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泛函分析在力学和工程中的应用陆章基（复旦大学应用力学系）摘要本文简单介绍泛函分析方法在力学和工程中的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法、超圆方法、变分法、变分不等式与凸分析、算子的特征值与谱方法、与实验技术有关的泛函方法等。
并介绍当前非线性分析中部分动态。
$ 1 泛函分析概述泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。
所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。
其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。
根据不同拓扑和代数结构，泛函空间划分为各个类别。
力学和工程中常见的有①：（i）度量（距离）空间。
对任意两抽象元引入距离，由此自然地引入开集等拓扑结构。
从而，度量空间是一特殊拓扑空间，但尚未赋予代数结构；（ii）线性拓扑空间（拓扑向量空间。
同时带有拓扑和代数结构。
所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。
有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。
这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。
由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。
泛函分析的空间（尤其各类函数空间）绝大部分是无限维的。
线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。
但最重要的线性拓扑空间应是下列线性赋范空间；（iii）线性赋范空间。
每个元（常称向量）配有番薯||x||（是普通向量长度的推广）。
线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。
就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑和度量空间。
于是，具有这两个空间中所有概念。
例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。
即任何柯西序列是否为收敛序列。
（iv）Banach空间。
它是完备的线性赋范空间。
完备性使该空间具有十分良好的性质。
例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理和开映照原理等。
（v）内积空间。
内积的引入使该空间更直观形象，内容格外丰富。
内积把普通的几何术语差不多全带到抽象空间中。
变分原理泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
因此泛函也称为函数的函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值。
对于弹性力学问题，根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为代数方程。
弹性体的应变能是基本未知量应力或者应变分量的函数，当然应力或者应变分量是坐标的函数。
因此，应变能就是泛函。
在数学分析中，讨论函数和函数的极值。
变分法讨论泛函的极值，是极值问题的推广。
下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。
如果需要深入探讨复变函数问题，请查阅参考资料。
§1 泛函和泛函的极值首先引入泛函的概念。
泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
因此泛函也称为函数的函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值作为变分法的简单例题。
考察x，y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y（x）中的最短曲线。
（补充图）设P1（x1，y1）和P2（x2，y2）为平面上给定的两点，y（x）为连接两点的任意曲线。
于是，这一曲线的长度为连接P1，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。
满足边界条件的y（x）称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。
根据上式，L [y]依赖于y（x），而y（x）是x的函数，因此称y（x）为自变函数；L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。
求解最短程线问题，即在满足边界条件在x=x1时，y（x1）=y1，y'（x1）= y'1在x=x2时，y（x2）=y2，y'（x1）= y'2的函数y（x）中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。
因此y（x）称为容许函数。
上述问题应用变分法可以概括为求解泛函在边界条件y(x1)=y1，y(x2)=y2的极小值问题。
§2 泛函极值的必要条件-欧拉方程假设函数y（x）是使得泛函L [y]为最小的特定函数（真实的）。
变分法有兴趣研究的是邻近于y（x）的任意容许函数引起泛函L [ ]的改变。
第七章 变分原理§1 泛函分析中的一些概念在变分原理及有限元等数值方法中，要涉及到泛函分析中的一些概念。
虽然有些概念在应用某些数值方法求解问题时，并非必需，但是掌握它们对于深入研究数值法的理论，阅读有关文献专著，却有很大的益处。
本节将根据需要，对某些概念作一简单介绍。
1.1 Hilbert 空间在引进Hilbert 空间的概念之前，我们先对线性空间等概念作一简单回顾。
1．线性空间定义1 设H 是某些元素的集合，K 是实数（或复数）域。
如果对H 中任何元素,x y ，定义了一种所谓“加法”运算x y +及a K ∈与x H ∈的“数乘”运算ax ，使x y +，ax 属于H ，且具有性质：（1）x y y x +=+；（2）()()x y z x y z ++=++；（3）存在所谓“零元素”,H θ∈使,x x x H θ+=∀∈；（4）对任何x H ∈，都有一个相应的“逆元素”x H -∈，使()x x θ+-=； （5）()(),,,x x K x H αβαβαβ=∈∈； （6）1,x x x H ⋅=∈；（7）(),,,x x x K x H αβαβαβ+=+∈∈； （8）(),,,x y x y K x y H αααα+=+∈∈； 则称H 是实数（或复数）域上的线性空间。
例1 定义在[,]a b 上的一切连续函数的全体记作C ；若对任意两个元素,f g C ∈，定义()()()(),()(),,[,]f g x f x g x x a bf x f x K xa b ααα+=+∈=∈∈则空间C 是实线性空间，记作[,]C a b 。
例2 考虑有限空间[,]a b （或区域Ω）上平方可积函数()f x ，即使2|()|b af x d x <∞⎰（或2|()|f x dx Ω<+∞⎰）（1.1） 成立的函数类，记作2[,]L a b （或2()L Ω），对于2,[,]f g L a b ∈，显然,a f f g +均属于2[,]L a b ，且满足性质（1）－（8），故2[,]L a b （或2()L Ω）可积是线性空间。
