第四版复变函数第二章.

By 宋朝红2.1 复变函数的极限2.2 复变函数的连续性2.3 导数2.4 解析函数2.5 调和函数Math HZAU第二章导数zz f z z f z Δ)()Δ(lim 000Δ−+→1 导数与微分定义：设函数w=f(z)在包含z 0的某邻域D 内有定义，点z 0+⊿z ∈D. 如果极限存在, 则称f (z )在z 0可导, 此极限值就称为f (z )在z 0的导数, 记作0000Δ0(Δ)()d ()lim .d Δ|z z z f z z f z w f z z z=→+−′==如果f (z )在区域D 内处处可导, 则称f(z)在Ｄ内可导.例1求f (z )=z 2的导数例3讨论函数f (z )=|z|2的可导性函数可导一定连续，但连续却不一定可导例2问：函数f (z )=x +2yi 是否可导？求导公式与法则①常数的导数c ′=(a+ib )′=0.②(z n )′=nz n-1(n 是自然数).③设函数f (z ),g (z ) 均可导，则[f (z )±g (z )]′=f ′(z )±g ′(z )，[f (z )g (z )]′= f ′(z )g (z )+ f (z )g ′(z )----实函数中求导法则的推广)0)((,)()(')()()('')()(2≠−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z g z g z g z f z g z f z g z f④复合函数的导数( f [g (z )])′=f ′(w )g ′(z )，其中w=g (z )。

.0)()()()(10处可导点外）处在复平面上（除分母为导；在整个复平面上处处可由以上讨论z Q z P z R z a z a a z P nn =+++=⇒"⑤反函数的导数，其中: w=f (z )与z=ϕ(w )互为单值的反函数，且ϕ′(w )≠0。

)('1)('w z f ϕ=例3求f (z )=Arcsinz=-iLn (iz+ ）的导数。

复变函数论第四版答案钟玉泉第二章 解析函数（一）1.证明:0>∃δ,使{}0001/),(t t t t δδ+-∈∀,有)()(01t z t z ≠,即C 在)(0t z 的对应去心邻域内无重点,即能够联结割线)()(10t z t z ,是否就存在数列{}01t t n →,使)()(01t z t z n =,于是有0)()(lim )(0101001=--='→t t t z t z t z n n t t n此与假设矛盾.01001),(t t t t t >⇒+∈δ因为 [])()(a r g )()(a r g 010101t z t z t t t z t z -=-- 所以 []])()(lim arg[)()(arglim )()(arg lim 0101010101010101t t t z t z t t t z t z t z t z t t t t t t --=--=-→→→因此,割线确实有其极限位置,即曲线C 在点)(0t z 的切线存在,其倾角为)(arg 0t z '.2.证明:因)(),(z g z f 在0z 点解析,则)(),(00z g z f ''均存在.所以 )()()()()()(lim )()()()(lim )()(lim 00000000000z g z f z z z g z g z z z f z f z g z g z f z f z g z f z z z z z z ''=----=--=→→→ 3.证明:()()()()()3322,0,0,,0,00x y x y u x y x y x y ≠⎧-⎪=+⎨⎪=⎩()()()()()3322,0,0,,0,00x y x y v x y x y x y ≠⎧+⎪=+⎨⎪=⎩于是()()()00,00,00,0limlim 1x x x u x u xu xx →→-===,从而在原点()f z 满足C R -条件,但在原点，()()()()()'0,00,0x x u iv u iv f f z z z+-+-= ()()()()()()333311i x y i zx y z ⎡⎤+--+⎣⎦=⎡⎤+⎣⎦当z 沿0y x =→时,有()()()'212f f z i z x --+= 故()f z 在原点不可微.4.证明:(1)当0≠z 时,即y x ,至少有一个不等于0时,或有y x u u ≠,,或有y x u u ≠-,故z 至多在原点可微.(2)在C 上处处不满足C R -条件. (3)在C 上处处不满足C R -条件. (4)221yx yix z z z z ++==,除原点外, 在C 上处处不满足C R -条件. 5.解:(1) y x y x v xy y x u 22),(,),(==,此时仅当0==y x 时有 xy v xy u x v y u x y y x 22,22-=-===== 且这四个偏导数在原点连续,故)(z f 只在原点可微. (2) 22),(,),(y y x v x y x u ==,此时仅当y x =这条直线上时有 00,22=-=====x y y x v u y v x u且在y x =这四个偏导数连续,故)(z f 只在y x =可微但不解析. (3) 333),(,2),(y y x v x y x u ==,且00,9622=-=====x y y x v u y v x u 故只在曲线0212312=-x y 上可微但不解析.(4) 32233),(,3),(y y x y x v xy x y x u -=-=在全平面上有 xy v xy u y x v y x u x y y x 66,33332222-=-=-=-==-= 且在全平面上这四个偏导数连续,故可微且解析. 6.证明:(1)y y x x iu v iv u z f D yi x z -=+='=∈+=∀)(0,(2)设().f z u iv =+则()f z u iv =-，由()f z 与()f z 均在D 内解析知,,x y y x u v u v ==-,,x y y x u v u v =-=结合此两式得0x y x y u u v v ====，故,u v 均为常数,故)(z f 亦为常数. (3)若0)(=≡C z f ,则显然0)(≡z f ,若0)(≠≡C z f ,则此时有0)(≠z f ,且2)()(C z f z f ≡,即)()(2z f C z f ≡也时解析函数,由(2)知)(z f 为常数.(4)设().f z u iv =+,若C y x u ≡),(,则0,0≡≡y x u u ,由C R -条件得 0,0≡=≡-=x y y x u v u v 因此v u ,为常数, 则)(z f 亦为常数.7.证明：设,f u iv g i f p iQ =+==+则,,f u iv g v iu =-=-由 ()f z 在D 内解析知,x y y x u v u v ==-从而 ,x x y v y y x p v u Q p v u Q x ==-====- 因而()g z 亦D 内解析.8.解:(1)由32233),(,3),(y y x y x v xy x y x u -=-=,则有 222233,6,6,33y x v xy v xy u y x u y x y x -==-=-=故y x y x v v u u ,,,为连续的,且满足C R -条件,所以()z f 在z 平面上解析,且 22236)33()(z xyi y x i v u z f x x =+-=+='(2) ()()()(),cos sin ,cos sin x x u x y e x y y y v x y e y y x y =-⋅=- ()cos sin cos x x y u e x y y y y v =-+=()s i n s i n c o sx y x u e x y y y y v =--+=- 故()f z 在z 平面上解析，且()()()'cos 1sin sin 1cos x xf z e y x y y ie y x y y =⋅+-+⋅+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(3)由xshy y x v xchy y x u cos ),(,sin ),(==,则有x c h y v x s h y v x s h y u x c h y u y x y x c o s ,s i n ,s i n ,c o s =-===故y x y x v v u u ,,,为连续的,且满足C R -条件,所以()z f 在z 平面上解析,且z x s h y i x c h y i v u z f x x c o s s i n c o s)(=-=+=' (4)由xshy y x v xchy y x u sin ),(,cos ),(-==,则有x c h y v x s h y v x s h y u x c h yu y x y x s i n ,c o s ,c o s ,s i n -=-==-= 故y x y x v v u u ,,,为连续的,且满足C R -条件,所以()z f 在z 平面上解析,且z x s h y i x c h yi v u z f x x s i n c o s s i n )(-=--=+=' 9.证明:设,i z x yi re θ=+=则cos ,sin ,x r y r θθ== 从而cos sin ,sin cos r x y x y u u u u u r u r θθθθθ=+=-+cos sin ,sin cos ,r x y x y v u v v v r v r θθθθθ=+=-+再由11,r r u v v u r rθθ==-，可得,x y y x u v u v ==-，因此可得()f z 在点z 可微且()()()'11cos sin sin cos x y r r f z u iu r u u i r u u r r θθθθθθ=-=--+()()1c o s s i n s i n c o s r i u i u r θθθθθ=--+()()c o s s i n s i n c o s r r i u iv θθθθ=-++()()c o s s i n r r i u iv θθ=-+ ()()1c o s s i n r r r r ru i v u i v i zθθ=+=++10.解:(1)x y i x z i e e e 2)21(22--+--== (2)222222y zxyiy zz e e e -+-==(3) 22222211x yi xy ix iyx yx yx y ze eeee--++++===⋅所以22221Re cos x yx y x y z e e ++⎛⎫= ⎪⎝⎭11.证明:(1)因为)sin (cos y i y e e e e e x yi x yi z z +=⋅==+ 因此 )sin (cos y i y e e x z -=而)sin (cos y i y e e e e e x yi x yi z z -=⋅==--,得证.(2)因为 ie e z iziz 2sin --=所以 z ie e i e e z iziz z i z i sin 22sin =+=-=--- (3)因为2cos iziz e e z -+=所以z e e e e z iziz z i z i cos 22cos =+=+=-- 12.证明:分别就m 为正整数,零,负整数的情形证明,仅以正整数为例 当1=m 时,等式自然成立. 假设当1-=k m 时,等式成立.那么当k m =时,kz z k z k z e e e e =⋅=-1)()(,等式任成立. 故结论正确.13.解:(1) )1sin 1(cos 333i e e e e i i +=⋅=+(2) ()()()11cos 12i i i i e e i ---+-=()112i i i e e -+++=c o s 11s i n 1122e i e e e ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14.证明:(1)由于z z g z z f ==)(,sin )(在点0=z 解析 且01)0(,0)0()0(≠='==g g f 因此 11cos sin lim0===→z z zz z(2)由于0)(,1)(=-=z g e z f z 在点0=z 解析,且01)0(,0)0()0(≠='==g g f因此 11lim0==-=→z z z z e ze(3)由于z z z g z z z z f sin )(,cos )(-=-=在点0=z 解析, 且1)0(,0)0()0(,0)0()0(,0)0()0(='''=''=''='='==g g f g f g f 因此 3cos 1sin cos 1lim sin cos lim00=-+-=--→→zzz z z z z z z z z 15.证明：2cos iziz e e z -+=)c o s ()c o s (c o s nb a b a a +++-+=222)()()()(nb a i nb a i b a i b a i ia ia e e e e e e +-++-+-++++++ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅+--⋅+-+ib bn i ia ib b n i ia e e e e e e 111121)1()1(=)2cos(2sin 21sinnb a b bn ++=右边同理证明(2).16.证明:(1) z i e e i i e e i e e iz zz z z iz i iz i sinh 222)sin()()(=-⋅=-=-=--- (2) z e e e e iz z z iz i iz i cosh 22)cos()()(=+=+=-- (3) z i ie e i e e iz iziz iz iz sin 22)sinh(=-⋅=-=--(4) z z iz i iz cos )cos()cos()cosh(=-=⋅= (5) z i zzi iz iz iz tanh cosh sinh )cos()sin()tan(===(6) z i zzi iz iz iz tan cos sin )cosh()sinh()tanh(===17.证明:(1) 1)(sin )(cos )(222222=+=+=-iz iz ishz z ch z sh z ch(2) 111sec 2222222=+=+=+zch zsh z ch z sh z ch z th z h (3) )sin()sin()cos()cos()cos()(21212121iz iz iz iz iz iz z z ch -=+=+2121s h z s h z c h z c h z +=18.证明:(1) xshy i xchy iy x yi x yi x z cos sin )sin(cos )cos(sin )sin(sin +=+=+= (2) xshy i xchy iy x yi x yi x z sin cos )sin(sin )cos(cos )cos(cos +=-=+= (3) y x y xsh y xch xshy i xchy z 22222222sinh sin cos sin cos sin sin +=+=+= (4) y x y xsh y xch xshy i xchy z 22222222sinh cos sin cos sin cos cos +=+=-=19.证明: chz e e e e shz zz z z =+='-='--2)2()( s h z e e e e c h z zz z z =-='+='--2)2()(20.解:(1) )31arg(31ln )31ln(i i i i z +++=+= )23(2ln ππk i ++= ),1,0( ±=k(2)由于2ln iz π=,则有i i e z i=+==2sin2cos2πππ(3)由于)2(1ππk e e i z +=-=,故)2(ππk i z += (4)z z sin cos -=,即1tan -=z ,所以 ππk i i i z +-=+-=411ln 21(5) 设,z x iy =+由12tgz i =+得()()sin 122cos iz iz iz iz zi e e i e e z--=+→-=-+ 2255izi e →=-+22cos 25y e x -→=-，1sin 25x =41ln 5,54y e y -→==且1112,222tg x x arctg π⎡⎤⎛⎫=-=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11ln 5224z arctg i π⎡⎤⎛⎫→=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 21.证明:因)1arg(1ln )1ln()1ln(-+-=-=-θθθi i i re i re re z ,所以)cos 21ln(21)sin ()1(ln 1ln )]1Re[ln(222θθθθr r r re re z i i -+=+-=-=- 22.解: 32)(3)()(πθk z ik ez r z w +=,)2,1,0;2)(0;(=<<∈k z G z πθ利用i i w -=)(定2,=k k ,再计算)(2i w -23.解: 2,22ππii e i e ==-,由32)2(-=-w 定1,=k k ,再计算i e i w π451)(=24.解: )24(2ln )]2)1(arg(1[ln )1ln()1(πππk i k i i i i i i ieeei +-+++++===+)24(2ln ππk i ee+-⋅= ),2,1,0( ±±=kππk i k i i i i e e e e 23ln )]23(arg 3[ln 3ln 3-++⋅=== ),2,1,0( ±±=k25.解:z 在z 平面上沿0=z 为圆心,1>R 为半径的圆周C 从A 走到B ,经过变换4z w =,其象点w 在w 平面上沿以0=w 为心,14>R 为半径的象圆周从A '走到B ',刚好绕1+=w w 的支点-1转一整周,故它在B '的值为B w '+1.因此1)()(4+-=-=R z f z f AB.26.证明：()f z =可能的支点为0，1，∞由于 3|12+，故()f z 的支点为0,1z =，因此在将z 平面沿实轴从0到期割开后，就可保证变点z 不会单绕0或者说转一周，于是在这样割开后的z 平面上()f z 就可以分出三个单值解析分支. 另由已知 ()a r g f z π=得()()arg c i f zi f i e π∆=()2a r g 1a r g3c c i z z e⎡⎤∆-+∆⎣⎦=32342i ππ⎡⎤+⋅⎢⎥⎣⎦=712i eπ=.(二)1.证明:由()21z f z z =-得()()2'2211z f z z +=-，从而于是()f z 在D 必常数()()()()()()22'2222111111z zf z zz f z z z z+-+⋅==---()4242121Re m z I z i z z -+=+- 所以 ()()4'421Re 12Re zf z z f z z z ⎛⎫-⋅= ⎪ ⎪+-⎝⎭由于1z <，因此410,z ->且()24422212Re 1210z z z z z+-≥+-=->故()()'Re 0f z z f z ⎛⎫⋅> ⎪ ⎪⎝⎭.2.证明:同第一题221Im 2111)()(1zzi z z z z f z f z -+-=-+='''+. 3.证明:题目等价域以下命题:设1,E E 为关于实轴对称的区域,则函数在E 内解析)(z f ⇒在1E 内解析.设)(z f 在E 内解析,对任意的10E z ∈,当1E z ∈时,有E z E z ∈∈,0,所以 )()()(lim )()(lim0000000z f z z z f z f z z z f z f z z z z '=--=--→→ 这是因为)(z f 在E 内解析,从而有)()()(lim 0000z f z z z f z f z z '=--→,由0z 的任意性可知, )(z f 在1E 内解析. 4.证明:(1)由于)(21),(21z z iy z z x -=+=,根据复合函数求偏导数的法则,即可得证. (2))(21)(21x vy u i y v x u z v i z u z f ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=∂∂所以x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,,得 0=∂∂zf5.证明: x y sh y sh x y xch yi x z 222222sin )sin 1(sin )sin(sin +=-+=+= 所以 z x y sh shy sin sin 22=+≤ 而 z y s h y Im =≥ ,故左边成立.右边证明可应用z sin 的定义及三角不等式来证明. 6.证明:有 R ch y ch y sh y sh x z 2222221sin sin ≤=+≤+= 即 c h Rt ≤s i n 又有 R ch y ch y sh y x z 2222221sinh cos cos ≤=+≤+= 7.证明:据定义,任两相异点21,z z 为单位圆1<z ,有212221212121)32()32()()(z z z z z z z z z f z f -++-++=--0112222121=-->--≥++=z z z z 故函数)(z f 在1<z 内是单叶的.8.证明:因为)(z f 有支点-1,1,取其割线[-1,1],有(1) 10182)(,8)(arg ie c e i f z f ππ-=-=∆(2) i c c e i f z f i z f 852)(,85)(arg ,811)(arg 32πππ=--=∆-=∆9.解: 因为)(z f 有支点∞±,,1i ,此时支割线可取为:沿虚轴割开],[i i -,沿实轴割开],1[+∞,线路未穿过支割线,记线路为C ,)]arg())(arg()1arg([21)(arg i z i z z z f c c c c ⋅∆+--∆+-∆=∆ 2]0[21ππ-=-= 故 i z f 5)(-=.10.证明：因为()f z =的可能支点为0,1,z =∞,由题知()f z 的支点为0,1,z =于是在割去线段0Re 1≤≤的平面上变点就不可能性单绕0或1转一周，故此时可出两二个单值解析分支,由于当z 从支割线上岸一点出发，连续变动到1z =-时，只z 的幅角共增加2π，由已知所取分支在支割线上岸取正值，于是可认为该分支在上岸之幅角为0，因而此分支在1z =-的幅角为2π，故()21i f e π-==,i f 162)1(-=-''.。

复变函数论第四版钟玉泉
目录
第一章复数与复变函数
第二章解析函数
第三章复变函数的积分
第四章解析函数的幂级数表示法
第五章解析函数的洛朗（Laurent）展式与孤立奇点
第六章留数理论及其应用
第七章共形映射
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!第一章复数与复变函数内容提要!一!复数及其代数运算和几何表示!"复数的概念定义!设!!"都是实数!我们把形如##!$$"的表达式称为复数%其中$称为虚数单位!且具有性质$&#’!!!和"分别称为复数#的实部和虚部!记为!#()"##!"#*+"##%"!#当!#,!"",时!##$"称为纯虚数%"&#当"#,时!##!$,$$视为实数!%"-#设#!#!!$$"!!#&#!&$$"&!则#!##&!当且仅当!!#!&!"!#"&%".#当!#"#,时!称##,%&"复数的运算"!#加"减#法两个复数的加"减#法!定义为实部与实部相加"减#及虚部与虚部相加"减#!即$!$!!复变函数同步辅导及习题全解"!!$$"!#/"!&$$"&##"!!/!&#$$""!/"&#%"&#乘法两个复数相乘按多项式乘法法则相乘并注意$&#’!!即"!!$$"!#$"!&$$"&##"!!!&’"!"&#$$"!!"&$!&"!#%"-#除法若#&",!将满足#&$###!的复数#定义为#!除以#&的商!记为###!#&!即#!#&#!!$$"!!&$$"&#!!!&$"!"&!&&$"&&$$!&"!’!!"&!&&$"&&%".#复数的共轭及性质设##!$$"!称!’$"为复数#的共轭复数!记为#或##!即##!’$"!它有如下性质%!#!/#&##!/#&!#!#&##!!#&!#!#"#&##!#&"#&",#&"###!###’()"##(&$’*+"##(&&#()"###!&"#$##!*+"###!&$"#’##%-"复数的几种表示方法"!#复数的坐标表示每一个复数##!$$"确定平面上一个坐标为"!!"#的点!反之亦然!这意味着复数集与平面上的点之间存在一一对应%由于这个特殊的一一对应存在!我们常把以!为实轴!"为虚轴的平面称之为复平面%"!!"#为复数##!$$"的坐标表示形式!称为点#%"&#复数的向量表示记复数##!$$"在平面上确定的点为&!原点为’%设复数#对应向量$%’&%这也是一个特别的一一对应%为此我们称向量$%’&为复数#的向量表示式%$"$第一章!复数与复变函数向量$%’&的长度称为复数#的模或绝对值!记为&#&!我们有结论%!!###&#&&#&#&&%当#",时!以正实轴为始边!向量$%’&为终边所确定的角!称为复数#的辐角!记为!!012##!%当##,时!辐角不确定%012#是一个多值函数%称满足条件’$’!($的!为幅角的主值!记为312#%从而有!!012##312#$&($!!"(#,!/!!/&!)#利用复数的向量表示法对任意复数#!!#&!三角不等式!!&#!$#&&(&#!&$&#&&的意义为三角形的一边不大于两边之和!不等式!!&#!’#&&)&&#!&’&#&&&表示三角形的一边不小于两边之差的绝对值% "-#复数的三角表示设#",!)是#的模!!是#的任意一个辐角%则##)"456!$$678!#%".#复数的指数表示在三角表式示中!利用欧拉公式%)$!#456!$$678!可得##))$!!称为复数#的指数表示式%以上复数的不同表示法仅是形式上的差异!它们各有其特点%复数及其运算的几何解释可以从向量表示法得到!复数运算中模与幅角的变化规律可以由三角或指数表示法得到%."复数的乘幂与方根"!#积与商设#!#)!)$!!!#&#)&)$!&则$#$!!复变函数同步辅导及习题全解#!#&#)!)&)$"!!$!&#!#!#&#)!)&)$"!!’!&#!")&",#%即!&#!#&&#&#!&&#&&!#!#&#&#!&&#&&!"#&",#&"012"#!#&##012#!$012#&!012#!#"#&#012#!’012#&%注意%"%#正确理解等式"的含义&"&#乘积与商的几何解释%"&#乘幂设##))$!!则#*#)*)7*!#)*"456*!$$678*!#%棣莫弗"9):;5$+1)#公式%"456!$$678!#*#456*!$$678*!及其应用%"-#方根设##))$!!则*!##*!))$!$&($*#*!)"456!$&($*$$678!$&($*#!"(#,!!!&!)!*’!#%注意%*!#的*值性及几何解释%二!复变函数及其极限与连续!%复变函数的概念复变函数是高等数学中一元实变函数概念的推广!二者定义的表述形式几乎完全一样!只要将定义中的*实数"或实数集#+换为*复数"或复数集#+就行了%但对下面几点应多加注意%"!#实变函数是单值函数!而复变函数有单值函数和多值函数之分%"&#复变函数,#-"##是从#平面上的点集.到,平面上的点集.#的一个映射!因此!它不但可以把#平面上的点映射"或变换#为,平面上的点!而且可以把#平面上的曲线或图形映射为,平面上的曲线或图形!实现两个不同复平面上的图形之间的有趣的变换!为简化或研究某些问题提$$$第一章!复数与复变函数供了可能%"-#由于一个复变函数,#-"##对应着两个二元实变函数%/#/"!!"#!!+#+"!!"#!所以!可以将对复变函数的研究转化为对两个二元实变函数的研究%这是研究复变函数的常用思想方式之一%&"平面点集"!##,的"’邻域%满足关系&#’#,&’"的点#的全体称为点#,的一个"’邻域!而满足,’&#’#,&’"的点#的全体称为点#,的一个去心"’邻域%"&#内点%设.是一平面点集!#,*.!若存在#,的某个邻域也包含于.!则称#,为.的内点%"-#开集%若.的每个点都是内点!则称.为开集%".#连通集%对.+!"即复平面#!.非空!若存在一对,中不交的开集.!!.&!满足.!-."#!.&-."#!且.+".!..&#则称.为连通集%"<#区域%连通的开集叫区域%应该注意的是!可以证明!对于开集!连通性等价于另一种更直观的属性!即道路连通!也即.内任意两点都可以用一条.中的折线连接%"=#边界%若#,点的任意一个邻域内既有区域.中的点!又有不属于.中的点!则#,称为区域.的一个边界点%由.的全体边界点组成的集合称为.的边界%">#闭区域%区域.及其边界一起构成闭区域!记为/.%"#简单闭曲线%设曲线0%###"1##!"1#$$""1#!2(1(3%当!"1#与""1#连续时!称0为连续曲线%对1!!1&*’2!3#!当1!"1&而有#"1!###"1&#时!点#"1!#称为曲线0的重点%没有重点的连续曲线0!称为简单"或@51A 38#曲线%如果简单曲线0的两个端点重合!则0称为简单闭曲线%由以上定义知!简单曲线自身不相交!简单闭曲线则只有起点与终点重合%"B #光滑曲线%曲线###"1##!"1#$$""1#!2(1(3!当!4"1#$%$!!复变函数同步辅导及习题全解与"4"1#连续且’!4"1#(&$’"4"1#(&",时!称为光滑曲线!由几条光滑曲线依次连接而成的曲线!称为按段光滑曲线%"!,#单连通域%若属于区域.的任何简单闭曲线0的内部也属于.!则称.为单连通域%否则称为多连通域%-"复变函数的极限与连续性"!#定义%设函数,#-"##在#,点的去心领域,’&#’#,&’$内有定义!若任给%0,!存在"0,",’"($#!当,’&#’#,&’"时!有&-"##’5&’%成立!则称常数5为-"##当#趋于#,时的极限!记为%C 7+#$#,-"###5%若-"##在#,点有定义!且-"#,##5!则称-"##在点#,连续%若-"##在区域.内每一点都连续!我们称-"##在.内连续%"&#设-"###/"!!"#$$+"!!"#!5#/,$$+,!#,#!,$$",!那么C 7+#$#,-"###51C 7+!$!,"$",/"!!"##/,C 7+!$!,"$",+"!!"##+234,!由此可见!复变函数极限的定义虽在形式上与一元实函数的极限定义相似!但实质上却相当于二元实函数的极限%这导致了第二章用极限定义的复变函数的导数的概念!较之一元实变函数的导数概念!其要求要苛刻得多%"-#如果C 7+#$#,-"###5!C 7+#$#,6"###7!那么C 7+#$#,’-"##/6"##(#5/7!C 7+#$#,’-"##$6"##(#57!C 7+#$#,-"##6"###57!"7",#%$&$第一章!复数与复变函数".#由定义及式!易得连续的充要条件%C 7+#$#,-"###-"#,#1C 7+!$!,"$",/"!!"##/"!,!",#C 7+!$!,"$",+"!!"##+"!,!",234#两个连续函数8#6"##!,#-"8#复合所得的函数,#-’6"##(仍是连续函数%典型例题与解题技巧"例!#!将复数##"!-$$#"&’&$#"!-’$#"&$&$#化为三角形式与指数形式%解题分析!将一个复数#化为三角形式与指数形式的关键在于求出该复数的模与辐角的主值%通常的方式是先将#化成代数形式##!$$"!再利用&#&#!&$"!&与反正切公式分别求出它的模与主辐角%本题中由于#的分子与分母互为共轭复数!而复数与其共轭复数的模相等!因此!容易利用复数商的模公式求出&#&%至于主辐角除可反正切公式求得外%也可以利用关于乘积与商的辐角公式来求%下面给出两种解法!便于读者比较%解题过程!将#的分子与分母同乘以"!-$$#"&’&$#!得##"!-$$#&&!-$$&&$"&’&$#&&&’&$&&#"!&$!-&$#"’$##!-&’!&$!所以&#&#!!312##314D 2"’!--##’$=%从而得到#的三角形式与指数形式%##456$=’$678$=#)’$=$%另一种解法是!由于分子与分母恰为一对共轭复数!故其模相同!于是$’$!!复变函数同步辅导及习题全解&#&#&"!-$$#"&’&$#&&"!-’$#"&’&$#&#!012##&’012"!-$7#$012"&’&$#(#’$=$&E $%"例&#!设#!!#&为复平面上任意两点!证明不等式!!&#!’#&&)&#!&’&#&&%分析!这个不等式的几何意义为以#!!#&!#!’#&为边的三角形!一边的长度"&#!’#&&#不小于两边的长度之差的绝对值"&&#!&’&#&&&#%证明这个不等式可利用书中已证的三角不等式%证明!&#!$#&&(&#!&$&#&&F &#!&#&#!’#&$#&&(&#!’#&&$&#&&G &#!&’&#&&(&#!’#&&!F &#&&#&#&’#!$#!&(&#&’#!&$&#!&G &#&&’&#!&(&#&’#!&#&#!’#&&"利用!与"得&#!’#&&)&&#!&’&#&&&%"例-#!设复数’满足&’&’!!试证#’&!’5&##!!当&#&#!’!!当&#&’!0!!当&#&0234!分析!比较复数#!#&的模#!#&与!的大小等价于比较#!#&&与!的大小!也相当于比较&#!&&与&#&&&的大小%此时常用公式#&###!#!/#&&##!&$#&&/&()"#!#&#以及三角不等式%证明!由等式#’&&##&$&&’&()"5&##!’5&#&#!$&&#&’&()"5&##可知#’&&’!’5&#&#"#&’!#"!’&&#$($第一章!复数与复变函数注意到&’!!便有#’&&’!’5&#&#,!当##!’,!当#’!0,!当#0234!从而#’&!’5&#&##’&&!’5&#&#!!当##!’!!当#’!0!!当#0234!由此即得要证明的结论%"例.#!函数,#!#$!将#平面上的下列曲线变成,平面上的什么曲线,"!#!&$"&#!&!"&#"#!$!&!"-#"#!%解题分析!解此题的要点是利用公式!#!&"#$##!!!"#!&$"#’##及题中映射!!,#!#$!!!##!,’!%解题过程!令,#/$$+"!#由!&$"&#!有!!!."#$##&’!."#’##&#!即!!###!!!!,"#’!!’"#’!#!!!"!’,#$"!’’#’’#!!!"!’,#"!’’##,’!!,$’#!$)$!!复变函数同步辅导及习题全解即!!/#!&即圆!&$"&#!映成了直线/#!&%"&#由"#!$!知!!!&$"#’###!&"#$##$!代入##!,’!得!&$!,’!,3467’#!&!,$!,"#’&$!两边乘以&7,,得,’,#$",$,#由前设,/#’7+知,’,#’&$+,$,#&/代入上式则有/#’+即直线"#!$!被映成了直线/#’+%"-#由"#!知!!!&$"#’###!!!#’##&$!!!,’!’!,"#’!#&$!!!,’!,#&$!!,’,#&7,,即!!&$"/&$+&##’&$+$*!$!!/&$+&$+#,所以直线"#!映成了圆/&$+&$+#,%"例<#!判断下列函数在给定点处的极限是否存在%若存在!试求出极限的值%"!#-"####()"###!!#$,&"&#-"###()"#&##&!!#$,&"-#-"####’$#"#&$!#!!#$$%解题分析!判断一个复变函数在给定点处的极限是否存在有三种方法%一是用函数极限的定义!类似于实变函数!定义多用于验证某函数的极限等式!本书对这处方法不作更多的要求%但是!读者应当会用极限定义来判定某函数的极限不存在&第二种方法是利用教材第&=页中的定理一!讨论函数的实部/#/"!!"#与+#+"!!"#的极限是否存在!这是判断极限是否存在的常用方法&第三种方法是利用教材中第&>页的定理二!直接利用极限的有理运算法则求函数的极限%与实变函数一样!应用时必须满足这些法则成立的条件%下面给出的解法都基于以上三种方法!其中有的小题给出了多种解法%解题过程!"!#由于-"####()"###(#!所以!对于任给的%0,!取9#%!则当,’&#&’9时!恒有!!-"##’,#-"##(#’%根据极限定义!当#$,时!-"##的极限存在!并且其值为,%"&#令##!$$"!则-"###!&’"&!&$"&!从而有/"!!"##!&’"&!&$"&!!+"!!"##,%$!!$令#沿直线"#(!趋于,!则C 7+"!!"#$",!,#/"!!"##C 7+"!$,!&’(&!&!&$(&!&#!’(&!$(&%由于它随(的不同而不同!因此!当"!!"#$",!,#时/"!!"#的极限不存在!故#$,时!-"##的极限不存在%"-#由于-"##的分子与分母中含有极限为零的因子!消去后得-"####’$#"#&$!##!#"#$$#"#"$#!所以C 7+#$7-"###C 7+#$7!#"#$$##’!&%历年考研真题评析!"题!#!把复数##!$678&$$456&!’$’&’’$&化为三角表示式与指数表示式!并求#的辐角的主值%"山东大学&,,<年#解题分析!本题主要考察复数的三角表示法和指数表示法!以及辐角和主值的求法%解题过程!##!$678&$$456&#!$456$&’"#&$$678$&’"#&#&456&$.’&"#&$$&678$.’&"#&456$.’&"#&#&456$.’&"#&456$.’&"#&$$678$.’&"#’(&所以’$’&’’$&!所以$&’$.’&&’-$.%因此456$.’&"#&’,故$"!$)#&#&#’&456$.’&"#&%由于!!’456$.’&"#&#456$$$.’&"#&#456<$.’&"#&!!!’678$.’&"#&#678$$$.’&"#&#678<$.’&"#&!从而得#的三角表示式%##’&456$.’&"#&456<$.’’"#&$$678<$.’&"#’(&!及指数表示式%##’&456$.’&"#&)$"<$.’&&#%注意!这里的辐角!#<$.’’&不是主值!因为-$&’<$.’&&’>.$!但它只能与主值相差一个&$的整数倍!从上式容易看出!如果不等式的每项各加"’&$#!得’$&’’-$.’&&’’$.%这个’-$.’&&就符合关于主值的要求了%因此312##’-$.$’"#&%如果!取主值!那么#的三角表示式与指数表示式分别为##’&456$.’&"#&456-$.$&"#&’$678-$.$&"#’(&!##’&456$.’&"#&)’$"-$.$&&#%"题&#!设*为自然数!证明等式!$678!$$456!!$678!’$456"#!*#456*$&’"#!$$678*$&’"#!%$#!$"北京大学&,,<年#分析!上面涉及到复数*次幂的等式!通常需要先将复数化为三角形式!然后再用9):5$H 1)公式"456($$678(#*#456*($$678*(证明%证明!令!#$&’(!可知!$678!$$456!!$678!’$456!#!$456($$678(!$456(’$678(#&456&(&$&$678(&456(&&456&(&’&$678(&456(&#456(&$$678(&456(&’$678(&#456(&$$678("#&&#456($$678(!故!!!$678!$$456!!$678!’$456"#!*#456*($$678*(#456*$&’"#!$$678*$&’"#!%"题-#!求满足关系式456!’)’-456!"’$&’!’$&#的点##)"456!$$678!#的集合.%若.为一区域!则指明它是单连通域还是多连通域%"中山大学&,,=年#解题分析!此题考察知识点*单连通域+和*多连通域+%解题过程!由##)"456!$$678!#!’$&’!’$&!可知)#!&$"!&!456!#!!&$"!&于是所给的关系式456!’)’-456!变为$$!$!!&$"!&’!&$"!&’-!!&$"!&或!’!&$"&’-!于是可见此区域是单连通的%"题.#!在映射’##&下!求下列平面点集在’平面上的象%"!#线段,’)’&!!#$.&"&#双曲线!&’"&#.&"-#扇形区域,’!’$.!,’)’&%"山东大学&,,<年#解题分析!此题是关于映射的复习%解题过程!"!#设##))$(!,#$)$(!则$#)&!(#&!!故线段,’)’&!!#$.映射为,’$’.!(#$&!也是线段’见图!’!"3#(%图!’!"3#"&#设##!$$"!,#/$$+!则#&#!&’"&$$&!"故/#!&’"&!+#&!"所以!&’"&#.1/#.!为平行于+轴的直线’见图!’!"I #(%"-#设##))$!!,#$)$(!则$#)&!(#&!$%!$图!’!"I#故扇形域,’!’$.!,’)’&映射为,’(’$&!,’$’.!也是扇形域’见图!’!"4#(%图!’!"4#"题<#!试证函数-"###!&$##’#"##当#$,时的极限不存在%"天津大学&,,<年#分析!这又是一道关于复变函数的极限问题%证明!-"###!&$$#&’#’&###"#$##"#’##&$#&#&()"##$&$*+"##&$#&#&()"##*+"###&令##!$$"!则有-"###&!"!&$"&%由此得/"!!"##&!"!&$"&!!+"!!"##,$&!$让#沿直线"#:!趋于零!我们有C 7+!$,"#:!$,/"!!"##C 7+!$,"#:!$,&!"!&$"&#C 7+!$,&:!&!&$:&!&#&:!$:&%可见沿不同斜率的直线!/"!!"#趋于不同的值!所以C 7+!$,"$,/"!!"#不存在%虽然C 7+!$,"$,+"!!"##,!但根据前述结论!C 7+!$#,-"##不存在%课后习题全解8!"求下列复数#的实部和虚部-共轭复数-模与辐角%!#!-$&$&&#!$’-$!’$&-#"-$.$#"&’<$#&$&.#$’.$&!$$%解!!#!-$&$#-’&$"-$&$#"-’&$##-’&$!-#-!-’&!-$()"###-!-&*+"###’&!-&##-!-$&!-$&&#&#-"#!-&$’&"#!-!&#!!!-&312##’314D 2&-&012##’314D 2&-$&($"(#,!/!!/&!)#%&#!$’-$!’$#’$’-$"!$$#"!’$#"!$$##’$’-$’-&#-&’<&$()"###-&&*+"###’<&&##-&$<&7&&#&#"#-&&$’<"#&!&#!-.&&312##’314D 2<-&012##’314D 2<-$&($"(#,!/!!/&!)#%-#"-$.$#"&’<$#&$#&=’>$&$#’>&’!-$$’!$()"###’>&&*+"###’!-&##’>&$!-$&&#&#’"#>&&$!-!&#<&!&B &312##314D 2&=>’$&012##314D 2&=>’$$&($"(#,!/!!/&!)#%.#$’.$&!$$#$.$.’.$.J <$!$$#!’.$$$#!’-$()"###!&*+"###’-&##!$-$&&#&#!&$"’-#!&#!!,&312##’314D 2-&012##’314D 2-$&($"(#,!/!!/&!)#%8&"当!!"等于什么实数时!等式!$!$$""’-#<$-$#!$$成立,解!由所给等式可得!$!$$""’-##"!$$#"<$-$##&$?$利用复数相等的概念!$!#&".’-#?9!#!"#!!.!即!#!!"#!!时等式成立%8-"证明虚单位$有这样的性质%’$#$’!#$%证明!因’$#’$$$$#’’$&$#!$#$’!!$#’$!所以’$#$’!#$%8."证明%!#&#&&###&&##!/#&##!/#&&-##!#&##!!#&&.##!#"#&##!#&!"#&",#&<####&=#()"###!&"#$##!*+"###!&$"#’##%证明!!#设##!$$"!则&#&&#!&$"&!###"!$$"#"!’$"##!&$"&!从而有&#&&###%$(!$&#设#!#!!$$"!!#&#!&$$"&!则#!/#&#"!!$$"!#/"!&$$"&##"!!/!&#$""!/"&#$#"!!/!&#’""!/"&#$#!/#&#"!!$$"!#/"!&$$"&##"!!’$"!#/"!&’$"&##"!!/!&#’""!/"&#$从而有!#!/#&##!/#&%-#设#!#!!$$"!!#&#!&$$"&!则#!#&#"!!$$"!#"!&$$"&##"!!!&’"!"&#$$"!!"&$!&"!##"!!!&’"!"&#’$"!!"&$!&"!##!!#&#!!$$"!!&$$"&#"!!’$"!#"!&’$"&##"!!!&’"!"&#’$"!!"&$!&"!#从而有!#!#&##!!#&%.#由#!#"#&#!!$$"!!&$$""#&#"!!!&$"!"&#$"!&"!’!!"&#$!&&$"&&#"!!!&$"!"&#’"!&"!’!!"&#$!&&$"&&#!#&#!!’$"!!&’$"&#"!!’$"!#"!&$$"&#!&&$"&&#"!!!&$"!"&#’"!&"!’!!"&#$!&&$"&&可知!#!#"#&##!#&!"#&",#%<#设##!$$"!则##!’$"!##"###!$$"##%即!###%=#设##!$$"!则##!’$"!从而!!&"#$###!&"!$$"$!’$"##!#()"##!!&$"#’###!&$"!$$"’!$$"##!&$"&$"##"#*+"##$)!$结论得证%:<"对任何#!#&#&#&&是否成立,如果是!就给出证明!如果不是!对哪些#值才成立,分析!考查复数性质%解!对于任何复数##!$$"!易知#&#!&’"&$&!"$!&#&&#!&$"&%于是!由#&#&#&&可得!&’"&$&!"$#!&$"&比较两边的实虚部!等价地有&!"#,!!&’"&#!&$"&9"&#,即"#,%故对任何虚数#!#&#&#&&不成立!只有当#为实数"虚部为零#时!等式#&#&#&&才成立%:="当&#&(!时!求&#*$2&的最大值!其中*为正整数!2为复数%分析!主要考查最大值问题%解!由三角不等式及&#&(!可知&#*$2&(&#&*$&2&(!$&2&而且当#,#)73)62*时!&#*,$2&#&)73)62$&2&)73)62&#!$&2&!故其最大值为!$&2&%:>"判定下列命题的真假%!#若;为实常数!则;#;&&#若#为纯虚数!则#"#&-#7/&7&.#零的辐角是零&<#仅存在一个数#!使得!##’#&=#&#!$#&&#&#!&$&#&&&>#!$##$#%分析!一些命题的真假!要求有比较好的掌握基础知识%解!!#真&&#真&-#假"复数不能比较大小#&.#假"复数零的辐角是$*"$不确定的#&<#假"由!##’#得#&#’!!从而#可取/$两个值#&=#一般不真"由三角不等式&#!$#&&(&#!&$&#&&!等号仅当312#!’312#&#&()"(#,!/!!/&!)#时成立#&>#真%8"将下列复数化为三角表示式和指数表示式%!#$&&#’!&-#!$$!-&.#!’456($$678(!",((($#&<#&$’!$$&=#"456<($$678<(#&"456-(’$678-(#-%解!!#$#456$&$$678$&!"三角表示式#$#)$$&!"指数表示式#&#’!#456$$$678$#)$$-#&!$$!-&#!$"!-#!&#&!312"!!$-$##314D 2!-!#$-!故!$$!-#&"456$-$$678$-#"三角表示式#!$$!-#&)$-$!"指数表示式#.#&!’456($$678(&#"!’456(#&$678&!(#&’&456!(#&678(&"注意,((($#!312"!’456($$678(##314D 2678(!’456(#314D 2&678(&456(&&678&(&#314D 2"45D (&##314D 2"D 2$’(&##$’(&!故!’456($$678(#&678(&"456$’(&$$678$’(&#!"三角表示$!"$式#!’456($$678(#&678(&)$$’(&!"指数表示式#<#&$’!$$#&$"’!’$#"’!$$#"’!’$##&’&$&#!’$!其模为!&!其辐角312&$’!$$#312"!’$##314D 2’!"#!#’$.!故&$’!$$!#&456"’$.#$$678"’$.’(#!&"456$.’$678$.#"三角表示式#!&$’!$$!#&)"’$.#$"指数表示式#=#"456<($$678<(#&"456-(’$678-(#-#")$<(#&")’-$(#-#)$!,()’$B (#)$!B ("指数式##456"!B (#$$678"!B (#!"三角式#8B"将下列坐标变换公式写成复数形式%!#平移公式%!#!!$2!!"#"!$3!.&&#旋转公式%!#!!456&’"!678&!"#!!678&$"!456&.%解!!#令##!$$"!#!#!!$$"!!;!#2!$$3!!则平移公式的复数形式为###!$;!%&#令##!$$"!#!#!!$$"!!;#456&$7678&!;又可写成;#)$’!从而旋转公式!#!!456&’"!678&"#!!678&$"!456.&可写成!!##"!!456&’"!678&#$$"!!678&$"!456&##"!!$$"!#"456&$7678&###!)$&8!,"一个复数乘以’7!它的模与辐角有何改变,解!由于复数##&#&)7312#!’7#)’$&7!所以复数#乘以’7为’7##$""$&#&)7312#%)’$&7#&#&)7"312#’$&#!即模不变!辐角减小$&%8!!"证明%&#!$#&&&$&#!’#&&&#&"&#!&&$&#&&&#!并说明其几何意义%证明!&#!$#&&&$&#!’#&&&#"#!$#&#"#!$#&#$"#!’#&#"#!’#&##"#!$#&#"#!$#&#$"#!’#&#"#!’#&##&#!&&$#!#&$#&#!$&#&&&!$&#!&&’#!#&’#&#!$&#&&&#&"&#!&&$&#&&&#几何意义为%以#!!#&为边构成的平行四边形的两条对角线长度的平方和等于四边长的平方和%;!&"证明下列各题%!#任何有理分式函数<"###&"##="##可以化为>$$?的形式!其中>与?为具有实系数的!与"的有理分式函数&&#如果<"##为!#中的有理函数!但具有实系数!那么<"###>’$?&-#如果复数2$$3是实系数方程2,#*$2!#*’!$)$2*’!#$2*#,的根!那么2’$3也是它的根%分析!要明确有理分式的形式%证明!!#设##!$$"!&"###&!"!!"#$$&&"!!"#!="###=!"!!"#$$=&"!!"#则&$"!!"#!=$"!!"#"$#!!&#是!!"的实多项式!而且<"###!=&!$=&&’"&!=!$&&=&#$$"’&!=&$&&=!#(令!!>#&!=!$&&=&=&!$=&&!?#’&!=&$&&=!=&!$=&&易知>与?都为具有实系数的!与"的有理分式函数!并$#"$且<"###>$$?%&#如果&"##!="##是实系数多项式!则有关系式&"###&"##!="###="##%事实上!对任一实系数多项式&"###2,#*$2!#*’!$)$2*’!#$2*"2,!2!!)!2*为实数!即2@#2@!"@#,!!!&!)!*##&"###2,#*$2!#*’!$)$2*’!#$2*#2,#*$2!#*’!$)$2*’!#$2*#2,#*$2!#*’!$)$2*’!#$2*#&"##从而<"###&"##="###&"##="###&"##="#"###">$$?##>’$?-#令&"###2,#*$2!#*’!$2!#*’!$)$2*’!#$2*!由&#中的事实有&"###&"##%如果2$$3是所给实系数方程的根!则&"2$$3##,%于是&"2’$3##&"2$$3##&"2$$3##,!这说明2’$3也是它的根%小结!有理分式函数可以化为复数形式!其中虚-实部全为实系数有理分式函数&实系数方程的根的共轭也是根%:!-"如果##)71!证明%!##*$!#*#&456*1&!!&##*’!#*#&$678*1%分析!复数的幂性质要掌握%证明!由##)$1易知#*#")$1#*#)$*1#456*1$$678*1!!#*#)’$*1#456*1’7678*1!所以!##*$!#*#456*1$7678*1$456*1’7678*1#&456*1&##*’!#*#456*1$$678*1’"456*1’$678*1##&$678*18!."求下列各式的值%!#"!-’$#<&&#"!$$#=&$$"$-#=!’!&.#"!’$#!-%解!!#"!-’$#<#&!-&’!&"#’($<#&456’$"#=$$678’$"#’(.0=<#&<456’<$=$$678’<$"#=#-&’!-&’!&"#$!#’!=-’!=$&#"!$$#=!#&456$.$$678$"#’(.=#?456-$&$$678-$"#&#’?$-#由’!#)$$#456$$$678$得=!’!#)$$&($=$#456$$&($=$$678$$&($=!"(#,!!!&!-!.!<#%即=个值分别为!-&$!&$!$!’!-&$!&$!’!-&’!&$!’$!!-&’!&$%.#由!’$!#&456’$"#.$$678’$"#’(.得"!’$#!-#=!&456’$.$&($-$$678’$.$&($3467-"(#,!!!&#即-个值分别为=!&456$!&’$678$"#!&!=!&456>!&$$$678>!&"#$!!=!&456<.$$$678<."#$%:!<"若"!$$#*#"!’$#*!试求*的值%分析!化为三角表示式计算%$%"$解!由"!$$#*#"!’$#*可得!&456$.$$678$"#’(.*!#&456’$.$$678’$"#’(.*&*&456*$.$$678*$"#.#&*&456*$.$$678’*$"#.即有!678*$.#678’*$.#’678*$.!9678*$.#,!*$.#($!*#.(!"(#,!/!!/&!)#%8!="!#求方程#-$?#,的所有根&&#求微分方程"*$?"#,的一般解%解!!#方程#-$?#,等价于#-#’?!其根为##-!’?#-!?"456$$&($-$$678$$&($-#!"(#,!!!&#即!#,!#!$-$!#!#’&!#-!#!’-$为所求的根%&#因微分方程"*$?"#,的特征方程为)-$?#,由!#得其特征值为’&!!!/-$!故方程的通解为"#0!)’&!$)!"0&!456-!$0-!678-!#其中0!!0&!0-为任意常数%:!>"在平面上任意选一点#!然后在复平面上画出下列各点的位置%’#!#!’#!!#!’!#分析!考查复数的基本知识%解!取##!’$得’##’!$$!##!$$!’##’!’$!!##!&$!&$!!##!&’!&$!’!##’!&$!&$各点位置如图!A &"3#所示%一般地!如图!A &"I #所示!’#与#关于原点对称&#与#关于$&"$图!!A &实轴对称&’#与#关于虚轴对称%又由!#######&#&&得!#与#的辐角相同!且!##!&#&!即!#与#是关于单位圆周的对称点%如图!A !"I #中!设&#&’!!则!#在单位圆外!且使,!#和!#共一条射线!而且&#&$!##!%’!#是!#关于原点的对称点%:!?"已知两点#!与#&"或已知三点#!!#&!#-#!问下列各点#位于何处,!###!&"#!$#&#&&###+#!$"!’+##&!其中+为实数&-###!-"#!$#&$#-#%分析!做好图!就能看出来%解!!#设#!#!!$$"!!#&#!&$$"&则##!&"#!$#&##!!$!&&$$"!$"&&位于#!与#&连线的中点%&###+#!$"!’+##&#’+!!$"!’+#!&($$’+"!$"!’+#$’"$"&(!当+为实数时!#位于#!与#&的连线上!其中+#&#’#&&&#!’#&&%特别地!若,(+(!!则#是在以#!!#&为端点的线段上的点%-#再设#-#!-$$"-!则当#!!#&!#-不共线时##!-"#!$#&$#-##!!$!&$!--$$"!$"&$"--位于三角形#!#&#-的重心&若#!!#&!#-共线时!则#在此直线上!物理意义仍是重心所在点%:!B "设#!!#&!#-三点适合条件%#!$#&$#-#,!&#!&#&#&&#&#-&#!%证明%#!!#&!#-是内接于单位圆周&#&#!的一个正三角形的顶点%分析!要掌握三角形的性质%证明!由!!题的结论及题设条件可知&#!$#&&&$&#!’#&&&#&"&#!&&$&#&&&##&"!$!##.&’#-&&$&#!’#&&&#.9&#!’#&&&#-!&#!’#&&!#-类似地&#&’#-&&#&"&#&&&$&#-&&#’&#&$#-&&#.’&’#!&&#-&#!’#-&&#&"&#!&&$&#-&&#’&#!$#-&&#.’&’#&&&#-即&#!’#&&#&#&’#-&#&#!’#-&!#-%#!!#&!#-是内接于单位圆周&#&#!的一个正三角形的顶点%;&,"如果复数#!!#&!#-满足等式#&’#!#-’#!##!’#-#&’#-!证明&#&’#!&#&#-’#!&#&#&’#-&!并说明这些等式的几何意义%分析!思维灵活!掌握各种三角形的性质%$("$。