泛函分析中的概念和命题
赋范空间，算子，泛函
定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach 空间.
定理：M 是赋范线性空间()||||,⋅X 的一个真闭线性子空间，则,1||||,,0=∈∃>∀y X y ε使得： M x x y ∈∀->-,1||||ε
定理：设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，则
1.*
X f ∈()()的闭线性子空间是X x f X x f N }0|{=∈=⇔ 2.()()中稠密在是不连续的非零线性泛函X f N x f ⇔
定理：()空间是空间是则是赋范空间，Banach ,Banach },{,Y X B Y X Y X ⇔≠θ ()()()||||||||||||,,,,,,,,B A AB Z X B AB Z Y B Y X B A Z Y X ≤∈∈∈且则是赋范空间，
可分B 空间：()()[]可分b a C c c p l L p P ,,,,1,1,00∞<≤ ()∞∞l L ,10，
不可分 Hahn-Banach 泛函延拓定理
设X 为线性空间，上的实值函数是定义在X p ，若：
(1)()()()()为次可加泛函则称p X y x y p x p y x p ,,,∈∀+≤+
(2)()()()
为正齐性泛函，则称p X x x p x p ∈∀≥∀=,0,ααα (3) ()()()
为对称泛函，则称p X x x p x p ∈∀∈∀=,K ,||ααα 实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是实线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加正齐性泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的实线性泛函且满足()()()00X x x p x f ∈∀≤，则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ，且满足：
1．()()()X x x p x f ∈∀≤0
2. ()()()00X x x f x f ∈∀=
复Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是复线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加对称泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的线性泛函且满足()()()00||X x x p x f ∈∀≤，则必存在一个定义在X 上的线性泛函f ，且满足：
1．()()()X x x p x f ∈∀≤||0
2. ()()()00X x x f x f ∈∀=
定理: 设X 是线性空间， 若}{θ≠X ， 则在X 上必存在非零线性泛函。
Hahn-Banach 延拓定理: 设X 是赋范线性空间， 0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的有界线性泛函，则必存在一个定义在X 上的有界线性泛函f ，满足：
1．0||||||||0X f f =
2. ()()()00X x x f x f ∈∀=
定理：设X 是赋范线性空间，M 是X 的线性子空间，(),0,,00>=∈d M x X x ρ则必有 *X f ∈，满足：
(1)()()1||||)3()2(,00==∈∀=f d x f M x x f ；；
定理：设X 是赋范空间，()1||||||,||,},{00*0==∈∃-∈∀f x x f X f X x 使必θ
定理：设X 是赋范空间，1}||||,|)(sup{|||||,*000=∈=∈∀f X f x f x X x ：必有
凸集分离定理
极大线性子空间：一个线性空间的子空间，真包含它的线性空间是全空间
超平面：它是线性空间中某个极大线性子空间对某个向量的平移，也称极大线性流形
承托超平面：的在点凸集0x E 承托超平面0x L L E L 有公共点的一侧，且与在是指 Minkowski 泛函：上作一个点的凸子集，在的含有是是线性空间，设X X M X θ 取值于],0[+∞的函数： ()()X x M x x p ∈∀∈>=},|
0inf{λλ
与M 对应，称函数p 为M 的Minkowski 泛函
定理：L 是赋范空间X 的(闭)超平面⇔存在X 上的非零(连续)线性泛函f 及
()}|{,,r x f X x H H L R r r f r
f =∈==∈其中使
Hahn-Banach 定理的几何形式: 设X 是赋范空间，E 是X 的具有内点的真凸子集，又设00,x E E X x 与离则必存在一个超平面分-∈
定理：设X 是赋范空间，；具有内点，且的两个非空凸集，是和φ=⋂F E E X F E 0
则 F E H X f s s
f 和分离使得超平面及},{R *θ-∈∈∃
Ascoli 定理：设X 是赋范空间，E 是X 的真闭凸子集，则R ,,*0∈∈∃-∈∀αX f E X x 适
合()()
()E x x f x f ∈∀<<，0α Mazur 定理：设X 是赋范空间，E 是X 的一个有内点的凸子集，F 是X 的一个线性流形，又设的一侧在，使的闭超平面则存在一个包含L E L F F E ,0
φ=⋂
定理：设X 是赋范空间，E 是X 的一个含有内点的闭凸集，则通过E 的每个边界点都可以作出E 的一个承托超平面 基本定理
定理：()()()εθθε,1,,0,Banach ,O TB Y X B T Y X ⊃>∃∈使得是满射，则空间，是设 开映射定理：()是开映射是满射，则空间，是设T Y X B T Y X ,Banach ,∈
Banach 逆算子定理：()()Y X B T Y X B T Y X ,,Banach ,1∈∈-是双射，则空间，是设
等价范数定理：设X 是线性空间，1||||•和2||||•是X 上的两个范数，若X 关于这两个范数都成为Banach 空间，而且2||||•强于1||||•，则1||||•也强于2||||•，从而1||||•和2||||•等价
闭算子：是赋范空间，设Y X ,()的映射，到是Y X T D T ⊂若T 的图像()()}|,{T D x Tx x ∈是
赋范线性空间Y X ⨯中的闭集，则称T 是闭映射或闭算子
闭算子判别定理：设Y X ,是赋范空间，()⇔⊂是闭映射的映射，则到是T Y X T D T
(),}{T D x n ⊂∀若()00000,,Tx y T D x Y y Tx X x x n n =∈∈→∈→，且则
闭图像定理：空间，
是设Banach ,Y X ()的线性映射到是Y X T D T ⊂，而且是闭算子，若 ()T D 是X 的闭线性子空间，则T 是连续的
定理：空间，
是设Banach ,Y X 的线性算子到是Y X T ，则T 连续⇔T 是闭算子 共鸣定理：空间，是设Banach X Y 是赋范空间，().,,Λ∈∈λλY X B T 如果X x ∈∀，都有
