【真题】16年山东省潍坊市高密三中高三(上)数学期中试卷含答案(理科)(创新班)

高三理科数学基础训练（一） 姓名_________1.向量1(,tan )3a α= ，(cos ,1)b α= ，且a ∥b ，则cos 2α=（ ） A. 13- B. 13 C. 79- D. 79 2.在正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则111a a 的值是 （ ）A. 10000B. 1000C. 100D. 103.定义运算a b ad bc c d =-，若函数()123x f x x x -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,)-+∞B ．[2,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-4.设x ，y 满足0023x y x y a ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，若目标函数11y z x +=+的最小值为12，则a 的值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8 5.已知33)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx x （ ） A ．332- B ．332± C ．1- D ．1±6.等差数列{}n a 的公差0d >，若12320132013t a a a a a ++++= （*N t ∈），则t =（ ）A ．2014 B ．2013 C ．1007 D ．1006 7.设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b += 成立的是（ ） A ．13a b =- B ．//a b C ．2a b = D ．a b ⊥ 8.已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则一定成立的是（ ） A ．(cos )(cos )f A f B < B ．(sin )(cos )f A f B <C ．(sin )(sin )f A f B >D ．(sin )(cos )f A f B > 9.（2013四川）从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F ,A是椭圆与x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与y 轴正半轴的交点,且//AB OP (O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是（ ）A B ．12 C D 10.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,且()f x 的图象关于直线1x =对称,当[1,0]x ∈-时,()f x x =-，则(2013)(2014)f f += .11．（2013福建）椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2.若直线()c x y +=3与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于__________12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝4， AB ＝2，以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M .(1)求证：平面ABM ⊥平面PCD ；(2)求直线PC 与平面ABM 所成的角正弦值．。

潍坊中学2015-2016学年度高三期末自主练习数学试题（理） 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若集合{}31,x x n n A ==-∈N ，{}4,1,0,2,5B =--，则集合A B =（ )A ．{}2,5B ．{}4,1,2,5--C ．{}1,2,5-D ．{}1,0,2,5-2。

若0a b >>，则下列不等式正确的是（ ) A ．sin sin a b > B ．22loglog a b < C ．1122ab<D ．1122ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.已知()0,απ∈，若1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．45- B ．45C ．54- D ．544。

已知函数()()1221,1log 3,1x x f x x x -⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，若()1f a =，则()1f a -=（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-6。

已知C ∆AB 和点M 满足C 0MA +MB+M =，若C λAB +A =AM 成立，则实数λ的值为( ）A ．2B ．3C ．4D ．57。

若中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y =,则该双曲线的离心率为（ ） AB3 CD ．3 8。

已知变量x ，y 满足线性约束条件3202010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则目标函数12z x y =-的最小值为( )A ．54- B ．0 C ．2- D ．1349。

已知函数()cos f x x x =，有下列4个结论: ①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②存在常数0T >，对任意的实数x ，恒有()()f x f x +T =成立； ③对于任意给定的正数M ，都存在实数0x ，使得()0f x ≥M ；④函数()f x 的图象上存在无数个点,使得该函数在这些点处的切线与x 轴平行．其中，所有正确结论的序号为（ ）A ．①③B ．①④C ．②④D ．③④10。

2016年山东省潍坊市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，A={x|x2﹣5x+6≥0}，则∁U A=（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞3或x＜2}C．{x|2≤x≤3}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）设复数z满足（2﹣i）z=5i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知a，b∈R，则“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）A．1 B．C．D．25．（5分）在一次数学竞赛中，30名参赛学生的成绩（百分制）的茎叶图如图所示：若将参赛学生按成绩由高到低编为1﹣30号，再用系统抽样法从中抽取6人，则其中抽取的成绩在[77，90]内的学生人数为（）A．2 B．3 C．4 D．56．（5分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学中的秦九韶算法，执行该程序框图，则输出的结果S表示的值为（）A．a0+a1+a2+a3B．（a0+a1+a2+a3）x3C．a0+a1x+a2x2+a3x3D．a0x3+a1x2+a2x+a37．（5分）已知函数f（x）=sin2ωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，若所得图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．2 B．4 C．6 D．88．（5分）给出以下四个函数的大致图象：则函数f（x）=xlnx，g（x）=，h（x）=xe x，t（x）=对应的图象序号顺序正确的是（）A．②④③①B．④②③①C．③①②④D．④①②③9．（5分）在一次抽奖活动中，8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．甲、乙、丙、丁四名顾客每人从中抽取2张，则不同的获奖情况有（）A．24种B．36种C．60种D．96种10．（5分）已知F1，F2为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为A，B，若△ABF1为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．﹣1 B．﹣1 C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分.11．（5分）若存在实数x使|x﹣a|+|x|≤4成立，则实数a的取值范围是．12．（5分）已知函数f（x）=+mx是定义在R上的奇函数，则实数m=．13．（5分）圆心在x轴的正半轴上，半径为双曲线﹣=1的虚半轴长，且与该双曲线的渐近线相切的圆的方程是．14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为．15．（5分）已知函数h（x）=x2+ax+b在（0，1）上有两个不同的零点，记min{m，n}=，则min{h（0），h（1）}的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3cosAcosB+1=3sinAsinB+cos2C．（1）求C（2）若△ABC的面积为5，b=5，求sinA．17．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=DC=AB=，平面PBC⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥PB；（2）若PB=PC=，问在侧棱PB上是否存在一点M，使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（12分）某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学科提供5种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5，每个学生只能从这5种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表：为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取了10人进行分析．（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率；（2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为X，选择数学1的人数为Y，设随机变量ξ=X﹣Y，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．19．（12分）如表是一个由n2个正数组成的数表，用a ij表示第i行第j个数（i，j∈N），已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a11=1，a31+a61=9，a35=48．（1）求a n1和a4n；（2）设b n=+（﹣1）n•a（n∈N+），求数列{b n}的前n项和S n．20．（13分）在平面直角坐标系中内动点P（x，y）到圆F：x2+（y﹣1）2=1的圆心F的距离比它到直线y=﹣2的距离小1．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为曲线E，过点F的直线l的斜率为k，直线l交曲线E于A，B两点，交圆F于C，D两点（A，C两点相邻）．①若=t，当t∈[1，2]时，求k的取值范围；②过A，B两点分别作曲线E的切线l1，l2，两切线交于点N，求△ACN与△BDN 面积之积的最小值．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣x++1（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性与极值点的个数；（2）当a=0时，关于x的方程f（x）=m（m∈R）有2个不同的实数根x1，x2，证明：x1+x2＞2．2016年山东省潍坊市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=R，A={x|x2﹣5x+6≥0}，则∁U A=（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞3或x＜2}C．{x|2≤x≤3}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣5x+6≥0}={x|x≤2或x≥3}，所以∁U A={x|2＜x＜3}，故选：D．2．（5分）设复数z满足（2﹣i）z=5i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由（2﹣i）z=5i，得=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，2），位于第二象限．故选：B．3．（5分）已知a，b∈R，则“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若0≤a≤1且0≤b≤1”则“0≤ab≤1”成立．若“0≤ab≤1”，例如a=﹣1，b=﹣1，则不成立，∴“0≤a≤1且0≤b≤1”是“0≤ab≤1”成立的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）已知向量，的夹角为60°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：由|2﹣|=，得，又向量，的夹角为60°，且||=1，∴4×12﹣4×，整理得：，解得||=1．故选：A．5．（5分）在一次数学竞赛中，30名参赛学生的成绩（百分制）的茎叶图如图所示：若将参赛学生按成绩由高到低编为1﹣30号，再用系统抽样法从中抽取6人，则其中抽取的成绩在[77，90]内的学生人数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由茎叶图可得30名学生的成绩如下：94，94，92，92，91；90，90，88，88，87；87，85，84，83，83；83，83，82，82，82；81，80，78，78，77；73，72，71，70，70．若用系统抽样，则需分6段，则第2，3，4，5区间段内抽取的学生成绩符合题意，有4人．故选：C．6．（5分）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学中的秦九韶算法，执行该程序框图，则输出的结果S表示的值为（）A．a0+a1+a2+a3B．（a0+a1+a2+a3）x3C．a0+a1x+a2x2+a3x3D．a0x3+a1x2+a2x+a3【解答】解：当k=0，S=a0时，满足进行循环的条件，执行循环体后，k=1，S=a0x+a1，当k=1，S=a0x+a1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，k=2，S=a0x2+a1x+a2，当k=2，S=a0x2+a1x+a2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，k=3，S=a0x3+a1x2+a2x+a3，当k=3，S=a0x3+a1x2+a2x+a3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：a0x3+a1x2+a2x+a3，故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=sin2ωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，若所得图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵将f（x）向右平移个单位长度与原图象重合，∴f（x）=f（x﹣），即sin2ωx=sin2ω（x﹣）=sin（2ωx﹣），∴﹣=2kπ，解得ω=﹣4k，k∈Z．∵ω＞0，∴当k=﹣1时，ω取得最小值4．故选：B．8．（5分）给出以下四个函数的大致图象：则函数f（x）=xlnx，g（x）=，h（x）=xe x，t（x）=对应的图象序号顺序正确的是（）A．②④③①B．④②③①C．③①②④D．④①②③【解答】解：函数f（x）=xlnx，g（x）=，的定义域为：x＞0；x=1时，两个函数y=0，x→+∞时，f（x）=xlnx→+∞，g（x）=→0，f（x）=xlnx的图象是②，g（x）=的图象是④．h（x）=xe x，x=0时，函数值为0，函数的图象为：③；t（x）=，的定义域x≠0，函数的图象为：①．故选：A．9．（5分）在一次抽奖活动中，8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．甲、乙、丙、丁四名顾客每人从中抽取2张，则不同的获奖情况有（）A．24种B．36种C．60种D．96种【解答】解：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有A43=24种；一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共有C32A42=36种，共有24+36=60种．故选：C．10．（5分）已知F1，F2为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y轴右侧的两个交点为A，B，若△ABF1为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．﹣1 B．﹣1 C．D．【解答】解：由△ABF1为等边三角形，及椭圆的对称性可得：∠AF1F2=30°，又∠F1AF2=90°，∴AF2=c，AF1=c，∴c+=2a，可得==﹣1．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分.11．（5分）若存在实数x使|x﹣a|+|x|≤4成立，则实数a的取值范围是[﹣4，4] ．【解答】解：在数轴上，|x﹣a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x|就表示点P到横坐标为0的点B的距离，∵（|PA|+|PB|）min=|a|，∴要使得不等式|x﹣a|+|x|≤4成立，只要最小值|a|≤4就可以了，∴﹣4≤a≤4．故实数a的取值范围是﹣4≤a≤4．故答案为：[﹣4，4]．12．（5分）已知函数f（x）=+mx是定义在R上的奇函数，则实数m=1．【解答】解：由题意，f（0）==0，∴m=1，此时，满足f（﹣x）=﹣f（x）．故答案为1．13．（5分）圆心在x轴的正半轴上，半径为双曲线﹣=1的虚半轴长，且与该双曲线的渐近线相切的圆的方程是（x﹣5）2+y2=9．【解答】解：双曲线﹣=1的虚半轴长为：3，所以圆的半径为3，双曲线的渐近线为：，3x±4y=0，设圆的圆心（m，0）m＞0，该双曲线的渐近线与圆相切，可得，解得m=5．与该双曲线的渐近线相切的圆的方程是：（x﹣5）2+y2=9．故答案为：（x﹣5）2+y2=9．14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为32π．【解答】解：由已知可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，底面为直角三角形，故底面外接圆半径r=2，棱柱的高为4，故球心到底面的距离d=2，故棱柱的外接球半径R满足：R2=r2+d2=8，故棱柱的外接球表面积S=4πR2=32π，故答案为：32π15．（5分）已知函数h（x）=x2+ax+b在（0，1）上有两个不同的零点，记min{m，n}=，则min{h（0），h（1）}的取值范围为（0，）．【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b在（0，1）上有两个零点，∴，由题意作平面区域如下，，∵f（0）=b，f（1）=1+a+b，∴min{f（0），f（1）}=，结合图象可知，D（﹣1，），当﹣1≤a＜0时，0＜b＜，当﹣2＜a＜﹣1时，0＜1+a+b＜，综上所述，min{f（0），f（1）}的取值范围是（0，）；故答案为：（0，）．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3cosAcosB+1=3sinAsinB+cos2C．（1）求C（2）若△ABC的面积为5，b=5，求sinA．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵3cosAcosB+1=3sinAsinB+cos2C，∴3（cosAcosB﹣sinAsinB）+1=cos2C，可得：3cos（A+B）+1=cos2C，…2分∴﹣3cosC+1=2cos2C﹣1，可得：2cos2C+3cosC﹣2=0，…4分可得：（2cosC﹣1）（cosC+2）=0，∴解得：cosC=或cosC=﹣2（舍去），…5分∵0＜C＜π，∴C=…6分（2）∵S=absinC=5，b=5，C=，可得：a=4，…8分△ABC∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=16+25﹣2×=21，可得：c=，…10分∴由正弦定理可得：sinA===…12分17．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=DC=AB=，平面PBC⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥PB；（2）若PB=PC=，问在侧棱PB上是否存在一点M，使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】证明：（1）取AB的中点E，连结CE，∵AB∥CD，DC=AB，∴DC AE，∴四边形AECD是平行四边形，又∵∠ADC=90°，∴四边形AECD是正方形，∴CE⊥AB，∴△CAB是等腰三角开有，且CA=CB=2，AB=2，∴AC2+CB2=AB2，∴AC⊥CB，又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，∴AC⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，∴AC⊥PB．解：（2）设BC的中点为F，连结PF，∵PB=PC，∴PF=BC，∴PF⊥平面ABCD，∴PF⊥AC，连结EF，则EF∥AC，∴PF⊥FE，EF⊥BC，分别以FE、FB、FP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，∵AD=PB=PC=，则F（0，0，0），A（2，﹣1，0），B（0，1，0），D（1，﹣2，0），P（0，0，1），∴=（0，1，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），=（0，0，1），若在线段PB上存在一点M，设=，（0≤λ＜1），∵，∴=λ（0，1，﹣1）+（0，0，1）=（0，λ，1﹣λ），∴M（0，λ，1﹣λ），，设平面MAD的一个法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，），平面ABCD的法向量=（0，0，1），∵二面角M﹣AD﹣B的余弦值为，∴|cos＜＞|===，解得或λ=2（舍）．∴存在点M，使得二面角M﹣AD﹣B的余弦值为，且=．18．（12分）某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学科提供5种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5，每个学生只能从这5种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表：为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取了10人进行分析．（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率；（2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为X，选择数学1的人数为Y，设随机变量ξ=X﹣Y，求随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．【解答】解：（1）从选出的10名学生中选修数学1的人应为10×=1人，选修数学2的人应为10×=3人，选修数学3的人应为10×=3人，选修数学4的人应为10×=1人，选修数学1的人应为10×=1人．从选出的10名学生中随机抽取3人共有=120种选法，选出的这3人中至少有2人选择数学2的有+=22种，∴这3人中至少有2人选择数学2的概率P==．（2）X的可能取值为0，1，2，3．Y的可能取值为0，1．ξ的可能取值为﹣1，0，1，2，3．P（ξ=﹣1）=P（X=0，Y=1）==．P（ξ=0）=P（X=0，Y=0）+P（X=1，Y=1）==．P（ξ=1）=P（X=1，Y=0）+P（X=2，Y=1）==．P（ξ=2）=P（X=2，Y=0）==．P（ξ=3）=P（X=3，Y=0）==．ξ的分布列为：∴Eξ=﹣1×+0×+1×+2×+3×=．19．（12分）如表是一个由n2个正数组成的数表，用a ij表示第i行第j个数（i，j∈N），已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a11=1，a31+a61=9，a35=48．（1）求a n1和a4n；（2）设b n=+（﹣1）n•a（n∈N+），求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设第1列依次组成的等差公差为d，设第1行依次组成的等比数列的公比为q，根据题意a31+a61=（1+2d）+（1+5d）=9，∴d=1，∴a n1=a11+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∵a31=a11+2d=3，∴a35=a31•q4=3q4=48，∵q＞0，∴q=2，∵a41=4，∴a4n=a41q n﹣1=4×2n﹣1=2n+1；（2）由b n=+（﹣1）n•a（n∈N+）=+（﹣1）n•n=+（﹣1）n•n=﹣+（﹣1）n•n，前n项和S n=1﹣+﹣+…+﹣+[﹣1+2﹣3+4﹣5+（﹣1）n•n]，当n为偶数时，S n=1﹣+；当n为奇数时，S n=S n﹣1+b n=1﹣++﹣﹣n=1﹣﹣=﹣．20．（13分）在平面直角坐标系中内动点P（x，y）到圆F：x2+（y﹣1）2=1的圆心F的距离比它到直线y=﹣2的距离小1．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为曲线E，过点F的直线l的斜率为k，直线l交曲线E于A，B两点，交圆F于C，D两点（A，C两点相邻）．①若=t，当t∈[1，2]时，求k的取值范围；②过A，B两点分别作曲线E的切线l1，l2，两切线交于点N，求△ACN与△BDN 面积之积的最小值．【解答】解：（1）由题意，动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣2的距离小1，∴动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，∴动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点的抛物线，其方程为x2=4y；（2）①由题意知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线得x2﹣4kx﹣4=0，设（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，∵=t，∴t=﹣，∴=﹣t﹣+2=﹣4k2，∴t+=4k2+2∵f（t）=t+在[1，2]上单调递增，∴2≤t+，∴；②y=，y′=，∴直线AN：y﹣x12=x1（x﹣x1），BN：y﹣x22=x1（x﹣x2），两式相减整理可得x=（x1+x2）=2k，∴N（2k，﹣1），N到直线AB的距离d=2，∵|AC|=|AF|﹣1=y1，|BD|=|BF|﹣1=y2，∴|AC||BD|=1∴△ACN与△BDN面积之积===1+k2，当且仅当k=0时，△ACN与△BDN面积之积的最小值为0．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣x++1（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性与极值点的个数；（2）当a=0时，关于x的方程f（x）=m（m∈R）有2个不同的实数根x 1，x2，证明：x1+x2＞2．【解答】解：（1）f′（x）=﹣1﹣=，x＞0方程﹣x2+x﹣a=0的判别式为△=1﹣4a，①当a≥时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞），为减函数，无极值点，②当0≤a＜时，令f′（x）=0，解得x1=＞0，x2=，当f′（x）＜0，解得0＜x＜，x＞，此时f（x）在（0，），（，+∞）为减函数，当f′（x）＞0时，解得＜x＜，此时f（x）在（，）为增函数，此时f（x）有一个极大值点x=，和一个极小值点x=，③当a＜0，令f′（x）=0，解得x1=＜0，x2=＞0，当f′（x）＞0，解得0＜x＜，此时f（x）在（0，），为增函数，当f′（x）＜0时，解得x＞，此时在（，+∞）为减函数，此时f（x）有一个极大值点x=；（Ⅱ）由题意知f（x1）=m，f（x2）=m，故f（x1）=f（x2），∵x1≠x2，不妨设x1＜x2，∴lnx1﹣x1+1=lnx2﹣x2+1，∴ln=x2﹣x1，令=t，则x2=tx1，∴lnt=（t﹣1）x 1，∴x1=，x2=tx1=，故要证x1+x2=lnt＞2，t＞1，即证（t+1）lnt＞2（t﹣1），令g（t）=（t+1）lnt﹣2t+2，∴g′（t）=+lnt﹣2=，令h（t）=tlnt﹣t+1，t＞1，则h′（t）=lnt＞0，∴h（t）在t∈（1，+∞）上为增函数，∴h（t）＞h（1）=0，∴g（t）在（1，+∞）为增函数，∴g（t）＞g（1）=0，∴（t+1）lnt＞2（t﹣1），即lnt＞2，∴x1+x2＞2赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（1，k ），b →=（2，1），若a →∥b →，则实数k ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣22．若“∃x ∈R ，sin x ＜a ”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥﹣1D ．a ＞﹣13．已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，a +2}，则满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）．此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一．某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）A ．21π 37πB ．21π 111πC ．7√10π 37πD ．7√10π 111π5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66，则a 7＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．已知a ＝20.5，b ＝log 25，c ＝log 410，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a7．设函数f （x ）={x +1，x ≤0√x −1，x ＞0，则方程f （f （x ））＝0的实根个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知cos(π4−α)=35，sin(5π4+β)=−1213，其中α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，则tanαtanβ=（ ）A ．−5663B ．5663C ．﹣17D ．17二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，则直线l ，m ，n 的位置关系可能是（ ）A ．l ，m ，n 两两垂直B ．l ，m ，n 两两平行C ．l ，m ，n 两两相交D ．l ，m ，n 两两异面10．已知函数f(x)=2sin(2x +π3)，把f （x ）的图象向左平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．g （x ）是奇函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．g （x ）在[0，π2]上单调递增D ．不等式g （x ）≤0的解集为[kπ+π2，kπ+π]，k ∈Z11．已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根，则（ ） A ．a 2+b 2≥8 B ．ab ≥4 C ．√a +√b ≤2√2D ．1a+2+12b≥3+2√21212．已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，则（ ）A ．a 2=√5−12B ．{a n }是递增数列C ．a n+1−a n ＞1n+1D ．a n+1＜1+∑ n k=11k三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2得到向量OB →，则点B 的坐标为 ．14．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年…人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 ．15．已知函数f（x）是R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，若f（0）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（2023）＝．16．右图为几何体Ω的一个表面展开图，其中Ω的各面都是边长为1的等边三角形，将Ω放入一个球体中，则该球表面积的最小值为；在Ω中，异面直线AB与DE的距离为．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=log12x，F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）．（1）判断F（x）的奇偶性，并证明；（2）解不等式|F（x）|≤1．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y=f(x+5π12)+f(x)在[−π3，π2]上的值域．19．（12分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AD＝2CD＝2，AA1=A1D=√5，A1C=√6．（1）证明：平面AA1D1D⊥平面ABCD；（2）求二面角A1﹣CD﹣D1的余弦值．20．（12分）为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示．在公园内部计划修建景观道路CD （道路的宽度忽略不计），已知CD 把三角形空地分成两个区域，△ACD 区域为儿童娱乐区，△BCD 区域为休闲健身区．经测量，AC ＝BC ＝100米，AB =100√3米．若儿童娱乐区每平方米的造价为100元，休闲健身区每平方米的造价为50元，景观道路每米的造价为2500元． （1）若∠ADC =π4，求景观道路CD 的长度；（2）求∠ADC 为何值时，口袋公园的造价最低？21．（12分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，s n =3n+1−32．（1）求{a n }的通项公式； （2）若数列{S 2n +15a n}的最小项为第m 项，求m ； （3）设b n =2a n (a n −2)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜132．22．（12分）已知函数f （x ）＝e x +aln （x +1）（a ∈R ）．（1）当a ＝﹣2时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）若f （x ）在定义域上存在极值，求a 的取值范围； （3）若f （x ）≥1﹣sin x 恒成立，求a ．2023-2024学年山东省潍坊市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a →=（1，k ），b →=（2，1），若a →∥b →，则实数k ＝（ ） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2解：因为a →=（1，k ），b →=（2，1），且a →∥b →，所以2k ﹣1＝0，解得k =12．故选：A ．2．若“∃x ∈R ，sin x ＜a ”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥﹣1D ．a ＞﹣1解：“∃x ∈R ，sin x ＜a ”，故a ＞（sin x ）min ，a ＞﹣1． 故选：D ．3．已知集合A ＝{1，3，a 2}，B ＝{1，a +2}，则满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3解：A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，当a +2＝3，即a ＝1时，集合A 不满足元素的互异性，舍去， 当a +2＝a 2，即a ＝2或a ＝﹣1，当a ＝2时，A ＝{1，3，4}，B ＝{1，4}，满足题意， 当a ＝﹣1时，集合B 不满足元素的互异性，舍去， 综上所述，a ＝2，故满足A ∪B ＝A 的实数a 的个数为1． 故选：B ．4．北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）．此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一．某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为3，4，高为3，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（ ）A ．21π 37πB ．21π 111πC ．7√10π 37πD ．7√10π 111π解：由题意得，S 侧＝π（3+4）×√32+(4−3)2=7√10π，V =13π×（42+32+4×3）×3＝37π．故选：C ．5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66，则a 7＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差d 不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11＝66， 故S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=66，解得a 6＝6，故{a 6=6a 52=a 4⋅a 7，整理得{a 1+5d =6(a 1+4d)2=(a 1+3d)(a 1+6d)，解得{a 1=−4d =2，故a 7＝a 1+6d ＝8． 故选：D ．6．已知a ＝20.5，b ＝log 25，c ＝log 410，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解：因为a =20.5=√2，c =log 410=log 2√10＜log 25，所以b ＞c ，c =log 410=log 2√10＞log 22√2=32＞√2，所以 c ＞a ，所以a ＜c ＜b ．故选：B ．7．设函数f （x ）={x +1，x ≤0√x −1，x ＞0，则方程f （f （x ））＝0的实根个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1解：令t ＝f （x ），则方程f （f （x ））＝0，即f （t ）＝0， 当t ≤0时，t +1＝0，∴t ＝﹣1； 当t ＞0时，√t −1=0，∴t ＝1；当t ＝﹣1时，若x ≤0，则x +1＝﹣1，∴x ＝﹣2，符合题意； 若x ＞0，则√x −1=−1，∴x ＝0，不合题意； 当t ＝1时，若x ≤0，则x +1＝1，∴x ＝0，符合题意；若x ＞0，则√x −1=1，∴x ＝4，符合题意，即方程f （f （x ））＝0的实根个数为3． 故选：B ．8．已知cos(π4−α)=35，sin(5π4+β)=−1213，其中α∈(π4，3π4)，β∈(0，π4)，则tanαtanβ=（ ）A ．−5663B ．5663C ．﹣17D ．17解：cos(π4−α)=35，∵α∈(π4，3π4)，∴π4−α∈（−π2，0），∴sin （π4−α）=−√1−cos 2(π4−α)=−45，sin （α−π4）=45，cos α＝cos[（α−π4）+π4]＝cos （α−π4）cos π4−sin （α−π4）sin π4=35×√22−45×√22=−√210，则sin α=√1−(√210)2=7√210，则tan α=sinαcosα=−7， sin(5π4+β)=−1213，∵β∈(0，π4)，∴5π4+β∈(5π4，3π2)， ∴cos （5π4+β）=−√1−sin 2(5π4+β)=−513，sin β＝sin [(5π4+β)−5π4]=sin(5π4+β)cos 5π4−cos(5π4+β)sin 5π4=−1213×(−√22)−513×√22=7√226，cos β=√1−(7226)2=17√226，则tan β=sinβcosβ=717，则tanαtanβ=−7717=−17． 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，则直线l ，m ，n 的位置关系可能是（ ）A ．l ，m ，n 两两垂直B ．l ，m ，n 两两平行C ．l ，m ，n 两两相交D ．l ，m ，n 两两异面解：如图，当l 为BB 1，m 为BC ，n 为CD 时，满足直线l ⊂平面ABB 1A 1，直线m ⊂平面BCC 1B 1，直线n ⊂平面ABCD ，l ，m ，n 两两相交且垂直，当l 为A 1B ，m 为B 1C 1，n 为AC 时，三条直线两两异面，故ACD 正确； 三条直线不可能两两平行，若l ∥n ，则l ∥AB ∥n ，而AB 与平面BCC 1B 1相交，则AB 与M 不平行，故B 错误． 故选：ACD ．10．已知函数f(x)=2sin(2x +π3)，把f （x ）的图象向左平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．g （x ）是奇函数B ．g （x ）的图象关于直线x =−π4对称C ．g （x ）在[0，π2]上单调递增D ．不等式g （x ）≤0的解集为[kπ+π2，kπ+π]，k ∈Z解：由题意g （x ）＝2sin[2（x +π3）+π3]＝2sin （2x +π）＝﹣2sin2x ，A 中，可得g （x ）为奇函数，所以A 正确；B 中，函数g （x ）的对称轴方程满足2x =π2+k π，k ∈Z ， 解得x =π4+k 2π，k ∈Z ，当k ＝﹣1时，x =−π4，所以函数g （x ）的图象关于x =−π4对称，所以B 正确； C 中，x ∈[0，π2]，则2x ∈[0，π]，显然g （x ）不单调，所以C 不正确；D 中，令g （x ）≤0，则2k π≤2x ≤π+2k π，k ∈Z ，解得k π≤x ≤π2+k π，k ∈Z ，即x ∈[k π，π2+k π]，k ∈Z ，所以D 不正确． 故选：AB ．11．已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根，则（ ） A ．a 2+b 2≥8 B ．ab ≥4 C ．√a +√b ≤2√2D ．1a+2+12b≥3+2√212解：因为已知a ，b 为方程2x 2﹣8x +m ＝0（m ＞0）的两个实根， 所以Δ＝64﹣8m ≥0，即m ≤8，又因为m ＞0，所以0＜m ≤8， 由韦达定理可得：a +b ＝4，ab =m2＞0，所以a ＞0，b ＞0． 对于选项A ，由a+b 2≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：a 2+b 2≥8，当且仅当a ＝b 时等号成立，故A 正确；对于选项B ，由a +b ＝4≥2√ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：ab ≤4，当且仅当a ＝b 时等号成立，故B 不正确；对于选项C ，由a+b 2≤√a 2+b 22，当且仅当a ＝b 时等号成立可得：√a+√b2≤√a+b 2，即√a +√b ≤2√2，当且仅当a ＝b 时等号成立，故C 正确；对于选项D ，1a+2+12b =（1a+2+12b）[（2a +4）+2b ]×112=112（2+2b a+2+a+2b +1）≥112（3+2√2b a+2⋅a+2b ）=112（3+2√2），当且仅当2b a+2=a+2b，即a =√2b ﹣2时等号成立，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，则（ ）A ．a 2=√5−12B ．{a n }是递增数列C ．a n+1−a n ＞1n+1D ．a n+1＜1+∑ n k=11k解：由a 1＝1，a n =na n+12na n+1+1，可得a 1=a 22a 2+1=1，解得a 2=1+√52（负的舍去），故A 错误；由a n +1﹣a n =na n+12+a n+1−na n+12na n+1+1=a n+1na n+1+1＞0，即a n +1＞a n ，则{a n }是递增数列，故B 正确；由a n+1na n+1+1−1n+1=a n+1−1(n+1)(na n+1+1)＞0，则a n +1﹣a n ＞1n+1，故C 正确；由a n+1na n+1+1−1n=−1n(na n+1+1)＜0，则a n +1﹣a n ＜1n ，所以a n +1＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+...+（a n +1﹣a n ）＜1+1+12+...+1n，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2得到向量OB →，则点B 的坐标为 （1，﹣2） ．解：点A （2，1），向量OA →绕原点O 顺时针旋转π2后等于OB →，则OA →=（2，1），OB →=（1，﹣2），则点B 的坐标为（1，﹣2）． 故答案为：（1，﹣2）．14．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年…人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 12 ． 解：由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为d ＝83，首项为a 1＝1740的等差数列，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1740+83（n﹣1）＝83n+1657，令2023≤a n≤3000，即2023≤83n+1657≤3000，解得36683≤n≤134383，又n∈N*，所以n＝5、6、 (16)所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为16﹣5+1＝12次．故答案为：12．15．已知函数f（x）是R上的偶函数，f（x+2）为奇函数，若f（0）＝1，则f（1）+f（2）+…+f（2023）＝﹣1．解：f（x+2）是奇函数，故f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）且f（2）＝0，因为f（x）为偶函数，故f（x+2）＝﹣f（﹣x+2）＝﹣f（x﹣2），则f（x+4）＝﹣f（x），f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函数周期为8，因为f（x+2）＝﹣f（﹣x+2），故f（3）+f（1）＝0，f（4）+f（0）＝0，即f（4）＝﹣1，f（5）＝﹣f（1），f（6）＝﹣f（2）＝0，f（7）＝﹣f（3），f（8）＝f（0）＝1，故f（1）+f（2）+…+f（8）＝0，f（1）+f（2）+…+f（2023）＝﹣f（8）＝﹣1．故答案为：﹣1．16．右图为几何体Ω的一个表面展开图，其中Ω的各面都是边长为1的等边三角形，将Ω放入一个球体中，则该球表面积的最小值为2π；在Ω中，异面直线AB与DE的距离为√63．解：把平面展开图还原为空间几何体为正八面体，如图所示：球表面积最小，则正八面体的八个顶点在球面上，∴正八面体外接球的球心为正方形ACFD的中心O，半径R＝OA=12AF=12√12+12=√22，∴S表＝4πR2＝4π×12=2π；∵平面ABC∥平面DEF，∴异面直线AB与DE的距离为平面ABC与平面DEF的距离，又∵O到平面ABC的距离与O到平面DEF的距离相等，∴直线AB与DE的距离为O到平面ABC的距离2倍，∵V O﹣ABC＝V B﹣AOC，∴13S△ABC•h=13S△AOC•OB，∴√34h=12×√22×√22×√22，∴h=√66，∴异面直线AB与DE的距离为√6 3．故答案为：2π；√6 3．四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数f(x)=log12x，F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）．（1）判断F（x）的奇偶性，并证明；（2）解不等式|F（x）|≤1．解：（1）F（x）为偶函数；证明：∵f(x)=log12x，由{x+1＞01−x＞0，得x∈（﹣1，1），∴F（x）＝f（x+1）+f（1﹣x）=log12(x+1)+log12(1−x)的定义域为（﹣1，1），又F（﹣x）=log12(1−x)+log12(x+1)=F（x），∴F（x）为偶函数；（2）∵F（x）=log12(x+1)+log12(1−x)=log12(1−x2)≥log121=0，∴|F（x）|≤1⇔0≤F（x）=log12(1−x2)≤1，∴1≥1﹣x2≥12，解得−√22≤x≤√22，∴原不等式的解集为[−√22，√22]．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B（其中A，ω，φ，B均为常数，ω＞0，A＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式；（2）求函数y =f(x +5π12)+f(x)在[−π3，π2]上的值域．解：（1）由图知A =3−02=32，B =3+02=32， 且{ω⋅(−π3)+φ=−π2+2kπ，k ∈Z ω⋅π2+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，|φ|＜π2，解得ω=65，φ=−π10， 所以f （x ）=32sin （65x −π10）+32； （2）y ＝f （x +5π12）+f （x ）=32sin[65（x +5π12）−π10]+32+32sin （65x −π10）+32=32[sin （65x −π10+π2）+32sin （65x x −π10）+3=32 [cos （65x x −π10）+sin （65x x −π10）]+3=3√22 s in （65x x −π10+π4）+3=3√22 s in （65x x +3π20）+3， 因为x ∈[−π3，π2]，所以65x +3π20∈[−π4，3π4]， 所以sin （65x +3π20）∈[−√22，1]， 所以y ∈[3√22•−√22+3，3√22×1+3]＝[32，3√22+3]． 即函数y 的值域为[32，3√22+3]． 19．（12分）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AD ＝2CD ＝2，AA 1=A 1D =√5，A 1C =√6．（1）证明：平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A 1﹣CD ﹣D 1的余弦值．（1）证明：取AD 的中点O ，连接OC ，因为AA 1=A 1D =√5，得A 1O ⊥AD ，因为A 1D =√5，OD ＝1，所以A 1O ＝2，又OD ＝DC ＝1，所以OC =√2，在△A 1OC 中，OC =√2，A 1C =√6，A 1O ＝2，所以A 1C 2=A 1O 2+OC 2，故△A 1OC 为直角三角形，A 1O ⊥OC ，因为OC ∩AD ＝O ，故A 1O ⊥平面ABCD ，因为A 1O ⊂平面AA 1D 1D ，所以平面AA 1D 1D ⊥平面ABCD ；（2）解：如图，以O 为坐标原点，分别以DC →，OD →，OA 1→的正方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向， 建立如图所示空间直角坐标系：故A 1（0，0，2），C （1，1，0），D （0，1，0），D 1（0，2，2），则CD →=(−1，0，0)，A 1C →=（1，1，﹣2），DD 1→=(0，1，2)，设平面A 1CD 的一个法向量为m →=（x 1，y 1，z 1），则{m →⋅CD →=−x 1=0m →⋅A 1C →=x 1+y 1−2z 1=0，令y 1＝2，则m →=（0，2，1），设平面CDD 1C 1的一个法向量为n →=（x 2，y 2，z 2），则{n →⋅CD →=x 2=0n →⋅DD 1→=y 2+2z 2=0，令y 2＝2，则n →=（0，2，﹣1），所以cos ＜m →，n →＞=|m →⋅n →||m →||n →|=3√5×√5=35， 由图可知二面角A 1﹣CD ﹣D 1为锐角，所以二面角A1﹣CD﹣D1的余弦值为3 5．20．（12分）为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示．在公园内部计划修建景观道路CD（道路的宽度忽略不计），已知CD把三角形空地分成两个区域，△ACD区域为儿童娱乐区，△BCD区域为休闲健身区．经测量，AC＝BC＝100米，AB=100√3米．若儿童娱乐区每平方米的造价为100元，休闲健身区每平方米的造价为50元，景观道路每米的造价为2500元．（1）若∠ADC=π4，求景观道路CD的长度；（2）求∠ADC为何值时，口袋公园的造价最低？解：（1）在△ABC中，AC＝BC＝100，AB＝100√3，所以AC2+AB2﹣BC2＝1002﹣（100√3）2﹣1002＝30000，则cosA=AC2+AB2−BC22AC⋅AB=√32，A∈（0，π），所以A=B=π6，在△ACD中，∠ADC=π4，由正弦定理得ACsin∠ADC=CDsinA，即CD=AC⋅sinAsin∠ADC=10Osinπ6sinπ4=50√2，所以景观道路CD的长度为50√2米．（2）设∠ADC=θ(π6＜θ＜5π6)，在△ACD中，CD=50sinθ，所以S△ADC=12AC⋅CD sin∠ACD=12×100×50sin(5π6−θ)sinθ=2500sin(5π6−θ)sinθ，又S△ABC=12AC⋅AB•sin A=12×100×100√3×12=2500√3，所以S△BCD＝2500√3−2500sin(5π6−θ)sinθ，所以投资总额y＝2500CD+100S△ACD+50S△BCD＝2500×50sinθ+100×2500sin(5π6−θ)sinθ+50[2500√3−2500sin(5π6−θ)sinθ]＝2500×50[√3+1+sin(5π6−θ)sinθ]＝2500×50（3√32+2+cosθ2sinθ），因为2+cosθ2sinθ=3cos2θ2+sin2θ24sinθ2cosθ2=34tanθ2+tanθ24≥2√34tanθ2⋅tanθ24=√34，当且仅当tan θ2=√3，即θ=2π3时取等号， 此时y 取得最小值，即公园造价最低，所以∠ADC =2π3，口袋公园的造价最低． 21．（12分）设S n 为数列{a n }的前n 项和，s n =3n+1−32． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{S 2n +15a n }的最小项为第m 项，求m ； （3）设b n =2a n (a n −2)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜132． （1）解：当n ＝1时，a 1＝S 1=32−32=3； 当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=3n+1−32−3n−32=3n ， 因为a 1＝3满足上式，所以a n ＝3n ．（2）解：S 2n +15a n =32n+1−32+153n =32n+1+272⋅3n =32•（3n +93n ）≥32•2√3n ⋅93n =9， 当且仅当3n =93n ，即n ＝1时，等号成立， 所以m ＝1． （3）证明：b n =2a n (a n −2)2=2⋅3n(3n −2)2， 当n ＝1时，b 1=2⋅31(31−2)2=6； 当n ≥2时，b n =2⋅3n 32n −4⋅3n +4＜2⋅3n 32n −4⋅3n +3=2⋅3n (3n −1)(3n −3)=3n 3n −3−3n 3n −1=11−3−n+1−11−3−n ， 所以T n ＝b 1+b 2+b 3+…+b n ＜6+（11−3−1−11−3−2）+（11−3−2−11−3−3）+…+（11−3−n+1−11−3−n ）＝6+11−3−1−11−3−n =152−11−3−n ＜152−1=132，命题得证． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e x +aln （x +1）（a ∈R ）．（1）当a ＝﹣2时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若f （x ）在定义域上存在极值，求a 的取值范围；（3）若f （x ）≥1﹣sin x 恒成立，求a ．解：（1）当a ＝﹣2时，f （x ）＝e x ﹣2ln （x +1），可得f ′(x)=e x −2x+1，此时f′(0)=e0−21=−1，又f（0）＝e0﹣2ln1＝1，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣0），即x+y﹣1＝0；（2）易知f′(x)=e x+ax+1(x＞−1)，当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，不符合题意；当a＜0时，f′(x)=e x−a(x+1)2＞0，所以当a＜0时，f′（x）在定义域上单调递增，又f′(a2)=e a2+aa2+1，因为aa2+1≥−12，e a2＞1，所以f′（a2）＞0；当a＜﹣1时，易知f′（0）＝1+a＜0，所以函数f（x）在（0，a2）上存在极值点；当a＝﹣1时，f′(x)=e x−1x+1，易知f′（0）＝0，所以x＝0为f（x）的极值点；当﹣1＜a＜0时，f′(a2−1)=e a2−1+1 a ，因为e a2−1＜1，1a＜−1，所以f′（a2﹣1）＜0，则函数f（x）在（a2﹣1，a2）上存在极值点，综上所述，满足条件的a的取值范围为（﹣∞，0）；（3）若f（x）≥1﹣sin x恒成立，即sin x+e x+aln（x+1）≥1恒成立，不妨设g（x）＝sin x+e x+aln（x+1），函数定义域为（﹣1，+∞），可得g′(x)=cosx+e x+ax+1，不妨设h（x）＝cos x+e x+ax+1，函数定义域为（﹣1，+∞），可得h′（x）＝﹣sin x+e x−a(x+1)2，若a＝﹣2，当x∈（﹣1，0]时，cosx+e x≤2，−2x+1≤−2，所以g'（x）≤0，当x∈[0，+∞）时，e x≥1，h′（x）≥0，所以g′（x）≥g′（0）＝cos0+e0﹣2＝0，则x＝0时，函数g（x）在x∈（﹣1，+∞）上取得唯一极小值点，此时g（x）≥g（0）＝1，所以a＝﹣2时，f（x）≥1﹣sin x恒成立；若a＜﹣2，易知e x﹣sin x＞0，−a(x+1)2＞0，所以h′（x）＞0，即函数g'（x）单调递增，又g′(−a)=e−a+cos(−a)+a−a+1＞e2−1−1＞0，因为g'（0）＝2+a＜0，所以存在x1∈（0，﹣a），使得g'（x1）＝0，当0＜x＜x1时，g′（x1）＜0，g（x）单调递减，所以g（x1）＜g（0）＝1，不符合题意；若﹣2＜a＜0，由（2）知g′（x）单调递增，当﹣1＜x＜﹣1−a2＜0时，ax+1＜−2，g′(x)＜1+1+ax+1＜0，又g′（0）＝2+a＞0，所以存在x2∈（﹣1，0），使得g′（x2）＝0，当x2＜x＜0 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x2）＜g（0）＝1，不符合题意；若a≥0，易知cos x+e x＞0，ax+1≥0，所以g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）＝1，所以当﹣1＜x＜0时，g（x）＜g（0）＝1，不符合题意，综上所述，满足条件的a的值为﹣2．。

高三数学试题（理科）注意事项：1．本试卷分4页，本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟．2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡及答题纸上．3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．4．第Ⅱ卷写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题． 5．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。

只有一个符合题目要求的选项．） 1．设x ∈Z ，集合A 为偶数集，若命题p ：∀x ∈Z ，2x ∈A,则 p ⌝A ．∀x ∈Z ，2x ∉AB ．∀x ∉Z ，2x ∈AC ．∃x ∈Z ，2x ∈AD ．∃x ∈Z ，2x ∉A2． 设集合A={1,2,3}，B={4,5}，C={x |x =B b A a a b ∈∈-,,}，则C 中元素的个数是A ．3B ．4C ．5D ． 63．已知幂函数)(x f y =的图像过点（21，22），则)2(log 2f 的值为A ．21 B ．－21C ．－1D ．1 4．在△ABC 中，内角A 、B 的对边分别是a 、b ，若abB A =cos cos ，则△ABC 为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形5．若当x ∈R 时，函数0()(||>=a a x f x 且1≠a ）满足)(x f ≤1，则函数)1(log +=x y a 的图像大致为6．已知011<<ba ，给出下列四个结论：①b a < ②ab b a <+ ③||||b a > ④2b ab < 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④7．等差数列{n a }的前20项和为300，则4a +6a +8a +13a +15a +17a 等于A ．60B ．80C ．90D ．1208．已知函数⎩⎨⎧>-≤-=0,120,2)(x x x a x f x （R a ∈），若函数)(x f 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是A ．)1,(--∞B ． ]1,(-∞C ．)0,1[-D ． ]1,0(9．已知数列{n a }的前n 项和为n s ，且n s +n a =2n （n ∈N *），则下列数列中一定是等比数列的是A ．{n a }B ．{n a －1}C ．{n a －2}D ．{n a +2}10．已知函数)3sin()(πω+=x x f （0>ω）的最小正周期为π，将函数)(x f y =的图像向右平移m （m >0）个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则m 的最小值为A ．6πB ．3π C ．125π D ．65π11．设函数x x x x f sin )(2+=，对任意),(,21ππ-∈x x ，若)()(21x f x f >，则下列式子成立的是A ．21x x >B ．2221x x > C ．||21x x > D ．||||21x x <12．不等式222y axy x +-≤0对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．a ≤22B ．a ≥22C ．a ≥311 D ．a ≥29 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．=⎰2123dt t .14．若21)4tan(=-θπ，则=θθcos sin .15．已知一元二次不等式0)(<x f 的解集为{}221|<<x x ，则0)2(>xf 的解集为 。

高三数学（理科）基础训练四1. 已知全集,U =R 集合2{|37},{|7100},()A x x B x x x A B =≤<=-+<R I 则ð=A ．(),3(5,)-∞+∞UB ．()[),35,-∞+∞UC ．(][),35,-∞+∞UD ．(],3(5,)-∞+∞U2.设集合A p a a x a x A ∈><<--=1:},0,2|{命题，命题.2:A q ∈若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则a 的取值范围是（ ） A ．210><<a a 或B ．210≥<<a a 或C ．21≤<aD ．21≤≤a3. 若平面向量(2,3)a =r和(2,2)b x =+-r 垂直，则||a b +=r r （ ）A. 26B.5C.26D. 234. 已知直线y kx b =+与曲线22010ln y ax x =+-相切于点(1,2012)P ，则b 的值为 A ．2010 B ．2011 C ．2009 D ．2012 5. 在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且520S =，76a =，则9S 等于（ ） A ．35 B ．90 C ．45 D ．70 6.已知直线,l m 平面α，β且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题：①若//αβ，则l m ⊥；②若l m ⊥，则//αβ；③若αβ⊥，则//l m ；④若//l m ，则αβ⊥. 其中真命题是（ ） A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 7.已知2()sin f x x x =，则()f x 在[,]ππ-上的图象为（ ）A B C D8. 设z x y =+，其中,x y 满足20,0,0.x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩若z 的最大值为6，则z 的最小值为（ ）A.3-B.3C.2D.2- 10. 已知()cos()(0)3f x x πωω=+>的图象相邻两个对称中心的距离为2π，要得到 ()y f x =的图像，只须把sin y x ω=的图象（ ）A.向左平移512π个单位B. 向右平移512π个单位C. 向左平移1112π个单位D. 向右平移1112π个单位9. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A. (22)π+B.223π++ 121112C. (32)π+D.3232π++ 10. 一个正方形内接于椭圆，并有两边垂直于椭圆的长轴且分别经过它的焦点，则椭圆的离心率为A ．12B. 22C. 512- D 312-12.设函数()f x 定义在实数集上，(2)(),1,()ln f x f x x f x x -=≥=且当时，则有（ ）A ．11()(2)()32f f f <<B ．11()(2)()23f f f <<C ．11()()(2)23f f f <<D ．11(2)()()23f f f <<13. 已知24log log 1a b +=，则12a b +的最小值为 .14. 从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则一条切线长的最小值为15.已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ．16. 若c b a ,,是ABC ∆三个内角的对边，且sin 3sin 3sin c C a A b B =+，则圆22:9M x y +=被直线:0l ax by c -+=所截得的弦长为 ．17. 设椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>离心率32e =，左顶点为M 到直线1x ya b+=的距离455d =,O为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；。

高三上学期期中客观题强化训练（三）一、选择题（本大题10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若全集R U =，集合{}|22M x x =-≤≤，{}2|30N x x x =-≤，则()U M N ð＝（ ）A.[2,0]-B. [2,0)-C.[0,2]D. (0,2]2．已知,,O A B 是平面上的三点,直线AB 上有一点C ,满足2AC CB =-,则OC 等于( )A. 32OA OB -B. 23OA OB -+C. 2OA OB -D. 2OA OB -+ 3.已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列. 则q =（ ） A ．1或12-B ．1C ．12- D ．2- 4．已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且115a b +=，11a b >，11,a b N *∈，则数列{}n b a 的前10项的和等于（ ）A ．65B ．75C ．85D ．955.若O 为ABC ∆的内心，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆的形状为( ） A.等腰三角形 B.正三角形 C. 直角三角形 D.钝角三角形6. ABC ∆中，︒=∠==30,1,3B AC AB ，则ABC ∆的面积等于（ ）A ．23 B ．43 C ．323或 D ．4323或 7. 已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 及平面内一点P ，且PA PB PC AB ++=，则点P 与ABC ∆的位置关系是 （ ）A.P 在ABC ∆内部B.P 在ABC ∆外部C.P 在AB 边上或其延长线上D.P 在AC 边上 8.设函数ax x x f m+=)(的导函数12)(+='x x f ，则数列*)}()(1{N n n f ∈的前n 项和是（ ） A ．1+n nB ．12++n n C ．1-n n D ．nn 1+ 9.已知nn a )31(=，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状，记),n m A （表示第m 行的第n 个数，则）（12,10A =（ ） A.9331）（ B.9231）（ C.9431）（ D.11231）（10．已知函数)(x f 的定义域为[2,)-+∞，部分对应值如下表，()f x '为)(x f 的导函数，函数)('x f y =的图象如右图所示：若两正数,a b 满足(2)1f a b +<，则33b a ++的取值范围是（ ） A ．)34,76(B ．)37,53(C ．)56,32(D ．)3,31(-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。

2015-2016学年山东省潍坊市高密市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题.本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项装，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）数列1，，，，的一个通项公式a n是（）A．B．C．D．2．（5分）命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1≤0 B．∀x∈R，x2+1＜0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∃x0∈R，x02+1≤03．（5分）命题“若α=，则tanα=”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠B．若α=，则tanα≠C．若tanα≠，则α≠D．若tanα≠，则α=4．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若a、b、c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．＞0 C．（a﹣b）c2≥0 D．＜6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=﹣11，a6+a10=﹣2，则当S n 取得最小值时，n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．107．（5分）若变量x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．D．28．（5分）如图，为测得对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B 的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东方向是15°方向走30m 到位置D，测得∠BDC=30°，则塔高是（）A．15m B．5m C．10m D．15m9．（5分）在△ABC中，若sin（B﹣C）=1+2sin（A+B）cos（A+C），则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不含60°的等腰三角形10．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a8﹣a7﹣2a6=0，若存在两项a m，a n，使得=4a 2，则+的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上. 11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．12．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a12=36，则a6=．13．（5分）设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=．14．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB=，cosC=，c=3，则a=．15．（5分）某小型餐馆一天装要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每千克的单价分别为2元和3元，根据需要，A蔬菜至少要买6千克，B蔬菜至少要买4千克，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元，如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜交工后每千克分别为2元和1元，则该餐馆的最大利润最大为元．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）已知命题P：关于x的方程x2﹣（a+3）x+a+3=0有两个不等正实根；命题Q：不等式ax2﹣（a+3）x﹣1＜0对任意实数x均成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bsin （A+B）﹣ccosB=0．（1）求B；（2）若b=，c=2，求△ABC的面积．18．（12分）解关于x的不等式：mx2﹣（4m+1）x+4＞0（m∈R）19．（12分）已知等差数列{a n}，a1+a5=10，a4=7，等比数列{b n}中，b3=4，b6=32．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若c n是a n、b n的等比中项，求数列{c}的前n项和T n．20．（13分）根据政府的要求，某建筑公司拟用1080万购一块空地，计划在该空地上建造一栋每层1500平方米的高层经济适用房，经测算，如果将适用房建为x（x∈N*）层，则每平方的平均建筑费用为800+50x（单位：元）．（1）写出拟建适用房每平方米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）改适用房应建造多少层时，可使适用房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）21．（14分）已知数列{a n}中a n＞0，其前n项和为S n，且对任意的n∈N*，都有S n=（a+2a n+1），等比数列{b n}的通项公式为b n=3n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{（﹣1）n a n+b n}的前n项和T n；（3）设c n=2+（﹣1）n t•b n（t为非零整数，n∈N*），若对任意n∈N*，c n+1＞c n恒成立，求t的取值范围．2015-2016学年山东省潍坊市高密市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题.本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项装，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）数列1，，，，的一个通项公式a n是（）A．B．C．D．【解答】解：将原数列写成：，，，，．每一项的分子是正整数数列，分母是正奇数数列，∴数列1，，，，的一个通项公式a n是．故选：B．2．（5分）命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+1≤0 B．∀x∈R，x2+1＜0C．∃x0∈R，x02+1＜0 D．∃x0∈R，x02+1≤0【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2+1＞0”∴命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x0∈R，x02+1≤0”故选：D．3．（5分）命题“若α=，则tanα=”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠B．若α=，则tanα≠C．若tanα≠，则α≠D．若tanα≠，则α=【解答】解：命题“若α=，则tanα=”的逆否命题是“若tanα≠，则α≠”．故选：C．4．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选：A．5．（5分）若a、b、c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．＞0 C．（a﹣b）c2≥0 D．＜【解答】解：A．当c=0时，ac＞bc不成立；B．当c=0时，=0，故＞0不成立；C．∵a＞b，∴a﹣b＞0，又c2≥0，∴（a﹣b）c2≥0，成立．D．当a，b异号时，a＞b⇔⇔＜⇔＞，故D不成立综上可知：只有C成立．故选：C．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=﹣11，a6+a10=﹣2，则当S n 取得最小值时，n的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：由题意a3=﹣11，a6+a10=﹣2，∴a1+2d=﹣11，2a1+14d=﹣2解得a1=﹣15，d=2，∴S n=﹣15n+=n2﹣16n=（n﹣8）2﹣64．∴当S n取最小值时，n=8．故选：B．7．（5分）若变量x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．D．2【解答】解：设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知直线OA的斜率最大，由得，即A（2，3），此时k=，故选：C．8．（5分）如图，为测得对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B 的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东方向是15°方向走30m 到位置D，测得∠BDC=30°，则塔高是（）A．15m B．5m C．10m D．15m【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=x，AC=x在△BCD中，CD=30，∠BCD=105°，∠BDC=30°，∠CBD=45°由正弦定理可得BC==15∴x=15∴x=15故塔高AB为15m故选：D．9．（5分）在△ABC中，若sin（B﹣C）=1+2sin（A+B）cos（A+C），则△ABC的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不含60°的等腰三角形【解答】解：△ABC中，∵sin（B﹣C）=1+2sin（A+B）cos（A+C），即sin（B﹣C）=1﹣2sinCcosB，即sinBcosC﹣cosBsinC=1﹣2sinCcosB，即sin（B+C）=1．再结合0＜B+C＜π，可得B+C=，∴A=，故△ABC的形状一定是直角三角形，故选：B．10．（5分）已知正项等比数列{a n}满足：a8﹣a7﹣2a6=0，若存在两项a m，a n，使得=4a 2，则+的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．1【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q：∵a8﹣a7﹣2a6=0，∴=0，化为q2﹣q﹣2=0，q＞0．解得q=2，，a n，使得=4a2，∵存在两项a∴=4a1q，q=2．化为：m+n=8，则+==≥（10+2）=2，当且仅当n=3m=6时取等号．∴+的最小值为2．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上. 11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，又cosB==﹣，∴B=，故答案为：．12．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a12=36，则a6=．【解答】解：∵公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a12=36，∴，化为=6，∴a1=．∴a6==．故答案为：．13．（5分）设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且=，则=．【解答】解：由等差数列的性质可得===，又=，∴==．故答案为：．14．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosB=，cosC=，c=3，则a=．【解答】解：∵△ABC中，cosB=，cosC=，∴sinB=，sinC=，∵c=3，∴由正弦定理=得：b===，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即9=a2+﹣2a，解得：a=，故答案为：15．（5分）某小型餐馆一天装要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每千克的单价分别为2元和3元，根据需要，A蔬菜至少要买6千克，B蔬菜至少要买4千克，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元，如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜交工后每千克分别为2元和1元，则该餐馆的最大利润最大为52元．【解答】解：依题意，A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组如下：…（3分）画出的平面区域如图．…（6分）设餐馆加工这两种蔬菜利润为z元，则目标函数为z=2x+y…（7分）∵y=﹣2x+z∴z表示过可行域内点斜率为﹣2的一组平行线在y轴上的截距．联立解得即B（24，4）…（9分）∴当直线过点B（24，4）时，在y轴上的截距最大，即z max=2×24+4=52…（11分）答：餐馆应购买A蔬菜24公斤，B蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元．…（12分），故答案为：52三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（12分）已知命题P：关于x的方程x2﹣（a+3）x+a+3=0有两个不等正实根；命题Q：不等式ax2﹣（a+3）x﹣1＜0对任意实数x均成立．若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵命题P：关于x的方程x2﹣（a+3）x+a+3=0有两个不等正实根，∴，解得：a＞1，又∵命题Q：不等式ax2﹣（a+3）x﹣1＜0对任意实数x均成立，当a=0时：不等式变为：﹣3x﹣1≤0，解得：x≥﹣，显然不符合题意，当a≠0时：，解得：﹣9＜a＜﹣1，若P∨Q是真命题，则实数a的范围是：﹣9＜a＜﹣1或a＞1．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bsin（A+B）﹣ccosB=0．（1）求B；（2）若b=，c=2，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵bsin（A+B）﹣ccosB=0．∴bsin（π﹣C）﹣ccosB=0．可得：bsinC﹣ccosB=0．∴由正弦定理可得：sinBsinC=sinCcosB，∵sinC≠0，可得：tanB=，∵0＜B＜π，解得：B=…6分（2）∵由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，b=，c=2，B=，∴7=a2+4﹣2a，即a2﹣2a﹣3=0，∵a＞0，解得：a=3，=acsinB=…12分∴S△ABC18．（12分）解关于x的不等式：mx2﹣（4m+1）x+4＞0（m∈R）【解答】解：当m=0时，不等式化为﹣x+4＞0，解得x＜4；当m＜0时，不等式化为（mx﹣1）（x﹣4）＞0，即（x﹣）（x﹣4）＜0，解得＜x＜4；当m＞0时，不等式化为（x﹣）（x﹣4）＞0，令=4，解得m=，此时原不等式化为（x﹣4）2＞0，解得x≠4；当＜4，即m＞时，解不等式得x＜或x＞4；当＞4，即0＜m＜时，解不等式得x＜4或x＞；综上，m=0时，不等式的解集是{x|x＜4}；m＜0时，不等式的解集是{x|＜x＜4}；0＜m＜时，不等式的解集是{x|x＜4或x＞}；m=时，不等式的解集是{x|x≠4}；m＞时，不等式的解集是{x|x＜或x＞4}．19．（12分）已知等差数列{a n}，a1+a5=10，a4=7，等比数列{b n}中，b3=4，b6=32．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若c n是a n、b n的等比中项，求数列{c}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a5=10，a4=7，∴，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．设等比数列{b n}的公比为q，∵b3=4，b6=32．∴，解得b1=1，q=2．∴b n=2n﹣1．（2）∵c n是a n、b n的等比中项，∴=a n b n=（2n﹣1）•2n﹣1．∴数列{c}的前n项和T n=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，2T n=2+3×22+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n，∴﹣T n=1+2×2+2×22+…+2n﹣（2n﹣1）•2n=﹣1﹣（2n﹣1）•2n=（3﹣2n）×2n﹣3，∴T n=（2n﹣3）×2n+3．20．（13分）根据政府的要求，某建筑公司拟用1080万购一块空地，计划在该空地上建造一栋每层1500平方米的高层经济适用房，经测算，如果将适用房建为x（x∈N*）层，则每平方的平均建筑费用为800+50x（单位：元）．（1）写出拟建适用房每平方米的平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；（2）改适用房应建造多少层时，可使适用房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）【解答】解（1）依题意得y=（800+50x ）+=800+50x +（x ∈N *）；（2）由y=800+50x +≥800+1200=2000，当且仅当50x=，即x=12时取得等号，故该公寓应建造12层时，可使公寓每平方米的平均综合费用最少，最小值为2000元．21．（14分）已知数列{a n }中a n ＞0，其前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有S n =（a+2a n +1），等比数列{b n }的通项公式为b n =3n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{（﹣1）n a n +b n }的前n 项和T n ；（3）设c n =2+（﹣1）n t•b n （t 为非零整数，n ∈N *），若对任意n ∈N *，c n +1＞c n 恒成立，求t 的取值范围．【解答】解：（1）∵对任意的n ∈N *，都有S n =（a +2a n +1），当n=1时，，解得a 1=1．当n ≥2时，S n ﹣1=，∴4a n =，化为（a n +a n﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）=0，∵a n ＞0，∴可得：a n ﹣a n ﹣1=2．∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为2． ∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1．（2）设数列{（﹣1）n a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ．B n ==．当n=2k （k ∈N *）为偶数时，A n =﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4+…﹣a 2k ﹣1+a 2k =（3﹣1）+（5﹣3）+…+[2k ﹣（2k ﹣1）]=2k=n ．T n =n +．当n=2k ﹣1（k ∈N *）为奇数时，A n =A n ﹣1﹣a n =（n ﹣1）﹣（2n ﹣1）=﹣n ．T n =﹣n +．∴T n=．（3）c n=2+（﹣1）n t•b n =4n +（﹣1）n t•3n ．c n +1＞c n 即：4n +1+（﹣1）n +1t•3n +1＞4n +（﹣1）n t•3n ． 当n 为偶数时，可得4n +1﹣t•3n +1＞4n +t•3n ，化为t ＜，∴．当n 为奇数时，可得4n +1+t•3n +1＞4n ﹣t•3n ，化为，∴t ＞﹣1．综上可得：，∵t 为非零整数，∴t=1．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

高三数学上学期期中模拟（二）一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若全集为实数集R ，集合A =12{|log (21)0},R x x C A ->则=( )A ．1(,)2+∞B ．(1,)+∞C ．1[0,][1,)2+∞ D ．1(,][1,)2-∞+∞2．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1tan ,sin ()47παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭则A35 B 45 C 35- D 45- 3.等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且201320132013a S ==，则1a =（ ）A. 2012B. -2012C. 2011D. -2011 4. 下列有关命题的说法正确的是A ．命题 “若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“6x =”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“对任意,R x ∈均有210x x -+>”的否定是：“存在,R x ∈使得012<+-x x ”． D ．命题“若x y =，则cos cos x y =”的逆否命题为真命题．5.非零向量,a b 使得||||||a b a b -=+成立的一个充分非必要条件是（ ） A . //a b B. 20a b += C.||||a ba b =D. a b = 6.若}{n a 为首项为1的等比数列，n S 为其前项和，已知2,,2432+a S a 三个数成等差数列，则数列2{}n a 的前5项和为（ ）A ．341B ．10003C ．1023D ．1024 7.已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为32，则a =A.14B.12C.1D.28. ABC ∆三个内角A ，B ，C 所对边分别为a A b B A a c b a 3cos sin sin ,,,2=+，则=ab（ ） A.2 B.3 C.22 D.32 9. 设函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 且()()f x f x -=，则( )A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 10.如图，函数()y f x =的图象为折线ABC ，设()(g x f f x =⎡⎣ 则函数()y g x =的图象为（ ）AC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上11.等比数列{}n a 中，已知1,214321=+=+a a a a ，则87a a +的值为 . 12.不等式|21||1|2x x ++-<的解集为13.△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，30B ∠=，△ABC 的面积为23，那么b 等于_____________ 14.()y f x =是定义在R 上的偶函数且在[)0,+∞上递增,不等式112x f f x ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的解集为15.下列命题中，正确的是（1）平面向量a 与b 的夹角为060，)0,2(=a ，1=b ，则=+b a （2）已知()()sin ,1cos ,1,1cos a b θθθ=+=-，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则a b ⊥ （3）对于,x R ∈绝对值不等式|10||2|8x x +--≥的解集为[0,)+∞；（4）在Rt ABC ∆中，090C ∠=，AC=4，则16AB AC =-三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）向量(sin cos ,1)a x x ωω=+，((),sin )b f x x ω=，其中0＜ω＜1，且a ∥b ，将()f x 的图象沿x 轴向左平移4π个单位，沿y 轴向下平移12个单位，得到()g x 的图象，已知()g x 的图象关于(,0)4π对称。

高三数学（理科）基础训练四1. 已知全集,U =R 集合2{|37},{|7100},()A x x B x x x A B =≤<=-+<R 则ð= A ．(),3(5,)-∞+∞B ．()[),35,-∞+∞C ．(][),35,-∞+∞D ．(],3(5,)-∞+∞2.设集合A p a a x a x A ∈><<--=1:},0,2|{命题，命题.2:A q ∈若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则a 的取值范围是（ ）A ．210><<a a 或B ．210≥<<a a 或C ．21≤<aD ．21≤≤a3. 若平面向量(2,3)a =和(2,2)b x =+- 垂直，则||a b += （ ）A. 26B.5C.26D. 234. 已知直线y kx b =+与曲线22010ln y ax x =+-相切于点(1,2012)P ，则b 的值为 A ． 2010B ．2011C ．2009D ．20125. 在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且520S =，76a =，则9S 等于（ ）A ．35B ．90C ．45D ．706.已知直线,l m 平面α，β且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题：①若//αβ，则l m ⊥；②若l m ⊥，则//αβ；③若αβ⊥，则//l m ；④若//l m ，则αβ⊥. 其中真命题是（ ） A.①②B.①③C.①④D.②④7. 已知2()sin f x x x =，则()f x 在[,]ππ-上的图象为（ ）A B C D8. 设z x y =+，其中,x y 满足20,0,0.x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩若z 的最大值为6，则z 的最小值为（ ）A.3-B.3C.2D.2-10.已知()cos()(0)3f x x πωω=+>的图象相邻两个对称中心的距离为2π，要得到 ()y f x =的图像，只须把sin y x ω=的图象（ ）A.向左平移512π个单位 B. 向右平移512π个单位 C. 向左平移1112π个单位 D. 向右平移1112π个单位 9. 如图为某几何体的三视图，则该几何 体的表面积是（ ）A. (22)π+B.2232π++ C. (32)π+ D.3232π++ 10. 一个正方形内接于椭圆，并有两边垂直于椭圆的长轴且分别经过它的焦点，则椭圆的离心率为 A ．12 B. 22C. 512- D 312- 12.设函数()f x 定义在实数集上，(2)(),1,()ln f x f x x f x x -=≥=且当时，则有（ ）A ．11()(2)()32f f f << B ．11()(2)()23f f f << C ．11()()(2)23f f f <<D ．11(2)()()23f f f <<13. 已知24log log 1a b +=，则12a b+的最小值为 .14. 从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则一条切线长的最小值为15.已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ．16. 若c b a ,,是ABC ∆三个内角的对边，且sin 3sin 3sin c C a A b B =+，则圆22:9M x y +=被直线:0l ax by c -+=所截得的弦长为 ．17. 设椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>离心率32e =，左顶点为M 到直线1x y a b +=的距离455d =,O为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；12111。