公式法(完全平方公式分解因式).doc

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14.3.3因式分解(公式法-完全平方公式)

2
2
的多项式称为完全平方式.
完全平方公式
a b
2
a 2ab b
2
2
a 2ab b ；
2 2
a 2ab b
2
2
完全平方式的特点：
1．有三部分组成． 2．其中有两部分分别是某两个数（或式）的平方，另一部分是上述两数（或式）且这两部分同号．
的乘积的2倍，符号可正可负．
一天,小明在纸上写了一个算式为
4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个
代数式的值都是正值,你不信试一试?”
4x 2 8x 11 2x 2 2x 2 22 7
2
2x 2 7 4 x 1 7
2 2
分解因式：
(1) 9x2+24x+16;
2 2
分解因式:
2x y
2
62x y 9
分解因式： (a b) 10(a b) 25．
2
因式分解：
(1)-a3b3+2a2b3-ab3 (2)9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
(3)16x4-8x2＋1
因式分解：
(4)(y2 + x2 )2 - 4x2y2 (5)(a+b)2＋2(a+b)(a-b)＋(a-b)2
2 2
(3) x 2 xy y ；是
2 2
(4) x 2 xy y ；不是
2 2
(5) x 2 xy y ．是
2 2
a2 2ab b2 (a b)2 ; a2 2ab b2 (a b)2
1．判别下列各式是不是完全平方式，若是说出相应的 a、 b 各表示什么？ (1) x 2 6 x 9；是 a表示x，b表示3.

《公式法》因式分解

《公式法》因式分解
汇报人： 2023-12-26
目录
• 公式法因式分解简介 • 公式法因式分解的基本步骤 • 公式法因式分解的常见类型 • 公式法因式分解的实例解析 • 公式法因式分解的注意事项
01
公式法因式分解简介
因式分解的定义
01
02
03
因式分解的定义
将一个多项式表示为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。
在化简过程中，需要注意消除项和合并同类项。
简化多项式可以使其更容易理解和计算。
03
公式法因式分解的常见类型
二次多项式的因式分解
01
02
03
04
总结词
利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解
公式法
$ax^2+2abx+b^2=(ax+b) ^2$
公式法
$ax^2-b^2=(ax+b)(ax-b)$
二次多项式的实例解析
总结词
二次多项式是多项式中最简单的一类，其因式分解方法相对固定，公式法是其中最常用的方法之一。
VS
详细描述
对于形如ax^2+bx+c的二次多项式，我们可以使用公式法进行因式分解。首先计算判别式b^2-4ac的值，然后根据判别式的值选择合适的公式进行因式分解。当判别式大于0时，二次多项式有两个实根，可以使用公式法分解为两个一次多项式的乘积；当判别式等于0时，二次多项式有一个重根，可以分解为一个一次多项式的平方；当判别式小于0时，二次多项式没有实根，无法使用公式法进行因式分解。
因式分解的步骤
提取公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法等。
因式分解的作用

完全平方公式法因式分解

(2014 2013)2
1.
7.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
因式分解的平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
因式分解的完全平方公式：
a2+2ab+b2= (a+b) 2
a2－2ab+b2= (a－b) 2
例3：因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
3. 完全平方公式： (a+b) 2 =a2+2ab+b2.
(a－b) 2 =a2-2ab+b2
完全平方公式： (a+b) 2=a2±2ab+b2.
1.整式的乘法 (1). (p+1) 2 = ______ (2). (m+2) 2 =______ (3). (p-1) 2 =______ (4). (m-2) 2 =______ (5). (a+b) 2 =_______ (6). (a-b) 2 =_______
(1).两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和的平方;
(2).两个数的平方和减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的差的平方.
特点:1.共有三项、2.有两个平方项、 3.另一项两个数乘积的正或负2倍。

完全平方公式分解因式

完全平方公式分解因式ax^2+bx+c=(mx+n)^2+rx+s其中m，n，r，s为实数。

将右侧的完全平方式展开，可得：(mx+n)^2=m^2x^2+2mnx+n^2将等式两边展开，得：m^2x^2+2mnx+n^2+rx+s=ax^2+bx+c将其中的同类项合并，得：(m^2-r)x^2+(2mn)x+(n^2+s)=ax^2+bx+c根据二次多项式相等的性质，可得以下等式：m^2-r=a2mn=bn^2+s=c解上述等式组即可求得m，n，r，s的值。

进而可将二次多项式ax^2+bx+c分解为(mx+n)^2+rx+s的形式。

下面以具体例子进行分解因式的过程。

例1：分解因式x^2+4x+4根据完全平方公式分解因式的公式，设分解为(mx+n)^2+rx+s，那么有：mx+n=x+2将上式平方展开，可得：(mx+n)^2=(x+2)^2=x^2+4x+4因此，将x^2+4x+4分解为(x+2)^2的形式。

例2：分解因式x^2-6x+9类似地，将x^2-6x+9分解为(mx+n)^2+rx+s的形式，那么有：mx+n=x-3将上式平方展开，可得：(mx+n)^2=(x-3)^2=x^2-6x+9因此，将x^2-6x+9分解为(x-3)^2的形式。

例3：分解因式4x^2-4x+1根据完全平方公式分解因式的公式，设分解为(mx+n)^2+rx+s，那么有：mx+n=2x-1将上式平方展开，可得：(mx+n)^2=(2x-1)^2=4x^2-4x+1因此，将4x^2-4x+1分解为(2x-1)^2的形式。

通过上述例子可以看出，对于一个二次多项式，其分解因式的关键在于找到合适的m，n，r，s的值，使得原二次多项式可以被分解为两个完全平方式相加的形式。

分解因式公式法---完全平方公式

12(a+b)+36 就是一个完全平方式。即
(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×(a+b)×6+62 m2 - 2 ×6 +62 解： (a+b)2-12(a+b)+36 ×m = (a+b)2-2×(a+b)×6+62 =(a+b-6)2
现在回头来看看我们上课时提出的问题，
快速口算
完全平方式 a2 2ab b2 (a b)2
左边：① 项数：共三项，即a、b两数的平方项
，a、b两数积的2倍。
② 次数：左边每一项的次数都是二次。
③ 符号：左边a、b两数的平方项必须同号。
右边：是a、b两数和（或差）的平方。
当a、b同号时，a2+2ab+b2=(a+b)2
当a、b异号时，a2-2ab+b2=(a-b)2
∴ 2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3
=7
考考你
(2)已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断△ABC的形状。温馨提示：将条件a2+2b2+c2-2b(a+c)=0变形为a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，左边与完全平方式十分相似。可将其奏成两个完全平方式的和，然后利用非负数性质就能解决问题了。
3、深刻理解
下列各式是不是完全平方式，为什么？是（1） x2-4x+4______________ 不是，缺乘积项（2） x2+16 _________________ 不是，缺乘积项的2倍（3 ） 9m2+3mn+n2_____________________ 不是，平方项异号（4）-y2-12xy+36x2 是 __________________ 不是，只有一个平方项 2 （5） -m +10mn-25n2______________ （6 ）

完全平方公式因式分解

灵活应用: 灵活应用:
(1)2006 − 6
2 2 2 2
2
(2)13 − 2 ×13 × 3 + 9 (3)11 + 39 + 66 ×13
小结
应用范围: 二次三项式. 应用范围二次三项式注意:(1)正确选取正确选取a,b. 注意正确选取 (2)公式分清公式分清. 公式分清 (3)在因式分解中 (3)在因式分解中，通常先观察在因式分解中，所给多项式是否有公因式，所给多项式是否有公因式，然后在考虑用公式。然后在考虑用公式。（4）二项式若有负号，要提出符号）二项式若有负号， (5)对于部分题目需要整理变形对于部分题目需要整理变形
注意: 注意
(1)正确选取正确选取a,b. 正确选取 (2)公式分清公式分清. 公式分清
分解因式
(1)3am + 3an + 6amn
2 2
(2) − a
2
− 4b + 4ab
2
2
(3) -8a(2a+b)-b
应用范围: 二次三项式. 应用范围二次三项式注意:(1)正确选取注意正确选取a,b. 正确选取 (2)公式分清公式分清. 公式分清 (3)在因式分解中，通常先观察在因式分解中，在因式分解中所给多项式是否有公因式，所给多项式是否有公因式，然后在考虑用公式。然后在考虑用公式。（4）二项式若有负号，要提出符号）二项式若有负号， (5)对于部分题目需要整理变形对于部分题目需要整理变形
2 就得到
a + 2ab + b = (a + b) 2 2 2 a − 2ab + b = (a − b )
a + 2ab+ b = (a+ b) 2 2 2 a − 2ab+ b = (a − b )

因式分解(公式法-完全平方公式)

1.阅读P169的思考，掌握能运用完全平方公式分解因式的多项式有什么特点；
2. 模仿例题完成P170练习1和2。
完全平方和--公式
完全平方差--公式
a 2ab b a b 2 2 2 a 2ab b a b
2 2 2
因式分解的完全平方公式—需要满足的条件：从项数看：都是有3项从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,
(2x y 3)
2
(1)已知9x2+mx+16是完全平方式,
则m= ±24 ____; (2)已知4x2-12xy+m是完全平方式,
9y2 则m=____.
(3) a3-8a2+16a
a(a-4)2
(4) 4x2(b-c) +y2(c-b) (b-c)(2x+y)(2x-y)
(5)-a2-10a -25
a b a2 + 2 · · + b2
解:(1)16x2+24x+9
=(4x)2+2· 3+32 4x·
=(4x+3)2.
例.分解因式：分解因式的步骤：
2+4xy–4y2.(1)有公因式的先提取公因式; –x
（1）
(2) 观察剩下的因式能否套用公式法即：–(x2-4xy+4y2) (二项式:平方差公式、三项式:完全平方公式) 再次分解。
因式分解：
(1)-a3b3+2a2b3-ab3 (2)9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2 (3)16x4-8x2＋1 (4)(y2 + x2 )2 - 4x2y2 (5)(a+b)2＋2(a+b)(a-b)＋(a-b)2

公式法因式分解

2 a2 6a 9 原式 x 32
3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
5 x2 1 x
4
原式
x
1 2
2
6 4a2 12ab 9b2 原式 2a 3b2
1. 因式分解 (1)9-a2-4ab-4b2 (2) 1+a2b2-a2-b2 (3) x2-4xy+4y2-5x+10y
（3）-3a+6a2-3a3 （4）4(a-b)3-9(a-b)
2.计算（1）13×9.98+5.6×99.8+310×0.998
（2）9992-9982 （3）172+26×17+132
2.计算：542 462 2 54 46
3.已知 x y 2, xy ，2 求
x2 y2 6xy 的值。
(2)25m2 80m 64
(3)a2 1 a
(4) 24xy x2 y2
(5)(a b)2 18(a b) 81
[例3]分解因式： (1)(x+4)2+2x(x+4)+x2
(2)a4-2a2b2+b4
(3)（x2+3x）2-（x-1）2 （4）-2an+1+2an- 1 an-1
2
练习. 2.分解因式：
(1)x2 y 4 y
(2) 3x3 12x2 y 12xy2 (3)3ax2 6axy 3ay2 (4)a4 8a2 16
(5)x3 4x2 4x
3、计算：8002-1600×798+7982
应用提高、拓展创新
1.把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？

因式分解完全平方公式

因式分解完全平方公式
本文旨在介绍因式分解完全平方公式，帮助读者更好地理解和应用该公式。

请注意，本文不包含真实姓名和引用。

1. 什么是完全平方公式？
完全平方公式是一种用于因式分解二次方程的方法。

对于形如ax^2 + bx + c的二次多项式，如果其可以被写成(a1x + b1)^2的形式，那么我们称其为完全平方形式。

在求解二次方程或进行因式分解时，可以利用完全平方公式进行简化和化简。

2. 完全平方公式的表达式
完全平方公式可以表示为：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。

3. 如何应用完全平方公式进行因式分解？
为了利用完全平方公式进行因式分解，我们需要先将二次多项式化简为完全平方形式。

考虑二次多项式x^2 + 6x + 9。

我们可以看出该多项式的第一项是x的平方，第二项是2倍于x的系数的乘积，第三项是常数项的平方。

我们可以将其写成(x + 3)^2的形式，进而完成因式分解。

4. 完全平方公式的应用领域
完全平方公式在数学中有广泛的应用。

它可以用于求解二次方程、因式分解多项式、简化复杂的数学表达式等。

在代数学、高等数学、物理学和工程学等领域中，都会涉及到使用完全平方公式简化和解决问题。

本文介绍了因式分解完全平方公式的概念、表达式和应用领域。

通过理解和掌握完全平方公式，读者可以更好地处理与二次方程相关的问题，并在数学和相关学科中取得更好的成绩和进展。

希望本文能对您的学习和应用有所帮助。

14.3.2公式法分解因式--完全平方公式---

= （m+n-3）2
通过解这两题，你得到什么启示？
第11页，共26页。
解例２可以发现：
在因式分解过程中，先把多项式化成符合完全平
方公式： a2±2ab+b2 ＝（a±b）2的形式，
然后再根据公式分解因式.公式中的a , b可以
是单项式，也可以是多项式. ；
第12页，共26页。
例3把下列多项式分解因式
2、若有公因式，应提取公因式，再用公
式法分解因式。
3、分解因式后的每个因式应为不能再分
解了。 4、分解因式时，要灵活采用方法
第14页，共26页。
请运用完全平方公式把下列各式分解因式：
1 x2 4x 4 原式 x 22
2 a2 6a 9
3 4a2 4a 1 原式 2a 12
4 9m2 6mn n2 原式 3m n2
第3页，共26页。
回忆完全平方公式
ab 2 a2 2abb2
ab 2 a2 2abb2
第4页，共26页。
下面的多项式能分解因式吗？
(1) a2＋2ab＋b2 (2) a2－2ab＋b2
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
乘法公式——完全平方公式：
3.分解因式一直到不能分解为止.所以分解后一定检查括号内是否能继续分解.
第2页，共26页。
我们前面学习了利用平方差公式来分解
因式即：
a2-b2=(a+b)(a-b)
例如：
4a2-9b2= (2a+3b)(2a-3b)
用平方差公式因式分解的多项式特征：
①有且只有两个平方项；
②两个平方项异号(一正一负)；

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15.4. 3公式法
--- 运用完全平方公式分解因式
教学目标
（1）在掌握了解因式分解意义的基础上，会运用完全平方公式对多项式进行因式分解.
（2）在运用公式法进行因式分解的同时培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.
（3）进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识. 教学重点与难点
重点：运用完全平方公式法进行因式分解.
难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.
教学设计
复习回顾：
完全平方公式：（0+。

）2=6?+2沥+屏，（ci—bf-a —2沥+。

2.
两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍。

探究思考：
你能将多项式W+2汕+疽与a^-2ab+b2分解因式吗?
这中个多项式有什么特点? （白+》）2=白2+2
a2+2ab+b2=(a+b)2a
—2ab+b2=(a —b)2
中间一沥+。

2,
（。

—A ）」。

?—2ab+b 1
.
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
建议：由于受到前面用平方差公式分解因式的影响，学生对于这两个多项式因式分解比较容易想到用完全平方公式，学生容易接受，教师要把重点放在研究公式的特征上来.
形如 a 1 + 2ab*b ，, a 2 -2ab + b 2的式了称为完全平方式.
议一议完全平方式的特点：
1、必须是二次三项式
2、其中首末两项分别是两个数（或两个整式）的平方,
项是两个数（或两个整式）的积的2倍（或-2倍）
曰诀：首平方，尾平方，积的2倍夹中央
注：可采用让学生自主讨论的方式进行教学，引导学生从多项式的项数、每项的特点、整个多项式的特点等几个方面进行研究.然后交流各自的体会.
例1、分解因式
（1）1 6X 2+24X +9 （2）-x 2+4xy-4y 2 ⑶ ^2+3xy + 9/ 注：训练学生运用完全平方公式分解因式，要尽可能地让学生说和做，引导学生把多项式与公式进行比较找出不同点，把多项式向公式的方向转化.
例2、分解因式
(2) (G+0)2-12 (o+Z?) +36
(1) 3 ax^+6 axy+3 ay2注：学生仔细观察多项式的特点，教师适当提醒和指导，要从公
课堂练习
(1) a 2-
6ab+9b 2(4)8x 2y-
24xy 2
+18/
式的形式和特点上进行比较.(可把心人看作一个整体，设
第2小题注意渗透换整体和换元的思想.
/ 、 r 1 (2) - 9/T72 + 6mn - n 2 ⑶厂+尤 +二 4 (5)(2%+)02 一6(2工 + y) + 9
拓展提高
例3、多项式:3+y)2.2(『y2)+3-y)2能用完全平方公式分解因式吗？分析:(x+y)2-2(x 2-y 2)4-(x-y)2=(x+y)2-2(x+y)(x-y)4-(x-y)2
符合完全平方式的形式，所以可以用完全平方公式分解因式。

此题旨在培养学生观察，比较和分析判断的能力。

例4、若9x 2+kxy+36y 2是完全平方式，则右。

分析:完全平方式形如：a 2±2ab -^b 2，即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
9x 2+Axy+36y 2=(3x)24-h:>,+(6y)2 kxy- ± 2・3x ・6y= ± 36xy
七±36
注意：k 值有两个，分正负两种情况，培养学生思维的严谨性. 练习：若齐(奸3)工+9是完全平方式，则妇 o
课堂小结：
完全平方公式的特点：
1、左边是一个二次三项式。

2、其中首末两项分别是两个数(或两个整式)的平方，这两项的符号相同；中间一项是两个数（或两个整式）的积的2倍，符号正负皆可。

3、右边是两个数（或两个整式）的和（或差）的平方。