17版：步步高归纳内容要点,概括中心意思

考点一荒漠化1．荒漠化的含义及表现(1)含义：发生在干旱、半干旱地区及一些半湿润地区的一种土地退化现象。

(2)主要表现：耕地退化、草地退化、林地退化而引起的土地沙漠化、石质荒漠化和次生盐渍化。

2．我国西北地区以干旱为主的自然特征(1)西北地区的东西差异(2)西北地区气候干旱的原因及体现(3)西北地区生态环境的脆弱性3．荒漠化的成因(1)自然因素①干旱的气候(基本条件)②疏松的沙质沉积物(物质基础)由于气候干旱，植被稀少，土壤发育差，地表多疏松的沙质沉积物，为荒漠化的发生提供了物质来源。

③大风日数多且集中(动力因素)接近亚洲高压中心，大风日数多，且集中在冬春干旱的季节，从而为风沙活动创造了有利条件。

④气候异常(重要影响因素)：持续干旱会加速荒漠化进程。

(2)人为因素人为原因大大加剧了荒漠化的发展，是导致荒漠化的主要原因。

①人口激增对生态环境的压力加大；②人类活动不当，对土地资源、水资源的过度使用和不合理利用。

具体如下表所示：不仅影响西北地区经济和社会的持续发展，且严重威胁到当地甚至其他地区人们的生存环境。

5．荒漠化防治的内容(1)预防潜在荒漠化的威胁。

(2)扭转正在发展中的荒漠化土地的退化。

(3)恢复荒漠化土地的生产力。

6．防治原则：坚持维护生态平衡与提高经济效益相结合，治山、治水、治碱(盐碱)、治沙相结合。

7．防治措施(1)合理利用水资源(2)(3)调节农、林、牧用地之间的关系①现有林地→作为防护林②绿洲边缘的荒地与绿洲之间的灌草地带→发展林业、牧业③已荒漠化的地方→退耕还林、退耕还牧(4)采取综合措施，多途径解决农牧区的能源问题(5)控制人口增长我国不同地区的荒漠化治理不同地区有不同的生产状况，形成不同的荒漠化问题，具体的分布特点、防治措施也不相同，针对我国西北地区的荒漠化，分析要点如下图所示：题组一荒漠化的形成1．(2014·新课标全国文综Ⅰ)阅读图文资料，完成下列要求。

下图所示区域海拔在4 500米以上，冬春季盛行西风，年平均大风(≥8级)日数157天，且多集中在10月至次年4月，青藏铁路在桑曲和巴索曲之间的路段风沙灾害较为严重，且主要为就地起沙，风沙流主要集中在近地面20厘米～30厘米高度范围内。

步步高一轮复习知识点在进行步步高一轮的复习过程中，我们需要对各个学科的知识点进行全面的回顾和梳理。

本文将从数学、语文、英语和科学四个学科的知识点进行介绍和总结，帮助同学们更好地复习备考。

一、数学1. 数与代数- 整数、有理数与实数- 整式的加减乘除- 一元一次方程与一元一次不等式- 平方根与立方根- 幂与指数- 等式、不等式与方程理论2. 几何与图形- 平面图形的认识与性质- 三角形的认识与性质- 直角三角形与斜角三角形- 圆的认识与性质- 空间几何体的认识与性质3. 函数与图像- 函数的概念与性质- 一次函数与二次函数- 指数与对数函数- 三角函数与反三角函数- 解析几何与坐标系二、语文1. 词汇与文言文- 常用词汇的理解与运用- 文言文篇章的解读与分析- 古代文化与典故的了解与应用 - 词语的辨析与短语的运用2. 语法与修辞- 词类与句法成分的认识- 语法规则的理解与应用- 修辞手法与修辞效果的分析 - 修辞语言的鉴赏与仿写- 文章的主旨与结构分析- 阅读材料的理解与推理- 写作思路与表达能力培养- 文章写作与修改技巧的掌握三、英语1. 词汇与语法- 基础词汇的记忆与扩充- 句型结构与语法规则的理解- 从句与状语从句的使用- 动词时态与语态的运用- 名词、代词和形容词的用法2. 阅读与听力- 阅读材料的理解与推理- 阅读策略的运用与技巧- 听力理解与口语表达能力的提升 - 阅读与听力训练的方法与实践- 写作思路与表达能力的培养- 文章结构与篇章逻辑的构建- 口语表达与演讲技巧的训练- 语法与词汇在写作与口语中的应用四、科学1. 数理化- 常见物理量及其单位- 物质的分类与性质- 常见化学反应与化学方程式- 酸碱与盐的性质及常见反应- 光的反射与折射规律2. 生物与地理- 生物的基本结构与功能- 生物的分类与进化- 生态系统及其相互关系- 地球的结构与地貌特征- 气候与气象现象的认识3. 科学与技术- 科学研究的方法与过程- 科学技术对社会发展的影响- 科学实验与观察的设计与分析- 科学与技术的伦理问题与思考- 创新思维与科学实践的培养通过对以上学科的知识点进行逐一回顾和总结，我们能够更好地备考步步高一轮复习。

第1讲地球仪与地图2地琛也.绎待丽及菇忙理甘*日卅瓦二的齐问、比例尺.常爪圈價和订记考点一地球仪与经纬网1 .地球的形状和大小由上图知：地球赤道半径略大于极半径，故其形状特点是：两极稍扁、赤道略鼓的椭球体。

2 .地球仪(1) 地轴：地球仪上，地球绕转的轴，其倾斜方向不变 -- 北端始终指向北极星。

_____ (2) 两极：地轴穿过地心，与地球表面相交的两点。

(3) 经线和纬线的特点所有经线长度都相等，长约 2万千米 所有经线都相交于南、北极点两条相对应的经线构成一个经线圈，将地球 平分为两个半球 纬线是大小不等的圆圈②纬线特点 赤道是最大的纬线圈，越往两极，纬线圈越小每条纬线与每条经线垂直相交知识整合知识回顾理清救财必修1第一醴地球9地图第1讲地球仪与地图【曲刑良示］1地珠的形状和丈小鬥|厅下兴平坤拜:b 357千末亦逋屮輕:h ：j ；H rx(4) 经度和纬度经度纬度北楼/?Z- -A \ A/ JX图示A V iA iJt _ 進 H划分从本初子午线向东、向西各分180° 从赤道向南、向北各分 90东经度的度数愈向东愈大，西经度北纬的度数愈向北愈大，南纬分布规律的度数愈向西愈大的度数愈向南愈大20° W 0°〜160°E 为东半球，以赤道为界，以北为北半球，划分半球160° E 〜180°〜20°W 为西半球以南为南半球①30°纬线是中、低纬度界线；60°纬线是中、高纬度界①本初子午线为东西经分界线。

特殊经纬度线。

②180°经线大致与日界线重合②回归线是热带、温带界线，极圈是温带、寒带界线■ ■方法技巧■经度和纬度的判断方法(1) 东西经的判断：顺地球自转方向数值逐渐增大的为东经，数值逐渐减小的为西经。

⑵ 南北纬的判断：数值自南向北逐渐增加的为北纬；数值自北向南逐渐增加的为南纬。

经过地球球心的一条直线与地表相交的两点互为对跖点。

潜在题型二内容要点概括题——浓缩的都是精华构建解答内容要点概括题的知识体系一、概括段(层)意概括段(层)意最基本的方法是划分层次，提取或概括关键信息，为此需要逐句逐层地细读。

对于几个段落的文意概括，既要注意段内的层次要点，又要注意段与段之间的关系。

如是并列、对照关系的，要把多个段落的意思有机结合；如是层进、转折关系的，要重在后者，又不能忽略前者；如是总分(分总)关系的，要抓住总说部分概括。

概括、归纳文意有以下三种常用的方法：(1)摘取法需要归纳的内容往往是段落中的重要词语和句子。

这些重要的词语往往嵌在主要语句中，重要的句子又常常出现在文或段的首或尾或中间。

归纳时需把这些词语或句子摘录出来。

(2)合并法把每层大意综合起来，加以概括，就是整篇文章或整个段落的主要内容。

(3)舍取法①需要归纳的内容，本身有主次之分，而命题人只要求概括回答其要点，故需要对次要信息和同类信息进行舍弃。

②文段中所说的内容复杂，而命题人只要求考生答某一方面，故需要对符合题干要求的信息进行提取。

边练边悟(2011·湖北)阅读下面的文字，完成文后题目。

赵树理很有幽默感。

赵树理的幽默和老舍的幽默不同。

老舍的幽默是市民式的幽默，赵树理的幽默是农民式的幽默。

他爱给他的小说里的人起外号：翻得高、糊涂涂……他写的散文中有一个国民党小军官爱训话，训话中爱用“所以”，而把“所以”联读成为“水”，于是农民听起来很奇怪：他干嘛老说“水”呀？他写的“催租吏”为了“显派”，戴了一副红玻璃的眼镜，眼镜度数不对，深一脚浅一脚地在农村的土路上走。

他抨击时事，也往往以幽默的语言出之。

有一个时期，很多作品对农村情况多粉饰夸张，他回乡住了一阵，回来作报告，说农村的情况不像许多作品描写得那样好，农民还很苦，城乡差别还很大，说，我这块表，在农村可以买五头毛驴，这是块“五驴表”！他因此受到批评。

(节选自《才子赵树理》) 1.请概括本段的主要内容。

答：________________________________________________________________________答案本段主要写赵树理“农民式的幽默”：他在作品中描写人物，现实中抨击时事，都以富有乡土气息的风趣语言出之。

鉴赏古诗的表达技巧Ⅰ掌握四类表达技巧的特点和效果鉴赏诗歌的表达技巧是指准确判断诗歌所运用的手法技巧，并赏析其表达效果。

表达技巧是一个较宽泛的概念，主要包括修辞手法、表达方式、表现手法和结构技巧(艺术构思)四大部分。

一、全面掌握14种修辞手法请说出下列诗句所用的修辞手法。

(1)明月不谙离恨苦，斜光到晓穿朱户。

(拟人)(2)此情无计可消除，才下眉头，却上心头。

(拟物、夸张)(3)终岁不闻丝竹声。

(借代)(4)忽如一夜春风来，千树万树梨花开。

(比喻、夸张)(5)君不见高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪。

(比喻、夸张)(6)座中泣下谁最多？江州司马青衫湿。

(设问、借代)(7)春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干。

(对偶、双关)(8)主人下马客在船。

(互文)精要点拨《考试说明》规定常见的修辞手法为：比喻、比拟(拟人、拟物)、借代、夸张、对偶、排比、反复、设问、反问。

另有古典诗歌常用的修辞手法，如对比、顶真、互文、双关等。

对于修辞手法的鉴赏，就是要明确辨识和判断修辞手法是什么，掌握和了解各种修辞手法的特点，分析和评价它们对于塑造形象、表达情感和体现主旨的作用。

二、重点掌握两种表达方式：描写、抒情表达方式主要指记叙、描写、议论、抒情，其中最主要的是描写和抒情。

这两种表达方式与表现手法有交叉、重合之处。

(一)描写描写从对象上看主要有景物描写和人物描写，考查的重点是景物描写。

描写讲究角度：远景与近景，俯瞰与仰视等。

讲究方法：多种感官结合，如常见的视听结合，从味觉、触觉入手等。

讲究手法：正侧结合、动静结合、虚实结合、声色结合、明暗结合、点面结合、白描工笔、细节描写等。

“虚实结合”放在“表现手法”中讲，这里重点谈谈正侧结合、动静结合、细节描写三种技巧。

1．正侧结合阅读下面这首唐诗，然后回答问题。

听蜀僧濬弹琴李白蜀僧抱绿绮①，西下峨眉峰。

为我一挥手，如听万壑松。

客心洗流水②，馀响入霜钟③。

不觉碧山暮，秋云暗几重。

注①绿绮：古代名琴。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.3 数学归纳法 理数学归纳法一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，有数学归纳法公理： (1)如果当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1,2等)时结论正确；(2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时命题也正确． 那么，命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立．( × ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( × ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( × )(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ )(6)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.( √ )1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等式左边的项是__________． 答案 1＋a ＋a 22．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n ＝________.答案 3解析 凸n 边形边数最小时是三角形， 故第一步检验n ＝3.3．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n2，则下列说法正确的有________．①f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13；②f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14；③f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13；④f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14.答案 ④4．设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，则S n ＋1－S n ＝____________________________.答案12n＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n 解析 ∵S n ＋1＝1＋12＋…＋12n ＋12n ＋1＋…＋12n ＋2n ，S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，∴S n ＋1－S n ＝12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n .5．(教材改编)已知{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *，且a 1＝2，则a 2＝________，a 3＝________，a 4＝________，猜想a n ＝________.答案 3 4 5 n ＋1题型一 用数学归纳法证明等式 例1 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n 2n ＋2 ＝n 4 n ＋1 (n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时， 左边＝12×1× 2×1＋2 ＝18，右边＝14 1＋1 ＝18，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k 2k ＋2 ＝k 4 k ＋1，则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k 2k ＋2 ＋12 k ＋1 [2 k ＋1 ＋2]＝k 4 k ＋1 ＋14 k ＋1 k ＋2 ＝k k ＋2 ＋14 k ＋1 k ＋2＝ k ＋1 24 k ＋1 k ＋2 ＝k ＋14 k ＋2 ＝k ＋14 k ＋1＋1 . 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n ∈N *等式恒成立． 思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时等式成立．(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k·1·3·5·…·(2k －1)， 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1) ＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)·2 ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)，所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 由(1)(2)可知，对所有n ∈N *等式成立． 题型二 用数学归纳法证明不等式例2 已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈[14，12]时，f (x )≥18.(1)求a 的值；(2)设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，证明：a n <1n ＋1.(1)解 由题意，知f (x )＝ax －32x 2＝－32(x －a 3)2＋a26.又f (x )max ≤16，所以f (a 3)＝a 26≤16.所以a 2≤1.又x ∈[14，12]时，f (x )≥18，所以⎩⎪⎨⎪⎧f 12 ≥18，f 14 ≥18，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－38≥18，a 4－332≥18，解得a ≥1.又因为a 2≤1，所以a ＝1. (2)证明 用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，0<a 1<12，显然结论成立．因为当x ∈(0，12)时，0<f (x )≤16，所以0<a 2＝f (a 1)≤16<13.故n ＝2时，原不等式也成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式0<a k <1k ＋1成立． 由(1)知a ＝1，f (x )＝x －32x 2，因为f (x )＝x －32x 2的对称轴为直线x ＝13，所以当x ∈(0，13]时，f (x )为增函数．所以由0<a k <1k ＋1≤13，得0<f (a k )<f (1k ＋1)． 于是，0<a k ＋1＝f (a k )<1k ＋1－32·1 k ＋1 2＋1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42 k ＋1 2k ＋2 <1k ＋2. 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立． 根据①②，知对任何n ∈N *，不等式a n <1n ＋1成立． 思维升华 (1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，在归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．(2014·陕西)设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N *，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 解 由题设得，g (x )＝x1＋x(x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x1＋x，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x1＋x 1＋x1＋x＝x1＋2x，g 3(x )＝x1＋3x，…，可猜想g n (x )＝x1＋nx. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立， 即g k (x )＝x1＋kx.那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k x 1＋g k x ＝x1＋kx 1＋x 1＋kx＝x 1＋ k ＋1 x，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N *成立．(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a 1＋x 2＝x ＋1－a1＋x2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增． 又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )≤0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， ∴ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立，综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，n －f (n )＝n －ln(n ＋1)，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)． 证明如下：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x ，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N *，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋1k ＋2<ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N *成立． 题型三 归纳—猜想—证明 命题点1 与函数关系式有关的证明例3 已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n ，n ∈N *.猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论．解 由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n ，得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321，由x 2>x 4>x 6猜想：数列{x 2n }是递减数列． 下面用数学归纳法证明： (1)当n ＝1时，已证命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2， 易知x k >0，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋11＋x 2k ＋1 1＋x 2k ＋3＝11＋x 2k ＋2－11＋x 2k1＋x 2k ＋1 1＋x 2k ＋3 ＝x 2k －x 2k ＋21＋x 2k 1＋x 2k ＋1 1＋x 2k ＋2 1＋x 2k ＋3>0，即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2.所以当n ＝k ＋1时命题也成立．结合(1)(2)知，对于任何n ∈N *命题成立．命题点2 与数列通项公式、前n 项和公式有关的证明例4 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性． (1)解 当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0.∴a 1＝3－1(a n >0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a n >0)． 同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明 ①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1. 由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k， 将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理得a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，解得：a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(a n >0)． 即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立．由①和②可知，对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立． 命题点3 存在性问题的证明例5 (2014·重庆)设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 解 (1)方法一 a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而数列{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． 方法二 a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1. 因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式： 当n ＝1时结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1， 则a k ＋1＝ a k －1 2＋1＋1＝ k －1 ＋1＋1 ＝ k ＋1 －1＋1. 所以当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一 设f (x )＝ x －1 2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝ c －1 2＋1－1， 解得c ＝14.下面用数学归纳法证明加强命题：a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2. 再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1. 因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.方法二 设f (x )＝ x －1 2＋1－1， 则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)．① 当n ＝1时，结论显然成立． 假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1， 即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)．②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1， 有a 2<a 3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立， 所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1， 即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2， 因此a 2n <14.③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数， 得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2， 所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1. 解得a 2n ＋1>14.④综上，由②③④知存在c ＝14使得a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．思维升华 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．(1)(2015·江苏)已知集合X ＝{1,2,3}，Y n ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *)，设S n ＝{(a ，b )|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，b ∈Y n }，令f (n )表示集合S n 所含元素的个数．①写出f (6)的值；②当n ≥6时，写出f (n )的表达式，并用数学归纳法证明．(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1 (n ∈N *)． ①求a 1，a 2；②猜想数列{S n }的通项公式，并给出证明．解 (1)①Y 6＝{1,2,3,4,5,6}，S 6中的元素(a ，b )满足： 若a ＝1，则b ＝1,2,3,4,5,6；若a ＝2，则b ＝1,2,4,6； 若a ＝3，则b ＝1,3,6.所以f (6)＝13. ②当n ≥6时，f (n )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n 3，n ＝6t ，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －13，n ＝6t ＋1，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －23，n ＝6t ＋2，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n 3，n ＝6t ＋3，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋n －13，n ＝6t ＋4，n ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12＋n －23，n ＝6t ＋5.(t ∈N *)．下面用数学归纳法证明：ⅰ.当n ＝6时，f (6)＝6＋2＋62＋63＝13，结论成立；ⅱ.假设n ＝k (k ≥6)时结论成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1在S k 的基础上新增加的元素在(1，k ＋1)，(2，k ＋1)，(3，k ＋1)中产生，分以下情形讨论： 1)若k ＋1＝6t ，则k ＝6(t －1)＋5，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋3＝k ＋2＋k －12＋k －23＋3＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋13，结论成立；2)若k ＋1＝6t ＋1，则k ＝6t ，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k3＋1＝(k ＋1)＋2＋ k ＋1 －12＋ k ＋1 －13，结论成立；3)若k ＋1＝6t ＋2，则k ＝6t ＋1，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k －13＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋1 －23，结论成立；4)若k ＋1＝6t ＋3，则k ＝6t ＋2，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k 2＋k －23＋2＝(k ＋1)＋2＋ k ＋1 －12＋k ＋13，结论成立；5)若k ＋1＝6t ＋4，则k ＝6t ＋3，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋2＝k ＋2＋k －12＋k3＋2＝(k ＋1)＋2＋k ＋12＋k ＋1 －13，结论成立；6)若k ＋1＝6t ＋5，则k ＝6t ＋4，此时有f (k ＋1)＝f (k )＋1＝k ＋2＋k 2＋k －13＋1＝(k ＋1)＋2＋ k ＋1 －12＋ k ＋1 －23，结论成立．综上所述，结论对满足n ≥6的自然数n 均成立．(2)①当n ＝1时，方程x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，∴(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0， 解得a 1＝12.当n ＝2时，方程x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 1＋a 2－1＝a 2－12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－122－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12－a 2＝0，解得a 2＝16. ②由题意知(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式整理得S n S n －1－2S n ＋1＝0，解得S n ＝12－S n －1.由①得S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23.猜想S n ＝nn ＋1(n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明这个结论． 1)当n ＝1时，结论成立．2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时结论成立，即S k ＝kk ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12－S k＝12－kk ＋1＝k ＋1k ＋2＝k ＋1k ＋1 ＋1，即当n ＝k ＋1时结论成立． 由1)2)知S n ＝nn ＋1对任意的正整数n 都成立．9．归纳—猜想—证明问题典例 (14分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)证明(1)中的猜想．思维点拨 (1)由S 1＝a 1算出a 1；由a n ＝S n －S n －1算出a 2，a 3，a 4，观察所得数值的特征猜出通项公式．(2)用数学归纳法证明． 规范解答(1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.[3分]由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．[5分](2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．[6分] ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝2k－12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k＝2＋a k －a k ＋1， ∴2a k ＋1＝2＋a k .[10分]∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k. ∴当n ＝k ＋1时，结论成立．[13分] 由①②知猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)成立．[14分]归纳—猜想—证明问题的一般步骤第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论． 第二步：验证一般结论对第一个值n 0(n 0∈N *)成立．第三步：假设n ＝k (k ≥n 0)时结论成立，证明当n ＝k ＋1时结论也成立． 第四步：下结论，由上可知结论对任意n ≥n 0，n ∈N *成立．温馨提醒 解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难．(2)证明n ＝k 到n ＝k ＋1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法．(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证．另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题．[方法与技巧]1．数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础． 2．归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n ＝k ＋1时，必须用上归纳假设． 3．利用归纳假设的技巧在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用． [失误与防范]1．数学归纳法证题时初始值n 0不一定是1；2．推证n ＝k ＋1时一定要用上n ＝k 时的假设，否则不是数学归纳法．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．用数学归纳法证明2n>2n ＋1，n 的第一个取值应是_________________________． 答案 3解析 ∵n ＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n ＋1不成立；n ＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n >2n ＋1不成立； n ＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n >2n ＋1成立．∴n 的第一个取值应是3.2．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764 (n ∈N *)成立，其初始值至少应取________． 答案 8解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.3．数列{a n }中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是________． 答案 n 2解析 计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜a n ＝n 2.4．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时， k ＋1 2＋ k ＋1 ＝k 2＋3k ＋2< k 2＋3k ＋2 ＋ k ＋2 ＝ k ＋2 2＝(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法________(填序号)． ①过程全部正确； ②n ＝1验得不正确； ③归纳假设不正确；④从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确．答案 ④解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．5．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是________． 答案 2(2k ＋1)解析 当n ＝k (k ∈N *)时，左式为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )；当n ＝k ＋1时，左式为(k ＋1＋1)·(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )·(k ＋1＋k ＋1)，则左边应增乘的式子是 2k ＋1 2k ＋2 k ＋1＝2(2k ＋1)．6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝__________.答案nn ＋1解析 由(S 1－1)2＝S 1·S 1，得S 1＝12，由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23，依次得S 3＝34，S 4＝45，猜想S n ＝nn ＋1.7．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)”时，由n ＝k (k >1)不等式成立，推理n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是________． 答案 2k解析 当n ＝k 时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1<k ；当n ＝k ＋1时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1<k ＋1.左边增加了2k项．8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则其一般结论为______________________． 答案 f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)解析 因为f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n)>n ＋22.故填f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)．9．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n (n ∈N *)，且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． (1)解 由题意得a 1＝1，b 1＝－1，b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13，∴P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13. ∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)证明 ①当n ＝1时， 2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k1－4a 2k·(2a k ＋1)＝b k1－2a k ＝1－2a k1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝1也成立．由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 都在直线l 上．B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)10．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是________． ①若f (1)<1成立，则f (10)<100成立； ②若f (2)<4成立，则f (1)≥1成立；③若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立； ④若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立． 答案 ④解析 ∵f (k )≥k 2成立时，f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立，∴f (4)≥16时，有f (5)≥52，f (6)≥62，…，f (k )≥k 2成立．11．设平面上n 个圆周最多把平面分成f (n )片(平面区域)，则f (2)＝________，f (n )＝________.(n ≥1，n ∈N *) 答案 4 n 2－n ＋2解析 易知2个圆周最多把平面分成4片；n 个圆周最多把平面分成f (n )片，再放入第n ＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n ＋1个应与前面n 个都相交且交点均不同，有n 条公共弦，其端点把第n ＋1个圆周分成2n 段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f (n ＋1)＝f (n )＋2n (n ≥1)，所以f (n )－f (1)＝n (n －1)，而f (1)＝2，从而f (n )＝n 2－n ＋2. 12．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n >4时，f (n )＝________(用n 表示)．答案 5 12(n ＋1)(n －2) (n ≥3)解析 f (3)＝2，f (4)＝f (3)＋3＝2＋3＝5，f (n )＝f (3)＋3＋4＋…＋(n －1)＝2＋3＋4＋…＋(n －1) ＝12(n ＋1)(n －2) (n ≥3)． 13．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *.(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明． 解 (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1， 所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)．(2)由(1)，猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立， ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立，即 1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k2. 那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1 k ＋1 3<32－12k 2＋1 k ＋13.因为12 k ＋1 2－[12k 2－1k ＋1 3]＝k ＋32 k ＋1 3－12k 2＝－3k －12 k ＋1 3k2<0，所以f (k ＋1)<32－12 k ＋12＝g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立． 14．已知数列{a n }满足a 1＝a 2＝a 3＝k ，a n ＋1＝k ＋a n a n －1a n －2(n ≥3，n ∈N *)，其中k >0，数列{b n }满足b n ＝a n ＋a n ＋2a n ＋1(n ＝1,2,3,4，…) (1)求b 1，b 2，b 3，b 4； (2)求数列{b n }的通项公式；(3)是否存在正数k ，使得数列{a n }的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k .解 (1)经过计算可知：a 4＝k ＋1，a 5＝k ＋2，a 6＝k ＋4＋2k.求得b 1＝b 3＝2，b 2＝b 4＝2k ＋1k.(2)由条件可知：a n ＋1a n －2＝k ＋a n a n －1.①类似地有：a n ＋2a n －1＝k ＋a n ＋1a n .② ①－②有：a n ＋a n ＋2a n ＋1＝a n －2＋a na n －1， 即b n ＝b n －2.所以b 2n －1＝b 2n －3＝…＝b 1＝a 1＋a 3a 2＝2， b 2n ＝b 2n －2＝…＝b 2＝a 2＋a 4a 3＝2k ＋1k，所以b n ＝4k ＋12k ＋ －1 n2k(n ∈N *，k >0)．(3)假设存在正数k ，使得数列{a n }的每一项均为整数，则由(2)可知：⎩⎪⎨⎪⎧a 2n ＋1＝2a 2n －a 2n －1，a 2n ＋2＝2k ＋1k a 2n ＋1－a 2n ，③由a 1＝k ∈Z ，a 6＝k ＋4＋2k∈Z 可知k ＝1,2. 当k ＝1时，2k ＋1k＝3为整数，利用a 1，a 2，a 3∈Z ，结合③式，反复递推，可知{a n }的每一项均为整数，当k ＝2时， ③变为⎩⎪⎨⎪⎧a 2n ＋1＝2a 2n －a 2n －1，a 2n ＋2＝52a 2n ＋1－a 2n .④我们用数学归纳法证明a 2n －1为偶数，a 2n 为整数，n ＝1时，结论显然成立，假设n ＝k 时结论成立，这时a 2k －1为偶数，a 2k 为整数，故a 2k ＋1＝2a 2k－a 2k －1为偶数，a 2k －2为整数，所以n ＝k ＋1时，命题成立， 故数列{a n }是整数列，综上所述，k 的取值集合是{1,2}．。