2019江苏高考数学小题强化训练50练(提升版)(含详细解答)

参考公式: 2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学I_ 1 n x x i . n i 12 1 n 样本数据x 1, x 2, ^ ,x n 的方差s n i 1 柱体的体积V Sh ,其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 1 锥体的体积V - Sh ,其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.3 本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上A { 1,0,1,6},B 、填空题:已知集合已知复数 (a 2i)(1 i)的实部为 F 图是一个算法流程图，则输出的 X i 2 x ，其中 {x|x 0,x R}，则 AI B 0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲S 的值是 ▲ 函数y 7 6x x 2的定义域是 ▲ 已知一组数据6，7，8，8，9，10,则该组数据的方差是 _▲ 从3名男同学和2名女同学中任选 2名同学参加志愿者服务，则选出的 学中至少有1名女同学的概率是 ▲. 开始2名同 Y输出S7 .在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2 2 占 1（b 0）经过点（3, 4）,贝y 该双 b 曲线的渐近线方程是结束8.已知数列{a n }（n N ）是等差数列，S n 是其前n 项和若a ?a 5 a * 0, S 9 27 , 则S 8的值是 ▲ 9 .如图，长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的体积是 E-BCD 的体积是 ▲ . 120, E 为CC i 的中点，则三棱锥 10.在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线yx 4（x 0）上的一个动点，则点 X P 到直线x+y=0的距离的最小值是^ 11.在平面直角坐标系 xOy 中，点A 在曲线 对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e , -1）（e 为自然 12.如图，在 △ ABC 中，D 是BC 的中点，一—uuu uuu ABCE 交于点0 •若AB AC 6 AO EC ，贝U 的值是厶 ACE 在边 AB 上, BE=2EA , AD 与uuu UULT14.设f(x),g(x)是定义在R 上的两个周期函数, f(x)的周期为4, g(x)的周期为2，且f (x)是奇函数•k(x 2),0 x 11 ，其中k>0.若在区间(0，9］上，关于x 的,1x2 2方程f(x) g(x)有8个不同的实数根，则 k 的取值范围是▲二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为 a , b , c .2(1 )若 a=3c , b= 2 , cosB=，求 c 的值；3si nA cosB(2)右，求sin( B -)的值.a 2b 216. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，D , E 分别为BC , AC 的中点，AB=BC . 求证：(1) A 1B 1 // 平面 DEC 1；(2) BE 丄 C 1E .13.已知 ta n tan2，则 sin 237t的值是 ▲当 x (0,2］时，f (x)1 (x 1)2，g(x)17. (本小题满分14分)2 2x y如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：p 每1(a b 0)的焦点为F i (-、0), F2 (1, 0).过a b2 2 2F2作x轴的垂线I，在x轴的上方，I与圆F2：(X 1) y 4a交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.& 5已知DF1=.2(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.18. (本小题满分16分)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路I，湖上有桥AB(AB是圆0的直径).规划在公路I上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路PB、QA.规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O 的距离均不小于.圆.O 的半径.已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD (C、D为垂足)，测得AB=10,AC =6, BD=12 (单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d (单位：百米)•求当d最小时，P、Q两点间的距离.打<r 1~r~1Lr)19. (本小题满分16分)设函数 f(x) (x a)(x b)(x c),a,b,c R 、f'(x)为 f (x )的导函数. (1 )若 a=b=c , f (4) =8，求 a 的值；(2) 若a 电b=c ,且f (x )和f' (x)的零点均在集合｛3,1,3｝中，求f (x )的极小值;4(3) 若a 0,0 b, 1,c 1，且f ( x )的极大值为 M ，求证：M <2720. (本小满分 16分) 定义首项为1且公比为正数的等比数列为 “M -数列”.(1)已知等比数列｛a n ｝(n N *)满足：a 2a 4 a 5,a 3 4a 2 4a 1 0 ,求证 澈列｛a n ｝为“M—数列”;① 求数列｛b n ｝的通项公式；② 设m 为正整数，若存在 “M—数列” c n ｝ (n N *)，对任意正整数k ,当k 奇时，都有C k 剟b k C k 1成 立，求m 的最大值.(2)已知数列｛b n ｝满足：d诗bS n bn—，其中 bn 1S n 为数列｛b n ｝的前n 项和.•若多做，则按数学I附加题)21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答作答的前两小题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. ［选修4-2 :矩阵与变换］(本小题满分10分)已知矩阵A(1 )求A2;(2)求矩阵A的特征值.B. ［选修4-4 :坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中，已知两点A3,— ,B J,—，直线I的方程为sin - 3.4 2 4(1 )求A, B两点间的距离；(2)求点B到直线I的距离.C. ［选修4-5:不等式选讲］(本小题满分10分) 设x R，解不等式|x|+|2x 1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)设(1 x)n a0a1x a2x2L a n x n,n—4, n N*.已知a；2a2a4.(1 )求n的值；(2)设(1 ,3)n a b；3，其中a,b N*，求a2 3b2的值.23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，设点集A n {(0,0),(1,0),(2,0), ,( n,0)}B n (0,1),( n,1)},C n {(0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2)}, n N .令M n A n UB n UC..从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.(1 )当n=1时，求X的概率分布；(2)对给定的正整数n(n 3)，求概率P(x n)(用n表示)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：(1)因为D , E 分别为BC , AC 的中点， 所以 ED //AB.在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，AB//A 1B 1, 所以 A 1B 1 //ED.又因为 ED //平面DEC 1, A 1B 1 平面DEC 1, 所以A 1B 1 //平面DEC 1.(2)因为AB=BC , E 为AC 的中点，所以 BE //AC.因为三棱柱 ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以 CC 1 /平面ABC. 又因为BE //平面ABC ，所以、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法5.532.23.54.[ 1,7] 8.16 9.10 10.4ii.(e, 1)数学I 参考答案.每小题5分, 6.上1013辽10共计70分. 7. y12. .314.3二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、分14分.余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力•满解：(1)因为a3c,b ,2,COS B由余弦定理COS Ba 2c 2b 22ac232 ，得3 初 c2("，即 c 2 12 3c c3所以c3 . ―si nA(2)因为 一 a由正弦定理-^―sin AcosB 2b ，旦，得sin BCOS B2b，所以 cosB 2sin B . b2从而cos B(2sin B)2，即 2 ocos B因为sinB0，所以COS B2sinB 2244 1 cos B ，故 cos B - 52苗因此sin BncosB □25fitCC1//BE.因为C1C// 平面A1ACC1, AC //平面A1ACC1, C1C A AC=C, 所以BE //平面A1ACC1. 因为C1E//平面A1ACC1，所以BE//C1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础 知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力解：（1）设椭圆C 的焦距为2C . 因为 F 1（ - 1, 0）, F 2（1, 0）,所以 又因为DF1= 5 , AF2//X 轴，所以2因此 2a=DF 1 + DF 2=4，从而由 b 2=a 2-c 2，得 b 2=3. F IF 2=2， c=1. DF 2= DF2 2 1 F 1F 2a=2. .满分14分.5 2(2)22 因此，椭圆C 的标准方程为 2 y- 1. 3 （2 ）解法一: 2 y 3 因为AF 2 /x 轴，所以点A 的横坐标为 将x=1代入圆F 2的方程（x-1） 2+y 2=16 , 因为点A 在x 轴上方，所以A （1, 4）. 又 F 1（-1 , 0），所以直线 AF 1: y=2x+2.X 2由（1 ）知，椭圆C ：4 1，a=2， 1.解得y=± 4.2x 2 1)2y 216，得5x 26x 11 0，解得115 因此 B( 11代入511122x2，得 y12 V ，y由 2x 4又因为 53(x2y3.又F 2（1 , 0），所以直线BF 2： y 1)，得 7x26x 13 0，解得 xE 是线段 1代入yBF 2与椭圆的交点, 3—（x 1），得 4所以 x3.因此 2 1.E( 1, 解法二:34(x32)1).132C:— 42y_3BF 2=2a , EF 1 + EF 2=2a ，所以 EF 1=EB , //BF 1E=//B.F 2A=F 2B ，所以 //A=//B , //A= //BF 1E ,从而 EF 1//F2A. 由（1）知，椭圆 1.如图，连结 EF 1.因为 从而 因为 所以 因为AF 2//x 轴，所以EF1//X 轴.1y 2 ，得13x因为 F 1(-1 , 0)，由X 2 43又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y2因此E（ 1, 3）.218.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法一：综上，当PB 丄AB ,点Q 位于点C 右侧，且CQ=3、、21时，d 最小，此时P , Q 两点间的距离 PQ=PD+CD+CQ=17+3i 21.因此，d 最小时，P , Q 两点间的距离为17+3 21 (百米). 解法二：(1)如图，过0作0H 丄I ，垂足为H.以0为坐标原点，直线 0H 为y 轴，建立平面直角坐标系.（1 ）过A 作 AE BD ，垂足为E. 由已知条件得，四边形 ACDE 为矩形，DE 因为PB 丄AB ,8 4所以 cos PBD sin ABE10 5“ BD 12所以PB -15.cos PBD 45因此道路PB 的长为15 （百米）\\：BE AC 6, AE CD 8.'（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上, 所以P 选在D 处不满足规划要求. 则线段BE 上的点（除B , E ）到点0的距离均小于圆0的半径, ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知AD 从而 cos BAD AD AB.AE 2 ED 210 ,0 ,所以/ BAD 为锐角.2AD AB所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3 ）先讨论点P 的位置.当/ OBP<90时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当/ OBP > 90时，对线段PB 上任意一点F , OF 俎B ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆 O 的半 径，点P 符合规划要求.设P 为I 上一点，且PB AB ，由（1）知，此时 RD RB sin RBDRB cos EBA当/ OBP>90 时，在△ PPB 中，PB PB P B=15,315—9 ;5 15.由上可知，d > 15. 再讨论点Q 的位置.由（2 ）知，要使得QA > 15点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQQA 2 AC 2 -152 62 3 =21.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.F bf c I因为BD=12 , AC=6，所以0H=9，直线I的方程为y=9,点A, B的纵坐标分别为3, -3. 因为AB为圆0的直径，AB=10，所以圆0的方程为x2+y2=25.3从而A (4, 3), B (-4, -3),直线AB的斜率为一.44因为PB丄AB,所以直线PB的斜率为—,34 25直线PB的方程为y — x .3 3所以P (-13, 9), PB , ( 13 4)2(9 3)215.因此道路PB的长为15 (百米).(2)①若P在D处，取线段BD上一点E (-4, 0),则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求②若Q在D处，连结AD，由(1)知D (-4, 9),又A (4, 3),所以线段AD: y 3x46（ 4剟X 4）.15），因为0M , 322在线段AD上取点M（3,15.32425 , 4 .4所以线段AD上存在点到点0的距离小于圆0的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.(3 )先讨论点P的位置.当/ OBP<90时，线段PB上存在点到点0的距离小于圆0的半径，点P不符合规划要求；当/ OBP> 90°,对线段PB上任意一点F, OF RB，即线段PB上所有点到点0的距离均不小于圆0的半径，点P 符合规划要求•设P 为I上一点，且RB AB，由(1)知，R B=15,此时P (- 13, 9);当/ OBP>90 时，在△ PRB 中，PB RB 15.由上可知，d> 15.再讨论点Q的位置.由(2)知，要使得QA>15,点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q ( a, 9),由AQ (a 4)2(9 3)215(a 4)，得a=4 3 21，所以Q ( 4 3 21 , 9)，此时，线段QA上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径•综上，当P (- 13, 9), Q ( 4 3、一习,9)时，d 最小，此时P , Q 两点间的距离 PQ 4 3. 21 ( 13) 17 3 21 . 因此，d 最小时，P , Q 两点间的距离为 19 •本小题主要考查利用导数研究函数的性质， 能力.满分16分. 解： 因为 (2) 所以 17 3,21 (百米). 考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理 从而 (1)因为a b c ，所以f (x) f(4) 8，所以(4 a)3 8，解得 a 因为b c , 3 f (x) (x a)(x b) x (a 2b)x b) x ----------- .令 f'(x) 3 f'(x) 3(x 2a b(X a)(x b)(x c) (x 2 • a)3 • 2b(2a b)x ab , 0，得x b 或x 2a b3 都在集合｛ 3,1,3｝中，且a 因为a, b, 32a b , 所以 1,a 32 此时 f(x) (x 3)(x 3) , f' (x) 3(x 3)(x 1).3,b 3.32 .x 3 (b 1)x 2 bx ,令f'(x)0,得x 3或x 1.列表如下： 所以f(x)的极小值为f(1) (1 3)(1 3)2 (3)因为 a 0,c1，所以 f (x) x(x2f'(x) 3x 2(b 1)x b .因为 0 b 1，所以 4(b 1)212b则f'(X )有2个不同的零点，设为 X 1,X 2 %b 1 b 2 b 1由 f (x) 0，得 X 1, X 23 b)(x 1)(2 b 1)2列表如下:X 2•• b 2 b 1 3所以f (x)的极大值M f x 1 . 解法一：M f x-!x 3 (b 1)x ； bx-!整理得b n 1所以数列｛b n ｝是首项和公差均为1的等差数列.2 b 2 b 19b(b 1) 92 b 2 b 1 (b 1)b(b 1)2b 2 3b 127927b(b 1)2(b 1)2(b 1) 2(b(b 1)1)3272727b(b 1) 2 4 因此M 42722727解法二：3x2 2(b 1)x 1b专罟X i因为0 b 1，所以x i(0,1).2当 x (0,1)时，f(x) x(x b)(x 1) x(x 1).2令 g(x) x(x 1) ,x (0,1)，则 g'(x)1 3 x3 (x 1)-1令g'(x)0，得x — •列表如下:所以当x 1时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(X )max g - — 332744(0,1)时，f(x) g(x) ，因此 M —.2727 20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综 合运用数学知识探究与解决问题的能力•满分 所以当x 16分. 因此数列｛a n ｝为“ M —数列”. 1 2 2 (2) ①因 ----- --------- 所以b n S n b nb n11 2 2 由0 1,S 1 b 1得1 1 b 2 ，则 b 221 22b n b n 1S n b n2时, 由b n2(b n 1 b n )'b n 1 '解：(1)设等比数列｛a n ｝的公比为q ，所以a 1M0 q z 0.2 4 4 a ?a 4 a 5 a 〔 q aq由 ，，c ，得2 ，解得 a 3 4a 2 4q 0 qq 4aQ 4q 0 b n b nS n5 1，得 b n2 b n 1 b nb n 1加 2 b nb n 1 ，2b n .bn 1因此，数列｛b n ｝的通项公式为b n = n n N ②由①知，b k =k , k N因为数列｛C n ｝为“ M 数列”设公比为q ，所以C 1=1 , q>0. 因为 c k 住k<C k+i ，所以 q k 1 k q k ，其中 k=1, 2, 3,…， 当k=1时，有q >1当k=2 , 3,…，m 时，有世lnq 此kk 1 Inx1 In x设f (x ) = (x 1)，则 f '(x) 2—xx0，得x=e.列表如下:经检验知q k 也成立. 因此所求m 的最大值不小于5.若m >6分别取k=3, 6,得3马3,且q 5<6从而q 15> 243且q 15w 216 所以q 不存在•因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5.数学I 附加题)21.【选做题】本题包括 A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答•若多做，则按作答的前两小题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. ［选修4-2 :矩阵与变换］(本小题满分10分) 已知矩阵A (1 )求 A 2；(2)求矩阵A 的特征值.B. ［选修4-4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分) 在极坐标系中，已知两点 A 3,, B " 2,，直线I 的方程为 sin 3.42 4(1 )求A , B 两点间的距离；(2)求点B 到直线I 的距离. C. ［选修4-5 :不等式选讲］(本小题满分10分) 设x R ，解不等式|x|+|2 x 1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.m.令 f'(x)ln8 ln96 6—，所以3f(k)m a X f(3)捋取 q 33，当 k=1, 2,3, 4, 5时, ln kk*, lnq，即 k q ，22. (本小题满分10分)设(1 x)n a0a-i x a2x2L a n x n, n・・4, n N*.已知a；2a2a4.(1 )求门的值；(2)设(1 '、3)n a b-,3，其中a,b N*，求a2 3b2的值.23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，设点集A n ｛(0,0),(1,0),(2,0), ,(n ,0)｝令M n A n U B n U C n •从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离(1 )当门=1时，求X的概率分布；(2)对给定的正整数n (n》3，求概率P (Xq)(用n表示).数学1(附加题)参考答案21.【选做题】A .［选修4乞：矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力.满分31解：(1)因为A22，3131所以A2222233 1 231 1 2115=23 2 221 2 2 ==106令f ( ) 0，解得A的特征值1 1, 2 4.B .［选修4Z :坐标系与参数方程］本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力•满分解：(1)设极点为0•在△ OAB 中，A ( 3, ), B (,),4 2由余弦定理，得AB=,32( ;2)22 3 .2 cos(— -) . 5 .(2)因为直线l的方程为sin( ) 3 ,4则直线I过点(3'. 2,—)，倾斜角为-.2 4又BC，2,?)，所以点B到直线l的距离为(3.2 .2) sin(〒-)2.C .［选修4七：不等式选讲］本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.满分1 解：当x<0时，原不等式可化为x 1 2x 2，解得x< —:31当0強W—时，原不等式可化为x+1 -x>2，即x< -，无解；21当x> —时，原不等式可化为x+2x - >2，解得x>1.10分.(2) f() 矩阵A的特征多项式4.10分.10分.21 综上，原不等式的解集为{x|x 3或X 1}.解法一：因为 a,b N ，所以 a C 5 3C 5 9C 5 76,b C 5 3C 5 9C 5 44 ,从而 a 2 3b 2 762 3 44232 •解法二：(1、、3)5 C ° C ；(3) C ；( .3)2 C ；( .,3)3c 5(,3)4c ；(、3)5c 0 c ； .3 c5c 、3)2 c ；(•一3)3 c ：(G )4 C 5C .3)5 •因为 a,b N *，所以(1 . 3)5 a b = 3 •因此 a 2 3b 2 (a b .3)(a b .3) (1 G)5 (1 .3) 5 ( 2)532 •23.【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能 力和推理论证能力.满分 10分.解：(1)当i n 1时，X 的所有可能取值是1,2,2八5 •77c 、 4 4 X 的概率分布为 P(X 1)2,P(X ■2) 2—C615 C6152 2f —2 2P(X 2) 亠,P(X -52C 615C 6 15(2)设A(a ,b)和B(c, d)是从M n 中取出的两个点.因为P(X n) 1 P(X n)，所以仅需考虑Xn 的情况.①若b d ，贝V AB n ，不存在X n 的取法；②若b0 ,d 1 ,则AB■ (a c)2 1n1，所以Xn 当且仅当AB• , n 2 1 ,此时 a 0, c n 或an , c 0 ,有2种取法；③若b 0,d 2，则 AB、(a c)2 4n 2 4,因为当n3 时，〔(n 1)24 n ,所以X n当且仅当AB ，n 2 4，此时a 0,c n或an, c 0，有2种取法；④若b1,d 2,则AB■ (a c)2 1n1，所以Xn 当且仅当AB• , n 2 1 ,此时a 0, c n 或an , c 0 ,有2种取法.10分.解：(1)因为(1 x)n C 0 C ；x C ：x 2 L c !J x n , n 所以a 2c nn(n 1),a 3 2c 3n(n 1)( n 2)6a 4 C 4n(n 1)(n 2)(n 3)24因为a ；2a ?a 4,所以［n(n 1)(n2) 2]2n(n 1) n(n 1)(n 2)(n 3)6224 解得n 5 •(2)由( 1)知,n 5 •(1彳(1 322.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分4，C 0 cl 3a b, 3 •3)3c 5(、.3)4C5(.3)5c ；(、3)2综上, P(X 因此, 当X n时，X的所有可能取值是n~1和、.n2•,厂1) £,p(x ,nL4) •C2n 4 C2n 4P(X n) 1 P(X , n2—1) P(X ,n2一4)，且6C2n 4。

2019年江苏省高考数学模拟试卷(8)(含附加,详细答案)2019年高考模拟试卷（8）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1.已知集合 $A=\{2,\log_2 a\}$，若 $3\in A$，$B=\{1,3\}$，则实数 $a$ 的值为______。

2.已知复数 $z$ 满足$z\mathrm{i}=1+\mathrm{i}$（$\mathrm{i}$ 为虚数单位），则复数 $z-\mathrm{i}$ 的模为______。

3.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值是2的概率为______。

4.工人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图（左边一列的数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数），则该组数据的方差$s^2$ 的值为______。

5.根据上图所示的伪代码，可知输出的结果 $S$ 为______。

第4题）1872212SI 2WhileI≤4I I+1S S+IEndWhilePrintS第5题）x y≥1。

6.设实数 $x,y$ 满足 $\begin{cases}x+y\leq 1,\\x+2y\geq 1,\end{cases}$ 则 $3x+2y$ 的最大值为______。

7.若“$\exists x\in\left[\frac{1}{2},2\right]$，使得 $2x^2-\lambda x+1<0$ 成立”是假命题，则实数 $\lambda$ 的取值范围是______。

8.设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$（$d\neq 0$），其前$n$ 项和为 $S_n$。

若 $a_4$，$2S_{12}=S_2+10$，则 $d$ 的值为______。

9.若抛物线 $x=4y$ 的焦点到双曲线 $x^2/2-y^2/3=1\(a>0,b>0)$ 的渐近线距离等于 $1$，则双曲线的离心率为______。

压轴小题组合练(C)1.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋1)为奇函数，f (0)＝0，当x ∈(0,1]时，f (x )＝log 2x ，则在区间(8,9)内满足方程f (x )＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的值为________. 答案658解析 ∵f (x ＋1)为奇函数，则f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)，即f (x )＝－f (2－x ).当x ∈(1,2)时，2－x ∈(0,1)，∴f (x )＝－f (2－x )＝－log 2(2－x ). 又f (x )为偶函数，即f (x )＝f (－x )，∴f (－x )＝－f (－x ＋2)，∴f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4)，故f (x )是以4为周期的函数. ∵f (1)＝0，∴当8<x ≤9时，0<x －8≤1，f (x )＝f (x －8)＝log 2(x －8).由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，f (x )＋2＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫12可化为log 2(x －8)＋2＝－1，得x ＝658. 2.若函数f (x )＝12()cos x －sin x ·()cos x ＋sin x ＋3a ()sin x －cos x ＋()4a －1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递增，则实数a 的取值范围为__________. 答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝12cos 2x ＋3a (sin x －cos x )＋(4a －1)x ，故f ′(x )＝－sin 2x ＋3a (cos x ＋sin x )＋4a －1＝－(cos x ＋sin x )2＋3a (cos x ＋sin x )＋4a ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上恒成立，令sin x ＋cos x ＝t ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，t ∈[－1,1]，故不等式可化为－t 2＋3at ＋4a ≥0在区间[－1,1]上恒成立. 令g (t )＝－t 2＋3at ＋4a ，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3a ×(－1)＋4a ≥0，－1＋3a ＋4a ≥0，解得a ≥1.3.在Rt△ABC 中， CA ＝4, CB ＝3, M, N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11925，485 解析 以C 为坐标原点，CA, CB 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则 A (4,0)，B (0,3), l AB ：y ＝3－34x ，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，3－34a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，3－34b ，假设a <b ，因为MN ＝2，所以a ＝b－85. CM →·CN →＝2516b 2－7b ＋635＝2516⎝ ⎛⎭⎪⎫b －56252＋11925，又85≤b ≤4, 所以CM →·CN →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11925，485. 4.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x＋m 2x ，设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ＞1，f (－x )，x ≤1，若函数y＝g (x )－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋m ·2x ＝－(2x＋m ·2－x)，解得m＝－1，故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2－x，x >1，2－x －2x，x ≤1，作出函数g (x )的图象(如图所示).当x >1时，g (x )单调递增，此时g (x )>32；当x ≤1时，g (x )单调递减，此时g (x )≥－32，所以当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32时，y ＝g (x )－t 有且只有一个零点.5.设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，P 是双曲线上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则4b a ＋a b ＋12mn＋2ln ||m ＋2ln ||n 取得最小值时，双曲线的离心率为________. 答案52解析 设A (－a,0)，B (a,0), P (x 0，y 0)，点P 在双曲线上，得x 20a 2－y 20b 2＝1，所以k PA k PB ＝y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝y 20x 20－a2＝b 2a 2，即mn ＝b 2a2，4b a ＋a b ＋12mn ＋2ln|m |＋2ln|n | ≥4＋12mn＋2ln ||mn ， 设函数f ()x ＝2ln x ＋12x (x >0), f ′()x ＝2x －12x 2＝4x －12x 2，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞上单调递增.f (x )min ＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫14，即mn ＝b 2a 2＝14，又基本不等式等号成立的条件为当且仅当a 2＝4b 2，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝52. 6.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x >0，12－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)解析 作函数图象(如图所示)，可得直线y ＝kx －k 过定点(1,0)，当y ＝kx －k 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12时，直线的斜率最小，即k ＝－13，当直线y ＝kx －k 与y ＝x 2－x (x >0)相切时有且仅有一个交点，交点即为切点(1,0)，k ＝y ′|x ＝1＝1，故当函数f (x )与直线y ＝kx －k 至少有两个不同的交点时，k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)，即关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞).7.已知函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R .若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则a 的取值范围是________.答案 (－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析 因为g (x )＝b (2－x＋a )，所以2x －1＋a ≥b2x ＋ab ，即(2x )2－2a (b －1)2x－2b ≥0.由“二次不等式与二次方程的根的关系”知，关于2x的方程(2x )2－2a (b －1)·2x－2b ＝0中2x的值分别为4，－b2，因为2x 取正值，要想2x最小为4，需满足－b 2≤0，即b ≥0.又因为4－b2＝2a (b－1)，所以b ＝4(a ＋2)4a ＋1≥0，解得a ≤－2或a >－14.8.在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为________.答案 3解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1).设BD 与圆C 切于点E ，连结CE ，则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0).∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255， 当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A －1tan B的取值范围是__________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，233解析 方法一 原式可化为1tan A －1tan B ＝cos A sin A －cos B sin B ＝sin B cos A －cos B sin Asin A sin B＝sin (B －A )sin A sin B.由b 2－a 2＝ac ，得b 2＝a 2＋ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a ＝c －2a cos B ，也就是sin A ＝sin C －2sin A ·cos B ，即sin A ＝sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝sin(B －A )，由于△ABC 为锐角三角形，所以有A ＝B －A ，即B ＝2A ，故1tan A －1tan B ＝1sin B ，在锐角三角形ABC 中，易知π3<B <π2，32<sin B <1，故1tan A －1tan B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233.方法二 根据题意，作CD ⊥AB ，垂足为点D ，画出示意图.因为b 2－a 2＝AD 2－BD 2＝(AD ＋BD )(AD －BD )＝c (AD －BD )＝ac ，所以AD －BD ＝a ，而AD ＋BD ＝c ，所以BD ＝c －a2，则c >a ，即ca>1，在锐角三角形ABC 中有b 2＋a 2>c 2，则a 2＋a 2＋ac >c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－c a－2<0， 解得－1<c a <2，因此，1<c a<2. 而1tan A －1tan B ＝AD －BD CD＝a a 2－⎝⎛⎭⎪⎫c －a 22＝11－14⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233.10.已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝1,3S n ＝(n ＋2)a n ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 100的值是________. 答案200101解析 ∵3S n ＝(n ＋2)a n ，∴当n ≥2时，3S n －1＝(n ＋1)a n －1， ∴两式相减得3a n ＝(n ＋2)a n －(n ＋1)a n －1， ∴a n a n －1＝n ＋1n －1， ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝1×31×42×…×n n －2×n ＋1n －1＝n (n ＋1)2(n ≥2)，当n ＝1时，1×22＝1＝a 1满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *)，1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 100＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1100－1101＝200101. 11.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE →＝λBC →，DF →＝μDC →.若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝________.答案 56解析 ∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →， AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋μDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋μDC →)＝AB →·AD →＋λAD →·BC →＋μAB →·DC →＋λμBC →·DC →＝2×2×cos 120°＋4λ＋4μ＋λμ(2×2×cos 120°)＝－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1，①CE →·CF →＝(1－λ)CB →·(1－μ)CD →＝－2(1－λ)(1－μ)＝－23，即λμ－(λ＋μ)＝－23，②⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4(λ＋μ)－2λμ＝1，λμ－(λ＋μ)＝－23，解得λ＋μ＝56.12.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________. 答案 3 2解析 当k ＝0时，点P (2,2)到直线x －y －4＝0的距离为22；当k ≠0时，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋2＝0，x ＋ky －2＝0，得两直线交点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－2k1＋k 2，2＋2k 1＋k 2， 所以点P 到直线x －y －4＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k1＋k 2－2＋2k 1＋k 2－42＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 1＋k 2＋12，为求得最大值，考虑正数k ，则有k 1＋k 2＝11k＋k≤12，当且仅当k ＝1时取等号， 所以4⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 1＋k 2＋12≤4×322＝3 2.13.在平面直角坐标系中，定义d (P ，Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|为两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)之间的“折线距离”.则下列命题中： ①若A (－1,3)，B (1,0)，则有d (A ，B )＝5；②到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆； ③若C 点在线段AB 上，则有d (A ，C )＋d (C ，B )＝d (A ，B )；④到M (－1,0)，N (1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x ＝0. 真命题的个数为________. 答案 3解析 由题意①中d (A ，B )＝|－1－1|＋|3－0|＝5，所以①对；②中设P (x ，y )，d (P ，O )＝|x －0|＋|y －0|＝1，即|x |＋|y |＝1，是一个正方形，②错；③中，由于 C 点在线段AB 上，由绝对值的几何意义可知，d (A ，C )＋d (C ，B )＝d (A ，B )，所以③对；④中，设动点P (x ，y )，则d (M ，P )＝d (N ，P )，即|x ＋1|＋|y |＝|x －1|＋|y |，解得x ＝0，所以④对.14.已知函数f (x )的定义域为R ，若存在常数k ，使|f (x )|≤k2 017|x |对所有实数都成立，则称函数f (x )为“期望函数”，给出下列函数： ①f (x )＝x 2；②f (x )＝x e x；③f (x )＝x x 2－x ＋1；④f (x )＝xe x ＋1.其中函数f (x )为“期望函数”的是________.(写出所有符合条件的函数序号) 答案 ③④解析 ①假设函数f (x )＝x 2为“期望函数”，则|f (x )|＝|x 2|≤k2 017|x |，当x ≠0时，k ≥2017|x |，因此不存在k ，因此假设错误，即函数f (x )＝x 2不是“期望函数”；②假设函数f (x )＝x e x为“期望函数”，则|f (x )|＝|x e x|≤k2 017|x |，当x ≠0时，k ≥2 017e x，因此不存在k ，因此假设错误；③假设函数f (x )＝xx 2－x ＋1为“期望函数”，|f (x )|＝|x |⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≤43|x |，当x ≠0时，对任意的k 2 017≥43，都有|f (x )|≤k2 017|x |成立，当x ＝0时，|f (0)|＝0，对任意常数k 都满足，故正确；④假设函数f (x )＝x e x ＋1为“期望函数”，|f (x )|＝|x |e x ＋1≤k2 017|x |对所有实数都成立，故正确.故答案为③④.。

2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)文章中没有明显的格式错误和有问题的段落，因此直接改写每段话。

2019年高考模拟试卷（1）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1.已知集合A为{x-1<x<1}，集合B为{-1≤x≤2}，则AB 的并集为[ -1.2 )。

2.复数z=2i/(1-i)的实部是2/5.3.甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋。

已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为0.06.4.某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为23.2.5.根据XXX所示的伪代码，当输出y的值为2时，则输入的x的值为e。

6.在平面直角坐标系xOy中，圆x^2+y^2-4x+4y+4=0被直线x-y-5=0所截得的弦长为4.7.如图，三个相同的正方形相接，则XXX∠XXX的值为1.8.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E为PD上一点，且PE=2ED。

设三棱锥P-ACE的体积为V1，三棱锥P-ABC的体积为V2，则.9.已知F是抛物线C:y=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。

若M是FN的中点，则FN的长度为16.10.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=xlnx，则不等式f(x)<-e的解集为(1/e。

e)。

11.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）。

现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为3.12.如图，在△ABC中，点M为边BC的中点，且AM=2，点N为线段AM的中点，若AB×AC=28，则NB×NC的值为21.13.已知正数x，y满足x+y+1/x+1/y=10，则x+y的最小值是4.14.设等比数列{an}满足：a1=2，an=cos(πn/2)+3sin(πn/2)，其中n∈N，且nπ/2∈(0.π/2)。

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(五)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{x |1<2x ≤4}，B ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则A ∩B ＝________．2. 在标号为0，1，2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之积为0的概率是________．3. 设复数z 1＝2＋a i ，z 2＝2－i(其中a >0，i 为虚数单位)．若|z 1|＝|z 2|，则a 的值为________．4. 为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图(如图)，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则优秀人数是__________．5. 函数y ＝log 2(2x ＋2)的值域是__________．6. 若命题：“∃x 0∈R ，ax 20－ax 0－2>0”为假命题，则实数a 的取值范围是________.7. 若向量a ＝(3，1)，b ＝(sin α－m, cos α)(α∈R )，且a ∥b ，则m 的最小值为________．8. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1（x ≥1），2x －kx 2（x <1）是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 9. 已知sin α＝12＋cos α，且α∈(0，π2)，则cos 2αsin （α－π4）的值为________.10. 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆C 的下顶点，直线MF 2与椭圆C 的另一个交点为N ，若NF 1＝MN ，则椭圆C 的离心率为________． 11. 在等比数列{a n }中，a n >0且a 3－a 1＝1，则a 5的最小值是________． 12. 函数f (x )＝4cos 2x 2cos(π2－x )－2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．13. 已知f ′(x )是f (x )在R 上的导函数，且f ′(x )－f (x )>0. 若f (e)＝1，则不等式f (x )>e x －e 的解集为________．14. 若点P 是△ABC 所在平面内的任意一点，满足P A →＋3PB →＋4PC →＝0，则△PBC 与△PAC 的面积之比为________.二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知向量m ＝(sin 2x ＋1＋cos 2x 2，sin x )，n ＝(12cos 2x －32sin 2x ，2sin x )，设函数f (x )＝m·n ，x ∈R .（1）求函数f (x )的最小正周期；（2）若x ∈[0，π2]，f (x )≤t 恒成立，求最小正整数t 的值．16. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ，E 为PB 中点，F 为 PO 的中点． （1）求证：PD ∥平面ACE ；（2）若AB ＝2PC ，求证：CF ⊥平面PBD .如图，有一直径为8 m 的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲种水果的经济价值是种植乙种水果经济价值的5倍，但种植甲种水果需要有辅助光照．半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲种水果生长的需要，该光源照射范围是∠ECF ＝π6，点E ，F 在直径AB 上，且∠ABC ＝π6.（1）若AE ＝1 m ，求CE 的长；（2）设∠ACE ＝α， 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．18. (本小题满分16分)已知椭圆C ：9x 2＋m 2y 2＝1(0<m <3)的离心率e ＝223，不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 有两个交点A ，B ，点P 在椭圆上且不同于A ，B ，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2. （1）当直线l 过原点时，求证：k 1k 2为定值；（2）若不过原点的直线l 过点(13，1)，M 为线段AB 中点， OM 的延长线与椭圆C 交于点Q .问：四边形OAQB 能否为平行四边形？若能，求直线l 的斜率；若不能，请说明理由．设函数f (x )＝a ln x ＋1x－1.（1）当a ＝2时，求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； （2）讨论函数f (x )的单调性；（3）当0<a <12时，求证：对任意x ∈(12，＋∞)，都有(1＋a x)x ＋a <e.20. (本题满分16分)已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n －(－1)n ，n ∈N *.设an 1，an 2，…，an t (其中n 1<n 2<…<n t ，t ∈N *)成等差数列． （1）若t ＝3.① 当n 1，n 2，n 3为连续正整数时，求n 1的值； ② 当n 1＝1时，求证：n 3－n 2为定值； （2）求t 的最大值．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 1，其中a ∈R ，若点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－1)，求矩阵A 的两个特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求： （1）圆的普通方程； （2）圆的极坐标方程．C. (选修45：不等式选讲)已知实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝2，求2x 2＋3y 2＋z 2的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图所示图象，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．23. 已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（1）求证：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(五)1. {x |1<x ≤2} 解析：A ＝{x |0<x ≤2}，B ＝{x |x >1}，∴ A ∩B ＝{x |1<x ≤2} .2. 23解析：标号之积为0时，必含标号为0的卡片，只有两种情况，而基本事件总数为3，故概率是23.3. 1 解析：∵ |z 1|＝|z 2|，∴ 4＋a 2＝5，∴ a ＝±1.又a >0，∴ a ＝1.4. 80 解析：400×0.010×2×10＝80.5. (1，＋∞) 解析：∵ 2x >0，∴ 2x ＋2>2，故函数y ＝log 2(2x ＋2)的值域是(1，＋∞)．6. [－8，0] 解析：∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0是真命题，∴ a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0，∴ －8≤a ≤0.7. －2 解析：∵ a ∥b ，∴ 3cos α＝(sin α－m )×1，∴ m ＝sin α－3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π3∈[－2，2]，∴ m 的最小值为－2.8. [0，1] 解析：当k ＝0时，结论成立；当k ≠0时，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧k >0，1k ≥1，2－k ≤2，解得0<k ≤1.综上所述，0≤k ≤1.9. －142 解析：cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22（sin α－cos α）＝－2(sin α＋cos α)．又sin α＝12＋cos α，∴ sin α－cos α＝12，∴ 2sin αcos α＝34.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ sin α＋cos α＝1＋2sin αcos α＝72，∴ cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－142.10. 33 解析：∵ NF 1＋MN ＋MF 1＝4a ，MF 1＝a ，NF 1＝MN ，∴ NF 1＝MN ＝32a ，∴ NF 2MF 2＝12.又M (0，－b )，∴ N ⎝⎛⎭⎫32c ，b 2，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得e ＝33.11. 4 解析：∵ a 3－a 1＝1，∴ a 1(q 2－1)＝1，即a 1＝1q 2－1>0，∴ q >1，∴ a 5＝a 1q 4＝q 4q 2－1.设t ＝q 2－1，则t >0，q 2＝t ＋1，∴ a 5＝（t ＋1）2t ＝t ＋1t＋2≥4，当且仅当t ＝1，即q ＝2时取等号，故a 5的最小值是4.12. 2 解析：f (x )＝4cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln (x ＋1)|＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln (x ＋1)| ＝sin 2x －|ln (x ＋1)|.问题转化为y ＝sin 2x 与y ＝|ln (x ＋1)|图象的交点， 如图，零点有两个．13. (e ，＋∞) 解析：∵ f (x )>e x －e ，∴f （x ）e x>1e e .设g (x )＝f （x ）ex ，∵ f (e )＝1，∴ g (e )＝f （e ）e e ＝1e e ，∴ f （x ）e x >1ee ，即g (x )>g (e )．又g ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）ex>0，∴ g (x)在R 上单调递增，∴ f (x )>e x －e 的解集为(e ，＋∞)．14. 13解析：∵ P A →＋3PB →＋4PC →＝0，∴ P A →＋PC →＋3(PB →＋PC →)＝0.设AC ，BC 中点分别为D ，E ，则PD →＋3PE →＝0， ∴ P 为DE 的四等分点(靠近点E )，∴ S △PBC ＝14S △BDC ＝18S △ABC ，∴ S △P AC ＝34S △AEC ＝38S △ABC ，∴ S △PBC S △P AC ＝13.15. 解：(1) 因为f (x )＝m·n ＝12cos 2x －32sin 2x ＋2sin 2x ＝1－12cos 2x －32sin 2x ＝1－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以其最小正周期为T ＝2π2＝π.(6分)(2) 由(1)知f (x )＝1－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 所以f (x )＝1－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤0，32. 因为f (x )≤t 恒成立，所以t ≥32，所以最小正整数t 的值为2.(14分) 16. 证明：(1) 如图，连结OE ，∵ 四边形ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ， ∴ O 为BD 中点．又E 为PB 的中点，∴ PD ∥OE . ∵ PD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，∴ PD ∥平面ACE .(6分)(2) 在四棱锥P ABCD 中，AB ＝2PC ，又四边形ABCD 是正方形，∴ OC ＝22AB ，即AB ＝2OC ，∴ PC ＝OC .∵ F 为PO 中点，∴ CF ⊥PO .(8分) 又PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ， ∴ PC ⊥BD .而四边形ABCD 是正方形，∴ AC ⊥BD . ∵ AC ，PC ⊂平面P AC ，AC ∩PC ＝C ， ∴ BD ⊥平面P AC .∵ CF ⊂平面P AC ，∴ BD ⊥CF .∵ PO ，BD ⊂平面PBD ，PO ∩BD ＝O ， ∴ CF ⊥平面PBD . (14分)17. 解：(1) 因为点C 在以AB 为直径的半圆周上， 所以△ABC 为直角三角形．因为AB ＝8 m ，∠ABC ＝π6，所以∠BAC ＝π3，AC ＝4 m .在△ACE 中，由余弦定理，得CE 2＝AC 2＋AE 2－2AC ·AE cos ∠EAC ，又AE ＝1 m ，所以CE 2＝16＋1－2×1×4×12＝13，即CE ＝13 m ．(6分)(2) 因为∠ACB ＝π2，∠ECF ＝π6，所以∠ACE ＝α∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以∠AFC ＝π－∠CAE －∠ACF ＝π－π3－⎝⎛⎭⎫α＋π6＝π2－α.在△ACF 中，由正弦定理，得CF sin ∠CAF ＝AC sin ∠CF A ＝AC sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝AC cos α，所以CF ＝23cos α.在△ACE 中，由正弦定理，得CE sin ∠CAE ＝AC sin ∠AEC ＝AC sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α，所以CE ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α.若产生最大经济效益，则△CEF 的面积S △ECF 最大，S △ECF ＝12CE ·CF sin ∠ECF＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3＋αcos α＝122sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋3.因为α∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以0≤sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3≤1，所以当α＝π3时，S △ECF 取最大值为4 3 m 2，此时该地块产生的经济价值最大．(14分)18. (1) 证明：∵ 0<m <3，∴ a ＝1m ，b ＝13，∴ c ＝1m 2－19.∵ e ＝223，∴ m ＝1，∴ 椭圆C 的方程为9x 2＋y 2＝1. 设A (x 1，y 1)，P (x 0，y 0)，则B (－x 1，－y 1)，9x 21＋y 21＝1，9x 20＋y 02＝1，∴ k 1k 2＝y 1－y 0x 1－x 0·－y 1－y 0－x 1－x 0＝y 20－y 21x 20－x 21＝1－9x 20－1＋9x 21x 20－x 21＝－9(定值)．(6分) (2) 解：四边形OAQB 能为平行四边形．理由如下：设直线l 的斜率为k ，由l 过点⎝⎛⎭⎫13，1而不过原点且与椭圆C 有两个交点，得k >0，k ≠3. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由(1)得9x 21＋y 21＝1，9x 22＋y 22＝1，两式相减，得直线OM 的斜率k OM ＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－9（x 1－x 2）y 1－y 2＝－9k ，∴ 直线OM 的方程为y ＝－9kx .设点Q 的横坐标为x Q，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝1，得x Q ＝±k 3k 2＋9；直线l 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭⎫x －13，即y ＝kx ＋1－k 3， 由 ⎩⎨⎧y ＝kx ＋1－k3，y ＝－9kx ，得x M ＝k （k －3）3（k 2＋9），四边形OAQB 为平行四边形当且仅当AB 与OQ 互相平分，即x Q ＝2x M ，于是±k 3k 2＋9＝2×k （k －3）3（k 2＋9），∴ k 2－8k ＋9＝0，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7，∴ 当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAQB 为平行四边形．(16分)19. (1) 解：当a ＝2时，f (x )＝2ln x ＋1x－1，f (1)＝2ln 1＋11－1＝0，f ′(x )＝2x －1x 2，f ′(1)＝21－112＝1，所以函数f (x )在点(1，0)处的切线方程为 y －0＝1×(x －1)，即x －y －1＝0. (4分)(2) 解：f (x )＝aln x ＋1x －1，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1x 2＝ax －1x2.① 当a ≤0时，f ′(x )<0，故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；② 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a.当x － ＋当a >0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增．(8分) (3) 证明：当0<a <12时，由(2)可知，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减， 显然，1a>2，故(1，2)⊆⎝⎛⎭⎫0，1a ， 所以函数f (x )在(1，2)上单调递减，对任意x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞，都有0<ax <1， 所以1<1＋ax <2，所以f ⎝⎛⎭⎫1＋ax <f (1)， 即aln ⎝⎛⎭⎫1＋a x ＋11＋ax－1<0，所以aln ⎝⎛⎫1＋a x <a x ＋a ，即ln ⎝⎛⎫1＋a x <1x ＋a， 所以(x ＋a )ln ⎝⎛⎭⎫1＋a x <1，即ln ⎝⎛⎭⎫1＋a x x ＋a <1， 所以⎝⎛⎭⎫1＋a x x ＋a <e . (16分) 20. (1) ① 解：依题意，an 1，an 1＋1，an 1＋2成等差数列，即2an 1＋1＝an 1＋an 1＋2，从而2[2n 1＋1－(－1)n 1＋1]＝2n 1－(－1)n 1＋2n 1＋2－(－1)n 1＋2，当n 1为奇数时，解得2n 1＝－4，不存在这样的正整数n 1；当n 1为偶数时，解得2n 1＝4，所以n 1＝2.(3分)② 证明：依题意，a 1，an 2，an 3成等差数列，即2an 2＝a 1＋an 3，从而2[2n 2－(－1)n 2]＝3＋2n 3－(－1)n 3，当n 2，n 3均为奇数时，2n 2－2n 3－1＝1，左边为偶数，故矛盾；当n 2，n 3均为偶数时，2n 2－1－2n 3－2＝1，左边为偶数，故矛盾；当n 2为偶数，n 3为奇数时，2n 2＋1－2n 3＝5，左边为偶数，故矛盾；当n 2为奇数，n 3为偶数时，2n 2＋1－2n 3＝0，即n 3－n 2＝1(定值)．(8分)(2) 解：设a s ，a r ，a t (s <r <t )成等差数列，则2a r ＝a s ＋a t ，即2[2r －(－1)r ]＝2s －(－1)s ＋2t －(－1)t ，整理，得2s ＋2t －2r ＋1＝(－1)s ＋(－1)t －2(－1)r .若t ＝r ＋1，则2s ＝(－1)s －3(－1)r .因为2s ≥2，所以(－1)s －3(－1)r 只能为2或4，所以s 只能为1或2；(12分)若t ≥r ＋2，则2s ＋2t －2r ＋1≥2s ＋2r ＋2－2r ＋1≥2＋24－23＝10，而(－1)s ＋(－1)t －2(－1)r ≤4，故矛盾．综上，只能a 1，a r ，a r ＋1成等差数列或a 2，a r ，a r ＋1成等差数列，其中r 为奇数，从而t 的最大值为3.(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(五)21. A . 解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1a 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1， 所以a ＋1＝－1，即a ＝－2.(4分)特征方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－112λ－1＝(λ－1)2－2＝0， 因此λ＝1±2.(10分)B . 解：(1) 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.(4分)(2) 把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆的普通方程得圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(10分) C . 解：由柯西不等式可知(12·2x ＋13·3y ＋1·z)2≤⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫132＋12(2x 2＋3y 2＋z 2)，(4分)所以2x 2＋3y 2＋z 2≥（x ＋y ＋z ）212＋13＋1＝2411， 当且仅当x ＝611，y ＝411，z ＝1211时取等号， 所以2x 2＋3y 2＋z 2的最小值为2411.(10分) 22. 解：(1) 由题图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人， 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为1550＝0.3.(2分)(2) 由题图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0，1，2.P (ξ＝0)＝C 22C 24＝16，P (ξ＝1)＝C 12C 12C 24＝23，P (ξ＝2)＝C 22C 24＝16. 所以ξ的分布列为(8分)E (ξ)＝0×16＋1×23＋2×16＝1.(10分) 23. (1) 证明：设l ：x ＝my ＋2，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝my ＋2，得y 2－2my －4＝0， Δ＝4m 2＋16＞0恒成立，所以y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m(y 1＋y 2)＋4＝－4(m 2＋1)＋2m ·2m ＋4＝0，所以OA →⊥OB →，即O 在圆M 上．(4分)(2) 解：由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m(y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4.故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m)，圆M 的半径r ＝（m 2＋2）2＋m 2.由于圆M 过点P(4，－2)，因此AP →·BP →＝0，故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0.由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12. 当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10；当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516.(10分)。

6.数 列1.已知从数列{a n }中取出部分项，并按原来的顺序组成一个新的数列1n a ，2n a ，3n a …，称为数列{a n }的一个子数列，若该子数列为等比数列，则称为数列{a n }的等比子数列.(1)设数列{a n }是一个公差不为0的等差数列，若a 1＝1，a 3＝6，且a 1，a 3，1n a ，2n a ，3n a ，…，k n a 为数列{a n }的等比子数列，求数列{n k }的通项公式；(2)是否存在一个等差数列{a n }，使得{b n }是数列{a n }的一个等比子数列？其中数列{b n }的公比为q ，同时满足b 1＝a 21，b 2＝a 22，b 3＝a 23(a 1<a 2)，b 1＝(1＋2)(1－q ).若存在，求出数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由.解 (1)因为数列{a n }是等差数列，且a 1＝1，a 3＝6，则等差数列{a n }的公差d ＝52，所以a n ＝52n －32(n ∈N *)，k n a ＝52n k －32.又a 1，a 3，1n a ，2n a ，3n a ，…，k n a 为数列{a n }的等比子数列，且a 3a 1＝6， 所以k n a ＝6k ＋1，即6k ＋1＝52n k －32， 故n k ＝2×6k ＋1＋35(k ∈N *).(2)设数列{a n }的公差为d ，因为a 1<a 2，所以d >0. 由题意得a 21(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )4， 化简得2a 21＋4a 1d ＋d 2＝0，所以d ＝(－2±2)a 1，而－2±2<0，故a 1<0.若d ＝(－2－2)a 1，则q ＝b 2b 1＝a 22a 21＝(2＋1)2，故b 1＝a 21＝(1＋2)(1－q )＝(1＋2)(－2－22)<0，故舍去.若d ＝(－2＋2)a 1，则q ＝b 2b 1＝a 22a 21＝(2－1)2，从而b 1＝a 21＝(1＋2)(1－q )＝(22－2)(1＋2)＝2， 所以a 1＝－2，d ＝(－2＋2)a 1＝22－2， 所以a n ＝(22－2)n －32＋2. 又b 1＝2，令(22－2)n －32＋2＝2，故n ＝32＋62不是整数，即b 1不是数列{a n }中的项.故不存在满足条件的等差数列{a n }.2.设等比数列{a n }的首项为a 1＝2，公比为q (q 为正整数)，且满足3a 3是8a 1与a 5的等差中项；数列{b n }满足2n 2－(t ＋b n )n ＋32b n ＝0(t ∈R ，n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)试确定t 的值，使得数列{b n }为等差数列；(3)当{b n }为等差数列时，对每个正整数k ，在a k 与a k ＋1之间插入b k 个2，得到一个新数列{c n }.设T n 是数列{c n }的前n 项和，试求满足T m ＝2c m ＋1的所有正整数m .解 (1)由题意6a 3＝8a 1＋a 5，则6q 2＝8＋q 4，解得q 2＝4或q 2＝2(舍)，则q ＝2，又a 1＝2，所以a n ＝2n.(2)当n ＝1时，2－(t ＋b 1)＋32b 1＝0，得b 1＝2t －4，当n ＝2时，2×22－(t ＋b 2)×2＋32b 2＝0，得b 2＝16－4t ，当n ＝3时，2×32－(t ＋b 3)×3＋32b 3＝0，得b 3＝12－2t ，则由b 1＋b 3＝2b 2，得t ＝3，而当t ＝3时，2n 2－(3＋b n )n ＋32b n ＝0，得b n ＝2n ，由b n ＋1－b n ＝2(常数)知，此时数列{b n }为等差数列，故t ＝3. (3)由(1)(2)知，a n ＝2n，b k ＝2k .由题意知，c 1＝a 1＝2，c 2＝c 3＝2，c 4＝a 2＝4，c 5＝c 6＝c 7＝c 8＝2，c 9＝a 3＝8，…， 则当m ＝1时，T 1≠2c 2，不合题意， 当m ＝2时，T 2＝2c 3，适合题意.当m ≥3时，若c m ＋1＝2，则T m ≠2c m ＋1，一定不适合题意， 从而c m ＋1必是数列{a n }中的某一项a k ＋1，则T m ＝a 1＋122b +⋅⋅⋅+14243个＋a 2＋222b +⋅⋅⋅+14243个＋a 3＋322b +⋅⋅⋅+14243个＋a 4＋…＋a k ＋22k b +⋅⋅⋅+14243个，＝(2＋22＋23＋ (2))＋2(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ) ＝2×(2k －1)＋2×(2＋2k )k 2＝2k ＋1＋2k 2＋2k －2，2c m ＋1＝2a k ＋1＝2×2k ＋1，所以2k ＋1＋2k 2＋2k －2＝2×2k ＋1，即2k －k 2－k ＋1＝0，所以2k ＋1＝k 2＋k .2k ＋1(k ∈N *)为奇数，而k 2＋k ＝k (k ＋1)为偶数， 所以上式无解.即当m ≥3时，T m ≠2c m ＋1.综上知，满足题意的正整数仅有m ＝2.3.(2018·江苏省邗江中学期中)已知各项均为正数的数列{}a n 满足a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝2a 3＋4，其中n ∈N *. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设数列{b n }满足 b n ＝na n(2n ＋1)·2n ，是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得b 1，b m ，b n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由.(3)令c n ＝(n ＋1)2＋1n (n ＋1)a n ＋2，记数列{c n }的前n 项和为S n ，其中n ∈N *，证明：516≤S n <12.(1)解 ∵a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1， ∴(a n ＋1＋a n )(2a n －a n ＋1)＝0，又a n ＞0，∴2a n －a n ＋1＝0，即2a n ＝a n ＋1， ∴数列{a n }是公比为2的等比数列.由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n，n ∈N *.(2)解 b n ＝na n (2n ＋1)·2n＝n 2n ＋1，若b 1，b m ，b n 成等比数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n6n ＋3.由m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3，得3n ＝－2m 2＋4m ＋1m 2， ∴－2m 2＋4m ＋1＞0，解得1－62＜m ＜1＋62. 又m ∈N *，且m ＞1， ∴m ＝2，此时n ＝12.故存在正整数m ＝2，n ＝12，使得b 1，b m ，b n 成等比数列. (3)证明 c n ＝(n ＋1)2＋1n (n ＋1)·2n ＋2＝12·n 2＋2n ＋2n (n ＋1)·2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 2＋n n (n ＋1)·2n ＋1＋n ＋2n (n ＋1)·2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋1＋1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1，∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋12n ＋1＋12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫11·2－12·22＋⎝⎛⎭⎪⎫12·22－13·23＋⎦⎥⎤…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1＝12·122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－1(n ＋1)·2n ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1·n ＋2n ＋1，n ∈N *. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1·n ＋2n ＋1递减， ∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1·n ＋2n ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋1·1＋21＋1＝38，∴516≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1·n ＋2n ＋1＜12，∴516≤S n ＜12. 4.(2018·江苏省扬州树人学校模拟)已知无穷数列{}a n 的各项都不为零，其前n 项和为S n ，且满足a n ·a n ＋1＝S n (n ∈N *)，数列{}b n 满足b n ＝a na n ＋t，其中t 为正整数.(1)求a 2 018；(2)若不等式a 2n ＋a 2n ＋1<S n ＋S n ＋1对任意的n ∈N *都成立，求首项a 1的取值范围；(3)若首项a 1是正整数，则数列{}b n 中的任意一项是否总可以表示为数列{}b n 中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由. 解 (1)令n ＝1，则a 1a 2＝S 1，即a 1a 2＝a 1， 又a 1≠0， 所以a 2＝1.由a n ·a n ＋1＝S n ，得a n ＋1·a n ＋2＝S n ＋1， 两式相减得(a n ＋2－a n )a n ＋1＝a n ＋1， 又a n ＋1≠0， 故a n ＋2－a n ＝1， 所以a 2 018＝a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2 0182－1×1＝1 009.(2)由(1)知数列{}a 2n 是首项为a 2＝1，公差为1的等差数列，数列{}a 2n －1是首项为a 1，公差为1的等差数列.故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋n －12，n 是奇数，n2，n 是偶数.所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12a 1＋n 2－14，n 是奇数，n 2a 1＋n24，n 是偶数.①当n 是奇数时，a 2n ＋a 2n ＋1<S n ＋S n ＋1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122<⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12a 1＋n 2－14＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋12a 1＋(n ＋1)24， 即a 21－2a 1<n －12对任意正奇数n 恒成立，所以a 21－2a 1<0， 解得0<a 1<2.②当n 是偶数时，a 2n ＋a 2n ＋1<S n ＋S n ＋1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫n 22＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋n 22<⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2a 1＋n 24 ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋22a 1＋(n ＋1)2－14，即a 21－a 1<n2对任意正偶数n 恒成立，所以a 21－a 1<1， 解得1－52<a 1<1＋52.综合①②得0<a 1<1＋52.(3)由数列{}a 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，数列{}a 2n －1是首项为正整数a 1，公差为1的等差数列知，数列{}a n 的各项都是正整数. 设b n ＝b m b k ，即a na n ＋t ＝a ma m ＋t ·a ka k ＋t，所以a m ＝a n (a k ＋t )a k －a n，取k ＝n ＋2，则a k －a n ＝1，故a m ＝a n (a n ＋2＋t )，不妨设m 是偶数，则m2＝a n (a n ＋2＋t )一定是整数，故当n 是偶数时，方程b n ＝b m b k 的一组解是⎩⎪⎨⎪⎧k ＝n ＋2，m ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋t ＋1，当n 是奇数时，方程b n ＝b m b k 的一组解是⎩⎪⎨⎪⎧k ＝n ＋2，m ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n ＋12＋t ，所以数列{}b n 中的任意一项总可以表示为数列{}b n 中的其他两项之积. 5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝∑ni ＝1(－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，请说明理由.解 (1)设数列{a n }的公差为d . 因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k . 代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k <4k，从而λ<4k2k.设b k ＝4k2k ，k ∈N *，则b k ＋1－b k ＝4k ＋12(k ＋1)－4k2k ＝4k(3k －1)2k (k ＋1).因为k ∈N *，所以b k ＋1－b k ＞0，所以数列{b k }是递增的，所以(b k )min ＝2，所以λ<2. ②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *， 则T 2k －1＝T 2k －(－1)2ka 2k ＝2k －(4k －1)＝1－2k . 代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1，得λ(1－2k )<(2k －1)4k ，从而λ>－4k .因为k ∈N *，所以－4k的最大值为－4，所以λ>－4. 综上，λ的取值范围为(－4,2).(3)假设存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列，则(S m －S 2)2＝S 2(S n －S m )，即(m 2－4)2＝4(n 2－m 2)， 所以4n 2＝(m 2－2)2＋12，即4n 2－(m 2－2)2＝12， 即(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12.因为n >m >2，所以n ≥4，m ≥3，所以2n ＋m 2－2≥15.因为2n －m 2＋2是整数，所以等式(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12不成立， 故不存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列.6.(2018·南京模拟)若数列{}a n 满足：对于任意n ∈N *，a n ＋||a n ＋1－a n ＋2均为数列{}a n 中的项，则称数列{}a n 为“T 数列”.(1)若数列{}a n 的前n 项和S n ＝2n 2，n ∈N *，求证：数列{}a n 为“T 数列”；(2)若公差为d 的等差数列{}a n 为“T 数列”，求d 的取值范围；(3)若数列{}a n 为“T 数列”，a 1＝1，且对于任意n ∈N *，均有a n <a 2n ＋1－a 2n <a n ＋1，求数列{}a n 的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2， 又a 1＝S 1＝2＝4×1－2，所以a n ＝4n －2.所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝4n －2＋4＝4(n ＋1)－2为数列{a n }的第n ＋1项， 因此数列{a n }为“T 数列”.(2)解 因为数列{a n }是公差为d 的等差数列， 所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a 1＋(n －1)d ＋|d |. 因为数列{a n }为“T 数列”，所以任意n ∈N *，存在m ∈N *，使得a 1＋(n －1) d ＋|d |＝a m ，即有(m －n )d ＝|d |. ①若d ≥0，则存在m ＝n ＋1∈N *，使得(m －n )d ＝|d |， ②若d ＜0，则m ＝n －1.此时，当n ＝1时，m ＝0不为正整数，所以d ＜0不符合题意. 综上，d ≥0. (3)解 因为a n ＜a n ＋1，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a n ＋a n ＋2－a n ＋1，又因为a n ＜a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋2－(a n ＋1－a n )＜a n ＋2，且数列{a n }为“T 数列”， 所以a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1， 所以数列{a n }为等差数列. 设数列{a n }的公差为t (t ＞0)， 则有a n ＝1＋(n －1)t ， 由a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，得1＋(n －1)t ＜t [2＋(2n －1)t ]＜1＋nt ， 整理得n (2t 2－t )＞t 2－3t ＋1，① n (t －2t 2)＞2t －t 2－1.②若2t 2－t ＜0，取正整数N 0＞t 2－3t ＋12t 2－t， 则当n ＞N 0时，n (2t 2－t )＜(2t 2－t )N 0＜t 2－3t ＋1， 与①式对于任意n ∈N *恒成立相矛盾，因此2t 2－t ≥0. 同样根据②式可得t －2t 2≥0， 所以2t 2－t ＝0.又t ＞0，所以t ＝12.经检验当t ＝12时，①②两式对于任意n ∈N *恒成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12.。

高考数学小题强化训练50篇(提升版)8个填空题+4个解答题 (含详细参考答案)班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练一一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分． 1.给出以下结论：①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”； ②“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件；③命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”． 则其中错误的是________．(填序号)2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧sin 5πx 2，x ≤0，16－log 3x ，x ＞0，则f (f (33))＝________．3.连续抛掷两枚骰子分别得到的点数是a ，b ，则函数f (x )＝ax 2－bx 在x ＝1处取得最值的概率是________．4.设S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和．若a 4·a 8＝2a 10，则S 3的最小值为________．5.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是____________．(第6题)6.如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________．7.已知a >0，b >0，则a 2a ＋b ＋2b2b ＋a的最大值为________.8.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一的零点，则a ＝________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知M ，N 分别为线段BB 1，A 1C 的中点，MN 与AA 1所成角的大小为90°，且MA 1＝MC .求证：(1)平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1； (2)MN ∥平面ABC .10.(本小题满分14分)已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈(0，π2)，且m ⊥n .(1)求cos2α的值；(2)若sin(α－β)＝1010，且β∈(0，π2)，求角β的值．11.(本小题满分16分)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，求证：∠OMA ＝∠OMB .12.(本小题满分16分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝24，S 7＝63. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2a n ＋(－1)n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练二一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i (i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第________象限．2.设集合A ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则A ∪B ＝____________．3.若θ∈(0，π4)，且sin2θ＝14，则sin(θ－π4)＝________．4.已知一个正方体的外接球体积为V 1，其内切球体积为V 2，则V 1V 2的值为________.5.记等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝3，且数列{S n }也为等差数列，则a 11＝________．6.在▱ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 是CD 上一点，且AE →＝12AB →＋BC →，|AB →|＝λ|AD →|.若AC →·EB →＝12AD → 2，则λ＝________．7.设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R ，若对任意x 2＞x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＜x 2－x 1恒成立，则实数m 的取值范围是__________．8.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则1（x －y ）2＋1（x ＋y ）2的最小值为________． 二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求cos ∠ADB 的值；(2)若DC ＝22，求BC 的值．10.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(点E与点A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.11.(本小题满分16分)如图所示的某种容器的体积为90πcm3，它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为rcm.圆锥的高为h1cm，母线与底面所成的角为45°；圆柱的高为h2cm.已知圆柱底面造价为2a元/cm2，圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为2a元/cm2.(1)将圆柱的高h2表示为底面圆半径r的函数，并求出定义域；(2)当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径r为多少？12.(本小题满分16分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且2n＋1，S n，a成等差数列(n∈N*)．(1)求a的值及数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝(2n－1)a n，求数列{b n}的前n项和T n.班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练三一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |14≤2x ≤64，x ∈N ，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，则A ∩B 的子集的个数是________．2.设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的__________条件． 3.已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距为________．4.已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n .若对任意的n ∈N *，总有S n T n ＝3n＋14，则a 3b 3＝________．5.已知在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，P 是线段BC 上的一个动点，则AP →·DP →的取值范围是________．(第7题)6.已知函数f (x )＝sin x (x ∈[0，π])和函数g (x )＝12tan x 的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为________．7.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋2，x >1，若函数f (x )有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值； (2)记f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．10.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝4，直线l ：4x ＋3y －20＝0.A (45，35)为圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O作MN 的垂线交l 于点P .(1)若MN ∥l ，求△PMN 的面积；(2)判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．11.(本小题满分16分)某农场有一块农田，如图，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ. (1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．12.(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n，求数列{c n }的前n 项和T n .班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练四一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.已知集合A ＝{x |2≤x <4}，B ＝{x |x >a }，若A ∩B ＝{x |3<x <4}，则实数a ＝________．2.已知f (x )＝ax 5＋bx 3＋sin x －8，且f (－2)＝10，那么f (2)＝________．3.已知sin θ－cos θ＝43，θ∈(3π4，π)，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝________．4.记函数f (x )＝3－2x －x 2的定义域为D .在区间[－4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．5.在三棱锥ABCD 中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF ＝FD .若三棱锥ABEF 的体积为2，则四棱锥BECDF 的体积为________．6.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝4.若等边三角形P AB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC 的最大值为________．7.设数列{a n }满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *)，则k ＝1100(a k a k ＋1)的值为________．8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0＜x ≤1，|ln （x －1）|，x ＞1.若方程f (x )＝kx －2有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求A 的值；(2)求边AC 上的高．10.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°. (1)求证：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．11.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，求证：f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<a －2.12.(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ＋1－a n，数列{b n }的前n 项和为T n ，n ∈N *，求证：T n <2.班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练五一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.欧拉公式e xi ＝cos x ＋i sin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e －3i 表示的复数在复平面中位于第________象限．2.某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为________．3.在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ＝2，现向矩形ABCD 内随机投掷质点P ，则满足P A →·PB →≥0的概率是________． 4.已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b|的最大值与最小值的和为________．(第5题)5.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图所示，则该函数的解析式是______________．6.若抛物线x 2＝4y 的弦AB 过焦点F ，且AB 的长为6，则弦AB 的中点M 的纵坐标为________．7.已知数列{a n }满足a 1＝0，数列{b n }为等差数列，且a n ＋1＝a n ＋b n ，b 15＋b 16＝15，则a 31＝________．8.已知函数f (x )＝x (a －1ex )，曲线y ＝f (x )上存在两个不同的点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a的取值范围是__________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos(B －π6)．(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．10.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ⊥AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．求证： (1)B 1C 1∥平面A 1DE ；(2)平面A 1DE ⊥平面ACC 1A 1.11.(本小题满分16分)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中x %(0<x <100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30，0<x ≤30，2x ＋1 800x －90，30<x <100(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义．12.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练六一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分． 1.若A ＝{x ||x |＜3}，B ＝{x |2x ＞1}，则A ∩B ＝________．2.电视台组织的中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是“立德树人”“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国优秀传统文化”“创新能力”．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是________．3.将函数y ＝3sin(2x －π6)的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数解析式为____________．4.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则y ＋1x的取值范围是________．(第5题)5.如图，从热气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时热气球的高度是60m ，则河流的宽度BC ＝________．6.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a的取值范围是________．7.已知O 为矩形P 1P 2P 3P 4内的一点，满足OP 1＝4，OP 3＝5，P 1P 3＝7，则OP 2→·OP 4→＝________．8.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－（x －1）2，0≤x <2，f （x －2），x ≥2.若对于正数k n (n ∈N *)，直线y ＝k n x 与函数y ＝f (x )的图象恰有(2n ＋1)个不同的交点，则数列{k 2n }的前n 项和为________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1.求证： (1)AB ∥平面A 1B 1C ；(2)平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .10.(本小题满分14分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c tan C ＝3(a cos B ＋b cos A )． (1)求角C ；(2)若c ＝23，求△ABC 面积的最大值．11.(本小题满分16分)某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x (百套)的销售额(单位：万元)P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8，0<x ≤5，14.7－9x －3，x >5.(1)该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？(2)试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． (注：利润＝销售额－成本，其中成本＝设计费＋生产成本)12.(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点A (0，1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练七一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B ＝{x |1＜x ≤3}，则A ∪B ＝____________．2.已知复数z ＝(1＋i )(1＋2i )，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤1，11－x，x ＞1，则f (f (－2))＝________．4.已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则mn＝________．5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思如下：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了________．6.已知sin α＝3sin(α＋π6)，则tan(α＋π12)＝________．7.已知经过点P (1，32)的两个圆C 1，C 2都与直线l 1：y ＝12x ，l 2：y ＝2x 相切，则这两圆的圆心距C 1C 2等于________.8.已知函数f (x )＝log 2(ax 2＋2x ＋3)，若对于任意实数k ，总存在实数x 0，使得f (x 0)＝k 成立，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝EC ＝12AA 1.求证：(1)AC 1∥平面BDE ； (2)A 1E ⊥平面BDE .10.(本小题满分14分)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，a 2＝3，且a 3，a 5，a 8成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n cos a n π2，求数列{b n }的前2018项和．11.(本小题满分16分) 为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD 建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG (图中阴影部分)．以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy (如图)．景观湖的边界曲线符合函数y ＝x ＋1x (x >0)模型．园区服务中心P 在x 轴正半轴上，PO ＝43百米．(1)若在点O 和景观湖边界曲线上一点M 之间修建一条休闲长廊OM ，求OM 的最短长度； (2)若在线段DE 上设置一园区出口Q ，试确定Q 的位置，使通道PQ 最短．12.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，且椭圆经过点A (2，0)和点(1，3e )，其中e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)过点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，点M 在直线l 上，且OM ＝MA .若MF 1⊥BF 2，求直线l 的斜率．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练八一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分． 1.若向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，则|a －2b|＝________．2.在同一平面直角坐标系中，函数y ＝sin(x ＋π3)(x ∈[0，2π))的图象和直线y ＝12的交点的个数是________.3.由命题“存在x 0∈R ，使得e |x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是________．4.已知圆柱M 的底面圆半径为2，高为6，圆锥N 的底面圆直径和母线长相等，若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为________．5.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．6.设定义在R 上的偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．7.设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，则k 的值为________．8.已知直线y ＝kx ＋2－2k 与曲线y ＝2x －3x －2交于A ，B 两点，平面上的动点P 满足|P A →＋PB →|≤2，则|PO →|的最大值为________.二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)如图，在正四棱锥VABCD 中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点．求证： (1)EF ∥平面ABCD ； (2)平面VBD ⊥平面BEF .10.(本小题满分14分) 如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200m ，斜边AB ＝400m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F .(1)若甲、乙都以每分钟100m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2)设∠CEF ＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲、乙之间的距离ym 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．11.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设P 为圆O ：x 2＋y 2＝2上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足PQ→＝2MQ →.(1)求证：当点P 运动时，点M 始终在一个确定的椭圆上； (2)过点T (－2，t )(t ∈R )作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B . ①求证：直线AB 过定点(与t 无关)；②设直线AB 与(1)中的椭圆交于C ，D 两点，求证：ABCD≤ 2.12.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋t ，x ＜0，x ＋ln x ，x ＞0，其中t 是实数．设A ，B 为该函数图象上的两点，横坐标分别为x 1，x 2，且x 1<x 2.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若x 2<0，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，求x 1－x 2的最大值．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练九一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．3.如图，在△ABC 中，已知AN →＝12AC →，P 是BN 上一点．若AP →＝mAB →＋14AC →，则实数m 的值是________．(第2题)(第3题)(第4题)4.如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1DEF 的体积为________．5.已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋y －4≥0，x ≤3，则2x 3＋y 3x 2y的取值范围是________．6.若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为________．7.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n （2n －1）（2n ＋1－1）的前k 项的和不小于2 0182 019，则k 的最小值为________．8.在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin2C ＝c sin B . (1)求角C ；(2)若sin(B －π3)＝35，求sin A 的值．10.(本小题满分14分)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b . (1)当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．11.(本小题满分16分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)求证：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.求证：|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．12.(本小题满分16分)设等差数列{a n }是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数．(1)设数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝S na n－1，n ∈N *.①若a 2＝5，S 5＝40，求b 2的值； ②若数列{b n }为等差数列，求b n .(2)求证：数列{a n }中存在三项(按原来的顺序)成等比数列．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练十一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.若复数(a －i )(1－i )(a ∈R )的实部与虚部相等，则实数a ＝________．2.在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．3.执行下面的流程图，输出的T ＝________．4.已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 2＝a 4，则S 4a 2＋a 5＝________．5.已知点P (1，22)在角θ的终边上，则sin(2θ＋π2)＋sin(2θ＋2π)＝________．6.从x 2m －y2n＝1(其中m ，n ∈{－1，2，3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为________．7.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：x ＋2y ＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝5相切，且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为________．8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤0，e x －1，x ＞0，若函数y ＝f (x )－2x ＋t 有两个零点，则实数t 的取值范围是______________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值．10.(本小题满分14分)如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到点A 的距离分别为20km 和50km .某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8s 后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5km /s .(1)设A 到P 的距离为xkm ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．11.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)． (1)若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．12.(本小题满分16分) 已知函数f (x )＝e x －ax 2.(1)若a ＝1，求证：当x ≥0时，f (x )≥1；(2)若f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点，求实数a 的值．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练十一一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.若集合A ＝{x ∈Z |x 2＋x －12＜0}，B ＝{x |x <sin5π}，则A ∩B 中元素的个数为________．2.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 是________．i ←1Whilei <6 i ←i ＋2 S ←2i ＋3 EndWhile PrintS3.已知首项为负数的等差数列{a n }中，a 5a 4<－1，若S n 取到最小正数，则此时的n ＝________．4.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 24＝1的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为________．5.已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －2y ＋3≥0，x ≤a表示的可行域为D ，其中a >1，点(x 0，y 0)∈D ，点(m ，n )∈D .若3x 0－y 0与n ＋1m的最小值相等，则实数a ＝________．6.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线l 恰好是曲线y ＝x 3－3x 2＋22x 在原点处的切线，左顶点到一条渐近线的距离为263，则双曲线的标准方程为__________．7.将函数y ＝3sin(π4x )的图象向左平移3个单位长度，得函数y ＝3sin(π4x ＋φ)(|φ|<π)的图象(如图)，点M ，N 分别是函数f (x )图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点．设∠MON ＝θ，则tan(φ－θ)的值为________．8.已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝32，AB →·AC →＝－18. (1)求BC 的长； (2)求tan2B 的值．10.(本小题满分14分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并求S n 的最小值．11.(本小题满分16分)曲线f (x )＝x 2－a 2ln x 在点(12，f (12))处的切线斜率为0.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若g (x )＝f (x )＋12mx 在区间(1，＋∞)上没有零点，求实数m 的取值范围．12.(本小题满分16分)如图，圆柱体木材的横截面半径为1dm ，从该木材中截取一段圆柱体，再加工制作成直四棱柱A 1B 1C 1D 1ABCD ，该四棱柱的上、下底面均为等腰梯形，分别内接于圆柱的上、下底面，下底面圆的圆心O 在梯形ABCD 内部，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AA 1＝AD ，设∠DAO ＝θ. (1)求梯形ABCD 的面积；(2)当sin θ取何值时，四棱柱A 1B 1C 1D 1ABCD 的体积最大？并求出最大值．(注：木材的长度足够长)班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练十二一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.已知集合A ＝{x ∈R |log 12(x －2)≥－1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |2x ＋63－x ≥1，则A ∩B ＝________． 2.设向量a ＝(2，m )，b ＝(1，－1)，若b ⊥(a ＋2b )，则实数m ＝________．3.已知正五边形ABCDE 的边长为23，则AC →·AE →的值为________．4.正方形铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，剪下一个顶角为π4的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于________cm 3.5.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________．6.已知sin α＝55，α∈(0，π2)，tan β＝13，则tan(α＋2β)＝________．7.已知a >0，函数f (x )＝x (x －a )2和g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a 存在相同的极值点，则a ＝________.8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x <a ，－2x ，x ≥a ，若关于x 的不等式f (x )>4a 在实数集R 上有解，则实数a 的取值范围是____________.二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C 的值；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．10.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为梯形，CD ∥AB ，AB ＝2CD,AC 交BD 于点O ，锐角三角形P AD 所在平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥BD ，点Q 在侧棱PC 上，且PQ ＝2QC .求证： (1)P A ∥平面QBD ； (2)BD ⊥AD .11.(本小题满分16分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且FB ·AB ＝6 2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQ PQ ＝524sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．12.(本小题满分16分)如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路CDEF ，且CD ，DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE＝t 百米，记修建每1百米参观线路的费用为f (t )万元，经测算f (t )＝⎩⎨⎧5，0＜t ≤13，8－1t ，13<t <2.(1)用t 表示线段EF 的长；(2)求修建该参观线路的最低费用．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练十三一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．(第3题)1.已知复数z ＝2＋i1－i (i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为________．2.若tan(α－π4)＝16，则tan α＝________．3.执行如图所示的程序框图，若a ＝2018，则输出的S ＝________．4.设等边三角形ABC 的边长为1，t 为任意的实数，则|AB →＋tAC →|的最小值为________．5.已知函数f (x )＝2sin x ＋1(x ∈[0，2π])，设h (x )＝|f (x )|－a ，则当1<a <3时，函数h (x )的零点个数为________．6.已知函数f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1在x ∈[－1，3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．7.已知x ＞y ＞0，且x ＋y ≤2，则4x ＋3y ＋1x －y的最小值为________．8.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.若椭圆上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是______________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面分别与PB ，PC 交于点E ，F .求证： (1)平面PBC ⊥平面PCD ； (2)AD ∥EF .10.(本小题满分14分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点(－3，12)在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为H ，O 为坐标原点，且OH ＝1，求△POQ 面积的最大值．11.(本小题满分16分)如图，圆O 是一块半径为1米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形ABCDFGE .其中AD 为圆O的直径，点B ，C ，G 在圆O 上，BC ∥AD ，点E ，F 在AD 上，且OE ＝OF ＝12BC ，EG ＝FG .(1)设∠AOB ＝θ，试将多边形ABCDFGE 面积S 表示成θ的函数关系式； (2)求多边形ABCDFGE 面积S 的最大值．12.(本小题满分16分)已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立． (1)若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1<13恒成立，求正实数b 1的取值范围；(3)若a 1＝2，b n ＝2n ，是否存在两个互不相等的整数s ，t (1<s <t )，使A 1B 1，A s B s ，A tB t成等差数列？若存在，求出s ，t 的值；若不存在，请说明理由．班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练十四一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.设全集U ＝{x |x ≥2，x ∈N }，集合A ＝{x |x 2≥5，x ∈N }，则∁U A ＝________．2.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各八名学生在一次数学测试中的成绩(单位：分)，规定85分以上(含85分)为优秀，现分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的数学成绩，则两人成绩都为优秀的概率是________． 错误!(第2题) (第3题) (第5题)3.如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为14，则阴影部分的面积为________．4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏．5.如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形．若AB ＝2，∠BAD ＝60°，则当四棱锥P ABCD 的体积等于23时，PC ＝________．6.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右端点分别为A ，B ，点C (0，2b )．若线段AC 的垂直平分线过点B ，则双曲线的离心率为________．7.在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，AB →·AD →＝－1，点M 在边CD 上，则MA →·MB →的最大值为________．8.已知函数f (x )＝x (e x －e －x )－(2x －1)(e 2x －1－e 1－2x )，则满足f (x )>0的实数x 的取值范围是________． 二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 9.(本小题满分14分)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (－35，－45)．(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．。

小题提速练(三)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤6}，B ＝{x ∈R |x 2－3x ＞0}，则A ∩B ＝( ) A ．{3，4，5，6} B ．{x |3＜x ≤6} C ．{4，5，6}D ．{x |x ＜0或3＜x ≤6}解析：选C.依题意得A ＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{x |x ＜0或x ＞3}，因此A ∩B ＝{4，5，6}，选C. 2．已知a ＋ii＝b ＋2i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a －b ＝( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1解析：选A.依题意得1－a i ＝b ＋2i ，因此a ＝－2，b ＝1，a －b ＝－3，选A.3．某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为( )A.35 B ．25 C.15D ．310解析：选B.将3名男生记为M 1，M 2，M 3，2名女生记为W 1，W 2，从这5名志愿者中选出2名的基本事件为(M 1，M 2)，(M 1，M 3)，(M 1，W 1)，(M 1，W 2)，(M 2，M 3)，(M 2，W 1)，(M 2，W 2)，(M 3，W 1)(M 3，W 2)，(W 1，W 2)，共有10种，其中所选的2名志愿者性别相同的基本事件为(M 1，M 2)，(M 1，M 3)，(M 2，M 3)，(W 1，W 2)，共有4种，因此选出的2名志愿者性别相同的概率为410＝25，选B.4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．96里B ．48里C ．192里D ．24里解析：选 A.依题意得，该人每天所走的路程依次排列形成一个公比为12的等比数列．记为{a n }，其前6项和等于378，于是有a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，解得a 1＝192，因此a 2＝12a 1＝96，即该人第二天走了96里，选A.5．已知抛物线x 2＝8y 与双曲线y 2a2－x 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选B.设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 20a 2－x 20＝1，9a 2－24＝1，a 2＝925，所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B. 6．如图所示的程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m 、n 分别为495，135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90解析：选C.执行程序框图，m ＝495，n ＝135，r ＝90，m ＝135，n ＝90，不满足退出循环的条件；r ＝45，m ＝90，n ＝45，不满足退出循环的条件；r ＝0，m ＝45，n ＝0，退出循环．故输出的m ＝45，选C.7．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO →＝AB →＋AC →，且|OA →|＝|AB →|，则向量CA →在向量CB →方向上的投影为( )A.12 B ．－32C ．－12D ．32解析：选D.依题意知，圆心O 为BC 的中点，即BC 是△ABC 的外接圆的直径，AC ⊥AB .又AO ＝OB ＝AB ＝1，因此∠ABC ＝60°，∠ACB ＝30°，|CA →|＝ 3，CA →在CB →方向上的投影为|CA →|cos 30°＝3×32＝32，选D.8．已知x ，y ∈N *且满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＜1，2x －y ＞2，x ＜5，则x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．4C ．6D ．7解析：选C.依题意，画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示及直线x ＋y ＝0，平移该直线，因为x ，y ∈N *，所以易知目标函数在点(3，3)处取得最优解，所以(x ＋y )min ＝6，故选C.9．定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω＞0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.14 B ．54 C.74D ．34解析：选B.依题意得f (x )＝ 3cos ωx －sin ωx ＝ 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，且函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＝ 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2ωπ3＋π6是偶函数，于是有2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫k －16，k ∈Z .又ω＞0，所以ω的最小值是32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16＝54，选B.10．设曲线f (x )＝ m 2＋1cos x (m ∈R )上任一点(x ，y )处的切线斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )解析：选D.依题意得g (x )＝－ m 2＋1sin x ，y ＝x 2g (x )＝－ m 2＋1x 2sin x ，易知函数y ＝－ m 2＋1x 2sinx 是奇函数，其图象关于原点中心对称，故B ，C 均不正确，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－ m 2＋1x 2sin x ＜0，故选D.11．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB ．169πC.4（2－1）3πD ．12（2－1）3π解析：选A.依题意知，题中的工件形状是一个底面半径为1、高为2的圆锥，设新工件的长、宽、高分别为a ，b ，c ，截去的小圆锥的底面半径、高分别为r ，h ，则有a 2＋b 2＝4r 2，h ＝2r ，该长方体的体积为abc ＝ab (2－2r )≤（a 2＋b 2）（2－2r ）2＝4r 2(1－r )．记f (r )＝4r 2(1－r )，则有f ′(r )＝4r (2－3r )，当0＜r ＜23时，f ′(r )＞0，当23＜r ＜1时，f ′(r )＜0，因此f (r )＝4r 2(1－r )的最大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1627，则原工件材料的利用率为1627÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13π×12×2＝89π，选A.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋2x ＋2，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4的取值范围是( ) A ．(－3，＋∞) B ．(－∞，3) C ．[－3，3)D ．(－3，3]解析：选D.在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，当且仅当a ∈(0，2]时，直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有4个不同的交点，即方程f (x )＝a 有四个不同的解，此时有x 1＋x 2＝－4，|log 2x 3|＝|log 2x 4|(0＜x 3＜1＜x 4≤4)，即有－log 2x 3＝log 2x 4，x 3x 4＝1，所以x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4＝x 4－4x 4(1＜x 4≤4)，易知函数y ＝x 4－4x 4在区间(1，4]上是增函数，因此其值域是(－3，3]，选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设命题p ：2x －1≤1，命题q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：解不等式2x －1≤1，得12≤x ≤1，故满足命题p 的集合P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，解不等式(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，得a ≤x ≤a ＋1，故满足命题q 的集合Q ＝[a ，a ＋1]．又q 是p 的必要不充分条件，则P 是Q 的真子集，即a ≤12且a ＋1≥1，解得0≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1214．在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝2，D 为AB 的中点，△BCD 的面积为334，则AC 等于________．解析：因为S △BCD ＝12BD ·BC sin B ＝12×1×BC sin π3＝334，所以BC ＝3.由余弦定理得AC 2＝4＋9－2×2×3cos π3＝7，所以AC ＝7.答案：715．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线为l .若l 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．解析：依题意得，y ′⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＝1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x x ＝1＝2，切线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y 得ax 2＋(a ＋2)x ＋1＝2x －1，即ax 2＋ax ＋2＝0，Δ＝a 2－8a ＝0(a ≠0)，解得a ＝8(a ＝0舍去)．答案：816．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P 作∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M ，若2|PM |2＝|PF 1|·|PF 2|，则该椭圆的离心率为________．解析：在△PF 1F 2中，由角平分线定理，得|PF 1||PF 2|＝|F 1M ||F 2M |，即|PF 1||PF 1|＋|PF 2|＝|F 1M ||F 1M ＋F 2M |.由椭圆定义得|PF 1|2a ＝|F 1M |2c ⇒c a ＝|F 1M ||PF 1|.同理c a ＝|F 2M ||PF 2|. 又在△PF 1M 和△PF 2M 中，由余弦定理得cos ∠F 1MP ＋cos ∠F 2MP ＝0.即|PM |2＋|F 1M |2－|PF 1|22|PM |·|F 1M |＋|PM |2＋|F 2M |2－|PF 2|22|PM |·|F 2M |＝0，⇒(|PM |2＋|F 1M ||F 2M |)(|F 1M |＋|F 2M |)＝|PF 1|2|F 2M |＋|PF 2|2|F 1M |⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1||PF 2|＋c 2a 2|PF 1||PF 2|×2c ＝c a |PF 1|2|PF 2|＋c a |PF 2|2|PF 1|⇒⎝⎛⎭⎪⎫1＋2c 2a 2c ＝ca (|PF 1|＋|PF 2|) 即1＋2e 2＝2，解得e＝22.答案：2 2。