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变质量的牛顿第二定律在三维坐标、平动和转动方程引子：牛顿第二定律在物理学中被广泛应用，是描述物体运动状态的重要定律之一。
然而，在一些特定情况下，物体的质量可能会发生变化，这就需要引入变质量的牛顿第二定律。
本文将围绕这一主题展开讨论，分析在三维坐标、平动和转动方程中的应用。
一、牛顿第二定律的基本概念1. 牛顿第二定律的表述及原理牛顿第二定律是经典力学中的基本定律之一，它描述了物体在外力作用下的加速度与所受力的关系，通常表达为F=ma，其中F为物体所受的合外力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
这一定律的基本原理是力是物体运动状态改变的原因，力的大小和方向决定了物体的加速度。
2. 牛顿第二定律在三维坐标中的表示在三维坐标系中，物体可能受到来自不同方向的合外力，此时可以通过矢量运算来表示牛顿第二定律。
根据矢量的性质，可以将合外力表示为一个三维矢量F=(F_x, F_y, F_z)，物体的加速度也可以表示为一个三维矢量a=(a_x, a_y, a_z)，则牛顿第二定律可以表示为F=ma。
二、变质量的牛顿第二定律的推导及应用1. 变质量的概念及原因在一些特定情况下，物体的质量可能会随时间变化，例如火箭发射过程中燃料消耗导致质量减小。
此时，传统的牛顿第二定律就无法准确描述物体的运动状态，需要引入变质量的概念。
2. 变质量的牛顿第二定律的推导根据牛顿第二定律的基本原理，可以推导出变质量的牛顿第二定律。
假设物体的质量随时间变化，其质量函数可以表示为m(t)，则物体所受的合外力F(t)与加速度a(t)的关系可以表示为F(t)=m(t)a(t)。
在质量变化的情况下，需要考虑质量随时间的变化率dm/dt对物体运动状态的影响，进而推导出变质量的牛顿第二定律。
3. 变质量的牛顿第二定律在平动和转动方程中的应用在实际的物理问题中，变质量的牛顿第二定律被广泛应用于描述物体的平动和转动状态。
通过数学建模和推导，可以得到物体质量变化情况下的运动方程，从而更准确地预测物体的运动轨迹和速度。
变质量问题公式一、火箭发射类问题。
题目1：一枚火箭的初始质量为M_0，燃料以相对火箭的速度v_e向后喷出。
在某一时刻，火箭的质量变为M，求此时火箭的速度v（假设火箭在太空中，不受外力作用）。
解析：根据变质量物体的动力学方程：M(dv)/(dt)=-v_e(dM)/(dt)分离变量得：dv = - v_e(dM)/(M)两边积分：∫_v_0^v dv=-v_e∫_M_0^M(dM)/(M)其中v_0 = 0（初始速度为0）解得：v = v_eln(M_0)/(M)题目2：火箭的初始质量是1000kg，燃料的喷射速度为2000m/s。
当火箭的质量变为600kg时，它的速度是多少？解析：已知M_0 = 1000kg，M = 600kg，v_e=2000m/s由v = v_eln(M_0)/(M)v = 2000×ln(1000)/(600)=2000×ln(5)/(3)≈ 2000×0.5108 = 1021.6m/s题目3：火箭质量M_0 = 5000kg，燃料喷射速度v_e = 3000m/s。
若要使火箭达到6000m/s 的速度，火箭最终的质量M是多少？解析：根据v = v_eln(M_0)/(M)6000 = 3000×ln(M_0)/(M)ln(M_0)/(M)= 2(M_0)/(M)=e^2M=(M_0)/(e^2)=(5000)/(e^2)≈ 676.7kg二、雨滴增长类问题。
题目4：雨滴在云层中下落时，不断有小水滴凝结在上面。
设雨滴初始质量为m_0，在下落过程中，其质量的增长速率为λ（即(dm)/(dt)=λ），雨滴受到的空气阻力为F = - kv （k为常数，v为雨滴速度）。
求雨滴的速度随时间的变化关系。
解析：根据牛顿第二定律：(m_0+λ t)(dv)/(dt)=(m_0 +λ t)g- kv分离变量得：(dv)/(g-frac{k){m_0+λ t}v}=(dt)/(m_0+λ t)令u = m_0+λ t，则dt=(du)/(λ)方程变为：(dv)/(g-frac{k){u}v}=(du)/(λ u)这是一个一阶线性非齐次微分方程，通过求解该方程可得雨滴速度随时间的变化关系。
变质量动力学曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、变质量质点的运动微分方程2、变质量动力学在火箭发射中的应用3、变质量质点的动力学普遍定理1、变质量质点的运动微分方程(1) 变质量质点的运动微分方程m 在时刻t ，质点的质量为m ，速度为vv 1在时刻t+d t ，并入速度为v 1的微小质量d mm +d m v 并入后，系统质量变为m +d m ，速度变为v +质点系在t 瞬时的动量：11d m m =+×p v v t +d t 质点系在t+d t 瞬时的动量：2(d )(d )m m =++p v v 根据动量定理有：(e)21d d t=-=p p p F (e)1d d d d d d m m m m t+×+×-×=v v v v F 略去高阶微量d m ·d v ，并在等式两边同时除以d t , 得：(e)1d d ()d d m m t t --=v v v F 式中v 1-v=v r 为微小质量在并入前相对于质点m 的相对速度, 令d d r m t f =F v 则有：(e)d d m tf =+v F F —变质量质点的运动微分方程方程形式与常质量质点运动微分方程相似，仅在右端多了一项F ϕ，它具有力的量纲，常称为反推力。
当d m /d t >0 时，F ϕ与v r 同向；当d m /d t <0 时，F ϕ与v r 反向。
1、变质量质点的运动微分方程(2) 常用的几种质量变化规律i 质量按线性规律变化1)1(0<-=t t m m b b ，由知，其反推力为：b 0d d m t m-=r 0rd d mm t f b ==-F v v 当v r 为常量时，反推力也为常量，且与v r 方向相反。
ii 质量按指数规律变化tm m b -=e 0由知，其反推力为：0d d t m m e t b b -=-r 0rd d tmm e t b f b -==-F v v 令a ϕ表示仅在反推力F ϕ作用下变质量质点的加速度，则：0rrtt m e m m e b f f b b b ---===-F v a v 当v r 为常量时，a ϕ也为常量，即由反推力引起的加速度为常量。
１
喷出气体相对火箭的速度u 为常数模型：
一方面，记火箭开始飞行初始时刻为0t ，记火箭开始飞行初始时刻0t 的火箭质量为00)(M t m =，记火箭开始飞行初始时刻0t 的火箭速度为00)(V t v =。
另一方面，记火箭燃料用尽时刻为1t ，记火箭燃料用尽时刻1t 的火箭质量为M t m =)(1，记火箭燃料用尽时刻1t 的火箭速度为V t v =)(1。
记火箭消耗燃料行时刻10,
t t t t
≤≤ 的火箭质量及火箭速度分别为
)(,)(t v v t m m ==
这里，0d ,0d ><v m 。
假设喷出气体相对火箭的速度为u ，则有
厦门大学《普通物理》课程
质点动力学的变质量火箭问题及其解答
２
证明： 当10,
d t t t t
t t ≤≤+→时；利用“动量守恒定律”
，有 v m v v u m v v m m ⋅≡++-⋅-++⋅+]d [)d ()d ()d (
整理之，等价地表达为
0d d ≡⋅+⋅m u v m
等价地表达为
0]ln d[≡⋅+m u v
于是得到解答
)(ln )()(ln )(00t m u t v t m u t v ⋅+=⋅+
特别地，得到
)(ln )()(ln )(0011t m u t v t m u t v ⋅+=⋅+
等价地表达为
M
M u V V M u V M u V 000
0ln
ln ln ⋅+=⇔
⋅+=⋅+
证明完毕。
变质量动力学引言有些物体在运动过程中质量不断增加或减少,譬如火箭在飞行时不断地喷出燃料燃烧后产生的气体，火箭的质量在不断减小,因此飞行中的火箭质量是变化的物体；还有比如不断吸进空气又喷出燃气的喷气式飞机、投掷载荷的飞机、在农业收割机旁不断接收粮食的汽车以及在江河中不断凝聚或融化的浮冰等，都是变质量的物体。
要搞清楚他们运动的特征就要将他们简化成物理模型进行研究.一般情况下,当变质量物体作平移，或只研究它们的质心的运动时，可简化为变质量指点来研究.关键词;变质量运动学动量定理动量距定理1。
变质量指点的运动微分方程1.变质量指点的运动微分方程：设变质量质点在瞬时的质量为,速度为；再瞬时,有微小质量并入，只是指点的质量为,速度为；微小质量在尚未并入的瞬时，它的速度为，以原质点与并入的微小质量组成质点系。
设作用于质点系的外力为。
质点在瞬时的动量为：质点系在瞬时的动量为：根据动量定理得将上式展开得略去高阶微量，并以除各项，得或上式中是微小质量在并入前相对于质点的相对速度，令则可以得到上式称为变质量质点的运动微分方程。
式中是变量，是代数量.变质量质点的运动微分方程是求解变质量质点运动规律的基本方程。
其中常称为反推力。
2.两种常用的质量变化规律1。
质量按线性规律变化。
设变化规律为,式中, 皆为常数,该式代表质量随时间变化呈线性关系.由知,其反推力为由上式可知,当为常量时,反推力也为常量,且与方向相反。
3.质量按指数规律变化。
设变化规律为式中，全为常数。
由知，其反推力为令表示仅在反推力作用下变质量质点的加速度则当为常量时，也是常量,即由反推力而引起的加速度为常量。
2。
变质量质点的动力学普遍定理1。
变质量指点的动量定理变质量质点在任一瞬时的动量,其中是时间的函数，将动量对时间求导得得出记并入（或放出）质量的绝对速度为，即则有记称为由于并入（或放出)质量的绝对速度引起的反推力，它具有力的量纲且能改变质点的动量。
得出：=+上式称为变质量质点动量定理的微分形式：变质量质点的动量对时间的导数,等于作用于其上的外力与由于并入（或放出）质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和.将上式积分，设=0时质点质量为，速度为，得=+=+上式称为变质量质点动量定理的积分形式。
变质量动力学
引言
有些物体在运动过程中质量不断增加或减少，譬如火箭在飞行时不断地喷出燃料燃烧后产生的气体，火箭的质量在不断减小，因此飞行中的火箭质量是变化的物体；还有比如不断吸进空气又喷出燃气的喷气式飞机、投掷载荷的飞机、在农业收割机旁不断接收粮食的汽车以及在江河中不断凝聚或融化的浮冰等，都是变质量的物体。
要搞清楚他们运动的特征就要将他们简化成物理模型进行研究。
一般情况下，当变质量物体作平移，或只研究它们的质心的运动时，可简化为变质量指点来研究。
关键词；变质量 运动学 动量定理 动量距定理
1.变质量指点的运动微分方程
1. 变质量指点的运动微分方程：
设变质量质点在瞬时t 的质量为m ，速度为v ；再瞬时t dt +,有微小质量dm 并入，只是指点的质量为dm m +,速度为v dv +；微小质量dm 在尚未并入的瞬时t ,它的速度为1v ，以原质点与并入的微小质量组成质点系。
设作用于质点系的外力为()e F 。
质点在瞬时t 的动量为：
11p mv dm v =+⋅
质点系在瞬时t dt +的动量为：
2()()p m dm v dv =++
根据动量定理
()21e dp p p F dt =-=
得
()1()()()e m dm v dv mv dm v F dt ++-+⋅=
将上式展开得
()1e mdv dm v dm dv dm v F dt +⋅+⋅-⋅=
略去高阶微量dm dv ⋅，并以dt 除各项，得
()1e dv dm dm m v v F dt dt dt
+-= 或
()1()e dv dm m v v F dt dt
--= 上式中1()v v -是微小质量dm 在并入前相对于质点m 的相对速度r v ，令
r dm F v dt
Φ=
则可以得到 ()e dv m F F dt
Φ=+
上式称为变质量质点的运动微分方程。
式中m 是变量，
dm dt 是代数量。
变质量质点的运动微分方程是求解变质量质点运动规律的基本方程。
其中F Φ常称为反推力。
2. 两种常用的质量变化规律
1.质量按线性规律变化。
设变化规律为
0(1)m m t β=-, 1t β<
式中0m ,β 皆为常数，该式代表质量随时间变化呈线性关系。
由
0dm m dt β=-知，其反推力为
0r r dm F v m v dt
βΦ==- 由上式可知，当r v 为常量时，反推力F Φ也为常量，且与r v 方向相反。
3. 质量按指数规律变化。
设变化规律为
0t m m e β-=
式中0m ，β全为常数。
由
0t dm m e dt ββ-=-知，其反推力为 0t r r dm F v m e v dt
ββ-Φ==- 令a Φ表示仅在反推力F Φ作用下变质量质点的加速度
r F a v m
βΦΦ==- 则当r v 为常量时，a Φ也是常量，即由反推力而引起的加速度为常量。
2.变质量质点的动力学普遍定理
1.变质量指点的动量定理
变质量质点在任一瞬时的动量p mv =，其中()m m t =是时间t 的函数，
将动量对时间求导得
()dp d mv dm dv v m dt dt dt dt
==+
得出
r dp dm dm v F v dt dt dt
=++ 记并入（或放出）质量的绝对速度为1v ，即
1r v v v =+
则有
1dp dm F v dt dt =+ 记
1a dm F v dt
Φ= 称a F Φ为由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力，它具有力的量纲且能改变质点的动量。
得出：
dp dt =()d mv dt
=F +a F Φ 上式称为变质量质点动量定理的微分形式：变质量质点的动量对时间的导数，等于作用于其上的外力与由于并入（或放出）质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和。
将上式积分，设t =0时质点质量为0m ，速度为0v ，得
00mv m v -=0t
Fdt ⎰+0t
a F dt Φ⎰=0t
Fdt ⎰+01m
m v dm ⎰
上式称为变质量质点动量定理的积分形式。
2.变质量质点的动量矩定理
变质量质点对任一点O 的动量矩为
O L r mv =⨯
式中r 为从点O 指向该质点的矢径，点O 为定点。
将上式对时间t 求导，得
O dL dt =()d r mv dt
⨯=dr mv dt ⨯+()d r mv dt ⨯=()d r mv dt ⨯ 上式称为变质量质点的动量矩定理：变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点上外力的合力对该点之矩与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和。
3.变质量质点的动能定理
变质量质点动量订立的微分形式可以写为
dv m dt +dm v dt = F +1dm v dt 将上式各项点乘dr ，得
1mv dv dmv v F dr dmv v ⋅+⋅=⋅+⋅
由于2
21()22
v mv dv d mv dm ⋅=-，因此上式可以写为 22111()()22
d mv v dm F dr v v dm +=⋅+⋅ 或
2211()22
a d mv v dm F dr F dr Φ+=⋅+⋅ 上面两式称为变质量质点的动能定理：变质量质点的动能微分与放出（或并入）的元质量由于其牵连速度而具有的动能的代数和，等于作用于质点上外力合力的元功与由于并入（或放出）质量 的绝对速度引起的反推力所作的元功之和。
4. 实际问题中的变质量质点的动量定理及动量矩定理
日常生活或工程实践中，常会遇到质量不断变化的质点系，例如，向外喷射气体的火箭、吸入空气同时又喷出燃气的喷气式飞机、冻结或融化中的浮冰等．有的是不断地并入质量，有的是不断地放出质量，有的既并入又放出质量，这样的质点系称为变质量物体．变质量问题是理论力学研究的一个重要内容。
通常用到的几个变质量物体运动方程
1. 变质量物体的平动运动方程
()d dm m V F u V F dt dt
=+-=+Φ 该式是研究变质量问题的一个基本方程，简称密歇尔斯基方程。
2. 变质量物体绕定点转动的运动方程
()()n d r mv r F dr F dt
⨯=⨯+Φ-⨯ 上式中r F ⨯叫合外力距，dm r r u dt
⨯Φ=⨯叫反推力矩，dr ⨯n F 叫向心力距。
3. 变质量物体绕定点做一般曲线运动的方程
()()()n d r mv r F dr F F dt
τ⨯=⨯+Φ-⨯+ 式中dr ⨯F τ称为切向力矩。
例：用手拿住均匀链条的上端，使下端刚好着地，突然将手放开，使链条竖直下落，求下落速度，并求证地面受到的最大压力是链条重量的3倍。
解 ： 设x 轴向下，x 轴原点在链条初始位置的最高点，对空中长为l x -和即将落地的微质量链条组成的变质量体系进行考虑，()m l x ρ=-，dm dx ρ=-，N 为
地面静止链条向上作用于微质量链条dm 的力，
u 是dm 与空中主体链条分开后的瞬时速度即0，对该变质量体系应用变质量运动的微分方程可得
(0)dv dm m mg N v dt dt
=-+- 化为：
2dv m mg N v dt
ρ=-+
再将上面用动量定理求出的21N T m g v ρ=-=代入得
dv m
mg dt
= 于是有
22v gx =
而地面受到的压力为
211T N m g v m g ρ=+=+
当全部落下时，
22v gl =，22v gl = 得出最大压力为
2gl g=3g T M M ρ=+
因此，地面受到最大的压力为链条重量的3倍。
3.参考文献
【1】 江优良 廖湘萍《变质量物体运动微分方程应用讨》
【2】 郑荣霞 肖泰明 罗跃《变质量质点力学的动量矩定理及动能定理研究》湖北成人教育学院学报 2008
【3】 颜振珏 《从变质量的运动谈起》 黔南民族师范学院学报 2008
【4】 王奇文 李建国《变质量物体的运动方程和应用》 河南科学 2009
【5】 余君彦 李德明《对变质量质点运动的讨论及应用》 科技信息 2006。
