力学中的泛函分析和变分原理第四讲

§2.3 Hilbert空间的Fourier级数
正交化方法
设 ������1 , ������2 , … 是Hilbert空间ℍ的一组元素，如果对任意的������ ≠ ������, ������, ������ ∈ ℕ+ , 均有 ������������ , ������������ = 0,则称 ������1 , ������2 , … 是ℍ中的正交集；如果每个������������ 都是单位元素 (即范数为1)，则称之为规范正交集.即ℍ中的规范正交集 ������1 , ������2 , … 满足： ������������ , ������������ = ������������������ = 1, ������ = ������ 0, ������ ≠ ������
索伯列夫空间
将区间 ������, ������ 上一阶连续可微函数全体构成的集合记为ℍ1 ������, ������ .在通常的函数 加法、数乘意义下,ℍ1 ������, ������ 是线性空间.对于任意的������ ������ ,������ ������ ∈ ℍ1 ������, ������ ,定义
§2.1 内积空间
内积空间
设������为实线性空间，如果对������中的任意两个元素������和������,均有一个实数与之对应， 此实数记为(������ , ������),它满足： (i) ������, ������ ≥ 0,当且仅当������ = ������时 ������, ������ = 0; (ii) ������, ������ = ������, ������ ;
������∈������
如果集合������中存在元素������ , 使������ ������ , ������ = ������ ������ , ������ , 则称元素������ ∈ ������是元素 ������ ∈ ������在集合������中的最佳逼近元，简称最佳元。
正交
§2.2 Hilbert空间的最佳逼近
定理1：设������是ℍ中的闭凸子集，������ ∈ ℍ\������,则存在唯一的������ ∈ ������,使得 ������ − ������ = inf ������ − ������
������∈������
推论：设������是ℍ中的闭子空间，������ ∈ ℍ\������,则存在������ ∈ ������,使得 ������ − ������ = ������ ������, ������ 定理2：若������ ⊥ ������,则 ������ + ������
研究生课程
力学中的泛函分析 与变分原理
第四讲：希尔伯特空间
授课教师：郭旭教授
大连理工大学工程力学系
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开集、闭集
设 ������, ������ 为距离空间，������是其中一个子集，������0 ∈ ������.如果������的所有元素都是 ������的内点，则������是开集。 令������ ⊂ ������, ������ 的所有聚点所构成的集合为������′ , 则集合������ = ������⋃������′ 称为������的 闭包。如果集合������满足������ ⊇ ������, 则称集合������为闭集。
(iii) ������������, ������ = ������ ������, ������ , ������为任意实数；
(iv) ������ + ������, ������ = ������, ������ + ������, ������ , ∀ ������ ∈ ������; 则称数(������ , ������)为������和������的内积，称������为内积空间。
Banach空间
如果线性赋范空间������中的任何基本序列都收敛于������中的元素，则称������为完备
的线性赋范空间，或称为Banach空间。
课 程 章 节
第一章：线性赋范空间 第二章：希尔伯特空间 第三章：有界线性算子 第四章：有界线性泛函与共轭空间
第五章：泛函的极值
第六章：力学中的变分原理
闭子空间������上的投影。 定理4：设������是Hilbert空间ℍ中的闭凸子集， ������ ∈ ℍ\������,则下列命题等价 (i) ������ ∈ ������是������的最佳元，即对任意的������ ∈ ������,均有 ������ − ������ ≤ ������ − ������ ; (ii) ������ ∈ ������满足：对任意的������ ∈ ������,均有 ������ − ������ , ������ − ������ ≤ 0; (iii) ������ ∈ ������满足：对任意的������ ∈ ������,均有 ������ − ������, ������ − ������ ≥ 0. 3
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������
= ������
������
则称空间������和������是等距同构的，或等价的。
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基本序列（Cauchy列）
设������为线性赋范空间， ������������
∞ ������=1 是������中的无穷序列，如果对于任给的������
> 0总
存在自然数������, 使得������ > ������时，对于任意自然数������, 均有 ������������+������ − ������������ < ������ 则称序列 ������������ 是������中的基本序列（也称为基本列、Cauchy列）。
线性赋范空间
设������是线性空间，如对������中的任一元素������,都对应于一实数，记为 ������ 且满足： (i) ������ ≥ 0,当且仅当������ = ������时 ������ = 0;
(ii) ������为实数， ������������ = ������ ������ ; (iii) ∀ ������, ������ ∈ ������, ������ + ������ ≤ ������ + ������
ℍ为Hilbert空间，������, ������ ∈ ℍ且 ������, ������ = 0,则称元素������ 与������ 是正交的，记作 ������ ⊥ ������. 设������是ℍ的子集，而元素������ ∈ ℍ与������中的任一元素都正交，则称元素������与集 合������正交，记为������ ⊥ ������. 2
则称 ������ 为元素������的范数，������称为按范数 ⋅ 的线性赋范空间。
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范数等价
设 ⋅
1
和 ⋅
2
是线性赋范空间������中的两种范数，如果存在常数������ > 0和
������ > 0使得∀ ������ ∈ ������,均有
������ ������
1
������ ������ 1/2 2 ������������
������ =
������
������ ������
+
������
������′ ������
2 ������������
2.4.2
空间ℍ1 ������, ������ 在范数(2.4.2)意义下的完备化空间记为ℍ1 ������, ������ ,称为Sobolev空间。
2
= ������
2
+ ������
2.
定理3(投影定理)：设������是ℍ的闭子空间，������ ∈ ℍ\������,则������ 是������在������中的最佳元
的充要条件是 ������ − ������ ⊥ ������,即对∀ ������ ∈ ������,均有 ������ − ������ , ������ = 0. ������ 称为元素������在
它们的内积为
������ ������
������, ������ =
������
������ ������ ������ ������ ������������ +
������
������′ ������ ������ ′ ������ ������������
2.4.1
不难验证它满足内积的四条公理，因而ℍ1 ������, ������ 是内积空间，相应的范数为
≤ ������
1
2
≤ ������ ������
2
1
则称两种范数是等价的，简记为 ⋅
~ ⋅
.
等距同构
设������和������是两个线性赋范空间，对应范数分别为 ⋅
������ 和
⋅
������ .
如果������和������存在
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一个同构映射������: ������ = ������ ������ ,������ ∈ ������, ������ ∈ ������.它还满足： ������ ������
Hilbert空间
内积可以诱导范数，例如可以定义: ������ = ������, ������ .在此范数定义下，完备的
内积空间称为Hilbert空间，记作ℍ.（今后出现的ℍ均代表Hilbert空间） 1
§2.2 Hilbert空间的最佳逼近
最佳逼近元
设������为距离空间，������是������中一个集合，������ ∈ ������\������. 记������(������ , ������)为点������到集合������的 距离，其中 ������ ������ , ������ = inf ������ ������, ������
正交补
设������为Hilbert空间ℍ中的子集,ℍ中所有正交于������的元素集合称为������的正交补， 记为������⊥ .
定理：设������是Hilbert空间ℍ中的闭子空间，则ℍ = ������⨁������⊥,且 ������⊥
⊥
= ������.
5
§2.4 Sobolev空间
∞ ������=1 ������������ ������������
∈ ℍ,均有
∞ ������=1
������������
2
= ������
2;
(ii) 若有一元素������ ∈ ℍ与每个������������ 都正交，则������ = ������. 4
§2.3 Hilbert空间的Fourier级数
设 ������������ 是Hilbert空间ℍ的规范正交集，如果对于∀ ������ ∈ ℍ,均有
∞
������ =
������=1
������������ ������������
其中������������ = ������, ������������ ,则称 ������1 , ������2 , … 是完全的。 定理：设 ������1 , ������2 , … 是ℍ中的规范正交基，则其为完全的充分必要条件是 (i) 对于∀ ������ =