∴90ODF ∠=︒，∴直线DF 是O e 的切线；（2）连接AD ，则AD BC ⊥，则AB AC =， 则12DB DC BC ==， ∵90CDF C ∠+∠=︒，90C DAC ∠+∠=︒，∴CDF DCA ∠=∠，而90DFC ADC ∠=∠=︒，∴CFD CDA V V ∽，∴2•CD CF AC =，即24BC CF AC =g ；（3）连接OE ，∵15,75CDF C ∠=︒∠=︒，∴30OAE OEA ∠=︒=∠，∴120AOE ∠=︒，11sin 2cos sin 4322OAE S AE OE OEA OE OEA OE OEA =⨯∠=⨯⨯⨯∠⨯∠=V ， 212016443433603OAES OAE S S ππ︒︒=-=⨯⨯-=-V 阴影部分扇形 24．如图，△ABC 内接于⊙O ，CD 平分∠ACB 交⊙O 于D ，过点D 作PQ ∥AB 分别交CA 、CB 延长线于P 、Q ，连接BD ．（1）求证：PQ 是⊙O 的切线；（2）求证：B D 2=AC •BQ ；（3）若AC 、BQ 的长是关于x 的方程4x m x +=的两实根，且tan ∠PCD =13，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【详解】解：（1）证明：∵PQ∥AB，∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，∵∠ACD=∠BCD，∴∠BDQ=∠ACD，如图1，连接OB，OD，交AB于E，则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，∴2∠ODB+2∠O=180°，∴∠ODB+∠O=90°，∴PQ是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，∴AD=BD，∵∠DBQ=∠ACD，∴△BDQ∽△ACD，∴AD AC BQ BD=，∴BD2=AC•BQ；（3）解：方程4x mx+=可化为x2﹣mx+4=0，∵AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，∴AC•BQ=4，由（2）得BD2=AC•BQ，∴BD2=4，∴BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴OD⊥PQ，∵PQ∥AB，∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，∵tan∠PCD=13，∴tan∠ABD=13，∴BE=3DE，∴DE2+（3DE）2=BD2=4，∴DE=2105，∴BE=610，设OB=OD=R，∴OE=R﹣2105，∵OB2=OE2+BE2，∴R2=（R﹣2105）2+（610）2，解得：R=210，∴⊙O的半径为210．25．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA，DC．已知半圆O的半径为3，BC=2．（1）求AD的长．（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，作∠DPF=∠DAC，PF交线段CD于点F．当△DPF为等腰三角形时，求AP的长．【答案】（1）AD=26；（2）当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8﹣26．【详解】（1）如图1，连接OD，∵OA=OD=3，BC=2，∴AC=8，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=12AC=4，∴OE=AE﹣OA=1，在Rt△ODE中，DE=22OD OE-=22；在Rt△ADE中，AD=22AE DE-=26；（2）当DP=DF时，如图2，点P与A重合，F与C重合，则AP=0；当DP=PF时，如图4，∴∠CDP=∠PFD，∵DE是AC的垂直平分线，∠DPF=∠DAC，∴∠DPF=∠C，∵∠PDF=∠CDP，∴△PDF∽△CDP，∴∠DFP=∠DPC，∴∠CDP=∠CPD，∴CP=CD，∴AP=AC﹣CP=AC﹣CD=AC﹣AD=8﹣26；当PF=DF时，如图3，∴∠FDP=∠FPD，∵∠DPF=∠DAC=∠C，∴△DAC∽△PDC，∴PC CDCD AC=，26 26=，∴AP=5，即：当△DPF是等腰三角形时，AP的长为0或5或8﹣6．。

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈）【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】解：作BF CE ⊥于F ，在Rt BFC ∆中， 3.20BF BC sin BCF ⋅∠≈＝，3.85CF BC cos BCF ⋅∠≈＝，在Rt ADE ∆E 中，3 1.73tan 3AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．【点睛】考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=12∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：BFPE=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BF PE的值．（用含α的式子表示）【答案】（1）证明见解析（2）12BFPE=（3）1tan2BFPEα=【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB="OP" ，∠BOC=∠BOG=90°．∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．（2）BF1PE2=．证明如下：如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB．∵∠OBC=∠OCB =450，∴∠NBP=∠NPB．∴NB=NP．∵∠MBN=900—∠BMN ， ∠NPE=900—∠BMN ，∴∠MBN=∠NPE ． ∴△BMN ≌△PEN （ASA ）．∴BM=PE ．∵∠BPE=12∠ACB ，∠BPN=∠ACB ，∴∠BPF=∠MPF ． ∵PF ⊥BM ，∴∠BFP=∠MFP=900．又∵PF=PF ， ∴△BPF ≌△MPF （ASA ）．∴BF="MF" ，即BF=12BM ． ∴BF=12PE ， 即BF 1PE 2=． （3）如图，过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．由（2）同理可得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ． ∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN ∽△PEN ．∴BM BNPE PN=． 在Rt △BNP 中，BN tan =PN α， ∴BM =tan PE α，即2BF=tan PEα． ∴BF 1=tan PE 2α． （1）由正方形的性质可由AAS 证得△BOG ≌△POE ．（2）过P 作PM//AC 交BG 于M ，交BO 于N ，通过ASA 证明△BMN ≌△PEN 得到BM=PE ，通过ASA 证明△BPF ≌△MPF 得到BF=MF ，即可得出BF 1PE 2=的结论． （3）过P 作PM//AC 交BG 于点M ，交BO 于点N ，同（2）证得BF=12BM ， ∠MBN=∠EPN ，从而可证得△BMN ∽△PEN ，由BM BN PE PN =和Rt △BNP 中BNtan =PNα即可求得BF 1=tan PE 2α．3．已知Rt △ABC 中，AB 是⊙O 的弦，斜边AC 交⊙O 于点D ，且AD=DC ，延长CB 交⊙O 于点E ．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）【答案】（1）AE=CE；（2）①；②．【解析】试题分析：（1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF．①当CF=CD时，可得，从而有EC=AE=CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．试题解析：（1）AE=CE．理由：连接AE、DE，如图1，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90，∴∠ADE=∠ABE=90°，∵AD=DC，∴AE=CE；（2）连接AE、ED，如图2，∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF=90°，∴∠ADE=∠AEF=90°，又∵∠DAE=∠EAF，∴△ADE∽△AEF，∴，∴=AD•AF．①当CF=CD时，AD=DC=CF，AF=3DC，∴=DC•3DC=，∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED===；②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=．∵CF=aCD，AD=DC，∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴=DC•（a+2）DC=（a+2），∴AE=DC，∵EC=AE，∴EC=DC，∴sin∠CAB=sin∠CED==．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．4．如图，抛物线C1：y=（x+m）2（m为常数，m＞0），平移抛物线y=﹣x2，使其顶点D 在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2．抛物线C2交x轴于A，B两点（点A 在点B的左侧），交y轴于点C，设点D的横坐标为a．（1）如图1，若m=．①当OC=2时，求抛物线C2的解析式；②是否存在a，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2，当OB=2﹣m（0＜m＜）时，请直接写出到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）．【答案】(1) ①y=﹣x2+x+2．②．（2）P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【解析】试题分析：（1）①首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a），然后利用点C （0，2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；②认真审题，题中条件“AP=BP”意味着点P在对称轴上，“点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP⊥BC．画出图形，如图1所示，利用三角函数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定△ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即△ABD形内1个（内心），形外3个．不要漏解．试题解析：（1）当m=时，抛物线C1：y=（x+）2．∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+）2（I）．①∵OC=2，∴C（0，2）．∵点C在抛物线C2上，∴﹣（0﹣a）2+（a+）2=2，解得：a=，代入（I）式，得抛物线C2的解析式为：y=﹣x2+x+2．②在（I）式中，令y=0，即：﹣（x﹣a）2+（a+）2=0，解得x=2a+或x=﹣，∴B（2a+，0）；令x=0，得：y=a+，∴C（0，a+）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+（a+）．假设存在满足条件的a值．∵AP=BP，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；∵点B与点C到直线OP的距离之和≤BC，只有OP⊥BC时等号成立，∴OP⊥BC．如图1所示，设C2对称轴x=a（a＞0）与BC交于点P，与x轴交于点E，则OP⊥BC，OE=a．∵点P在直线BC上，∴P（a，a+），PE=a+．∵tan∠EOP=tan∠BCO=，∴，解得：a=．∴存在a=，使得线段BC上有一点P，满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP="BP"（3）∵抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a，∴D（a，（a+m）2）．∴抛物线C2：y=﹣（x﹣a）2+（a+m）2．令y=0，即﹣（x﹣a）2+（a+m）2=0，解得：x1=2a+m，x2=﹣m，∴B（2a+m，0）．∵OB=2﹣m，∴2a+m=2﹣m，∴a=﹣m．∴D（﹣m，3）．AB=OB+OA=2﹣m+m=2．如图2所示，设对称轴与x轴交于点E，则DE=3，BE=AB=，OE=OB﹣BE=﹣m．∵tan∠ABD=，∴∠ABD=60°．又∵AD=BD，∴△ABD为等边三角形．作∠ABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BE•tan30°=×=1，∴P1（﹣m，1）；在△ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4．在Rt△BEP2中，P2E=BE•tan60°=•=3，∴P2（﹣m，﹣3）；易知△ADP3、△BDP4均为等边三角形，∴DP3=DP4=AB=2，且P3P4∥x轴．∴P3（﹣﹣m，3）、P4（3﹣m，3）．综上所述，到△ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P1（﹣m，1），P2（﹣m，﹣3），P3（﹣﹣m，3），P4（3﹣m，3）．【考点】二次函数综合题．5．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）见解析；（2）∠FCN ＝45°，理由见解析；（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43．理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据三角形判定方法进行证明即可．（2）作FH ⊥MN 于H ．先证△ABE ≌△EHF ，得到对应边相等，从而推出△CHF 是等腰直角三角形，∠FCH 的度数就可以求得了．（3）解法同（2），结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ，得出EH=AD=BC=8，由三角函数定义即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形， ∴AB ＝AD ，AE ＝AG ＝EF ，∠BAD ＝∠EAG ＝∠ADC ＝90°， ∴∠BAE +∠EAD ＝∠DAG +∠EAD ，∠ADG ＝90°＝∠ABE ， ∴∠BAE ＝∠DAG ， 在△ADG 和△ABE 中，ADG ABE DAG BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADG ≌△ABE （AAS ）． （2）解：∠FCN ＝45°，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图1所示：则∠EHF ＝90°＝∠ABE ， ∵∠AEF ＝∠ABE ＝90°，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∠FEH +∠AEB ＝90°， ∴∠FEH ＝∠BAE ，在△EFH 和△ABE 中，EHF ABE FEH BAE AE EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EFH ≌△ABE （AAS ）， ∴FH ＝BE ，EH ＝AB ＝BC ， ∴CH ＝BE ＝FH ， ∵∠FHC ＝90°， ∴∠FCN ＝45°．（3）当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，理由如下： 作FH ⊥MN 于H ，如图2所示：由已知可得∠EAG ＝∠BAD ＝∠AEF ＝90°，结合（1）（2）得：△EFH ≌△GAD ，△EFH ∽△ABE ， ∴EH ＝AD ＝BC ＝8， ∴CH ＝BE ， ∴EH FH FHAB BE CH==； 在Rt △FEH 中，tan ∠FCN ＝8463FH EH CH AB ===， ∴当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan ∠FCN ＝43． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，其重点是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 与直线y ＝12x ﹣3分别交x 轴、y 轴上的B 、C 两点，设该抛物线与x 轴的另一个交点为点A ，顶点为点D ，连接CD 交x 轴于点E ．（1）求该抛物线的表达式及点D 的坐标； （2）求∠DCB 的正切值；（3）如果点F 在y 轴上，且∠FBC ＝∠DBA +∠DCB ，求点F 的坐标．【答案】（1）21y 234x x =-+-，D （4，1）；（2）13；（3）点F 坐标为（0，1）或（0，﹣18）． 【解析】 【分析】 （1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3，求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx+c ，即可求解； （2）求出则点E （3，0），EH ＝EB•sin ∠OBC ＝5，CE ＝32，则CH ＝5，即可求解；（3）分点F 在y 轴负半轴和在y 轴正半轴两种情况，分别求解即可． 【详解】 （1）y ＝12x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6，令x ＝0，则y ＝﹣3， 则点B 、C 的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c ＝﹣3， 将点B 坐标代入抛物线y ＝﹣14x 2+bx ﹣3得：0＝﹣14×36+6b ﹣3，解得：b ＝2， 故抛物线的表达式为：y ＝﹣14x 2+2x ﹣3，令y ＝0，则x ＝6或2， 即点A （2，0），则点D （4，1）； （2）过点E 作EH ⊥BC 交于点H ，C 、D 的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1）， 直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣3，则点E （3，0）， tan ∠OBC ＝3162OC OB ==，则sin ∠OBC 5，则EH ＝EB•sin ∠OBC 5CE＝32，则CH＝5，则tan∠DCB＝13 EHCH=；（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），则BC＝35，∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，tan∠DBE＝164-＝12，故：∠DBE＝∠OBC，则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，①当点F在y轴负半轴时，过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，则∠GFC＝∠OBC＝α，设：GF＝2m，则CG＝GFtanα＝m，∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，即：5＝2m，解得：m＝5CF22GF CG+5＝15，故点F（0，﹣18）；②当点F在y轴正半轴时，同理可得：点F（0，1）；故：点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3），确定∠FBC ＝∠DBA+∠DCB ＝∠AEC ＝45°，是本题的突破口．7．已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ，切点为G ，连接AG 交CD 于K ． （1）如图1，求证：KE ＝GE ； （2）如图2，连接CABG ，若∠FGB ＝12∠ACH ，求证：CA ∥FE ； （3）如图3，在（2）的条件下，连接CG 交AB 于点N ，若sin E ＝35，AK ＝10，求CN 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）△EAD 是等腰三角形．证明见解析；（3201013【解析】 试题分析：（1）连接OG ，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA 可得∠AGO=∠OAG ，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG ，这样即可得到KE=GE ；（2）设∠FGB=α，由AB 是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE 可得∠EKG=90°-α，这样在△GKE 中可得∠E=2α，由∠FGB=12∠ACH 可得∠ACH=2α，这样可得∠E=∠ACH ，由此即可得到CA ∥EF ； （3）如下图2，作NP ⊥AC 于P ，由（2）可知∠ACH=∠E ，由此可得sinE=sin ∠ACH=35AH AC =，设AH=3a ，可得AC=5a ，CH=4a ，则tan ∠CAH=43CH AH =，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC ，从而可得CK=AC=5a ，由此可得HK=a ，tan ∠AKH=3AHHK=，10a ，结合10可得a=1，则AC=5；在四边形BGKH 中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG 可得∠ACG=∠AKH ， 在Rt △APN 中，由tan ∠CAH=43PN AP=，可设PN=12b ，AP=9b ，由tan ∠ACG=PN CP =tan ∠AKH=3可得CP=4b ，由此可得AC=AP+CP=13b =5，则可得b=513，由此即可在Rt △CPN 中由勾股定理解出CN 的长. 试题解析：（1）如图1，连接OG ．∵EF 切⊙O 于G ， ∴OG ⊥EF ，∴∠AGO+∠AGE=90°， ∵CD ⊥AB 于H ， ∴∠AHD=90°， ∴∠OAG=∠AKH=90°， ∵OA=OG ， ∴∠AGO=∠OAG ， ∴∠AGE=∠AKH ， ∵∠EKG=∠AKH ， ∴∠EKG=∠AGE ， ∴KE=GE ． （2）设∠FGB=α， ∵AB 是直径， ∴∠AGB=90°，∴∠AGE =∠EKG=90°﹣α， ∴∠E=180°﹣∠AGE ﹣∠EKG=2α，∵∠FGB=12∠ACH ， ∴∠ACH=2α， ∴∠ACH=∠E ， ∴CA ∥FE ．（3）作NP ⊥AC 于P ． ∵∠ACH=∠E ， ∴sin ∠E=sin ∠ACH=35AH AC =，设AH=3a ，AC=5a ， 则224AC CH a -=，tan ∠CAH=43CH AH =， ∵CA ∥FE ， ∴∠CAK=∠AGE ， ∵∠AGE=∠AKH ，∴∠CAK=∠AKH，∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH=AHHK =3，AK=2210AH HK a+=，∵AK=10，∴1010a=，∴a=1．AC=5，∵∠BHD=∠AGB=90°，∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，∴∠AKH=∠ABG，∵∠ACN=∠ABG，∴∠AKH=∠ACN，∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，∵NP⊥AC于P，∴∠APN=∠CPN=90°，在Rt△APN中，tan∠CAH=43PNAP=，设PN=12b，则AP=9b，在Rt△CPN中，tan∠ACN=PNCP=3，∴CP=4b，∴AC=AP+CP=13b，∵AC=5，∴13b=5，∴b=513，∴CN=22PN CP+=410b⋅=2010 13．8．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，CG是⊙O的弦∠PCA＝∠ABC，CG⊥AB，垂足为D(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求证：PA AD PC CD；(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若sin∠P＝35，CF＝5，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2）BE=12．【解析】【分析】（1）连接OC，由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB为⊙O的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，证得∠OCA=∠OAC，于是得到结论；（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG，于是得到∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根据等腰三角形的性质得到CF=AF，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=35，求得FD=3，AD=4，CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，根据勾股定理得到方程r2=（r-4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，在R t△ABE中，由sin∠EAD=35，得到BEAB＝35，于是求得结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，∴∠PCA+∠OCA=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠OAC=90°，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠PCA=∠ABC；（2）解：∵AE∥PC，∴∠PCA=∠CAF，∵AB⊥CG，∴弧AC=弧AG，∴∠ACF=∠ABC，∵∠PCA=∠ABC，∴∠ACF=∠CAF，∴CF=AF，∵CF=5，∴AF=5，∵AE∥PC，∴∠FAD=∠P，∵sin∠P=35，∴sin∠FAD=35，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=35，∴FD=3，AD=4，∴CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，∴r2=（r﹣4）2+82，∴r=10，∴AB=2r=20，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，在R t△ABE中，∵sin∠EAD=35，∴35BEAB，∵AB=20，∴BE=12．【点睛】本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接OC构造直角三角形．9．我市在创建全国文明城市的过程中，某社区在甲楼的A处与E处之间悬挂了一副宣传条幅，在乙楼顶部C点测得条幅顶端A点的仰角为45°，条幅底端E点的俯角为30°，若甲、乙两楼之间的水平距离BD为12米，求条幅AE的长度．(结果保留根号)【答案】AE 的长为(123)+ 【解析】 【分析】在Rt ACF 中求AF 的长, 在Rt CEF 中求EF 的长,即可求解. 【详解】过点C 作CF AB ⊥于点F 由题知：四边形CDBF 为矩形12CF DB ∴==在Rt ACF 中，45ACF ∠=︒tan 1AFACF CF∴∠== 12AF ∴=在Rt CEF 中，30ECF ∠=︒ tan EFECF CF∴∠= 3123EF ∴=43EF ∴=1243AE AF EF ∴=+=+∴求得AE 的长为(1243+【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,中等难度,作辅助线构造直角三角形是解题关键.10．已知：如图，在Rt △ABO 中，∠B =90°，∠OAB =30°，OA =3．以点O 为原点，斜边OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，以点P （4，0）为圆心，PA 长为半径画圆，⊙P 与x 轴的另一交点为N ，点M 在⊙P 上，且满足∠MPN =60°．⊙P 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向左运动，设运动时间为ts ，解答下列问题： （发现）（1）MN 的长度为多少；（2）当t =2s 时，求扇形MPN （阴影部分）与Rt △ABO 重叠部分的面积．（探究）当⊙P 和△ABO 的边所在的直线相切时，求点P 的坐标．（拓展）当MN 与Rt △ABO 的边有两个交点时，请你直接写出t 的取值范围．【答案】【发现】（1）MN 的长度为π3；（23P 的坐标为10（，）；或230）或230（）；【拓展】t 的取值范围是23t ≤＜或45t ≤＜，理由见解析．【解析】 【分析】发现：（1）先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论； （2）先求出PA =1，进而求出PQ ，即可用面积公式得出结论； 探究：分圆和直线AB 和直线OB 相切，利用三角函数即可得出结论；拓展：先找出MN 和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论． 【详解】 [发现]（1）∵P （4，0），∴OP =4． ∵OA =3，∴AP =1，∴MN 的长度为6011803ππ⨯=． 故答案为3π； （2）设⊙P 半径为r ，则有r =4﹣3=1，当t =2时，如图1，点N 与点A 重合，∴PA =r =1，设MP 与AB 相交于点Q ．在Rt △ABO 中，∵∠OAB =30°，∠MPN =60°． ∵∠PQA =90°，∴PQ 12=PA 12=，∴AQ =AP ×cos30°3=∴S 重叠部分=S △APQ 12=PQ ×AQ 3= 即重叠部分的面积为38． [探究]①如图2，当⊙P 与直线AB 相切于点C 时，连接PC ，则有PC ⊥AB ，PC =r =1． ∵∠OAB =30°，∴AP =2，∴OP =OA ﹣AP =3﹣2=1； ∴点P 的坐标为（1，0）；②如图3，当⊙P 与直线OB 相切于点D 时，连接PD ，则有PD ⊥OB ，PD =r =1，∴PD ∥AB ，∴∠OPD =∠OAB =30°，∴cos ∠OPD PD OP =，∴OP 123303cos ==︒，∴点P 的坐标为（233，0）； ③如图4，当⊙P 与直线OB 相切于点E 时，连接PE ，则有PE ⊥OB ，同②可得：OP 233=； ∴点P 的坐标为（233-，0）；[拓展]t 的取值范围是2＜t ≤3，4≤t ＜5，理由：如图5，当点N 运动到与点A 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有一个公共点，此时t =2； 当t ＞2，直到⊙P 运动到与AB 相切时，由探究①得：OP =1，∴t 411-==3，MN 与Rt △ABO 的边有两个公共点，∴2＜t ≤3．如图6，当⊙P 运动到PM 与OB 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有两个公共点，此时t =4； 直到⊙P 运动到点N 与点O 重合时，MN 与Rt △ABO 的边有一个公共点，此时t =5； ∴4≤t ＜5，即：t 的取值范围是2＜t ≤3，4≤t ＜5．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，作出图形是解答本题的关键．。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--锐角三角函数一、综合题1．如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交∠O于E，D为BE延长线上一点，且∠DAE＝∠FAE.（1）求证：AD为∠O切线；（2）若sin∠BAC＝35，求tan∠AFO的值.2．如图，一个正方体木箱沿斜面下滑，正方体木箱的边长BE为2m，斜面AB的坡角为∠BAC，且tan∠BAC= 3 4．（1）当木箱滑到如图所示的位置时，AB=3m，求此时点B离开地面AC的距离；（2）当点E离开地面AC的距离是3.1m时，求AB的长．3．如图，在∠ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．（1）当AE＝8时，求EF的长；（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．①求y与x的函数关系式；②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与∠ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．4．如图，以∠ABC的一边AB为直径的半圆O与边AC，BC的交点分别为点E，点D，且D是BE⌢的中点．（1）若∠A＝80°，求∠DBE的度数．（2）求证：AB＝AC．（3）若∠O 的半径为5cm，BC＝12cm，求线段BE的长．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如果点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且∠DAM和∠BCE相似，求点M坐标．6．如图，已知tan∠EOF=2，点C在射线OF上，OC=12．点M是∠EOF内一点，MC∠OF于点C，MC=4．在射线CF上取一点A，连结AM并延长交射线OE于点B，作BD∠OF于点D．（1）当AC的长度为多少时，∠AMC和∠BOD相似；（2）当点M恰好是线段AB中点时，试判断∠AOB的形状，并说明理由；（3）连结BC．当S∠AMC=S∠BOC时，求AC的长．7．如图1，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点(不与A 重合)，连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F，D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，(1)中的结论是否发生变化?如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；，其他条件不（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD= √6+√22变，求线段AM的长．8．（1）【基础巩固】如图1，在∠ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∠BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．（2）【尝试应用】如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG∠DE，CD=6，AE=3，求DEBC的值．（3）【拓展提高】如图3，在∠ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∠BD交AD于点G，EF∠EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．9．在锐角∠ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将∠ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到∠DBE．（1）当旋转成如图①，点E在线段CA的延长线上时，则∠CED的度数是度；（2）当旋转成如图②，连接AD、CE，若∠ABD的面积为4，求∠CBE的面积；（3）点M为线段AB的中点，点P是线段AC上一动点，在∠ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点P′，连接MP′，如图③，直接写出线段MP′长度的最大值和最小值．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别从点B，D同时出发沿AB延长线和射线DA以相同的速度运动，连结EF，交射线DB于点G.连结CG.（1）当BE＝2时，求BD，EG的长.（2）当点F在线段AD上时，记∠DCG为∠1，∠AFE为∠2，那么tan∠1tan∠2的值是否会变化？若不变，求出该比值；若变化，请说明理由.（3）在整个运动过程中，当∠DCG为等腰三角形时，求BE长.11．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C ＝．（2）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3．求对角线AC的长．（3）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣√3），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A、D，且当﹣2≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+c取最大值为3，求二次项系数a的值．12．如图，已知BC为∠O的直径，点D为CE⌢的中点，过点D作DG∠CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．（1）求证：AD是∠O的切线；（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．13．已知：如图，AB为∠O的直径，C是BA延长线上一点，CP切∠O于P，弦PD∠AB于E，过点B作BQ∠CP于Q，交∠O于H，（1）如图1，求证：PQ＝PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB＝30°，连接AG交PD于F，连接BF，若tan∠BFE＝3√3，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD＝6 √3，连接QC交BC于点M，求QM的长．14．定义：一边上的中线与另一边的夹角为30°的三角形称作美妙三角形。

中考数学专项复习《锐角三角函数》练习题(附答案)一、单选题1．如图，在△ABC中CA＝CB＝4，cosC＝14，则sinB的值为（）A．√102B．√153C．√64D．√1042．在Rt△ABC中,△C=90°,cosA=35,那么tanB=()A．35B．45C．43D．34 3．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=1，AB=2则下列结论正确的是（）A．sinA=√32B．tanA=12C．cosB=√32 D．tanB=√34．如图，已知△ABC内接于△O，△BAC=120°，AB=AC，BD为△O的直径，AD=6，则BC的长为（）A．2√3B．6C．2√6D．3√3 5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里6．在矩形ABCD中AD=2,AB=1,G为AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点G重合，将三角板绕点G旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC(或它们的延长线)于点E、F设∠AGE=α(0°<α<90°)，下列四个结论：①AE= CF；②∠AEG=∠BFG；③AE+CF=1；④S△GEF=1cos2α，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4 7．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得△PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A．11−sinαB．11+sinαC．11−cosαD．11+cosα8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，下列结论：①△ABC的形状是等腰三角形；②△ABC的周长是2√10+√2；③点C到AB边的距离是38√10；④tan∠ACB的值为2，正确的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．在Rt△ABC 中△ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（ ）A ．sinA=√32B ．cosA=√32C ．tanA=12D ．cotA=√3310．已知：如图，正方形网格中∠AOB 如图放置，则cos∠AOB 的值为（ ）A ．2√55B ．2C ．12D ．√5511．如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE△AB ，垂足为E ，cosA=45，则下列结论中正确的个数为（ ）①DE=3cm ；②EB=1cm ；③S 菱形ABCD =15cm 2A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．如图，在Rt △ABC 中 ∠ABC =90°，以其三边为边向外作正方形，连接EH ，交AC 于点P ，过点P 作PR ⊥FG 于点R.若tan∠AHE =12，EH =8√5，则PR 的值为（ ）A．10B．11C．4√5D．5√5二、填空题13．如图，在RtΔABC中∠B=90°，AB=3 ，BC=4 ，点M、N分别在AC、AB两边上，将ΔAMN沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当ΔDCM是直角三角形时，则tan∠AMN的值为.14．如图，在△ABC中∠ABC=60°，AB=6，BC=10将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A1BC1（点A的对应点是点A1，点C的对应点是点C1，A1落在边BC上，连接AC1，则AC1的长为．15．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C 的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD=20米，则BC=米.16．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．17．如图，某高为60米的大楼AB旁边的山坡上有一个“5G”基站DE，从大楼顶端A 测得基站顶端E的俯角为45°，山坡坡长CD＝10米，坡度i＝1：√3，大楼底端B 到山坡底端C的距离BC＝30米，则该基站的高度DE＝米．18．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1，2号楼进行测高实践，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，则2号楼的高度为（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）三、综合题19．（1）已知Rt△ABC中△C=90°，△A=30°，BC= √3，解直角三角形.（2）已知△ABC中△A=45°，AB=4，BC=3，求AC的长.20．如图1，已知∠PAQ=60°．请阅读下列作图过程，并解答所提出的问题．△如图2，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别与AP，AQ交于B，C两点；△如图3，分别以B，C两点为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧交于点D；△如图4，作射线AD，连接BC，与AD交于点E．问题：（1）∠ABC的度数为．（2）若AB=4，求AE的长．21．如图，在△ABC中△C=60°，△O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．（1）求证：PA是△O的切线；（2）若AB=2 √3，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）22．如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中在OA的位置时俯角△EOA=30°，在OB的位置时俯角△FOB=60°，若OC△EF，点A比点B高7cm．求：（1）单摆的长度（√3≈1.7）；（2）从点A摆动到点B经过的路径长（π≈3.1）．23．已知：如图，AB是△O的直径，C是△O上一点，OD△BC于点D，过点C作△O 的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与△O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin△ABC= 23，求BF的长．24．如图，AB是△O的直径，OE垂直于弦BC，垂足为F，OE交△O于点D，且△CBE=2△C.（1）求证：BE与△O相切；（2）若DF=9，tanC= 34，求直径AB的长.参考答案1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】A7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】A12．【答案】B13．【答案】1或214．【答案】1415．【答案】(20√3−20)16．【答案】√31817．【答案】（25﹣5 √3）18．【答案】45.8米19．【答案】（1）解：在Rt△ABC中△C=90°，△A=30°∴△B=90°-△A=60°，AB=2BC=2 √3∴AC= √AB2−BC2=√(2√3)2−(√3)2=3；（2）解：如图，过点B作BD△AC于D∵△A=45°∴△ABD=△A=45°∴AD=BD∵AB=4，AD2+BD2=AB2∴AD=BD= 2√2在Rt△BCD中BC=3∴CD=√BC2−BD2=1∴AC=AD+CD= 2√2+1.20．【答案】（1）60°（2）由作图可知AB=AC，AD平分∠PAQ∴AE⊥BC．∵∠PAQ=60°∴∠BAE=30°．在Rt△ABC中AE=AB⋅cos30°=4×√32=2√3．答：AE的长为2√3．21．【答案】（1）解：如图，连接OA；∵△C=60°∴△AOB=120°；而OA=OB∴△OAB=△OBA=30°；而AB=AP∴△P=△ABO=30°；∵△AOB=△OAP+△P∴△OAP=120°﹣30°=90°∴PA是△O的切线．（2）解：如图，过点O作OM△AB，则AM=BM= √3∵tan30°= OMAM sin30°=OMAO∴OM=1，OA=2；∴S△AOB=12·AB·OM= 12× 2√3×1= √3S扇形OAB =120π⋅22360= 4π3∴图中阴影部分的面积= 4π3−√3．22．【答案】（1）解：如图，过点A作AP△OC于点P，过点B作BQ△OC于点Q∵△EOA=30°、△FOB=60°，且OC△EF∴△AOP=60°、△BOQ=30°设OA=OB=x则在Rt△AOP中OP=OAcos△AOP= 1 2x在Rt△BOQ中OQ=OBcos△BOQ= √32x由PQ=OQ﹣OP可得√32x﹣12x=7解得：x=7+7 √3≈18.9（cm）答：单摆的长度约为18.9cm（2）解：由（1）知，△AOP=60°、△BOQ=30°，且OA=OB=7+7 √3∴△AOB=90°则从点A摆动到点B经过的路径长为90⋅π⋅(7+7√3)180≈29.295答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm 23．【答案】（1）证明：连接OC∵OD△BC∴△COE=△BOE在△OCE和△OBE中∵{OC=OB∠COE=∠BOEOE=OE∴△OCE△△OBE∴△OBE=△OCE=90°，即OB△BE∵OB 是△O 半径∴BE 与△O 相切．（2）解：过点D 作DH△AB ，连接AD 并延长交BE 于点F∵△DOH=△BOD ，△DHO=△BDO=90°∴△ODH△△OBD∴OD OB =OH OD =DH BD又∵sin△ABC= 23，OB=9 ∴OD=6易得△ABC=△ODH∴sin△ODH= 23 ，即 OH OD = 23∴OH=4∴DH= √OD 2−OH 2 =2 √5又∵△ADH△△AFB∴AH AB = DH FB 1318 = 2√5FB∴FB= 36√51324．【答案】（1）证明：∵OE 垂直于弦BC∴△BOE+△OBF=90°∵△CBE=2△C ， △BOE=2△C∴△CBE=△BOE∴△CBE+△OBF=90°∴△OBE=90°∴BE 与△O 相切；（2）解：∵OE 垂直于弦BC∴△CFD=△BFO=90°，CF=BF.∵DF=9，tanC= 34∴CF=BF=12.设半径长是x，则OF=x-9在Rt△BOF中∵x2=(x-9)2+122∴x= 25 2∴直径AB=25.。

2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合一、综合题1．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点 M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM.（1）求证：AM=BM；（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长.2．如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°.（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE＝34，求AE的长.3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，点A为BD的中点，切线AE交CB的延长线于点E。

（1）求证：AE∥BD。

（2）若⊙O的半径为2.5，CD=4，求AE的长。

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作CE⊥AC交AD的延长线于点E，F 为CE的中点，连结DB，DF.（1）求∠CDE的度数.（2）求证：DF是⊙O的切线.（3）若tan∠ABD＝3时，求ACDE的值.5．如图，在⊙O中，C，D分别为半径OB，弦AB的中点，连接CD并延长，交过点A的切线于点E.（1）求证：AE⊥CE.（2）若AE＝2，sin∠ADE＝13，求⊙O半径的长.6．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD、DE．（1）求DE是⊙O的切线；（2）设△CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，若S2＝5S1，求tan∠BAC的值；（3）在（2）的条件下，连接AE，若⊙O的半径为2，求AE的长．7．如图，O是ABC∆的外接圆，连接OC，过点A作AD OC交BC的延长线于点D，45ABC∠= .（1）求证：AD是O的切线；（2）若3sin5CAB∠=，O的半径为，求AB的长.8．如图，AB是⊙O的直径， BC交⊙O于点D，E是BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB =2∠EAB.（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若3cos4C=，8AC=，求BF的长.9．如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC.（1）求证：BA＝BC；（2）若AG＝2，cosB＝35，求DE的长.10．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F交⊙O于D，连接DE，BE，BD（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若AB＝12，tan∠BED＝34，求CF的长．11．如图，AB为O的直径，BC为O的切线，AD OC‖，交O于点D，E为弧AB的中点，连接DE，交AB于点F.（1）求证：CD为O的切线；（2）求证：22AD OC OA⋅=；（3）若3cos5A=，求tan E .12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作 O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F.（1）求证：EF是 O的切线；（2）若EB=6，且sin∠CFD= 35，求 O的半径.13．如图，在Rt△ABC中，点在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD。