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事件的相互独立性

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事件的相互独立性

事件的相互独立性


P( A • B • C)
(2)A不发生且B不发生且C (2)A不发生且B不发生且C不发生 不发生且
P( A• B • C)
练一练:已知A 练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学 相互独立， 符号语言表示下列关系 同时发生概率； ① A、B、C同时发生概率； 都不发生的概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； 中恰有一个发生的概率； 中恰有两个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； 中至少有一个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
你认同以上的观点吗？
引例的解决
明确问题： 明确问题：
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠 0.8, 老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45, 0.5,老二为0.45,老三 老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三 为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠 0.4,且每个人必须独立解题， 且每个人必须独立解题 中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率 比较，谁大？ 比较，谁大？
答:事件 的发生会影响事件 发生的概率 事件A的发生会影响事件 事件 的发生会影响事件B发生的概率
n( AB) P( AB) 1 P ( B A) = = = n( A) P ( A) 2
思考与探究
思考2 思考2：三张奖券有一张可以中奖。现由三 名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去 抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗？ 设A为事件“第一位同学没有中 奖”。 表示事件“ 同学中奖” B表示事件“最后一名 同学中奖”
答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。
P( B | A) = P( B)
事件的相互独立性-PPT

事件的相互独立性-PPT

27
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解ห้องสมุดไป่ตู้
设Ai
{第i个 元 件 正
(i 1 ,2 , ,n )
常},工 则P作 (Ai)r
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
28
B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }，D={ 通路②正常工作 }
17
例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女 孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性； （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,
其概率各为1/4,此时
22
结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1,A2,…,An相互独立,则
P (A 1 A 2 A n )1P (A 1 A 2 … A n ）
1P(A 1A 2… A n) 1P (A 1)P (A 2)… P (A n ) A1,A2,…,An
也相互独立
即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.
16
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P (A iA j) P (A i)P (A j)
共
C
2 n
Cn3
Cnn
则A 称 1， A2， An两
高中数学必修二课件：事件的相互独立性

高中数学必修二课件：事件的相互独立性


3．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别是什么？ 答：对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，那么称A，B 互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，那么称 A，B对立，显然A＋B为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但可能同时 不发生．如掷一枚均匀的骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B， 则A，B可能都不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发 生的概率没有影响． A，B互斥，则P(AB)＝0；A，B对立，则P(A)＋P(B)＝1. A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)，可见这是不相同的概率．
1．对相互独立事件定义的理解
答：对于事件A，B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响，那么称这两个事件为相互独立事件．例如甲袋中装有3个白球，2个黑 球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲 袋摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记 为事件B，显然A与B相互独立．
思考题1 袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第
一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，“第二次摸得黑球”记为 C，那么事件A与B，A与C间的关系是( A )
A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立
课时学案
题型一 相互独立事件的判断
例1 (1)把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独 立事件．
①A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}； ②A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3点}； ③A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}； ④A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．
事件的相互独立性 课件

事件的相互独立性 课件


球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一
性，A，B应为互斥事件；D是条件概率，事件B受事件A的影响．
2.(1)家庭中有两个小孩,小孩为男孩、女孩的可能情形为{(男,
男)，(男,女),(女,男),(女,女)},它有4个基本事件,由等可能性
知概率各为 1.此时,A={(男,女),(女,男)},B={(男,男),(男,女),
事件的相互独立性
事件的相互独立 (1)相互独立的概念 设A,B为两个事件,则事件A与事件B相互独立的条件是： P(AB)=_P_(_A_)_P_(_B_)_. (2)相互独立的性质 如果事件A与B相互独立,则A与_B_，_A_与B， A与B 也都相互独立.
1.若事件A与事件B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)？
事件相互独立性的判断
三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法:直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法：检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立. (3)条件概率法：当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断.
【典例训练】 1．下列事件中，A，B是独立事件的是( ) (A)一枚硬币掷两次，A＝{第一次为正面}，B＝{第二次为反面} (B)袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝{第一次摸到 白球}，B＝{第二次摸到白球} (C)掷一枚骰子，A＝{出现点数为奇数}，B＝{出现点数为偶数} (D)A＝{人能活到20岁}，B＝{人能活到50岁}
提示：如果事件A与事件B相互独立,则有P(B|A)=P(B),又
PB | A P从PA而ABP ,(AB)=P(A)·P(B|A)=P(A)P(B),即
P(AB)=P(A)·P(B)是事件A，B相互独立的充要条件.
2.一个篮球运动员投篮1次命中的概率是0.6，事件A为“第一 次没有命中”，事件B为“第二次命中”，则在事件A发生的条 件下事件B发生的概率是多少？事件A的发生会影响事件B发生 的概率吗？ 提示：因为事件A与B相互独立，故在事件A发生的条件下事件 B发生的概率不变，依然是0.6；事件A的发生不影响事件B发 生的概率.
事件的相互独立性

事件的相互独立性


3：在一段线路中并联着3个自动控制的常开开
关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正 常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率 都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.
注 上面例1第(3)小题的解法2和例2的解法，都是解应用题的逆向 思考方法．采用这种方法有时可使问题的解答变得简便．
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C.
诸葛亮 VS 臭皮匠团队
比赛规则：团队成员必须每人独立完成问 题，团队中有一人获胜即为团队获胜。 诸葛亮解出的概率为80%， 实力分析： 臭皮匠老大解出的概率为50%， 臭皮匠老二解出的概率为45%， 臭皮匠老三解出的概率为40%。
问：三个臭皮匠能抵一个诸葛亮吗？
设事件A：老大解出问题；事件B：老二解出问题； 事件C ：老三解出问题；事件 ：诸葛亮解出问题 P ( A B C ) P( A) P( B) D P( C) ②公式 运用 、 B、 C彼此互斥 . ) 0.4 , P( D) 0.8 P( A) 0.5, A P (B ) 0.45, P(C 则的前提：事件 那么，臭皮匠联队赢得比赛的概率为
P P( A B) [ P( A B) P( A B)] 0.36 0.48 0.84
解法2：两人都未击中的概率是 P( A B) P( A) P( B) (1 0.6) (1 0.6) 0.16,
因此，至少有一人击中 目标的概率 P 1 P( A B) 1 0.16 0.84 答：至少有一人击中的概率是0.84.
(白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑) 同时摸出白球的 结果有3×2种．
事件的相互独立性

事件的相互独立性


设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P( AB) P( A) P(B)
则称事件 A, B 相互独立,简称 A, B 独立.
注. 1º若 P( A) 0,则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
说明 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
例4 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为 0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎病毒 相互独立，混合100个人的血清，求此血清 中含有肝炎病毒的概率. 解
Ai {第i人的血清含有肝炎病毒},i 1, 2,...100
B {100个人的混合血清中含有肝炎病毒} 则 P( Ai ) 0.004
[r(2 r)]n rn(2 r)n
(2) 问：哪个系统的可靠性更大？
令 f ( x) xn (n 2)，则
0r1
f ( x) n(n 1)xn2 0 ( x 0)
(2 r)n 2 rn
故曲线y f ( x)是凹的，从而 f (2 r) f (r) f ( (2 r) r ) f (1) 1
P(BC ) P(B)P(C ),
P(
AC
)
P( A)P(C ),
P( ABC ) P( A)P(B)P(C ),
则称事件 A, B,C 相互独立 .
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj )
通路上各元件
都正常工作
而 系统Ⅰ正常工作
两条通路中至少
有一条正常工作
B1 C D A1A2 An An1An2 A2n
事件的相互独立性课件

事件的相互独立性课件


【思路启迪】 如果A、B是，所以利用独立事件的概率公 式来解题即可．
【解】 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件 B，则A、B相互独立，从而A与 B 、 A 与B、 A 与 B 均相互独 立．
(1)“两个都能破译”为事件AB，则 P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.
要点二 求相互独立事件的概率
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤是 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌 握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同 时发生．
一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中 任取2个球，取出后再放回，求：
(1)一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和 生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}， B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．已知家庭中有三个小孩， 判断A与B的独立性；
(2)判断下列各对事件是否是相互独立事件： 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从 甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1 名男生”与“从乙组中选出1名女生”．
2．熟记部分符号语言含义：如A，B至少有一个发生的 事件记为A∪B；都发生记为AB；恰有一个发生的事件记为 (A B )∪( A B)；至多有一个发生的事件记为(A B )∪( A B)∪( A B )．
甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率 分别为13和14.
求(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能破译的概率．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝CC2325·CC2225＝130·110＝1300. 故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是 红球的概率是1300.
事件的相互独立性

事件的相互独立性


一、事件的相互独立性的概念
设A，B，为两个事件，若
P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A与事件B相互独立.
注意: 1、相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响 即：事件A发生不会影响事件B发生的概率， 事件B发生不会影响事件A发生的概率. 互斥事件:在任何一次试验中两个事件不会同时发生.
2、不能用P(B|A)=P(B)作为事件A与事件B相互独立的定 义.
作业
练习：设事件A与事件B相互独立，两个事件中 1 只有A发生的概率和只有B发生的概率都是 ， 4 求事件A与事件B同时发生的概率.
请各位老师，专家批评指正 谢谢大家
三 、相互独立事件同时发生的概率：
则有P AB P(A)? P(B) 1.若A、B是相互独立事件， 即：两个相互独立事件同时发生的概率，
等于每个事件发生的概率的积。 2.由性质可知：P(AB) P(A) P( B),
P(AB) P(A) P( B), P(AB) P(A) P( B)
②袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 是 事件B：第二次从中任取一个球是白球. .
练2、判断下列各对事件的关系
互斥事件 （1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环； （2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与乙 射中8环； 相互独立
(3)已知P( A) 0.6, P( B) 0.6, P( AB) 0.24
三 、相互独立事件同时发生的概率：
解：设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B， 则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB。 (1)都抽到某一指定号码；
由于两次的抽奖结果是互不影响的, 因此事件A和B相互独立，
事件的相互独立性 课件

事件的相互独立性 课件


解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为 Ω＝{(男， 男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有 4 个基本事件，由等可能性知概率都为14. 这时 A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是 P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12. 由此可知 P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件 A，B 不相互独立．
事件的相互独立性
1．相互独立的概念 设 A，B 为两个事件，若 P(AB)＝ 件 A 与事件 B 相互独立． 2．相互独立的性质
P(A)P(B)么 A 与 B， A 与 B， A 与 B 也都
相互独立．
[注意] 事件 A，B 相互独立的充要条件是 P(AB)＝P(A)·P(B)． (1)充分性：由定义知 P(AB)＝P(A)·P(B)时，事件 A，B 相互独 立． (2)必要性：由 A，B 相互独立得 P(B|A)＝P(B)，所以 P(AB)＝ P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 Ω ＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)， (女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}． 由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为18，这时 A 中含有 6 个基本事件，B 中含有 4 个基本事件，AB 中含有 3 个基本事 件． 于是 P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38， 显然有 P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立． 从而事件 A 与 B 是相互独立的．
(2)“至少 1 个人译出密码”的对立事件为“2 个人都未译出密 码”， 所以至少 1 个人译出密码的概率为： 1－P(－A －B )＝1－P(－A )P(－B )＝1－23×34＝12.
10.2事件的相互独立性

10.2事件的相互独立性

A 与 B； A 与 B； A 与 B.
注意：当三个事件A、B、C两两独立时， 等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
新知探究
例1 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他
差异．采用不放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A=“第一次摸到球的 标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”，那么事件A与B是否独 立？
猜一个成语, 已知甲每轮猜对的概率为 3 ，乙每轮猜对的概率为 2 . 在 每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响4，各轮结果也互不影响. 求3 “星 队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、 事件“甲猜对2个, 乙猜对1个”的和事件发生.
解：设A1 , A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1 , B2分别 表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得
② ∵事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”
∴事件“至少有一人中把”的概率为 1- P( AB) 1 0.02 0.98
归纳：求较为复杂事件的概率的方法
1.对事件进行分解,一方面分解为互斥的几类简单事件求概率; 另一方面分解为独立的事件, 利用事件同时发生(乘法)求出概率.
2.对事件分解时,要明确事件中的“至少有一个发生”“至 多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发 生”“不都发生”等词语的意义. 已知两个事件A,B,那么:
P(AB∪AB) =P(AB)＋P(AB) =P(A)P(B)＋P(A)P(B)
=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26. (3)事件“两人都脱靶” =AB，所以
P(AB) =P(A)P(B)=(1－0.8) × (1－0.9) =0.02.
事件的相互独立性-PPT课件

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8
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
解（2：）(1其) 中记恰“由甲1射人击击1中次目,击标中的目概标率”为事件A.“乙射 击（31）次至,击少中有目一标人”击为中事目件标B的.且概A率与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同
A
B
C
.在100件产品中有4件次品.
C42
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为__C_1002
C41·C31 C1001·C991
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C102011
（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An） 6
试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”,
事件1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”,
事件B表示 “第2球罚中”.
P( A • B) P( A) • P(B)
96 • 97 582 100 100 625
答：抽到合格品的概率是 582
13
625
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973

课件7：2.2.2 事件的相互独立性


方法归纳 解决此类问题应注意什么？ (1)恰当用事件的“并”“交”表示所求事件． (2)“串联”时系统无故障易求概率，“并联”时系统有故障 易求概率，求解时注意对立事件概率之间的转化．
学以致用 3．在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要 其中 1 个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某 段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7，计算在这段 时间内线路正常工作的概率．
() A．0.56 C．0.75
B．0.48 D．0.6
【解析】都击中目标的概率为 P＝0.8×0.7＝0.56. 【答案】A
3．一件产品要经过 2 道独立的加工程序，第一道工序的
次品率为 a，第二道工序的次品率为 b，则产品的正品率
为( )
A．1－a－b
B．1－ab
C．(1－a)(1－b)
D．1－(1－a)(1－b)
解：如图所示，记这段时间内开关 KA、KB、KC 能够闭合 分别为事件 A、B、C.
由题意知，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间也 没有影响，根据相互独立事件的概率公式得，这段时间内 3 个开关都不能闭合的概率是 P( A B C )＝P( A )P( B )P( C ) ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.
探究二 相互独立事件同时发生的概率 典例 2 甲、乙两人独立破译密码的概率分别为13、14，求： (1)两个人都译出密码的概率； (2)两个人都译不出密码的概率； (3)恰有一人译出密码的概率； (4)至多一人译出密码的概率； (5)至少一人译出密码的概率．
解：记 A 为“甲独立地译出密码”，B 为“乙独立地译出密码”． 则 A 与 B， A 与 B 均相互独立． (1)两个人都译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝13×14＝112. (2)两个人都译不出密码的概率为 P( A B )＝P( A )P( B )＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－131－14＝12.

相互独立事件的概念

相互独立事件的概念相互独立事件是概率论中一个重要的概念，它描述了两个或多个事件之间的统计独立性。

在概率论中，事件的相互独立性是指事件A和事件B的发生与否互不影响或者说彼此独立，即事件A发生的概率与事件B发生的概率无关。

相互独立事件的概念可以通过以下性质进行说明：1. 乘法规则：两个独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。

设A和B是两个独立事件，则有P(A ∩ B) = P(A) × P(B)。

2. 加法规则：两个独立事件至少有一个发生的概率等于它们各自发生概率之和减去它们同时发生的概率。

设A和B是两个独立事件，则有P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)。

3. 依概率的性质：对于相互独立的事件A和B，事件A的发生概率与事件B的发生概率的比值等于事件A的发生概率与全样本空间的概率之比。

即P(A|B) = P(A) × P(B)。

4. 独立事件的补事件也是独立事件：如果事件A和事件B是独立事件，则事件A的补事件和事件B的补事件也是独立事件。

相互独立事件的概念在实际问题的解决中有着广泛的应用，例如:1. 投硬币的实验：投掷一枚硬币是一个相互独立的事件，每次投掷硬币都不会受前一次的投掷结果的影响。

2. 掷骰子的实验：掷一个骰子是一个相互独立的事件，每次掷骰子都不会受前一次的掷骰子结果的影响。

3. 独立抽样：在统计学中，独立抽样是指在一次抽样中，每次抽取的样本独立且与之前的抽样无关。

4. 检验流程的相互独立性：在某些工业生产过程中，不同的检验过程可能是相互独立的，即前一道工序的检验结果不会对后一道工序的检验结果产生影响。

相互独立事件的概念是概率论中的一个基础概念，它使得我们能够对复杂的概率问题进行简化和计算。

通过理解相互独立事件的性质和应用，我们可以更好地应用概率论解决各种实际问题。

原创1：10.2 事件的相互独立性

求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率.
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
ҧ
ҧ
ത
则P(A)=0.8，P(B)=0.7，P(C)=0.9，所以P()=0.2，P(
)=0.3，P(
)=0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为
相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，
对于n个事件A1，A2，…，An，
如果P(AB)=P(A)P(B)成立，
如果其中任何一个事件发生的概率
则称事件A与事件B相互独立，
不受其他事件是否发生的影响，
简称为独立.
则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
新知探索
独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，
ҧ
ത
P1=P(BC)+P(A
C)+P(AB
)ҧ
ҧ
ത
=P()P(B)P(C)+P(A)P(
)P(C)+P(A)P(B)P(
)ҧ
=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2=1-P(ҧത )ҧ
ҧ )P(
ҧ
ത )=1-0.2×0.3×0.1=0.994.
=1-P()P(
典例精析
题型三：相互独立事件概率的实际应用
例4
1 3 3
三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为 ， ， ，将它们中的某两个
2 4 4
元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．

课件3：10.2 事件的相互独立性


1 C.2
D．1
解析：设事件 A 表示“甲通过听力测试”， 事件 B 表示“乙通过听力测试”． 根据题意，知事件 A 和 B 相互独立，且 P(A)＝12，P(B)＝13. 记“有且只有一人通过听力测试”为事件 C， 则 C＝A－B ∪ A B，且 A－B 和 A B 互斥， 故 P(C)＝P(A－B ∪ A B)＝P(A－B )＋P( A B) ＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)＝12×1－13＋1－12×13＝12. 答案：C
4．两个相互独立的事件 A 和 B，若 P(A)＝12，P(B)＝14， 则 P(AB)＝________.
解析：∵A、B 是相互独立事件，P(A)＝12，P(B)＝14 ∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝12×14＝18. 答案：18
【课堂探究】
题型一 相互独立事件的判断[经典例题] 例 1 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设 A＝“抽 到 K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到 J”，那么下列每对 事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？ (1)A 与 B；(2)C 与 A.
解：甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率 分别为 1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为 0 元、2 元、4 元三种情 况．租车费都为 0 元的概率为 p1＝14×12＝18，租车费都为 2 元 的概率为 p2＝12×14＝18，租车费都为 4 元的概率为 p3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为 p＝p1＋p2＋p3＝156.
(3)“2 人至少有 1 人射中”包括“2 人都中”和“2 人有 1 人射中”2 种
情况，其概率为 P＝P(AB)十[P(A－B )＋P( A B)]＝0.72＋0.26＝0.98.

事件的相互独立性

导致B发生
举例：天气预 报准确，则明 天下雨的概率
为100%
与独立性的区 别：事件A与 事件B相互独 立，即A发生 与否不影响B 发生的概率
举例：扔硬币 正面朝上与反 面朝上概率都是50%投掷两颗骰子的事件的相互独立性分析
事件1：第一颗骰子的点数
事件2：第二颗骰子的点数
定义事件：投掷两颗骰子， 观察出现的点数
发展前景与研究方向
完善事件独立性的定义和性质 事件独立性在各领域的应用拓展 发展前景：与其他学科的交叉研究 研究方向：理论与实证相结合
与事件的互斥性的区别
定义不同：互斥事件是指在一定条件下不可能同时发生的事件；相互独立事件是指一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
联系不同：互斥事件和相互独立事件之间没有必然的联系；两个事件不包括共同的事件；且相互独立事件之间的发生概率不受事件是 否发生的影响。
独立事件的和事件与积事件的概率计算
两个独立事件的和事件概率计算公式：P(A+B)=P(A)+P(B)
两个独立事件的积事件概率计算公式：P(AB)=P(A)P(B)
举例说明：假设有两个独立事件A和B，P(A)=0.4，P(B)=0.6，则 P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.6=1，表示A和B同时发生的概率为1 结论：独立事件的和事件与积事件的概率计算公式可以用来计算两个独 立事件同时发生的概率。
在金融领域的应用
计算回报率：独立事件对 回报率的影响
风险评估：独立事件对风 险的影响
投资组合优化：独立事件 对投资组合的优化
保险产品定价：独立事件 对保险产品定价的影响
在计算机科学中的应用
密码学：利用独立性来增加密码的安全性 并发控制：避免多个事件同时修改同一个数据而产生冲突 故障恢复：独立处理每个事件以确保系统的稳定性和可靠性 算法设计：利用独立性来优化算法的性能和效率

专题18 事件的相互独立性

事件的相互独立性知识点一 相互独立事件的概念对任意两个事件A 与B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称独立. 知识点二 相互独立事件的性质如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立. 【例1】判断下列事件是否为相互独立事件.(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.【例2】（2022•秀屿区月考）下列说法正确的个数有( )（1）掷一枚质地均匀的骰子一次，事件M = “出现偶数点”， N = “出现3点或6点”．则M 和N 相互独立；（2）袋中有大小质地相同的3个白球和1个红球．依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是13；（3）甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中标率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98；（4）柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出地鞋不成双”的概率是45． A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】（2021•新高考Ⅰ）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ) A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立【例4】（2022•乙卷）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1p ，2p ，3p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则( ) A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大【例5】（2022•南海区月考）电路从A 到B 上共连接了6个开关，每个开关闭合的概率为23．若每个开关是否闭合相互之间没有影响，则从A 到B 连通的概率是( )A ．1027B ．100243C ．448729D ．4081【例6】（2022•东莞市月考）甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为p ，若甲赢得比赛的概率为q ，则q p -取得最大值时(p = )A ．12B C D 【例7】（2022•多选•麒麟区期末）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，A 表示事件“两次掷出的点数之和是4”， B 表示事件“第二次掷出的点数是偶数”， C 表示事件“两次掷出的点数相同”， D 表示事件“至少出现一个奇数点”，则( ) A ．A 与C 互斥B ．3()4P D =C ．B 与D 对立 D ．B 与C 相互独立【例8】（2022•多选•南关区月考）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果；记A = “Ⅰ号最子出现的点数为1”； B = “Ⅱ号骰子出现的点数为2”； C = “两个点数之和为8”； D = “两个点数之和为7”，则以下判断不正确的是( )A ．A 与B 相互独立 B ．A 与D 相互独立C ．B 与C 相互独立D ．C 与D 相互独立 【例9】（2022•多选•萨尔图区月考）下列关于概率的命题，正确的有( ) A ．若事件A ，B 满足12(),()33P A P B ==，则A ，B 为对立事件B ．若事件A ，B 满足122(),(),()339P A P B P AB ===，则A ，B 相互独立C ．若对于事件11,,,()()(),()28A B C P A P B P C P ABC ====，则A ，B ，C 两两独立D ．若对于事件A ，B ，A 与B 相互独立，且P （A ）0.7=，P （B ）0.6=，则()0.42,()0.88P AB P A B ==【例10】（2022•多选•福州期末）在某社区兴办的“环保我参与”有奖问答比赛活动中，甲、乙、丙3个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是34，甲、丙2个家庭都回答错的溉率是112，乙、丙2个家庭都回答对的概率是14，若各家庭回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是( )A．乙家庭回答对这道题的概率为38B．丙家庭回答对这道题的概摔为78C．有0个家庭回答对的概率为596D．有1个家庭回答对的概率为712【例11】（2020•新课标Ⅰ）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12．（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率．【例12】（2019•新课标Ⅱ）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求(2)P X=；（2）求事件“4X=且甲获胜”的概率．同步训练1.（2021•天津）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为23；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．2.（2020•天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为16；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．3．（2019•新课标Ⅰ）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是0.18．4.（2022•昆山市期中）甲乙两运动员打乒乓球比赛，采用7局4胜．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为23，乙发球时甲得分的概率为12，各球的结果相互独立在某局双方10:10平后，乙先发球，则甲以13:11赢下此局的概率为()A．29B．19C．16D．1185.（2022•东城区月考）射击运动员甲、乙分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9．两人中恰有一人射中目标的概率是()A．0.06B．0.16C．0.26D．0.726.（2022•保定月考）甲、乙两名同学进行投篮训练，已知甲同学每次投篮命中的概率为13，乙同学每次投篮命中的概率为12，两名同学每次投篮是否命中相互独立．若甲、乙分别进行2次投篮，则他们命中的次数之和不少于2的概率为()A．12B．59C．23D．347.（2022•多选•汶上县月考）某社区开展“防疫知识竞赛”，甲、乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为()A．(1)(1)p q q p pq-+-+B．p q+C．pq D．1(1)(1)p q---8．（2022•多选•长清区月考）从甲袋中摸出一个红球的概率是14，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( ) A ．2个球都是红球的概率为18B ．2个球中恰有一个红球的概率为12C ．至少有1个红球的概率为38D ．2个球不都是红球的概率为789.（2022•多选•鲤城区期中）某高中多媒体制作社团制作了m 个视频，n 张图片(m ，*n N ∈，1)m n >>，从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A ，“视频甲入选”为事件B ，“图片乙入选”为事件C ，下列判断正确的是( ) A ．P （A ）P =（B ）P +（C ） B ．P （A ）P =（B ）P ⋅（C ）C ．()()()P A P BC P BC =+D ．()()P BC P BC >10.（2022•多选•广州期末）已知某随机试验的两个随机事件A ，B 概率满足P （A ）0>，P （B ）0>，事件C = “事件A 与事件B 恰有一个发生”，则下列命题正确的有( )A ．若B A =，则A ，B 是互斥事件 B ．若A ，B 是互为独立事件，则A ，B 不可能是互斥事件C ．()P AB P >（C ）D ．()P AB P <（C ）11.（2015•北京）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“⨯”表示未购买．（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？12.（2022•邹城市期中）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为35，25，15，且各轮问题能否正确回答互不影响．（1）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（2）求该选手至多进入第二轮考核的概率．。

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P ( A B ) P ( A)
引例 盒中有5个球( 3绿2红), 每次取出一个,
有放回地取两次记 . A 第一次抽取, 取到绿球, B 第二次抽取, 取到绿球, 3 P (B ) P ( B A) 5
则有
它表示 A 的发生并不影响B 发生的可能性大小 . 若 P ( A) 0，则
即 与A独立.
∵ A=, P()=0
∴ P(A) = P()=0= P() P(A) 即 与A独立.
(2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件 也相互独立. ① 注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭.
A 与 B； ② A 与 B； ③ A 与 B.
证 ① A A A( B B ) AB AB
两个结论
若事件 A1 , A2 , , An ( n 2) 相互独立 , 则 1. 其中任意 k ( 2 k n)个事件也是相互独立 .
2. 若 n 个 事 件 A1 , A2 , , An ( n 2)相 互 独 立 , 则 将 A1 , A2 , , An 中 任 意 多 个 事 件 换 成 们 的 对 它 立 事 件 所 得 的n 个 事 件 仍 相 互 独 立 独 立 性 关 于 , .( 运算封闭 )
B发生时，A一定不发生.
B
A
P ( A B) 0
这表明: B的发生会影响 A发生的可能性(造成
A不发生), 即B的发生造成 A发生的概率为零. 所以A与B不独立.
3.性质1.5
(1) 必然事件 及不可能事件与任何事件A 相互独立. 证 ∵ A=A, P()=1
∴ P(A) = P(A)=1• P(A)= P() P(A)
说明
P ( AB) P ( A) P ( B)
事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
2º 独立与互斥的关系 这是两个不同的概念.
独立是事 互斥是事 件间的概 件间本身 率属性 的关系
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 二者之间没 有必然联系 两事件互斥 AB 例如

P ( B A) P ( B)
P ( AB ) P ( A) P ( B )
2. 定义
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P ( AB) P ( A) P ( B )
则称事件 A, B 相互独立, 简称 A, B 独立.
注. 1º若 P ( A) 0, 则
P ( B A) P ( B )
甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中 敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为 0.5, 求敌机被击中的概率. 解 设 A={ 甲击中敌机 } B={ 乙击中敌机 } C={敌机被击中 }
则 C A B. 依题设, P ( A) 0.6, P ( B) 0.5 ∴ A与B不互斥 ( P(A)+P(B)=1.1>1≥P(A+B) )
2n
解 设 Ai {第i个元件正常工作 则 P ( Ai ) r },
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
)n ,,2 ,1 i (
B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }， D={ 通路②正常工作 }
A={(男，女），（女，男）}
B={(男，男)(男，女)(女，男)} AB={(男，女)(女，男)}
P(A)=1/2,P(B)=3/4,P(AB)=1/2 则事件A,B不独立，
（2）类似可求，但有P(AB)=P(A)P(B)成立， 则A与B相互独立。
注.
A1 , A2 ,, An相互独立 A1 , A2 ,, An两两相互独立
P ( A) P ( AB) P ( AB ) P ( AB ) P ( A) P ( AB)
又∵ A与B相互独立
P ( AB ) P ( A) P ( AB)
P ( A) P ( A) P ( B) P ( A)[1 P ( B)] P ( A) P ( B )
2. 三事件相互独立的概念
定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式
P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 .
1.6 独立性
一、事件的相互独立性
二、几个重要定理
三、例题讲解 四、小结
一、事件的相互独立性
(一) 两个事件的独立性
由条件概率，知
P ( AB) P ( A B) P ( B) 一般地， P ( A B) P ( A)
这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率
有影响. 然而，在有些情形下又会出现：
B
AB A
1
1
1 1 若 P ( A) , P ( B ) , 2 2
则 P ( AB) P ( A) P ( B ).
由此可见两事件相互独立但两事件不互斥. 两事件相互独立 两事件互斥.
可以证明： 特殊地，
当 P ( A) 0, P ( B) 0时，有
A与B 独立 A与B 相容( 不互斥)
= 0.8
(二) 多个事件的独立性
1. 三事件两两相互独立的概念 定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式
P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), 则称事件 A, B , C 两两相互独立 .
P ( A ) P ( B ).
例1 分别掷两枚均匀的硬币，令A={硬币甲出现正面 H}，B={硬币乙出现反面T}，试验证A、B相互独立．
解 样本空间={HH, HT, TH, TT}共含有4个基本事 件，它们发生的概率均为1/4．而A={HH, HT}，B={HT, TT}，AB={HT}，故有 P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A) P(B) ， 所以A、B相互独立．
结论的应用
n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1 , A2 , „, An相互独立,则
P( A1 A2 An ) 1 P ( A1 A2 „ An）
1 P ( A1 A2 „ An )
1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
A1 , A2 ,„, An
③ A B A B (对偶律)
P ( A B ) P ( A B)
1 P ( A B)
1 P ( A B)
1 [ P ( A) P ( B) P ( AB)]
1 [ P ( A) P ( B) P ( A) P ( B)] [1 P ( A)] P ( B)[1 P ( A)] [1 P ( A)] [1 P ( B)]
1 P ( A1 A2 A100) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A100)
1 [1 P ( A1 )]100
1 (1 0.004)100 1 (0.996)100 0.33
事件的独立性在可靠性理论中的应用： 一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率.
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P ( Ai A j ) P ( Ai ) P ( A j )
2 3 n 共 Cn Cn Cn 0 1 (1 1)n C n C n
则称A1，A2， An两两相互独立.
P ( A1 A2 „ An ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
=1- p1 … pn
例4 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为 0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎病毒 相互独立，混合100个人的血清，求此血清 中含有肝炎病毒的概率.
解
Ai {第i人的血清含有肝炎病毒}, i 1, 2,...100
P ( Ai ) 0.004
B A1 A2 A100
B {100个人的混合血清中含有 肝炎病毒 }
则
依题设， 1 , A2 , , A100相互独立 A
P ( B) P ( A1 A2 A100)
1 P ( A1 A2 A100 )
例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女 孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性； （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件, 其概率各为1/4,此时
定义
2n 1 n 个式子.
设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件，
若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< · < i k≤n · ·
有 P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik )
则称A1，A2， An相互独立.
由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影 响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立, 进而 A P (C ) 1 P (C )
1 P( A)P( B ) 1 [1 P ( A)][1 P ( B)] 1 (1 0.6)(1 0.5)
2 1 P ( A2 ) P ( A3 ) 4 2 1 110，101， P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 4 011，000 1 P ( A1 A3 ) P ( A1 ) P ( A3 ) 4 1 P ( A2 A3 ) P ( A2 ) P ( A3 ) 4 A1 , A2 , A3两两相互独立; 1 0 ( 2) P ( A1 A2 A3 ) 0 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) 8 4 A1 , A2 , A3不相互独立.