下载文档原格式
BOX-JENKINS 预测法1 适用于平稳时序的三种基本模型（1）()AR p 模型（Auto regression Model ）——自回归模型p 阶自回归模型：式中，为时间序列第时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；，为时序的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；是随机误差项；，，，为待估的自回归参数。
（2）()MA q 模型（Moving Average Model ）——移动平均模型q 阶移动平均模型：式中，μ为时间序列的平均数，但当{}t y 序列在0上下变动时，显然μ=0，可删除此项；t e ，1t e -，2t e -，…，t q e -为模型在第t 期，第1t -期，…，第t q -期的误差；1θ，2θ，…，q θ为待估的移动平均参数。
（3）(,)ARMA p q 模型——自回归移动平均模型（Auto regression Moving Average Model ）模型的形式为：显然，(,)ARMA p q 模型为自回归模型和移动平均模型的混合模型。
当q =0,时，退化为纯自回归模型()AR p ；当p =0时，退化为移动平均模型()MA q 。
2 改进的ARMA 模型（1）(,,)ARIMA p d q 模型这里的d 是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳（具有一定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说d 的取值一般为0,1,2。
对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立ARMA 模型，只能对经过平稳化处理，而后对新的平稳时序建立(,)ARMA p q 模型。
这里的平文化处理可以是差分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。
（2）(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。
这里的D 即为进行季节差分的阶数；,P Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如时序为月度数据，则S =12，时序为季度数据，则S =4。
平稳AR模型知识点总结一、AR模型的定义AR模型是一种描述时间序列数据动态特征的模型，它假设当前时刻的观测值可以由之前时刻的观测值线性组合得到。
具体来说，平稳AR(p)模型可以表示为：\[X_t = c + \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + ... + \phi_p X_{t-p} + \varepsilon_t\]其中，\(X_t\)是当前时刻的观测值，\(c\)是常数项，\(\phi_1, \phi_2, ..., \phi_p\)是模型的参数，\(X_{t-1}, X_{t-2}, ..., X_{t-p}\)是之前时刻的观测值，\(\varepsilon_t\)是一个白噪声误差项。
这里的p代表了模型的阶数，即模型考虑了之前p个时刻的观测值。
二、平稳AR模型的特性平稳AR模型有一些重要的特性，对于理解和分析AR模型非常有帮助。
1. 平稳性：AR模型的平稳性是一个重要的性质，它要求模型的参数要满足一定的条件才能保证模型是平稳的。
平稳性是指时间序列数据的统计特性在不同时间段内是相似的，不随时间变化而发生明显的变化。
对于AR模型来说，要求其参数满足的条件是其特征根要在单位圆内，即\(|\phi_1| < 1, |\phi_2| < 1, ..., |\phi_p| < 1\)。
只有当这个条件满足时，AR 模型才具有平稳性，否则就会出现时间序列数据的不稳定性。
2. 自回归结构：AR模型的自回归结构是模型的核心特性，它描述了当前时刻的观测值与之前时刻的观测值之间的关系。
这种自回归的结构可以帮助我们理解时间序列数据的动态特性，进行预测和分析。
3. 白噪声残差：AR模型的误差项\(\varepsilon_t\)通常假设是服从均值为0、方差为\(\sigma^2\)的白噪声分布。
这意味着模型的残差是独立同分布的，没有自相关性和序列相关性，对于模型的有效性和预测性能至关重要。
常见时间序列算法模型
1. AR模型（自回归模型）：AR模型是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的观测值之间存在线性关系。
AR模型根据过去的一系列观测值来预测未来的观测值。
2. MA模型（滑动平均模型）：MA模型也是一种基本的时间序列模型，它假设当前时刻的观测值与过去时刻的误差项之间存在线性关系。
MA模型根据过去的一系列误差项来预测未来的观测值。
3. ARMA模型（自回归滑动平均模型）：ARMA模型结合了AR模型和MA模型的特点，它假设当前时刻的观测值既与过去时刻的观测值有关，又与过去时刻的误差项有关。
ARMA 模型根据过去的观测值和误差项来预测未来的观测值。
4. ARIMA模型（自回归积分滑动平均模型）：ARIMA模型是对ARMA模型的扩展，它引入了差分操作，用来对非平稳时间序列进行平稳化处理。
ARIMA模型根据差分后的时间序列的观测值和误差项来预测未来的观测值。
5. SARIMA模型（季节性自回归积分滑动平均模型）：SARIMA模型是对ARIMA模型的扩展，用于处理具有季节性的时间序列。
SARIMA模型基于季节性差分后的观测值和误差项来预测未来的观测值。
6. LSTM模型（长短期记忆网络）：LSTM模型是一种递归神经网络模型，它通过学习时间序列中的长期依赖关系来进行预测。
LSTM模型能够捕捉到时间序列中的复杂模式，适用于处理非线性和非稳定的时间序列。
以上是几种常见的时间序列算法模型，可以根据具体问题选择合适的模型进行建模和预测。
时间序列分析教程（四）AR与MA模型详细分析（公式推导慎入）时间序列分析中，AR模型（Autoregressive Model）和MA模型（Moving Average Model）是两种常用的模型类型。
本教程将详细介绍AR和MA模型的公式推导，让读者更好地理解其原理和应用。
首先，我们先来解释AR和MA模型的概念。
AR模型是一种基于时间序列过去的值来预测未来值的模型。
AR模型的基本思想是当前值与过去若干个时间点的值相关，即当前值是过去值的加权和。
AR模型的表示形式为AR(p)，其中p表示过去时间点的数量。
MA模型是一种基于时间序列过去的误差项来预测未来值的模型。
MA 模型的基本思想是当前值与过去若干个时间点的误差项相关，即当前值是过去误差的加权和。
MA模型的表示形式为MA(q)，其中q表示过去误差的数量。
下面我们将对AR和MA模型的公式进行推导。
一、AR模型的公式推导假设我们有一个时间序列{Y_t}，其中Y_t表示时间点t的值。
AR(p)模型的一般形式为：Y_t=c+ϕ₁Y_(t-1)+ϕ₂Y_(t-2)+...+ϕ_pY_(t-p)+ε_t其中c是常数项，ϕ₁、ϕ₂、..、ϕ_p是过去时间点的权重系数，ε_t 是一个白噪声误差项。
为了方便推导，我们将AR(p)模型简化为AR(1)模型，即只考虑过去一个时间点的值。
即：Y_t=c+ϕY_(t-1)+ε_t我们首先假设时间序列{Y_t}是平稳的，即均值和方差不随时间变化。
然后，我们将AR(1)模型代入Y_(t-1)的表达式中，得到：Y_t=c+ϕ(c+ϕY_(t-2)+ε_(t-1))+ε_t展开后整理得：Y_t=c(1+ϕ)+ϕ²Y_(t-2)+ϕε_(t-1)+ε_t再次代入Y_(t-2)的表达式中，得到：Y_t=c(1+ϕ+ϕ²)+ϕ³Y_(t-3)+ϕ²ε_(t-2)+ϕε_(t-1)+ε_t以此类推，我们可以得到AR(1)模型的一般表达式：Y_t=c(1+ϕ+ϕ²+...+ϕ^p-1)+ϕ^pY_(t-p)+ϕ^(p-1)ε_(t-p+1)+...+ϕ²ε_(t-2)+ϕε_(t-1)+ε_t其中，c(1+ϕ+ϕ²+...+ϕ^p-1)是常数项，ϕ^pY_(t-p)是过去p个时间点的加权和，ϕ^(p-1)ε_(t-p+1)、..、ϕ²ε_(t-2)、ϕε_(t-1)和ε_t是误差项。
