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事件的相互独立性

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事件的相互独立性

事件的相互独立性

P( A • B • C)
(2)A不发生且B不发生且C (2)A不发生且B不发生且C不发生 不发生且
P( A• B • C)
练一练:已知A 练一练:已知A、B、C相互独立，试用数学 相互独立， 符号语言表示下列关系 同时发生概率； ① A、B、C同时发生概率； 都不发生的概率； ② A、B、C都不发生的概率； ③ A、B、C中恰有一个发生的概率； 中恰有一个发生的概率； 中恰有两个发生的概率； ④ A、B、C中恰有两个发生的概率； 中至少有一个发生的概率； ⑤A、B 、C中至少有一个发生的概率；
你认同以上的观点吗？
引例的解决
明确问题： 明确问题：
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠 0.8, 老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45, 0.5,老二为0.45,老三 老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三 为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠 0.4,且每个人必须独立解题， 且每个人必须独立解题 中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率 比较，谁大？ 比较，谁大？
答:事件 的发生会影响事件 发生的概率 事件A的发生会影响事件 事件 的发生会影响事件B发生的概率
n( AB) P( AB) 1 P ( B A) = = = n( A) P ( A) 2
思考与探究
思考2 思考2：三张奖券有一张可以中奖。现由三 名同学依次有放回地抽取，问：最后一名去 抽的同学的中奖概率会受到第一位同学是否 中奖的影响吗？ 设A为事件“第一位同学没有中 奖”。 表示事件“ 同学中奖” B表示事件“最后一名 同学中奖”
答：事件A的发生不会影响事件B发生的概率。
P( B | A) = P( B)

事件的相互独立性-PPT

事件的相互独立性-PPT
27
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解ห้องสมุดไป่ตู้
设Ai
{第i个 元 件 正
(i 1 ,2 , ,n )
常},工 则P作 (Ai)r
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
28
B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }，D={ 通路②正常工作 }
17
例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女 孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性； （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件,
其概率各为1/4,此时
22
结论的应用 n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1,A2,…,An相互独立,则
P (A 1 A 2 A n )1P (A 1 A 2 … A n ）
1P(A 1A 2… A n) 1P (A 1)P (A 2)… P (A n ) A1,A2,…,An
也相互独立
即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积.
16
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P (A iA j) P (A i)P (A j)
共
C
2 n
Cn3
Cnn
则A 称 1， A2， An两

高中数学必修二课件：事件的相互独立性

高中数学必修二课件：事件的相互独立性

3．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别是什么？ 答：对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，那么称A，B 互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，那么称 A，B对立，显然A＋B为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但可能同时 不发生．如掷一枚均匀的骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B， 则A，B可能都不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发 生的概率没有影响． A，B互斥，则P(AB)＝0；A，B对立，则P(A)＋P(B)＝1. A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)，可见这是不相同的概率．
1．对相互独立事件定义的理解
答：对于事件A，B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响，那么称这两个事件为相互独立事件．例如甲袋中装有3个白球，2个黑 球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲 袋摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记 为事件B，显然A与B相互独立．
思考题1 袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第
一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，“第二次摸得黑球”记为 C，那么事件A与B，A与C间的关系是( A )
A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立
课时学案
题型一 相互独立事件的判断
例1 (1)把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独 立事件．
①A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}； ②A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3点}； ③A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}； ④A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．

事件的相互独立性 课件

事件的相互独立性 课件

球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一
性，A，B应为互斥事件；D是条件概率，事件B受事件A的影响．
2.(1)家庭中有两个小孩,小孩为男孩、女孩的可能情形为{(男,
男)，(男,女),(女,男),(女,女)},它有4个基本事件,由等可能性
知概率各为 1.此时,A={(男,女),(女,男)},B={(男,男),(男,女),
事件的相互独立性
事件的相互独立 (1)相互独立的概念 设A,B为两个事件,则事件A与事件B相互独立的条件是： P(AB)=_P_(_A_)_P_(_B_)_. (2)相互独立的性质 如果事件A与B相互独立,则A与_B_，_A_与B， A与B 也都相互独立.
1.若事件A与事件B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)？
事件相互独立性的判断
三种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法:直接判定两个事件发生是否相互影响. (2)公式法：检验P(AB)=P(A)P(B)是否成立. (3)条件概率法：当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断.
【典例训练】 1．下列事件中，A，B是独立事件的是( ) (A)一枚硬币掷两次，A＝{第一次为正面}，B＝{第二次为反面} (B)袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝{第一次摸到 白球}，B＝{第二次摸到白球} (C)掷一枚骰子，A＝{出现点数为奇数}，B＝{出现点数为偶数} (D)A＝{人能活到20岁}，B＝{人能活到50岁}
提示：如果事件A与事件B相互独立,则有P(B|A)=P(B),又
PB | A P从PA而ABP ,(AB)=P(A)·P(B|A)=P(A)P(B),即
P(AB)=P(A)·P(B)是事件A，B相互独立的充要条件.
2.一个篮球运动员投篮1次命中的概率是0.6，事件A为“第一 次没有命中”，事件B为“第二次命中”，则在事件A发生的条 件下事件B发生的概率是多少？事件A的发生会影响事件B发生 的概率吗？ 提示：因为事件A与B相互独立，故在事件A发生的条件下事件 B发生的概率不变，依然是0.6；事件A的发生不影响事件B发 生的概率.

事件的相互独立性

事件的相互独立性

3：在一段线路中并联着3个自动控制的常开开
关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正 常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率 都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.
注 上面例1第(3)小题的解法2和例2的解法，都是解应用题的逆向 思考方法．采用这种方法有时可使问题的解答变得简便．
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C.
诸葛亮 VS 臭皮匠团队
比赛规则：团队成员必须每人独立完成问 题，团队中有一人获胜即为团队获胜。 诸葛亮解出的概率为80%， 实力分析： 臭皮匠老大解出的概率为50%， 臭皮匠老二解出的概率为45%， 臭皮匠老三解出的概率为40%。
问：三个臭皮匠能抵一个诸葛亮吗？
设事件A：老大解出问题；事件B：老二解出问题； 事件C ：老三解出问题；事件 ：诸葛亮解出问题 P ( A B C ) P( A) P( B) D P( C) ②公式 运用 、 B、 C彼此互斥 . ) 0.4 , P( D) 0.8 P( A) 0.5, A P (B ) 0.45, P(C 则的前提：事件 那么，臭皮匠联队赢得比赛的概率为
P P( A B) [ P( A B) P( A B)] 0.36 0.48 0.84
解法2：两人都未击中的概率是 P( A B) P( A) P( B) (1 0.6) (1 0.6) 0.16,
因此，至少有一人击中 目标的概率 P 1 P( A B) 1 0.16 0.84 答：至少有一人击中的概率是0.84.
(白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (白，白)(白，白)(白，黑)(白，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑) (黑，白)(黑，白)(黑，黑)(黑，黑) 同时摸出白球的 结果有3×2种．

事件的相互独立性

事件的相互独立性

设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P( AB) P( A) P(B)
则称事件 A, B 相互独立,简称 A, B 独立.
注. 1º若 P( A) 0,则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
说明 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
例4 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为 0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎病毒 相互独立，混合100个人的血清，求此血清 中含有肝炎病毒的概率. 解
Ai {第i人的血清含有肝炎病毒},i 1, 2,...100
B {100个人的混合血清中含有肝炎病毒} 则 P( Ai ) 0.004
[r(2 r)]n rn(2 r)n
(2) 问：哪个系统的可靠性更大？
令 f ( x) xn (n 2)，则
0r1
f ( x) n(n 1)xn2 0 ( x 0)
(2 r)n 2 rn
故曲线y f ( x)是凹的，从而 f (2 r) f (r) f ( (2 r) r ) f (1) 1
P(BC ) P(B)P(C ),
P(
AC
)
P( A)P(C ),
P( ABC ) P( A)P(B)P(C ),
则称事件 A, B,C 相互独立 .
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj )
通路上各元件
都正常工作
而 系统Ⅰ正常工作
两条通路中至少
有一条正常工作
B1 C D A1A2 An An1An2 A2n

事件的相互独立性课件


【思路启迪】 如果A、B是，所以利用独立事件的概率公 式来解题即可．
【解】 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件 B，则A、B相互独立，从而A与 B 、 A 与B、 A 与 B 均相互独 立．
(1)“两个都能破译”为事件AB，则 P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.
要点二 求相互独立事件的概率
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤是 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌 握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同 时发生．
一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中 任取2个球，取出后再放回，求：
(1)一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和 生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}， B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．已知家庭中有三个小孩， 判断A与B的独立性；
(2)判断下列各对事件是否是相互独立事件： 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从 甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1 名男生”与“从乙组中选出1名女生”．
2．熟记部分符号语言含义：如A，B至少有一个发生的 事件记为A∪B；都发生记为AB；恰有一个发生的事件记为 (A B )∪( A B)；至多有一个发生的事件记为(A B )∪( A B)∪( A B )．
甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率 分别为13和14.
求(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能破译的概率．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝CC2325·CC2225＝130·110＝1300. 故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是 红球的概率是1300.

事件的相互独立性


一、事件的相互独立性的概念
设A，B，为两个事件，若
P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A与事件B相互独立.
注意: 1、相互独立事件:两个事件的发生彼此互不影响 即：事件A发生不会影响事件B发生的概率， 事件B发生不会影响事件A发生的概率. 互斥事件:在任何一次试验中两个事件不会同时发生.
2、不能用P(B|A)=P(B)作为事件A与事件B相互独立的定 义.
作业
练习：设事件A与事件B相互独立，两个事件中 1 只有A发生的概率和只有B发生的概率都是 ， 4 求事件A与事件B同时发生的概率.
请各位老师，专家批评指正 谢谢大家
三 、相互独立事件同时发生的概率：
则有P AB P(A)? P(B) 1.若A、B是相互独立事件， 即：两个相互独立事件同时发生的概率，
等于每个事件发生的概率的积。 2.由性质可知：P(AB) P(A) P( B),
P(AB) P(A) P( B), P(AB) P(A) P( B)
②袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 是 事件B：第二次从中任取一个球是白球. .
练2、判断下列各对事件的关系
互斥事件 （1）运动员甲射击一次，射中9环与射中8环； （2）甲乙两运动员各射击一次，甲射中9环与乙 射中8环； 相互独立
(3)已知P( A) 0.6, P( B) 0.6, P( AB) 0.24
三 、相互独立事件同时发生的概率：
解：设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B， 则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB。 (1)都抽到某一指定号码；
由于两次的抽奖结果是互不影响的, 因此事件A和B相互独立，

事件的相互独立性 课件


解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为 Ω＝{(男， 男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}， 它有 4 个基本事件，由等可能性知概率都为14. 这时 A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}， 于是 P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12. 由此可知 P(AB)≠P(A)P(B)， 所以事件 A，B 不相互独立．
事件的相互独立性
1．相互独立的概念 设 A，B 为两个事件，若 P(AB)＝ 件 A 与事件 B 相互独立． 2．相互独立的性质
P(A)P(B)么 A 与 B， A 与 B， A 与 B 也都
相互独立．
[注意] 事件 A，B 相互独立的充要条件是 P(AB)＝P(A)·P(B)． (1)充分性：由定义知 P(AB)＝P(A)·P(B)时，事件 A，B 相互独 立． (2)必要性：由 A，B 相互独立得 P(B|A)＝P(B)，所以 P(AB)＝ P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为 Ω ＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)， (女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}． 由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为18，这时 A 中含有 6 个基本事件，B 中含有 4 个基本事件，AB 中含有 3 个基本事 件． 于是 P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38， 显然有 P(AB)＝38＝P(A)P(B)成立． 从而事件 A 与 B 是相互独立的．
(2)“至少 1 个人译出密码”的对立事件为“2 个人都未译出密 码”， 所以至少 1 个人译出密码的概率为： 1－P(－A －B )＝1－P(－A )P(－B )＝1－23×34＝12.

10.2事件的相互独立性

A 与 B； A 与 B； A 与 B.
注意：当三个事件A、B、C两两独立时， 等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
新知探究
例1 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他
差异．采用不放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A=“第一次摸到球的 标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”，那么事件A与B是否独 立？
猜一个成语, 已知甲每轮猜对的概率为 3 ，乙每轮猜对的概率为 2 . 在 每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响4，各轮结果也互不影响. 求3 “星 队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、 事件“甲猜对2个, 乙猜对1个”的和事件发生.
解：设A1 , A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1 , B2分别 表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得
② ∵事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”
∴事件“至少有一人中把”的概率为 1- P( AB) 1 0.02 0.98
归纳：求较为复杂事件的概率的方法
1.对事件进行分解,一方面分解为互斥的几类简单事件求概率; 另一方面分解为独立的事件, 利用事件同时发生(乘法)求出概率.
2.对事件分解时,要明确事件中的“至少有一个发生”“至 多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发 生”“不都发生”等词语的意义. 已知两个事件A,B,那么:
P(AB∪AB) =P(AB)＋P(AB) =P(A)P(B)＋P(A)P(B)
=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26. (3)事件“两人都脱靶” =AB，所以
P(AB) =P(A)P(B)=(1－0.8) × (1－0.9) =0.02.
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P ( A B ) P ( A)
引例 盒中有5个球( 3绿2红), 每次取出一个,
有放回地取两次记 . A 第一次抽取, 取到绿球, B 第二次抽取, 取到绿球, 3 P (B ) P ( B A) 5
则有
它表示 A 的发生并不影响B 发生的可能性大小 . 若 P ( A) 0，则
即 与A独立.
∵ A=, P()=0
∴ P(A) = P()=0= P() P(A) 即 与A独立.
(2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件 也相互独立. ① 注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭.
A 与 B； ② A 与 B； ③ A 与 B.
证 ① A A A( B B ) AB AB
两个结论
若事件 A1 , A2 , , An ( n 2) 相互独立 , 则 1. 其中任意 k ( 2 k n)个事件也是相互独立 .
2. 若 n 个 事 件 A1 , A2 , , An ( n 2)相 互 独 立 , 则 将 A1 , A2 , , An 中 任 意 多 个 事 件 换 成 们 的 对 它 立 事 件 所 得 的n 个 事 件 仍 相 互 独 立 独 立 性 关 于 , .( 运算封闭 )
B发生时，A一定不发生.
B
A
P ( A B) 0
这表明: B的发生会影响 A发生的可能性(造成
A不发生), 即B的发生造成 A发生的概率为零. 所以A与B不独立.
3.性质1.5
(1) 必然事件 及不可能事件与任何事件A 相互独立. 证 ∵ A=A, P()=1
∴ P(A) = P(A)=1• P(A)= P() P(A)
说明
P ( AB) P ( A) P ( B)
事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
2º 独立与互斥的关系 这是两个不同的概念.
独立是事 互斥是事 件间的概 件间本身 率属性 的关系
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 二者之间没 有必然联系 两事件互斥 AB 例如

P ( B A) P ( B)
P ( AB ) P ( A) P ( B )
2. 定义
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P ( AB) P ( A) P ( B )
则称事件 A, B 相互独立, 简称 A, B 独立.
注. 1º若 P ( A) 0, 则
P ( B A) P ( B )
甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中 敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为 0.5, 求敌机被击中的概率. 解 设 A={ 甲击中敌机 } B={ 乙击中敌机 } C={敌机被击中 }
则 C A B. 依题设, P ( A) 0.6, P ( B) 0.5 ∴ A与B不互斥 ( P(A)+P(B)=1.1>1≥P(A+B) )
2n
解 设 Ai {第i个元件正常工作 则 P ( Ai ) r },
设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
)n ,,2 ,1 i (
B2={ 系统Ⅱ正常工作} 考察系统Ⅰ：
设 C ={ 通路①正常工作 }， D={ 通路②正常工作 }
A={(男，女），（女，男）}
B={(男，男)(男，女)(女，男)} AB={(男，女)(女，男)}
P(A)=1/2,P(B)=3/4,P(AB)=1/2 则事件A,B不独立，
（2）类似可求，但有P(AB)=P(A)P(B)成立， 则A与B相互独立。
注.
A1 , A2 ,, An相互独立 A1 , A2 ,, An两两相互独立
P ( A) P ( AB) P ( AB ) P ( AB ) P ( A) P ( AB)
又∵ A与B相互独立
P ( AB ) P ( A) P ( AB)
P ( A) P ( A) P ( B) P ( A)[1 P ( B)] P ( A) P ( B )
2. 三事件相互独立的概念
定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式
P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 .
1.6 独立性
一、事件的相互独立性
二、几个重要定理
三、例题讲解 四、小结
一、事件的相互独立性
(一) 两个事件的独立性
由条件概率，知
P ( AB) P ( A B) P ( B) 一般地， P ( A B) P ( A)
这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率
有影响. 然而，在有些情形下又会出现：
B
AB A
1
1
1 1 若 P ( A) , P ( B ) , 2 2
则 P ( AB) P ( A) P ( B ).
由此可见两事件相互独立但两事件不互斥. 两事件相互独立 两事件互斥.
可以证明： 特殊地，
当 P ( A) 0, P ( B) 0时，有
A与B 独立 A与B 相容( 不互斥)
= 0.8
(二) 多个事件的独立性
1. 三事件两两相互独立的概念 定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式
P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), 则称事件 A, B , C 两两相互独立 .
P ( A ) P ( B ).
例1 分别掷两枚均匀的硬币，令A={硬币甲出现正面 H}，B={硬币乙出现反面T}，试验证A、B相互独立．
解 样本空间={HH, HT, TH, TT}共含有4个基本事 件，它们发生的概率均为1/4．而A={HH, HT}，B={HT, TT}，AB={HT}，故有 P(A)=P(B)=1/2，P(AB)=1/4，P(AB)=P(A) P(B) ， 所以A、B相互独立．
结论的应用
n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1 , A2 , „, An相互独立,则
P( A1 A2 An ) 1 P ( A1 A2 „ An）
1 P ( A1 A2 „ An )
1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
A1 , A2 ,„, An
③ A B A B (对偶律)
P ( A B ) P ( A B)
1 P ( A B)
1 P ( A B)
1 [ P ( A) P ( B) P ( AB)]
1 [ P ( A) P ( B) P ( A) P ( B)] [1 P ( A)] P ( B)[1 P ( A)] [1 P ( A)] [1 P ( B)]
1 P ( A1 A2 A100) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A100)
1 [1 P ( A1 )]100
1 (1 0.004)100 1 (0.996)100 0.33
事件的独立性在可靠性理论中的应用： 一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率.
3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P ( Ai A j ) P ( Ai ) P ( A j )
2 3 n 共 Cn Cn Cn 0 1 (1 1)n C n C n
则称A1，A2， An两两相互独立.
P ( A1 A2 „ An ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
=1- p1 … pn
例4 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为 0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎病毒 相互独立，混合100个人的血清，求此血清 中含有肝炎病毒的概率.
解
Ai {第i人的血清含有肝炎病毒}, i 1, 2,...100
P ( Ai ) 0.004
B A1 A2 A100
B {100个人的混合血清中含有 肝炎病毒 }
则
依题设， 1 , A2 , , A100相互独立 A
P ( B) P ( A1 A2 A100)
1 P ( A1 A2 A100 )
例3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女 孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩，又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩} 对下列两种情形讨论A与B的独立性； （1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩。 解（1）有两个小孩的家庭时的样本空间有4个基本事件, 其概率各为1/4,此时
定义
2n 1 n 个式子.
设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件，
若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< · < i k≤n · ·
有 P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik )
则称A1，A2， An相互独立.
由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影 响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立, 进而 A P (C ) 1 P (C )
1 P( A)P( B ) 1 [1 P ( A)][1 P ( B)] 1 (1 0.6)(1 0.5)
2 1 P ( A2 ) P ( A3 ) 4 2 1 110，101， P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 4 011，000 1 P ( A1 A3 ) P ( A1 ) P ( A3 ) 4 1 P ( A2 A3 ) P ( A2 ) P ( A3 ) 4 A1 , A2 , A3两两相互独立; 1 0 ( 2) P ( A1 A2 A3 ) 0 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) 8 4 A1 , A2 , A3不相互独立.