吉林省长春市高中数学第二章随机变量及其分布2.2.2事件的相互独立性学案(无答案)新人教A版选修2-

§2．2．2事件的相互独立性教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A L 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A L 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A L 彼此互斥，那么12()n P A A A +++L ＝12()()()n P A P A P A +++L探究:(1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？ 事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B| A ）=P(B ）,P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积如果事件12,,,n A A A L 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅L L ．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系： ()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025.(2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率；（3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=，∴2人都射中目标的概率是0.72．（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为： ()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=，∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=．（法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.72P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅[][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 （1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦）变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.847=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除C J 开且A J 与BJ至少有1个开的情况 []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得： 敌机被击中的概率为1-n)54(∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得113lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴n = ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便四、课堂练习： 1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( ) ()A 320 ()B 15 ()C 25()D 920 2．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（ ） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）()A 0.128 ()B 0.096 ()C 0.104 ()D 0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ）()A 35192 ()B 25192 ()C 35576 ()D 651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)132 (2) 0.56 6.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P=220.790.810.404⨯≈8. P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9. 提示：86461121212122P =⋅+⋅= 五、小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。

2.2.2 事件的相互独立性学习目标：1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．(难点)2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．(重点)3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．相互独立事件的定义和性质(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，那么称事件A 与事件B 相互独立．(2)性质：①如果A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． ②如果A 与B 相互独立，那么P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )． 思考：互斥事件与相互独立事件的区别是什么？ [提示]对于n 个事件A 1，A 2，…，A n ，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n 个事件A 1，A 2，…，A n 相互独立．3．独立事件的概率公式(1)若事件A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )×P (B )；(2)若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n )．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对事件A 和B ，若P (B |A )＝P (B )，则事件A 与B 相互独立；( ) (2)若事件A ，B 相互独立，则P (A － B －)＝P (A )×P (B )． ( ) (3)如果事件A 与事件B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )． ( ) (4)若事件A 与B 相互独立，则B 与B 相互独立．( )[解析] (1)√ 若P (B |A )＝P (B )，则P (AB )＝P (A )·P (B )，故A ，B 相互独立，所以(1)正确；(2)√ 若事件A ，B 相互独立，则A 、B 也相互独立，故(2)正确； (3)√ 若事件A ，B 相互独立，则A 发生与否不影响B 的发生，故(3)正确； (4)× B 与B 相互对立，不是相互独立，故(4)错误． [答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则A 1与A 2是( )【导学号：95032153】A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件A [由概率的相关概念得A 1与A 2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件．] 3．一个学生通过一种英语能力测试的概率是12，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( )A.14B.13C.12D.34C [由题意知，恰有一次通过的概率为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝12.]4．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．35192 [由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P ＝512×712×34＝35192.][合 作 探 究·攻 重 难](1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．[思路探究] (1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义判断．[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}， 所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16.所以P (AB )＝P (A )·P (B )， 所以事件A 与B 相互独立．1．(1)下列事件中，A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，B ＝“第二次为反面”B ．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A ＝“第一次摸到白球”，B ＝“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为偶数”D ．A ＝“人能活到20岁”，B ＝“人能活到50岁”(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥(1)A (2)A [(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A 是独立事件；B 中是不放回地摸球，显然A 事件与B 事件不相互独立；对于C ，A ，B 应为互斥事件，不相互独立；D 是条件概率，事件B 受事件A 的影响．故选A.(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．故选A.]甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为3和4.求：(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能够破译的概率.【导学号：95032154】[解] 设“甲能破译”为事件A ，“乙能破译”为事件B ，则A 、B 相互独立，从而A与B －、A －与B 、A －与B －均相互独立．(1)“两人都能破译”为事件AB ，则P (AB )＝P (A )P (B )＝13×14＝112.(2)“两人都不能破译”为事件A B ，则P (A B )＝P (A －)P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝12. (3)“恰有一人能破译”为事件(A B )∪(A B )， 又A B 与A B 互斥，所以P [(A B )∪(A B )]＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝512. (4)“至多一人能破译”为事件(A B )∪(A B )∪(A B )，而A B 、A B 、A B 互斥，故P [(A B )∪(A B )∪(A B )]＝P (A B )＋P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )·P (B )＋P (A )P (B )＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝1112.2．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求： (1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．[解] 记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A ，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B ，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C ，很明显，由于每次取出后再放回，A ，B ，C 都是相互独立事件．(1)P (AB )＝P (A )P (B )＝C 23C 25×C 22C 25＝310×110＝3100.故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3100.(2)P (CA )＝P (C )P (A )＝C 13·C 12C 25·C 23C 25＝610·310＝950.故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是950.1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A ＝“甲击中目标”，B ＝“乙击中目标”，试问事件A 与B 是相互独立事件，还是互斥事件？事件A B 与A B 呢？[提示] 事件A 与B ，A 与B ，A 与B 均是相互独立事件，而A B 与A B 是互斥事件． 2．在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？[提示] “甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C ，则C ＝A B ＋A B . 所以P (C )＝P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率． (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.【导学号：95032155】[思路探究] (1)这三列火车之间是否正点到达互不影响，因此本题是相互独立事件同时发生的概率问题，注意两列正点到达所包含的情况．(2)这三列火车至少有一列正点到达的对立事件是三列火车都没正点到达，这种情况比正面列举简单些，因此利用对立事件的概率公式求解．[解] 用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1.(1)由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (A －B －C －) ＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.3．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．[解] 记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0,1,2,3)． (1)三人都合格的概率：P 3＝P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：P 0＝P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：P 2＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率：P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)可知P 1最大．所以出现恰有一人合格的概率最大．[当 堂 达 标·固 双 基]1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，用B 表示“第二次摸得白球”，则A 与B 是( )A ．互斥事件B ．相互独立事件C ．对立事件D ．不相互独立事件D [P (A )＝35，P (B )＝12，事件A 的结果对事件B 有影响．根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A 与B 不是相互独立事件．]2．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，则其中恰有一人击中目标的概率为( )【导学号：95032156】A ．0.64B ．0.32C ．0.56D ．0.48B [“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A B －)，另一种是甲未击中乙击中(即A －B )，根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A B －与A －B 是互斥的，所以所求概率为P ＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.32.]3．袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次，则3次全是红球的概率为( )A.14B.19C.13D.127D [有放回地抽取3次，每次可看作一个独立事件．每次取出的球为红球的概率为13，“3次全是红球”为三个独立事件同时发生，其概率为13×13×13＝127.]4．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．35 [因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝35.]5．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率.【导学号：95032157】[解] 设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ，则有P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝710.(1)因为事件A ，B ，C 相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C )＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250. (2)至多有两人当选的概率为4 5×35×710＝83125.1－P(ABC)＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－。

2．2．2事件的独立性教学目标：知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。

过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。

教学重点：独立事件同时发生的概率教学难点：有关独立事件发生的概率计算授课类型：新授课课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++探究: (1)甲、乙两人各掷一枚硬币，都是正面朝上的概率是多少？事件A ：甲掷一枚硬币，正面朝上；事件B ：乙掷一枚硬币，正面朝上(2)甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？事件A ：从甲坛子里摸出1个球，得到白球；事件B ：从乙坛子里摸出1个球，得到白球问题(1)、(2)中事件A 、B 是否互斥？（不互斥）可以同时发生吗？（可以）问题(1)、(2)中事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率有无影响？（无影响）思考:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学有放回地抽取,事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”, 事件B 为“最后一名同学抽到中奖奖券”. 事件A 的发生会影响事件B 发生的概率吗?显然，有放回地抽取奖券时，最后一名同学也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此第一名同学抽的结果对最后一名同学的抽奖结果没有影响，即事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率．于是P （B| A ）=P(B ）,P （AB ）=P( A ) P ( B |A ）=P （A ）P(B).二、讲解新课：1．相互独立事件的定义：设A, B 为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A 与事件B 相互独立（mutually independent ) .事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立2．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅问题2中，“从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件A ，B 同时发生，记作A B ⋅．（简称积事件）从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果于是从这两个坛子里分别摸出1个球，共有54⨯种等可能的结果同时摸出白球的结果有32⨯种所以从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率323()5410P A B ⨯⋅==⨯． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率3()5P A =，从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率2()4P B =．显然()()()P A B P A P B ⋅=⋅． 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即 1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．3．对于事件A 与B 及它们的和事件与积事件有下面的关系： ()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+三、讲解范例：例 1.某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0 . 05 ，求两次抽奖中以下事件的概率：(1)都抽到某一指定号码；(2)恰有一次抽到某一指定号码；(3)至少有一次抽到某一指定号码．解： (1)记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A, “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B ，则“两次抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB ．由于两次抽奖结果互不影响，因此A 与B 相互独立．于是由独立性可得，两次抽奖都抽到某一指定号码的概率P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) = 0. 05×0.05 = 0.0025. (2 ) “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码”可以用（A B ）U （A B ）表示．由于事件A B 与A B 互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为P (A B ）十P （A B ）=P （A ）P （B ）+ P （A ）P （B )= 0. 05×(1-0.05 ) + (1-0.05 ) ×0.05 = 0. 095.( 3 ) “两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码”可以用（AB ) U ( A B ）U （A B ）表示．由于事件 AB , A B 和A B 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，所求的概率为 P ( AB ) + P （A B ）+ P （A B ) = 0.0025 +0. 095 = 0. 097 5.例2.甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；（2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率；（4）2人至多有1人射中目标的概率？解：记“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 为相互独立事件，（1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=，∴2人都射中目标的概率是0.72． （2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件A B ⋅发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件A B ⋅发生）根据题意，事件A B ⋅与A B ⋅互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：()()()()()()P A B P A B P A P B P A P B ⋅+⋅=⋅+⋅0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=⨯-+-⨯=+=∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26．（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为()[()()]0.720.260.98P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅=+=．（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2个都未击中目标的概率是()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ⋅=⋅=--=， ∴“两人至少有1人击中目标”的概率为1()10.020.98P P A B =-⋅=-=．（4）（法1）：“至多有1人击中目标”包括“有1人击中”和“2人都未击中”， 故所求概率为：()()()P P A B P A B P A B =⋅+⋅+⋅()()()()()()P A P B P A P B P A P B =⋅+⋅+⋅0.020.080.180.28=++=． （法2）：“至多有1人击中目标”的对立事件是“2人都击中目标”，故所求概率为1()1()()10.72P P A B P A P B =-⋅=-⋅=-=例 3.在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 解：分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅ [][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是 1()10.0270.973P A B C -⋅⋅=-=．答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．变式题1：如图添加第四个开关D J 与其它三个开关串联，在某段时间内此开关能够闭合的概率也是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 （1()()0.9730.70.6811P A B C P D ⎡⎤-⋅⋅⋅=⨯=⎣⎦） 变式题2：如图两个开关串联再与第三个开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率方法一：()()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C P A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅0.847=方法二：分析要使这段时间内线路正常工作只要排除CJ 开且A J 与B J 至少有1个开的情况 []21()1()10.3(10.7)0.847P C P A B --⋅=-⨯-=例 4.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率； （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 分析:因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率解:（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅．∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立，∴敌机未被击中的概率为12345()P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=12345()()()()()P A P A P A P A P A ⋅⋅⋅⋅5(10.2)=-=)54( ∴敌机未被击中的概率为5)54(．（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得： 敌机被击中的概率为1-n)54(∴令41()0.95n -≥，∴41()510n ≤ 两边取常用对数，得113lg 2n ≥≈- ∵+∈N n ，∴n = ∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机 点评：上面例1和例2的解法，都是解应用题的逆向思考方法采用这种方法在解决带有词语“至多”、“至少”的问题时的运用，常常能使问题的解答变得简便 四、课堂练习：1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( ) ()A 320 ()B 15 ()C 25 ()D 9202．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于（ ） ()A 2个球都是白球的概率 ()B 2个球都不是白球的概率()C 2个球不都是白球的概率 ()D 2个球中恰好有1个是白球的概率3．电灯泡使用时间在1000小时以上概率为0.2，则3个灯泡在使用1000小时后坏了1个的概率是（ ）()A 0.128 ()B 0.096 ()C 0.104 ()D 0.3844．某道路的A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条路上行驶时，三处都不停车的概率是 （ ）()A 35192 ()B 25192 ()C 35576 ()D 651925．（1）将一个硬币连掷5次，5次都出现正面的概率是 ；（2）甲、乙两个气象台同时作天气预报，如果它们预报准确的概率分别是0.8与0.7，那么在一次预报中两个气象台都预报准确的概率是 ．6．棉籽的发芽率为0.9，发育为壮苗的概率为0.6，（1）每穴播两粒，此穴缺苗的概率为 ；此穴无壮苗的概率为 ．（2）每穴播三粒，此穴有苗的概率为 ；此穴有壮苗的概率为 ．7．一个工人负责看管4台机床，如果在1小时内这些机床不需要人去照顾的概率第1台是0.79，第2台是0.79，第3台是0.80，第4台是0.81，且各台机床是否需要照顾相互之间没有影响，计算在这个小时内这4台机床都不需要人去照顾的概率.8．制造一种零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05．从它们制造的产品中各任抽1件，其中恰有1件废品的概率是多少？9．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得的球是同色的概率是多少？答案：1. C 2. C 3. B 4. A 5.(1)132 (2) 0.56 6.(1) 0.01 , 0.16 (2) 0.999,0.9367. P=220.790.810.404⨯≈8. P=0.040.950.960.050.086⨯+⨯≈9. 提示：86461121212122P =⋅+⋅= 五、小结 ：两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的六、课后作业：七、板书设计（略）八、教学反思：1. 理解两个事件相互独立的概念。

2.2 第二课时 事件的相互独立性一、课前准备 1.课时目标(1) 理解事件相互独立的定义；(2) 能利用事件相互独立的乘法公式求n 事件都发生的概率. 2.基础预探1.设A 、B 为两个事件，如果P （AB ）＝_______，则称事件A 与事件B 相互独立.2.如果事件A 与B 相互独立，那么______，_______，_________也都相互独立.3.一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这ｎ个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即12()n P A A A =____________________.二、学习引领1.事件相互独立的的深入理解当A ，B 相互独立时，易知(|)P A B =P （A ），而()()(|)()P AB P B P A B P A ==，所以()()()P AB P A P B =；易知(|)P B A =P （A ），故()()(|)()P AB P A P B A P B ==，所以()()()P AB P A P B =.因此可知，当A ，B 相互独立时()()()P AB P A P B =.2. 事件互斥与事件相互独立的区别事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念：两事件“互斥”是指两事件不可能同时发生；两事件“相互独立”是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的与否没有影响.这两个可以结合应用如：1-()()P A P B 表示两个相互独立事件A 、B 至少有一个不发生的概率.3.判断两个事件是否是相互独立事件首先，一般地，两个事件相互独立是指两个试验的结果之间的关系或者一个大试验的两个不相关的子试验之间的关系；其次,事件的相互独立性可以看作是一个综合事件分几个步骤完成,可类比分步计数原理的解题过程理解. 三、典例导析题型一：相互独立事件的判断例1 李云有一串8把外形相同的钥匙,其中只有一把能打开家门.一次李云醉酒回家，他每次从8把钥匙中随便拿一把开门,试用后又不加记号放回，则 “第一次打不开门”记为事件A ，“第二次能打开门”记为事件B ，请问事件A 与B 是否相互独立？思路导析：本题分析事件A 的发生与否对事件B 是否有影响，即可得到判断.解：由于此人喝醉，不能记得用过那把钥匙，故每次取得每把钥匙的可能性相同；并且试用后不加标记的放回去.易知，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件.规律方法：判断两个事件是否独立，可利用两个事件相互独立的定义分别求出()P AB 、()P B 、()P A 代入公式()()()P AB P A P B =判定；也可分析事件A 的发生与否对事件B 的发生是否有影响.变式训练：甲组3名男生、2名女生；乙组2名男生、3名女生，今从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生’’与“从乙组中选出1名女生”；这两个事件是否是相互独立事件？题型二 求相互独立事件同时发生的概率例2 中央电视台“星光大道”节目共有四关，每期都有实力相当的5名选手参加，每关淘汰一名选手，最后决出周冠军.经选拔，某选手将参加下一期的“星光大道”. (1)求该选手进入第四关才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三关的概率.思路导析：事件“进入第四关才被淘汰”的含义为“前三关未被淘汰，第四关被淘汰”；事件“选手至多进入第三关”的含义为“第一关被淘汰”或“第二关被淘汰”或“第三关被淘汰”；然后结合互斥事件的加法公式与相互独立事件的乘法公式解决. 解：(1)记“该选手能通过第i 关”的事件为=i A i (l,2,3,4)，则54)(1=A P ，43)(2=A P ，32)(3=A P ，=)(4A P 21，所以该选手进入第四关才被淘汰的概率为 44123123()()()()()P A A A A P A P A P A P A =⨯⨯⨯=3243545121=.(2)该选手至多进入第三关的概率1233112[()(]P P A A A A A A =⋃⋃++=)()()(211A P A P A P )()()(321A P A P A P 53314354415451=⨯⨯+⨯+=. 方法规律：求相互独立事件的概率，首先判断所给事件是否能分解为互相独立连续的几个子事件，然后选用公式求解.这类问题也常与互斥事件、古典概型等联系存一起，注意恰当的选择方法.变式训练：两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）A12 B 512 C 14 D 16题型三：概率加法乘法的综合问题例3 某植物园要栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗．．，然后再进行移栽.已知甲、乙两种果树成苗．．的概率分别为0.6，0.5，移栽后成活．．的概率分别为0.7，0.9. （1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗．．的概率；（2）求恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．的概率. 思路导析：事件“至少有一种果树成苗．．”的对立事件为“两个果树都不成苗”；事件“恰好有一种果树能培育成苗．．且移栽成活．．”包含“甲果树成苗且移栽成活”或“乙果树成苗且移栽成活”两个互斥的事件，然后利用互斥事件加法公式以及相互独立事件的概率乘法公式解决.解：分别记“甲、乙两种果树成苗”为事件1A 、2A ；分别记“甲、乙两种果树苗移栽成活”为事件1B 、2B ，则1()0.6P A =，2()0.5P A =，1()0.7P B =，2()0.9P B =.（1）“甲、乙两种果树至少有一种成苗”的对立事件是“甲、乙两种果树都不成苗”，而1A 与2A 是相互独立事件，故其概率为121212()1()1()()10.40.50.8P A A P A A P A P A =-=-=-⨯=；（2）分别记“两种果树培育成苗且移栽成活”为事件A B ，， 则1111()()()()0.60.70.42P A P A B P A P B ===⨯=，2222()()()()0.50.90.45P B P A B P A P B ===⨯=.“恰好有一种果树培育成苗且移栽成活”包括两种情况：“甲种果树培育成苗且移栽成活、乙种果树没培育成苗且没移栽成活”，即AB ；或“甲种果树没有培育成苗且没移栽成活、乙种果树培育成苗且移栽成活”，即AB ，而AB 与AB 是互斥事件，A 与B 、A 与B 是相互独立事件， 故其概率为[()()]()()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B P A P B ⋃=+=+0.420.550.580.450.492=⨯+⨯=方法规律：对于相互独立事件、互斥事件的综合问题的求解可分三步进行：一是列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示；二是理清各事件之间的关系，列出关系式；三是根据事件之间的关系准确的运用概率公式进行计算.当遇到“至多”、“至少”问题时常考虑其对立事件，从问题的反面求解.变式训练：甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求： （Ⅰ）甲试跳两次，第2次才成功的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率.四、随堂练习1.不透明的坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用1A 表示第一次摸得白球，2A 表示第二次摸得白球，则1A 与2A 是( )A 相互独立事件B 不相互独立事件C 互斥事件 D.对立事件2.从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为51，身体关节构造合格的概率为41.从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（ ）（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响） A.2013B.51 C.41 D.523.两人同时向一目标射击，甲命中率为15，乙命中率为14，则两人都没有命中目标的概率为 ( )A.720 B.35 C.121D.1104.在一次考试中，某班语文、数学、英语平均分在120分以上概率分别为0.4，0.2，0.4，则该班的三科平均分都在120分以上的概率为 .5.袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是________.6.今年国庆节期间，王林去花博会参观的概率为14，李明去花博会参观的概率为15，假定两人的行动相互之间没有影响，求在国庆节期间王林、李明两人至少有一人去花博会参观的概率.五、课后作业1. 一个学生通过一种英语能力测试的概率是12，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( )A 14B 13C 12 D.342.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A 、B 中至少有一件发生的概率是（ ）A.512 B. 12 C. 712 D. 343.甲、乙、丙三名同学利用某网校联网学习数学，每天上课后独立完成六道自我检测题，甲答及格的概率为0.8，乙答及格的概率为0.6，丙答及格的概率为0.7，三人各答一次，则三人中只有一人及格的概率 .4.如图，用A 、B 、C 、D 表示四类不同的元件连接成系统M.当元件A 、B 至少有一个正常工作且元件C 、D 至少有一个正常工作时，系统M 正常工作已知元件A 、B 、C 、D 正常工作的概率依次为0.5、0.6、0.7、0.8，元件连接成的系统M 正常工作的概率)(M P = .5.为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P ）和所需费用如下表： 预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大6.在三人兵乓球对抗赛中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场），共赛三场，每场比赛胜者得1分，输者得0分，没有平局；在每一场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为13.（1）求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率；（2）求三人得分相同的概率； （3）求甲不是小组第一的概率.参考答案2.2 第二课时 事件的相互独立性2.基础预探1.()()P A P B2.A 与B A 与B A 与B3.12()()()n P A P A P A三、典例导析 例1 变式训练 解：“从甲组选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件.例2 变式训练解：用事件A 、B 分别表示“两个实习生每人加工一个零件”为合格品，事件C 表示“两个零件中恰有一个为一等品”，则()()C AB AB =⋃,由题意知A 、B 为相互独立事件 则21135()()()343412P C P AB P AB =+=⨯+⨯=，故选B.例3 变式训练解：记“甲第i 次试跳成功”为事件i A ，“乙第i 次试跳成功”为事件i B ，依题意得()0.7i P A =，()0.6i P B =，且i A ，i B （12i =，）相互独立.(I)“甲第2次试跳才成功”为事件12A A ⋂，且两次试跳相互独立，所以1212()()()0.30.70.21P A A P A P A ==⨯=.答：甲第2次试跳才成功的概率为0.21.(II)“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C .方法一：111111()()()C A B A B A B =⋃⋃因为，且11A B ，11A B ，11AB 彼此互斥， 111111()()()()PC P A B P A B P A B =++所以111111()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.70.40.30.60.70.6=⨯+⨯+⨯0.88=方法二：11()1()()10.30.40.88P C P A P B =-=-⨯=. 答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.四、随堂练习 1.答案：A解析：1A 与2A 是相互独立事件，由于这是有放回地摸球，1A 与2A 无影响. 2.答案：D解析：可用排除法，由相互独立事件的概率乘法公式可知：P=52)411()511(1=-⨯--.3.答案：B解析：记“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，则“甲没有命中目标”为事件A ，“乙没有命中目标”为事件B ，由于A 、B 相互独立，则A 、B 也相互独立， 则433()()()545P AB P A P B ==⨯=. 4.答案：0.032解析：三个事件相互独立，由相互独立事件的乘法公式可知P= 0.40.20.4=0.032⨯⨯. 5.答案：19解：颜色相同包括三红、三黄、三绿，概率为P=913313131=⨯⨯⨯.6.解：记事件A=“王林去花博会参观”，B=“李明去花博会参观”，则A 表示“王林不去花博会参观”，B 表示“李明不去花博会参观”，且A 、B 是相互独立事件，“王林、李明至少有一人去花博会参观”的对立事件是AB ， 因为113()()()(1)(1)455P AB P A P B ==--=,所以，321()155P AB -=-=， 所以，王林、李明两人至少有一人去花博会参观的概率是25. 五、课后作业 1. 答案：C解析：设A 为第一次测试通过，B 为第二次测试通过，则所求概率为11111()()()()()()22222P AB P AB P A P B P A P B +=+=⨯+⨯=. 2.答案：C 解析：61)(,21)(==B P A P ，1571()12612P P AB =-=-⨯=. 3.解析：由相互独立事件的概率乘法公式可知P=0.80.40.3+0.20.60.3+0.20.40.7=0.096+0.036+0.056=0.188⨯⨯⨯⨯⨯⨯.4.答案：0.752解析：由相互独立事件的概率乘法公式可知：=)(M P [1()]P AB -[1()]P CD -=0.752. 5.解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97.方法3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为1-（1-0.8）(1-0.7)(1-0.6)=1-0.024=0.976.综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.6.解：（Ⅰ）设“甲获小组第一且丙获小组第二”为事件A, 则1121()34318P A =⨯⨯= （Ⅱ）设三场比赛结束后，三人得分相同为事件B,即每人胜一场输两场,有以下两种情形：甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲，概率为1113133412P =⨯⨯=； 甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲，概率为212214339P =⨯⨯=；三人得分相同的概率为12117()12936P B P P =+=+=. （3）设“甲不是小组第一”为事件C, 方法一：1111()13412P C =-⨯=； 方法二：该小组第一是乙或丙的概率为P=123213334318⨯+⨯=，13711()183612P C =+=.。

2．2.2 事件的相互独立性[学习目标]1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题． [知识链接]1．3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“第三名同学抽到中奖奖券”，事件A 的发生是否会影响B 发生的概率？ 答 因抽取是有放回的，所以A 的发生不会影响B 发生的概率，事件A 和事件B 相互独立． 2．互斥事件与相互独立事件有什么区别？答 两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． [预习导引] 1．相互独立的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． 2．相互独立的性质如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立.要点一 相互独立事件的判断例1 从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A ＝“抽得老K ”，B ＝“抽得红牌”，判断事件A 与B 是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？解 由于事件A 为“抽得老K ”，事件B 为“抽得红牌”，故抽得红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到老K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件，以下考虑它们是否互为独立事件：抽到老K 的概率为P (A )＝452＝113，抽到红牌的概率P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126，事件AB 即为“既抽得老K 又抽得红牌”，亦即“抽得红桃老K 或方块老K ”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )·P (B )＝P (AB )，因此A与B 互为独立事件．规律方法 对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥．一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A －为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪演练1 判断下列各题中给出的各对事件是否是相互独立事件：(1)甲盒中有6个白球，4个黑球，乙盒中有3个白球，5个黑球．事件A 1表示“从甲盒中取出的是白球”，事件B 1表示“从乙盒中取出的是白球”．(2)盒中有4个白球，3个黑球，从盒中陆续取出两个球，用A 2表示事件“第一次取出的是白球”，把取出的球放回盒中，用B 2表示事件“第二次取出的是白球”．(3)盒中有4个白球，3个黑球，从盒中陆续取出两个球，用A 3表示“第一次取出的是白球”，取出的球不放回，用B 3表示“第二次取出的是白球”．解 (1)事件A 1和B 1是否发生，相互之间没有影响，因此事件A 1与事件B 1是相互独立事件． (2)在有放回的取球中，事件A 2和B 2是否发生，相互之间没有任何影响，因而它们是相互独立事件．(3)在不放回的取球中，事件A 3发生后，事件B 3发生的概率发生了改变，因此A 3与B 3不是相互独立事件．要点二 相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率； (2)2人中恰有1人射中目标的概率； (3)2人至少有1人射中目标的概率； (4)2人至多有1人射中目标的概率．解 设“甲射击1次，击中目标”为事件A ，“乙射击1次，击中目标”为事件B ，则A 与B ，A －与B ，A 与B －，A －与B －为相互独立事件．(1)2人都射中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件AB －发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A －B 发生)．根据题意，事件AB －与A －B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P (AB －)＋P (A －B )＝P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9 ＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”2种情况，其概率为P＝P (AB )＋[P (AB －)＋P (A －B )]＝0.72＋0.26＝0.98.(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，故所求概率为P ＝P (A － B －)＋P (AB －)＋P (A －B )＝P (A －)·P (B －)＋P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.规律方法 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A －与B ，A 与B －，A －与B －也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪演练2 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14.求(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能破译的概率．解 设“甲能破译”为事件A ，“乙能破译”为事件B ，则A ，B 相互独立，从而A 与B －，A －与B ，A －与B －均相互独立．(1)“两个都能破译”为事件AB ，则P (AB )＝P (A )·P (B )＝13×14＝112.(2)“两人都不能破译”为事件A － B －，则P (A － B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )]·[1－P (B )]＝(1－13)×(1－14)＝12.(3)“恰有一人能破译”为事件(AB －)∪(A －B )，又AB －与A －B 互斥，则P ((AB －)∪(A －B ))＝P (AB －)＋P (A －B )＝P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B ) ＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝512. (4)“至多一人能破译”为事件(AB －)∪(A －B )∪(A － B －)，且AB －，A －B ，A － B －互斥，故P ((AB －)∪(A －B )∪(A － B －))＝P (AB －)＋P (A －B )＋P (A － B －)＝P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＋P (A －)·P (B －) ＝13×(1－14)＋(1－13)×14＋(1－13)×(1－14)＝1112. 要点三 相互独立事件概率的综合应用例3 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中 (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？解 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A ，B ，C ，则A ，B ，C 两两相互独立且P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A － B － C －表示P (A － B － C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003 所以三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(A －BC )∪(AB －C )∪(ABC －)表示．由于事件A －BC ，AB －C 和ABC －两两互斥，根据概念加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P (A －BC )＋P (AB －C )＋P (ABC －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＝[1－P (A )]P (B )P (C )＋P (A )[1－P (B )]P (C )＋P (A )P (B )[1－P (C )] ＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85) ＝0.329，所以恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.规律方法 求复杂事件的概率，应先列出题中涉及的各事件，并用适当的符号表示，再理清各事件之间的关系，最后根据事件之间的关系选取相应的公式进行计算．跟踪演练3 某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求： (1)两件产品都是正品的概率； (2)恰有一件是正品的概率； (3)至少有一件正品的概率．解 用A 表示“从甲机床生产的产品中抽得正品”，用B 表示“从乙机床生产的产品中抽得正品”，用C 表示“抽得的两件产品中恰有一件是正品”，用D 表示“抽得的两件产品中至少有一件正品”，则C ＝(AB －)∪(A －B )，D ＝C ∪(AB )．(1)由题意知，A 与B 是相互独立事件P (B )＝1－P (B －)＝1－0.05＝0.95，P (A )＝0.96， 所以两件都是正品的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝0.96×0.95＝0.912.(2)由于事件AB －与A －B 互斥，所以恰有一件是正品的概率为P (C )＝P [(AB －)∪(A －B )]＝P (AB －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝0.96×0.05＋0.04×0.95＝0.086. (3)由于事件AB 与C 互斥， 所以P (D )＝P (AB )∪(C ) ＝P (AB )＋P (C )＝0.912＋0.086＝0.998.1．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A 1表示第一次取得白球，A 2表示第二次取得白球，则A 1和A 2是( ) A ．互斥的事件 B ．相互独立的事件 C ．对立的事件 D ．不相互独立的事件 答案 D解析 ∵P (A 1)＝35.若A 1发生了，P (A 2)＝24＝12；若A 1不发生，P (A 2)＝34，即A 1发生的结果对A 2发生的结果有影响，∴A 1与A 2不是相互独立事件．2．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为15，13，14，则此密码能译出的概率是( )A.160B.25C.35D.5960 答案 C解析 用A ，B ，C 分别表示甲、乙、丙三人破译出密码， 则P (A )＝15，P (B )＝13，P (C )＝14，且P (A －·B －·C －)＝P (A －)·P (B －)·P (C －)＝45×23×34＝25.∴此密码被译出的概率为1－25＝35.3．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( ) A ．p 1p 2 B ．p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1) C ．1－p 1p 2 D ．1－(1－p 1)(1－p 2) 答案 B解析 恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决、甲没解决乙解决．这两个事件显然是互斥的．所以恰好有1人解决这个问题的概率为p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)．故选B.4．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．解 设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ， 则有P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝710.(1)因为事件A ，B ，C 相互独立， 所以恰有一名同学当选的概率为P (AB －C －)＋P (A －BC －)＋P (A － B －C )＝P (A )P (B －)P (C －)＋P (A －)P (B )P (C －)＋P (A －)P (B －)P (C ) ＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250. (2)至多有两人当选的概率为 1－P (ABC )＝1－P (A )P (B )P (C ) ＝1－45×35×710＝83125.一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．(列表比较)一、基础达标1．一袋中装有5只白球，3只黄球，在有放回地摸球中，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则事件A 1与A 2－是( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件 答案 A解析 由题意可得A 2－表示“第二次摸到的不是白球”，即A 2－表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A 1与A 2－是相互独立事件．2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( ) A.512 B.12 C.712 D.34 答案 C解析 ∵P (A )＝12，P (B )＝16，∴P (A －)＝12，P (B －)＝56.又A ，B 为相互独立事件， ∴P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝12×56＝512.∴A ，B 中至少有一件发生的概率为 1－P (A －B －)＝1－512＝712.3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x ，转盘乙得到的数为y ，x ，y 构成数对(x ，y )，则所有数对(x ，y )中满足xy ＝4的概率为( ) A.116 B.18 C.316 D.14 答案 C解析 满足xy ＝4的所有可能如下：x ＝1，y ＝4；x ＝2，y ＝2；x ＝4，y ＝1.∴所求事件的概率P ＝P (x ＝1，y ＝4)＋P (x ＝2，y ＝2)＋P (x ＝4，y ＝1)＝14×14＋14×14＋14×14＝316. 4．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( ) A.49 B.190 C.45 D.59 答案 B解析 该生三项均合格的概率为13×16×15＝190.5．已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (AB －)＝________；P (A － B －)＝________.答案 16 16解析 ∵P (A )＝12，P (B )＝23，∴P (A －)＝12，P (B －)＝13.∴P (AB －)＝P (A )P (B －)＝12×13＝16，P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×13＝16.6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 答案 35解析 设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，∴p ＝35.7．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．解 设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3.(1)第3次才接通电话可表示为A 1－A 2－A 3，于是所求概率为P (A 1－A 2－A 3)＝910×89×18＝110； (2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1－A 2＋A 1－A 2－A 3，于是所求概率为P (A 1＋A 1－A 2＋A 1－A 2－A 3)＝P (A 1)＋P (A 1－A 2)＋P (A 1－A 2－A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310. 二、能力提升8．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( ) A.29 B.118 C.13 D.23 答案 D解析 由题意，P (A －)·P (B －)＝19，P (A －)·P (B )＝P (A )·P (B －)．设P (A )＝x ，P (B )＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（1－y ）＝19，（1－x ）y ＝x （1－y ）. 即⎩⎪⎨⎪⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ， ∴x 2－2x ＋1＝19，∴x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，∴x ＝23.9．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )A.18B.38C.14D.78答案 B解析 设开关a ，b ，c 闭合的事件分别为A ，B ，C ，则灯亮这一事件E ＝ABC ∪ABC －∪AB －C ，且A ，B ，C 相互独立，ABC ，ABC －，AB －C 互斥，所以P (E )＝P (ABC )∪(ABC －)∪(AB －C )＝P (ABC )＋P (ABC －)＋P (AB －C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＋P (A )P (B －)P (C )＝12×12×12＋12×12×(1－12)＋12×(1－12)×12＝38. 10．在一条马路上的A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________． 答案 35192解析 由题意P (A )＝2560＝512；P (B )＝3560＝712；P (C )＝4560＝34； 所以所求概率P ＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝512×712×34＝35192. 11．从10位同学(其中6女，4男)中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为45，每位男同学通过测验的概率均为35，求： (1)选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率．解 (1)设选出的3位同学中，至少有一位男同学的事件为A ，则A －为选出的3位同学中没有男同学的事件，而P (A －)＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－16＝56. (2)设女同学甲和男同学乙被选中的事件为A ，女同学甲通过测验的事件为B ，男同学乙通过测验的事件为C ，则甲、乙同学被选中且通过测验的事件为A ∩B ∩C ，由条件知A ，B ，C 三个事件为相互独立事件，所以P (A ∩B ∩C )＝P (A )×P (B )×P (C )．而P (A )＝C 18C 310＝115，P (B )＝45，P (C )＝35，所以P (A ∩B ∩C )＝115×45×35＝4125. 12．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2.(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 解 (1)设敌机被第k 门高炮击中的事件为A k (k ＝1，2，3，4，5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为A 1－·A 2－·A 3－·A 4－·A 5－.∵事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，∴敌机未被击中的概率为P (A 1－·A 2－·A 3－·A 4－·A 5－)＝P (A 1－)·P (A 2－)·P (A 3－)·P (A 4－)·P (A 5－)＝(1－0.2)5＝(45)5.∴敌机未被击中的概率为(45)5. (2)至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿(1)可得：敌机被击中的概率为1－(45)n ∴令1－(45)n ≥0.9，∴(45)n ≤110两边取常用对数，得n ≥11－3lg 2≈10.3. ∵n ∈N *，∴n ＝11.∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．三、探究与创新13．在一个选拔项目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56，45，34，13，且各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率；(3)该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列． 解 设事件A i (i ＝1，2，3，4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知P (A 1)＝56，P (A 2)＝45，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13. (1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P (B )＝P (A 1A 2A 3－)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3－)＝56×45×(1－34)＝16.(2)设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则P (C )＝P (A 1－＋A 1A 2－＋A 1A 2A 3－)＝P (A 1－)＋P (A 1A 2－)＋P (A 1A 2A 3－)＝16＋56×15＋56×45×(1－34)＝12.(3)X 的可能取值为1，2，3，4.P (X ＝1)＝P (A 1－)＝16，P (X ＝2)＝P (A 1A 2－)＝56×(1－45)＝16，P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3－)＝56×45×(1－34)＝16，P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3)＝56×45×34＝12，所以，X 的分布列为。

２．２．２事件的相互独立性学习目标核心素养１．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．（难点）２．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．（重点）３．综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题．（重点、难点）１．通过学习事件相互独立的概念，培养数学抽象的素养．２．借助相互独立事件的乘法公式解题，提升数学运算的素养.１．相互独立事件的定义和性质（１）定义：设A，B为两个事件，如果P（AB）＝P（A）P（B），那么称事件A与事件B相互独立．（２）性质：１如果A与B相互独立，那么A与错误!，错误!与B，错误!与错误!也都相互独立．２如果A与B相互独立，那么P（B|A）＝P（B），P（A|B）＝P（A）．思考：互斥事件与相互独立事件的区别是什么？[提示]相互独立事件互斥事件条件事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号表示相互独立事件A，B同时发生，记作：AB互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B（或A＋B）计算公式P（AB）＝P（A）P（B）P（A∪B）＝P（A）＋P（B）对于n个事件A１，A２，…，A n，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A１，A２，…，A n相互独立．３．独立事件的概率公式（１）若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）；（２）若事件A１，A２，…，A n相互独立，则P（A１A２…A n）＝P（A１）×P（A２）×…×P（A n）．１．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A１表示第一次摸得白球，A２表示第二次摸得白球，则A１与A２是（）Ａ．相互独立事件Ｂ．不相互独立事件Ｃ．互斥事件Ｄ．对立事件A[由概率的相关概念得A１与A２是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件．]２．一个学生通过一种英语能力测试的概率是错误!，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!C[由题意知，恰有一次通过的概率为错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.]３．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为２５秒、３５秒、４５秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．错误![由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为错误!，错误!，错误!.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P＝错误!×错误!×错误!＝错误!.]相互独立事件的判断（１）甲组３名男生，２名女生；乙组２名男生，３名女生，现从甲、乙两组中各选１名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出１名男生”与“从乙组中选出１名女生”；（２）容器内盛有５个白乒乓球和３个黄乒乓球，“从8个球中任意取出１个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出１个，取出的还是白球”；（３）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现３点或6点”．[思路点拨] （１）利用独立性概念的直观解释进行判断．（２）计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．（３）利用事件的独立性定义判断．[解] （１）“从甲组中选出１名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出１名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．（２）“从8个球中任意取出１个，取出的是白球”的概率为错误!，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出１个，取出的仍是白球”的概率为错误!；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为错误!，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．（３）记A：出现偶数点，B：出现３点或6点，则A＝{２,４,6}，B＝{３,6}，AB＝{6}，所以P（A）＝错误!＝错误!，P（B）＝错误!＝错误!，P（AB）＝错误!.所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立．判断事件是否相互独立的方法１．定义法：事件A，B相互独立⇔P（AB）＝P（A）P（B）．２．直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．３．条件概率法：当P（A）>0时，可用P（B|A）＝P（B）判断．错误!１．（１）下列事件中，A，B是相互独立事件的是（）Ａ．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”Ｂ．袋中有２白，２黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”Ｃ．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”Ｄ．A＝“人能活到２0岁”，B＝“人能活到５0岁”（２）甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B（）Ａ．相互独立但不互斥Ｂ．互斥但不相互独立Ｃ．相互独立且互斥Ｄ．既不相互独立也不互斥（１）A（２）A[（１）把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．故选Ａ．（２）对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B 不是互斥事件．故选Ａ．]相互独立事件同时发生的概率（１）两人都能破译的概率；（２）两人都不能破译的概率；（３）恰有一人能破译的概率；（４）至多有一人能破译的概率．[解] 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，则A，B相互独立，从而A与错误!、错误!与B、错误!与错误!均相互独立．（１）“两人都能破译”为事件AB，则P（AB）＝P（A）P（B）＝错误!×错误!＝错误!.（２）“两人都不能破译”为事件错误!错误!，则P（错误!错误!）＝P（错误!）P（错误!）＝[１—P（A）][１—P（B）]＝错误!×错误!＝错误!.（３）“恰有一人能破译”为事件（A错误!）∪（错误!B），又A错误!与错误!B互斥，所以P[（A错误!）∪（错误!B）]＝P（A错误!）＋P（错误!B）＝P（A）P（错误!）＋P（错误!）P（B）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.（４）“至多有一人能破译”为事件（A错误!）∪（错误!B）∪（错误!错误!），而A错误!、错误!B、错误!错误!互斥，故P[（A错误!）∪（错误!B）∪（错误!错误!）]＝P（A错误!）＋P（错误!B）＋P（错误!错误!）＝P（A）P（错误!）＋P（错误!）P（B）＋P（错误!）P（错误!）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.１．求相互独立事件同时发生的概率的步骤（１）首先确定各事件是相互独立的；（２）再确定各事件会同时发生；（３）先求每个事件发生的概率，再求其积．２．公式P（AB）＝P（A）P（B）可推广到一般情形，即如果事件A１，A２，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A１A２…A n）＝P（A１）P（A２）…P （A n）．错误!２．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人１00米跑（互不影响）的成绩在１３s内（称为合格）的概率分别为错误!，错误!，错误!，若对这三名短跑运动员的１00米跑的成绩进行一次检测，求：（１）三人都合格的概率；（２）三人都不合格的概率；（３）出现几人合格的概率最大．[解] 记甲、乙、丙三人１00米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，P（C）＝错误!.设恰有k人合格的概率为P k（k＝0,１,２,３）．（１）三人都合格的概率：P３＝P（ABC）＝P（A）·P（B）·P（C）＝错误!×错误!×错误!＝错误!.（２）三人都不合格的概率：P0＝P（错误!错误!错误!）＝P（错误!）·P（错误!）·P（错误!）＝错误!×错误!×错误!＝错误!.（３）恰有两人合格的概率：P２＝P（AB错误!）＋P（A错误!C）＋P（错误!BC）＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!.恰有一人合格的概率：P１＝１—P0—P２—P３＝１—错误!—错误!—错误!＝错误!＝错误!.综合（１）（２）可知P１最大．所以出现恰有一人合格的概率最大．事件的相互独立性与互斥性１．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件错误!B与A错误!呢？[提示] 事件A与B，错误!与B，A与错误!均是相互独立事件，而错误!B与A错误!是互斥事件．２．在探究１中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0．6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？[提示] “甲、乙二人恰有１人击中目标”记为事件C，则C＝错误!B＋A错误!.所以P（C）＝P（错误!B＋A错误!）＝P（错误!B）＋P（A错误!）＝P（错误!）·P（B）＋P（A）·P（错误!）＝（１—0．6）×0．6＋0．6×（１—0．6）＝0．４8．【例３】在一段线路中并联着３个自动控制的常开开关，只要其中有１个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0．7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．[思路点拨] 该线路是并联电路，当且仅当三个开关都不闭合时，线路才不通，故本题可采用对立事件求解．[解] 分别记这段时间内开关J A，J B，J C能够闭合为事件A，B，C.由题意知这段时间内３个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件概率的乘法公式，得这段时间内３个开关都不能闭合的概率是P（错误!错误!错误!）＝P（错误!）·P（错误!）·P（错误!）＝[１—P（A）][１—P（B）][１—P（C）]＝（１—0．7）（１—0．7）（１—0．7）＝0．0２7．所以在这段时间内线路正常工作的概率是１—P（错误!错误!错误!）＝１—0．0２7＝0．97３．概率问题中的数学思想１．正难则反．灵活应用对立事件的概率关系（P（A）＋P（错误!）＝１）简化问题，是求解概率问题最常用的方法．２．化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类（考虑加法公式，转化为互斥事件）还是分几步组成（考虑乘法公式，转化为相互独立事件）．３．方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程（组），通过解方程（组）使问题获解．错误!３．设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是错误!，求事件A和事件B同时发生的概率．[解] 在相互独立事件A和B中，只有A发生即事件A错误!发生，只有B发生即事件错误!B发生．∵A和B相互独立，∴A与错误!，错误!与B也相互独立．∴P（A错误!）＝P（A）·P（错误!）＝P（A）·[１—P（B）]＝错误!，１P（错误!B）＝P（错误!）·P（B）＝[１—P（A）]·P（B）＝错误!. ２１—２得P（A）＝P（B）．３联立１３可解得P（A）＝P（B）＝错误!.∴P（AB）＝P（A）·P（B）＝错误!×错误!＝错误!.与相互独立事件A，B有关的概率计算公式事件A，B的各种情形概率计算公式A，B同时发生P（AB）＝P（A）P（B）A，B都不发生P（错误!错误!）＝P（错误!）P（错误!）＝[１—P（A）][１—P （B）]＝１—P（A）—P（B）＋P（A）P（B）A，B至少有一个不发生P＝１—P（AB）＝１—P（A）P（B）A，B至少有一个发生P＝１—P（错误!错误!）＝１—P（错误!）P（错误!）＝P（A）＋P（B）—P（A）P（B）A，B恰好有一个发生P＝P（A错误!＋错误!B）＝P（A）P（错误!）＋P（错误!）P（B）＝P（A）＋P（B）—２P（A）P（B）１．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）对事件A和B，若P（B|A）＝P（B），则事件A与B相互独立．（）（２）若事件A，B相互独立，则P（错误!错误!）＝P（错误!）P（错误!）．（３）如果事件A与事件B相互独立，则P（B|A）＝P（B）．（）（４）若事件A与B相互独立，则B与错误!相互独立．（）[答案] （１）√（２）√（３）√（４）×２．袋内有３个白球和２个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是（）Ａ．互斥事件Ｂ．相互独立事件Ｃ．对立事件Ｄ．不相互独立事件D[P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，事件A的结果对事件B有影响．根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．]３．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为错误!，乙、丙去北京旅游的概率分别为错误!，错误!.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有１人去北京旅游的概率为________．错误![因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为错误!，错误!，错误!，因此，他们不去北京旅游的概率分别为错误!，错误!，错误!，所以，至少有１人去北京旅游的概率为P＝１—错误!×错误!×错误!＝错误!.]４．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为错误!，乙当选的概率为错误!，丙当选的概率为错误!.（１）求恰有一名同学当选的概率；（２）求至多有两人当选的概率．[解] 设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，P（C）＝错误!.（１）因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P（A错误!错误!）＋P（错误! B错误!）＋P（错误!错误!C）＝P（A）·P（错误!）·P（错误!）＋P（错误!）·P（B）·P（错误!）＋P（错误!）·P（错误!）·P（C）＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!.（２）至多有两人当选的概率为１—P（ABC）＝１—P（A）·P（B）·P（C）＝１—错误!×错误!×错误!＝错误!.。

2．2.2 事件的相互独立性1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．,1．相互独立的概念设A ，B 为两个事件，若P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． 2．相互独立的性质若事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． [注意] 事件A ，B 相互独立的充要条件是P (AB )＝P (A )·P (B )． (1)充分性：由定义知P (AB )＝P (A )·P (B )时，事件A ，B 相互独立．(2)必要性：由A ，B 相互独立得P (B |A )＝P (B )，所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝P (A )P (B )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( )(3)“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (EF ) 的值等于( )A ．0 B.116 C.14 D.12答案：B下列事件A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A 表示“第一次为正面”，B 表示“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A 表示“第一次摸到白球”，B 表示“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A 表示“出现点数为奇数”，B 表示“出现点数为偶数”D ．A 表示“一个灯泡能用1 000小时”，B 表示“一个灯泡能用2 000小时” 答案：A探究点1 相互独立事件的判断判断下列各对事件，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？(1)掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为偶数”； (2)掷一枚骰子一次，事件A ：“出现偶数点”；事件B ：“出现3点或6点”；(3)袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M ：“第一次摸到白球”，事件N ：“第二次摸到白球”．【解】 (1)二者不可能同时发生，所以M 与N 是互斥事件． (2)基本事件Ω＝{1，2，3，4，5，6}， 事件A ＝{2，4，6}，事件B ＝{3，6}， 事件AB ＝{6}，P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16＝12×13，即P (AB )＝P (A )P (B )，故事件A 与事件B 相互独立，A ，B 不是互斥事件．(3)事件M 是否发生对事件N 发生的概率没有影响，故M 与N 是相互独立事件．判断两个事件是否独立的两种方法(1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；(2)定义法：通过式子P (AB )＝P (A )P (B )来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A ，B 相互独立，这是定量判断.一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性： (1)家庭中有两个小孩． (2)家庭中有三个小孩．解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P (A )P (B )，所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件． 于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝38＝P (A )P (B )成立．从而事件A 与B 是相互独立的． 探究点2 相互独立事件同时发生的概率甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)2个人都译出密码的概率； (2)2个人都译不出密码的概率； (3)至多1个人译出密码的概率．【解】 记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码“为事件B ，A 与B 为相互独立事件，且P (A )＝13，P (B )＝14.(1)“2个人都译出密码”的概率为：P (AB )＝P (A )·P (B )＝13×14＝112.(2)“2个人都译不出密码”的概率为：P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )]×[1－P (B )]＝(1－13)×(1－14)＝12.(3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”， 所以至多1个人译出密码的概率为： 1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－13×14＝1112.[变问法]在本例条件下，求： (1)恰有1个人译出密码的概率； (2)至少1个人译出密码的概率．解：(1)“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P (A B －＋A －B )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B ) ＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝512. (2)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”， 所以至少1个人译出密码的概率为： 1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝1－23×34＝12.相互独立事件概率的求解方法(1)应用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤： ①确定各事件是相互独立的； ②确定各事件会同时发生；③先求每个事件发生的概率，再求其积．(2)解决这类问题的关键是将事件看作若干事件相互独立的情形，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法，即三个公式的联用：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )(A ，B 互斥)，P (A )＝1－P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )(A ，B 相互独立)．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则 (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．解：记“甲、乙、丙三人100 m 跑成绩合格”分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0，1，2，3)， (1)三人都合格的概率：P 3＝P (ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：P 0＝P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：P 2＝P (AB C )＋P (A BC )＋P (ABC )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率：P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)(3)可知P 1最大． 所以出现恰有1人合格的概率最大． 探究点3 相互独立事件的综合应用在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率． (2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列．【解】 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”， 则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.因为事件A 与B 相互独立，所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )] ＝23×25＝415. (或P (A B )＝C 12·C 34C 3·C 5＝415)．(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝C 24C 35＝35，因为X 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝P (A B C )＝13×25×25＝475，P (X ＝1)＝P (A B － C －)＋P (A － B C －)＋P (A BC )＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075， P (X ＝2)＝P (A B C )＋P (A －BC )＋P (A B －C )＝23×35×25＋13×35×35＋23×25×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，所以X 的分布列为概率问题中的数学思想(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P (A )＋P (A )＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件)．(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．一个箱子中原来装有大小相同的5个小球，其中3个红球，2个白球，规定：进行一次操作是指“从箱子中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱子中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱子中”． (1)求进行第二次操作后，箱子中红球个数为4的概率； (2)求进行第二次操作后，箱子中红球个数ξ的分布列．解：(1)进行第二次操作后，箱子中红球个数为4的对应事件为两次操作恰好一次白球一次红球，所以概率为：P ＝35×25＋25×45＝1425.(2)由题意进行第二次操作后，箱子中红球个数ξ的可能取值为3，4，5，P (ξ＝3)＝35×35＝925， P (ξ＝4)＝35×25＋25×45＝1425， P (ξ＝5)＝25×15＝225，所以箱子中红球个数ξ的分布列为：1．(2018·云南曲靖一中期中)某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为( ) A ．0.2 B ．0.8 C ．0.4D ．0.3解析：选D.由相互独立事件同时发生的概率可知，问题由乙答对的概率为P ＝0.6×0.5＝0.3，故选D.2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是( ) A.524 B.512 C.124 D.38解析：选C.两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A 、B 分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB 为两班派出的都是三好学生，则P (AB )＝P (A )P (B )＝936×636＝124.3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： (1)第3次拨号才接通电话； (2)拨号不超过3次而接通电话．解：设A i ＝{第i 次拨号接通电话}，i ＝1，2，3. (1)第3次才接通电话可表示为A 1－A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1－ A 2－A 3)＝910×89×18＝110.(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A 1＋A 1 A 2＋A 1－A 2－A 3， 于是所求概率为P (A 1＋A 1－A 2＋A 1－A 2－A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1A 2)＋P (A 1－A 2－A 3) ＝110＋910×19＋910×89×18＝310., [A 基础达标]1．(2018·广州综合测试)投掷一枚均匀硬币和一颗均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( ) A.512 B.12 C.712D.34解析：选C.因为P (A )＝12，P (B )＝16，所以P (A －)＝12，P (B －)＝56.又A ，B 为相互独立事件，所以P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝12×56＝512.所以A ，B 中至少有一件发生的概率为 1－P (A －B －)＝1－512＝712.2．把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件是独立事件的组数为( ) ①A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出奇数点}； ②A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出3点}； ③A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出3的倍数点}； ④A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出的点数小于4}； A ．1 B ．2 C ．3D ．4 解析：选A.①P (A )＝12，P (B )＝12，P (AB )＝0，所以A 与B 不独立．②P (A )＝12，P (B )＝16，P (AB )＝0，A 与B 不独立．③P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16，P (AB )＝P (A )P (B )，所以A 与B 独立．④P (A )＝12，P (B )＝12，P (AB )＝16，P (A )P (B )≠P (AB )，所以A 与B 不独立．3．某种开关在电路中闭合的概率为p ，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为6581，则p ＝( )A.12B.13C.23D.34解析：选B.因为该电路为通路的概率为6581，所以该电路为不通路的概率为1－6581，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－6581＝(1－p )4，解得p ＝13或p ＝53(舍去)．故选B.4．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A 、B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A 、B 相互独立，所以1－P (A )P (B )＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．5．(2018·重庆外国语学校高二期末)已知A ，B 是相互独立事件，若P (A )＝0.2，P (AB ＋AB ＋AB )＝0.44，则P (B )＝( ) A ．0.3 B ．0.4 C ．0.5D ．0.6解析：选A.因为A ，B 是相互独立事件，所以A ，B 和A ，B 均相互独立．因为P (A )＝0.2，P (AB ＋AB ＋AB )＝0.44，所以P (A )P (B )＋P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝0.44，所以0.2P (B )＋0.8P (B )＋0.2[1－P (B )]＝0.44，解得P (B )＝0.3.6．某自助银行设有两台ATM 机．在某一时刻这两台ATM 机被占用的概率分别为13，12，则客户此刻到达需要等待的概率为________．解析：客户需要等待意味着这两台ATM 机同时被占用，故所求概率为P ＝13×12＝16.答案：167．事件A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (BC )＝18，P (A B C )＝18，则P (B )＝________，P (AB )＝________．解析：因为P (AB C －)＝P (AB )P (C ) ＝16P (C )＝18， 所以P (C )＝34，即P (C )＝14.又P (BC )＝P (B )·P (C )＝18，所以P (B )＝12，P (B )＝12.又P (AB )＝16，则P (A )＝13，所以P (AB )＝P (A )·P (B )＝(1－13)×12＝13.答案：12 138．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按包装可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，则这一事件的概率是________．解析：设“任取一本书是文科书”为事件A ，“任取一本书是精装书”为事件B ，则A ，B 是相互独立事件，所求概率为P (AB )．据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝710，所以P (AB )＝P (A )P (B )＝25×710＝725.答案：7259．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过．方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率．解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B ，C ，则P (A )＝0.5，P (B )＝0.6，P (C )＝0.9.(1)应聘者用方案一考试通过的概率为p 1＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9＝0.75. (2)应聘者用方案二考试通过的概率为p 2＝13P (AB )＋13P (BC )＋13P (AC )＝13×0.5×0.6＋13×0.6×0.9＋13×0.5×0.9 ＝0.43.10．如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一点(每次都能投中)，记“投中最左侧3个小正方形区域”为事件A ，“投中最上面3个小正方形区域”为事件B .(1)求P (AB )，P (B |A )；(2)试判断事件A 与事件B 是否相互独立.解：(1)根据几何概型，得P (AB )＝19，P (A )＝13，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1913＝13.(2)根据几何概型，得P (B )＝13，所以有P (B |A )＝P (B )，即P (B )＝P （AB ）P （A ），因而P (A )P (B )＝P (AB )．由独立事件的定义，得事件A 与事件B 相互独立．[B 能力提升]11．设两个相互独立事件A ，B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，89B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，59C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，89 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49 解析：选D.设事件A ，B 发生的概率分别为P (A )＝x ，P (B )＝y ，则P (A B )＝P (A )P (B )＝(1－x )·(1－y )＝19，即1＋xy ＝19＋x ＋y ≥19＋2xy ，当且仅当x ＝y 时取“＝”，所以xy ≤23或xy ≥43(舍去)，所以0≤xy ≤49.所以P (AB )＝P (A )·P (B )＝xy ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49.12．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任意取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．解析：设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”， 则D ＝B ∪C ，且B 与C 互斥，又P (A )＝C 12C 14C 25＝45，P (AB )＝C 12C 11C 25＝15，P (AC )＝C 12C 12C 25＝25，故P (D |A )＝P (B ∪C |A ) ＝P (B |A )＋P (C |A ) ＝P （AB ）P （A ）＋P （AC ）P （A ）＝34.答案：3413．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 45×56×(1－23)＝29， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×(1－56)×23＝445， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为 (1－45)×56×23＝19，所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为 (1－45)×(1－56)×(1－23)＝190，所以至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.14．(选做题)一中食堂有一个面食窗口，假设学生买饭所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往学生买饭所需的时间统计结果如下：(1)估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率；(2)X表示至第2分钟末已买完饭的人数，求X的分布列．解：设Y表示学生买饭所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如表：(1)A对应三种情形：①第一个学生买饭所需的时间为1分钟，且第二个学生买饭所需的时间为3分钟；②第一个学生买饭所需的时间为3分钟，且第二个学生买饭所需的时间为1分钟；③第一个和第二个学生买饭所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)X所有可能的取值为0，1，2，X＝0对应第一个学生买饭所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝0.5，X＝1对应第一个学生买饭所需的时间为1分钟且第二个学生买饭所需的时间超过1分钟或第一个学生买饭所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49，X＝2对应两个学生买饭所需时间均为1分钟．所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2.2.2事件的相互独立性课堂导学三点剖析一、事件相互独立性的判断【例1】一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}B={一个家庭中最多有一个女孩}对下述两种情形，讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩.解析：（1）有两个小孩的家庭，这时样本空间为：Ω={（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}它有4个基本事件，由等可能性知概率各为A={（男，女），（女，男）}B={（男，男），（男，女），（女，男）}AB={（男，女），（女，男）} 14，这时1于是P(A)= ，P(B)=21P(AB)= ，由此知2P(AB)≠P(A)P(B)34，所以事件A、B不相互独立.（2）有三个小孩的家庭，样本空间为：Ω={（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）}.由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A中含有6个基本事件B中含有4个基本事件AB中含有3个基本事件于是P(A)= 6,P(B)=4,P(AB)= 313 84828∴P(AB)=P(A)·P(B)成立从而事件A和B是相互独立的.二、相互独立事件概率的计算【例2】甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，求：（1）两人都击中目标的概率；（2）其中恰有1人击中目标的概率；（3）至少有1人击中目标的概率；（4）至多有1人击中目标的概率.解析：设甲射击1次，击中目标为事件A，乙射击1次击中目标为事件B.因为甲是否击中对乙击中的概率没有影响，乙是后击中，对甲击中的概率也没有影响，所以，1A与B是相互独立事件依题意，有P(A)=P(B)=0.6.（1）两人各射击1次，都击中目标，是A与B同时发生，∴P(AB)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36.（2）恰有1人击中目标的含义为：甲中乙不中或甲不中乙中，即事件A·B发生或A·B发生，由于上射击1次A·B和A·B不可能同时发生，因此A·B与A·B是互斥事件.∴P(A·B)+P(A·B)=P(A)·P(B)+P(A)·P(B)=0.6×（1-0.6）+（1-0.6）×0.6=0.48.（3）两人各射击1次，至少有1人击中目标，即A·B，或A·B，或A·B，由于各射击1 次，所以它们是不可能同时发生，为互斥事件.所以，至少有1人击中目标的概率是：P(A·B)+P(A·B)+P(A·B)=P(A)·P(B)+P(A)·P(B)+P(A)·P(B)=0.6×0.6+0.6×（1-0.6）+（1-0.6）×0.6=0.84.（4）两人各射击1次，至多有1人击中目标，这一事件，包含两人都没击中目标，或甲击中乙不中，或甲不中乙中，即事件A·B发生，或A·B发生，或A·B发生.由于甲、乙两人各射击1次，所以A·B，A·B，A·B不可能同时发生，是互斥事件，依互斥事件有一发生的概率计算公式，得：P(A·B)+P(A·B)+P(A·B)=P(A)·P(B)+P(A)·P(B)+P(A)·P(B)=（1-0.6）（1-0.6）+0.6（1-0.6）+（1-0.6）·0.6=0.64三、正确应分“相互独立事件”和互斥事件【例3】某家庭电话在家中有人时，打来的电话响第1声被接的概率为0.1，响第2声被接的概率为0.3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为0.1，那么电话在前4 声内被接的概率是多少？错解：由题意知：电话在前4声内被接的概率是P=0.1×0.3×0.4×0.1=0.001 2.2剖析：错将互斥事件看成相互独事件同时发生事件.电话在第i声被接和电话在第j声被接（i≠j且i,j∈{1,2,3,4})是互斥事件.正解：P=0.1+0.3+0.4+0.1=0.9.温馨提示在求解概率问题时，有很多同学因分不清“互斥”与“相互独立”这两个概念而发生计算错误.两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，从字面意义上看，两个概念容易区分，但在实际应用过程中却容易产生错误，因此，在解题时要认真审题，切实把这两个概念区分开，看清到底是互斥事件还是相互独立事件的概率问题.各个击破【类题演练1】（掷币问题）投若干枚硬币，令A={既出现正面，又出现反面}，B={最多出现一次反面}，对于下述两种情况，讨论事件A与B的独立性：（1）投两枚硬币；（2）投三枚硬币.解析：（1）投两枚硬币，样本空间为Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，它有4个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率均为14.这时A={（正，反），（反，正）}，B={（正，正），（正，反），（反，正）}，AB={（正，反），（反，正）}，于是P(A)= 12，P(B)=34，P(AB)=12，因此P(AB)≠P(A)P(B).故事件A，B不相互独立.（2）投三枚硬币，样本空间为Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}.它有8个基本事件，由等可能性知这8个基本事件的概率均为B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件，于是18，这时A中含有6个基本事件，63，P(B)=P(A)=843P(AB)= ，8P(AB)=P(A)P(B). 4 1，82故事件A，B相互独立【变式提升1】同时抛掷两个均匀的骰子一次，记“第一个骰子落地时向上的数字是偶数”为事件A，“第二个骰子落地时向上的数字是奇数”为事件B，“两个骰子落地时向上的数字或同时出现偶数，或同时出现奇数”为事件C.问：事件A、B、C是否相互独立.解析：这里的基本事件是同时抛掷两个骰子，由于骰子是均匀的，则每个骰子落地时向上出现哪个数字是等可能的，由分步计数原理得基本事件总数是6×6=36.由等可能性事件的概率公式，P(A)=C3C116361 2P(B)= C C116312，363P(C)= 2C C11333612.P（A·B）= C C11333614，P（A·C）= C13C133614，P（B·C）=C31C13361 4 .因此P（A·B）=P（A）·P（B），P（A·C）=P（A）·P（C），P（B·C）=P（B）·P（C）.即A，B，C中任意两个事件都是相互独立的，但同时易知P（A·B·C）=0，P（A）·P（B）·P（C）=∴P（A·B·C）≠P(A)P(B)P(C),∴A,B,C不是相互独立的.【类题演练2】18，有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.（1）求恰有一件不合格的概率；（精确到0.001）（2）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）解析：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A，B和C.根据题设条件可知，P （A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95，P（A）=0.10，P（B）=P（C）=0.05.（1）因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的事件是A·B·C+A·B·C+A·B·C，它的概率为P（A·B·C+A·B·C+A·B·C）=P（A·B·C）+P（A·B·C）+P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）+P（A）·P（B）·P（C）+P（A）·P（B）·P（C）=0.90×0.95×0.05+0.90×0.05×0.95+0.10×0.95×0.95=0.176.（2）解法1：至少有两件不合格的事件是A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C，它的概率为P（A·B·C+A·B·C+A·B·C+A·B·C）=P（A·B·C）+P（A·B+C）+P（A·B·C）+P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）+P（A）·P（B）·P（C）+P（A）·P（B）·P（C）+P（A）·P4（ B ）·P （C ）0.90·0.05·0.05+0.10·0.05·0.95+0.10·0.95·0.05+0.10·0.05·0.05=0.012.解法 2：三件产品都合格的概率为P （A·B·C ）=P （A ）·P （B ）·P （C ）=0.90·0.95·0.95=0.812.由（1）知，恰有一件不合格的概率为 0.176，所以至少有两件不合格的概率为1-0.812-0.176=0.012.【变式提升 2】(2006北京高考，理 18)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方 案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过：方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a,b,c ，且三门课程考试是否及格相互之 间没有影响.求；(Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）解析：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A ，B ，C ，则 P （A ）=a,P(B)=b,P(C)=c(Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率P 1=P （A·B·C ）+P （ A ·B·C ）+P （A·B ·C ）+P （ABC ）=ab(1-c)+bc(1-a)+ac(1-b)+abc=ab+bc+ca-2abc;应聘者用方案二考试通过的概率P 2= 1 3 P(A·B ）+ 1 3P(B·C)+ 1 3 P(A·C) = 1 3(ab+bc+ca). (Ⅱ)因为 a,b,c∈[0,1],所以2P 1-P 2= (ab+bc+ca)-2abc 32= [ab (1 c ) bc (1 a ) ca (1 b )]≥0，3 故P 1≥P 2,即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大.【类题演练 3】某零件从毛坯到成品，一共要经过六道自动加工工序，如果各道工序出次品的 概率依次为 0.01，0.02，0.03，0.03，0.05，0.05，那么这种零件的次品率是多少？ 错解：设第 i 道工序出次品的事件为 A i ,i=1,2,…,6,A i 是互斥事件，则 A i 中至少有一个事件 发生就为次品，故这种零件的次品率为 P(A 1+A 2+…+A 6）=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A 6)=0.19.剖析：错将相互独立事件看成互斥事件，由题意，只有同时经过六道工序才能将事件完成，不 能只考虑一道工序是否通过.正解：设第 i 道工序出次品的事件为 A i ，i=1,2, …,6,它们相互独立但不互斥，则 A i 中至少有 一个事件发生就为次品，这种零件的次品率为：5P(A1+A2+…+A6)=1-P(A1A2A6）1-（1-0.01）（1-0.02）（1-0.03）（1-0.03）·（1-0.05）·（1-0.05）≈0.176【变式提升3】甲投蓝命中率为0.8，乙投蓝命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2 次的概率是多少？错解：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A+B.P（A+B）=P（A）+P（B）=0.8×0.8×0.2+0.8×0.2×0.8+0.2×0.8×0.8+0.7×0.7×0.3+0.7×0.3×0.7+0.3×0.7×0.7≈0.825.剖析：本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和.正解：设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P（A·B）=P（A）·P（B）=（0.8×0.8×0.2+0.8×0.2×0.8+0.2×0.8×0.8）×（0.7×0.7×0.3+0.7×0.3×0.7+0.3×0.7×0.7）≈0.169.6。

2.2.2 事件的相互独立性问题导学一、判断事件的相互独立性活动与探究1判断下列各对事件是否是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．迁移与应用1．(2013江西樟树模拟)下列事件A，B是相互独立事件的是( )A．一枚硬币掷两次，事件A为“第一次为正面”，事件B为“第二次为反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，事件A为“第一次摸到白球”，事件B 为“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，事件A为“出现点数为奇数”，事件B为“出现点数为偶数”D．事件A为“人能活到20岁”，事件B为“人能活到50岁”2．一个袋子中有4个小球，其中2个白球，2个红球，讨论下列A，B事件的相互独立性与互斥性．(1)A：取一个球为红球，B：取出的红球放回后，再从中取一球为白球；(2)从袋中取2个球，A：取出的两球为一白球一红球；B：取出的两球中至少一个白球．判断两事件的独立性的方法(1)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(3)当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．二、求相互独立事件同时发生的概率活动与探究2根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率；(3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中1种的概率．迁移与应用1．设有两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是( )A．0.56 B．0.92C．0.94 D．0.962．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．相互独立事件的概率计算必须先根据题设条件，分析事件间的关系，将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积，或若干个乘积之和，然后利用公式计算．三、相互独立事件的应用活动与探究3红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5，0.5．假设各盘比赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)红队至少两名队员获胜的概率．迁移与应用1．甲、乙、丙三台机器是否需要维修相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1,0.2,0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是( )A ．0.444B ．0.008C ．0.7D ．0.2332．台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7,0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的是__________．事件的相互独立性是考试的重点，解题时需分清事件与事件之间的关联，判断是否相互独立．在求事件的概率时，有时会遇到求“至少……”或“至多……”等事件的概率问题，它们是诸多事件的和或积，如果从正面考虑这些问题，求解过程烦琐．但“至少……”或“至多……”这些事件的对立事件却往往很简单，其概率也易求出，此时，可逆向思维，运用“正难则反”的原则求解．同时求解此类问题时，也是符号语言和文字语言之间的转化，应加强各语言之间的转化能力．答案：课前·预习导学【预习导引】1．P (A )P (B )2．B B预习交流 (1)提示：①要正确理解和区分事件A 与B 相互独立、事件A 与B 互斥．两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．相互独立事件可以同时发生．只有当A 与B 相互独立时，才能使用P (AB )＝P (A )P (B )；同时也只有当A 与B 互斥时，才能使用公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．②事件A 与B 是否具备独立性，一般都由题设条件给出．但在实际问题中往往要根据实际问题的性质来判定两个事件或一组事件是否相互独立．通常，诸如射击问题，若干电子元件或机器是否正常工作，有放回地抽样等对应的事件(组)认为是相互独立的．(2)提示：C课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：利用相互独立事件的定义判断．解：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}，所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16． 所以P (AB )＝P (A )·P (B )，所以事件A 与B 相互独立．迁移与应用 1．A 解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故选项A 中的两个事件是相互独立事件；选项B 中是不放回地摸球，显然事件A 与事件B 不相互独立；对于选项C ，其结果具有唯一性，A ，B 应为互斥事件；选项D 是条件概率，事件B 受事件A 的影响．2．解：(1)由于取出的红球放回，故事件A 与B 的发生互不影响，∴A 与B 相互独立，A ，B 能同时发生，不是互斥事件．(2)设2个白球为a ，b ，两个红球为1,2，则从袋中取2个球的所有取法为{a ，b }，{a,1}，{a,2}，{b,1}，{b,2}，{1,2}，则P (A )＝46＝23，P (B )＝56，P (AB )＝23， ∴P (AB )≠P (A )·P (B )．∴事件A ，B 不是相互独立事件，事件A ，B 能同时发生，∴A ，B 不是互斥事件． 活动与探究2 思路分析：分析清楚事件间的独立、互斥的关系，再由相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算．解：记A 表示事件“购买甲种保险”，B 表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立事件，且P (A )＝0.5，P (B )＝0.6．(1)记C 表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C ＝AB ．∴P (C )＝P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.5×0.6＝0.3．(2)记D 表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D ＝A B ．∴P (D )＝P (A B )＝P (A )·P (B )＝(1－0.5)×0.6＝0.3．(3)法一：记E 表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件E 包括A B ，A B ，AB ，且它们彼此为互斥事件．∴P (E )＝P (A B ＋A B ＋AB )＝P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8．法二：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件．∴P (E )＝1－P (A B )＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8．迁移与应用 1．C 解析：设事件A 表示：“甲击中”，事件B 表示：“乙击中”． 由题意知A ，B 互相独立．故目标被击中的概率为P (A ∪B )＝1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－0.2×0.3＝0.94．2．解：记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6，A 1，A 2，A 3相互独立．(1)这名同学得300分的概率P 1＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228．(2)这名同学至少得300分的概率P 2＝P 1＋P (A 1A 2A 3)＝0.228＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564．活动与探究3 思路分析：弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．。