相互独立事件的定义

2．2.2事件的相互独立性[学习目标] 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．知识点一相互独立事件的概念设A，B为两个事件，若P(AB)＝，则称事件A与事件B相互独立．思考1不可能事件与任何一个事件相互独立吗？思考2必然事件与任何一个事件相互独立吗？知识点二相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．思考如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)正确吗？题型一相互独立事件的判断例1从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A＝“抽到K”，B＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A与B；(2)C与A.反思与感悟对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，则称A，B互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，则称A，B对立，显然A∪A 为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练1(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B()A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是()A．互斥但不相互独立B．相互独立但不互斥C．互斥且相互独立D．既不相互独立也不互斥题型二相互独立事件同时发生的概率例2甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．反思与感悟 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练2 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．题型三 相互独立事件概率的综合应用例3 计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性大？(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．(3)用X 表示甲、乙、丙三人计算机考试获合格证书的人数，求X 的分布列．反思与感悟 求较复杂事件概率的一般步骤如下：(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．跟踪训练3 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)求学生小张选修甲的概率；(2)记“函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；(3)求ξ的分布列．1．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．p 1p 2B ．p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)C ．1－p 1p 2D ．1－(1－p 1)(1－p 2)2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是( )A.1425 B.1225 C.34 D.353．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( )A.13 B.23 C.12D ．1 4．两个相互独立的事件A 和B ，若P (A )＝12，P (B )＝14，则P (AB )＝________. 5．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)一、选择题1．设A 与B 是相互独立事件，则下列命题中正确的是( )A ．A 与B 是对立事件B ．A 与B 是互斥事件C ．A 与B 是不相互独立D ．A 与B 是相互独立事件2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14.从中任挑一儿童，则这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320 B.15 C.14 D.253．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，则两人合作译出密码的概率为( )A.112 B.512 C.712 D.124．已知A ，B 是相互独立事件，若P (A )＝0.2，P (AB ＋A B ＋A B )＝0.44，则P (B )等于( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.65.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( )A.116B.18C.316D.146.一射手对同一目标射击3次，已知该射手每次击中目标的概率为0.9，则这位射手至少2次击中目标的概率为( )A.0.243 B.0.729C.0.81 D.0.9727．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A.29 B.118 C.13 D.23二、填空题8．某市派出甲、乙两支球队参加全省青年组、少年组足球赛，两队夺冠的概率分别为35和25，则该市足球队取得冠军的概率为________．9．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．10．国庆节放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别是13，14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．11．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511； ③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．三、解答题12．某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，则给予10分降分资格；若考核为优秀，则给予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23，23，12，他们考核所得的等级相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．13.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两个地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两个地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两个地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C 户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．。

2． 2．2事件的相互独立性教学目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。

过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。

教学重点：独立事件同时发生的概率教学难点：有关独立事件发生的概率计算授课类型：新授课课时安排：4课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B| A ）=P(B ）,P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系： ()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025. (2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=， ∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.72P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅[][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 （1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦） 变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.847=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除CJ 开且A J 与B J 至少有1个开的情况 []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率； （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得： 敌机被击中的概率为1-n)54(∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得113lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴n = ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习：1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )()A 320 ()B 15 ()C 25 ()D 9202．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（ ） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）()A 0.128 ()B 0.096 ()C 0.104 ()D 0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ）()A 35192 ()B 25192 ()C 35576 ()D 651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)132 (2) 0.56 6.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P=220.790.810.404⨯≈8. P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9. 提示：86461121212122P =⋅+⋅= 五、小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业：课本58页练习1、2、3第60页习题2. 2A组4. B组1七、板书设计（略）八、教学反思：1. 理解两个事件相互独立的概念。

相互独立事件的定义
相互独立事件的定义为事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件。

说明：
1、独立性意味着两个随机事件发生与否相互间没有影响；
2、事件A与事件B独立和事件A与事件B互斥是完全不同的两个概念，互斥意味着事件A 发生则事件B就不发生，两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生。

3、一般地，如果事件A与B相互独立，那么A与,与B,都是相互独立的；
4、若事件A1,A2,…,An是否发生，相互之间没有影响，那么称A1,A2,…,An相互独立。

相互独立事件同时发生的概率
1、积事件的定义：相互独立事件A与B同时发生，记作A·B。

2、两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

即：P(A·B)=P(A)·P(B)。

3、公式推广：一般地，如果事件A1,A2,…,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

即P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)。

2．2.2 事件的相互独立性知识点 相互独立的概念 (1)相互独立的定义设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝□01P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)相互独立事件事件A (或B )发生对事件B (或A )发生的概率□02没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．知识点 相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，则□01A 与□02B －，□03A －与□04B ，□05A －与□06B －也相互独立．1．若A ，B 为相互独立事件，则P (AB )＝P (A )P (B )，该性质可推广为：若A 1，A 2，A 3，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于各个事件发生概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．2．在解题中要注意区分事件A 与B 相互独立、事件A 与B 互斥，两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，相互独立的事件可以同时发生，且同时发生的概率P (AB )＝P (A )P (B )，而互斥的两个事件A ，B 满足P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )(3)如果事件A 与事件B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( )(4)“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．做一做(1)甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．(2)一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则该产品的正品率为________．(3)已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (A B －)＝________；P (A －B －)＝________.答案 (1)0.56 (2)(1－a )(1－b ) (3)16 16解析 (1)甲、乙两站水文预报相互独立，则P ＝0.8×0.7＝0.56.(2)由于经过两道工序才能生产出一件产品，当两道工序都合格时才能生产出正品，又由于两道工序相互独立，则该产品的正品率为(1－a )(1－b )．(3)因为P (A )＝12，P (B )＝23，所以P (A －)＝12，P (B －)＝13.所以P (A B －)＝P (A )P (B －)＝12×13＝16，P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝12×13＝16.探究1 事件独立性的判断例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}，∴P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16， ∴P (AB )＝P (A )·P (B )， ∴事件A 与B 相互独立． 拓展提升(1)利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )·P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．[跟踪训练1] 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．解 (1)有两个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}包含4个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率均为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P (A )P (B )，所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}包含8个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率均为18.这时A 包含6个基本事件，B 包含4个基本事件，AB 包含3个基本事件．于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝P (A )P (B )成立．从而事件A 与B 是相互独立的． 探究2 相互独立事件概率的计算例2 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12与25.(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；(2)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率．[解] (1)记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则P (A )＝12，P (B )＝25，P (A －)＝12，P (B －)＝35. ∴恰好命中一次的概率为P ＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B ) ＝12×35＋12×25 ＝510＝12. (2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为P 1，则 P 1＝P (A －∩A －∩B －∩B －) ＝P (A －)P (A －)P (B －)P (B －)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－252 ＝9100. ∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少一次命中的概率为P ＝1－P 1＝91100.拓展提升(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤是： ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．[跟踪训练2] 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．解 用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1.(1)由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为 P 1＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )P (C －) ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P 2＝1－P (A －B －C －) ＝1－P (A －)P (B －)P (C －) ＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994. 探究3 相互独立事件的综合应用例3 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； (2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．[解] (1)记事件A 表示“甲击中目标”，事件B 表示“乙击中目标”． 依题意知，事件A 和事件B 相互独立， 因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝23×34＝12.(2)记事件A i 表示“甲第i 次射击击中目标”(其中i ＝1,2,3,4)，并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C ，则C ＝A 1A 2A 3A －4∪A －1A 2A 3A 4，且A 1A 2A 3A －4与A －1A 2A 3A 4是互斥事件．由于A 1，A 2，A 3，A 4之间相互独立，所以A i 与A －j (i ，j ＝1,2,3,4，且i ≠j )之间也相互独立． 由于P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (A 4)＝23，故P (C )＝P (A 1A 2A 3A －4∪A －1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A －4)＋P (A －1)P (A 2)P (A 3)·P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1681. (3)记事件B i 表示“乙第i 次射击击中目标”(其中i ＝1,2,3,4)，并记事件D 表示“乙在第4次射击后终止射击”，则D ＝B 1B 2B －3B －4∪B －1B 2B －3B －4， 且B 1B 2B －3B －4与B －1B 2B －3B －4是互斥事件．由于B 1，B 2，B 3，B 4之间相互独立，所以B i 与B －j (i ，j ＝1,2,3,4，且i ≠j )之间也相互独立． 由于P (B i )＝34(i ＝1,2,3,4)，故P (D )＝P (B 1B 2B －3B －4∪B －1B 2B －3B －4) ＝P (B 1B 2B －3B －4)＋P (B －1B 2B －3B －4)＝P (B 1)P (B 2)P (B －3)P (B －4)＋P (B －1)·P (B 2)P (B －3)P (B －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝364. 拓展提升常见事件与概率间的关系已知两个事件A ，B ，它们的概率为P (A )，P (B )．将A ，B 中至少有一个发生记为事件A ∪B ，都发生记为事件AB ，都不发生记为事件A －B －，恰有一个发生记为事件A B －∪A －B ，至多有一个发生记为事件A －B －∪A －B ∪A B －，为方便同学们记忆，我们用表格的形式将其展示出来．[跟踪训练3] 甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29. (1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率． 解 (1)设A ，B ，C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧P (A B －)＝14，P (B C －)＝112，P (AC )＝29，则⎩⎪⎨⎪⎧P (A )[1－P (B )]＝14，①P (B )[1－P (C )]＝112，②P (A )P (C )＝29.③由①③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0， 解得P (C )＝23或P (C )＝119(舍去)．将P (C )＝23代入②得P (B )＝14，将P (B )＝14代入①得P (A )＝13.故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13，14，23.(2)记D 为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品的事件，则P (D )＝1－P (D －)＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的概率为56.1.相互独立事件与互斥事件的区别2.相互独立事件同时发生的概率P (AB )＝P (A )P (B )，就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.此性质还可推广到n (n >2，n ∈N *)个事件的相互独立性，即若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ).3.求复杂事件概率的步骤(1)列出题中涉及的各种事件，并用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥、对立，还是相互独立)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.1．下列事件A，B是相互独立事件的是( )A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”D．A＝“一个灯泡能用1000小时”，B＝“一个灯泡能用2000小时”答案 A解析把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．故选A.2．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率( )A．事件A，B同时发生B．事件A，B至少有一个发生C．事件A，B至多有一个发生D．事件A，B都不发生答案 C解析P(A)P(B)是指A，B同时发生的概率，1－P(A)P(B)是A，B不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512 B.12 C.712 D.34答案 C解析 用间接法考虑，事件A ，B 一个都不发生的概率为P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝12×56＝512.则事件A ，B 中至少有一件发生的概率为1－P (A －B －)＝712.故C 正确．4．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．答案 12解析 若都取到白球，P 1＝812×612＝13，若都取到红球，P 2＝412×612＝16， 则所求概率P ＝P 1＋P 2＝13＋16＝12.5．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为13，14.求：(1)两个人都译出密码的概率； (2)两个人都译不出密码的概率； (3)恰有一人译出密码的概率； (4)至多一人译出密码的概率； (5)至少一人译出密码的概率．解 记事件A 为“甲独立地译出密码”，事件B 为“乙独立地译出密码”． (1)两个人都译出密码的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝13×14＝112.(2)两个人都译不出密码的概率为P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝12. (3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出，乙译出甲译不出， 即A B －＋A －B ，- 11 - ∴P (A B －＋A －B )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝512.(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，∴其概率为1－P (AB )＝1－112＝1112.(5)至少一人译出密码的对立事件为两人都没有译出密码，∴其概率为1－P (A －B －)＝1－12＝12.。

事件的相互独立性、条件概率与全概率公式[课程标准]1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．结合古典概型，利用独立性计算概率.2.了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.3.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.4.会利用乘法公式和全概率公式计算概率．1．相互独立事件(1)定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝01P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．(2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A与B－，A－与B，A－与B－也都02相互独立．2．条件概率设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝03P（AB）为在事件AP（A）发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．3．乘法公式对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝04P(A)P(B|A)．4．条件概率的性质设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝051；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝06P(B|A)＋P(C|A)；(3)如果B－与B互为对立事件，则P(B－|A)＝071－P(B|A)．5．全概率公式设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝错误!．1．事件间的关系及表示(1)A，B中至少有一个发生的事件为A∪B.(2)A，B都发生的事件为AB.(3)A，B都不发生的事件为A－B－.(4)A，B恰有一个发生的事件为(A B－)∪(A－B)．(5)A，B至多有一个发生的事件为(AB)∪(A－B)∪(A－B－)．2．条件概率的计算常采用缩小样本空间法求解．3．乘法公式可以推广为P(A1A2A3)＝P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0.4．贝叶斯公式设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(A i|B)＝P（A i）P（B|A i）P（B）＝错误!，i＝1，2，…，n.1．(人教A必修第二册习题10.2T2改编)若P(AB)＝19，P(A－)＝23，P(B)＝13，则事件A与B的关系是()A．事件A与B互斥B．事件A与B对立C．事件A与B相互独立D．事件A与B既互斥又相互独立答案C解析∵P (A )＝1－P (A －)＝1－23＝13，∴P (AB )＝P (A )P (B )＝19≠0，∴事件A 与B 相互独立、事件A 与B 不互斥，故不对立．故选C.2．(2023·舟山模拟)甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A ，B ，C 三种医用外科口罩，甲、乙购买A ，B ，C 三种医用口罩的概率分别如下：购买A 种医用外科口罩购买B 种医用外科口罩购买C 种医用外科口罩甲0.20.4乙0.30.3则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为()A ．0.44B ．0.40C ．0.36D ．0.32答案D解析由表可知，甲购买A 种医用外科口罩的概率为0.4，乙购买B 种医用外科口罩的概率为0.4，所以甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为P ＝0.4×0.3＋0.2×0.4＋0.4×0.3＝0.32.故选D.3．(人教A 必修第二册10.2例2改编)甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为()A ．0.12B ．0.42C ．0.46D ．0.88答案D解析设“甲被录取”记为事件A ，“乙被录取”记为事件B ，则两人至少有一人被录取的概率P ＝1－P (A －B －)＝1－[1－P (A )][1－P (B )]＝1－0.4×0.3＝0.88.故选D.4．(多选)某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮四级以上的风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮四级以上的风，则()A ．P (B |A )＝13B ．P (B |A )＝38C ．P (A |B )＝34D ．P (A |B )＝35答案BC解析由题意知P (A )＝415，P (B )＝215，P (AB )＝110，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝110415＝38，P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝34.故选BC.5．(人教A 必修第二册习题10.1T 16改编)从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的这个数不大于50，则此数是2或3的倍数的概率为________．答案3350解析设事件C 为“取出的数不大于50”，事件A 为“取出的数是2的倍数”，事件B 为“取出的数是3的倍数”．则P (C )＝12，且所求概率为P (A ∪B |C )＝P (A |C )＋P (B |C )－P (AB |C )＝P （AC ）P （C ）＋P （BC ）P （C ）－P （ABC ）P （C ）＝2＋16100－3350.多角度探究突破角度事件独立性的判定例1(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则() A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立答案B解析设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，则P(A)＝P(B)＝16，P(C)＝56×6＝536，P(D)＝66×6＝16.对于A，甲、丙同时发生的概率P(AC)＝0≠P(A)P(C)；对于B，甲、丁同时发生的概率P(AD)＝16×6＝1 36＝P(A)P(D)；对于C，乙、丙同时发生的概率P(BC)＝16×6＝136≠P(B)P(C)；对于D，丙、丁同时发生的概率P(CD)＝0≠P(C)P(D)．若两事件X，Y相互独立，则P(XY)＝P(X)P(Y)，因此B正确．故选B.角度相互独立事件的概率例2(2023·河北省级联考)甲、乙、丙三人进行网球比赛，约定赛制如下：累计负两场被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个人，另一个人当裁判，没有平局；每场比赛结束时，负的一方在下一场当裁判；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获得冠军，比赛结束．已知在每场比赛中，双方获胜的概率都为12，各局比赛的结果相互独立，经抽签，第一场比赛甲当裁判．(1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率．解(1)设事件A为“甲胜乙”，则P(A)＝12，P(A－)＝1－12＝12，设事件B为“甲胜丙”，则P(B)＝12，P(B－)＝1－12＝12，设事件C为“乙胜丙”，则P(C)＝12，P(C－)＝1－12＝12，前三场比赛结束后，丙被淘汰可用事件C A－C∪CAB来表示，所以前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为P1＝P(C A－C)＋P(CAB)＝12×12×12＋12×12×12＝14.(2)若最终的冠军为甲，则只需四场比赛就决出冠军可用事件CABA∪C－BAB 来表示，P(CABA∪C－BAB)＝P(CABA)＋P(C－BAB)＝P(C)P(A)P(B)P(A)＋P(C－)P(B)P(A)P(B)＝1 2×12×12×12＋12×12×12×12＝18.若最终的冠军为乙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件C A－C A－来表示，P(C A－C A－)＝P(C)P(A－)P(C)P(A－)＝12×12×12×12＝116.若最终的冠军为丙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件C－B－C－B－来表示，P(C－B－C－B－)＝P(C－)P(B－)P(C－)P(B－)＝12×12×12×12＝116.所以只需四场比赛就决出冠军的概率为P2＝18＋116＋116＝14.1．两个事件相互独立的判断方法(1)定义法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)充要条件法：事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)．2．求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．1.(2023·益阳期末)在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．记事件A＝“与地面接触的数字为奇数”，事件B＝“与地面接触的数字不大于4”，事件C＝“与地面接触的数字为1或5或7或8”．(1)判断事件A，B是否独立并证明；(2)证明事件A，B，C满足P(ABC)＝P(A)·P(B)P(C)，但不满足A，B，C两两独立．解(1)由已知，得样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以A＝{1，3，5，7}，B＝{1，2，3，4}，C＝{1，5，7，8}，A∩B＝{1，3}，B∩C＝{1}，A∩C＝{1，5，7}，A∩B∩C＝{1}，因为P(A)＝12，P(B)＝12，P(AB)＝14＝P(A)P(B)，所以事件A，B相互独立．(2)证明：因为P(A)＝P(B)＝P(C)＝12，P(ABC)＝18，P(BC)＝18，P(AC)＝38，所以P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)，但是P(BC)≠P(B)P(C)，且P(AC)≠P(A)P(C)，所以事件A，B，C满足P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)，但不满足A，B，C两两独立．2．(2024·黄冈模拟)为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q(p>q)，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两人同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512.(1)求p和q的值；(2)求甲、乙两人共答对3道题的概率．解(1)设事件A：“甲同学答对第一题”，事件B：“乙同学答对第一题”，则P(A)＝p，P(B)＝q.设事件C：“甲、乙两人均答对第一题”，事件D：“甲、乙两人恰有一人答对第一题”，则C＝A∩B，D＝(A∩B－)∪(A－∩B)．∵甲、乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，∴A与B相互独立，A∩B－与A－∩B互斥，∴P(C)＝P(A∩B)＝P(A)P(B)＝pq，P(D)＝P(A∩B－)＋P(A－∩B)＝P(A)[1－P(B)]＋[1－P(A)]P(B)．由题意，得pq＝12，p（1－q）＋q（1－p）＝512，解得p＝34，q＝23或p＝23，q＝34.∵p>q，∴p＝34，q＝23.(2)设事件A i：“甲同学答对了i道题”，事件B i：“乙同学答对了i道题”，i＝0，1，2.由题意，得P(A1)＝14×34＋34×14＝38，P(A2)＝34×34＝916，P(B1)＝23×13＋13×23＝49，P(B2)＝23×23＝49.设事件E：“甲、乙两人共答对3道题”，则E＝(A1∩B2)∪(A2∩B1)，∴P(E)＝P(A1∩B2)＋P(A2∩B1)＝38×49＋916×49＝512，∴甲、乙两人共答对3道题的概率为512.考向二条件概率例3(1)(2023·贵州师大附中模拟)某市卫健委为调查研究某种流行病患者的年龄分布情况，随机调查了大量该病患者，年龄分布如图．已知该市此种流行病的患病率为0.1%，该市年龄位于区间[40，60)的人口占总人口的28%.若从该市居民中任选一人，此人年龄位于区间[40，60)，则此人患这种流行病的概率为(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率)()A ．0.28B ．0.00054C.713500D.2714000答案D解析设“该居民年龄位于区间[40，60)”为事件A ，“该居民患这种流行病”为事件B ，由题意知，P (A )＝0.28，P (B )＝0.001，P (A |B )＝0.54.因为P (A |B )＝P （AB ）P （B ），所以P (AB )＝P (A |B )P (B )＝0.54×0.001＝0.00054，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.000540.28＝2714000.故选D.(2)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．答案499解析解法一(应用条件概率公式求解)：设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件B 为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P (B |A )，因为P (AB )＝A 25A 2100＝1495，P (A )＝C 15C 1100＝120，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1495120＝499.解法二(缩小样本空间求解)：第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为499.(3)在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．解设“摸出第一个球是红球”为事件A ，“摸出第二个球是黄球”为事件B ，“摸出第二个球是黑球”为事件C .则P(A)＝110，P(AB)＝1×210×9＝145，P(AC)＝1×310×9＝130.所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝145÷110＝29，P(C|A)＝P（AC）P（A）＝130÷110＝13.所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝29＋13＝59.所以所求概率为59.条件概率的三种求法定义法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝P（AB）P（A）求P(B|A)样本点法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再求事件AB所包含的样本点数n(AB)，得P(B|A)＝n（AB）n（A）缩样法缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简1.(2023·全国甲卷)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为()A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1答案A解析报名两个俱乐部的人数为50＋60－70＝40，记“某人报足球俱乐部”为事件A，“某人报乒乓球俱乐部”为事件B，则P(A)＝5070＝57，P(AB)＝4070＝47，所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝4757＝0.8.故选A.2．质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次击打，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次击打后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次在实施击打也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为()A．0.4B．0.16C．0.68D．0.17答案C解析设A i表示第i次击打后该构件没有受损，i＝1，2，则由已知可得P(A1)＝0.85，P(A2|A1)＝0.80，因此由乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.85×0.80＝0.68，即该构件通过质检的概率为0.68.故选C.3．52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽到A的概率为________．答案12211 17解析由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，则P(B)＝452＝113，P(BC)＝452×351＝1221，∴P(C|B)＝P（BC）P（B）＝1221113＝117.例4(2023·韶关模拟)作为一种益智游戏，中国象棋具有悠久的历史，中国象棋的背后，体现的是博大精深的中华文化．为了推广中国象棋，某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加．除小明以外的其他参赛选手中，50%是一类棋手，25%是二类棋手，其余的是三类棋手．小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.3，0.4和0.5.(1)从参赛选手中随机选取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率．解(1)设事件A i＝“小明与i(i＝1，2，3)类棋手相遇”，根据题意P(A1)＝0.5，P(A2)＝0.25，P(A3)＝0.25，记事件B＝“小明获胜”，则有P(B|A1)＝0.3，P(B|A2)＝0.4，P(B|A3)＝0.5，由全概率公式得，小明在比赛中获胜的概率为P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.3＋0.25×0.4＋0.25×0.5＝0.375，所以小明获胜的概率为0.375.(2)小明获胜时，与小明比赛的棋手为一类棋手的概率为P(A1|B)＝P（A1B）P（B）＝P（A1）P（B|A1）P（B）＝0.5×0.30.375＝0.4.“化整为零”求多事件的全概率问题(1)如图，P(B)＝错误!(A i)P(B|A i)．(2)已知事件B的发生有各种可能的情形A i(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形A i发生的可能性与已知在A i发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．(2023·南平高级中学期中)某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中，甲箱中有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第二题抽到的是填空题的概率；(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率．解(1)设事件A i表示“第i次从乙箱中取到填空题”，i＝1，2，P(A1)＝37，P(A2|A1)＝26＝13，P(A2|A－1)＝36＝12.由全概率公式得，第2次抽到填空题的概率为P (A 2)＝P (A 1)P (A 2|A 1)＋P (A －1)P (A 2|A －1)＝37×26＋47×36＝37.(2)设事件A 为“第三支部从乙箱中取出1个选择题”，事件B 1为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件B 2为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件B 3为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，则B 1，B 2，B 3彼此互斥，且B 1∪B 2∪B 3＝Ω，P (B 1)＝C 25C 28＝514，P (B 2)＝C 15C 13C 28＝1528，P (B 3)＝C 23C 28＝328，P (A |B 1)＝69，P (A |B 2)＝59，P (A |B 3)＝49，P (A )＝P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)＝514×69＋1528×59＋328×49＝712.所求概率即是A 发生的条件下B 1发生的概率P (B 1|A )＝P （B 1A ）P （A ）＝P （B 1）P （A |B 1）P （A ）＝514×69712＝2049.课时作业一、单项选择题1．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生各项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)()A.49B.190C.45D.59答案B解析该生各项均合格的概率为13×16×15＝190.2．某机场某时降雨的概率为15，在降雨的情况下飞机准点的概率为110，则某时降雨且飞机准点的概率为()A.1 2B.1 4C.1 25D.1 50答案D解析记事件A＝“飞机准点”，事件B＝“某时降雨”．根据题意，P(B)＝15，在降雨的情况下飞机准点的概率为P(A|B)＝110，所以某时降雨且飞机准点的概率为P(AB)＝P(B)P(A|B)＝15×110＝150.故选D.3．(2023·武汉三模)已知P(B)＝0.4，P(B|A)＝0.8，P(B|A－)＝0.3，则P(A)＝()A.3 4B.3 8C.1 3D.1 5答案D解析P(B)＝P(AB∪A－B)＝P(A)P(B|A)＋P(A－)P(B|A－)，即0.4＝0.8P(A)＋0.3[1－P(A)]，解得P(A)＝0.2＝15.故选D.4．(2024·南京模拟)现有甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件A为“4个人去的景点各不相同”，事件B为“只有甲去了中山陵”，则P(A|B)＝()A.3 128B.27 256C.1 128D.2 9答案D解析甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，共有44＝256(种)不同的方案，事件A“4个人去的景点各不相同”的方案有A44＝24(种)，事件B“只有甲去了中山陵”的方案有33＝27(种)，事件AB同时发生的方案有A33＝6(种)，P(AB)＝6256＝3128，P(B)＝27256，所以P(A|B)＝P（AB）P（B）＝6 27＝29.故选D.5．(2023·昆明模拟)已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且P(A∪B|C)＝1 2，P(BC)＝112，P(C)＝14，则P(A|C)＝()A.16B.112C.14D.13答案A解析由题意，得P(B|C)＝P（BC）P（C）＝13，由A，B是互斥事件知，P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)，所以P(A|C)＝P(A∪B|C)－P(B|C)＝12－13＝16.故选A.6．(2023·深圳模拟)在A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为5∶6∶9，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为()A．0.032B．0.048C．0.05D．0.15答案B解析设事件D为“此人是流感患者”，事件A1，A2，A3分别表示此人来自A，B，C三个地区，由已知可得P(A1)＝55＋6＋9＝0.25，P(A2)＝65＋6＋9＝0.3，P(A3)＝95＋6＋9＝0.45，P (D |A 1)＝0.06，P (D |A 2)＝0.05，P (D |A 3)＝0.04，由全概率公式，得P (D )＝P (A 1)P (D |A 1)＋P (A 2)P (D |A 2)＋P (A 3)P (D |A 3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.04＝0.048.故选B.7．(2023·锦州二模)如图，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次是12，23，23，在系统正常工作的前提下，只有K 和A 1正常工作的概率是()A.49B.34C.14D.19答案C解析设事件A 为“系统正常工作”，事件B 为“只有K 和A 1正常工作”，因为并联元件A 1，A 2能正常工作的概率为1＝89，所以P (A )＝12×89＝49，又因为P (AB )＝P (B )＝12×23×＝19，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝14.故选C.8．某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．假设这名射手射击5次，则有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率为()A.89B.7381C.881D.19答案C解析因为该射手每次射击击中目标的概率是23，所以每次射击未击中目标的概率为13，设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1，2，3，4，5)，“该射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A －4A －5)＋P (A －1A 2A 3A 4A －5)＋P (A －1A －2A 3A 4A 5)＋13×13＋＝881.故选C.二、多项选择题9．有一道数学难题，学生甲解出的概率为12，学生乙解出的概率为13，学生丙解出的概率为14.若甲、乙、丙三人独立去解答此题，则()A ．恰有一人解出的概率为1124B ．没有人能解出的概率为124C ．至多一人解出的概率为1724D ．至少两人解出的概率为2324答案AC解析对于A ，恰有一人解出的概率为12××13×××14＝1124，A 正确；对于B ，没有人能解出的概率为＝14，B 错误；对于C ，由A ，B 知，至多一人解出的概率为1124＋14＝1724，C 正确；对于D ，至少两人解出与至多一人解出是对立事件，所以至少两人解出的概率为1－1724＝724，D 错误．故选AC.10．(2024·镇江开学考试)一质地均匀的正四面体四个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A 为“第二次向下的数字为奇数”，事件B为“两次向下的数字之积为偶数”，则下列说法正确的是()A．事件A与事件B是对立事件B．P(AB)＝14C．P(A|B)＝13D．事件A与事件B不相互独立答案BCD解析因为抛掷该正四面体两次的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16种，其中事件A有(1，1)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，3)，(4，1)，(4，3)，共8种，事件B有(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共12种，事件AB有(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)，共4种，所以A与B可同时发生，则事件A与事件B不是对立事件，故A错误；P(AB)＝416＝14，故B正确；P(B)＝12 16＝34，则P(A|B)＝P（AB）P（B）＝1434＝13，故C正确；因为P(A)＝816＝12，则P(AB)≠P(A)P(B)，所以A，B不相互独立，故D正确．故选BCD.11．(2023·湖北直辖县级单位统考模拟)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为3%，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的15%，25%，60%.随机取一个零件，记A＝“零件为次品”，B i＝“零件为第i台车床加工的”(i＝1，2，3)，下列结论正确的是()A．P(A)＝0.03B.C.P（B1|A）＝P（B2|A）D.P（B1|A）＋P（B2|A）＝P（B3|A）答案BC解析对于A ，因为P （A ）＝0.05×0.15＋0.03×0.25＋0.03×0.60＝0.033，故A 错误；对于B ，(B i )＝0.15＋0.25＋0.60＝1，故B 正确；对于C ，因为P (B 1|A )＝P （B 1）P （A |B 1）P （A ）＝0.15×0.050.033＝522，P (B 2|A )＝P （B 2）P （A |B 2）P （A ）＝0.25×0.030.033＝522，所以P (B 1|A )＝P (B 2|A )，故C 正确；对于D ，由C 项分析可得P (B 1|A )＋P (B 2|A )＝511，又因为P (B 3|A )＝P （B 3）P （A |B 3）P （A ）＝0.60×0.030.033＝611，故D 错误．故选BC.三、填空题12．(2023·合肥一模)接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校25的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为14，而接种了疫苗的感染率为110.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为________．答案1519解析设事件A ＝“感染流行感冒”，事件B ＝“未接种疫苗”，则P (A )＝35×14＋25×110＝19100，P (AB )＝35×14＝320，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1519.13．(2023·东莞三模)在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD ，Dd ，dd ，其中D 为显性基因，d 为隐性基因，且这三种基因型的比为1∶2∶1，如果在子二代中任意选取两株豌豆进行杂交实验，那么子三代中基因型为dd 的概率是________．答案14解析由题意，子二代作杂交试验的基因配型有6种可能，分别设为A i (i ＝1，2，3，4，5，6)，设事件B 为“子三代的基因型为dd ”，则事件A 1A 2A 3A 4A 5A 6配型DD ×DD DD ×Dd Dd ×Dd Dd ×dd DD ×dd dd ×dd P (A i )11614141418116P (B |A i )14121由全概率公式得P (B )＝∑6i ＝1P (A i )P (B |A i )＝14×14＋14×12＋116×1＝14.14．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．答案0.18解析甲队以4∶1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输．若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6；若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6.∴甲队以4∶1获胜的概率P ＝2×0.6×0.5×0.5×0.6×(0.6＋0.4)＝0.18.四、解答题15．(2023·聊城期末)某学校在元宵节前夕举行“灯谜竞猜”活动，活动分一、二两关，分别竞猜5道、20道灯谜．现有甲、乙两位选手独立参加竞猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道．假设猜对每道灯谜都是等可能的．(1)从第一关的5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率；(2)从第二关的20道灯谜中任选一道，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率．解(1)设事件A ＝“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1，2，3，4，5表示第一关的5道灯谜，其中1，2，3，4表示甲猜对的4道，则样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，A ＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，所以n (Ω)＝10，n (A )＝6，根据古典概型的计算公式，得P (A )＝n （A ）n （Ω）＝35.(2)设事件B ＝“任选一道灯谜，甲猜对”，事件C ＝“任选一道灯谜，乙猜对”，事件D ＝“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”，根据题意可得，P (B )＝1220，P (B －)＝820，P (C )＝1520，P (C －)＝520.因为D ＝B －C ∪B C －，且B －C ，B C －互斥，又甲、乙两位选手独立参加竞猜，所以B ，C 相互独立，从而B －，C ，B ，C －也相互独立．所以P (D )＝P (B －C ∪B C －)＝P (B －C )＋P (B C －)＝P (B －)P (C )＋P (B )P (C －)＝820×1520＋1220×520＝920.即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为920.16．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响.(1)求甲、乙两球都落入盒子的概率；(2)求甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率．解(1)因为两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13＝16.(2)＝13，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－13＝23.17．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率．解(1)记事件S：甲连胜四场，则P(S)＝116.(2)记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛的概率为P′＝P(ABAB)＋P(ACAC)＋P(BCBC)＋P(BABA)＝＝14，所以需要进行第五场比赛的概率为P＝1－P′＝34.(3)记事件M为甲最终获胜，记事件N为丙最终获胜．则甲最终获胜的样本点包括BCBC，ABCBC，ACBCB，BABCC，BACBC，BCACB，BCABC，BCBAC，所以甲最终获胜的概率为P(M)＋＝932.由对称性可知，乙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等，所以丙最终获胜的概率为P(N)＝1－2×932＝7 16.18．已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40%，乙厂产品的市场占有率为36%，丙厂产品的市场占有率为24%，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为45，23，34.(1)现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；(2)现从市场中随机购买一台电器，求买到的是合格品的概率．解(1)记甲、乙、丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件B1，B2，B3，则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，则D＝B1B2B－3＋B1B－2B3＋B－1B2B3，P(D)＝P(B1B2B－3)＋P(B1B－2B3)＋P(B－1B2B3)＝45×23×14＋45×13×34＋15×23×34＝1330.故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是1330.(2)记事件B为购买的电器合格，记随机买一件产品，买到的产品为甲、乙、丙三个品牌分别为事件A1，A2，A3，P(A1)＝25，P(A2)＝925，P(A3)＝625，P(B|A1)＝45，P(B|A2)＝23，P(B|A3)＝34，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝25×45＋925×23＋625×34＝3750.故从市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为3750.19．(2023·南京、盐城一模)人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12(先验概率)．(1)求首次试验结束的概率；(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整．①求选到的袋子为甲袋的概率；②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．解设试验一次，“取到甲袋”为事件A1，“取到乙袋”为事件A2，“试验结果为红球”为事件B1，“试验结果为白球”为事件B2.(1)P(B1)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B1|A2)＝12×910＋12×210＝1120.所以首次试验结束的概率为1120.(2)①因为B1，B2是对立事件，P(B2)＝1－P(B1)＝920所以P(A1|B2)＝P（A1B2）P（B2）＝P（B2|A1）P（A1）P（B2）＝110×12920＝19，所以选到的袋子为甲袋的概率为19.②由①，得P(A2|B2)＝1－P(A1|B2)＝1－19＝8 9，所以方案一取到红球的概率为P1＝P(A1|B2)P(B1|A1)＋P(A2|B2)P(B1|A2)＝19×910＋89×210＝518，方案二取到红球的概率为P2＝P(A2|B2)P(B1|A1)＋P(A1|B2)P(B1|A2)＝89×9 10＋1 9×210＝3745，因为3745>518，所以方案二取到红球的概率更大．即选择方案二，第二次试验结束的概率更大．。