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定 理一 ： f (z) u(x, y) v(x, y)i
x
y
在 一点z x iy可 导的 充 分必 要 条：件 为
u(x, y),v(x, y)在 点z(x, y)可 导；
满 足柯 西 黎 曼方 程u： v , u v x y y x
定理二f(： z)u(x, y)v(x, y)i 在 区D域内 解 析 的 充 分 必为要：条 件 u(x, y),v(x, y)在D内可导； 在D内 （ CR方 程 ）： u v, u v x y y x
g ( z )2
6、 f [ g ( z )] f ( w ) g ( z ) w g ( z )
2、解析函数
w f (z)在点z0解析： f (z)在z0及z0的邻域内处处可导
在区D 域 内解析f(： z)在D内每一点解析。
f(z)在z0不解 析 z0为奇点。
定理： 1） 如果f (z)，g(z)在区域D内解析，有 :
a,b,c,d?可f使 (z)处 处 解 析 。
例 3 、 f'(z)0 在 D 内 f(z)常数
例 4、如f果 (z)： uiv为解析函 f(z)数 0 ， 则曲 ：线 u(x组 ,y)c1和 v(x,y)c2互 相 正
证明：
f (z)
1 i uy
vy
0
u y ,v y不全为
0
uy,v
都不为
f (z) g(z), f (z) g(z), f (z) , 在D内都解析。 g(z)
2） h=g(z)在D内解析，w=f(h)在G内解析， 如果函数h=g(z)的函数值集合落在G内，则 复合函数w=f[g(z)]在D内解析
有 理 函 数 （ 多 项整式个）复在平 面 上 解 析 。 wP(z)a0 a1zanzn 有理分w式 P(z)（两个多项式的分商母）不除 0的 为
提 供 了 判 断 函 数 是导否的可方 法 ；
给 出 了 求 导 公 式 。 f ( z ) u i v v i u x x y y
u - u
x
y
v
v
x
y
目标 2：由柯西 黎曼方程判断函 析数 性的 。解
u
u
例 1： f(z)z,z2,zRez)的 ( 解析性 xv -
y v
x
y
例 2： f(z)x2axyb2yi(cx 2dxyy2)
1、( c ) 0
2、( z n ) nz n 1 n 正 整 数
3、 f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z )
4、 f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z )
5、
f (z) g(z)
f (z )g(z ) f (z )g (z )
§3 初 等 函 数
实变函数中有五个初基等本函数：
ex,l ogax, xn,si nx, Arcsi nx 用初等函数的四则合和运复算得到一般函数。
推 广 到 复 数 域 ，初 有等 五函 种数 ： 性质、解析性
ez ,Lnz,za ,sinz,Arcsinz
1、指数函数 e（ z ：周期）
定义 f ( z)满足 3个条件为 e z： f (z)在复平面内处处解析； f (z) f (z) Im( z) 0时有 e z e x ;
Q(z) 点外，处处解析。
目标1：由定义或定理判 数断 的函 解析点。
例 3、 (1)f(z)z2 (2)f(z)x2yi (3)f(z)z2 (4)f(z)1的解析性？
z
§2 函数解析的条件
复变可导比实变严多格；的 复变可导不但实部部和必虚须可导， u
x 而且它们之间还要殊有的特关系。 v
- u y v
y
0，
u( x ,
y)
c1
任一条曲线斜率为：
dy dx
k1
ux uy
v(x, y) c2
任一条曲线斜率为：
dy dx
k2
vx vy
利用 C R方程得：
k1k2
ux uy
vx vy
1 两曲线正交。
uy 0 vx,vy 0 ux
k1
ux uy
ux 0
平行与
y轴， k 2
vx vy
f(z 0) d dz w z z 0 lz i0f m (z 0 zz ) f(z 0)
注意 z ： 0的方式是 ,比任 实意 变的 严
例1：f z2 连 续 、 处 处 导 数 存 在 例2： 函 数 ： w f (z) x 2yi
连续、处处不可导
求导法则： 导数定义形式与 同实 ，变 求相 导法则与 同实 。
0
vy
0平行与
x轴
高 层
f ( z )在D内解析
f ( zห้องสมุดไป่ตู้)在D内可导
中 层
f(z)在z0解 析
f(z)在z0可 导
低
层
f(z)在z0连 续
连续、点解析、区域解 析关系图
目标1：由定义或定理判 数断 的函 解析点。 目标 2：由柯西 黎曼方程判断函 析数 性的 。解
作业 1：第二章习 (p6题6) 2, 3
f(z) e z e x iy e x (cy o issiy)n
模 ez ： ex 辐A 角 e rz g ： y2 k
ez的性质(： 4条)
f ( z ) ez 0
ez ez 处处解析
满足加法定理：ez1ez2 ez1z2
周期性：周期为2 i
Rez()excoys Imez()exsiny
第二章 解析函数
• 基本要求：
• 1、掌握复变函数求导数； • 2、掌握解析函数的判断及柯西.黎曼方程。 • 3、初等函数的定义及性质。
1、导数：
§1 解 析 函 数
定义 w： f(z)定义在 D 内 ,区 z0 域 D 如 l果 z i0m f(z0 zz)f(z0)存在， f(z则 )在 z0可 ：导 称
Vargzarc(tyg) x
[x,y]=meshgrid(-4:0.1:4); v=atan(y./x); surf(x,y,v)
ez ex
2、对数函L数 nz（ ：多值）
定义 ew： z成 使 立w 的 L函 zn 数
Lznln ziAzrg ln ziarz gi2k
主值对数函数：
lnz lnz iargz argz
多值对数函数：
Lnz lnz2k i k 1,2
Ulnzlnxiy
[x,y]=meshgrid(-4:0.1:4); u=log(sqrt(x.^2+y.^2)); surf(x,y,u)
