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高二理科数学第页共8页12015—2016学年度第一学期高二年级期末统一考试理科数学试题（必修3、选修2-1）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）.考生作答时，将第Ⅰ卷的选择题答案填涂在答题卷的答题卡上（答题注意事项见答题卡），将第Ⅱ卷的必考题答在答题卷上.考试结束后，将答题卷交回.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列命题中，真命题是A．B． x ∈R,2x >x 20,0x x R e∃∈≤C．a ＋b ＝0的充要条件是＝－1D．a >1，b >1是ab >1的充分条件ab2.已知命题,则命题的否定是2:,210P x R x ∀∈+>P A. B.012,2≤+∈∀x R x 012,200≤+∈∃x R x C. D.012,2<+∈∀x R x 012,200<+∈∃x R x 3.下列事件中:①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；③实数a ,b 不都为0，但a 2＋b 2=0；④明年12月28日的最高气温高于今年12月10日的最高气温.其中为随机事件的是A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④4.若某公司从四位大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，这四人被录用的机会均等，则甲被录用的概率为高二理科数学第页共8页2A．B．C．D．415．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为A．11B．12C．13D．146.气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是A．本市明天将有70%的地区降雨B．本市明天将有70%的时间降雨C．明天出行带雨具的可能性很大D．明天出行不带雨具肯定要淋雨7.椭圆的左、右焦点分别为、,则椭圆上满足的点2212516x y +=1F 2F 21PF PF ⊥PA.有2个B.有4个C.不一定存在D.一定不存在8.某单位有老年人30人，中年人90人，青年人60人，为了调查他们的身体健康状况，采用分层抽样的方法从他们中间抽取一个容量为36的样本，则应抽取老年人的人数是A.5B.6C.7D.89．若直线：与曲线C ：恰好有一个公共点，则实数的值构成的l (1)1y a x =+-2y ax =a 集合为A.B. C. D.{}10-，4{2}5--，4{1}5--，4{10}5--，10.某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高一(1)班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是A ．2B ．3C ．4D ．5高二理科数学第页共8页311.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为C.D.453512．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲12F F 、线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆P 21F PF ∆1PF 110PF =与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是1e 2e 121e e +A．（1，）B．（，）C．（，）D．（，+）+∞43+∞65+∞109∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.在如图的程序框图中，输入n ＝60，按程序运行后输出的结果是.高二理科数学第页共8页414.已知命题，，命题，若命:[0,3]p x ∀∈2223a x x ≥-+-2:,40q x R x x a ∃∈++=题“”是真命题，则实数的范围为.p q ∧a 15.若抛物线上的点A （2，m ）到焦点的距离为6，则p =________.)0(22>=p px y 16.一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验来计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5001颗，正方形内切圆区域有豆3938颗，则他们所得的圆周率为________（保留三位有效数字）.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝AB ＝21CD ＝1，M 为PB 的中点．求直线CM 与平面ABCD 所成角的正弦值．18.(本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，其中左焦点．C )0(12222>>=+b a by a x 22)0,2(-F （Ⅰ）求椭圆的方程；C （Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在圆m x y +=C B A ,AB M 上，求的值．122=+y x m19.(本小题满分12分)如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在C1C上，且C1E＝3EC.(Ⅰ)证明A1C⊥平面BED；的余弦值．(Ⅱ)求二面角A1－DE－B5高二理科数学第页共8页高二理科数学第页共8页620.(本小题满分12分)某区四所高中进行高二期中联考，共有5000名学生参加，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机的抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：(Ⅰ)根据上面的频率分布表，推出①，②，③，④处的数字分别为，____，____，____，____；（Ⅱ）在所给的坐标系中画出上的频率分布直方图；[80,150]（Ⅲ）根据题中的信息估计总体：①120分及以上的学生人数；②成绩在[126,150]中的概率.分组频数频率[80,90）①②[90,100）0.050[100,110）0.200[110,120）360.300[120,130）0.275[130,140）12③[140,150]0.050合计④频率/组距21.(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(Ⅰ)从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m+2的概率.7高二理科数学第页共8页高二理科数学第页共8页822.(本小题满分12分)已知椭圆C ：的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为．)0(12222>>=+b a by a x 1:3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线上纵坐标不为0的任意一)2,(≠∈=t t t x R 点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求的值；t （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T 的坐标．||||PQ TF高二理科数学第页共8页92015—2016学年度第一学期高二年级期末统一考试试题理科数学（必修3、选修2-1）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13、5；14、；15、8；16、.1[,4]33.15三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝AB ＝21CD ＝1，M 为PB 的中点．求直线CM 与平面ABCD 所成角的正弦值．解：以AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A —xyz ．则由题意得A (0,0,0)、B (0,1,0)、D (1,0,0)、C (1,2,0)、P (0,0,1)、M .----4分11(0,,)22则=，平面ABCD 的法向量为=（0，0，1）MC 31(1,,)22-AP 若直线CM 与平面ABCD 所成角记为，q 题号123456789101112答案DBBCBCDBDAAB高二理科数学第页共8页10则sin.------------------------------10分q =18.(本小题满分12分)已知椭圆：的离心率为，其中左焦点．C )0(12222>>=+b a by a x 22)0,2(-F （Ⅰ）求椭圆的方程；C （Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在圆m x y+=C B A ,AB M 上，求的值．122=+y x m 解：（Ⅰ）由题意得，，c a =2c =解得：-----------------------------4分⎩⎨⎧==222b a 所以椭圆C 的方程为：-----------------------------6分14822=+y x （Ⅱ）设点A,B 的坐标分别为，，线段AB 的中点为M ，),(11y x ),(22y x ),(00y x 由，消去y 得⎪⎩⎪⎨⎧+==+m x y y x 148220824322=-++m mx x 3232,08962<<-∴>-=∆m m 3,32200210mm x y m x x x =+=-=+=∴点M 在圆上，),(00y x 122=+y x高二理科数学第页共8页11------------12分222()()133m m m ∴-+==，即0> 19.(本小题满分12分)如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在C 1C 上，且C 1E ＝3EC .(Ⅰ)证明A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 的余弦值．解：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .依题设B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)．＝(0,2,1)，＝(2,2,0)，DE DB＝(－2,2，－4)，＝(2,0,4)．1A C 1DA(Ⅰ)∵＝0，＝0，1A C DB × 1A C DE ×∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE .又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE .-------------------------------------------------------------6分(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则n ⊥，n ⊥.DE1DA高二理科数学第页共8页12∴2y ＋z ＝0,2x ＋4z ＝0.令y ＝1，则z ＝－2，x ＝4，∴n ＝(4,1，－2)．∴cos 〈n ，→A 1C 〉==∵〈n ，→A 1C 〉等于二面角A 1－DE －B 的平面角，∴二面角A 1－DE －B.---------------12分20.(本小题满分12分)某区四所高中进行高二期中联考，共有5000名学生参加，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机的抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：(Ⅰ)根据上面的频率分布表，推出①，②，③，④处的数字分别为，____，____，____，____；分组频数频率[80,90）①②[90,100）0.050[100,110）0.200[110,120）360.300[120,130）0.275[130,140）12③[140,150]0.050合计④频率/组距高二理科数学第页共8页13（Ⅱ）在所给的坐标系中画出上的频率分布直方图；[80,150]（Ⅲ）根据题中的信息估计总体：①120分及以上的学生人数；②成绩在[126,150]中的概率.解:（Ⅰ）①，②，③，④处的数字分别为3，0.025，0.100，1；------------------------------4分（Ⅱ）------------8分（Ⅲ）①（0.275+0.100+0.050）×5000=2125--------------------10分②P=0.4×0.275+0.10+0.050=0.260-----------------------12分21.(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(Ⅰ)从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m +2的概率.解：(I)从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个.从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个.因此所求事件的概率为.----------------6分13(II)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果（m ,n ）有：（1,1）（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,高二理科数学第页共8页14（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）（3,2）,（3,3）（3,4）,（4,1）（4,2），（4,3）（4,4），共16个.有满足条件n ≥m +2的事件为（1,3）（1,4）（2,4），共3个.所以满足条件n ≥m +2的事件的概率为P=,故满足条件n <m +2的事件的概率316为.--------------------------------------------12分22.(本小题满分12分)已知椭圆C ：的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为．)0(12222>>=+b a by a x 1:3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的右焦点，T 为直线上纵坐标不为0的任意一)2,(≠∈=t t t x R 点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .（ⅰ）若OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)，求的值；t （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T 的坐标．||||PQ TF 解：（Ⅰ）由已知可得解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=,3,42222b a b a c 226 2.a b ＝，＝所以椭圆C 的标准方程是.----------------------------------5分12622=+y x （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F 点的坐标是(2，0).设直线的方程为，PQ 2x my +＝将直线的方程与椭圆C 的方程联立，得PQ 222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得，其判别式22340)2(m y my +＋－＝22(1683.)0m m ∆>＝＋＋设则1122()()P x y Q x y ，，，，12122242,33m y y y y m m --+==++于是12122(1243)x x m y y m ++＋＝＋＝高二理科数学第页共8页15设为的中点，则点的坐标为.M PQ M 32,36(22+-+m mm 因为，所以直线的斜率为，其方程为.PQ TF ⊥FT m -)2(--=x m y 当时，，所以点的坐标为，t x =()2--=t m y T ()()2,--t m t 此时直线OT 的斜率为，其方程为.()tt m 2--x t t m y )2(-=将点的坐标为代入，M )32,36(22+-+m mm 得.36)2(3222+⋅-=+-m t t m m m 解得.3=t （ⅱ）由（ⅰ）知T 为直线上任意一点可得，点T 的坐标为.3=x ),3(m -于是，1||2+=m TF 221221221221)()]([)()(||y y y y m y y x x PQ -+-=-+-=]4))[(1(212212y y y y m -++=]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m .]324)34)[(1(2222+--+-+=m m m m 3)1(2422++=m m 所以1)3(241)1(2431||||222222++⋅=++⋅+=m m m m m PQ TF 14)1(4)1(2411)3(2412222222+++++⋅=++⋅=m m m m m .414124122++++⋅=m m 33442241=+⋅≥当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值．22411m m +=+1m ±＝||||PQ TF 33故当最小时，T 点的坐标是或-----------------------12分||||PQ TF ()3,1()3,1-。
2015-2016学年山东省德州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx≥1，则￢p为（）A．∃x∈R，使sinx≠1 B．∃x∈R，使sinx＜1C．∀x∈R，使sinx＜1 D．∀x∉R，使sinx≠12．（5分）抛物线y2=2px的准线经过点（﹣2，2），则该抛物线的焦点坐标为（）A．（﹣2，0）B．（2，0） C．（0，﹣1）D．（0，1）3．（5分）若球的大圆周长为4π，则这个球的表面积为（）A．8πB．16πC．πD．4．（5分）直线l；y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，则“k=1”是“S△=2”的（）OABA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设a∈R，若直线l1：ax+2y﹣8=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行，则a的值为（）A．1 B．1或﹣2 C．﹣2或﹣1 D．﹣16．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值是（）A．12 B．14 C．16 D．187．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的假命题是（）A．若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α B．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂αC．若m∥α，α⊥β，则m⊥βD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F 分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（5分）如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面下降1米后，拱桥内水面宽度是（）A．6米B．6米C．3米D．3米10．（5分）F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线的两支分别交于点A、B，若△ABF1为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m=．12．（5分）直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为．13．（5分）圆x2+y2=1和圆（x+4）2+（y﹣a）2=25外切，则常数a的值为．14．（5分）在60°角的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内，且都垂直于AB，若AB=5，AC=3，BD=8，则CD=．15．（5分）已知直线l和椭圆+=1交于A、B两点，点P（0，﹣1）且•=0，则•的最小值为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）平面直角坐标系xOy中，圆C方程为x2+y2+2x﹣2y﹣2=0，过点A（0，3）的直线l被圆截得的弦EF长为2，求直线l的方程．17．（12分）某几何体的三视图如图所示．（1）画出该几何体的直观图；（2）求该几何体的表面积和体积．18．（12分）设命题p：方程x2+m2y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=4上至少有三个点到直线3x﹣4y+m﹣5=0的距离为1，若p且q为假，求实数m的取值范围．19．（12分）如图，已知EA⊥平面ABC，FC⊥平面ABC，△ABC是正三角形，D 是BC的中点，且AB=AE=1，CF=2．（1）求证：AD⊥平面BCF；（2）求直线DF与平面BEF所成角的正弦值．20．（13分）已知抛物线C：y=mx2，直线l：2x﹣y+2=0交抛物线C于A、B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，若Q在以AB为直径的圆上，求m的值．21．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点和抛物线y2=4x的焦点相同，且椭圆过点（﹣，）．（1）求椭圆方程；（2）过点（3，0）的直线交椭圆于A、B两点，P为椭圆上一点，且满足+=λ（λ≠0，O为原点），当|AB|＜时，求实数λ的取值范围．2015-2016学年山东省德州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2015秋•德州期末）已知命题p：∃x∈R，使sinx≥1，则￢p为（）A．∃x∈R，使sinx≠1 B．∃x∈R，使sinx＜1C．∀x∈R，使sinx＜1 D．∀x∉R，使sinx≠1【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x∈R，使sinx ≥1，则￢p为：∀x∈R，使sinx＜1．故选：C．2．（5分）（2015秋•德州期末）抛物线y2=2px的准线经过点（﹣2，2），则该抛物线的焦点坐标为（）A．（﹣2，0）B．（2，0） C．（0，﹣1）D．（0，1）【解答】解：∵抛物线y2=2px的准线经过（﹣2，2），∴p＞0，且准线方程为x=﹣2，即﹣=﹣2，得p=4．∴抛物线的焦点坐标为（）=（2，0）．故选：B．3．（5分）（2015秋•德州期末）若球的大圆周长为4π，则这个球的表面积为（）A．8πB．16πC．πD．【解答】解：设球的半径为r，则2πr=4π，∴r=2．∴球的表面积S=4πr2=16π．故选B．4．（5分）（2015秋•德州期末）直线l；y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B=2”的（）两点，则“k=1”是“S△OABA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“k=1”，直线l方程：y=x+2，圆心到直线l的距离d==，弦长AB=2=2．==2．则S△OABk=﹣1时，上式同样成立．=2”的充分不必要条件．∴“k=1”是“S△OAB故选：A．5．（5分）（2015秋•德州期末）设a∈R，若直线l1：ax+2y﹣8=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行，则a的值为（）A．1 B．1或﹣2 C．﹣2或﹣1 D．﹣1【解答】解：由a（a+1）﹣2=0，解得a=﹣2或1．经过验证：a=﹣2时两条直线重合，舍去．∴a=1．故选：A．6．（5分）（2015秋•德州期末）若变量x、y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值是（）A．12 B．14 C．16 D．18【解答】解：作出约束条件，所示的平面区域，让如图：作直线3x+4y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大由可得A（2，3），此时z=18．故选：D．7．（5分）（2012•东港区校级模拟）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的假命题是（）A．若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α B．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂αC．若m∥α，α⊥β，则m⊥βD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β【解答】解：若m⊥n，m⊥α，则n与α的关系为，n在α内或n与α平行又∵n⊄α，∴n∥α，故A为真命题若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α，故B为真命题若m∥α，α⊥β，则m与β可能平行也可能相交，故C为假命题若m⊥n，m⊥α，则n⊄α或n∥α，又由n⊥β，则α⊥β，故D为真命题故选C8．（5分）（2015秋•德州期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=BC=AA1=2，则E（1，0，0），F（0，0，1），B（0，0，0），C1（0，2，2），=（﹣1，0，1），=（0，2，2），设直线EF和BC1所成角为θ，则cosθ===，∴θ=60°．∴直线EF和BC1所成角为60°．故选：C．9．（5分）（2015秋•德州期末）如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面下降1米后，拱桥内水面宽度是（）A．6米B．6米C．3米D．3米【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为y=ax2+bx+c，由题意知抛物线的顶点坐标是（0，2），且抛物线经过点（﹣6，0），（6，0），∴，解得a=﹣，b=0，c=2，∴抛物线方程为y=﹣+2．当水面下降1米时，y=﹣1，则﹣+2=﹣1，解得x=3．∴当水面下降1米后，拱桥内水面宽度是6米．故选：B．10．（5分）（2015秋•德州期末）F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线的两支分别交于点A、B，若△ABF1为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4 B．C．D．【解答】解：如图，△ABF1为等边三角形，B为双曲线上一点，F2B﹣F1B=F2B﹣AB=F2A=2a，A为双曲线上一点，则AF1﹣AF2=2a，则AF1=4a，F1F2=2c，由∠BAF1=60°，得∠F1AF2=120°，在△F1AF2中，由余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，∴e2=7，得e=，故选：D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2011•上海）设m是常数，若点F（0，5）是双曲线的一个焦点，则m=16．【解答】解：由于点F（0，5）是双曲线的一个焦点，故该双曲线的焦点在y轴上，从而m＞0．从而得出m+9=25，解得m=16．故答案为：16．12．（5分）（2015秋•德州期末）直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．【解答】解：如图示：当直线l过B时设直线l的斜率为k1，则k1==﹣，当直线l过A时设直线l的斜率为k2，则k2==1，∴要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）．13．（5分）（2015秋•德州期末）圆x2+y2=1和圆（x+4）2+（y﹣a）2=25外切，则常数a的值为．【解答】解：圆x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1．圆（x+4）2+（y﹣a）2=25，圆心O′（﹣4，a），半径R=5．∵两圆外切，∴|OO′|=R+r．∴，解得．故答案为．14．（5分）（2015秋•德州期末）在60°角的二面角的棱上有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个面内，且都垂直于AB，若AB=5，AC=3，BD=8，则CD=．【解答】解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴又∵，，∴=+2=32+52+82+0+2×3×8×cos120°+0=74．∴，故答案为：15．（5分）（2015秋•德州期末）已知直线l和椭圆+=1交于A、B两点，点P（0，﹣1）且•=0，则•的最小值为．【解答】解：•=0，则•=0，∴•=•（﹣）=2﹣•=丨丨2，欲求•的最小值，只需求丨丨2的最小值设A（2cosθ，4sinθ），则=（2cosθ，4sinθ+1），丨丨2=4cos2θ+16sin2θ+8sinθ+1，=12sin2θ+8sinθ+5，=12（sinθ+）+≥，∴丨丨2的最小值，则•的最小值，故答案为：．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2016秋•南涧县期末）平面直角坐标系xOy中，圆C方程为x2+y2+2x ﹣2y﹣2=0，过点A（0，3）的直线l被圆截得的弦EF长为2，求直线l的方程．【解答】解：圆C方程为x2+y2+2x﹣2y﹣2=0，圆心（﹣1，1），半径r=2，直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=0，EF=2，不满足题意；直线l的斜率存在，设直线l的方程为kx﹣y+3=0，圆C1的圆心到l的距离为d，所以d=1．由点到直线l的距离公式得=1，所以k=，所以直线l的方程为3x﹣4y+12=0．17．（12分）（2015秋•德州期末）某几何体的三视图如图所示．（1）画出该几何体的直观图；（2）求该几何体的表面积和体积．【解答】解：（1）该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，底面直角梯形的底边分别为1、2，高为1，另一腰长为2，直四棱柱的高为1，画出该几何体的直观图，如图所示：（2）计算该几何体的表面积是S=2××1+1×（1+1+2+）=7+；该几何体的体积为V=×1×1=．18．（12分）（2015秋•德州期末）设命题p：方程x2+m2y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=4上至少有三个点到直线3x﹣4y+m﹣5=0的距离为1，若p且q为假，求实数m的取值范围．【解答】解：命题p为真时，方程x2+m2y2=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m2＜1，解得﹣1＜m＜0或0＜m＜1；命题q为真时，即圆x2+y2=4上至少有三个点到直线3x﹣4y+m﹣5=0的距离为1，所以圆心到直线的距离小于或等于1，即≤1，解得0≤m≤10；若p且q为假，则p假或q假，若p为假时，则m≤﹣1或m=0或m≥1；若q为假时，则m＜0或m＞10；所以p且q为假时，实数m的取值范围是m≤0或m≥1．19．（12分）（2015秋•德州期末）如图，已知EA⊥平面ABC，FC⊥平面ABC，△ABC是正三角形，D是BC的中点，且AB=AE=1，CF=2．（1）求证：AD⊥平面BCF；（2）求直线DF与平面BEF所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵FC⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥FC，∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵FC∩BC=C，∴AD⊥平面BCF．解：（2）如图，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，过A与BC平行的直线为y轴，AE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，D（，0，0），F（），B（，﹣，0），E（0，0，1），=（0，），=（﹣），=（），设平面BEF的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=2，得=（0，2，﹣1），设直线DF与平面BEF所成角为θ．则sinθ===．∴直线DF与平面BEF所成角的正弦值为．20．（13分）（2015秋•德州期末）已知抛物线C：y=mx2，直线l：2x﹣y+2=0交抛物线C于A、B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q，若Q在以AB为直径的圆上，求m的值．【解答】解：联立方程，得mx2﹣2x﹣2=0△=（﹣2）2﹣4m（﹣2）＞0，⇒m＞﹣．设A（，B（x2，mx），则∴线段AB的中点P（），即P（，y P），Q（）．），，若Q在以AB为直径的圆上，则，即（）（x2﹣）+（m）（）=0．化简得，解得m=2，（舍去）∴m=221．（14分）（2015秋•德州期末）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点和抛物线y2=4x的焦点相同，且椭圆过点（﹣，）．（1）求椭圆方程；（2）过点（3，0）的直线交椭圆于A、B两点，P为椭圆上一点，且满足+=λ（λ≠0，O为原点），当|AB|＜时，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）由抛物线y2=4x，得F（），∴c=．椭圆焦点坐标为（，0），（）．∴2a=，则a=2，∴b2=a2﹣c2=1，则椭圆方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当AB的斜率为0时，|AB|=4不合题意；当AB的斜率不为0时，设直线AB的方程是：x=my+3．联立，得（4+m2）y2+6my+5=0．△=36m2﹣20（4+m2）＞0，得m2＞5．．∴|AB|==．∵|AB|＜，∴＜3．整理得：13m4﹣88m2﹣128＜0，解得m2＜8．∴5＜m2＜8．又+=λ，∴，∴，∴．又点P在椭圆上，∴．∴．又5＜m2＜8，3＜λ2＜4．解得或．参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；sxs123；zhczcb；沂蒙松；豫汝王世崇；zlzhan；301137；刘老师；陈高数；铭灏2016；lcb001；742048（排名不分先后）2017年7月11日。
2014——2015学年高二上学期期末考试数学参考答案（理科）一、ACCDB DBCBD AD二、13. 34- 14.2 15. 2343或 16. ①② 三、17.解（1）易知：A = 2 半周期π=32T ∴T = 6π 即πωπ62= （0>ω） 从而：31=ω 设12sin()3y x ϕ=+ 令x = 0 有2sin 1ϕ= 又||2πϕ< ∴6πϕ= ∴所求函数解析式为)631sin(2π+=x y ……………5分 （2）令22631πππ+=+k x ，即ππ+=k x 6时， )631sin(2π+=x y 有最大值2，故当{}z k k x x ∈+=,6|ππ时， )631sin(2π+=x y 取最大值2 . ……10分 18.解:(1)在△ABC 中,由,可得bsinA=asinB,又由bsinA=3csinB,可得a=3c,又a=3,故c=1.由b 2=a 2+c 2-2accosB,cosB=,可得b=.…………6分(2)由cos B=,得sin B=,进而得cos2B= 2cos 2B-1= - ,sin2B=2sinBcosB=.所以sin =sin2Bcos -cos2Bsin .…………12分19.解:(1)由|a |2=(sinx)2+(sinx)2=4sin 2x, |b |2=(cosx)2+(sinx)2=1,及|a |=|b |,得4sin 2x=1.又x ∈,从而sinx=,所以x=. …………6分(2)f(x)=a ·b =sinx ·cosx+sin 2x =sin2x-cos2x+ =sin ,当x=时,sin 取最大值1.所以f(x)的最大值为. …………12分20.解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，…………………………………………………………………1分 解得2d =，2q =．……………………………………………………………2分 所以1(1)21n a n d n =+-=-，………………………………………………3分 112n n n b q --==．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）1212n n n a n b --=．……………………………………………………………5分1111212221212n n n ----=+⨯-- 12362n n -+=-．………………………………………………………12分 21.解法1：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab=9000……① 广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a ＞0，b ＞0．广告的面积S ＝(a+20)(2b+25)＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b …………6分≥18500+2b a 4025∙=18500+.245001000=ab当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b =a 85，代入①式得a=120， 从而b=75．即当a =120，b =75时，S 取得最小值24500．故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．…12分解法2：设广告的高为宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，,225-y 其中x ＞20，y ＞25两栏面积之和为2(x －20)18000225=-y ，由此得y=,252018000+-x 广告的面积S=xy=x(252018000+-x )＝252018000+-x x ， 整理得S=.18500)20(2520360000+-+-x x …………6分 因为x －20＞0，所以S ≥2.2450018500)20(2520360000=+-⨯-x x 当且仅当)20(2520360000-=-x x 时等号成立，此时有(x －20)2＝14400(x ＞20)，解得x=140，代入y=2018000-x +25， 得y ＝175，即当x=140，y ＝175时，S 取得最小值24500 故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小． ……12分22.解（1）由题意得：3=a ，半焦距2=c ，则1=b ，所以椭圆C 的方程为：1322=+y x ， …………4分 “伴随圆”方程为422=+y x . …………6分（2）设过点P 且与椭圆有一个交点的直线为：m kx y +=，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x m kx y ，整理得0)33(6)31(222=-+++m k m x x k ，所以0)33)(31(4)6(222=-+-=∆m k km ，化简整理得2231m k =+ ① …………8分 又因为直线截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为22，则有22122222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k m 化简得 22)1(2m k =+ ②联立①②解得12=k ，42=m ，0<m ，所以2-=m…………12分。
2014-2015学年山东省德州一中高二（上）模块数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞02．x2﹣3x﹣10＞0的解集为（）A．（﹣∞，2）∪（5，+∞）B．（﹣2，5）C．（﹣∞，﹣2）∪（5+∞）D．（﹣5，2）3．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C．D．或4．在a和b两个数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，则该数列的公差为（）A．B．C．D．5．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1=3，S3=21，则a3+a4+a5=（）A．33 B．72 C．189 D．846．若△ABC的周长等于20，面积是10，A=60°，则BC边的长是（）A．5 B．6 C．7 D．87．等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{S n}中也为常数的项是（）A．S7B．S8C．S13D．S158．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．﹣D．﹣9．{a n}是等比数列，且a2=4，a6=16，则a4=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．1010．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在题中横线上）11．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是．12．在△ABC中，若C=30°，AC=3，AB=3，则△ABC的面积为．13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为．14．若x+3y﹣2=0，则2x+8y的最小值为．15．不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，m）∪（n，+∞），其中m＜0＜n，则不等式cx2+bx+a ＞0的解集是．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过n程或演算步骤）16．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=1，S11=33．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设．求证：{b n}是等比数列，并求其前n项和T n．18．（1）已知x＜，求函数y=4x﹣2+的最大值；（2）已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值．19．本公司计划2009年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？20．已知函数f（x）=ax2+x﹣a，a∈R．（1）若函数f（x）有最大值，求实数a的值；（2）解不等式f（x）＞1（a≥0）．21．若公比为c的等比数列{a n}的首项a1=1且满足（n≥3）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和S n．2014-2015学年山东省德州一中高二（上）模块数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2D．ac（a﹣c）＞0考点：不等关系与不等式．专题：阅读型．分析：先研究a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0结构，再由不等式的运算性质结合题设中的条件对四个选项逐一验证得出正确选项即可解答：解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴c＜0＜a由此知A选项ab＞ac正确，由于c（b﹣a）＞0知B选项不正确，由于b2可能为0，故C选项不正确，由于ac＜0，a﹣c＞0，故ac（a﹣c）＜0，所以D不正确故选A点评：本题考查不等式与不等关系，主要考查了不等式的性质及运算，解决本题的关键就是熟练掌握不等式的性质与运算，对基本概念及运算的灵活运用是快捷解题的保证．2．x2﹣3x﹣10＞0的解集为（）A．（﹣∞，2）∪（5，+∞）B．（﹣2，5）C．（﹣∞，﹣2）∪（5+∞）D．（﹣5，2）考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用二次不等式求解即可．解答：解：x2﹣3x﹣10＞0化为：（x﹣5）（x+2）＞0，可得x＜﹣2或x＞5．x2﹣3x﹣10＞0的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（5，+∞）．故选：C．点评：本题考查二次不等式的解法，基本知识的考查．3．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C．D．或考点：余弦定理．专题：计算题．分析：根据余弦定理表示出cosA，然后把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得到A的度数．解答：解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．4．在a和b两个数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，则该数列的公差为（）A．B．C．D．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：在a和b两个数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，说明这组等差数列中共有n+2个数，设出公差，运用等差数列通项公式求公差．解答：解：设a1=a，则a n+2=b，再设其公差为d，则a n+2=a1+（n+2﹣1）d即b=a+（n+1）d，所以，．故选B．点评：本题考查了等差数列的通项公式，解答此题的关键是明确总项数，属基础题．5．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1=3，S3=21，则a3+a4+a5=（）A．33 B．72 C．189 D．84考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得，由各项为正数得q=2，由此能求出a3+a4+a5的值．解答：解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a1=3，S3=21，∴，整理，得q2+q﹣6=0，解得q=2或q=﹣3（舍），∴a3+a4+a5=3×22+3×23+3×24=84．故选：D．点评：本题考查等比数列中三项和的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．6．若△ABC的周长等于20，面积是10，A=60°，则BC边的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8考点：余弦定理．专题：计算题．分析：先设A、B、C所对的边分别为a、b、c，然后利用面积公式S=bcsinA得到bc的值，因为周长为a+b+c=20，再根据余弦定理列出关于a的方程，求出a的值即为BC的值．解答：解：依题意及面积公式S=bcsinA，得10=bcsin60°，得bc=40．又周长为20，故a+b+c=20，b+c=20﹣a，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣2bccos60°=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，故a2=（20﹣a）2﹣120，解得a=7．故选C点评：考查学生利用余弦定理解决数学问题的能力，以及会用三角形的面积公式，掌握整体代换的数学思想．7．等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{S n}中也为常数的项是（）A．S7B．S8C．S13D．S15考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：设出a2+a4+a15的值，利用等差数列的通项公式求得a7，进而利用等差中相当性质可知a1+a13=2a7代入前13项的和的公式中求得S13=p，进而推断出S13为常数．解答：解：设a2+a4+a15=p（常数），∴3a1+18d=p，即a7=p．∴S13==13a7=p．故选C．点评：本题主要考查了等差数列的性质．涉及等差数列的通项公式，等差中项的性质，等差数列的求和公式．8．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立，则（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．﹣D．﹣考点：等差数列的性质．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：根据新定义化简不等式，得到a2﹣a﹣1＜x2﹣x因为不等式恒成立，即要a2﹣a﹣1小于x2﹣x的最小值，先求出x2﹣x的最小值，列出关于a的一元二次不等式，求出解集即可得到a的范围．解答：解：由已知：（x﹣a）⊗（x+a）＜1，∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，即a2﹣a﹣1＜x2﹣x．令t=x2﹣x，只要a2﹣a﹣1＜t min．t=x2﹣x=，当x∈R，t≥﹣．∴a2﹣a﹣1＜﹣，即4a2﹣4a﹣3＜0，解得：﹣．故选：C．点评：考查学生理解新定义并会根据新定义化简求值，会求一元二次不等式的解集，掌握不等式恒成立时所取的条件．9．{a n}是等比数列，且a2=4，a6=16，则a4=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．10考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设数列{a n}的公比为q，可得q2=2，而a4=a2•q2，计算可得．解答：解：设数列{a n}的公比为q，则可得a6=a2•q4，解得q4=4，故q2=2，可得a4=a2•q2=4×2=8故选A点评：本题考查等比数列的通项公式，得出q2=2是解决问题的关键，属基础题．10．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：利用的等差数列的前n项和公式将已知数列的通项化简，利用裂项求和的方法求出数列的前n项和．解答：解：∵所以数列的前n项和为==故选B点评：求数列的前n项和的问题，一般先求出数列的通项，利用通项的特点，选择合适的求和方法．二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在题中横线上）11．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1， a3，a9成等比数列，则的值是．考点：等差数列的性质．专题：压轴题．分析：由a1，a3，a9成等比数列求得a1与d的关系，再代入即可．解答：解：∵a1，a3，a9成等比数列，∴（a1+2d）2=a1•（a1+8d），∴a1=d，∴=，故答案是：．点评：本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的性质．12．在△ABC中，若C=30°，AC=3，AB=3，则△ABC的面积为或．．考点：正弦定理；三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：由正弦定理可得sinB=，故可得B=60°或120°，由三角形面积公式分情况讨论即可得解．解答：解：∵由正弦定理可得：sinB===，∴B=60°或120°，1．B=60°，那么A=90°，△ABC的面积=×3×3=．2．B=120°，A=180°﹣120°﹣30°=30°．△ABC的面积=AC•AB sinA=×3×3×sin30°=．故答案为：或．点评：本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式的应用，属于基本知识的考查．13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为 5 ．考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=5x+y过点A （1，0）时，z最大值即可．解答：解：根据约束条件画出可行域直线z=5x+y过点A（1，0）时，z最大值5，即目标函数z=5x+y的最大值为5，故答案为5．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．若x+3y﹣2=0，则2x+8y的最小值为 4 ．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质、指数运算性质即可得出．解答：解：∵x+3y﹣2=0，即x+3y=2则2x+8y≥2=2==4，当且仅当x=3y=1时取等号．∴2x+8y的最小值为4．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质，属于基础题．15．不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，m）∪（n，+∞），其中m＜0＜n，则不等式cx2+bx+a＞0的解集是．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，m）∪（n，+∞），其中m＜0＜n，可得a＜0，m，n是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，又根与系数的关系可得：m+n=﹣，mn=．不等式cx2+bx+a＞0化为0，可得mnx2﹣（m+n）x+1＜0，解出即可．解答：解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，m）∪（n，+∞），其中m＜0＜n，∴a＜0，m，n是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，∴m+n=﹣，mn=．不等式cx2+bx+a＞0化为0，∴mnx2﹣（m+n）x+1＜0，（mx﹣1）（nx﹣1）＜0，化为0，解得或x．∴不等式cx2+bx+a＞0的解集是．故答案为：．点评：本题考查了一元二次不等式解集与根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过n程或演算步骤）16．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sinB+sinC=1，试判断△ABC的形状．考点：解三角形；三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c关系式，代入余弦定理中求得cosA的值，进而求得A．（Ⅱ）把（Ⅰ）中a，b和c关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与sinB+sinC=1联立求得sinB和sinC的值，进而根据C，B的范围推断出B=C，可知△ABC是等腰的钝角三角形．解答：解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．变形得=（sinB+sinC）2﹣sinBsinC又sinB+sinC=1，得sinBsinC=上述两式联立得因为0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B=C=30°所以△ABC是等腰的钝角三角形．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=1，S11=33．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设．求证：{b n}是等比数列，并求其前n项和T n．考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出；（2）利用等比数列的定义、通项公式和前n项和公式即可得出．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．∵，∴解得，∴．（2）∵，∴，∴{b n}是首项，公比为的等比数列，故前n项和．点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、等比数列的定义、通项公式和前n项和公式，属于中档题．18．（1）已知x＜，求函数y=4x﹣2+的最大值；（2）已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）变形利用基本不等式的性质即可得出；（2）利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）∵x＜，∴4x﹣5＜0．∴y=4x﹣5++3=﹣[（5﹣4x）+]+3≤﹣2+3=1，当且仅当x=1时取等号．∴y max=1．（2）∵x＞0，y＞0且+=1，∴x+y=（x+y）=10+≥10+2=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于中档题．19．本公司计划2009年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，列出约束条件以及目标函数，画出可行域，利用线性规划求解即可．解答：解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为z=3000x+2000y．二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0．平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立解得x=100，y=200．∴点M的坐标为（100，200）．∴z max=3000x+2000y=700000（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．点评：本题考查线性规划的应用，正确列出约束条件，画出可行域，求出最优解是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．20．已知函数f（x）=ax2+x﹣a，a∈R．（1）若函数f（x）有最大值，求实数a的值；（2）解不等式f（x）＞1（a≥0）．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：（1）函数f（x）有最大值，则，解之，即可求实数a的值；（2）f（x）=ax2+x﹣a＞1，即ax2+x﹣（a+1）＞0，即（x﹣1）（ax+a+1）＞0，再分类讨论，确定不等式的解集．解答：解：（1）∵函数f（x）有最大值，所以a≥0，不满足题意；∴，∴8a2+17a+2=0，∴a=﹣2或a=﹣．（2）f（x）=ax2+x﹣a＞1，即ax2+x﹣（a+1）＞0，即（x﹣1）（ax+a+1）＞0a=0时，解集为（1，+∞）a＞0时，解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．点评：本题考查函数的最值，考查解不等式，解题的关键是确定方程两根的大小关系．21．若公比为c的等比数列{a n}的首项a1=1且满足（n≥3）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比数列．专题：综合题．分析：（Ⅰ）由题设，当n≥3时，a n=c2a n﹣2，代即可求得c．（Ⅱ）由（Ⅰ），分c=1和时两种情况讨论c=1时，数列{a n}是等比数列．最后根据错位相减法求和．解答：解：（Ⅰ）由题设，当n≥3时，a n=c2a n﹣2，a n﹣1=ca n﹣2，，由题设条件可得a n﹣2≠0，因此，即2c2﹣c﹣1=0解得c=1或（Ⅱ）由（Ⅰ），需要分两种情况讨论，当c=1时，数列{a n}是一个常数列，即a n=1（n∈N*）这时，数列{na n}的前n项和当时，数列{a n}是一个公比为的等比数列，即（n∈N*）这时，数列{na n}的前n项和①1式两边同乘2，得②①式减去②式，得所以（n∈N*）点评：本题主要考查了数列的求和问题．考查了用错位相减法求数列的和．。
高二数学期末模拟试题2016年01月25一．选择题（共10小题）1．过点（0，5）且在两坐标轴上截距之和为2的直线方程为（）A．3x+5y+15=0 B．5x+3y﹣15=0 C．5x﹣3y+15=0 D．3x﹣5y﹣15=02．（2015•绥化一模）若命题P：∀x∈R，cosx≤1,则（）A．￢P：∃x0∈R，cosx0＞1 B．￢P：∀x∈R，cosx＞1C．￢P：∃x0∈R，cosx0≥1D．￢P：∀x∈R，cosx≥13．沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A． B．C．D．4．“a=﹣1”是“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m"是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知x,y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（) A．5 B．4 C．D．27．设m,n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α,n⊥β且α⊥β，则m⊥n C．m⊥α,n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α,m∥β，n∥β，则α∥β8．椭圆=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的（）A．7倍B．5倍 C．4倍 D．3倍9．一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2)2+（y﹣3）2=1上的最短路程是（）A．3﹣1 B．2C．4 D．510．设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1｜=｜A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A．B．C．D．二．填空题（共5小题）11．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD为矩形，其正(主）视图和侧（左）视图如图，其中正(主）视图为等腰梯形，侧（左)视图为等腰三角形，则AM的长（）A．B．C．D．12．若圆（x+2）2+（y﹣a）2=1与圆（x﹣a)2+（y﹣5）2=16相交，则实数a的取值范围是．13．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC=45°,AB=AD=1，DC⊥BC,这个平面图形的面积为．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py（p＞0)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且｜FA｜=c，则双曲线的渐近线方程为．15．设抛物线y2=2px(p＞0）的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为．三．解答题（共6小题）16．已知命题P：函数f(x）=(2a﹣5）x是R上的减函数．命题Q：在x∈（1，2）时，不等式x2﹣ax+2＜0恒成立．若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．17．一个四棱锥的正视图，侧视图(单位：cm)如图所示,（1）请画出该几何体的俯视图；（2）求该几何体的体积．18．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4)2=4,直线l1过定点A （1，0）．（Ⅰ）若l1与圆C相切,求l1的方程；（Ⅱ）若l1与圆C相交于P，Q两点,求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程．19．如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE,G,H分别为AC，BC 的中点．（Ⅰ）求证:BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小．20．已知抛物线C:y2=2px(p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且｜MN｜=8．(1)求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．21．已知椭圆(a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ)求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P(4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．高二数学期末模拟试题答案一．选择题(共10小题)1-5 CAAAB 6—10 BBACA二．填空题(共5小题）11．C；12．（1,2）；13．；14．y=±x; 15．1三．解答题(共6小题）16．【解答】解：P:∵函数f（x）=（2a﹣5）x是R上的减函数，∴0＜2a﹣5＜1，…（3分)解得．…(4分）Q：由x2﹣ax+2＜0，得ax＞x2+2，∵1＜x＜2，∴在x∈(1，2)时恒成立（6分）又…（8分）,∴a≥3…(10分）p∨q是真命题,故p真或q真,所以有或a≥3…（11分）所以a的取值范围是．…（12分）17.【解答】解：（1）由三视图可知,该四棱锥的俯视图为矩形，且对角线为实线．如图所示;(2）几何体的体积V==．18．【解答】解:（Ⅰ) ①若直线l1的斜率不存在，则直线l1:x=1,符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．由题意知，圆心(3,4）到已知直线l1的距离等于半径2，即:，解之得．所求直线l1的方程是x=1或3x﹣4y﹣3=0．(Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，则圆心到直l1的距离d=又∵三角形CPQ面积S=×2=d=∴当d=时，S取得最大值2．∴d==，k=1或k=7．∴直线方程为y=x﹣1，或y=7x﹣7．19．【解答】解：（Ⅰ)证明:根据已知条件，DF∥AC，EF∥BC,DE∥AB；△DEF∽△ABC,又AB=2DE，∴BC=2EF=2BH，∴四边形EFHB为平行四边形；∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH；∴BE∥平面FGH；同样，因为GH为△ABC中位线,∴GH∥AB;又DE∥AB；∴DE∥GH;∴DE∥平面FGH,DE∩BE=E;∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE；∴BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；∵CF⊥平面ABC；∴HE⊥平面ABC，并且HG⊥HC；∴HC,HG,HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴,建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：H（0,0，0)，G(0，1，0）,F(1，0，1），B（﹣1，0,0）；连接BG,根据已知条件BA=BC,G为AC中点；∴BG⊥AC；又CF⊥平面ABC,BG⊂平面ABC；∴BG⊥CF,AC∩CF=C；∴BG⊥平面ACFD；∴向量为平面ACFD的法向量;设平面FGH的法向量为，则：,取z=1,则：;设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ,则：cosθ=｜cos|=;∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．20．【解答】解:（1)由题可知，则该直线方程为：，…（1分）代入y2=2px(p＞0）得：,设M（x1,y1），N（x2，y2），则有x1+x2=3p…（3分）∵|MN|=8，∴x1+x2+p=8，即3p+p=8,解得p=2∴抛物线的方程为：y2=4x．…（5分）(2）设l方程为y=x+b，代入y2=4x，得x2+（2b﹣4)x+b2=0，∵l为抛物线C的切线，∴△=0,解得b=1,∴l：y=x+1…（7分）由（1)可知:x1+x2=6，x1x2=1设P(m，m+1),则∴=∵x1+x2=6，x1x2=1,,y1y2=﹣4，，∴，∴…（10分）=2[m2﹣4m﹣3］=2[(m﹣2）2﹣7]≥﹣14当且仅当m=2时，即点P的坐标为（2,3)时，的最小值为﹣14．…(12分)21．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，所以．即．又因为，所以a2=4，b2=3．故椭圆C的方程为．（Ⅱ)由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4）．由得（4k2+3)x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①设点B（x1,y1)，E（x2，y2），则A（x1,﹣y1）．直线AE的方程为．令y=0，得．将y1=k（x1﹣4）,y2=k（x2﹣4）代入，整理,得．②由①得，代入②整理，得x=1．所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．（Ⅲ)当过点Q直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=m（x ﹣1），且M（x M,y M），N（x N，y N）在椭圆C上．由得(4m2+3）x2﹣8m2x+4m2﹣12=0．易知△＞0．所以，,．则=．因为m2≥0，所以．所以．当过点Q直线MN的斜率不存在时,其方程为x=1．解得，N（1，)或M（1，）、N(1，﹣)．此时．所以的取值范围是．。
高二上学期期末考试数学试题(理)注意事项：1．答卷前，考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题纸和答题卡的相应位置处。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3．非选择题答案必须写在答题纸相应位置处,不按要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡和答题纸一并收回。
第I卷（选择题共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分,共50分）1. 数列0,1,0,－1,0,1,0，－1,…的一个通项公式a n可以等于( )A。
错误!B。
cos 错误!C。
cos 错误!πD。
cos错误!π2。
设a〈b<0，则下列不等式中不成立的是( )A. 错误!>错误!B。
错误!>错误! C. ｜a｜〉－bD. 错误!〉错误!3。
有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A．1 B．2sin 10°C．2cos 10° D．cos 20°4。
等差数列｛a n}前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6,则当S n 取最小值时，n等于( )A. 6 B。
7 C。
8D。
95. 一个等比数列的前三项的积为3,最后三项的积为9，且所有项的积为729,则该数列的项数是（）A。
13 B。
12 C。
11D。
106。
双曲线C：错误!－错误!＝1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（)A。
错误!－错误!＝1 B。
错误!－错误!＝1 C。
错误!－错误!＝1 D. 错误!－错误!＝17。
若a〉0，b>0，且ln（a＋b)＝0，则错误!＋错误!的最小值是（ ）A. 错误!B. 1 C 。
4 D. 88. 如图所示，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若 错误!＝a ,错误!＝b ，错误!＝c ，则下列向量中与错误!相等的向量是（ ） A 。
德州市-高二年级期末考试高二数学（理）一、选择题1．()ii 21-=（ ）A.i B.i - C. 2 D.－22.在抛物线y 2=2px(p ＞0)上，横坐标为4的点到焦点的距离是5，则p 的值为（ ）A.21B.1C.2D.4 3．中心在坐标原点，离心率为35的双曲线焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ）A.y=45±xB.y=54±xC.y=34±xD.y=43±x4.椭圆191622=+y x 的内接正方形的面积是（ ） A.52123B.12C.24D.48 5.用数学归纳法证明2413212111＞＋n n n ⋯⋯++++（n 是正整数）时，当n 由k 到k+1，不等式左边的变化是（ ）A.增加1)(k 21+一项 B.增加1k 21+和1)(k 21+两项且减少1k 1+一项C 增加1k 21+和1)(k 21+两项D.增加1k 21+一项 6. 空间四边形OABC 中，.,,c OC b OB a OA=== 点M 在OA 上，且 =2，N 为BC 的中点，则等于（）A.c b a 213221+-B.c b a 212132++-C.c b a 212121-+D.c b a 213232-+7.己知双曲线的两个焦点为1F )0,5(-，2F )0,5(，p 是此双曲线上一点且21PF PF ⊥2F 21=⋅PF P 则该双曲线的方程为( )A.13222=-y x B. 12322=-y x C. 1422=-y x D. 1422=-y x 8.己知F 1，F 2分别为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点，M 为椭圆上的一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2=60°,则椭圆的离心率为（ ） A.21B. 22C. 33D.239. |b a |)t (),0,1t 2,t 1(b ),t ,t ,2(a---==则是实数的最小值是（）A.5B.6C.2D.310．空间不共面的四点O 、A 、B 、C ，若∙=∙=∙＝0，且|OA|=|OB|=|OC|，则＜AC AB OC OB OA +++,＞＝（ ）A.450B.600C.900D.135011. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点p 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若点p 到直线 BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点p 的轨迹是（ ）A.双曲线B.圆C.椭圆D.抛物线 12.在以下命题中，不正确的个数为（ ）①b a、是b a b a +=-共线的充要条件。
2015年秋期普通高中二年级期末测试 理科数学参考答案及评分意见说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13．15； 14．23； 15.2； 16．29三、解答题（共70分）.17.解：由p 为真，得03x <<……………………….(2分)由命题q 为真，得26x <<， ………………………. (4分) 法一：∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴q p ,一真一假 1°当p 真q 假时 ，得⎩⎨⎧≥≤<<6230x x x 或，∴20≤<x ………………………. (6分)2°当p 假q 真时 ，得⎩⎨⎧<<≥≤6230x x x 或，∴ 63<≤x ………………………. (8分)∴x 的取值范围为：)6,3[]2,0( …………………… (10分) 法二：因为p ∨q 为真，得(0,3)(2,6)(0,6)x ∈= ……… (6分) 因为p ∧q 为假，得(0,3)(2,6)(2,3)x ∉= ，所以{}2,3x x x x ∈≤≥ ………… (8分) 故所求x 的取值范围是{}(0,6)2,3(0,2][3,6)x x x ≤≥= ………………………(10分) 18.解：(I)因为图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005＋0.01＋0.02＋a ＋0.025＋0.01)＝1，解得a ＝0.03. …………………………………………………………………(3分)(II)根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.由于该校高二年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为600×0.85＝510 …………………….(6分)AEC 1B 1A 1DCB(III)成绩在[60,70)分数段内的人数为20×0.2＝4，成绩在[90,100]分数段内的人数为20×0.1＝2，则记在[60,70)分数段的四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，在[90,100]分数段内的两名同学为B 1，B 2.若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法共有15种. ……………………….(9分) 如果2名学生的数学成绩都在[60,70)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在[60,70)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的取法有共8种取法),(11B A ，),(21B A ，),(12B A ，),(22B A ，),(13B A ，),(23B A ，),(14B A ，),(24B A∴故所求概率为P ＝158. ………………………………(12分) 19. (I)证明：由BC AC =，D 是AB 的中点，得AB CD ⊥， ∵⊥1AA 平面ABC ，∴CD AA ⊥1，又∵A AB AA = 1，∴⊥CD 平面B B AA 11，∵⊂CD 平面D CA 1， ∴平面D CA 1⊥B B AA 11 ……….…………………(6分)(II)解：取11B A 中点E ，连接E C 1，BE ，ED ，易得E C 1∥CD ，则⊥E C 1平面B B A 11 ∴BE C 1∠为直线1BC 与平面B B A 11所成角 ……….………………………(9分)又 在E BC 1∆中，221=BC ,31=E C ，∴46223sin 111===∠BC E C BE C ∴直线1BC 与平面B B A 11所成角的正弦值为46.…………………………………(12分)20. 解：(I) M 到定点)01(，A 的距离与M 到直线4=x l ：的距离之比为21∴214)1(22=-+-x y x ……………………………………………………………………(3分) ∴点M 的轨迹C 的方程为13422=+y x .…………………………………….……………(6分) 注：此题如果直接当成椭圆的标准方程来计算酌情扣分.(II)解法一：设),(11y x P ，),(22y x Q ，由Q P ,在曲线C 上则1342121=+y x -----------①，1342222=+yx ----------②①-②得03422212221=-+-y y x x ，即0))((4))((321212121=+-++-y y y y x x x xM 在椭圆内且不在x 轴上21x x PQ ≠∴点且与椭圆恒有两个不同交直线，……………(9分)又 的中点为线段PQ N ∴221-=+x x ，221=+y y∴43=PQ k ，∴直线PQ 的方程为0743=+-y x ……………………………………(12分) 解法二：设),(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 中点N 不在x 轴上，的斜率存在直线PQ ∴.设，与)1(1:+=-x k y l PQ 13422=+y x 联立 012)1(4)1(8)43(222=-+++++⇒k x k k x k ……………………………………(9分)恒成立在椭圆内0>∆∴N ……………………………………(10分) 43243)1(8221=⇒-=++-=+k k k k x x∴直线PQ 的方程为0743=+-y x ……………………………………(12分)21.解: (I)证明：取BD 的中点O ，连接EO AO CO ,,， ∵120BCD ∠=︒且CD CB =∴BD CO ⊥， ………………………………（2分)又∵EC BD ⊥，EC CO C ⋂=.∴⊥BD 平面EOC ，∴BD EO ⊥在BDE ∆中，∵O 为BD 的中点，∴BE DE = ………………………（4分) (Ⅱ) (i)存在线段AE 中点M ，使得DM ∥平面BEC取AB 的中点N ，连接DN MN ,，则BE MN //，又∵⊄MN 平面BEC ，⊂BE 平面BEC ， ∴//MN 平面BEC ， …………………………（6分)∵ABD ∆是正三角形，∴AB DN ⊥，又∵o o o 903060=+=∠ABC ，即AB BC ⊥,∴BC DN //，又∵⊄DN 平面BEC ，⊂BC 平面BEC ，∴//DN 平面BEC ， 又∵N MN DN =⋂，∴平面//DMN 平面BEC ，又∵⊂DM 平面DMN ，∴//DM 平面BEC . …………………………（8分) (ii)连接BM ,∵ ABCD EBD 平面平面⊥，平面 EBD 平面ABCD BD =， BD EO ⊥， ∴⊥EO 平面ABCD ， …………………………（9分)∵直线AE 与平面ABD 所成的角为o 4545EAO ∴∠=；∴6EO AO == 又∵BD CO ⊥ ，BD AO ⊥，∴C O A ,,三点共线,BD AC ⊥ ， ∵在正三角形ABD ∆中 ，AB =，∴6AO=,BO DO ==∴BE ED DA ===∵M 为线段AE 的中点，∴AE DM AE BM ⊥⊥,，∴BMD∠为二面角D AE B --的平面角………………………………………………（11分)易得BM DM ==∴512cos 222=⋅-+=∠DM BM BD DM BM BMD∴二面角D AE B --的余弦值为51. …………………………………………………（12分)22.解： (I)由题意可知12222BF F S bc a c a b c ∆==-==+1且123232222=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==∴y x C b a 的方程为椭圆 ………………………………………（4分)(II)假设存在圆心在原点的圆)0(222>=+r r y x 满足题意，||||OM ON MN +=0=⋅∴ON OM .设)()(2211y x N y x M ，，，当切线斜率存在时，设切线方程为m kx y +=，联立0636)32(12322222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m kmx x k y x mkx y ， 则0)23(2422>+-=∆m k 且22212213263326km x x k km x x +-=+-=+，.……………（6分) 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=2222222222326232632)63(k k m m k m k k m k +-=++-+-=032623263222222121=+-++-=+=⋅∴k k m k m y y x x ON OM56606652222+=∴=--∴k m k m 且02322>+-m k 562≥⇒m .…………（8分)因为直线m kx y +=是圆)0(222>=+r r y x 的切线，所以56156611||222222=++=+=⇒+=k k k m r km r ， 所求圆方程为5622=+y x ……（10分) 此时圆的切线m kx y +=都满足562≥m 当直线的斜率不存在时，易知切线方程为，530±=x 与椭圆12322=+y x 的交点为)530530(±，或)530530(±-，，均满足0=⋅. 综上所述，存在圆心在原点的圆5622=+y x 满足题意. .………………………………（12分)。
2014-2015学年山东省德州一中高二（上）模块数学试卷（理科）（大纲版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（）A.ab＞acB.c（b-a）＜0C.cb2＜ab2D.ac（a-c）＞0【答案】A【解析】解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，∴c＜0＜a由此知A选项ab＞ac正确，由于c（b-a）＞0知B选项不正确，由于b2可能为0，故C选项不正确，由于ac＜0，a-c＞0，故ac（a-c）＜0，所以D不正确故选A先研究a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0结构，再由不等式的运算性质结合题设中的条件对四个选项逐一验证得出正确选项即可本题考查不等式与不等关系，主要考查了不等式的性质及运算，解决本题的关键就是熟练掌握不等式的性质与运算，对基本概念及运算的灵活运用是快捷解题的保证．2.x2-3x-10＞0的解集为（）A.（-∞，2）∪（5，+∞）B.（-2，5）C.（-∞，-2）∪（5+∞）D.（-5，2）【答案】C【解析】解：x2-3x-10＞0化为：（x-5）（x+2）＞0，可得x＜-2或x＞5．x2-3x-10＞0的解集为：（-∞，-2）∪（5，+∞）．故选：C．直接利用二次不等式求解即可．本题考查二次不等式的解法，基本知识的考查．3.在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cos A===-，因为A∈（0，π），所以A=．故选C根据余弦定理表示出cos A，然后把已知的等式代入即可求出cos A的值，由A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得到A的度数．此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．4.在a和b两个数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，则该数列的公差为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设a1=a，则a n+2=b，再设其公差为d，则a n+2=a1+（n+2-1）d即b=a+（n+1）d，所以，．故选B．在a和b两个数之间插入n个数，使它们与a、b组成等差数列，说明这组等差数列中共有n+2个数，设出公差，运用等差数列通项公式求公差．本题考查了等差数列的通项公式，解答此题的关键是明确总项数，属基础题．5.等比数列{a n}的各项均为正数，且a1=3，S3=21，则a3+a4+a5=（）A.33B.72C.189D.84【答案】D【解析】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a1=3，S3=21，∴，整理，得q2+q-6=0，解得q=2或q=-3（舍），∴a3+a4+a5=3×22+3×23+3×24=84．故选：D．由已知得，由各项为正数得q=2，由此能求出a3+a4+a5的值．本题考查等比数列中三项和的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．6.若△ABC的周长等于20，面积是10，A=60°，则BC边的长是（）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】解：依题意及面积公式S=bcsin A，得10=bcsin60°，得bc=40．又周长为20，故a+b+c=20，b+c=20-a，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-2bccos60°=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc，故a2=（20-a）2-120，解得a=7．故选C先设A、B、C所对的边分别为a、b、c，然后利用面积公式S=bcsin A得到bc的值，因为周长为a+b+c=20，再根据余弦定理列出关于a的方程，求出a的值即为BC的值．考查学生利用余弦定理解决数学问题的能力，以及会用三角形的面积公式，掌握整体代换的数学思想．7.等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a2+a4+a15的值是一个确定的常数，则数列{S n}中也为常数的项是（）A.S7B.S8C.S13D.S15【答案】C【解析】解：设a2+a4+a15=p（常数），∴3a1+18d=p，即a7=p．∴S13==13a7=p．故选C．设出a2+a4+a15的值，利用等差数列的通项公式求得a7，进而利用等差中相当性质可知a1+a13=2a7代入前13项的和的公式中求得S13=p，进而推断出S13为常数．本题主要考查了等差数列的性质．涉及等差数列的通项公式，等差中项的性质，等差数列的求和公式．8.在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1-y），若不等式（x-a）⊗（x+a）＜1对任意实数x都成立，则（）A.-1＜a＜1B.0＜a＜2C.-＜＜D.-＜＜【答案】C【解析】解：由已知：（x-a）⊗（x+a）＜1，∴（x-a）（1-x-a）＜1，即a2-a-1＜x2-x．令t=x2-x，只要a2-a-1＜t min．t=x2-x=，当x∈R，t≥-．∴a2-a-1＜-，即4a2-4a-3＜0，解得：-＜＜．故选：C．根据新定义化简不等式，得到a2-a-1＜x2-x因为不等式恒成立，即要a2-a-1小于x2-x的最小值，先求出x2-x的最小值，列出关于a的一元二次不等式，求出解集即可得到a的考查学生理解新定义并会根据新定义化简求值，会求一元二次不等式的解集，掌握不等式恒成立时所取的条件．9.{a n}是等比数列，且a2=4，a6=16，则a4=（）A.8B.-8C.8或-8D.10【答案】A【解析】解：设数列{a n}的公比为q，则可得a6=a2•q4，解得q4=4，故q2=2，可得a4=a2•q2=4×2=8故选A设数列{a n}的公比为q，可得q2=2，而a4=a2•q2，计算可得．本题考查等比数列的通项公式，得出q2=2是解决问题的关键，属基础题．10.数列1，，，…，的前n项和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵所以数列的前n项和为==故选B利用的等差数列的前n项和公式将已知数列的通项化简，利用裂项求和的方法求出数列的前n项和．求数列的前n项和的问题，一般先求出数列的通项，利用通项的特点，选择合适的求和方法．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是______ ．【答案】【解析】解：∵a1，a3，a9成等比数列，∴（a1+2d）2=a1•（a1+8d），∴=，故答案是：．由a1，a3，a9成等比数列求得a1与d的关系，再代入即可．本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的性质．12.在△ABC中，若C=30°，AC=3，AB=3，则△ABC的面积为______ ．【答案】或．【解析】解：∵由正弦定理可得：sin B==°=，∴B=60°或120°，1．B=60°，那么A=90°，△ABC的面积=×3×3=．2．B=120°，A=180°-120°-30°=30°．△ABC的面积=AC•AB sin A=×3×3×sin30°=．故答案为：或．由正弦定理可得sin B=，故可得B=60°或120°，由三角形面积公式分情况讨论即可得解．本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式的应用，属于基本知识的考查．13.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为______ ．【答案】5【解析】解：根据约束条件画出可行域直线z=5x+y过点A（1，0）时，z最大值5，即目标函数z=5x+y的最大值为5，故答案为5．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=5x+y过点A（1，0）时，z最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14.若x+3y-2=0，则2x+8y的最小值为______ ．【答案】4【解析】解：∵x+3y-2=0，即x+3y=2则2x+8y≥2=2==4，当且仅当x=3y=1时取等号．∴2x+8y的最小值为4．故答案为：4．利用基本不等式的性质、指数运算性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质，属于基础题．15.不等式ax2+bx+c＜0的解集为（-∞，m）∪（n，+∞），其中m＜0＜n，则不等式cx2+bx+a＞0的解集是______ ．【答案】＞或＜【解析】解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集为（-∞，m）∪（n，+∞），其中m＜0＜n，∴a＜0，m，n是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，∴m+n=-，mn=．不等式cx2+bx+a＞0化为＜0，∴mnx2-（m+n）x+1＜0，（mx-1）（nx-1）＜0，化为＞0，解得＞或x＜．∴不等式cx2+bx+a＞0的解集是＞或＜．故答案为：＞或＜．不等式ax2+bx+c＜0的解集为（-∞，m）∪（n，+∞），其中m＜0＜n，可得a＜0，m，n是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，又根与系数的关系可得：m+n=-，mn=．不等式cx2+bx+a＞0化为＜0，可得mnx2-（m+n）x+1＜0，解出即可．本题考查了一元二次不等式解集与根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asin A=（2b+c）sin B+（2c+b）sin C（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sin B+sin C=1，试判断△ABC的形状．【答案】解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c即a2=b2+c2+bc由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A故，°（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C．变形得=（sin B+sin C）2-sin B sin C又sin B+sin C=1，得sin B sin C=上述两式联立得因为0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B=C=30°所以△ABC是等腰的钝角三角形．【解析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c关系式，代入余弦定理中求得cos A的值，进而求得A．（Ⅱ）把（Ⅰ）中a，b和c关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与sin B+sin C=1联立求得sin B和sin C的值，进而根据C，B的范围推断出B=C，可知△ABC是等腰的钝角三角形．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的．17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=1，S11=33．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设．求证：{b n}是等比数列，并求其前n项和T n．【答案】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．∵，∴解得，，∴．（2）∵，∴，∴{b n}是首项，公比为的等比数列，故前n项和．【解析】（1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出；（2）利用等比数列的定义、通项公式和前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、等比数列的定义、通项公式和前n项和公式，属于中档题．18.（1）已知x＜，求函数y=4x-2+的最大值；（2）已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值．【答案】解：（1）∵x＜，∴4x-5＜0．∴y=4x-5++3=-[（5-4x）+]+3≤-2+3=1，当且仅当x=1时取等号．∴y max=1．（2）∵x＞0，y＞0且+=1，∴x+y=（x+y）=10+≥10+2=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．【解析】（1）变形利用基本不等式的性质即可得出；（2）利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于中档题．19.本公司计划2009年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【答案】解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得目标函数为，z=3000x+2000y．二元一次不等式组等价于，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0．平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立解得x=100，y=200．∴点M的坐标为（100，200）．∴z max=3000x+2000y=700000（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．【解析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，列出约束条件以及目标函数，画出可行域，利用线性规划求解即可．本题考查线性规划的应用，正确列出约束条件，画出可行域，求出最优解是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．20.已知函数f（x）=ax2+x-a，a∈R．（1）若函数f（x）有最大值，求实数a的值；（2）解不等式f（x）＞1（a≥0）．【答案】解：（1）∵函数f（x）有最大值，所以a≥0，不满足题意；∴＜，∴8a2+17a+2=0，∴a=-2或a=-．（2）f（x）=ax2+x-a＞1，即ax2+x-（a+1）＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0a=0时，解集为（1，+∞）a＞0时，解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）．【解析】（1）函数f（x）有最大值，则＜，解之，即可求实数a的值；（2）f（x）=ax2+x-a＞1，即ax2+x-（a+1）＞0，即（x-1）（ax+a+1）＞0，再分类讨论，确定不等式的解集．本题考查函数的最值，考查解不等式，解题的关键是确定方程两根的大小关系．21.若公比为c的等比数列{a n}的首项a1=1且满足（n≥3）．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和S n．【答案】解：（Ⅰ）由题设，当n≥3时，a n=c2a n-2，a n-1=ca n-2，，由题设条件可得a n-2≠0，因此，即2c2-c-1=0解得c=1或（Ⅱ）由（Ⅰ），需要分两种情况讨论，当c=1时，数列{a n}是一个常数列，即a n=1（n∈N*）这时，数列{na n}的前n项和当时，数列{a n}是一个公比为的等比数列，即（n∈N*）这时，数列{na n}的前n项和①1式两边同乘2，得②①式减去②式，得所以（n∈N*）【解析】（Ⅰ）由题设，当n≥3时，a n=c2a n-2，代即可求得c．（Ⅱ）由（Ⅰ），分c=1和时两种情况讨论c=1时，数列{a n}是等比数列．最后根据错位相减法求和．本题主要考查了数列的求和问题．考查了用错位相减法求数列的和．高中数学试卷第11页，共11页。
高二数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题： 1.直线320x y 的倾斜角为【 】 A. 6B.56C. 3D.233.以下命题正确的是 A.经过空间中的三点，有且只有一个平面。
B.空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等。
C.空间中，两条异面直线所成角的范围是(0,]2。
D.如果直线l 平行于平面内的无数条直线，则直线l 平行于平面。
4. 已知圆M 的方程为22224510xy xy ，则下列说法中不正确的是 【 】A. 圆M 的圆心为5(1,)4B.圆M 的半径为334C.圆M 被x 轴截得的弦长为3D. 圆M 被y 轴截得的弦长为1725. 已知,,a b c 是三条不重合的直线，,是两个不重合的平面，直线l，则【 】A. //,////a c b c a bB. //,////a b a bC. //,////a c c aD. ////a la 。
6．设aR ，则“1a ”是“直线21:()210l a a x y 与直线2:(1)40l xa y垂直”的 【 】A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 7.某几何体的三视图（单位：cm ）如图，则这个几何体 的表面积为（单位：cm 2） 【 】A. 2443B. 4883C.2483D.4843 9.若直线l 的方向向量为(1,1,2)u，平面的法向量为(3,3,6)n ，则 【 】A. //lB. α⊥lC. lD. l 与斜交10.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球P 的球面上，且4,3AB BC ,则棱锥P ABCD 的体积为 【 】 A. 53 B. 303 C.1033D.10311.已知不等式组36032020x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为 【 】A. 2B.3C.4D. 5 12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的方程为2282160xy xy ，若直线30kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆M 有公共点，则k 的取值范围为 【 】 A ．4(,]3-∞- B ．[0,)C ．4[,0]3D ．4(,][0,)3第Ⅱ卷13.平面直角坐标系中，直线320x y 关于点(1,1)对称的直线方程是____________.14.若命题“存在实数0[1,2]x ，使得230xe x m”是假命题，则实数m 的取值17． 已知直线1:(3)(21)50l a xa y ，直线2:(21)(5)30l a xa y，若12//l l ，求a 的值。
