§2.7 变质量物体的运动

第九讲 变质量物体的运动教学时间：2学时教学目的要求：使学生熟练掌握变质量物体的运动微分方程——密舍尔斯基方程并能解决实际问题。

重点：密舍尔斯基方程的应用。

难点：如何判断对具体问题使用哪种密舍尔斯基方程。

教学方法：数学推导结合典型实例分析。

讲授要点及内容：日常生活和生产实践中，我们经常见到物体在运动过程中其质量不断发生变化，例如： 喷气飞机、火箭、洒水车、下落的雨点等等。

定义：若物体在运动过程中，其质量随时间不断变化，则物体的这种运动称为变质量物体 的运动。

说明：1）本节只研究物体运动时，其质量按一定规律变化的情况。

2）本节所研究的变质量物体可视为质点。

3）本节研究物体的质量随时间变化，与相对论中物体的质量随速度变化就有本质 的不同。

（一）对变质量物体运动的初步分析1、基本概念主体——质量随时间不断变化的运动物体（如飞机、雨滴）。

并体（分体）——在dt 时间内合并到主体上或从主体上分出的微质量物体。

2、问题的实质——将主体和并体（或分体）均视为质点并且由于合并（分开）瞬时它们之 间存在相互作用力，因此问题的实质应为质点组动力学问题。

3、研究问题的着眼点——质量不断发生变化的主体的运动规律应是研究问题的着眼点，因 此这类问题又可视为主体的质点动力学问题。

4、研究问题的方法——从质点的动力学基本定理出发，最后归结为主体的运动微分方程。

（二）变质量物体的运动微分方程（以质量不断增加为例）设：1）t 时刻，主体质量为m ，相对于某惯性系的绝对速度是v r ，并体质量为dm ，相对于同一惯性系的绝对速度为u r 。

2）在dt 时间内主体与并体完成合并。

3）在t dt + 时刻，主体的质量变为m dm + ，相对于同一惯性系的速度为v dv + r r。

4）在dt 时间内，作用在和的外力主矢量为F u r 。

根据质点组动量定理( )( ) ( )m dm v dv mv udm Fdt ++-+= r r r r u r ， 将该式展开并略去二阶无穷小量dmdv r，得 ( ) d dm mv u F dt dt -= r r u r （1）， ( ) dv dm m F v u dt dt =+- r u r r r （2） 可进一步将方程整理成两种形式（1）（2）两式均称为密舍尔斯基方程，使解决变质量物体运动的重要动力学方程。

第一章思考题解答1.1答：平均速度是运动质点在某一时间间隔t t t ∆+→内位矢大小和方向改变的平均快慢速度，其方向沿位移的方向即沿t ∆对应的轨迹割线方向；瞬时速度是运动质点在某时刻或某未知位矢和方向变化的快慢程度其方向沿该时刻质点所在点轨迹的切线方向。

在0→∆t 的极限情况，二者一致，在匀速直线运动中二者也一致的。

1.2答：质点运动时，径向速度r V 和横向速度θV 的大小、方向都改变，而r a 中的r 只反映了r V 本身大小的改变，θa 中的θθ r r +只是θV 本身大小的改变。

事实上，横向速度θV 方向的改变会引起径向速度rV 大小大改变，2θ r -就是反映这种改变的加速度分量；经向速度r V 的方向改变也引起θV 的大小改变，另一个θ r 即为反映这种改变的加速度分量，故2θr r a r -=，.2θθθ r r a +=。

这表示质点的径向与横向运动在相互影响，它们一起才能完整地描述质点的运动变化情况1.3答：内禀方程中，n a 是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于a 恒位于密切面内，速度v 总是沿轨迹的切线方向，而n a 垂直于v 指向曲线凹陷一方，故n a 总是沿助法线方向。

质点沿空间曲线运动时，0,0≠=b b F a z 何与牛顿运动定律不矛盾。

因质点除受作用力F ，还受到被动的约反作用力R ，二者在副法线方向的分量成平衡力0=+b b R F ，故0=b a 符合牛顿运动率。

有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。

有人也许还会问：某时刻若b b R F 与大小不等，b a 就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来b a 所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足00==+b b b a R F 即。

这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。

《理论力学课程》教学大纲学时：72 时学分：4 分课程类型：必修适用专业：物理学一、课程性质、地位和任务理论力学是四年制高等院校物理学专业的必修的基础课程。

本课程以牛顿运动定律为基础，高等数学为工具，通过严密的逻辑推理，全面的阐述宏观物体机械运动的基本概念和基本规律。

通过教学，应使学生：一，对宏观机械运动规律有比较全面，系统的认识，能掌握处理力学问题的一般方法，培养起一定的抽象思维和逻辑推理能力；二，能较深刻的分析力学教材，能分析生产生活中的问题；三，认识教学与物理的密切联系，能运用数学工具解决物理问题；四，通过本教材的学习为进一步学习理论物理打下了坚实的基础。

本课程总学时为72学时，讲授与习题的比例为3：1，具体情况如下。

二、课程主要内容概述及教学基本要求本课程主要内容：第一篇牛顿力学主要包括：质点力学、质点组力学、刚体力学、非惯性系力学等；第二篇分析力学主要包括：虚功原理、拉格朗日方程、哈密顿正则方程、哈密顿原理等。

理论力学是学生接触到的第一门理论物理课程。

与普通物理力学相比，它在理论上和解决问题的方法上都有较大提高。

通过本课程的学习，使学生受到理论物理研究方法的初步训练，应培养学生严密逻辑推理的能力、抽象思维的能力、从一般到特殊的分析方法及运用高等数学方法解决力学问题的能力，并较好理解数学与物理的密切关系。

三、课程内容绪论1.理论力学的研究对象和方法2.经典力学的运用方法第一章质点力学基本要求：（1）.空间和时间，力和质量，惯性参照系是经典力学的基本概念，牛顿定律是经典力学的基本定律。

它是理论力学的起点。

同时介绍现代科学的观点。

（2）.重点：1.平面坐标系和自然坐标系中速度加速度分量式的推导和应用，也是本章的难点。

2.质点运动微分方程的建立和求解。

要多举几种不同类型（F=F（r,v,t））例题，学会以高等数学为工具把物理问题转化为数学方程，并求数学表达式分析其中的物理意义，从而提高提出问题，分析问题解决问题的能力 3.要求学生明确质点的约束运动在加约束反力后，可按自由质点处理 4.由于质点的三个基本定律及守恒律在力学多半阐述过，要在原有基础上概括提高，对于一些问题要能正确判断一个力为保守力，并能求出相应的势能曲线。

普通物理学（第六版）公式⼤全⼀、⼒和运动1.1 质点运动的描述！1.质点2.参考系和坐标系3.空间和时间4.运动学⽅程轨迹⽅程5.位⽮6.位移7.速度（瞬时）速度：（瞬时）速率：8.加速度（瞬时）加速度：1.2 圆周运动和⼀般曲线运动！1.切向加速度和法向加速度⾃然坐标系；法向加速度处处指向曲率中⼼。

2.圆周运动的⾓量描述⾓速度：⾓加速度：3 .抛体运动的⽮量描述1.3 相对运动常见⼒和基本⼒1.相对运动（伽利略）速度变换式：2.常见⼒重⼒、弹⼒、摩擦⼒、万有引⼒3.基本⼒万有引⼒、电磁⼒、强⼒、弱⼒1.4 ⽜顿运动定律！1.⽜顿第⼀定律（惯性定律）2.⽜顿第⼆定律3.⽜顿第三定律（作⽤⼒和反作⽤定律）4.⽜顿运动定律应⽤举例1）常⼒作⽤下的连接体问题2）变⼒作⽤下的单体问题1.5 伽利略相对性原理⾮惯性系惯性⼒1.伽利略相对性原理（⼒学的相对性原理）2.经典⼒学的时空观 *3.⾮惯性系 *4.惯性⼒⼆、运动的守恒量和守恒定律2.1 质点系的内⼒和外⼒质⼼质⼼运动定理！1.质点系的内⼒与外⼒2.质⼼对于N个质点组成的质点系：质⼼的位⽮对于质量连续分布的物体：质⼼的位⽮3.质⼼运动定理2.2 动量定理动量守恒定律！1.动量定理冲量：动量定理：动量定理是⽜顿第⼆定律的积分形式。

*2. 变质量物体的运动⽅程 3.动量守恒定律*4.⽕箭飞⾏2.3 功能量动能定理！1.功的概念功：功率：2.能量3.动能定理动能：动能定理：2.4 保守⼒成对⼒的功势能！1.保守⼒保守⼒：重⼒、万有引⼒、弹性⼒以及静电⼒等。

⾮保守⼒：摩擦⼒、回旋⼒等。

2.成对⼒的功3.势能4.势能曲线2.5 质点系的功能原理机械能守恒定律！1.质点系的动能定理2.质点系的动能原理3.机械能守恒定律4.能量守恒定律*5.⿊洞2.6 碰撞对⼼碰撞（正碰撞）1.碰撞过程系统动量守恒2.⽜顿的碰撞定律恢复系数：完全弹性碰撞（1）；⾮弹性碰撞；完全⾮弹性碰撞（0）完全弹性碰撞过程，系统的机械能（动能）也守恒。

理论力学教案《理论力学》课程基本信息（一）课程名称：理论力学（二）学时学分：每周4学时，学分4（三）予修课程：力学、高等数学（四）使用教材：金尚年、马永力编著《理论力学》，第二版.，北京：高等教育出版社，2002年7月，面向21世纪课程教材。

（五）教学参考书：1.周衍柏《理论力学教程》（第二版），北京：高等教育出版社，1986年。

2.郭士望《理论力学》上、下册，北京：高等教育出版社，1982。

3.梁昆森《力学》上、下册，北京：人民教育出版社，1979。

（六）教学方法：课堂讲授，启发式教学（七）教学手段：传统讲授与多媒体教学相结合（八）考核方式：闭卷考试占总成绩70%，平时作业成绩占30%（九）学生创新精神与实践能力的培养方法：在课程讲授过程中注意采用启发式教学手段，将基本的概念和规律讲清、讲透，而将一些具有推广性的问题留给学生思考，以此来提高学生分析问题、解决问题的能力。

并且在课堂讲授时多联系实际的力学问题，以此来提高学生解决实际问题的能力。

（十）其他要求：每堂课后布置适量的课后作业并定期批改、检查和给出成绩，这部分成绩将占期末总成绩的30%。

绪论一：《理论力学》课程的内容：该课程是以牛顿力学和分析力学为主要内容的力学理论，是理论物理的第一门课程。

是从物理学的基本经验规律出发，借助于微积分等数学工具，推导出关于物体机械运动时所满足的整体规律的一门课程。

二：《理论力学》与《力学》的区别和联系1.内容：《理论力学》包括牛顿力学和分析力学，是《力学》课程的深入和提高；而《力学》课程仅讲授牛顿力学，且研究的深度不及《理论力学》。

2.研究手段：《力学》是从物理现象出发，通过归纳总结出物质运动的规律。

《理论力学》是从经验规律出发，借助于数学工具，推导出物质运动所满足的规律，并通过实践来检验该规律的真伪，着重培养学生理性思维的能力。

三：本教材的特点：将牛顿力学和分析力学穿插在一起讲解，可对比二者在处理力学问题时各自的优缺点，并适当增加了分析力学在这门课中的比重。

理论力学题库一一第二章一、填空题1.对于一个有“个质点构成的质点系，质量分别为加〕，加2,加3,…叫，…加“，位置矢量分别为，“，£, •”，----- ,则质心c的位矢为________________ 。

2.质点系动量守恒的条件是______________________________ 。

3.质点系机械能守恒的条件是__________________________ ,4.质点系动量矩守恒的条件是____________________________________ o5.质点组______ 对_______ 的微商等于作用在质点组上外力的矢量和，此即质点组的定理。

&质心运动定理的表达式是 _______________________________ o7.平面汇交力系平衡的充分必要条件是合力为零。

8.各质点对质心角动量对时间的微商等于处力对质心的力矩之和。

9.质点组的角动量等于质心角动量与各质点对质心角动量之和。

10•质点组动能的澈分的数学表达式为：£耳” •心+£戸件叭2 t.i /・1 /・1表述为质点组动能的微分等于一力和力所作的元功之和。

11・质点组动能等于质心动能与各质点对质心动能之和。

12.柯尼希定理的数学表达式为：丁二丄〃呢2+£性十2 ,表述为质点组动能等于质心2 /.I动能与各质点对质心动能之和。

13.2-6・质点组质心动能的微分等于、外力在质心系系中的元功之和。

14・包含运动电荷的系统，作用力与反作用力丕二定在同一条直线上。

15・太阳、行星绕质心作圆锥曲线的运动可看成质量为磴质量的行星受太阳（不动）的引力的运动。

16・两粒子完全弹性碰撞，当质量相等时，一个粒子就有可能把所有能量转移给另一个粒子。

17.设木块的质呈为nh，被悬挂在细绳的下端，构成一种测定子弹速率的冲击摆装置。

如果有一质量为叫的子弹以速率v,沿水平方向射入木块，子弹与木块将一起摆至高度为久二佟上竺（2g 〃严h处，则此子弹射入木块前的速率为： E ___________ 。

变质量动力学引言有些物体在运动过程中质量不断增加或减少，譬如火箭在飞行时不断地喷出燃料燃烧后产生的气体，火箭的质量在不断减小，因此飞行中的火箭质量是变化的物体；还有比如不断吸进空气又喷出燃气的喷气式飞机、投掷载荷的飞机、在农业收割机旁不断接收粮食的汽车以及在江河中不断凝聚或融化的浮冰等，都是变质量的物体。

要搞清楚他们运动的特征就要将他们简化成物理模型进行研究。

一般情况下，当变质量物体作平移，或只研究它们的质心的运动时，可简化为变质量指点来研究。

关键词；变质量 运动学 动量定理 动量距定理1.变质量指点的运动微分方程1. 变质量指点的运动微分方程：设变质量质点在瞬时t 的质量为m ，速度为v ；再瞬时t dt +,有微小质量dm 并入，只是指点的质量为dm m +,速度为v dv +；微小质量dm 在尚未并入的瞬时t ,它的速度为1v ，以原质点与并入的微小质量组成质点系。

设作用于质点系的外力为()e F 。

质点在瞬时t 的动量为：11p mv dm v =+⋅质点系在瞬时t dt +的动量为：2()()p m dm v dv =++根据动量定理()21e dp p p F dt =-=得()1()()()e m dm v dv mv dm v F dt ++-+⋅=将上式展开得()1e mdv dm v dm dv dm v F dt +⋅+⋅-⋅=略去高阶微量dm dv ⋅，并以dt 除各项，得()1e dv dm dm m v v F dt dt dt+-= 或()1()e dv dm m v v F dt dt--= 上式中1()v v -是微小质量dm 在并入前相对于质点m 的相对速度r v ，令r dm F v dtΦ=则可以得到 ()e dv m F F dtΦ=+上式称为变质量质点的运动微分方程。

式中m 是变量，dm dt 是代数量。

变质量质点的运动微分方程是求解变质量质点运动规律的基本方程。

§3-7 变质量物体的运动1.公式推导设（m ， v ）与（∆m u , ）经过时间∆t 合并为（m m v v ++∆∆,）。

由动量定理： ()()()m m v v mv mv F t d mv dt dm dt u F ++--=⇒-=∆∆∆∆ 若 u d mv dt F =⇒=0() u v m dv dt F =⇒= 2.例题〖例3-9〗P138例 〖例3-10〗用手拿住均匀链条上端，使下端刚好着地。

突然将手放开，使链条竖直下落。

求证地面受到的最大压力是链条重量三倍。

解：设链条长l ，质量M ，上端A下落距离为x(t)。

考虑空中链条，落地链条瞬间与上端速度相等，()()l x Mdv ldt l x M l g dv dt g -=-⇒= ∴=v gx 22取全部链条为研究对象，其总动量为 p=(l-x)Mv/l, 由动量定理()/p Mv l l x Mg lMg N N Mgx l =-+-=-∴=23 当x=l 即链条全部落地的瞬间压力最大为N Mg =3。

质点系应用问题小结1.碰撞问题1)恢复系数的求法 2)碰撞后速度的求解 3)完全弹性碰撞问题 2.孤立两体问题 1)运动：两体质心作惯性运动，两体相对质心作圆锥曲线运动。

2)折合质量：将一物体视为静止，则对另一物体写动力学方程时需减小质量为折合质量。

3.变质量物体的运动 1)运动方程 d mv dt dm dtu F () -= 2)特殊情况 u d mv dt F =⇒=0() u v m dv dtF =⇒= 4.习题六〖P150习题2.3，2.5，2.8，2.10，2.14，2.16〗第四章 刚体运动学§4-1 刚体运动的分析1.刚体位置的描述 1)刚体的概念一种特殊的质点系，其任意两点间距在运动过程中保持不变（只有位变而无形变）2)问题的提出 自由度：描述物体运动的独立变量 对单个质点： r xi yj zk =++ 三个自由度对质点系：3n 个自由度，减去质点间的约束关系 对刚体：三点决定位置，且三点间距固定，故刚体 自由度为9－3＝63)欧拉方法 刚体运动＝基点运动（质点平动）＋绕基点转动 即：三个线变量＋三个角变量 2.刚体运动的分类1)平动 2)定轴转动 3)平面运动 4)定点转动 5)一般运动 概念、特征、自由度§4-2 角速度矢量1.有限转动与无限小转动1)构成矢量的条件 大小、方向，加法满足平行四边形法则且满足交换律（对易律）2)有限转动的非矢量性如图所示，刚体先绕z 轴转动90度再绕y 轴转动90度后所处的位置与刚体先绕y 轴转动90度再绕z 轴转动90度所处的位置不同。

大学物理力学–运动的质量引言运动是物体在空间中由一点到另一点位置的改变，在物理学中，研究物体运动的一个重要概念是质量。

质量是物体所具有的惯性和引力特性的量度。

它在描述物体运动时起着重要作用。

本文将介绍质量的概念、质量的测量以及质量对运动的影响解释等内容。

质量的概念质量是物体所固有具有的属性，衡量物体惯性和引力特性的大小。

根据牛顿第二定律，物体的加速度与合外力成正比，质量越大，加速度越小；质量越小，加速度越大。

质量是物体所固有的属性，与物体所处的环境无关。

质量的测量质量的测量通常使用称重法进行。

称重法是通过比较物体的质量与已知质量的标准来确定物体的质量。

常见的质量测量仪器是天平。

在天平上，将待测物体放在一个称盘上，将质量标准放在另一个称盘上，通过调整质量标准的重量，使天平平衡。

最后，根据质量标准的重量和调整需要多少找到平衡的质量标准，可以确定待测物体的质量。

质量的单位国际单位制中，质量的基本单位是千克(kg)。

千克是国际单位制的基本单位之一，定义为国际原子能机构在巴黎的地下实验室中保存的一种特定的铂金(铂-19)和铂-iridium合金制成的“国际原子能机构原子钟标准”。

除了千克以外，物理学中还经常使用克(g)作为质量的单位。

通常情况下，1kg=1000g。

质量对运动的影响质量是影响物体运动的重要因素。

根据牛顿第二定律，物体的加速度与力成正比，与物体的质量成反比。

1.对加速度的影响：在给定大小的力作用下，质量越大，加速度越小；质量越小，加速度越大。

这是因为在相同大小的力下，质量越大，惯性越强，物体的加速度越小。

2.对惯性的影响：质量越大，物体的惯性越大。

惯性是物体保持运动状态的特性，与物体的质量有关。

质量越大，物体保持原来状态的能力越强。

3.对重力的影响：质量决定了物体所受的重力大小。

根据牛顿第二定律，重力的大小与物体质量成正比，称为重力加速度。

质量越大，受到的重力越大；质量越小，受到的重力越小。

我们需要了解什么是质量。

质量是物体所固有的属性，是物质在物理学上的一个基本概念。

质量不同的物体，在相同的条件下，所表现出来的性质和现象也是不同的。

因此，我们可以说质量对物体的运动有着直接的影响。

那么，质量对物体的运动有什么具体的影响呢？质量会影响物体的惯性。

所谓惯性，是指物体在没有外力作用时，保持不变的状态。

对于质量较大的物体，由于具有更大的惯性，所以需要更大的力才能改变它的运动状态，而质量较小的物体则相对容易改变其运动状态。

这也是为什么重物体需要大力才能移动，轻物体则可以轻易地被推动。

质量还会影响物体的加速度。

加速度是指物体在外力作用下，其速度变化的快慢程度。

根据牛顿第二定律，物体所受的加速度与所受的力成正比，与其质量成反比。

也就是说，质量越大的物体所受到的加速度越小，需要更大的力才能使其加速。

同时，质量还可以影响物体的万有引力。

根据万有引力定律，物体之间的引力与它们的质量成正比。

因此，质量较大的物体之间的引力也更大。

这也是为什么地球上的物体受到的引力比月球上的物体大，因为地球的质量更大。

质量还可以影响物体的密度。

密度是指单位体积内的质量，也可以说是物体的紧实程度。

对于两个具有相同质量的物体，如果一个体积较小，那么它的密度就较大。

因此，质量越大的物体，一般来说其密度也会较大。

质量还可以影响物体的能量。

根据爱因斯坦的著名公式E=mc^2（其中c代表光速），质量和能量是可以互相转换的。

因此，质量越大的物体所携带的能量也会更大。

质量对物体的运动有着直接的影响，它决定了物体的惯性、加速度、万有引力、密度和能量等特性。

因此，在研究物体的运动时，我们必须充分考虑它们的质量，才能更好地理解和描述它们的运动状态。