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第六章 金属电子论这一章与下一章讨论固体中电子运动的（一般）规律 这一章讨论固体中的一类：金属的电子运动规律及性质§6-0 引子1． 金属的一些基本物理性质：良导体：Ohm 定律 V=RI j E σ=金属一般是顺磁体 0MH χ=>χ：10-5～10-6良导热体：比热数值小 〈〈 晶格比热 光学 ： 有光泽（强反射）但不透射 2． 物理基础微观粒子 + 多体问题量子 相互作用复杂 ⎧⎨⎩电子间晶格与电子间3． 经典模型：（Drude - Lorentz ） 1900年1．模型 经典：单体-牛顿 多体-Boltzmann 统计自由：相互作用可忽略 → “气体”仅有与原子实碰撞 扩展态－非局域(3)对物理性质定性解释• 扩展、自由 ▬ 导电、导热好 • 外场（光 → 电磁场）→ 电子吸收能量（激发 态）⇒ 不透明 激发态 → 基态 ⇒放出 光学⇒反射• 不能解释电子气的比热（实验仅为理论的1%）经典：能量均分-自由度与晶格相比拟§6.1 金属自由电子气的量子理论三部分：1.单电子的基本问题（p k = ，E ϖ= ，ψ） 2.关于 ψ，k , E 的讨论 ()k ρ ()E ρ 3.讨论相应的物理量 V C一、 金属中单自由电子量子理论 1.模型： 量子 + 自由具体：一个立方金属固体， V 体积 自由：电子在V 内不受力 V(x,y,z)= 0 边界：电子不能脱离体内 V(x,y,z)= ∞三维 无限深势阱2.S.E. 及其解22E m-∇ψ=ψ 令 222222(,,)()()()()22x y z x y z x y z k E k k k m mψψψψ===++⇒ ()x x ik xik xx x x A eB eψ-=+ ()y y ik yik yy y y A eB eψ-=+()zzik z ik z z z z A e B e ψ-=+周期性边界条件: ()()x L x ψψ+= ()()y L y ψψ+= ()()z L z ψψ+=⇒ ()(,,)x y z i k x k y k z ik rx y z AeAe++ψ==⇒ 2i i k n Lπ= (,,)i x y z =3/21A L == 归一化常数22222222(2)()22x y z k E n n n m m Lπ==++3. 讨论： ()r ψ平面波2C ψ＝ 在金属内找到电子得几率处处一样 0P v ⇒≠ 行波若用自然边界条件：ψψ（x=0)=(x=L)=0 (,,)sin sin sin x y z x y z A k x k y k z ψ=(,,)x y z ψ=驻波2C ψ≠在体内找到电子几率各处不一样ˆ||00Pp v ψψ⇒=⇒= 驻波与实际模型不符二、状态分布 ⇒()k ρ与()E ρ的讨论因为由少体到多体 ⇒ 物性、比热等1、k 空间与()k ρx y z k k i k j k k =++（1）2(,,)i i k n i x y z Lπ== 是分立值（2）每个点间距离 2i k Lπ∆=⇒3(2)x yzk k k k Vπ∆=∆∆∆= （3）态密度：31()(2)V k k ρπ==∆（4）状态数 k k d k →+（球壳内）23()()4(2)V d z k d k k d x d y d z k d kρρππ===2、()E ρ222h k E m = E 一定，k 空间→球面半径k在k 空间两个等能面间的状态数对应222h k k E m→= ( 一一对应，一个k 对应一个E) 2()()()4E dE k dk k k dkρρρπ==311222222()4()42()()4()k k dkk k m E g E V E CE dE dEdkρπρπρπ=====同样可求出： 2D ： ()C o n E ρ=＝常数1D ：12()E Eρ-低能态⇒状态密度大→ 涨落 ↑()E V ρ V 增大 则()E ρ增大这是测不准关系的直接结果：x p ∆∆≥V 增大，x ∆增大， p ∆降低 表示p ∆占k 空间位置小 单位k 空间中的状态数多 ()E ρ↑三、电子气的Fermi 能量E F ，Fermi 波矢K F , Fermi T F 1、 引入：自由电子量子性质之二： F-D 分步，（多体） （ 之一： S.E ， 少体）处于热平衡状态下能量为E 的状态的几率为： 1()1FB E E k Tf E e-=+2、E F 的意义 （1）热力学意义 若将电子系统⇒热力学系统.F E =μ化学势()F V FE Nμ∂==∂体积不变，系统增加一个电子所需要的能量（2）统计与固体中意义（i ）T=0K()Ff E ⎧⎪=⎨⎪⎩0F0 0 E>E 1 E<E （a ）0F E 为T=0K ,电子填充的最高能级（b ）并且为电子填充态与未填充态的分界面（ii ）0T K ≠时0()F F F F F F E E n T E E n T E E E E E E n T E E n T-⎧⎪-⎪⎪-==⎨⎪>≥⎪⎪<≤⎩ B B B B 个k 个k 个k 个kE F 是其占有状态几率为1/2的能量3．数学表达式T=0K ：由泡利原理 态和电子数一一对应0021/21/2202203/3()()2()(3)()32/FFE EF F dN dZ E f E dE N dN CEf E dE C E E n m dE C E n N Vπρ∞∴========⎰⎰⎰0030300120210410~51010/5~1~102F F B F F F F n cm E eV E k E k k m mT K ---→==⇒A ⨯完全是量子效应 ！0T K ≠()()N dN E f E dE ρ∞∞==⎰⎰数学处理：（i ）分步积分（ii ）()F F fE E E E δ∂∂ 仅在大 （iii ）令：3/23E ()2H g E dE C E =⋅⎰E（）= 其中：C = 4πV(2m/h)2可以在E F 附近展开：222/32138B F F k T N CE E π⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 又 ()2/3032F N C E =022202112B F F F k TE E E π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦讨论：（i ）0F F E E <（ii ）00421010FB F F FE k T E E =>∴（iii ）只有F E 以下能量为B k T的电子被激发到F E 以上B k T 范围。
