金融计量学张成思Lecture 2-01

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yt = α yt −1 + εt
美国CPI CPI通胀率 图2-1 美国CPI通胀率
20 15 10 5 0 -5 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
1960年1季度—2006年4季度 (年度化数据, %)
U.S. CPI Inflation
α 后面的图即描绘了一阶差分方程中不同 系数的 -0.4 所对应的 y t 序列的动态路径。
0.0 -0.8 5 10 15 20 25 30
图2 - 2 （b ）
1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 5 10 15 20 25 30
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yt = 0.8yt−1 +εt
图2 - 2 （c ）
j j =0
m
t + m +1
y− m −1 + ∑ α ε t −i
i i =0
7
t +m
α <1
可以观察到， α t + m +1的取值随 （1）如果 α < 1 ,那么 着m的不断增大而减小，最终减为0， 此时 yt 称为收敛序列。 α > 1 ，那么α t + m +1 的取值随 （2）如果 着m的不断增大将不会逐渐减小为0， 而是趋近于无穷大。此时 yt 称为非收 敛序列。
（1）动态乘数
对于yt = α yt −1 + ε t 而言, 动态乘数可以定义为 ∂ε t 在 j=0 这种特殊情况下 , 动态乘数也经常 被称为影响乘数（impact multiplier）, ∂yt 影响乘数 = ∂ε t 动态乘数 = ∂yt + j , j = 0, 1, 2L
另外 yt =αyt−1 +εt也 以 成 ， 可 写 yt+ j =α yt−1 +α εt +α εt+1 +L+αεt+ j−1 +εt+i
当 −1<α < 0 时，如(e)情形，动态 乘数的取值正负号交替变化，但是这些 动态乘数的绝对值是呈现逐渐递减至0 的，这种情形经常被形象地称作“震荡 式衰减”。 这样，对于 α < 1 的情况，从脉 冲响应函数图来看，随机扰动因素对序 列 y t 的冲击将最终消失，而对应的一 阶差分方程在这种情况下就是一个稳定 的系统。
1 0 -1 -2 -3 5 10 15 20 25 30
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yt = yt −1 + ε t
图2 - 2 （d ）
0 -50 -100 -150 -200 5 10 15 20 25 30
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yt = 1.2 yt −1 + ε t
图2 - 2 （e ）
2 1 0 -1 -2 5 10 15 20 25 30
（3）如果 α = 1 ，差分方程描绘的变 量序列仍然是非收敛序列，但这种特 殊情况下的差分方程对应一个专门的 名称，叫做随机游走过程。
图2 - 2 （a ）
1.2
经过以上分析，可以得出结论：一阶差分方 yt = 0.3 yt −1 + ε t 0.8 程中的一阶滞后项的系数的大小关键性地决定了 差分方程的求解结果。实际上，这个系数的取值 0.4 也关键性地决定了时间序列变量的动态走势特征。
j+1 j j−1
一阶差分方程的动态乘数的表达式可以写成 ∂yt + j ∂εt =α
j
（2）脉冲响应函数
从动态乘数的定义可知，对应每 一个时期跨度j，有一个对应的动态乘 数，那么如果将不同时期跨度j的动态 乘数按j从小到大的顺序摆放在一起， 形成一个路径，就成为了脉冲响应函 数。
累积脉冲响应函数：
一些差分运算常用的表达式:
yt − yt −1 = (α − 1) yt −1 + ε t
∆ y t = y t − y t −1
∆(∆yt ) =∆ yt =(yt − yt−1) −(yt−1 − yt−2)
2
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一阶差分方程的求解(反复迭代法):
如果 y0是给定的，则 y1 = α y0 + ε 1 y2 = α y1 + ε 2 = α (α y0 + ε 1 ) + ε 2 = α 2 y0 + αε 1 + ε 2 y3 = α y2 + ε 3 = α 3 y0 + α 2ε 1 + αε 2 + ε 3 yt = α yt −1 + ε t = α t y0 + α t −1ε 1 + α t − 2ε 2 + L + ε t = α t y0 + ∑ α i ε t − i
∂yt+ j ∂yt+ j ∂yt+ j ∂yt+ j j j−1 j−2 + + +L+ =α +α +α +L+α +1 ∂εt ∂εt+1 ∂εt+2 ∂εt+ j
累积脉冲响应函数用来衡量随机扰动 因素出现永久性变化后，即εt ,εt+1,L,εt+ j 都 变化一个单位，对 yt + j 造成的影响和冲击 情况。
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yt = −0.8 yt −1 + ε t
图2 - 2 （f ）
40 20 0 -20 -40 5 10 15 20 25 30
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yt = −1.2 yt −1 + ε t
2.2
动态乘数与脉冲响应函数
（1）动态乘数（dynamic multiplier） （2）脉冲响应函数（impulse response function, IRF）
再来考察其它可能的情况： 首先，如果 α = 1 ，如(c)，动态 乘数始终等于1，而不管时间跨度j如 ε 何变化。这样， 一个单位的变化将导 致序列 y t 永久性地变化一个单位。
其次，对于α > 1 的情况，(d)描绘了 对应例子的脉冲响应函数图，可以看出， 动态乘数随时间跨度j的增加呈现几何式上 升趋势。而当 α < −1时，动态乘数表现出 震荡式不断上升的变化。可见，在 α > 1 的条件下，对应的一阶差分方程为不稳定 系统。
(b)α = 0.8
10
15
20
1.2 0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8 0 5Biblioteka (c)α = 1.0
10
15
20
40 30 20 10 0 -10 0 5 10 15 20
(d)
α = 1.2
1.2 0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8 -1.2 0 5 10 15 20
(e)α =−0.8
从模型可知，如果 α < 1 条件满 足，在极限情况下，累积脉冲响应函 1 数就等于 。 1−α 无论是脉冲响应函数还是累积脉 冲响应函数，其根本特性都由一阶滞 后项系数 α 决定。
图2 - 3
0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8 0 5
(a)
α = 0.3
10
15
20
0.8 0.4 0.0 -0.4 -0.8 0 5
i =0 t −1
因此若给定初始值 y0， yt 就可以由 ε t的序列来表示。
6
如果y0没有给定，则 y0 = α y−1 + ε 0 = α (α y−2 + ε −1 ) + ε 0 = α y−2 + αε −1 + ε 0
2
⇒ y0 = α ⇒ yt = α
m +1
y− m −1 + ∑ α ε − j
40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 0 5 10 15 20
(f) α =−1.2
图2-3非常清晰地显示出，不同的 α 取值，对应的脉冲响应函数图表现非常 不同。归纳来说： 在 0<α <1 的情况下，如(a)和(b)情 形，体现在脉冲响应函数中的动态乘数 随时间跨度j的增加而呈现几何式递减并 最终趋近于0的趋势。
金融计量学
张成思
第二章
差分方程、 差分方程、滞后运算与 动态模型
2.1 2.2 2.3 2.4
一阶差分方程 动态乘数与脉冲响应函数 高阶差分方程 滞后算子与滞后运算法
2
2.1 一阶差分方程 差分方程的定义
(2.1) 一个差分方程 差分方程就是指将一个变量的 差分方程 当期值定义为它的前一期和一个当期 的随机扰动因素的函数。模型（2.1） 等式的右侧只有因变量的一次滞后期 出现，这样的差分方程称为一阶差分 方程。