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线性泛函数知识点总结一、线性泛函数的基本概念1.1 线性泛函数的定义线性泛函数是指一个将向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的函数，且满足线性性质。
设V和W是两个向量空间，如果一个函数T:V→W满足以下两个条件：1) 对于任意的向量x,y∈V，有T(x+y)=T(x)+T(y)；2) 对于任意的向量x∈V和标量a，有T(ax)=aT(x)；则函数T被称为V到W的线性泛函数。
1.2 线性泛函数的例子下面我们举几个线性泛函数的例子，以便更好地理解这个概念。
例1：设V是实数域上的n维向量空间，W是实数域上的m维向量空间，定义一个函数T:V→W，使得对于任意的向量x=(x1,x2,...,xn)∈V，有T(x)=(x1^2,x2^2,...,xn^2)∈W。
显然，函数T满足线性性质，因此它是一个线性泛函数。
例2：设V是实数域上的3维向量空间，W是实数域上的2维向量空间，定义一个函数T:V→W，使得对于任意的向量x=(x1,x2,x3)∈V，有T(x)=(x1+x2,x2+x3)∈W。
同样地，函数T也满足线性性质，因此它也是一个线性泛函数。
1.3 线性泛函数的表示线性泛函数可以用矩阵来表示。
设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{e1,e2,...,en}和{f1,f2,...,fm}，则对于任意的向量x=(x1,x2,...,xn)∈V，有其在基{e1,e2,...,en}下的表达式为x=x1e1+x2e2+...+xnen，而对于任意的向量y=(y1,y2,...,ym)∈W，有其在基{f1,f2,...,fm}下的表达式为y=y1f1+y2f2+...+ymfm。
定义一个线性泛函数T:V→W，使得对于任意的向量x∈V，有T(x)=y∈W，则T的矩阵表示为一个m×n的矩阵A，其中A的第i列为T(ei)在基{f1,f2,...,fm}下的坐标表示，即A=[T(e1)|T(e2)|...|T(en)]。
第四章 习题课基本内容1．线性有界泛函:f D X ⊂→∧满足()()()f x y f x f y αβαβ+=+，线性． 若x D ∀∈，|()|||||f x M x ≤．——称f 有界． 2．线性有界泛函的范数 |()|||||sup||||x f x f x θ≠=． ||||1||||1||||sup |()|sup |()|x x f f x f x ≤===．共轭空间（Banach 空间）*()n n R R =，*()p q l l =，*([,])p q L a b L =，*H H =． 基本定理：①延括定理：G X ⊂是线性子空间，:f G X ⊂→∧是线性有界泛函，则*F X ∃∈，使（ⅰ）当x G ∈时，()()F x f x =； （ⅱ）||||||||X G F f =． ②两个推论：（Ⅰ）（Hahn —Banach 定理）设X l.n.s ，0x X ∀∈，0x θ≠，则*f X ∃∈，||||1f =，00()||||f x x =．（Ⅱ）设X l.n.s ，G X ⊂是线性子空间，0x X ∈，0(,)0d x G >，则*f X ∃∈，满足（ⅰ）x G ∀∈，()0f x =；（ⅱ）0()f x d =； （ⅲ）||||1f =． 3．线性有界算子1X ，2X ——l.n.s ，1D X ⊂线性子空间，2:T D X ⊂满足 ()()()T x y T x T y αβαβ+=+．4．线性有界算子，算子范数． 5．基本定理引理：（开映射原理）：若1X ，2X 是Banach 空间，12()T B X X ∈→，且2()R T X =，则T 为开映射．① 逆算子定理：设1X ，2X 都是Banach 空间，12:T X X →满射，可逆的线性有界算子，则T 的逆算子1T -是有界算子．② 闭图像定理：设1X ，2X 都是Banach 空间，12:()T D T X X ⊂→是闭算子，其中()D T 是1X 的闭子空间，则T 是线性有界算子．③ 共鸣定理：设1X 是Banach 空间，2X 是l.n.s.{|}i X i A ∈是一族12X X →的线性有界算子，则{|||||}i T i A ∈有界1x X ⇔∀∈，{|||||}i T x i A ∈有界．6．强收敛与弱收敛① l.n.s 中的点列的强、弱收敛．（ⅰ）若||||0n x x →→，称{}n x 强收敛于x ，记为n x x →； （ⅱ）若*f X ∀∈，|()()|0n f x f x -→，称*n x x →（弱收敛）． ② 有限维空间中，强弱收敛等价． ③ 弱收敛的判别（等价条件）*n x x →⇔（ⅰ）{||||}n X 有界；（ⅱ）**M X ∃⊂（稠密），使*f M ∀∈，0|()()|0n f x f x -→．④ 算子列的各种收敛性：（ⅰ）一致收敛：||||0n T T -→； （ⅱ）强收敛：||||0n T x Tx -→；（ⅲ）弱收敛：||()()||0n f T x f Tx -→，*2f X ∀∈，1x X ∈． 特别泛函列n f ：（ⅰ）强收敛：||||0n f f -→（对应一致收敛）；（ⅱ）弱*收敛：||()()||0n f x f x -→（对应算子列强收敛）．7．共轭算子设1X ，2X 是同一数域∧上的l.n.s.12()T B X X ∈→， ***21:T X X →，如果对任何1x X ∈，*2f X ∈，都有*()()()T f x f Tx = 或 *(,)(,)x T f Tx f =成立，就称*T 是T 的共轭算子（也称伴随算子）．共轭算子的范数：定理（共轭算子的范数）：设12()T B X X ∈→，*T 是T 的共轭算子，则*T 是**21X X →的线性有界算子，且有*||||||||T T =．定理（共轭算子的性质）： （1）**()aT aT =； （2）***2112()T T T T ⋅=⋅； （3）***1212()T T T T +=+；（4）12:I X X →,则***12:I X X →． 8．自共轭算子H 是Hilbert 空间，若,x y H ∀∈，(,)(,)Tx y x Ty =．T ——自共轭算子． Th ．（自共轭算子的充要条件）：H 是复的Hilbert 空间，T 为自共轭算子x H ⇔∀∈，(,)Tx x 为实数．性质：（1）特征值为实数；T 1X *1X *T 2X *2X（2）不同特征值的特征向量正交．投影算子：0Px x =.（0x x z =+，0x M ∈，z M ⊥∈）．举 例例1．设21,X X 是s n l ..，)(21X X T →∈，则T X X B T ⇔→∈)(21应某个内部非空的有界集为有界集。
《应用泛函分析》前四章重点复习大纲1第1章预备知识1.1集合的一般知识1.1.1概念、集合的运算上限集、上极限下限集、下极限1.1.2映射与逆映射1.1.3可列集可列集集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构1.2.1建立实数的原则及实数的序关系阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理上确界sup E（定义1.5）下确界inf E确界原理（定理1.7）1.2.3实数集的度量结构数列极限与函数极限单调有界原理区间套定理Bolzano-Weierstrass定理Heine-Bore定理Cauchy收敛准则1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛逐点收敛（定义1.11）一致收敛（定义1.12）Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质极限与积分可交换次序1.4 Lebesgue积分1.4.1一维点集的测度开集、闭集有界开集、闭集的测度m G m F外测度内测度可测集（定义1.16）1.4.2可测函数简单函数（定义1.18）零测度集按测度收敛1.4.3 Lebesgue积分有界可测集上的Lebesgue积分Levi引理Lebesgue控制收敛定理（性质1.9）R可积、L可积1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理1.5 空间Lp空间（定义1.28）Holder不等式Minkowski不等式（性质1.16）2第2章度量空间与赋范线性空间2.1度量空间的基本概念2.1.1距离空间度量函数度量空间（X，ρ）2.1.2距离空间中点列的收敛性点列一致收敛按度量收敛2.2度量空间中的开、闭集与连续映射2.2.1度量空间中的开集、闭集开球、闭球内点、外点、边界点、聚点开集、闭集2.2.2度量空间上的连续映射度量空间中的连续映射（定义2.7）同胚映射2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性2.3.1度量空间的可分性稠密子集（定义2.9）可分性2.3.2度量空间的完备性度量空间中Cauchy列（定义2.11）完备性完备子空间距离空间中的闭球套定理（定理2.9）闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性列紧集、紧集（定义2.13）全有界集2.4 Banach压缩映射原理压缩映像不动点Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用隐函数存在性定理（例2.31）2.5 线性空间2.5.1线性空间的定义线性空间（定义2.17）维数与基、直和2.5.2线性算子与线性泛函线性算子线性泛函（定义2.18）零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间2.6.1赋范线性空间的定义及例子赋范线性空间Banach空间（定义2.20）2.6.2赋范线性空间的性质收敛性——一致收敛绝对收敛连续性与有界性2.6.3有限维赋范线性空间N维实赋范线性空间3Riesz定理（引理2.2）第3章连续线性算子与连续线性泛函3.1连续线性算子与有界线性算子算子、线性算子、泛函、线性泛函线性算子连续←→有界有解线性算子的范数（定义3.3）有界线性算子空间L(X, Y)L(X, Y)的完备性3.2共鸣定理及其应用有界线性算子列的一致收敛、强收敛稀疏集、第一纲Baire纲定理算子列的一致有界原理（定理3.8）算子范数的有界→强收敛3.3 Hahn-Banach定理次可加正齐次泛函Hahn-Banach定理（定理3.12）Banach保范延拓定理（定理3.14）3.4共轭空间与共轭算子3.4.1共轭空间共轭空间（注定理3.6 p.93）嵌入子空间、等距同构（定义3.7）自反空间（定义3.8）嵌入算子（定理3.15）弱收敛点列（定义3.9）共轭空间上泛函的收敛（定义3.10）线性算子列弱收敛3.4.2共轭算子共轭算子（定义3.12）共轭算子的性质3.5开映射、逆算子及闭图像定理逆算子的有界性开映射Banach开映射定理Banach逆算子定理乘积赋范线性空间闭图像闭算子闭图像定理→算子连续3.6算子谱理论简介复Banach 空间线性算子的正则点谱点：特征值、连续谱、剩余谱正则集——开集谱——有界闭集谱半径（定义3.17）全连续算子（定义3.18）Riesz-Schauder定理4第4章内积空间4.1基本概念内积空间Schwaraz不等式内积空间 Hilbert空间4.2内积空间中元素的直交与直交分解4.2.1直交及其性质直交、直交补（定义4.2）直交投影最佳逼近元极小化向量定理（定理4.2）4.2.2投影定理投影定理（定理4.3）直交分解4.3直交系标准直交系元素x 关于的Fourier级数（定义4.6）Bessel不等式（定理4.5）标准直交系是完全的（定义4.7）Parseval等式（定理4.7）Gram-Schmidt标准正交化法4.4 Hilbert空间上的有界线性泛函4.4.1 Riesz定理Riesz定理4.4.2Hilbert空间上的共轭算子共轭算子（定义4.8）共轭算子的性质4.5自共轭算子自共轭算子（定理4.13）4.6投影算子、正算子和酉算子投影算子（定义4.10）投影算子<->自共轭算子<->幂等算子（定理4.19）正算子（定义4.11）平方根算子（定理4.21）酉算子（定理4.22）。
泛函中三大定理的认识泛函中三大定理及其应用泛函分析科学体系的建立得益于20世纪初关于巴拿赫空间的三大基本定理，即Hahn-Banach 定理，共鸣定理和开映射、逆算子及闭图像定理。
其中：一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质；谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学数学描述中起核心作用；罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem ）研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。
另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的；开映射定理和闭图像定理。
1、Hahn-Banach 延拓定理定理：设G 为线性赋范空间X 的线性子空间，f 是G 上的任一线性有界泛函，则存在X 上的线性有界泛函F ，满足：(1) 当x G ∈时，()()F x f x =； (2) XGF f=；其中XF表示F 作为X 上的线性泛函时的范数；Gf 表示G 上的线性泛函的范数．延拓定理被应用于Riesz 定理、Liouville 定理的证明及二次共轭空间等的研究中．2、逆算子定理在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间．定义1逆算子(广义上)：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，G X ?，算子T ：G Y →，T 的定义域为()D T G =；值域为()R T ．用1T -表示从()()R T D T →的逆映射(蕴含T 是单射)，则称1T -为T 的逆算子(invertiable operator)．定义2正则算子：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若算子T ：()G X Y ?→满足(1)T 是可逆算子； (2) T 是满射，即()R T Y =； (3) 1T -是线性有界算子，则称T 为正则算子(normal operator)．注：①若T 是线性算子，1T -是线性算子吗？②若T 是线性有界算子，1T -是线性有界算子吗？性质1 若T ：()G X Y ?→是线性算子，则1T -是线性算子．证明：12,y y Y ∈，,αβ∈K ，由T 线性性知：1111212(())T T y y T y T y αβαβ---+--1111212()TT y y TT y TT y αβαβ---=+--1212()y y y y αβαβ=+--0=由于T 可逆，即T 不是零算子，于是1111212()T y y T y T y αβαβ---+=+，故1T -是线性算子．□定理2逆算子定理：设T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 上的双射(既单又满)、线性有界算子，则1T -是线性有界算子．例1 设线性赋范空间X 上有两个范数1?和2?，如果1(,)X ?和2(,)X ?均是Banach 空间，而且2?比1?强，那么范数1?和2?等价．(等价范数定理)证明：设I 是从由2(,)X ?到1(,)X ?上的恒等映射，由于范数2?比1?强，所以存在0M >，使得x X ?∈有112Ix x M x=≤于是I 是线性有界算子，加之I 既是单射又满射，因此根据逆算子定理知1I -是线性有界算子，即存在0M'>，使得x X ?∈有1212I xx M'x -=≤．故范数1?和2?等价。
浅谈Hahn-Banach 泛函延拓定理及其应用1 引言在函数论中，我们曾经考虑把一些函数从原来的定义域括充出去的问题，例如解析函数的解析开拓，在代数上有域的扩张等等.在泛函分析中，为了使得对于任意的线性空间E ，其上存在非零的有界线性泛函，其简化的方法自然使我们想到了前面所说的“延拓”的方法，既在E 内某一子空间上定义一个有界线性泛函，而且还能够使其延拓为整个E 上的有界线性泛函.引理 设f 是复赋范线性空间E 上的有界线性泛函，令))((Re )(E x x f x ∈=ϑ，则ϑ是E 上的有界实线性泛函.（注意：所谓实线性，是指可加性以及对任何实数α，有)()(x x αϑαϑ=且)()()(ix i x x f ϑϑ-=）2 Hahn-Banach 泛函延拓定理2.1 Hahn-Banach 泛函延拓定理的几种形式 定理1[1](168)P （赋范线性空间上的Hahn-Banach 泛函延拓定理）设G 是赋范线性空间E 的子空间，f 是定义在G 上的有界线性泛函，则f 可以延拓到整个E 上且保持范数不变，即存在定义在E 上的有界线性泛函0F ，使下列性质成立：（1）对任一x G ∈，有0()()F x f x =； （2）0GF f =.（这里Gf表示f 作为G 上的有界线性泛函的范数）定理2)136](2[P （实线性空间上的Hahn-Banach 泛函延拓定理）假设（1）E 是“实”线性空间，0E E ⊂是“实”线性子空间；（2）()p x 是E 上的“次加法、正齐性”泛函，0()f x 是定义在子空间0E 上的（实）线性泛函， 并且满足)()(0x p x f ≤)(0E ∈∀，那么，必定存在定义在整个空间E 上的（实）线性泛函()f x ，其满足：（ⅰ）0()()f x f x =，0x E ∀∈； （ⅱ）()(),f x p x x E ≤∀∈.(并且，称()f x 为0()f x 在全空间E 上的“延拓”)定理3[2](141142)P -（复线性空间上的Hahn-Banach 泛函延拓定理）假设 （1）E 是“复”线性空间，0E 是E 内一“复”线性子空间；（2）()p x 是E 上的“次加法、对称”泛函，0()f x 是定义在0E 上的线性泛函，并且满足条件0()()f x p x ≤0x E ∀∈.那么，存在一个定义在整个空间E 上的线性泛函()f x ，其满足：（ⅰ）0()()f x f x =，0x E ∀∈； （ⅱ）0()()f x p x ≤，E x ∈∀. 定理4[3](117)P （Hahn-Banach 定理的几何形式）设E 是实B *空间X 上以θ为内点的真凸子集，又设0x E ∉，则必存在一个超平面r fH 分离0x 与E .定理5)34](4[P （Hahn-Banach 定理的推广）设X 是实线性空间，p 是X 上的实值线性泛函，使得),()()(y p x p y x p +≤+且当0,()()p x p x ααα≥=.又设f 是子空间S 上的线性泛函，使得任意),()(,s p s f S s ≤∈再设F 是X 上的线性算子所成的Abel 半群（既12122,,T F T F TT T T F ∀∈∈=∈）使得当F T ∈时，任意),()(,x p Tx p X x ≤∈且对所有的),()(,s f Ts f S s =∈那么存在f 在X 上的延拓0F ，使得).())((),()(,000x F x T F x p x F X x =≤∈∀2.2 Hahn-Banach 定理的一些推论 推论1[1](168)P 设G 是赋范线性空间E 的子空间，0x E ∈，若00(,)inf 0,x Gx G x x ρδ∈=-=>则存在E 上的有界线性泛函f ，使01,()1f f x δ==.而对x G ∈，则有()0f x =.推论2[1](170)P 设G 是赋范线性空间E 的子空间，0x E ∈，若00(,)inf 0x Gx G x x ρδ∈=-=>则存在E 上的有界线性泛函1f ，使得1101,()f f x δ==，而对x G ∈，则有1()0f x =.推论3[1](171)P 设E 是赋范线性空间，且{}E θ≠，则对任一0x E ∈，0x θ≠，存在E 上的有界线性泛函f ，使得001,()f f x x ==.3 Hahn-Banach 泛函延拓定理的若干应用例1 设X =2R ，即X 是点),(21x x x =的全体，但规定21x x x +=，X 按此范数.成为赋范线性空间.又设)}0,{(10x X =，0f 是定义在0X 上的连续线性泛函:110))0,((x x f =. 证明 对任何数1<β，X 上的连续线性泛函2121)),((x x x x f β+=都是0f 的保范延拓.证明 显然0f 是0X 上的连续线性泛函，而且0111((,0))(,0)f x x x ==即01X f =.然而，对任何数β，X 上的连续线性泛函2121)),((x x x x f β+=都是0f 的延拓.由于),(),1max()),((21212121x x x x x x x x f βββ≤+≤+=并且1X f f ≥=所以只要1<β，f 都是0f 的保范延拓.例2 考察一切二维实向量),(21ξξ=x 按照范数21ξξ+=x 构成的巴拿赫空间.仍用2R 记这个空间并令G 为2R 中形如)0,(1ξ的向量构成的子空间.在G 上定义有界线性泛函f ：)()(1G x x f ∈=ξ再定义2R 上的有界线性泛函αF ：21212()((,))F x x R αξαξξξ=+=∈且1≥αF .证明 αF 是f 的延拓.证明 显然1=Gf.任取满足1≤α的数α，再由2R 上的有界线性泛函αF ：21212()((,))F x x R αξαξξξ=+=∈易见αF 是f 的延拓，且1≥αF ，又因1212()F x x αξαξξξ≤+≤+=故1≤αF ，于是1=αF .因此αF 是f 的延拓，且满足GfF =α.例3 赋范线性空间E 为一致凸的，是指对任给0>ε，存在0δ>，只要)1(==≥-y x y x ε就有δ-≤+2y x .证明(ⅰ) C[a ，b]不是一致凸的; (ⅱ) L[a ，b]，l 都不是一致凸的;(ⅲ) 在一致凸空间中，若 }{n x 弱收敛于X ，且x x n →，则}{n x 强收敛于X . 证 （ⅰ）在C[a ，b]中，取a b at t y t x --==)(,1)(，则 12=-=+==y x y x y x设10<<ε，则x y ε->，但)0(12>∀->+δδy x故C[a ，b]不是一致凸的.（ⅱ）在L[a ，b]中，取2)()(2)(,1)(a b a t t y a b t x --=-=则21,12=-=+==y x y x y x 设210<<ε，则ε>-y x ，但δ->+12y x ，)0(>∀δ，故L[a ，b]不是一致凸的. 在l 中，取20,,21<<==εe y e x ，则,2x y x y ε=-=>而11,(0)2x yδδ+=>-∀> 故也不是一致凸的.（ⅲ）证法1 设E 为一致凸空间，,,n n x E x E x x ω∈∈−−→，且x x n → 我们要证明x x n →(强收敛)，设不然，则存在00>ε及}{k n ，使0ε≥-x x k n不妨设1,0==≠x x x k n ，据一致凸性，存在0)(0>=εδδ，使δ-≤+12x x k n又根据Hahn-Banach 泛函延拓定理，存在f E *∈，使δ-≤+==1)2(,)(,1x x f x x f f k n但lim ()()12k n k x x f f x x →∞+===矛盾，故n x x −−→强. 证法2 不妨设...)2,1(1===n x x n 首先容易证明，若20()n x x n -+→→∞则)(0∞→→-n x x n现在x x x n 2−→−+ω，则 _____22lim lim lim 2n n n n n n x x x x x x x →∞→∞→∞=≤+≤+≤+=即)(2∞→→+n x x n故n x x −−→强． 例4 设}{n x 是巴拿赫空间E 中的一个点列，则对于每个*E f ∈，∑∞=1)(i i x f 收敛的充要条件是存在正数μ，使对一切自然数m 以及任意的1±=n ε，有με≤∑=mn nn x 1．证 必要性：令)1)(()(1±==∑=i mi i i x f f g εεα，则**g E ∈α，且∑=≤mi ii xg 1εα另一方面，据Hahn-Banach 泛函延拓定理，存在*F E ∈，使11(),1mmi i i ii i F x xF εε====∑∑所以11()()mmi i i ii i g F F x xαεε====∑∑∑==mi ii xg 1εα因为任意*E f ∈，∑∞=1)(i i x f 收敛，所以对任意的自然数m 以及任意的1±=n ε，有με≤∑=mn nn x 1.充分性：设对任意的自然数m 以及任意的1±=n ε（n=1，2…，m ），有με≤∑=mn nn x 1，*E f ∈ 我们取)(sgn n n x f =ε，并规定0)(=n x f 时，1=n ε，这里也设f 是实泛函，则f x f x f i mi i mi i με≤=∑∑==)()(11)(m ∀从而+∞<∑∞=1)(i n x f .例5 设))((∆∈δδx 是实数定向列.定义这些定向列的加法与数乘如下：如果)(),(δδy y x x ==，那么)(),(δδδααx x y x y x =+=+于是这些实数定向列（定向半序集∆固定）形成一个线性实空间E ，对于每个)(δx x =，令δδδδδδx x x p 00sup inf lim )(____>==易见)()()(y p x p y x p +≤+且当0≥α时，)()(x p x p αα= .由定理2，（从线性子空间}0{出发）知存在E 上的线性泛函0()lim f x x δδ=满足下列条件:δδδδδδx x x ____lim lim lim ≤≤由)()(x p x f ≤得出：因为)()(x p x f ≤，用x -代x ，)()(x p x f -≤-，或)()(x p x f --≥（δδx lim 称为Banach 极限）.例6 设M 为赋范线性空间E 的子空间，设0x 是M 中某个弱收敛点列的极限，则M x ∈0. 证 设M x ∉0，则0),(0>=M x d ρ，由Hahn-Banach 泛函延拓定理，必存在*E f ∈，使)(0)(,)(0M x x f d x f ∈∀==但由条件存在0,n n x M x x ω∈−−→，则 0lim ()()0n n f x f x →∞==矛盾，故M x ∈0.。
复习知识点一、概念(1线性有界算子空间(2)闭算子(与有界线性算子关系)(3)不动点(4)压缩映射(5)Cauchy列或者基本列；(6)度量空间或者距离空间；(7)完备的度量空间；(8)可分的度量空间(离散度量空间)；(9)稠密的定义；(10)列紧集，紧集(n R中紧集如何？)；(11)全有界集；(12)连续映射；(13)线性赋范空间；(14)内积空间；(15)线性独立系；(16)希尔伯特空间；(17)巴拿赫空间；(18)标准正交系；(19)完全标准正交系；(20)线性泛函，线性算子(21)线性连续，线性有界(22)傅立叶级数；(23)等价的范数(有限维空间)；(24)线性等距同构；(25)正交补；(26)共轭空间二、定理与结论(1)有界性与连续性* P82定理4.1.2；(2)Riesz表示定理* P89定理4.1.4；(3)线性算子有界性与连续性* P99定理4.3.2；(4)极限的性质P38定理2.1.1；(5)连续的充要条件P42定理2.1.5；(6)基本列的性质* P45定理2.2.3；(7)列紧集的性质P50定理2.3.1；(8)最大值最小值定理P51定理2.3.3；(9)全有界集的性质P52定理2.3.4；(10)闭球套定理P48定理2.2.6；(11)线性赋范空间极限* P59定理3.1.1；(12)范数等价的充要条件* P62定理3.2.2；(13)列紧充要条件P63定理3.2.4；(14)Schwarz不等式* P66引理3.3.1；(15)线性赋范空间成为内积空间的充要条件P67定理3.3.1；(16)勾股定理* P68定理3.3.2；(17)Banach不动点定理* P133定理5.1.1及推论5.1.1，5.1.2；(18)投影定理P69定理3.3.3；(19)正交化定理P71定理3.4.1；(20)最佳逼近定理* P73定理3.4.3；(21)傅立叶级数收敛的充要条件* P75定理3.4.5；(22)正交系完全的充要条件P75定理3.4.6；三、习题布置的作业考试命题基本原则基础题60分左右；中等题25分左右；稍难10分左右；综合5分左右。
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
哈恩巴拿赫延拓定理1. 引言哈恩巴拿赫延拓定理是泛函分析中的一个重要定理，其名字来源于数学家斯特凡·哈恩巴拿赫（Stefan Banach）和约瑟夫·延拓（Hans Hahn）。
该定理在泛函分析、函数空间和测度论等领域有着广泛的应用。
2. 定理表述哈恩巴拿赫延拓定理可以简要地表述为：给定一个实或复的巴拿赫空间X，以及X的闭子空间M，那么对于任意的线性连续泛函f∈M’（M’表示M的连续对偶），都可以找到一个X中的线性连续泛函F∈X’，使得F在M上的限制等于f。
3. 定理证明概述以下是关于哈恩巴拿赫延拓定理证明的概述：步骤1：构造F首先，我们需要构造一个函数F来满足所需条件。
定义集合A为所有满足以下条件的元素x：•x∈X•x在闭子空间M上有界•f(x) = F(x)，其中f∈M’，F∈X’步骤2：证明A是一个线性空间我们需要证明A是一个线性空间。
首先，我们可以证明A是一个子空间。
然后，我们还需要验证A对于加法和数乘运算封闭。
步骤3：证明F的连续性和有界性接下来，我们需要证明F是一个连续的线性泛函，并且存在某个常数M使得|F(x)|≤M对于所有x∈A成立。
这一步通常涉及到使用泛函分析中的一些基本定理和技巧。
步骤4：证明F在闭子空间M上的限制等于f最后，我们需要证明F在闭子空间M上的限制等于f。
也就是说，对于任意的x∈M，有F(x) = f(x)。
4. 应用领域哈恩巴拿赫延拓定理在泛函分析、函数空间和测度论等领域有着广泛的应用。
以下是一些常见应用领域：•函数空间中的逼近问题•拓扑向量空间中的极限问题•测度论中的积分问题•优化理论中的最优化问题5. 总结哈恩巴拿赫延拓定理是泛函分析中的一个重要定理，它给出了闭子空间上连续线性泛函的延拓方法。
通过构造一个满足特定条件的函数，我们可以得到一个在整个空间上连续的线性泛函。
该定理在许多领域都有着广泛的应用，为解决各种实际问题提供了有力的工具。
参考文献： - Rudin, W. (1991). Functional analysis. McGraw-Hill. - Conway, J. B. (1994). A course in functional analysis. Springer.以上是关于哈恩巴拿赫延拓定理的概述和证明步骤，以及其在应用领域中的重要性。
泛函分析曾远荣，我国泛函分析第一代数学家泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。
是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
主要内容有拓扑线性空间等。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
目录什么是泛函分析赋范线性空间1.概况2.希尔伯特空间3.巴拿赫空间主要结果和定理泛函分析与选择公理泛函分析的研究现状泛函分析的产生泛函分析的特点和内容图书信息1.内容简介2.图书目录图书信息什么是泛函分析赋范线性空间1.概况2.希尔伯特空间3.巴拿赫空间主要结果和定理泛函分析与选择公理泛函分析的研究现状泛函分析的产生泛函分析的特点和内容图书信息1.内容简介2.图书目录图书信息展开编辑本段什么是泛函分析泛函分析泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
编辑本段赋范线性空间概况 从现代观点来看，泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。
这类泛函分析空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，其上的范数由一个内积导出。
这类空间是量子力学数学描述的基础。
更一般的泛函分析也研究Fréchet空间和拓扑向量空间等没有定义范数的空间。
