变质量动力学

流體力學的基本定理質量動量能量守恒原理流体力学的基本定理-质量、动量、能量守恒原理引言：流体力学是研究流体静力学和动力学的科学。

在研究流体的运动和行为时，有一些基本的定理被广泛应用，包括质量守恒原理、动量守恒原理和能量守恒原理。

这些原理为我们深入理解和解释流体运动提供了重要的基础。

一、质量守恒原理：质量守恒定律是流体力学中最基本的定理之一，它表明在流体中，质量是守恒的。

简单来说，当流体通过一个封闭系统时，系统内的质量总量不会改变。

这可以用一个简单的数学表达式来表示：∂ρ/∂t + ∇(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇是偏微分算子。

这个方程说明了质量的变化由流体的输运和流动引起。

二、动量守恒原理：动量守恒定律是流体运动研究中的另一个基本原理。

根据牛顿第二定律，当外力作用于一个质点时，它的动量会发生改变。

对于流体，可以将这个定律推广到流体微团上，得到了动量守恒原理。

∂(ρv)/∂t + ∇(ρv⋅v) = -∇p + ∇⋅τ + ρg其中，p是流体的静压力，τ是黏性应力张量，g是重力加速度。

这个方程描述了流体内的动量变化是由压力、黏性应力和重力引起的。

三、能量守恒原理：能量守恒定律是流体运动研究中的第三个基本原理。

在流体中，能量是守恒的，包括内能、动能和位能。

∂(ρE)/∂t + ∇⋅(ρEv) = -p∇⋅v + ∇⋅(k∇T) + ρgv其中，E是单位质量的总能量，k是热传导系数，T是温度。

这个方程表示了流体的能量变化是由压力、热传导和重力引起的。

结论：流体力学的基本定理——质量守恒原理、动量守恒原理和能量守恒原理，为我们研究和理解流体的运动和行为提供了重要的方法和工具。

这些定理在工程实践和科学研究中有着广泛的应用，对于预测和解释自然界中的流体现象至关重要。

正是基于这些基本原理，我们能够更好地理解流体力学的本质，并为实际问题的解决提供科学的依据和方法。

（字数：525字）。

变质量的牛顿第二定律在三维坐标、平动和转动方程引子：牛顿第二定律在物理学中被广泛应用，是描述物体运动状态的重要定律之一。

然而，在一些特定情况下，物体的质量可能会发生变化，这就需要引入变质量的牛顿第二定律。

本文将围绕这一主题展开讨论，分析在三维坐标、平动和转动方程中的应用。

一、牛顿第二定律的基本概念1. 牛顿第二定律的表述及原理牛顿第二定律是经典力学中的基本定律之一，它描述了物体在外力作用下的加速度与所受力的关系，通常表达为F=ma，其中F为物体所受的合外力，m为物体的质量，a为物体的加速度。

这一定律的基本原理是力是物体运动状态改变的原因，力的大小和方向决定了物体的加速度。

2. 牛顿第二定律在三维坐标中的表示在三维坐标系中，物体可能受到来自不同方向的合外力，此时可以通过矢量运算来表示牛顿第二定律。

根据矢量的性质，可以将合外力表示为一个三维矢量F=(F_x, F_y, F_z)，物体的加速度也可以表示为一个三维矢量a=(a_x, a_y, a_z)，则牛顿第二定律可以表示为F=ma。

二、变质量的牛顿第二定律的推导及应用1. 变质量的概念及原因在一些特定情况下，物体的质量可能会随时间变化，例如火箭发射过程中燃料消耗导致质量减小。

此时，传统的牛顿第二定律就无法准确描述物体的运动状态，需要引入变质量的概念。

2. 变质量的牛顿第二定律的推导根据牛顿第二定律的基本原理，可以推导出变质量的牛顿第二定律。

假设物体的质量随时间变化，其质量函数可以表示为m(t)，则物体所受的合外力F(t)与加速度a(t)的关系可以表示为F(t)=m(t)a(t)。

在质量变化的情况下，需要考虑质量随时间的变化率dm/dt对物体运动状态的影响，进而推导出变质量的牛顿第二定律。

3. 变质量的牛顿第二定律在平动和转动方程中的应用在实际的物理问题中，变质量的牛顿第二定律被广泛应用于描述物体的平动和转动状态。

通过数学建模和推导，可以得到物体质量变化情况下的运动方程，从而更准确地预测物体的运动轨迹和速度。

变质量动力学曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、变质量质点的运动微分方程2、变质量动力学在火箭发射中的应用3、变质量质点的动力学普遍定理1、变质量质点的运动微分方程(1) 变质量质点的运动微分方程m 在时刻t ，质点的质量为m ，速度为vv 1在时刻t+d t ，并入速度为v 1的微小质量d mm +d m v 并入后，系统质量变为m +d m ，速度变为v +质点系在t 瞬时的动量：11d m m =+×p v v t +d t 质点系在t+d t 瞬时的动量：2(d )(d )m m =++p v v 根据动量定理有：(e)21d d t=-=p p p F (e)1d d d d d d m m m m t+×+×-×=v v v v F 略去高阶微量d m ·d v ，并在等式两边同时除以d t , 得：(e)1d d ()d d m m t t --=v v v F 式中v 1-v=v r 为微小质量在并入前相对于质点m 的相对速度, 令d d r m t f =F v 则有：(e)d d m tf =+v F F —变质量质点的运动微分方程方程形式与常质量质点运动微分方程相似，仅在右端多了一项F ϕ，它具有力的量纲，常称为反推力。

当d m /d t >0 时，F ϕ与v r 同向；当d m /d t <0 时，F ϕ与v r 反向。

1、变质量质点的运动微分方程(2) 常用的几种质量变化规律i 质量按线性规律变化1)1(0<-=t t m m b b ，由知，其反推力为：b 0d d m t m-=r 0rd d mm t f b ==-F v v 当v r 为常量时，反推力也为常量，且与v r 方向相反。

ii 质量按指数规律变化tm m b -=e 0由知，其反推力为：0d d t m m e t b b -=-r 0rd d tmm e t b f b -==-F v v 令a ϕ表示仅在反推力F ϕ作用下变质量质点的加速度，则：0rrtt m e m m e b f f b b b ---===-F v a v 当v r 为常量时，a ϕ也为常量，即由反推力引起的加速度为常量。

质量互变规律的定义
质量互变规律又称费曼原理，指的是任何作用力在引起对象发生物理变化时，物质的质量变化将受其影响。

一句话概括这一质量互变理，就是“受力之物所变者质量”。

质量互变规律可以用在不同的领域和任务中，从生物学、化学到物理等方面都不可或缺。

例如，在化学反应中，当某一化学物质受到能量刺激时，它可以转化为物质结构不同的另一种物质。

此外，当物体受到外力，比如加热、压缩或冷却时，物质的形状也会随着力的施加而变化，而且质量也会相应地发生变化。

最后，当人们在研究某种物质的结构时，他们也可以应用质量互变原理来识别和判断它们之间的相互作用和化学变化情况，以及其产生的影响。

另外，在力学和能量转换领域，应用质量互变规律也显得尤为重要。

它可以帮助我们理解工程动力学和热力学中物质的变化及其产生的影响，比如当某物体被蒸气推动时，物体质量会发生变化，这一变化会对蒸气的流动速度产生影响。

此外，在互联网安全领域，质量互变规律也起作用。

传统的安全工具往往依赖质量互变规律来帮助开发者编写可行性安全代码，防止入侵攻击，以及发掘和修复已知漏洞等。

总之，质量互变规律是一种非常重要的物理原理，它在多个领域都有广泛的应用，并且在生物学、化学、物理和互联网安全等领域能够产生重要的影响。

质量互变规律使得物理化学变化更容易计算和理解，因此，我们应该更加重视这一重要的物理原理。

质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。

在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。

在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。

希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。

一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。

根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。

根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。

二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。

这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。

2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。

这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。

3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。

这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。

三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。

根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。

动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。

根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。

四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。

动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。

变质量动力学引言有些物体在运动过程中质量不断增加或减少,譬如火箭在飞行时不断地喷出燃料燃烧后产生的气体，火箭的质量在不断减小,因此飞行中的火箭质量是变化的物体；还有比如不断吸进空气又喷出燃气的喷气式飞机、投掷载荷的飞机、在农业收割机旁不断接收粮食的汽车以及在江河中不断凝聚或融化的浮冰等，都是变质量的物体。

要搞清楚他们运动的特征就要将他们简化成物理模型进行研究.一般情况下,当变质量物体作平移，或只研究它们的质心的运动时，可简化为变质量指点来研究.关键词;变质量运动学动量定理动量距定理1。

变质量指点的运动微分方程1.变质量指点的运动微分方程：设变质量质点在瞬时的质量为,速度为；再瞬时,有微小质量并入，只是指点的质量为,速度为；微小质量在尚未并入的瞬时，它的速度为，以原质点与并入的微小质量组成质点系。

设作用于质点系的外力为。

质点在瞬时的动量为：质点系在瞬时的动量为：根据动量定理得将上式展开得略去高阶微量，并以除各项，得或上式中是微小质量在并入前相对于质点的相对速度，令则可以得到上式称为变质量质点的运动微分方程。

式中是变量，是代数量.变质量质点的运动微分方程是求解变质量质点运动规律的基本方程。

其中常称为反推力。

2.两种常用的质量变化规律1。

质量按线性规律变化。

设变化规律为,式中, 皆为常数,该式代表质量随时间变化呈线性关系.由知,其反推力为由上式可知,当为常量时,反推力也为常量,且与方向相反。

3.质量按指数规律变化。

设变化规律为式中，全为常数。

由知，其反推力为令表示仅在反推力作用下变质量质点的加速度则当为常量时，也是常量,即由反推力而引起的加速度为常量。

2。

变质量质点的动力学普遍定理1。

变质量指点的动量定理变质量质点在任一瞬时的动量,其中是时间的函数，将动量对时间求导得得出记并入（或放出）质量的绝对速度为，即则有记称为由于并入（或放出)质量的绝对速度引起的反推力，它具有力的量纲且能改变质点的动量。

得出：=+上式称为变质量质点动量定理的微分形式：变质量质点的动量对时间的导数,等于作用于其上的外力与由于并入（或放出）质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和.将上式积分，设=0时质点质量为，速度为，得=+=+上式称为变质量质点动量定理的积分形式。

动力学中的质量和加速度的计算在动力学中，质量和加速度是两个重要的概念。

质量是物体所具有的特性，代表了物体对外界力的响应能力；而加速度则是物体在外力作用下的运动状态变化率。

本文将从质量和加速度的计算方法、计算过程以及物体运动的实例来讨论动力学中的质量和加速度的计算。

一、质量的计算在动力学中，质量通常指的是物体的惯性质量，用“m”表示。

质量的计算方法取决于物体的形状和密度分布情况。

对于均匀密度的物体，其质量可以通过以下公式计算：m = ρV其中，ρ表示物体的密度，V表示物体的体积。

对于具有不均匀密度的物体，可以将物体分割成许多小块，然后分别计算每个小块的质量，并将所有小块的质量相加得到整体物体的质量。

二、加速度的计算加速度是指物体在单位时间内速度变化的快慢，用“a”表示。

加速度的计算方法取决于物体所受的外力和物体的质量。

在一维情况下，可以使用以下公式计算加速度：a = (v - u) / t其中，v表示物体的最终速度，u表示物体的初始速度，t表示物体在从初始速度到最终速度的时间间隔。

在二维或三维情况下，可以使用以下公式计算加速度：a = (v - u) / t其中，v和u表示物体在不同方向上的速度矢量，t表示物体在从初始速度到最终速度的时间间隔。

三、物体运动的实例为了更好地理解质量和加速度的计算，以下将给出一个物体运动的实例。

假设有一辆汽车以初始速度为10 m/s匀加速地行驶，加速度为2m/s²。

我们可以使用上述计算方法来计算汽车在某一时间点的质量和加速度。

首先，根据质量的计算方法，我们需要获得汽车的密度和体积信息。

假设汽车的密度为1500 kg/m³，体积为10 m³。

则汽车的质量可以通过密度和体积的乘积计算得到：m = ρV = 1500 kg/m³ * 10 m³ = 15000 kg接下来，根据加速度的计算方法，我们可以得到汽车在某一时间点的加速度。

变质量动力学方程引言质量是物理学中一个非常重要的概念，它是描述物体的一个基本属性。

而动力学则是研究物体运动的学问。

相关公式和方程也是研究物理学的基础。

如今，科技日新月异，我们对于物理学的理解也在不断拓展。

本文将探讨变质量动力学方程，以此来扩展我们对于动力学的认知。

什么是变质量动力学方程？变质量动力学方程是描述质量不随时间恒定的运动的方程。

通常情况下，物体的质量是不变的，然而在某些情况下，随着时间的变化，物体的质量会发生改变。

若忽略这一情况，将会导致对于物体运动的描述产生误差。

变质量动力学方程使我们能更加精准地描述物体的运动状态。

通过加入质量随时间变化的参数，我们能更加准确地计算物体的速度和加速度变化。

变质量动力学方程的分类变质量动力学方程可分为两大类：单质点和多体系统。

单质点方程单质点方程适用于研究只有一个物体的运动。

下面是单质点方程的公式：$$\frac{d(mv)}{dt} = F$$其中，m是物体的质量，v是物体的速度，F则是物体所受到的力。

我们可以对d(mv)/dt进行简单的变形，得到以下形式：$$ma + v\frac{dm}{dt} = F$$这个方程是另一种形式的变质量动力学方程。

它不仅可以应用在单质点运动的情况中，也可以用于多体系统的运动中。

多体系统方程多体系统方程适用于两个以上的物体运动的情况。

下面是多体系统方程的公式：$$\frac{d(m_1v_1)}{dt} = F_{1,2} + F_{1,3} + ... + F_{1,n}$$$$\frac{d(m_2v_2)}{dt} = F_{2,1} + F_{2,3} + ... + F_{2,n}$$ $$......$$$$\frac{d(m_nv_n)}{dt} = F_{n,1} + F_{n,2} + ... + F_{n,n-1}$$其中，$m_1$到$m_n$是物体的质量，$v_1$到$v_n$是物体的速度，$F_{1,2}$到$F_{n,n-1}$则是物体之间的力。

第6章 变质量动力学6-1 一变质量摆在阻力与速度成比例的介质中运动。

摆的质量由于质点的离散，按已知规律)(t m m =而变化，且质点离散的相对速度为零。

已知摆线长为l ，摆上受到与其角速度成比例的阻力ϕϕβ (R l F -=为摆的角速度，β为常数）的作用，试写出摆的运动微分方程式。

解：0r =v ，0=ΦF ，ϕl a =t ϕϕβϕsin )()(g t m l l t m --= 即 0s i n )(=++ϕϕβϕlg t m6-3 链条长l ，每单位长度的质量为ρ，堆放在地面上，如图所示。

在链条的一端作用一力F ，使它以不变的速度v 上升。

假设尚留在地面上的链条对提起部分没有力作用。

求力F 的表达式F （t ）和地面反力F N 的表达式F N （t ）。

解：以链条为研究对象，取y 轴向上为正，根据变质量质点运动微分方程在y 轴上的投影式有r d d )(d d v tm t P t v m+= 其中 vgt t F t P v v ρ-=-=)()(,rv tm t v ρ==d d ,0d d 代入上式得 2)(0v vgt t F ρρ--= 故 v g t v t F ρρ+=2)( 由题意，堆积在地面上的链条对提起部分没有力的作用，因此未提起部分链条的重力与地面反力组成平衡力系。

即)(t )(N vt l g vg g l t F -=-=ρρρ6-5 有一火箭，以等加速度a 水平飞行，已知：燃料喷射的相对速度v r =常数；火箭的起始质量为m 0。

如空气阻力不计，求火箭质量随时间变化的规律。

解：火箭可视为一个变质量质点，如图（a ）。

应用变质量质点运动微分方程的水平投影式有 r d d d d v tm F t v m-= 其中 0 , ,d d r ===F v a tv 常数 tm v ma d d r -= 分离变量 m m v t a d d r -= 上式两边积分m m m m t v a t d d 00r ⎰⎰-=得 t v a m m r 0n 1-= t v a m m re 0-=6-7 二级火箭中各级的质量分别为1m 和2m ，各级中包括的燃料质量分别为1m ε及2m ε。

一般变质量问题的动力学方程与解题方法摘要：对变质量问题的动力学方程提出简单的引入方法，从而得出不同形式的动力学方程,解决不同的变质量运动问题。

关键词：变质量，动力学方程， 合外力在普通物理及理论力学中的所谓变质量问题，是指与外界有物质交换而使其质量不断发生变化的物体，也正是由于其质量随时间变化而变化这一特点的出现，使学生感到困惑，加强这一内容，不仅能使学生加深对力学基本概念和基本规律的理解，而且可以培养学生分析问题和解决问题的能力。

1.变质量物体的动力学方程在普通物理及理论力学的教学过程中，都会遇到有关变质量物体的运动问题，而这类问题的解决过程，则需要用到变质量物体的运动方程，现在我们将求出物体按一定规律变化（减少或增加）时的动力学方程，即变质量物体的动力学方程。

设一物质（主体）的质量在t 时刻为m ，它的速度是v →（v <<c ），同时有一微小质量△m 以速度u →运动，并在t +△t 时间间隔内与m 相合并，合并以后的共同速度是v →+△v →。

如果作用在主体m 及微小质量△m 上的合外力为F →，而内力和约束力恒有大小相等，方向相反，因而可以消去，则由质点的动量定理，可得（m +△m ）（v →+△v →）-（m v →+△m u →）=F →△t （1） m v →+△m v →+m △v →+△m △v →-m v →-△m u →=F →△t （2） △m （v →-u →）+m △v →+△m △v →=F →△t （3） 由于△m 是一微小质量，△v →是一微小速度，则△m △v →是一二阶微小变量，即可略去，故而（3）式可以写成△m （v →-u →）+m △v →=F →△t （4）对（4）式两边同时除以△t ，可得t△△m（v →-u →）+m △t △v →=F → （5）在（5）式中，使△t →0，对其求极限可得△t△mlim△t →（v →-u →）+ △t△lim△t v →→m=F →（6）dtdm（v →-u →）+m dt d v →=F → （7）由于dt)d(m v →=mdtd v →+v→dtdm（8） 则m dtd v →=dt)d(m v →-v→dtdm（9） 即（7）式可以写成v→dtdm- u→dtdm + dt )d(m v →-v→dtdm =F →（10） 化简整理（10）式可得dt)d(m v →-u→dtdm =F →（11） 综上，可得出变质量物体的动力学方程有（7）式和（11）式两种形式：形式一： dtdm（v →-u →）+m dt d v →=F →形式二：dt)d(m v →-u→dtdm =F →2.变质量物体运动方程的应用在解决一般变质量问题的过程中，常常会遇到一些特殊的情况，这样，使得我们在解决变质量物体的运动问题中会变的简单一些。

动力学中的力和质量力与质量的关系如何计算和描述动力学中的力和质量：力与质量的关系、计算与描述动力学是物理学中研究物体运动的学科，其中涉及到力和质量的关系以及它们如何计算和描述。

力是动力学中非常重要的概念，它描述了物体的运动状态如何受到其他物体的影响，而质量则是物体固有的性质，表征了物体的惯性和受力能力。

在本文中，我们将探讨力和质量的关系，以及如何计算和描述它们在动力学中的作用。

一、力的定义和描述力是动力学中的基本物理量之一，它描述了物体受到的外部作用，可以改变物体的运动状态。

根据牛顿第二定律，力等于物体的质量乘以加速度。

力的单位是牛顿（N），它等于千克乘以米每二次方秒（kg·m/s^2）。

力的描述可以通过矢量来表示，包括大小和方向。

矢量力的表示通常使用箭头表示法，箭头的长度表示力的大小，箭头的方向表示力的方向。

例如，向右的箭头表示向右的正向力，而向左的箭头表示向左的反向力。

二、质量的定义和描述质量是动力学中的另一个重要概念，它描述了物体的惯性和受力能力。

质量是物体固有的属性，不随位置和速度的变化而变化。

质量的单位是千克（kg）。

质量与力的作用关系是通过牛顿第二定律建立起来的。

质量越大，物体所受到的加速度相同大小的力就越小；质量越小，物体所受到的加速度相同大小的力就越大。

这是因为物体的质量越大，它的惯性越大，对外力的响应越弱。

三、力和质量的计算1. 力的计算力的计算可以通过牛顿第二定律进行。

牛顿第二定律表示，力等于物体的质量乘以加速度。

当质量已知时，可以通过力等于质量乘以加速度的公式来计算力的大小。

例如，当一个物体的质量为2千克，它所受到的加速度为3米每二次方秒时，可以计算出所受到的力为6牛顿（N）。

2. 质量的计算质量是物体固有的属性，一般情况下不需要进行计算，可以通过一些工具来进行测量。

最常用的是称量工具，如天平，它可以准确地测量物体的质量。

四、力和质量在动力学中的描述1. 加速度和力的描述根据力等于质量乘以加速度的关系，可以通过测量物体的质量和加速度来描述力的大小。

§3-7 变质量物体的运动1.公式推导设（m ， v ）与（∆m u , ）经过时间∆t 合并为（m m v v ++∆∆,）。

由动量定理： ()()()m m v v mv mv F t d mv dt dm dt u F ++--=⇒-=∆∆∆∆ 若 u d mv dt F =⇒=0() u v m dv dt F =⇒= 2.例题〖例3-9〗P138例 〖例3-10〗用手拿住均匀链条上端，使下端刚好着地。

突然将手放开，使链条竖直下落。

求证地面受到的最大压力是链条重量三倍。

解：设链条长l ，质量M ，上端A下落距离为x(t)。

考虑空中链条，落地链条瞬间与上端速度相等，()()l x Mdv ldt l x M l g dv dt g -=-⇒= ∴=v gx 22取全部链条为研究对象，其总动量为 p=(l-x)Mv/l, 由动量定理()/p Mv l l x Mg lMg N N Mgx l =-+-=-∴=23 当x=l 即链条全部落地的瞬间压力最大为N Mg =3。

质点系应用问题小结1.碰撞问题1)恢复系数的求法 2)碰撞后速度的求解 3)完全弹性碰撞问题 2.孤立两体问题 1)运动：两体质心作惯性运动，两体相对质心作圆锥曲线运动。

2)折合质量：将一物体视为静止，则对另一物体写动力学方程时需减小质量为折合质量。

3.变质量物体的运动 1)运动方程 d mv dt dm dtu F () -= 2)特殊情况 u d mv dt F =⇒=0() u v m dv dtF =⇒= 4.习题六〖P150习题2.3，2.5，2.8，2.10，2.14，2.16〗第四章 刚体运动学§4-1 刚体运动的分析1.刚体位置的描述 1)刚体的概念一种特殊的质点系，其任意两点间距在运动过程中保持不变（只有位变而无形变）2)问题的提出 自由度：描述物体运动的独立变量 对单个质点： r xi yj zk =++ 三个自由度对质点系：3n 个自由度，减去质点间的约束关系 对刚体：三点决定位置，且三点间距固定，故刚体 自由度为9－3＝63)欧拉方法 刚体运动＝基点运动（质点平动）＋绕基点转动 即：三个线变量＋三个角变量 2.刚体运动的分类1)平动 2)定轴转动 3)平面运动 4)定点转动 5)一般运动 概念、特征、自由度§4-2 角速度矢量1.有限转动与无限小转动1)构成矢量的条件 大小、方向，加法满足平行四边形法则且满足交换律（对易律）2)有限转动的非矢量性如图所示，刚体先绕z 轴转动90度再绕y 轴转动90度后所处的位置与刚体先绕y 轴转动90度再绕z 轴转动90度所处的位置不同。

变质量物体的运动微分方程及火箭运动专业：物理学学号: 1: 瑞锋变质量物体的运动微分方程及火箭运动瑞锋(物理与电气工程系09级物理学专业,1)摘要:我们已经了解了一定质量的系统的运动学方程和动力学方程,但在实际问题中,系统的质量往往是变化（按一定规律减少或增加）的,我们所学的一定质量的物体的运动学或动力学方程却不适用于变质量系统,下面我们将研究变质量系统的运动学和动力学的若干方程,以及变质量物体的运动规律.关键字: 变质量系统 运动微分方程 火箭 动能定理 动量定理一、变质量物体的基本运动微分方程在以前的学习中，我们接触到的质点或者质点组系统运动过程中，本身的质量不会发生变化。

但在实际生活和自然现象中，在某时刻有一部分质量进入或者离开我么们所要研究的对象，经常有变质量系统的运动情况，例如，地球的质量由于陨石的降落而增加，飞行中的喷气飞机和火箭随着燃料的减少质量减少，浮冰由于溶化而减少质量，运动着的传送带在某时可添加或取走货物，下降的陨石由于空气的作用发生破碎或者燃烧使质量减少……这些质点系在运动过程中，不断发生系统外的质点并入，或系统的质点分离，以致系统的总质量随时间不断改变，我们称这些系统为变质量系统。

那么该用怎样的方法研究变质量系统的运动情况呢？我们可以假设在任何时刻，系统的分离或并入的质量是小量，两次发生分离或并入的时间间隔是小量，在这些理想的假设下，离开质点系的质量)(m 2t 和进入质点系的质量)(1t m 是时间的连续可微函数，如果系统的质量m t在t=0时刻为m 0，则它随着时间的变化规律为)()()(21t t t m m m m +-=，那对应的关于质量的一些物理量也是对时间的可微函数，得到微分方程后，进行积分，问题可解决。

设变质量质点的质量m 是时间t 的函数，即m ＝m (t )。

在瞬时t ，质点的质量为m (t )，质点对于定坐标系Oxyz 的速度为v (图1)，即将与之合并的微粒的质量为d m (t )，其对Oxyz 的速度为u 。