《弹性力学及有限单元法》学习指南

《弹性力学问题的有限单元法》弹性力学问题的有限单元法（FiniteElementMethod，简称FEM）是一种经典的多学科跨领域的计算方法，它用于估算连续体结构中非线性材料力学性能，如强度、刚度和破坏。

有限单元法已成为工程和材料科学中最重要的数值计算方法，可用于解决各种复杂多学科优化和设计问题。

有限单元法的基本思想是把复杂的连续体结构划分成许多小的、较容易处理的有限元素，而不是像一般的解析方法那样求取整体的解析解。

基于有限元素重要的性质，即小元素经过一系列的连接后就可以构成整个结构的模型，有限单元法的本质是数值分析，也就是根据模型的物理知识，选择有效的数值化方法，用数值计算的方法求解所要求的结果，从而使这些数值计算结果符合实际结构物理知识。

有限单元法是一种有效计算弹性力学问题的方法，它可以用来求解任意形状的结构问题，无论是有边界条件还是无边界条件，无论是线性或者非线性的形状变化，有限单元法都能够有效地应用。

其优势在于以节省计算时间和消耗的成本，在特殊的材料条件下，它可以比较快速地获得弹性力学问题的有效精确解。

其精度依赖于计算模型元素的类型、形状和几何尺寸等，因此通常需要调节元素的类型、形状和尺寸，以满足计算需要。

在计算机技术的发展下，有限单元法的计算能力越来越强大，可以对更多的复杂问题进行分析，可以更有效地解决工程设计中的实际问题。

由于计算机可以模拟各种变形和应力的变化，因此有限单元法可以为工程设计和材料研究提供更可靠的结果。

有限单元法在工程应用中的实际作用是显而易见的。

它不仅可以用来计算弹性结构中的材料力学特性，还可以分析复杂结构的动态响应。

此外，有限单元法还可以用来计算弹性结构中的表面张力、刚度，以及各种材料的裂缝扩展。

通过有限单元法的应用，可以获得有效的数值结果，从而提高设计效果和工程安全性。

因此，有限单元法对于材料科学和工程设计都具有重要价值，今后还将发挥更多的功能。

有限单元法是多学科跨学科的计算方法，它可以用来有效地分析复杂形状结构的力学特性，计算出精确的结果，从而提高工程设计的效果和安全性。

第一章1、弹性力学的任务是什么弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。

2、弹性力学的基本假设是什么？为什么要采用这些假设？(1) 假设物体是连续的——物体内部由连续介质组成，物体中没有空隙，因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的•可以用坐标的连续函数表示。

实际上，所有的物体均由分子构成，但分子的大小及分子间的距离与物体的尺寸相比是很微小的，故可以不考虑物体内的分个构造。

根据这个假设所得的结果与实验结果是符合的。

(2) 假设物体是匀质的和各向同性的一一物体内部各点与各方向上的介质相同，因此，物体各部分的物理性质是相同的。

这样，物体的弹性常数(弹性模量、泊松比)不随位置坐标和方向而变化。

钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。

木材不是各向同性的。

(3) 假设物体是完全弹性的一一物体在外加因家(裁荷、温度变化等)的作用下发生变形，在外加固素去除后，物体完全恢复其原来形状而没有任何剩余变形。

同时还假定材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。

(4) 假设物体的变形是很小的——在载荷或温度变化等的作用下，物体变形而产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。

在研究物体受力后的平衡状态时，可以不考虑物体尺寸的改变。

在研究物体的应变时，可以赂去应变的乘积，因此，在微小形变的情况下弹性理论中的微分方程将是线性的。

(5) 假设物体内无初应力一一认为物体是处于自然状态，即在载荷或温度变化等作用之前，物体内部没合应力。

也就是说，出弹性理论所求得的应力仅仅是由于载荷或温度变化等所产生的。

物体中初应力的性质及数值与物体形成的历史有关。

若物体中有韧应力存在，则由弹性理论所求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。

上面基本假设中•假设(4)是属于几何假设，其他假设是属于物理假设。

弹性力学基础及有限单元法教学设计1. 弹性力学基础概述弹性力学是一门研究物体在外力作用下发生形变后能回复原态的力学学科。

弹性力学的应用非常广泛，如土木工程、机械制造等领域都需要用到弹性力学的知识。

因此，在工程学科中，弹性力学是非常重要的一门基础课程。

在弹性力学的学习中，通常需要掌握以下内容：1.杆件的轴向变形2.杆件的弯曲变形3.圆柱体的轴向和圆周向变形4.球体和球壳的变形5.三维问题中的弹性力学问题2. 有限单元法有限单元法是一种利用数值计算方法求解弹性力学问题的技术。

它将问题分割成小网格或单元，并在每个单元中近似求解问题。

最终通过组合各个单元的结果求解整个问题。

有限单元法的基本工作流程如下：1.将问题进行数学建模，确定数学方程2.将问题分割成小网格或单元3.在每个单元中建立数学模型，并进行近似求解4.组合各个单元的结果，求解整个问题有限单元法的优点在于可以处理复杂的三维问题，并且精度较高。

但是，它需要计算大量的数据，并且对计算机性能的要求较高。

3. 弹性力学基础及有限单元法教学设计在弹性力学基础课程中，应该注重理论基础的学习和数值计算方法的训练。

具体来说，建议如下：1.弹性力学基础部分1.分阶段学习杆件、圆柱体、球体等类型的问题，将问题分解并分阶段学习2.加强与实际工程应用的联系，突出应用场景和实际问题3.强化理论知识，做好基本概念和运算符号的记忆和应用2.有限单元法部分1.鼓励学生掌握相关计算软件的使用，如Ansys、ABAQUS等2.分阶段学习单元网格的建立和求解方法3.强化建模和近似求解的能力，提高方法的精度和实用性结合弹性力学基础和有限单元法，可以设计出更加全面、深入的教学方案。

建议使用案例讲解和实验实践等手段来加强学生的理解和应用能力，提高教学效果。

4. 总结弹性力学是机械、土木等学科中的基础课程之一，其理论和实践应用非常广泛。

有限单元法是一种求解弹性力学问题的数值计算方法，其在复杂三维问题的求解中有很大的作用。

第一章绪 论学习指导在学习本章时，要求学生理解和掌握下面的主要内容：1、弹性力学的研究内容，及其研究对象和研究方法，认清他们与材料力学的区别；2、弹性力学的几个主要物理量的定义、量纲、正负方向及符号规定等，及其与材料力学相比的不同之处；3、弹性力学的几个基本假定，及其在建立弹性力学基本方程时的应用。

§1－1弹性力学的内容弹性体力学，简称弹性力学，弹性理论（Theory of Elasticity或Elasticity），研究弹性体由于受外力、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。

这里指出了弹性力学的研究对象是弹性体；研究的目标是变形等效应，即应力、形变和位移；而引起变形等效应的原因主要是外力作用，边界约束作用（固定约束，弹性约束，边界上的强迫位移等）以及弹性体内温度改变的作用。

首先，我们来比较几门力学的研究对象。

理论力学一般不考虑物体内部的形变，把物体当成刚性体来分析其静止或运动状态。

材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。

结构力学研究杆系结构，如桁架、刚架或两者混合的构架等。

而弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。

因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。

其次，从研究方法来看，弹性力学和材料力学既有相似之外，又有一定区别。

弹性力学研究问题，在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件或约束条件，由此建立微分方程和边界条件进行求解，得出较精确的解答。

而材料力学虽然也考虑这几方面的条件，但不是十分严格的。

例如，材料力学常引用近似的计算假设（如平面截面假设）来简化问题，使问题的求解大为简化；並在许多方面进行了近似的处理，如在梁中忽略了бy的作用，且平衡条件和边界条件也不是严格地滿足的。

一般地说，由于材料力学建立的是近似理论，因此得出的是近似的解答。

但是，对于细长的杆件结构而言，材料力学解答的精度是足够的，附合工程上的要求（例如误差在5%以下）。

•剪应力
图1
2013-7-21
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Institute of Mechanical Engineering and Automation
[ 应力的概念 ]
•正应力 为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个 角码，例如，正应力σx是作用在垂直于x轴的面上同时也 沿着x轴方向作用的。 •剪应力 加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐 标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如， 剪应力τxy是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴方向作用的。
[ 几何方程、刚体位移 ]
•求剪应变 xy ，也就是线素AB与AD之间的直角的改变 •x向线素AB的转角 a y向线素AD的转角 b
y
u u dy y
C'
v
v dy y
D" b D '
D C
•A点在y方向的位移分量 为v； •B点在y方向的位移分量：
v
u
A
A'
a
dy
B'
v v dx x
连续性假设

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完全弹性假设 均匀性和各向同性假设 小变形、小转动假设 自然状态假设（无初始应力）
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基本定律
牛顿定律
动量平衡原理
⇨ 平衡(运动)微分方程
⇨ 应力张量的对称性
u dx x
u
A'
a
A dx 0
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B
u u dx x
B"
x
图2

（1.7）
z
A
o
y
x
zy
zx
x
yx xz xy
yz x P
xy
xz zx
yz
y yx
B
zy z
zx zy z
图1-2 微小正方体元素的应力状态
其中，σ为正应力，下标表示作用面和作用方向；τ是剪应力，第
一下标表示截面外法线方向，第二下标表示剪应力的方向。
14
1.1.3 应力
应力分量的符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标轴 的正方向一致，则该面上的应力分量就以沿坐标轴的正方向为正 ，沿坐标轴的负方向为负。相反，如果应力作用面的外法线是指 向坐标轴的负方向，那么该面上的应力分量就以沿坐标轴的负方 向为正，沿坐标轴的正方向为负。
4
1.1.1 弹性力学及其基本假设
弹性力学与材料力学的区别
弹性力学与材料力学(Strengths of Materials)在研究对象、研究 内容和基本任务方面有许多是相同的，但是二者的研究方法有较大 差别。
研究对象几何形状
描述方程 求解难易程度
适用范围
材料力学
杆状构件
常微分方程 容易 窄
弹性力学
8
1.1.2 外力与内力
（1）外力
作用于物体的外力通常可分为两类： 面力(Surface Force) 体力(Body Force)
9
1.1.2 外力与内力
面力是指分布在物体表面上的外力，包括分布力(Distributed Force)和集中力(Concentrated Force)，如压力容器所受到的内压、 水坝所受的静水压力、物体和物体之间的接触压力等等。通常情 况下，面力是物体表面各点的位置坐标的函数。

热传导案例
总结词
热传导是有限元分析中用于模拟物体内部热量传递规律的应用之一。
详细描述
在电子、机械、化工和材料等领域，热传导分析用于研究材料的热性能、热应力和热变形等。通过有 限元方法，可以模拟物体内部的热量传递过程，预测温度分布和热应力分布，优化材料和系统的热设 计。
06
结论展望
结论
01
02
有限元分析
有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的物体或系统离散 化为有限个小的单元（或称为元素），并分析这些单元的应力、 应变和位移，从而对整个物体或系统的行为进行预测和分析。
主题的重要性
工程应用
弹性力学和有限元分析在工程领域中具有广泛的应用，如结 构分析、机械设计、航空航天、土木工程等。通过这些方法 ，工程师可以更准确地预测和分析结构的性能，优化设计， 提高安全性。
03
04
研究意义
弹性力学及有限元分析在工程 领域具有广泛应用，为复杂结 构的分析提供了有效方法。
主要成果
本文系统地介绍了弹性力学的 基本原理和有限元分析的方法 ，并通过实例验证了其有效性 。
研究限制
由于时间和资源的限制，本研 究未能涵盖所有相关领域，未 来研究可进一步拓展。
对实践的指导意义
本文为实际工程中的结构分析 提供了理论依据和实践指导， 有助于提高结构的安全性和稳 定性。
优势
有限元方法具有广泛的适用性，可以用于求解各种复杂的物理问题；能够处理 复杂的几何形状和边界条件；可以通过增加单元数目来提高解的精度；可以方 便地处理非线性问题和材料非均质性问题等。
局限性
有限元方法需要较大的计算资源和时间，尤其对于大规模问题；对于某些特殊 问题（如高速冲击、爆炸等），需要采用特殊处理方法；对于多物理场耦合问 题，需要采用多场耦合有限元方法等。

2、内力与应力
第 1.内力？2.应力矢量？3.应力矢量的特点？ 二 章 符号规定： 弹 正面：单元体面的外法线与坐标轴 性 力 同向 学 基 负面：单元体面的外法线与坐标轴 础 z 反向 知 识 o
x
y
τyz
在正面上，应力分量与坐标轴同向为 正，反向为负。在负面上相反。 应力符号第一下标表示所在的平面， 第二下标表示沿坐标轴的方向。
x a 2
b
fx p fx p
a o
y
xa 2
x
y b 2 y b 2
fy p fy p
22
2、内力与应力
力的概念－举例 第 二 章 例3 已知单元体各面上的应力分量，试在单元上标出方向与数值。 弹 性 5 10 13 力 x yx zx 100 40 80 5 学 40 50 60 20 8 y zy xy 基 yz z 60 120 xz 80 10 8 50 础 知 o 识 50 x

是宏观假设，微观上这个假设不可能成立。
固体材料都是由微粒组成
工程材料内部的缺陷
4
2.1 弹性力学基本假设
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
2. 均匀性假设

——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此， 物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化 而改变。 —— 物体的弹性性质处处都是相同的。
x y z xy yz zx
T
点的应变状态也是坐标的单值连续函数
25
5.主应力与主平面
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
1）任意斜截面上的应力

弹性力学基础及有限单元法课程设计一、课程简介弹性力学是现代工程实践中的重要基础学科之一，它主要探讨了结构物在受力和变形时的力学行为及其相互关系，为工程实践提供了强有力的理论支持。

本课程通过系统学习弹性力学基础，深入探讨了有限单元法在工程实践中的应用及其实现原理，通过理论与实践相结合的方式，为学生提供一种新的工程实践思路和手段。

二、课程目标本课程旨在让学生：1.全面了解弹性力学的基本理论，掌握相关的数学工具和方法；2.熟悉有限单元法的基本原理和实现方法，能够使用有限单元软件进行结构分析；3.能够应用所学知识解决实际工程问题，提高解决实际问题的能力；4.培养独立思考和创新能力，为未来的科研工作奠定基础。

三、教学内容及进度安排1. 弹性力学基础•弹性力学基本概念•弹性力学的数学基础•弹性力学的基本假设•杆件、梁和板的理论分析•圆形和矩形截面的弯曲问题•薄壁容器的理论分析2. 有限单元法•有限单元法的基本原理及基础实现•二维弹性力学有限单元法•三维弹性力学有限单元法•常见有限单元软件的使用实例•结构物静力分析、动力分析和稳定性分析3. 课程实践•基于有限单元软件进行结构分析•分析设计简单的结构物•编写简单的有限单元程序•进行小规模理论计算和实验4. 课程考核•课堂出勤（10%）•课堂测验（20%）•实验报告（30%）•课程设计（40%）四、教学方法本课程采用翻转课堂教学模式。

在授课前，学生需要预习授课的内容，并在课堂上进行互动讨论和思路交流。

课堂后，学生需要完成实验、练习和课程设计，并提交相应的报告。

同时，教师也会及时地进行评估和指导。

五、参考资料1.《弹性力学基础》（谢庆春著）2.《有限元方法》（赵建华著）3.《ANSYS Workbench有限元分析基础》（张建军著）4.《薄壳结构有限元分析》（金涛著）六、结语弹性力学基础及有限单元法课程设计旨在为学生提供一种新的工程实践思路和手段，让学生通过理论与实践相结合的方式，掌握弹性力学基础理论和有限单元法的实现方法，从而开拓研究视野、培养独立思考和创新能力，并为未来的科研工作奠定基础。

弹性力学与有限元Elasticity and finite element method课程代码：24410084学分：1.5学时：24 （其中：课堂教学学时：24 实验学时：0 上机学时：0 课程实践学时: 0 ）先修课程：《高等数学A(Ⅰ)》，《高等数学A(Ⅱ)》，《理论力学》，《材料力学》适用专业：土木工程教材：《弹性力学及有限单元法》，王润富，陈国荣。

高等教育出版社，2016年，第二版。

一、课程性质与课程目标（一）课程性质本课程是土木工程专业的一门重要的专业基础课，是理论性和实用性皆很强的一门课程，是后续学习土木工程相关课程和开展土木工程相关科研的基础。

本课程将培养学生对力学问题的数学建模能力，培养学生的抽象思维和逻辑思维能力，因此，其对创新性人才的培养有重要作用。

（二）课程目标课程目标1：使学生在理论力学和材料力学等课程的基础上，进一步系统地学习关于变形体力学的基本概念，基本方程和基本解法，进一步加强学生的力学基础。

课程目标2：使学生了解在一般弹性介质(非杆件结构)分析中常用的理论方法，计算方法，为以后学习相关的专业课打下良好的理论基础。

课程目标3：使学生掌握有限元法的基本理论和原理，为今后应用有限元方法求解工程实际中的力学问题打下重要的基础。

注：工程类专业通识课程的课程目标应覆盖相应的工程教育认证毕业要求通用标准；二、课程内容与教学要求第一章绪论（一）课程内容（1）弹性力学的内容；（2）弹性力学中的基本假设：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形假设；（3）弹性力学中的几个基本物理量：体力、面力、应力、形变和位移。

（二）教学要求掌握弹性力学研究的对象及任务，理解本课程与其它相关课程的关系，理解体力、面力、应力、应变和位移的基本概念，掌握弹性力学的符号规定和弹性力学的基本假定。

（三）重点与难点1. 重点弹性力学的基本假设，弹性力学的基本物理量的定义。

2. 难点弹性力学的连续性假设，弹性力学的符号规定和材料力学的区别。

弹性力学课程学习指南第一章绪论弹性力学是研究载荷作用下弹性体中内力状态与变形规律的一门科学，弹性体是指在卸载后能完全恢复其初始形状和尺寸的物体。

事实上，各门力学之间有着深刻的联系，正确认识它们之间的相同与不同之处，这样在学习弹性力学的过程中便能达到事半功倍的效果。

各个学科的研究对象与适用范围如下表所示：力学学科研究对象适用范围理论力学刚体非变形体材料力学弹性杆件线弹性、小变形等弹性力学弹性体线弹性、小变形等结构力学弹性杆件系统小变形等流体力学流体………………理论力学：理论力学和材料力学是我们学习弹性力学的基础。

平衡方程和应力边界条件这些基本控制方程的简单性体现在理论力学，而它们的丰富内涵则体现在弹性力学。

而动力学部分，弹性力学的运动微分方程根理论力学的达朗贝尔原理有着相通之处。

弹性力学以弹性体应力和变形作为研究对象，对理论力学来说是一个非常大的跨越；而工程中结构的破坏大多是由于内部的应力或应变超过了所能承受的限度，弹性力学更能指导工程建设。

材料力学：材料力学从简单的拉压变形开始一直到复杂的组合变形，为我们建立了应力和应变、应力状态和应变状态的概念，这些也是我们学习弹性力学的基础。

材料力学主要研究杆状结构在拉、压、剪切、弯、扭作用下力学分析；而弹性力学所研究的问题则非常广泛，包括杆系、板壳、实体等结构的力学分析，能解决非常复杂的工程实际问题。

材料力学中最重要的平截面假定是非常强的，而弹性力学中摒弃这一假定，其基本假定为：连续性假定（即连续介质）、均匀性假定（即认为物体由同一类型材料均匀组成）、各向同性假定（采用各向同性的本构关系）、线弹性假定（外力与变形线性变化）、小变形假定、无初应力假定。

弹性力学解要更准确，但同时求解也更加复杂。

例如，以均布压力作用下梁的弯曲问题为例，材料力学给出的梁的弯曲应力为,0x y M y Iσσ= = 其中M 为弯矩，I 为截面惯性矩；而弹性力学的解答为 ,2224321152x y M y y q y y y q I h h h h σσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ =-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中q 为均布力大小，h 为截面高度；可见弹力的解能满足应力边界条件，是精确的解，而材力给出的为近似解。

σρ =
A
q
o r
+ B(1+ 2ln ρ) + 2C, ρ2 A σϕ = − 2 + B(3+ 2ln ρ) + 2C, ρ τρϕ = 0.
(d)
四、课程考核
开卷考试
做法之一：全开卷考试，可带教材、笔记本和作业本。 做法之一：全开卷考试，可带教材、笔记本和作业本。既考 核学生对弹性力学基本概念、 核学生对弹性力学基本概念、基本方程和基本解法的总结和 理解，又考核了学生利用弹性力学方法解题的能力， 理解，又考核了学生利用弹性力学方法解题的能力，还可根 据学生的特长，鼓励个性化发展，培养创新能力。 据学生的特长，鼓励个性化发展，培养创新能力。 做法之二：半开卷考试，仅带教材。 做法之二：半开卷考试，仅带教材。这种考试方式可减轻学 生在考前对弹性力学公式的死记硬背， 生在考前对弹性力学公式的死记硬背，学会灵活运用弹性力 学的解题思路和方法，有利于学生自主学习。 学的解题思路和方法，有利于学生自主学习。
三、课程教学
若干知识点教学
1.基本概念 1.基本概念 讲清物理量的定义、表示、量纲、符号规定。 讲清物理量的定义、表示、量纲、符号规定。 定义 规定 2.基本假定 2.基本假定 讲清为什么在弹性力学中要提出一些基本假定以及基本假定在建立弹 讲清为什么在弹性力学中要提出一些基本定以及基本假定在建立弹 性力学基本方程中作用，培养学生建立力学计算模型的能力。 性力学基本方程中作用，培养学生建立力学计算模型的能力。
二、课程建设
立体化教材建设
1. 2. 3. 4. 主教材 辅助教材 加深或参考教材 网络教学环境
二、课程建设
立体化教材建设
主教材
《弹性力学简明教程》（第三版），为”十五” 弹性力学简明教程》 第三版），为 十五” ）， 国家级规划教材，高等教育出版社，2002.8； 国家级规划教材，高等教育出版社，2002.8；并 被评为2005年度的江苏省高校精品教材。 2005年度的江苏省高校精品教材 被评为2005年度的江苏省高校精品教材。第三版 2002-2006年度已发行12.3万余册 年度已发行12.3万余册； 在2002-2006年度已发行12.3万余册；一、二、 三版(1979,1983,2002)的累计印数为50万余册。 (1979,1983,2002)的累计印数为50万余册 三版(1979,1983,2002)的累计印数为50万余册。

平面应力问题 • ①几何特征
– 薄壁厚度为h远小于结构另外两个方向的尺寸 – 等厚度 – 中心层平直
• ②受力特征
– 外力平行于中心层 – 外力沿厚度不变化
2、 平面应力问题的应力
根据薄板的表面面力边界条件，即表面不受外力作用，则
由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，因此应力分量也
沿厚度均匀分布，应力分量不随z改变。
应力分量——3个 x、 y、 xy
应变分量——3个
x、 y z、 xy
位移分量——2个
u、v
合计 8
第三章 弹性力学问题求解方法简述
弹性力学各个量之间的关系
平衡方程
外力
物理方程
几何方程
应力
应变
位移
3.1 概述
根据几何方程和本构方程可见：
位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。
• 假如已知位移分量，通过几何方程可以得到应变 分量，然后通过物理方程可以得到应力分量。
的单值连续函数
u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z） v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z） w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）
u
f
v
w
形变和位移之间的关系：
• 位移确定 → 形变完全确定：
从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变 确定 。
从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定 。
• 弹性：假定“完全弹性”关系，是抽象出
来的理想模型。
• 完全弹性是指在一定温度条件下，材料的 应力和应变之间具有一一对应的关系。
• 应力—应变关系称为本构关系。
• 材料模型包括：
–线性弹性体 –非线性弹性体

第七章 有限单元法入门
河海大学 机电工程学院 力学教研室
第六章空间问题的基本理论和解答
§7-1 引言
实际工程问题，我们一般得不到它们的精确解，这主要是因为 微分方程组的复杂性，以及难以确定的边界条件和初值条件；
有限元FEM(Finite Element Method),FEA(Finite Element Analysis) 是一种用于求解各类工程问题的数值计算方法。
0
k1
0
0
0
k1 k1 k2 k2
k2 k2 k3
k3
k3 k3 k4
k4
u1 0
u2
0
k4
uu43
0 0
k4 u5 P
R Ku F
[反作用力矩阵]=[刚度矩阵][位移矩阵]－[荷载矩阵]
第七章 有限单元法入门
§7-2 有限单元法的‘Hello, World’
K
1
k1 k1
k1
k1
第七章 有限单元法入门
§7-2 有限单元法的‘Hello, World’
单元刚度矩阵在总体刚度矩阵中的位置
K
1
k1 k1
k1
k1
K
2
k2 k2
k2
k2
K
3
k3 k3
k3
k3
K
4
k4 k4
k4
第七章 有限单元法入门
§7-1 引言
有限单元法分析的基本过程
•建立求解域，离散化成单元(Element)和节点(Node) •假定描述单元属性的形函数(Shape Function)，即用一个近似的连续 函数描述每个单元的解 •建立单元刚度矩阵 •组装单元，构造总体刚度矩阵 •应用边界条件和初值条件，并施加荷载

《弹性力学及有限元》教学大纲大纲说明课程代码：5125004总学时：40学时（讲课32学时，上机8学时）总学分：2.5学分课程类别：必修适用专业：土木工程专业（本科）预修要求：高等数学、理论力学、材料力学课程的性质、目的、任务：本课程是土木工程专业限选修的一门专业基础课。

本课程的教学目的，是使学生在理论力学和材料力学等课程的基础上进一步掌握弹性力学的基本概念、原理和方法，了解弹性力学问题的求解思路、方法和解答，为学习相关专业课程打下初步的弹性力学基础。

在此基础上，使学生掌握有限单元法的基本概念、理论、方法，了解和应用ANSYS大型结构分析程序求解简单的弹性力学问题。

课程教学的基本要求：本课程教学环节主要包括：课堂讲授、习题课、作业、答疑、上机计算、考试。

采用课堂授课方式，重点章节安排习题课。

课后布置一定量的习题，以便掌握弹性力学与有限单元法的基本概念、原理和方法，用弹性力学的求解方法及大型结构分析有限单元程序求解简单的弹性力学问题。

考试采用开卷方式。

大纲的使用说明：本大纲适用于土木工程本科专业40课时的《弹性力学及有限元》课程.大纲正文第一章绪论学时：6学时（讲课6学时）本章讲授要点：了解弹性力学的研究内容，理解体力、面力、应力、应变和位移等基本概念，熟悉体力、面力、应力、应变、位移等力学量的记号和符号的有关规定，理解弹性力学的基本假定；了解有限单元法的发展，掌握泛函、变分和泛函极值等基本概念；了解加权残值、里兹与伽辽金等方法。

重点：弹性力学中的应力、应变和位移等基本概念；泛函、变分、驻值等基本概念；加权残值、里兹与伽辽金等方法。

难点：应力、应变；泛函、变分、驻值；加权残值法、里兹法与伽辽金法。

第一节弹性力学的内容第二节弹性力学中的几个基本概念第三节弹性力学中的基本假定第四节有限单元法的发展简介第五节变分原理.泛函.变分.驻值第六节加权残值法、里兹法与伽辽金法第二章弹性力学的基本理论学时：12学时（讲课12学时）本章讲授要点：掌握平面应力、平面应变与平面轴对称问题的特点及其它们的基本方程，了解按位移或者应力求解平面应力、平面应变与平面轴对称问题的求解思路，了解以多项式解法求解平面问题的基本思路与方法，了解以应力函数求解简支梁受均布荷载弯曲问题的思路和方法。

弹性力学-学习指南弹性力学-学习指南一、单选题：（每题2分，共40分）1. 下列对象不属于弹性力学研究对象的是（）A 杆件B 板壳C 块体D 质点 2. 所谓“完全弹性体”是指（）。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律 B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关 C. 物理关系为非线性弹性关系D. 应力应变关系满足线性弹性关系 3. 下列哪种材料可视为各向同性材料（）A 木材B 竹材C 混凝土D 夹层板 4. 按弹性力学规定，图示单元体上的剪应力（）A 均为正B τ1、τ4为正，τ2、τ3为负C 均为负D τ1、τ3为正，τ2、τ4为负5．在平面应变问题中，z σ如何计算？（）A 0=z σ不需要计算B 由()()Ey x z z/εεμεσ+-=直接求C 由)(y x zσσμσ+=求D Z z =σ6．在平面应变问题中（取纵向作z 轴）A 0,0,0===z z w εσ B 0,0,0≠≠≠z z w εσC0,0,0=≠=εσw z D 0,0,0==≠z z w εσ7．图示结构腹板和翼缘厚度远远小于截面的高度和宽度，产生的效应具有局部性的力和力矩是（P2=M/h ）（）A P1一对力B P2一对力C P3一对力D P4一对力构成的力系和P2一对力与M 组成的力系8.在常体力情况下，用应力函数表示的相容方程等价于（） A 平衡微分方程 B 几何方程C 物理关系D 平衡微分方程、几何方程和物理关系9．对图示两种截面相同的拉杆，应力分布有差别的部分是（）A Ⅰ B Ⅱ C Ⅲ D Ⅰ和Ⅲ10. 图示承受均布荷载作用的简支梁，材料力学解答: （）()---==--=22334)2(3,0,6y h h x l q y x l h qx xy y x τσσA 满足平衡微分方程B 满足应力边界条件C 满足相容方程D 不是弹性力学精确解11．平面应力问题的外力特征是（）A 只作用在板边且平行于板中面B 垂直作用在板面C 平行中面作用在板边和板面上D 作用在板面且平行于板中面12．设有平面应力状态,,dy cx by ax y x +=+=σσx ay dx xy γτ---=，其中a ，b ，c ，d 均为常数，γ为容重。

《弹性力学及有限元》函授自学周历课程名称：弹性力学及有限元年级专业： 08级水工函授站要求：1、测验卷做好后务必于集中上课的第一天直接交给函授站,由函授站统一集中寄给河海大学老师批改、评分。

测验不交或迟交者无平时成绩，考试无效！2、各位函授生要克服一切困难，排除各种干扰，自我约束，按照各门课程教学周历的要求，抓紧平时自学。

大学的关键就是自学，以平时自学为主，仅仅靠集中上课的学习是完不成学业的。

《弹性力学及有限元》测验作业站名：安徽水院站 专业：08级水工 姓名 学号 成绩（告示：请各位同学一定要把姓名、学号和专业写清楚、写对，出现错误者作零分处理，特此告示） 一、简答题（29分）1）、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程（平衡方程、几何方程、物理方程）哪些相同，哪些不同？（5分）2）、平面应力问题的等厚度薄板，以中面为xy 面，垂直中面的任一直线为z 轴，试简述z 面上的应力情况及原因。

（5分）3）、平面应变问题的无限长柱形体，以任一横截面为xy 面，任一纵向为z 轴，试简述z 面上的应力情况及原因。

（6分）4）、在建立弹性力学平衡微分方程、几何方程、物理方程时分别应用了哪些基本假定？（8分）5) 下列位移函数 23210x a y a x a a u +++= ，23210y b y b x b b v +++=能否作为三结点三角形单元的位移模式? 简要说明理由。

（5分）二、计算题 (71分 )1、体力为零的单连体平面应力边界问题，设下列应力分量已满足边界条件，试考察它们是否为正确解答，并说明理由（10分）。

xy y x qx qy τ=σ=σ33=02、试问xy b a bx ay xy y x )(,,22+===γεε是否可能成为弹性力学问题中的应变分量？说明原因。

（7分）3、 试考察φ=Ay 2(a 2-x 2)+Bxy+C(x 2+y 2)能否作为应力函数（B 、C 均大于零），如果可以，试求应力分量，并在图1所示矩形薄板边界上画出面力分量。