2.7 变质量物体的运动

【学习目标】【知识网络预览】【自主学习】一、反冲1. 定义: 一个静止的物体在_____的作用下分裂为两部分,一部分向某个方向运动,另一部分必然向_____的方向运动的现象。

2. 规律:反冲运动中,相互作用力一般较大,满足_____________。

3. 反冲现象的应用及防止:(1) 应用: 农田、园林的喷灌装置利用反冲使水从喷口喷出时,一边喷水一边_____。

(2) 防止: 用枪射击时,由于枪身的反冲会影响射击的_______,所以用枪射击时要把枪身抵在肩部,以减少反冲的影响。

二、火箭1. 工作原理:利用_____运动,火箭燃料燃烧产生的高温、高压燃气从尾部喷管迅速喷出,使火箭获得巨大速度。

2. 影响火箭获得速度大小的两个因素:(1) 喷气速度: 现代火箭的喷气速度为2000～4000m/s。

(2) 质量比: 火箭起飞时的质量与火箭除燃料外的箭体质量之比。

喷气_____越大,_______越大,火箭获得的速度越大。

3. 现代火箭的主要用途:利用火箭作为_____工具,如发射探测仪器、常规弹头和核弹头、人造卫星和宇宙飞船等。

【答案】一内力；相反；动量守恒定律；旋转；准确性；二反冲；速度；质量比；运载；【细节诠释】一、对反冲运动的理解1. 反冲运动的三个特点:(1) 物体的不同部分在内力作用下向相反方向运动。

(2) 反冲运动中,相互作用的内力一般情况下远大于外力或在某一方向上内力远大于外力,所以可以用动量守恒定律或在某一方向上应用动量守恒定律来处理。

(3) 反冲运动中,由于有其他形式的能转化为机械能,所以系统的总动能增加。

2. 反冲运动中，以下三种情况均可应用动量守恒定律解决(1) 系统不受外力或所受外力之和为零，满足动量守恒的条件，可以用动量守恒定律解决反冲运动问题。

(2) 系统虽然受到外力作用，但内力远远大于外力，外力可以忽略，也可以用动量守恒定律解决反冲运动问题。

(3) 系统虽然所受外力之和不为零，系统的动量并不守恒，但系统在某一方向上不受外力或外力在该方向上的分力之和为零，则系统的动量在该方向上的分量保持不变，可以在该方向上应用动量守恒定律。

话题7：变质量系统的运动一、变质量系统运动方程的推导设t 时刻，本体质量为m ，速度为v 。

质量为m ∆，速度为u 的微粒。

经过t ∆时间后两者合并，质量为()m m ∆+,共同速度为()v v ∆+，则系统动量的改变是()()()P m m v v mv mu ∆=+∆+∆-+∆如果系统受到合外力F 作用，忽略上式中m v ∆∆，则得到()P m v u v m F t ∆=∆--∆=∆由此得到质量并入时的运动方程()dm ma u v F dt--= (1)式中a 是加速度，()u v -是m ∆相对m 的相对速度。

同样讨论得到分出质量时的方程完全相同。

讨论：(1)方程中，外力F 是两者受到的合外力。

微粒对本体的作用力是()dmu v dt-。

(2)当u v =时,方程在形式上与牛顿第二定律一样，但质量仍然是变化的。

(3)当0u =时,方程变成()dv dm d mv mv F dt dt dt-==这与牛顿第二定律一样。

(4)方程是在0m ∆>条件下推导的，但对0m ∆<同样成立。

二、示例分析例1、一条线密度为λ、长度l 的松散型链条，堆放在光滑地面上，链条一端系有质量为M 的物体，使此系统由静止出发，以恒定的加速度a 竖直上升，求作用在上端的作用力F 。

【解1】这是质量并入的变质量运动。

但可以不用“一般公式”，直接通过分析得到结果。

如图，设上升的高度用坐标x 表示。

则升高的部分质量是∆v∆m M x λ=+ (1)其动量是()P mv M x v λ==+ (2)该段受到的力包括F 与该段的重力()mg M x g λ=+，两者方向相反。

利用P F t ∆=∆，首先利用(2)求出动量的改变是[]()()()M x x v v M x vP t tλλ++∆+∆-+∆=∆∆ M v x v xv x vtλλλ∆+∆+∆+∆∆=∆v v x M x v t t tλλ∆∆∆=++∆∆∆2Ma xa v λλ=++ (3)利用了关系v a t ∆=∆,xv t∆=∆，按照牛顿定律 PF mg t∆=+∆ (4)以及基本关系 212x at =,v at = (5)把 (3)(5)代入(4),求出作用力是21()(3)2F M a g a g a t λ=+++ (6)【解2】利用变质量公式求解。

变质量动力学引言有些物体在运动过程中质量不断增加或减少，譬如火箭在飞行时不断地喷出燃料燃烧后产生的气体，火箭的质量在不断减小，因此飞行中的火箭质量是变化的物体；还有比如不断吸进空气又喷出燃气的喷气式飞机、投掷载荷的飞机、在农业收割机旁不断接收粮食的汽车以及在江河中不断凝聚或融化的浮冰等，都是变质量的物体。

要搞清楚他们运动的特征就要将他们简化成物理模型进行研究。

一般情况下，当变质量物体作平移，或只研究它们的质心的运动时，可简化为变质量指点来研究。

关键词；变质量 运动学 动量定理 动量距定理1.变质量指点的运动微分方程1. 变质量指点的运动微分方程：设变质量质点在瞬时t 的质量为m ，速度为v ；再瞬时t dt +,有微小质量dm 并入，只是指点的质量为dm m +,速度为v dv +；微小质量dm 在尚未并入的瞬时t ,它的速度为1v ，以原质点与并入的微小质量组成质点系。

设作用于质点系的外力为()e F 。

质点在瞬时t 的动量为：11p mv dm v =+⋅质点系在瞬时t dt +的动量为：2()()p m dm v dv =++根据动量定理()21e dp p p F dt =-=得()1()()()e m dm v dv mv dm v F dt ++-+⋅=将上式展开得()1e mdv dm v dm dv dm v F dt +⋅+⋅-⋅=略去高阶微量dm dv ⋅，并以dt 除各项，得()1e dv dm dm m v v F dt dt dt+-= 或()1()e dv dm m v v F dt dt--= 上式中1()v v -是微小质量dm 在并入前相对于质点m 的相对速度r v ，令r dm F v dtΦ=则可以得到 ()e dv m F F dtΦ=+上式称为变质量质点的运动微分方程。

式中m 是变量，dm dt 是代数量。

变质量质点的运动微分方程是求解变质量质点运动规律的基本方程。

选择题下列物体的质量最接近50g的是（）A. 一只蚂蚁B. 一只鸡蛋C. 一本物理教材D. 一张课桌【答案】B【解析】A. 一只蚂蚁的质量非常小，在50mg=0.05g左右，故A不符合实际；B.10个鸡蛋的质量大约1斤，而1斤=500g，所以一个鸡蛋的质量在50g左右，故B符合实际；C.一个苹果的质量在200g左右，八年级物理教材的质量与此差不多，在200g左右。

故C不符合实际；D. 一张课桌的质量在10kg=104g左右。

故D不符合实际。

故选B.选择题下列现象中，属于分子运动的是( )A. 水向低处流B. 玉兰花香四溢C. 风吹枝叶动D. 扫地时尘土飞扬【答案】B【解析】分子运动和机械运动的区别是：分子运动是肉眼看不见的，在不知不觉中发生的，而机械运动是物体的运动，是肉眼能看见的，所以水向低处流、风吹树叶动、尘土飞扬，都是机械运动，玉兰花香四溢是分子运动，故选B。

选择题下列措施中，能使瓶中矿泉水的质量发生变化的是（）A. 宇航员将它带到太空B. 放在冰箱里，水温度变低C. 水结成冰，体积变大D. 打开瓶盖，放在阳光下晒一段时间【答案】D【解析】A、从地面带入太空的矿泉水，位置发生变化但质量不变，故A不符合题意；B、矿泉水放入冰箱，温度降低，但质量不随温度而变，故B不符合题意；C、水结成冰，体积变大，但水的质量不变，故C不符合题意；D、打开瓶盖，放在阳光下晒一段时间，物质减少，水的质量发生变化，故D符合题意。

故选D。

选择题甲、乙、丙三个轻质小球用绝缘细绳悬挂，相互作用情况如图所示，如果丙带正电荷，则甲（）A. 一定不带电B. 一定带负电荷C. 可能不带电D. 可能带正电荷【答案】C【解析】因为乙、丙两个小球互相排斥，所以乙、丙两个小球一定带同种电荷，又因为丙球带正电，所以乙球一定带正电，因为甲、乙两个小球相互吸引，且带电体可以吸引轻小物体，异种电荷也可以相互吸引，所以甲小球可能不带电也可能带负电荷，故C选项正确，ABD选项错误。

普通物理学（第六版）公式⼤全⼀、⼒和运动1.1 质点运动的描述！1.质点2.参考系和坐标系3.空间和时间4.运动学⽅程轨迹⽅程5.位⽮6.位移7.速度（瞬时）速度：（瞬时）速率：8.加速度（瞬时）加速度：1.2 圆周运动和⼀般曲线运动！1.切向加速度和法向加速度⾃然坐标系；法向加速度处处指向曲率中⼼。

2.圆周运动的⾓量描述⾓速度：⾓加速度：3 .抛体运动的⽮量描述1.3 相对运动常见⼒和基本⼒1.相对运动（伽利略）速度变换式：2.常见⼒重⼒、弹⼒、摩擦⼒、万有引⼒3.基本⼒万有引⼒、电磁⼒、强⼒、弱⼒1.4 ⽜顿运动定律！1.⽜顿第⼀定律（惯性定律）2.⽜顿第⼆定律3.⽜顿第三定律（作⽤⼒和反作⽤定律）4.⽜顿运动定律应⽤举例1）常⼒作⽤下的连接体问题2）变⼒作⽤下的单体问题1.5 伽利略相对性原理⾮惯性系惯性⼒1.伽利略相对性原理（⼒学的相对性原理）2.经典⼒学的时空观 *3.⾮惯性系 *4.惯性⼒⼆、运动的守恒量和守恒定律2.1 质点系的内⼒和外⼒质⼼质⼼运动定理！1.质点系的内⼒与外⼒2.质⼼对于N个质点组成的质点系：质⼼的位⽮对于质量连续分布的物体：质⼼的位⽮3.质⼼运动定理2.2 动量定理动量守恒定律！1.动量定理冲量：动量定理：动量定理是⽜顿第⼆定律的积分形式。

*2. 变质量物体的运动⽅程 3.动量守恒定律*4.⽕箭飞⾏2.3 功能量动能定理！1.功的概念功：功率：2.能量3.动能定理动能：动能定理：2.4 保守⼒成对⼒的功势能！1.保守⼒保守⼒：重⼒、万有引⼒、弹性⼒以及静电⼒等。

⾮保守⼒：摩擦⼒、回旋⼒等。

2.成对⼒的功3.势能4.势能曲线2.5 质点系的功能原理机械能守恒定律！1.质点系的动能定理2.质点系的动能原理3.机械能守恒定律4.能量守恒定律*5.⿊洞2.6 碰撞对⼼碰撞（正碰撞）1.碰撞过程系统动量守恒2.⽜顿的碰撞定律恢复系数：完全弹性碰撞（1）；⾮弹性碰撞；完全⾮弹性碰撞（0）完全弹性碰撞过程，系统的机械能（动能）也守恒。

理论力学教案《理论力学》课程基本信息（一）课程名称：理论力学（二）学时学分：每周4学时，学分4（三）予修课程：力学、高等数学（四）使用教材：金尚年、马永力编著《理论力学》，第二版.，北京：高等教育出版社，2002年7月，面向21世纪课程教材。

（五）教学参考书：1.周衍柏《理论力学教程》（第二版），北京：高等教育出版社，1986年。

2.郭士望《理论力学》上、下册，北京：高等教育出版社，1982。

3.梁昆森《力学》上、下册，北京：人民教育出版社，1979。

（六）教学方法：课堂讲授，启发式教学（七）教学手段：传统讲授与多媒体教学相结合（八）考核方式：闭卷考试占总成绩70%，平时作业成绩占30%（九）学生创新精神与实践能力的培养方法：在课程讲授过程中注意采用启发式教学手段，将基本的概念和规律讲清、讲透，而将一些具有推广性的问题留给学生思考，以此来提高学生分析问题、解决问题的能力。

并且在课堂讲授时多联系实际的力学问题，以此来提高学生解决实际问题的能力。

（十）其他要求：每堂课后布置适量的课后作业并定期批改、检查和给出成绩，这部分成绩将占期末总成绩的30%。

绪论一：《理论力学》课程的内容：该课程是以牛顿力学和分析力学为主要内容的力学理论，是理论物理的第一门课程。

是从物理学的基本经验规律出发，借助于微积分等数学工具，推导出关于物体机械运动时所满足的整体规律的一门课程。

二：《理论力学》与《力学》的区别和联系1.内容：《理论力学》包括牛顿力学和分析力学，是《力学》课程的深入和提高；而《力学》课程仅讲授牛顿力学，且研究的深度不及《理论力学》。

2.研究手段：《力学》是从物理现象出发，通过归纳总结出物质运动的规律。

《理论力学》是从经验规律出发，借助于数学工具，推导出物质运动所满足的规律，并通过实践来检验该规律的真伪，着重培养学生理性思维的能力。

三：本教材的特点：将牛顿力学和分析力学穿插在一起讲解，可对比二者在处理力学问题时各自的优缺点，并适当增加了分析力学在这门课中的比重。

理论力学题库一一第二章一、填空题1.对于一个有“个质点构成的质点系，质量分别为加〕，加2,加3,…叫，…加“，位置矢量分别为，“，£, •”，----- ,则质心c的位矢为________________ 。

2.质点系动量守恒的条件是______________________________ 。

3.质点系机械能守恒的条件是__________________________ ,4.质点系动量矩守恒的条件是____________________________________ o5.质点组______ 对_______ 的微商等于作用在质点组上外力的矢量和，此即质点组的定理。

&质心运动定理的表达式是 _______________________________ o7.平面汇交力系平衡的充分必要条件是合力为零。

8.各质点对质心角动量对时间的微商等于处力对质心的力矩之和。

9.质点组的角动量等于质心角动量与各质点对质心角动量之和。

10•质点组动能的澈分的数学表达式为：£耳” •心+£戸件叭2 t.i /・1 /・1表述为质点组动能的微分等于一力和力所作的元功之和。

11・质点组动能等于质心动能与各质点对质心动能之和。

12.柯尼希定理的数学表达式为：丁二丄〃呢2+£性十2 ,表述为质点组动能等于质心2 /.I动能与各质点对质心动能之和。

13.2-6・质点组质心动能的微分等于、外力在质心系系中的元功之和。

14・包含运动电荷的系统，作用力与反作用力丕二定在同一条直线上。

15・太阳、行星绕质心作圆锥曲线的运动可看成质量为磴质量的行星受太阳（不动）的引力的运动。

16・两粒子完全弹性碰撞，当质量相等时，一个粒子就有可能把所有能量转移给另一个粒子。

17.设木块的质呈为nh，被悬挂在细绳的下端，构成一种测定子弹速率的冲击摆装置。

如果有一质量为叫的子弹以速率v,沿水平方向射入木块，子弹与木块将一起摆至高度为久二佟上竺（2g 〃严h处，则此子弹射入木块前的速率为： E ___________ 。

§3-7 变质量物体的运动1.公式推导设（m ， v ）与（∆m u , ）经过时间∆t 合并为（m m v v ++∆∆,）。

由动量定理： ()()()m m v v mv mv F t d mv dt dm dt u F ++--=⇒-=∆∆∆∆ 若 u d mv dt F =⇒=0() u v m dv dt F =⇒= 2.例题〖例3-9〗P138例 〖例3-10〗用手拿住均匀链条上端，使下端刚好着地。

突然将手放开，使链条竖直下落。

求证地面受到的最大压力是链条重量三倍。

解：设链条长l ，质量M ，上端A下落距离为x(t)。

考虑空中链条，落地链条瞬间与上端速度相等，()()l x Mdv ldt l x M l g dv dt g -=-⇒= ∴=v gx 22取全部链条为研究对象，其总动量为 p=(l-x)Mv/l, 由动量定理()/p Mv l l x Mg lMg N N Mgx l =-+-=-∴=23 当x=l 即链条全部落地的瞬间压力最大为N Mg =3。

质点系应用问题小结1.碰撞问题1)恢复系数的求法 2)碰撞后速度的求解 3)完全弹性碰撞问题 2.孤立两体问题 1)运动：两体质心作惯性运动，两体相对质心作圆锥曲线运动。

2)折合质量：将一物体视为静止，则对另一物体写动力学方程时需减小质量为折合质量。

3.变质量物体的运动 1)运动方程 d mv dt dm dtu F () -= 2)特殊情况 u d mv dt F =⇒=0() u v m dv dtF =⇒= 4.习题六〖P150习题2.3，2.5，2.8，2.10，2.14，2.16〗第四章 刚体运动学§4-1 刚体运动的分析1.刚体位置的描述 1)刚体的概念一种特殊的质点系，其任意两点间距在运动过程中保持不变（只有位变而无形变）2)问题的提出 自由度：描述物体运动的独立变量 对单个质点： r xi yj zk =++ 三个自由度对质点系：3n 个自由度，减去质点间的约束关系 对刚体：三点决定位置，且三点间距固定，故刚体 自由度为9－3＝63)欧拉方法 刚体运动＝基点运动（质点平动）＋绕基点转动 即：三个线变量＋三个角变量 2.刚体运动的分类1)平动 2)定轴转动 3)平面运动 4)定点转动 5)一般运动 概念、特征、自由度§4-2 角速度矢量1.有限转动与无限小转动1)构成矢量的条件 大小、方向，加法满足平行四边形法则且满足交换律（对易律）2)有限转动的非矢量性如图所示，刚体先绕z 轴转动90度再绕y 轴转动90度后所处的位置与刚体先绕y 轴转动90度再绕z 轴转动90度所处的位置不同。

当东西移动时，它想继续移动，就像一个在摇摆上的孩子，除非有人
推他们，否则不想停止摇摆！这都归功于牛顿的第一个运动定律，或
者我想称之为懒惰定律。

基本上，如果一个物体正在冷却出来，它会
继续冷却出来，如果在周围放大，除非有人跳进去和捣乱，否则它会
继续冷却。

就像物体在说，"我在这里很好，谢谢！" 但如果你让那个物体变重，它就像给它一个巨大的，丰满的懒惰毯子，使得更难从
沙发上下来，改变它关于移动的想法。

如果你需要得到一个物体移
动或停止，只是记住，你基本上试图说服它起床从沙发上或休息它
最喜欢的活动！
假设你有一辆汽车沿着一条平稳的直路行驶突然间，一股强风从侧面吹来，导致汽车偏离航线或减速。

但是，如果你增加一些额外的重量
在汽车，它会减少受到同样的风潮的影响。

这是因为增加的重量会
增加汽车的惯性，使其运动更难改变。

这有点像冰球选手如何穿重垫和装备提高质量和惯性。

这有助于他们进行命中和身体检查，而不会轻易失去平衡或滑冰。

在工业业务领域，特定设备内质量的增强有利于加强安全和稳定。

这
一原则在起重机操作中尤其明显，在起重臂中添加反重量，有助于提
高质量和稳定性，从而减少操纵重载时倾斜的可能性。

在工程领域，
利用增加的质量加强物体和系统的稳定性是结构和机械设计的一个基
本方面。

工程师和设计师通过对增强质量概念的全面理解和主动应用，作为抵制运动变化的手段，能够生产不仅更安全而且更可靠的产品和
系统。

这种办法与我们通过实施旨在加强稳定和减轻潜在风险的战略措施，确保工业做法健全和完整的决心是一致的。

从变质量物体的运动谈起
颜振珏
【期刊名称】《黔南民族师范学院学报》
【年(卷),期】2008(28)6
【摘要】牛顿运动定律以及由牛顿第二定律推导出的动量定理、动量矩定理、动能定理,只适用于宏观低速的情况下,而且在运动的过程中,物体的质量是恒定不变的.然而在宏观低速的情况下,我们会遇到许多变质量物体运动的问题,在此情况下,牛顿运动定律以及由此推导出的三条基本定理将要做一定的修改,其表达式是不一样的.【总页数】6页(P7-12)
【作者】颜振珏
【作者单位】黔南民族师范学院物理与电子科学系,贵州,都匀,558000
【正文语种】中文
【中图分类】O31
【相关文献】
1.关于变质量物体运动速度推导的讨论 [J], 王英
2.关于变质量物体运动方程的讨论 [J], 王建国
3.变质量物体的运动方程与链条运动问题 [J], 王瑞旦
4.变质量物体的运动方程和应用 [J], 王奇文;李建国
5.用质心运动定理解某些变质量物体运动的问题 [J], 张力英
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