高中数学函数综合小题强化训练试题合集

2019年高一年级数学单元测试卷函数综合问题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π- (B)2,6π- (C)4,6π- (D)4,3π（2013年高考四川卷（理））2．函数y =--------------------------------------------------------------------------（ ）(A)最小值1 (B)最小值0，无最大值 (C)最大值2 (D)，无最小3．如果log 2log 20a b >>，那么------------------------------------------------（ ）(A)1a b << (B)1b a << (C)01a b <<< (D)01b a <<<4．函数()244,143,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩的图象和函数()2log g x x =的图象的交点个数是（ ）(07湖南)A ．4B ．3C ．2D ．1B ．二、填空题5．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数， 若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则x 1+x 2+x 3+x 4=_____.6． 已知函数f (x )＝x 2＋t 的图象与函数g (x )＝ln|x |的图象有四个交点，则实数t 的取值范围为 ▲ ．7．已知函数()(01)x f x a a a =>≠且在[1,2]上最大值比最小值大2a ，则a 的值为 .8．函数y 的定义域为 ▲ .9．给出以下四个数：2ln 2ln ),2ln(ln ,)2(ln 2与，其中最大的数为10．若关于x 的不等式：2220x x a +++>的解集为R ，则实数a 的取值范围为 。

专题强化训练四三角恒等变换(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.cos27°cos57°-sin27°cos147°等于( )A. B.- C. D.-【解析】选A.原式=cos27°cos57°-sin27°cos(180°-33°)=cos27°cos57°+sin27°cos33°=cos27°cos57°+sin27°sin57°=cos(57°-27°)=cos30°=.2.化简cos2-sin2得( )A.sin2αB.-sin2αC.cos2αD.-cos2α【解析】选A.cos2-sin2=cos=sin2α.3.已知tanα=2,α为第一象限角,则sin2α+cosα的值为( )A. B.C. D.【解析】选C.由tanα=2=,sin2α+cos2α=1,α为第一象限角可得sinα=,cosα=,所以sin2α=2sinαcosα=2××=,所以sin2α+cosα=.4.(2018·承德高一检测)设α为锐角,若cos=,则sin的值为( ) A. B. C.- D.-【解析】选B.因为α为锐角,cos=,所以α+∈,所以sin==.则sin=2sin cos=2××=.5.已知α,β∈,sinα=,cosβ=,则α-β等于( )A.-B.C. D.-或【解析】选A.因为α,β∈,sinα=,cosβ=,所以cosα=,sinβ=.所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=,又sinα<sinβ,所以-<α-β<0,故α-β=-.6.已知函数f(x)=sinx+cosx的图象关于直线x=a对称,则最小正实数a的值为( )A. B. C. D.【解析】选A.因为f(x)=sinx+cosx=2=2sin,所以其对称轴方程为x+=kπ+,k∈Z.解得:x=kπ+,k∈Z.又函数f(x)=sinx+cosx的图象关于直线x=a 对称,所以a=kπ+,k∈Z.当k=0时,最小正实数a的值为.二、填空题(每小题4分,共12分)7.满足sinx+cosx=的角x等于________. 【解析】sinx+cosx=cosxcos+sinxsin=cos=,因为-<x<0,所以x-=-,即x=-.★答案★:-8.已知tan=3,则sin2θ-2cos2θ=________.【解析】因为tan=3,所以=3,所以tanθ=.sin2θ-2cos2θ=====-.★答案★:-9.(2018·苏州高一检测)已知α是第一象限的角,且cosα=,则的值为________.【解析】因为α是第一象限的角,cosα=,所以sinα=,所以=====-.★答案★:-三、解答题(每小题10分,共20分)10.已知函数f(x)=2cos(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值.(2)设α,β∈,f=-,f=,求cos(α-β)的值.【解析】(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π,所以10π=,所以ω=.(2)因为f=-,所以2cos=2cos=-,所以sinα=.又因为f=,所以2cos=2cosβ=,所以cosβ=,因为α,β∈,所以cosα=,sinβ=,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=.11.已知tanα=2.(1)求tan的值.(2)求的值.【解析】(1)tan===-3.(2)====1.。

第4讲函数的极值、最值（3大考点+强化训练）【知识导图】【考点分析】考点一利用导数研究函数的极值判断函数的极值点，主要有两点(1)导函数f ′(x )的变号零点，即为函数f (x )的极值点．(2)利用函数f (x )的单调性可得函数的极值点．一、单选题1．（2023下·上海青浦高级中学校考期中）对于以下结论：①若公比[)()1,00,1q ∈-⋃，那么等比数列前n 项和存在极限；②k a 为数列{}n a 最大的项，那么k n a a >对任意的n （n ∈N ，0n >，n k ≠）都成立；③函数()f x 的导数为()f x '，若()00f x '=，那么0x x =为函数的极值点；④函数()f x 的导数为()f x '，若()0f x '≥恒成立，那么()f x 是严格增函数.正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题三、解答题考点二利用导数研究函数的最值1．求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值．(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )．(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．一、单选题1．设函数()ln f x x ax =+，若存在()00x ∈+∞,，使()00f x >，则a 的取值范围是（）二、填空题三、解答题考点三极值、最值的简单应用一、单选题C．()23，D．[]34，二、多选题三、填空题四、解答题【强化训练】一、单选题1．设函数()cos f x x x =的一个极值点为m ，则tan 4m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．11m m -+B ．11m m +-C ．11m m -+D ．11m m+-2．（2023单元测试）已知函数()ln f x ax x x =-与函数()e 1xg x =-的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（）A ．(],1e -∞-B ．1e ,2-⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(),1e -∞-D ．1e ,2-⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3．若函数32()34()f x x ax a R =-+∈在区间(0,)+∞内有且仅有一个零点，则()f x 在区间[1,4]-上的最大值为（）A ．4B ．10C ．16D ．204．已知函数()()21ln 2k f x k x x x =-++，有以下命题：①当12k =-时，函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；②当0k ≥时，函数()f x 在()0,+∞上有极大值；③当102k -<<时，函数()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；④当12k <-时，函数()f x 在()0,+∞上有极大值12f ⎛⎫⎪⎝⎭，有极小值()f k -．其中不正确命题的序号是A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④5．已知函数()x f x a x xe =-+，若存在01x >-，使得()0 0f x ≤，则实数a 的取值范围为：（）A ．[0,)+∞B ．(,0]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞6．函数()2x x f x e=的极小值为（）A ．0B ．1eC ．2D ．24e 二、多选题三、填空题四、解答题13．函数()()ln 1f x x a x a R =-+∈．（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若3a =，证明：()()1f x ef x -≥(e 为自然对数的底数)．(1)防护服的生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品防护服的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检，红外线自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线并由工人进行抽查检验．已知在批次I 的成品防护服的生产中，前三道工序的次品率分别为第四道红外线自动检测显示为合格率为92%抽检也为合格品的概率（百分号前保留两位小数）(2)①已知某批次成品防护服的次品率为p 概率为0p ，在多次改善生产线后批次J 的防护服的次品率批次I 与批次J 防护服的质量；②某医院获得批次I ，J 的防护服捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常使用这两个批次的防护服期间，该院医务人员核酸检测情况的等高堆积条形图如图所示，0.001α=的独立性检验，分析能否认为防护服的质量与感染新冠肺炎病毒有关联？核酸检测结果防护服批次合计IJ呈阳性呈阴性合计附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．()2P x ααχ=≥0.0500.0100.005。

高中数学-幂函数专题强化训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)22．下列函数中值域为R +的是（）A ．12y x =B ．()221y x -=+C ．113x y +=D ．12x y +=3．若幂函数()f x 的图象过点(4,2)，则(2)f 的值为（）A ．12B ．22C D ．24．已知函数()f x 是奇函数，且(2)()f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上是增函数，313(1),(),()23f f f 的大小关系是（）A ．313(1)()()23f f f <<B ．313()(1)()23f f f <<C ．133()(1)()32f f f <<D ．133(()(1)32f f f <<5．已知幂函数f(x)满足f 13⎛⎫⎪⎝⎭=9,则f(x)的图象所分布的象限是()A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第一象限6．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点，则f (2)＝()A ．B ．4C ．D ．7．下列函数中，既是偶函数又在区间()0+∞，上单调递增的是（）A ．21y x =-B ．1y x =-C ．2y x -=D ． 22x xy -=-8．若幂函数()222333mm y m m x+-=++的图象不过原点且关于原点对称，则（）A ．2m =-B ．1m =-C ．2m =-或1m =-D ．31m -≤≤-9．若幂函数()()255af x a a x =--在()0,∞+上单调递增，则=a （）A ．3B ．6C ．2D ．1-10．奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (8)＋f (5)的值为()A ．2B ．1C ．－1D ．－2二、多选题11．下列函数中，在区间()0,2上是增函数的是（）A ．3y x =-B ．21y x =+C ．1y x=-D ．3y x =12．下列命题中是真命题的有A ．幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)B ．幂函数的图象不可能过第四象限C ．当0n >时，幂函数n y x =是增函数D ．当0n <时，幂函数n y x =在第一象限内函数值随x 值的增大而减小13．已知幂函数()()2mf x m x =-，则（）A ．3m =B ．定义域为[)0,∞+C ．(1.5)(1.4)m m -<-D 2=三、填空题14．函数()12f x x -=的定义域为_______．15．若一个函数为幂函数，又是二次函数，则该函数的表达式为______．16．已知()f x 为幂函数，若1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x =________．17．幂函数()f x x α=的图像经过点，则1()4f 的值为____．18．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()25f =___________.19．已知函数21()(3)m f x m x -=-是幂函数，则实数m =___________.20．已知幂函数2232(5)m m y m m x --=--在区间()0,∞+是减函数，则实数m 的值是_______.21．已知幂函数()()22nf x n n x =-在()0,∞+上单调递减，则实数n 的值为___________.22．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，()11x f x x e e=- ，则曲线()y f x =在点()12，处的切线方程是______．23．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足：()()()+xf xg x e e =是自然对数的底，则()()()()()21212222n n ng g g g f -⋅=_____________.四、解答题24．已知函数2()lg[(1)]f x x a x a =+--．（1）求函数()f x 的定义域．（2）若()f x 为偶函数，求实数a 的值．25．已知幂函数()f x 的图象过点()2,4.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()48h x f x x =--在[],2k k +上是单调函数，求实数k 的取值范围.26．已知函数()()3log 0,16axf x a a x-=>≠-．(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)当0<a<1时，求函数f(x)的单调区间．27．已知函数()()20f x x mx m =->在区间[]0,2上的最小值为()g m ．（1）求函数()g m 的解析式．（2）定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()()h x g x =．若()()4h t h >，求实数t 的取值范围．28．已知幂函数()232mm f x m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递增.(1)求m 的值；(2)设函数()()g x f x x =+，求关于a 的不等式()()21g a g a +>-的解集.参考答案：1．B 【解析】【详解】试题分析：因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域．2．D 【解析】【分析】利用指数函数或幂函数的性质，分别求出函数的值域即可．【详解】解：对A.120y x =≥，不符合；对B.22,(11)y t t x -==+≥，此时01y <≤，不符合；对C.13,(0)1ty t x ==≠+，此时0y <且1y ≠，不符合；对D.2,(1)t y t x R ==+∈，此时0y >，符合．故选D ．【点睛】本题考查复合函数的值域的求法，将内层函数的值域求出并作为外层函数的定义域，难度不大．3．C 【解析】【分析】设()f x x α=，利用待定系数法求出函数解析式，再代入求值即可；【详解】解：设()f x x α=，因为幂函数()f x 的图象过点(4,2)，所以42α=，解得12α=，所以12()f x x =，所以()1222f ==故选：C4．D【解析】【分析】由f（x+2）=﹣f（x），得f（x+4）=f（x），利用函数奇偶性单调性之间的关系，即可比较大小．【详解】∵f（x+2）=﹣f（x），函数f（x）是奇函数，∴f（x+2）=﹣f（x）=f（﹣x），∴函数f（x）关于x=1对称，且f（x+4）=f（x），∴函数是周期为4的周期数列．∵f（x）在[﹣1，0]上是增函数，∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（x）在[1，2]上是减函数，f（133）=f（4+13）=f（13）=f（53），∵f（x）在[1，2]上是减函数，且1＜32＜53，∴f（1）＞f（32）＞f（53），即f（133）＜f（32）＜f（1），故选D．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，利用函数的奇偶性，对称性和单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质，考查学生的转化意识，属于中档题．5．A【解析】【详解】设幂函数()af x x=∵1()9 3f∴1()93a=，即2a =-∴2()f x x -=∴()f x 的图象分布在第一、二象限故选A 6．C 【解析】【分析】设幂函数解析式，将点（4，12）代入，解得参数，从而得解析式，再代入2求函数值.【详解】设f (x )＝xα，因为图像过点（4，12），代入解析式得α＝－12，∴f (2)＝122-=，故选C.【点睛】本题考查了待定系数法求幂函数解析式和求函数值等基础知识.7．B 【解析】A.利用二次函数的性质判；B.利用函数1y x =-的图象判断；C.利用幂函数的性质判断；D.利用函数奇偶性判断.【详解】A.由二次函数的单调性得21 y x =-在()0+∞，上递减，故错误；B.函数1y x =-的图象如图所示：所以函数是偶函数又在区间()0+∞，上单调递增，故正确；C.由幂函数的单调性得2y x -=在()0+∞，上递减，故错误；D.因为()()()2222x x x xf x f x ---=-=--=-，所以函数是奇函数，故错误；故选：B 8．A 【解析】根据幂函数的概念，可得2331m m ++=，进而可求出1m =-或2m =-，然后分两种情况，分别讨论函数的奇偶性，即可选出答案.【详解】根据幂函数的概念，得2331m m ++=，解得1m =-或2m =-，①若1m =-，则4y x -=，令()4f x x -=，其定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()()44f x x x f x ---=-=≠-，显然幂函数为偶函数，不是奇函数，图象不关于原点对称，不符合题意，舍去；②若2m =-，则3y x -=，令()3f x x -=，其定义域为R ，且()()()33f x x x f x ---=-=-=-，即幂函数为奇函数，图象关于原点对称，符合题意.所以2m =-.故选：A.【点睛】关键点睛：利用幂函数的概念，先求出m ，再根据幂函数的性质，进分类讨论，属于基础题9．B 【解析】【分析】根据幂函数的概念可得2551a a --=，然后结合单调性可得0a >，进而可以求出结果.【详解】因为()()255af x a a x =--为幂函数，则2551a a --=，解得6a =或1a =-，又因为在()0,∞+上单调递增，则0a >，因此6a =，故选：B.10．A 【解析】【详解】∵f （x+1）为偶函数，f （x ）是奇函数，∴设g （x ）=f （x+1），则g （-x ）=g （x ），即f （-x+1）=f （x+1），∵f （x ）是奇函数，∴f （-x+1）=f （x+1）=-f （x-1），即f （x+2）=-f （x ），f （x+4）=f （x+2+2）=-f （x+2）=f （x ），f (8)=()00f =，f (5)=()12f =，所以f (8)＋f (5)=2故选A点睛：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的周期是解决本题的关键．11．BCD 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性可得出合适的选项.【详解】函数3y x =-在区间()0,2上是减函数，函数21y x =+、1y x=-、3y x =在区间()0,2上均为增函数.故选：BCD.12．BD 【解析】【分析】根据幂函数的图象与性质，以及合理利用举反例的方法，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，例如幂函数()1f x x -=的图象不经过点(0,0)，所以不正确；对于B 中，根据函数的概念，可得幂函数的图象不可能过第四象限是正确的；对于C 中，例如幂函数()23f x x =在其定义域上不是单调函数，所以不正确；对于D 中，根据幂函数的图象与性质，可得当0n <时，幂函数n y x =在第一象限内是减函数，所以是正确的.故选BD.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的判定及应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质，以及合理利用举反例进行逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.13．AC 【解析】【分析】根据()f x 为幂函数得m 可判断A ；根据幂函数的解析式可判断B ；利用单调性可判断C ；D.【详解】()f x 为幂函数，21m ∴-=，得()33,=∴=m f x x ，A 对；函数()f x 的定义域为R ，B 错误；由于()f x 在R 上为增函数，331.5 1.4,(1.5)(1.4)-<-∴-<-，C 对；()3228f ==，=，D 错误，故选：AC.14．()0,∞+【解析】将函数解析式变形为()f x=.【详解】()12f x x-= 0x >.因此，函数()12f x x -=的定义域为()0,∞+.故答案为：()0,∞+.15．2y x =【解析】【分析】设幂函数为,y x R =Îa a ，根据该函数为二次函数，即可求出α的值，进而求出结果.【详解】设幂函数为,y x R =Îa a ，又y x α=是二次函数，所以2α=，所以2y x =.故答案为：2y x =.16．12x 【解析】设函数()a f x x =，代入1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求解.【详解】因为()f x 为幂函数，设()af x x =，因为1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1142⎛⎫= ⎪⎝⎭a，12a =.故答案为：12x .17．2【解析】【详解】因为幂函数11422y x ααα=∴=∴=-，因此可知f(14)=218．5【解析】【分析】设()y f x x α==，根据函数过点(，即可求出α的值，即可取出函数解析式，再代入计算可得；【详解】解：设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =的图象过点(，所以()22f α==12α=，所以()12f x x =，所以()1225255f ==故答案为：519．2±【解析】根据幂函数的定义求解即可.【详解】因为21()(3)m f x m x -=-是幂函数，所以231m -=，解得2m =±，故答案为：2±20．3【解析】【分析】由幂函数的定义可构造方程求得m ，代入解析式验证，满足在()0,∞+上为减函数的即为结果.【详解】()22325m m y m m x --=-- 为幂函数251m m ∴--=，解得：2m =-或3当2m =-时，函数为8y x =，在区间()0,∞+上是增函数，不合题意当3m =时，函数为2y x -=，在区间()0,∞+上是减函数，符合题意综上所述：3m =故答案为：3【点睛】本题考查根据幂函数的定义与性质求解参数值的问题，关键是熟练掌握幂函数的定义，并能根据解析式特征确定函数的单调性.21．12-##0.5-【解析】【详解】由题意，幂函数()()22n f x n n x =-，可得221n n -=，解得1n =或12n =-，当12n =-时，函数12y x -=在区间()0,∞+上单调递减，符合题意；当1n =时，函数y x =在区间()0,∞+上单调递增，不符合题意，所以实数n 的值为12-.故答案为：12-.22．2y x=【解析】【详解】已知()f x 为偶函数，且当0x ≤时，()1x f x ex --=-，当0x >，则0x -<，()()1x f x f x e x -∴=-=+，∴()1'1x f x e -=+，∴()0'112f e =+=．∴曲线()y f x =在点()12，处的切线方程是()221y x -=-，即2y x =．答案：2y x =．23．221ee -【解析】【详解】∵()()+x f x g x e =,()f x 和()g x 分别为R 上的奇函数和偶函数,∴()()()()++x f x g x f x g x e ---=-=，∴()()22x x x xe e e ef xg x ---+==，∴(2)2()()f x f x g x =⋅，∴()()()()()()()()()()()()()2121212222112221=1212n n n n n n g g g g f g g g g f f f f --⋅⋅= 221e e =-.24．（1）{|1x x <-或}x a >；（2）1a =.【解析】【详解】试题分析：（1）由()210x a x a +-->即()()10x x a +->，讨论a 和-1的大小求解即可；（2）若()f x 是偶函数，则其定义域关于原点对称，由（1）知，1a =，再检验即可.试题解析：（1）因为()210x a x a +-->即()()10x x a +->，当1a <-时，不等式的解为x a <或1x >-，所以函数()f x 的定义域为{|x x a <或1}x >-．当1a =-时，不等式的解为1x ≠-，所以函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠-．当1a >-时，不等式的解为1x <-或x a >，所以函数()f x 的定义域为{|1x x <-或}x a >．（2）如果()f x 是偶函数，则其定义域关于原点对称，由（1）知，1a =，检验：当1a =时，定义域为{|1x x <-或1}x >关于原点对称，()()2lg 1f x x =-，()()()()22lg 11f x x lg x f x ⎡⎤-=--=-=⎣⎦，因此当1a =时，()f x 是偶函数．25．(1)2()f x x =(2)(,0][2,)-∞+∞ 【解析】【分析】（1）根据幂函数的图象过点（2，4），列方程求出α的值，写出f （x ）的解析式；（2）写出函数h （x ）的解析式，根据二次函数的对称轴与单调性求出k 的取值范围．【详解】解：（1）设()()f x x R αα=∈，因为()f x 的图象过点()2,4，∴(2)24f α==，∴2α=，∴2()f x x =；（2）函数22()()4848(2)12h x f x x x x x =--=--=--，对称轴为2x =；当()h x 在[],2k k +上为增函数时，2k ≥当()h x 在[],2k k +上为减函数时，22k +≤，解得0k ≤所以k 的取值范围是(,0][2,)-∞+∞ 【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．26．（1）见解析；（2）()3,3-【解析】【分析】（1）换元，令x ﹣3=t ，可求t 的范围：﹣3＜t ＜3，这样便得到f （t ）=33at log t +-，从而得出f （x ），并求f （﹣x ），这样即可判断f （x ）的奇偶性；（2）函数f （x ）=33a x log x +-是由函数u=33x x+-和y=log a u 复合而成，根据a 的范围可判断y=log a u 为减函数，从而判断33x u x +=-在（﹣3，3）上单调性，并求其单调区间便可得出函数f （x ）的单调区间．【详解】（1）令x ﹣3=t ，﹣3＜t ＜3，则x=t+3；f （t ）=33a t log t+-；∴()3333a x f x log x x+=--，＜＜；∴()()3333aa x x f x log log f x x x -+-==-=-+-；∴f （x ）为奇函数；（2）令u=33x x +-=()363x x--+-=613x -+-，该函数在（﹣3，3）上为增函数；又0＜a ＜1；∴函数log a u 为减函数；∴复合函数f （x ）单调减区间为（﹣3，3）．【点睛】考查换元法求函数解析式，奇函数的定义，以及根据奇偶函数的定义判断函数奇偶性的方法，复合函数的定义，对数函数的单调性，复合函数单调性的判断方法．27．(1)()2,04 442,4m m g m m m ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩(2)()()4,00,4- 【解析】【分析】（1）函数的对称轴2m x =，讨论对称轴所在的区间即可求解．（2）根据已知定义在()(),00,-∞⋃+∞的函数()h x 为偶函数，再对其单调性进行研究可知()()4h t h >，即04t <<，实数t 的取值范围即可求解．【详解】（1）因为()()222024m m f x x mx x m ⎛⎫=-=--> ⎪⎝⎭，所以当04m <≤时，022m <≤，此时()224m m g m f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．当4m >时，函数()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间[]0,2上单调递减，所以()()242g m f m ==-．综上可知()2,04442,4m m g m m m ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩．（2）因为当0x >时，()()h x g x =，所以当0x >时，()2,04442,4x x h x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩．易知函数()h x 在()0,+∞上单调递减，因为定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()h x 为偶函数，且()()4h t h >，所以04t <<，解得40t -<<或04t <<．综上所述，实数t 的取值范围为()()4,00,4-⋃．【点睛】本题主要考查函数的性质，求二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论是哪种类型，解决的关键是明确对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．28．(1)12(2)1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义得到2312m m +=，解得12m =或2m =-，再由函数()232m m f x m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,+∞上单调递增，做出取舍；（2）根据题意得到()g x 在[)0,+∞上单调递增，列出不等式组，求得结果.(1)因为()232m m f x m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为幂函数，所以2312m m +=，解得12m =或2m =-.当2m =-时，()2f x x -=在()0,+∞上单调递减，不符合题意；当12m =时，()f x =()0,+∞上单调递增，符合题意.综上，m 的值为12.(2)()f x 的定义域为[)0,+∞，且()f x 在[)0,+∞上单调递增.又因为函数y x =在[)0,+∞上单调递增，所以()g x 的定义域为[)0,+∞，且()g x 在[)0,+∞上单调递增.由()()21g a g a +>-，得20,10,21,a a a a +⎧⎪-⎨⎪+>-⎩解得112a -< 故所求不等式的解集为1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

专题强化练2 三个二次(二次函数、二次方程、二次不等式)的综合运用一、选择题1.(2019河南郑州一中高二上期中,)下列不等式的解集为实数集R 的是 ( ) A.x 2+4x +4>0B.√x 2>0C.x 2-x +1≥0D.1x -1<1x 2.()若不等式ax 2+bx +1>0的解集为{x|-1<x <13},则a +b 的值为 ( )A.5B.-5C.6D.-63.(2020吉林长春第八中学高一月考,)已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|-13<x <2},则不等式cx 2+bx +a <0的解集为 ( )A.{x|-3<x <12}B.{x|x <-3或x >12}C.{x|-2<x <13}D.{x|x ≤-2或x >13}4.()若对任意实数x ,不等式2kx 2+kx -3<0恒成立,则实数k 的取值范围是 ( ) A.-24<k <0 B.-24<k ≤0C.0<k ≤24D.k ≥245.()若关于x 的方程x 2+(m -1)x +m 2-2=0的一个实数根小于-1,另一个实数根大于1,则实数m 的取值范围是 ( )A.{m |-2<m <2}B.{m |-2<m <0}C.{m |-2<m <1}D.{m |0<m <1}6.(2020江苏南京人民中学高一月考,)定义在R 上的运算:x*y =x (1-y ).若不等式(x -a )*(x +a )<1对任意实数x 都成立,则 ( )A.-32<a <12B.-12<a <32C.-1<a <1D.0<a <27.(多选)()已知a ∈Z,关于x 的一元二次不等式x 2-6x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数,则a 的值可以是( )A.6B.7C.8D.9二、填空题8.(2021北京交通大学附属中学高一上期中,)若不等式x2-ax+2<0在x∈{x|1<x<2}时恒成立,则a的取值范围是.9.(2021湖南师范大学附属中学高一上期中,)设关于x的不等式ax2+8(a+1)x+7a+16≥0(a∈Z)只有有限个整数解,且0是其中一个解,则全部不等式的整数解的和为.三、解答题10.()在一个限速40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问谁应负主要责任?11.()(1)若不等式ax2+3x+2>0的解集为{x|b<x<1},求a,b的值;(2)求关于x的不等式ax2+3x+2>-ax-1(其中a>0)的解集.12.(2021广东中山纪念中学高一上段考,)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式ax2+ax-6<0的解集为B.(1)若a=1,求A∩B;(2)在(1)的前提下,若不等式x2+mx+n<0的解集为A∩B,求不等式mx2+x+n<0的解集;(3)∀x∈R,ax2+ax-6<0,求a的取值范围.答案全解全析一、选择题1.C 当x =-2时,选项A 中的不等式不成立;当x =0时,选项B 中的不等式不成立;对于选项C,Δ=1-4<0,且y =x 2-x +1的图象开口向上,故y =x 2-x +1的图象与x 轴无交点,所以不等式x 2-x +1≥0的解集为R;当x =0时,选项D 中的不等式不成立.故选C.2.B 由题意知-1,13是关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两个根,且a <0,∴{a -b +1=0,19a +13b +1=0, 解得{a =-3,b =-2,∴a +b =-5.3.A 由题意知,ax 2+bx +c =0的两根分别为x 1=-13,x 2=2,且a <0,则{a 9-b 3+c =0,4a +2b +c =0,解得{a =-32c ,b =52c ,代入cx 2+bx +a <0,得cx 2+52cx -32c <0.因为a <0,所以c >0,所以cx 2+52cx -32c <0可化为2x 2+5x -3<0,解得-3<x <12,故不等式cx 2+bx +a <0的解集为{x|-3<x <12}.故选A .4.B 当k =0时,不等式为-3<0,不等式恒成立;当k ≠0时,若不等式恒成立,则{k <0,Δ<0,解得-24<k <0.综上所述,-24<k ≤0,故选B.5.D 令y =x 2+(m -1)x +m 2-2,作出函数的大致图象如图所示,由图象知,当x =-1时,y =m 2-m <0,解得0<m <1;当x =1时,y =m 2+m -2<0,解得-2<m <1.综上可得,0<m <1,故选D.6.B 不等式(x -a )*(x +a )<1可化为(x -a )·(1-x -a )<1,即x 2-x +a -a 2+1>0对任意实数x 都成立,∴Δ=1-4×(a -a 2+1)<0,解得-12<a <32.故选B.7.ABC 设y =x 2-6x +a ,其图象开口向上,对称轴是直线x =3,如图所示.若关于x 的一元二次不等式x 2-6x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数,则{22-6×2+a ≤0,12-6×1+a >0,解得5<a ≤8,又a ∈Z,故a 的值可以为6,7,8.故选ABC .二、填空题8.答案 a ≥3解析 根据函数y =x 2-ax +2的图象可知,只要保证在x =1和x =2时的函数值均小于等于0即可, 即{1-a +2≤0,4-2a +2≤0,解得a ≥3. 故答案为a ≥3.9.答案 -10解析 设y =ax 2+8(a +1)x +7a +16,对于任意一个给定的a 值,只有其图象开口向下时才能满足y ≥0的整数解只有有限个,∴a <0,∵0是其中一个解,∴可求得a ≥-167. 又a ∈Z,∴a =-2或a =-1,则不等式为-2x 2-8x +2≥0或-x 2+9≥0,解得-2-√5≤x ≤√5-2或-3≤x ≤3.∵x ∈Z,∴x =-4,-3,-2,-1,0或x =-3,-2,-1,0,1,2,3,∴全部不等式的整数解的和为-10.故答案为-10.三、解答题10.解析 设甲车车速为x 甲km/h,乙车车速为x 乙km/h .由题意列出不等式s 甲=0.1x 甲+0.01x 甲2>12,s 乙=0.05x 乙+0.005x 乙2>10,分别求解,得x 甲<-40或x 甲>30,x 乙<-50或x 乙>40.由于x >0,从而得x 甲>30,x 乙>40.经比较知乙车超过限速,故乙应负主要责任.11.解析 (1)由不等式ax 2+3x +2>0的解集为{x |b <x <1}可知1为ax 2+3x +2=0的一个根且a <0,将x =1代入ax 2+3x +2=0,可得a =-5,所以不等式ax 2+3x +2>0即为不等式-5x 2+3x +2>0,可转化为(x -1)(5x +2)<0,所以原不等式的解集为{x|-25<x <1},所以b =-25.(2)不等式ax 2+3x +2>-ax -1可化为ax 2+(a +3)x +3>0,即(ax +3)(x +1)>0.当-3a <-1,即0<a <3时,原不等式的解集为{x|x >-1或x <-3a };当-3a =-1,即a =3时,原不等式的解集为{x |x ≠-1};当-3a >-1,即a >3时,原不等式的解集为{x|x <-1或x >-3a }.综上所述,当0<a <3时,原不等式的解集为{x|x >-1或x <-3a };当a =3时,原不等式的解集为{x |x ≠-1};当a >3时,原不等式的解集为{x|x <-1或x >-3a }.12.解析 (1)由题可知A ={x |-1<x <3},当a =1时,B ={x |-3<x <2},∴A ∩B ={x |-1<x <2}.(2)∵不等式x 2+mx +n <0的解集为A ∩B ={x |-1<x <2},∴-1和2是方程x 2+mx +n =0的两个根,∴{-1+2=-m ,-1×2=n ,解得{m =-1,n =-2,∴mx 2+x +n <0即-x 2+x -2=-(x -12)2-74<0,其解集为R . (3)当a =0时,-6<0恒成立,符合题意;当a ≠0时,∵∀x ∈R,ax 2+ax -6<0,∴{a <0,Δ=a 2+24a <0,解得-24<a <0. 综上可得,a 的取值范围是{a |-24<a ≤0}.。

专题强化训练(四)指数函数与对数函数(建议用时：60分钟) ［合格基础练］一、选择题1.下列运算正确的是()/、71A 」- }= m • n 7( n >0, n >0),n >0)，故A 错；1匂(—3j = 即=罷，故B 错；扳〒7与4(x + yj又当x = 0时，y = lg 1 = 0,故排除选项 C.] 3. 函数y = •. 16-4争勺值域是( )A . [0 ,+^ )B . [0,4] C. [0,4)D. (0,4)C [由 4x >0 可知 16-4x <16,故.16— 4x 的值域为[0,4).] 4.设函数y = x 2与y = <)— 2的图象交点为(x o , y o )，则X o 所在区间是()A . (0,1)B . (1,2) C. (2,3)［函数y = x 2与y = £)—2的图象交点为(X 。

，y 。

), x 。

是方程x 2= ?)—2的解，也是函数—2=— 1V 0 ,••• f (1) • f(2) v 0.由零点存在性定理可知，方程的解在 (1,2)内.故选B.］y >0)D. (3,4)f (x ) = x 2-1x —2f (x )在(0,+^)上单调递增,2f (2) = 2 — 1 = 3> 0, f (1) = 1x >0, A ［因为当x = 1时函数无意义，故排除选项B D,的零15 .当0<x w 3时，log a X >8x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A. 0,B.C. (1 , 3)D. (3, 2)B [ v log a x >8 ,「.log a x >0，而 0<x w 0<a <1,作出 y ==log a x 的大致图象如图所示，则只需满足 log 玄訂勾二2= log a a 2a>2 3，•• J<a<1，故选 B.] 3 填空题 函数y = 2 + a x —2（a >0且a * 1）的图象恒过定点，它的坐标为 ________ （2,3） [当 x — 2= 0 时，y = 2 + a °= 2 + 1= 3,二图象恒过定点（2,3）.] 7 .若函数f (x ) = x ln( x + ,a + x 2)为偶函数，则a = 1 [ v f (x )为偶函数，• f ( — x ) — f (x ) = 0 恒成立， — x ln( — x + a + x 2) — x ln( x + a + x 2) = 0 恒成立，二 x ln a = 0恒成立，二 In a = 0, 即 a = 1.] 8.下列命题: ① 偶函数的图象一定与 y 轴相交; ② 任取x >0,均有> -一 1③在同一坐标系中，y = log 2X 与y = log 的图象关于x 轴对称;1④y =一在（—a, 0） u （0,+^）上是减函数.x其中正确的命题的序号是 __________ .②③[①可举偶函数y = x —2,则它的图象与y 轴不相交，故①错； >②n >0时，幕函数y = x n 在（0，+a ）上递增，则任取 x >0,均有? xl x,故②对;1 一 1③ 由于y = log ^x =— log 2x ，则在同一坐标系中，y = log 2x 与y = log ^x 的图象关于x 轴对称，故③对； 1④ 可举X 1 = — 1, X 2= 1，则y 1=— 1, y 2= 1,不满足减函数的性质， 故y =;在（—a, 0） u （0 ,z\.+ a ）上不是减函数.故④错.] 三、解答题9 •计算下列各式:(1)lo g—lo g 了20 3 27+ lg 25 + lg 4 + 7 + ( —9.8);(2)lo g23(9 x 27 ) + log 26 —log 23 + log 43 x log 316.[解]3(1)原式=log 332 + lg(25 x 4) + 2 + 1=2+ lg 10 2+ 3 = 2 + 2+ 313~2'2 3 2 2 8 6⑵原式=log 3[3 x (3 ) ] + (log 26 —log 23) + log 43 x log s4 = log s3 + log 23 + 2 = 8+ 1 + 23=11.10.已知幕函数y = f(x)的图象过点(8 , m)和(9,3)(1) 求实数m的值；(2) 若函数g(x) = a f(x)(a>0, a* 1)在区间［16,36］上的最大值等于最小值的两倍，求实数a的值.［解］⑴设f(x) = x",依题意可得9" = 3,• -a ==2，f (x) = X2,1••• m= f(8) = 82 = 2 2.⑵g(x) = a x,v x€ [16,36],• . x € [4,6],4 6当0<a<1 时，g(x) max= a , g(x) m“= a ,由题意得a4= 2a6,解得a= #；6 4当a>1 时，g( x) max= a , g(x)min = a ,由题意得a = 2a4，解得a= , 2.综上，所求实数a的值为三2或*. 2.［等级过关练］"x1 .二次函数y= ax2+ bx与指数函数y = 的图象可能是()b 1 bA ［整体看出0右<1，故二次函数的对称轴满足—2<_ 2a<0，结合图象，选A.］2x2- 8ax + 3, x<1,2 .函数f(x) = c在x € R上单调递减，则a的范围是()log a x, x >1(1"|；1 51B.A.71 、C匕，1D F, 1R丿R丿- 22x —8ax+ 3, x<1,B ［若函数f (x)= 在x € R上单调递减,lOg a x , x> 1pa> 1,1 5贝畀0<a<1, 解得；w a w；,故选B.］2 82^2 •l —8a + 3 > 0,3 .已知函数f(x) = a x+ b(a>0, a^ 1)的定义域和值域都是［—1,0］，则a+ b= ____________ .3 a + b= —1,—-［当a>1时，函数f(x) = a x+ b在［—1,0］上为增函数，由题意得仁无2 a + b= 0x a— 1+ b= 0,解.当0<a<1时，函数f(x) = a + b在［—1,0］上为减函数，由题意得* o」解得a + b=—1,r = 1f = 2，所以a+ b= —|］Jo = —2,2 —x4 .已知函数y= log 2^+x，下列说法：①关于原点对称；②关于y轴对称；③过原点.其中正确的是______________ .2 x 2 x①③［由于函数的定义域为(一2,2),关于原点对称，又f ( —x) = log 2 =—log 2T—-2 —x 2+ x =—f(x)，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为当x= 0时，y= 0,所以③正确.］5. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元•该建筑物每年的k能源消耗费用q单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) = 3 + 5(0 w x w 10), 3X+ 5若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元•设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.求k 的值及f (x)的解析式.［解］设隔热层厚度为X cm ,k由题设，每年能源消耗费用为qx) = ~3xx^5(0三x w 10), 再由qo)= 8，得k=40,因此qx)=时而建造费用为C(x) = 6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x) = 20Q x) + C(x) = 20X40 3x+ 5+ 6x =8003x+ 5卜6x(0 w x w 10).。

小题训练1班级： 姓名： 得分： 一、填空题（每题8分，共80分）1、设集合{}0M x x m =-<，2{|log 1,4}N y y x x ==-≥，若MN =∅，则m 的取值范围是 ．1≤m2、设1z i =-（i 为虚数单位），则22z z+= . 1i - 3、不等式221x x +>+的解集是 .(1,0)(1,)-+∞ 4、如图，在半径为R 的圆内随机撒一粒黄豆,它落在阴影部分内接正三角形上的概率是 .4π5、2log 0x =的根的个数为 . 16、,m n 是空间两条不同直线，,αβ是两个不同平面，下面有四个命题：①,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ②,//,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ④,//,//m m n n ααββ⊥⇒⊥ 其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号） 答案： ①、④.解析：四个命题：①,//,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥,为真命题；②,//,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒，为假命题；为假命题； ④,//,//m m n n ααββ⊥⇒⊥为真命题，所以真命题的编号是①、④.7、已知直线01=+-y kx 与圆4:22=+y x C 相交于B A ,两点，若点M 在圆C 上，且有OB OA OM +=（O 为坐标原点），则实数k = . 答案： 08、若将函数x x y sin 3cos -=的图象向左移)0(>m m 个单位后，所得图象关于y 轴对 称，则实数m 的最小值为 ▲ .32π9、中心在原点，焦点坐标为(0,±的椭圆被直线320x y --=截得的弦的中点的横坐（第4题图）标为21，则椭圆方程为 .1752522=+y x 10、哥特式建筑的窗户上常常可以见到如图所示的图形．该图形由直线AB 和两个圆弧围成，其中一个圆的圆心为A ，另一个圆的圆心为B ，而且两圆彼此通过对方的圆心，圆O 为其内切圆．若AB ＝a ，则内切圆O 的半径是 ▲ ．3a8二、解答题（每题20分）11、设a R ∈，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。

专题强化训练(二) 一元二次函数、方程和不等式（建议用时：60分钟）［合格基础练］一、选择题1．设a<0，0<b<1，则A＝a，B＝ab,C＝a2b的大小关系是( ）A．A〉B>C B．A〉C〉BC．C>B〉A D．C〉A>BC［可以用特殊值法：取a＝－1，b＝错误!。

∴A＝－1，B＝－错误!，C＝错误!，∴C>B〉A.］2．若错误!＜错误!＜0，则下列不等式不正确的是( )A．a＋b＜ab B。

错误!＋错误!＞0C．ab＜b2D．a2＞b2D［由错误!＜错误!＜0，可得b＜a＜0，故选D。

］3．已知x≥错误!，则y＝错误!有( )A．最大值错误!B．最小值错误!C．最大值1 D．最小值1D［y＝错误!＝错误!＋错误!.∵x≥错误!，∴x－2>0，∴y≥2错误!＝1。

当且仅当错误!＝错误!，即x＝3时，取等号．]4．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∩B，那么a＋b等于( )A．－3 B．1 C．－1 D．3A[由题意：A＝{x｜－1＜x＜3｝,B＝{x|－3＜x＜2｝．A∩B＝｛x|－1＜x＜2},由根与系数的关系可知：a＝－1，b＝－2,∴a＋b＝－3。

]5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件,则平均仓储时间为错误!天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A．60件B．80件C．100件D．120件B［设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝错误!＋错误!≥2错误!＝20.当且仅当错误!＝错误!（x〉0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.]二、填空题6．不等式－3x2－x＋10〈0的解集为________．错误![－3x2－x＋10<0，－(3x－5）（x＋2)〈0⇒x〉错误!或x〈－2，此不等式的解集为错误!.］7．不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．a＞2 ［不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对一切x∈R恒成立，即（a＋2）x2＋4x＋a－1>0对一切x∈R恒成立．若a＋2＝0，显然不成立；若a＋2≠0，则错误!⇔错误!⇔｛a>－2a<－3或a〉2⇔a〉2。

第四章综合测试(时间：120分钟 满分150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若n ∈N ，a ∈R ，给出下列式子：①4－42n；②4－42n ＋1；③5a 4；④4a 5.其中恒有意义的式子的个数是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 [解析] 根据根指数是偶数时，被开方数非负，可知②无意义；当a ＜0时，④无意义；恒有意义的是①③.故选B ．2．函数y ＝log 12x －3的定义域为( C )A ．(－∞，18]B ．[18，＋∞)C ．(0，18]D ．(0,8][解析] 要使函数y ＝log 12x －3有意义，应满足log 12x －3≥0， ∴log 12x ≥3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，∴0＜x ≤18，故选C ．3．下列不等式中正确的是( C ) A ．lg 0.1＞lg 0.2 B ．0.20.1＜0.20.2C ．0.20.1＞lg 0.1D ．0.10.2＜lg 0.2[解析] lg 0.1＜0,0.20.1＞0，∴0.20.1＞lg 0.1，故选C ． 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x x ＞0⎝ ⎛⎭⎪⎫12xx ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝( D ) A ．－18B ．18C ．－8D ．8[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝log 3127＝log 33－3＝－3，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8，故选D ．5．若a ＞b ＞1,0＜c ＜1，则( C ) A ．a c＜b cB ．ab c ＜ba cC ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c[解析] 令a ＝4，b ＝2，c ＝12，则a c ＝412 ＝2，b c ＝212 ＝2，∴a c ＞b c，排除A ；ab c ＝42，ba c ＝4，∴ab c ＞ba c ，排除B ；log a c ＝log 412＝－12，log b c ＝log 212＝－1，∴log a c ＞log b c ，排除D ，故选C ．6．已知f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，则y ＝f (1－x )的图像是( C )[解析] 因为函数y ＝log 2x 的反函数是y ＝2x ，所以f (x )＝2x .故f (1－x )＝21－x，因为此函数在R 上是减函数，且过点(0,2)．因此选C ．7．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的增函数是( B ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x[解析] 对于函数f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3，f (x )f (y )＝x 3·y 3，而(x ＋y )3≠x 3y 3，所以f (x )＝x 3不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故A 错误； 对于函数f (x )＝3x，f (x ＋y )＝3x ＋y＝3x ·3y ＝f (x )f (y )，因此f (x )＝3x满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (x )＝3x是增函数，故B 正确；对于函数f (x )＝x 12 ，f (x ＋y )＝(x ＋y )12 ，f (x )f (y )＝x 12 y 12 ＝(xy )12 ，而(x ＋y )12 ≠(xy )12 ，所以f (x )＝x 12 不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故C错误；对于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝f (x )·f (y )，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x不是增函数，故D 错误．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1x ＜12xx ≥1，则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值X 围是( C )A ．[23，1]B ．[0,1]C ．[23，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 由f [f (a )]＝2f (a )可得f (a )≥1，故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12a≥1，二者取并集即得a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，故选C ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知实数a ，b 满足等式3a＝6b，给出下列四个关系式：①a ＝b ；②0＜b ＜a ；③a ＜b ＜0；④b ＜0＜A ．其中可能成立的是( ABC )A ．①B ．②C ．③D ．④[解析] 在同一个坐标系中画出函数y ＝3x，y ＝6x的图象如图所示．由图像，可知当a ＝b ＝0时，3a＝6b，故①可能成立；作出直线y ＝k ，如图所示，当k ＞1时，若3a＝6b，则0＜b ＜a ，故②可能成立；当0＜k ＜1时，若3a＝6b，则a ＜b ＜0，故③可能成立．故选ABC ．10．对于0＜a ＜1，下列四个不等式中成立的是( BD )A ．log a (1＋a )＜log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a B ．log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1aC ．a1＋a＜a1＋1aD ．a1＋a＞a1＋1a[解析] 因为0＜a ＜1，所以a ＜1a ，从而1＋a ＜1＋1a，所以log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ．又因为0＜a ＜1，所以a1＋a＞a1＋1a．11．设函数f (x )＝2x，对于任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，下列命题中正确的是( ACD ) A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2) C ．f x 1－f x 2x 1－x 2＞0D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22[解析] 2x 1·2x 2＝2x 1＋x 2，所以A 成立，2x 1＋2x 2≠2x 1·x 2，所以B 不成立，函数f (x )＝2x，在R 上是单调递增函数，若x 1＞x 2则f (x 1)＞f (x 2)，则f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，若x 1＜x 2，则f (x 1)＜f (x 2)，则f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，故C 正确；f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22说明函数是凹函数，而函数f (x )＝2x是凹函数，故ACD 正确．12．关于函数f (x )＝|ln |2－x ||，下列描述正确的有( ABD ) A ．函数f (x )在区间(1,2)上单调递增 B ．函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称 C ．若x 1≠x 2，但f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＋x 2＝4 D ．函数f (x )有且仅有两个零点[解析] 函数f (x )＝|ln |2－x ||的图像如图所示：由图可得：函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，A 正确；函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，B 正确；若x 1≠x 2，但f (x 1)＝f (x 2)，则当x 1，x 2＞2时，x 1＋x 2＞4，C 错误；函数f (x )有且仅有两个零点，D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．设函数f (x )＝x －a (其中a 为常数)的反函数为f －1(x )，若函数f －1(x )的图像经过点(0,1)，则方程f －1(x )＝2的解为__1__．[解析] 由y ＝f (x )＝x －a ，得x －a ＝y 2(y ≥0)把点(0,1)代入得a ＝1． 所以f －1(x )＝x 2＋1(x ≥0)．由f －1(x )＝2，得x 2＋1＝2，即x ＝1．14．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2log 32x－1，x ≥2，则f [f (2)] ＝__2__．[解析] 因为f (2)＝log 3(22－1)＝1， 所以f [f (2)]＝f (1)＝2e1－1＝2．15．已知函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义在区间[－2a,3a －1]上的奇函数，则a ＝__1__，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝__22－3__．[解析] 因为f (x )是定义在[－2a,3a －1]上的奇函数． 所以定义域关于原点对称， 即－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1， 因为函数f (x )＝b －2x2x ＋1为奇函数， 所以f (－x )＝b －2－x 2－x ＋1＝b ·2x －11＋2x ＝－b －2x1＋2x ，即b ·2x－1＝－b ＋2x，所以b ＝1， 所以f (x )＝1－2x1＋2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－212 1＋212 ＝1－21＋2＝22－3．16．下列说法中，正确的是__①④__． ①任取a ＞0，均有3a ＞2a， ②当a ＞0，且a ≠1，有a 3＞a 2， ③y ＝(3)－x是增函数，④在同一坐标系中，y ＝2x与y ＝2－x的图像关于y 轴对称． [解析] ∵幂函数y ＝x a ，当a ＞0时， 在(0，＋∞)上是增函数， ∵3＞2，∴3a＞2a，故①正确；当a ＝0.1时，0.13＜0.12，故②错； 函数y ＝(3)－x＝⎝⎛⎭⎪⎫33x是减函数，故③错； 在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x＝(12)x 的图像关于y 轴对轴，故④正确．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2＋(1－2)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27823 ； (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8．[解析] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2＋(1－2)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27823 ＝94＋1＋94＝112．(2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8＝lg 4＋lg 31＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg 12＝1．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －1＋a (a 为常数，且a ∈R )恒过点(1,2)．(1)求a 的值；(2)若f (x )≥2x，求x 的取值X 围．[解析] (1)f (1)＝20＋a ＝1＋a ＝2，解得a ＝1． (2)由f (x )＝2x －1＋1＝2x 2＋1≥2x ，得2x2≤1，即2x －1≤1＝20，即x －1≤0，解得x ≤1，因此，实数x 的取值X 围是(－∞，1]．19．(本小题满分12分)求函数y ＝(2x )2－2×2x＋5，x ∈[－1,2]的最大值和最小值． [解析] 设2x＝t ，因为x ∈[－1,2]，所以2x＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4则y ＝t 2－2t ＋5为二次函数，图像开口向上，对称轴为t ＝1， 当t ＝1时，y 取最小值4，当t ＝4时，y 取最大值13．20．(本小题满分12分)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(8，m )和(9,3)． (1)求m 的值；(2)若函数g (x )＝log a f (x )(a ＞0，a ≠1)在区间[16,36]上的最大值比最小值大1，某某数a 的值．[解析] (1)由题意，y ＝f (x )是幂函数，设f (x )＝x α，图像过点(8，m )和(9,3)可得9α＝3，所以α＝12，故f (x )＝x 12 ，所以m ＝f (8)＝22，故m 的值为22．(2)函数g (x )＝log a f (x )，即为g (x )＝log a x ， 因为x 在区间[16,36]上，所以x ∈[4,6]， ①当0＜a ＜1时，g (x )min ＝log a 6，g (x )max ＝log a 4， 由log a 4－log a 6＝log a 23＝1，解得a ＝23．②当a ＞1时，g (x )min ＝log a 4，g (x )max ＝log a 6，由log a 6－log a 4＝log a 32＝1，解得a ＝32，综上可得，实数a 的值为23或32．21．(本小题满分12分)一片森林原来的面积为a ，计算每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到森林面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22．(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已被砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0＜x ＜1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－(12)110 ．(2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 则a (1－x )m＝22a ， 即(12)m 10 ＝(12)12 ，m 10＝12，解得m ＝5， 故到今年为止，该森林已被砍伐5年． (3)设从今年开始，以后最多能砍伐n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n ． 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， (12)n 10 ≥(12)32 ，n 10≤32，解得n ≤15． 故今后最多还能砍伐15年．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋a ．(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值X 围；(3)若函数f (x )在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，某某数a 的取值X 围． [解析] (1)函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0，求得a ＝0． 又此时f (x )＝－x 是R 上的奇函数，所以a ＝0为所求． (2)函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a ＞0恒成立．即a ＞－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)．故只要a ≥0即可．(3)由已知函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0,1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )．最小值是f (1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ．由题设log 2(1＋a )－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ≥2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＞0a ＋1≥4a ＋2．故－12＜a ≤－13为所求．。

二次函数在给定区间上最值问题二次函数的单调性与对称轴和开口方向有关，往往来讲，二次函数的开口方向一般是给定的，在此情况下，二次函数的单调性就和对称轴与闭区间的位置关系有关。

因而在求最值时，往往需要讨论对称轴和区间的位置关系，这类题目在后续学习中经常遇见。

例题精讲:一．选择题（共7小题）1．若函数2()5f x x mx =++在区间[1，5]上单调递增，则m 的取值范围为()A ．[2-，)+∞B ．(-∞，2]-C ．[10-，)+∞D ．(-∞，10]-2．已知函数2247y x ax =++在区间[3-，1]-上是单调函数，则实数a 的取值范围是()A ．(-∞，1]B ．[6，)+∞C ．(-∞，2][6 ，)+∞D ．(-∞，1][3 ，)+∞3．若二次函数2()21f x ax ax =++在区间[2-，3]上的最大值为6，则(a =)A ．13B ．13-或5C ．13或5-D ．13-4．若函数2()43f x x x =--在区间[n ，]m 上的值域为[7-，2]，则m n -的取值范围是()A ．[1，5]B ．[2，7]C ．[3，6]D ．[4，7]5．已知2()2af x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为g （a ），则g （a ）的最小值为()A ．0B ．12C ．1D ．26．已知函数2()2(2)1f x ax a x =--+，[1x ∈-，3]是单调函数，则a 的取值范围是()A ．[0，1]B ．[1-，0]C ．[1-，1]D ．[1-，2]7．函数2()2f x x x =--在[a ，]b 上的值域是[3-，1]，若1b =，则a b +的取值集合为()A ．[3-，1]-B ．[2-，0]C ．[4-，0]D ．[2-，1]二．解答题（共5小题）8．已知函数2()f x x ax=-（1）若在区间[1，)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求函数()f x 在区间[1，2]上的最小值．9．已知函数2()41f x x mx =-+，m R ∈．（1）若关于x 的不等式()0f x <解集为空集，求m 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间[2-，)+∞上是单调增函数，求f （1）的最小值．10．山东新旧动能转换综合试验区是党的十九大后获批的首个区域性国家发展战略，也是中国第一个以新旧动能转换为主题的区域发展战略．济南新旧动能转换先行区肩负着山东新旧动能转换先行先试的重任，某制造企业落户济南先行区，该企业对市场进行了调查分析，每年固定成本1000万元，每生产产品x （百件），需另投入成本()R x 万元，且210300,060()10006103000,60x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩，由市场调研知，每件产品售价6万元，且全年内生产的产品当年能全部销售完．（1）求年利润()W x （万元）关于年产量x （百件）的函数解析式．（利润=销售额-成本）（2）年产量x 为多少（百件）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？11．已知函数2()3f x x ax =+-．（1）若不等式()4f x >-的解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()26f x ax - 对任意[1x ∈，3]恒成立，求实数a 的取值范围．12．已知函数2()1f x x ax =-+．（1）求()f x 在[0，1]上的最大值；（2）当1a =时，求()f x 在闭区间[t ，1]()t t R +∈上的最小值．参考答案一．选择题（共7小题）1．【解答】解：2()5f x x mx =++ 在区间[1，5]上单调递增，12m∴-，故2m - ．故选：A ．2．【解答】解：函数的对称轴是x a =-，若函数在区间[3-，1]-上是单调函数，则3a -- 或1a -- ，解得：3a 或1a ，故选：D ．3．【解答】解：显然0a ≠，有2()(1)1f x a x a =+-+，当0a >时，()f x 在[2-，3]上的最大值为f （3）151a =+，由1516a +=，解得13a =，符合题意；当0a <时，()f x 在[3-，2]上的最大值为(1)1f a -=-，由16a -=，解得5a =-，所以，a 的值为13或5-．故选：C ．4．【解答】解：2()43f x x x =-- ，f ∴（2）7=-，(1)f f -=（5）2=，()f x 在区间[n ，]m 上的值域为[7-，2]，∴当1n =-，2m =或2n =，5m =时m n -的最小值3，当1n =-，5m =时，m n -取得最大值6，故m n -的范围[3，6]故选：C ．5．【解答】解：因为2()2a f x x ax =-+的开口向上，对称轴2ax =，①122a 即1a 时，此时函数取得最大值g （a ）f =（1）12a=-，②当122a >即1a >时，此时函数取得最大值g （a ）(0)2af ==，故g （a ）1,12,12aa a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ ，故当1a =时，g （a ）取得最小值12．故选：B ．6．【解答】解：当0a =时，函数()41f x x =+，为增函数，符合题意；当0a ≠时，函数2()2(2)1f x ax a x =--+的对称轴为2a x a-=，且函数在区间[1-，3]是单调函数，∴21a a -- ，或23a a- ，解得01a < 或10a -< ．综上，实数a 的取值范围是[1-，1]．故选：C ．7．【解答】解：22()2(1)1f x x x x =--=-++，1x ∴=-时，()f x 取到最大值1，方程223x x --=-的根是3x =-或1．若1b =，则31a -- ，a b ∴+的取值集合围是：[2-，0]．故选：B ．二．解答题（共5小题）8．【解答】解：（1）函数()f x 的对称轴是2a x =，若在区间[1，)+∞上是增函数，则12a，解得：2a ；（2）①12a即2a 时，()f x 在[1，2]递增，故()min f x f =（1）1a =-，②122a <<即24a <<时，()f x 在[1，)2a 递减，在(2a，2]递增，故2()()24mina a f x f ==-，③22a即4a 时，()f x 在[1，2]递减，故()min f x f =（2）42a =-．9．【解答】解：（1）()0f x < 解集为空集，∴判别式△2160m m =- ，解得016m ．（2）2()41f x x mx =-+，图象开口向上，对称轴8mx =，因为函数()f x 在区间[2-，)+∞上是单调增函数，所以28m- ，解得16m - ，f （1）4m =-是关于m 的减函数，所以当16m =-时，f （1）取最小值为20．10．【解答】解：（1）当060x <<时，22()600(10300)1000103001000W x x x x x x =-+-=-+-；当60x 时，10001000()600(6103000)1000102000W x x x x x x=-+--=--．2103001000,060()1000102000,60x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨--+⎪⎩；（2）当060x <<时，22()10300100010(15)1250W x x x x =-+-=--+，当15x =时，()1250max W x =万元；当60x 时，()W x 单调递减，4150()(60)3max W x W ==．∴年产量x 为60（百件）时，企业所获利润最大，最大利润是41503万元．11．【解答】解：（1）由不等式()4f x >-的解集为R ，234x ax ∴+->-解集为R ，即210x ax ++>解集为R ，可得△0<，即240a -<，解得22a -<<，故a 的取值范围是(2,2)-．（2）由不等式()26f x ax - 对任意[1x ∈，3]恒成立，()26f x ax ∴- ，即2326x ax ax +-- 对任意[1x ∈，3]恒成立，即230x ax -+ 对任意[1x ∈，3]恒成立，3()min a x x ∴+ ，[1x ∈，3]；3x x += ；当且仅当3x x=，即x =a ∴故a 的取值范围是(-∞，．12．【解答】解：（1）2()1f x x ax =-+的开口向上，对称轴2a x =，所以在区间[0，1]的哪个端点离对称轴远，则在哪个端点处取得最大值，当122a 即1a 时，()f x 取得最大值f （1）2a =-，当122a >即1a >时，()f x 的最大值(0)1f =，（2）当1a =时，2()1f x x x =-+的对称轴12x =，当12t 时，()f x 在[t ，1]t +上单调递增，所以2()()1min f x f t t t ==-+，当112t +即12t - 时，()f x 在[t ，1]t +上单调递减，2()(1)1min f x f t t t =+=++，当112t t <<+即1122t -<<时，()f x 在1(,)2t 上单调递减，在1(2，1)t +上单调递增，故13()()24min f x f ==，令()()min g t f x =，则2211,2311(),42211,2t t t g t t t t t ⎧-+⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪++-⎪⎩．。

最新（新课标）北师大版高中数学必修一第二章 §4 第1课时一、选择题1．将函数y ＝x 2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝4x 2C ．y ＝12x 2D ．y ＝14x 2[答案] A[解析] 由图像变换可知选A.2．已知一次函数y ＝ax ＋c 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，它们在同一坐标系中的大致图像是图中的( )[答案] D[解析] 排除法，A 图中一次函数a>0，二次函数a<0；同理排除C ；在B 图中由直线知c>0，而二次函数中c<0故排除B.选D.3．已知抛物线过点(－1,0)，(2,7)，(1,4)，则其解析式为( ) A ．y ＝13x 2－2x ＋53B ．y ＝13x 2＋2x ＋53C ．y ＝13x 2＋2x －53D ．y ＝13x 2－2x －53[答案] B[解析] 设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则根据题意得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝7，a ＋b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝2，c ＝53.所以y ＝13x 2＋2x ＋53，故选B.4．已知a ≠0，b<0，一次函数是y ＝ax ＋b ，二次函数是y ＝ax 2，则下列图像中，可以成立的是( )[答案] C[解析] 由b<0，排除B ，D ；A 是抛物线开口向下，a<0，而直线体现了a>0，从而排除A.5．已知f(x)＝2(x －1)2和g(x)＝12(x －1)2，h(x)＝(x －1)2的图像都是开口向上的抛物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔( )A ．g(x)B ．f(x)C ．h(x)D ．不确定[答案] A[解析] 因二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的|a|越小，则二次函数开口越开阔． 6．不论m 取何值，二次函数y ＝x 2＋(2－m)x ＋m 的图像总过的点是( ) A ．(1,3) B ．(1,0) C ．(－1,3) D ．(－1,0)[答案] A[解析] 由题意知x 2＋2x －y ＋m(1－x)＝0恒成立，∴⎩⎨⎧ x 2＋2x －y ＝01－x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝3，∴图像总过点(1,3)． 二、填空题7．抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴的两交点为A 、B ，顶点为C ，则△ABC 的面积是________． [答案] 8[解析] y ＝－x 2－2x ＋3＝(－x ＋1)(x ＋3) ＝－(x ＋1)2＋4，由题意得A(－3,0)，B(1,0), C(－1,4)， ∴S △ABC ＝12×4×4＝8.8．已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与x 轴的交点为(－1,0)和(3,0)，则该函数的解析式是________．[答案] f(x)＝－x 2＋2x ＋3[解析] 设函数的解析式为f(x)＝a(x ＋1)(x －3)(a ≠0)，将点(1,4)代入，得a ＝－1. 则f(x)＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3. 三、解答题9．已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P(2,0)，求这个函数的解析式． [解析] 解法1：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－3，4a ＋2b ＋c ＝0，－b2a＝1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x.解法2：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，－b 2a＝1，4ac －b 24a ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x.解法3：设所求函数的解析式为y ＝a(x ＋h)2＋k(a ≠0)，则顶点坐标为(－h ，k)， 已知顶点为(1，－3)，∴h ＝－1，k ＝－3， 即所求的二次函数y ＝a(x －1)2－3. 又∵图像经过点P(2,0)， ∴0＝a ×(2－1)2－3，∴a ＝3，∴函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x. 解法4：设解析式为y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)， 其中x 1，x 2是抛物线与x 轴的两交点的横坐标， 已知抛物线与x 轴的一个交点P(2,0)，对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为(0,0)， ∴x 1＝0，x 2＝2，∴所求的解析式为y ＝a(x －0)(x －2)，又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a ×1×(1－2)，∴a ＝3， ∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x.一、选择题1．如图所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像，则|OA|·|OB|等于( )A.c a B ．－c aC ．±c aD ．以上都不对[答案] B[解析] ∵f(x)＝ax 2＋bx ＋c ， ∴f(0)＝c>0，a<0，设ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2＝c a ，∴|OA|＝－x 1，|OB|＝x 2，∴|OA|·|OB|＝－ca.故正确答案为B.2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图像是下图中的( )[答案] A[解析] 因为a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0.故排除B、C，又因为当x＝1时，y ＝a＋b＋c＝0，只有A正确．二、填空题3．若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于直线x＝1对称，则b＝____________.[答案] 6[解析] 解法1：二次函数y＝x2＋(a＋2)x＋3的图像关于直线x＝1对称，说明二次函数的对称轴为直线x＝1，则－a＋22＝1，∴a＝－4.而该函数是定义在[a，b]上的，即a、b关于x＝1也是对称的，则有a到对称轴的距离与b 到对称轴的距离相等，∴1－a ＝b －1，∴b ＝6.解法2：∵二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图像的对称轴为直线x ＝1，∴该函数可表示为y ＝(x －1)2＋c ，与原二次函数的表达式比较同类项系数，可得a ＋2＝－2，∴a ＝－4.求b 同解法1.4．把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的解析式为y ＝x 2－2x ＋1，则b ＝________，c ＝________.[答案] －6 6[解析] 由题意知y ＝x 2＋bx ＋c 的图像可由y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，即y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x －3)2－3＝x 2－6x ＋6.所以b ＝－6，c ＝6.三、解答题5．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定此二次函数的表达式．[解析] 解法1：设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)． ∵f(2)＝f(－1)＝－1，f(x)最大值是8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8.解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7. 解法2：设f(x)＝a(x －m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)＝－1，∴对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，∴m ＝12.又∵函数有最大值为8，∴n ＝8.∴f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f(2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解之得a ＝－4. ∴f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.解法3：由已知f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1)， 即f(x)＝ax 2－ax －2a －1. 且a ≠0，又函数有最大值8，∴4a (－2a －1)－a 24a ＝8，解之得a ＝－4，∴所求二次函数的表达式为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，试判断点(a ＋b b 2－4ac ，ac b)所在的象限．[解析] 由抛物线开口向上知a>0，∵抛物线与y 轴的交点(0，c)在y 轴负半轴， ∴c<0.又∵对称轴x ＝－b2a 在y 轴左边，∴－b 2a <0.∴b a >0.∴a ，b 同号． ∵a>0，∴b>0.又∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2－4ac>0. ∴a ＋b b 2－4ac >0，ac b<0.∴点(a ＋b b 2－4ac ，ac b)在第四象限．7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A(x 1,0)、B(x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到？[解析] 由题意可设所求抛物线的解析式为 y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k ， 由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，得4－2(3－k )3＝269，解得k ＝43.所以，该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.。

专题四 一次分式函数在解题中的应用一、问题的提出 【2016高考】函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________. 在近几年的高考试卷及模拟试卷中经常会出现以分式函数为载体的试题,特别是分子和分母中的代数式都是一次函数的一次分式函数,对其图象与性质的研究常涉及到平移变换及对称变换,是考查能力的好载体,所以一直被高考命题者看好,在近几年的高考中再现率很高.但由于这一类函数问题现行高中教材中未作专门介绍,致使相当一部分学生碰到这一类问题不知道从哪里入手,为帮助同学们掌握这一内容,.本文从平移理论的角度出发,总结出一次分式函数的性质,并通过实例说明其结论在解题中的应用. 二、问题的探源 本题解法：1()11121f x x =+≤+=-，即最大值为2. 【点睛】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握． 首先我们给出分式函数及一次分式函数的定义：当)(x p 、)(x q 为既约整式且)(x q 的次数不低于一次时,我们把形如)()()(x q x p x f =的函数叫做分式函数,当)(x p 、)(x q 的次数不高于一次时,这样的分式函数叫做一次分式函数,即形如，），（bc ad c dcx b ax x f ≠≠++=0,)(的函数．我们先来看一个简单的一次分式函数y=1-x x . 由于y=1-x x =1+11-x ,所以把y=x 1的图象向右平移一个单位可得到y=1-x x ,因此根据y=x1的图象与性质可总结出y=1-x x 的图象与性质.下面我们利用平移理论及反比例函数的图象与性质来研究一次分式函数，），（bc ad c dcx b ax x f ≠≠++=0,)(的图象与性质：首先利用分离常数法可得d cx b ax x f ++=)(=dcx c ad b c ad ax +-++=c a +d cx c ad b +-,设c ad b -=m,则f （x ）=c a +d cx m +,所以y=f （x ）的图象可由反比例函数y=cxm的图象经过平移得到,由反比例函数的图象可知dcx bax x f ++=)(的图象也是双曲线,其性质如下：⒈d cx b ax x f ++=)(的定义域是（-∞,cd-）∪（cd-,+∞）； ⒉d cx b ax x f ++=)(的值域是（-∞,c a ）∪（ca ,+∞）； ⒊d cx b ax x f ++=)(的图象即关于点（c d -,c a ）对称,又关于直线y-c a =±（x+cd ）对称；⒋ 当m>0时,d cx b ax x f ++=)(在（-∞,cd -）上及（cd-,+∞）上都是增函数,且x ∈（-∞,c d -）时f （x ）∈（-∞,c a ）；x ∈（c d -,+∞时f （x ）∈（ca ,+∞） 当m<0时,d cx b ax x f ++=)(在（-∞,cd-）上及（c d -,+∞）上都是减函数,且x ∈（-∞,cd-）时f （x ）∈（c a ,+∞）；x ∈（cd -,+∞时f （x ）∈（-∞,ca）. 三、问题的佐证 【例1 】若 ax x x f ++=32)(在（-1,+∞）上满足对任意的x 1<x 2都有f （x 1）>f （x 2）,求a 的取值X 围.【解析】ax x x f ++=32)(=2+a x a +-23,由题意知f （x ）在（-1,+∞）上是增函数,由性质⒋可得-a≤-1且3-2a>0,所以1≤a<23.【例2 】已知 ()1a bxf x x a -=--的图象的对称中心为(3,-1,,),求a,b 的值.【解析】由性质知f(x)的的图象的对称中心为(a+1,-b) ,因此a+1=3,-b=-1,所以a=2,b=1. 【例3 】【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与 ()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【解析】由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C.【点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.这类问题源于课本,又高于课本,能较好的函数学生分析问题及解决问题的能力,因此备受命题这的青睐. 【例4】 已知()()1011n f n n n *-=∈-N （n∈）,求()f n 的最大值及最小值的n 值.【例5】 【2014高考某某版文第14题】已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的表达式为________.【答案】12014xx+【解析】111()1111x x f x x x x+-===-+++，0x ≥，11x ∴+≥，111x∴≤+，1101x∴-≥+，即()0f x ≥，当且仅当0x =时取等号，当0x =时，(0)0n f =；当0x >时()0f x >，1()(())n n f x f f x +=1()()1()n n n f x f x f x +∴=+，11()111()()()n n n n f x f x f x f x ++∴==+， 即1111()()n n f x f x +-=，∴数列1{}()n f x 是以1()f x 为首项，以1为公差的等差数列11111(1)1(1)1()()1n nxn n x f x f x x x+∴=+-⨯=+-⨯=+ ()(0)1n x f x x nx ∴=>+，当0x =时，0(0)010n f ==+，()(0)1n xf x x nx∴=≥+，2014()12014xf x x ∴=+ 【点晴】本题主要考查的是数列的通项公式；数列与函数之间的关系，属于难题．解题时要紧紧抓住已知条件，得到1()()1()n n n f x f x f x +=+，这是解题的关键，而后得到数列1{}()n f x 是以1()f x 为首项，以1为公差的等差数列，进而()(0)1n xf x x nx=>+，则问题可解，解题要有敏锐的观察力和严密的推理能力. 四、问题的解决1．函数()f x =21++x ax 在区间()2∞－，＋上单调递增,则实数a 的取值X 围是（ ） A ．（0,21） B ．（21,＋∞）C ．()2∞－，＋D ．())1(1∞⋃∞－，－，＋ 【答案】B 【解析】()()212112222a x a ax af x a x x x ++-+-===++++,函数在区间()2∞－，＋上 单调递增11202a a ∴-<∴> 2．已知函数21()(0)a f x ax a x+=->,若22(1)(3)f m f m m +>-+,则实数m 的取值X 围是（ ）A.(2,)+∞B.(,2)-∞C.(2,)-+∞D.(,2)-∞- 【答案】A【解析】∵0a >,∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.∵22(1)(3)f m f m m +>-+, ∴2213m m m +>-+,解得2m >,故选项为A.【评注】本题主要考查了初等函数的单调性以及利用单调性解抽象函数的不等式的能力,注重对基础的考查,难度一般；当0>a 时,对于形如22(1)(3)f m f m m +>-+这种形式的抽象函数不等式主要利用函数()x f 的单调性来解,熟练掌握初等函数ax y =和xa y 12+-=为单调递增函数是解决问题的关键,将其转化为2213m m m +>-+. 3．已知函数①y x =-；②1y x =+；③1y x=(0x >),其中y 随x 的增大而减小的函数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B4．函数111y x =--的图象是（ ）【答案】B【解析】将1y x =-的图象沿x 轴向右平移1个单位得到11y x =--的图象,再沿y 轴向上平移1个单位得到111y x =--的图象.故选B ．5.【2014某某文第10题】已知函数13,(1,0](),()()1,1]1,(0,1]x f x g x f x mx m x x x ⎧-∈-⎪==---+⎨⎪∈⎩且在（内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值X 围是( )A.91(,2](0,]42--B.111(,2](0,]42--C.92(,2](0,]43--D.112(,2](0,]43--【答案】A 【解析】4321123456642246令()h x mx m =+，则问题转化为()f x 与()h x 的图象在(]1,1-内有且仅有两个交点；()f x 是一个分段函数，()h x 的图象是过定点()1,0-的直线发上图所示，易求当直线与曲线在第三象限相切时，94m =-由图可知，924m -<≤-或102m <≤,故选A.【点晴】本题主要考查的是函数解析式的求解及常用方法,函数零点的判定定理,属于中档题,对于分段函数求零点问题,一定要分开分析,往往需要借助于数形结合的方法,先画出已知的那段函数的图象,判断出已知的那段函数有几个零点,再通过综合分析确定含有参数的那段函数的位置,即可得到参数的X 围或具体的数值,分段函数的处理方法是解决此类题目的关键. 6．具有性质：()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数： ①1y x x =-；②1y x x =+；③,010,11,1x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩其中满足“倒负”变换的函数是（ ）A ．①② B．①③ C．②③ D．① 【答案】B 【解析】①设()()111111,,1f x xf x f x y x x x x xx x⎛⎫=∴=-=-=-∴= ⎪⎝⎭是满足“倒负”变换的函数；②设()()1155,,2222f x x f f x⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭,即()112,2f f y x x ⎛⎫≠-∴=+ ⎪⎝⎭是不满足“倒负”变换的函数；③设()()()(),010,11,1x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩,则()()()(),010,1,011,1x x f x x x x x⎧⎪-<<⎪-==∴<<⎨⎪⎪>⎩时,11x >,此时111f x x x⎛⎫=-=-⎪⎝⎭;1x =时,11x =, 此时10,1f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭时,101x <<,此时()()()()()()()010111101,,01,1111x x f x x f f x x x y x xx x x x x==⎧⎧⎪⎪⎛⎫⎛⎫=-<<∴==-<<∴=⎨⎨ ⎪ ⎪>->⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎩是满足“倒负”变换的函数,故选B.【评注】本题通过新定义满足“倒负”变换的函数主要考查函数分段函数的解析式、“新定义”问题,属于难题.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题五个函数的判断都围绕满足“倒负”变换的函数具有“()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭”这一重要性质进行的,只要能正确运用这一性质,问题就能迎刃而解.7．已知函数3||3||x y x -=+的定义域为[,](,)a b a b Z ∈,值域为[0,1],那么满足条件的整数对(,)a b 共有（ ）A ．6个B ．7个 C.8个 D ．9个 【答案】．B 【解析】函数1||36||3|x |-3-+=+=x x y ,易知函数是偶函数,0>x 时是减函数,所以函数的图象如图所示,根据图象可知满足整数数对的有共7个．故选B ．【评注】此题考查学生会利用分类讨论及数学结合的数学思想解集实际问题,掌握函数定义域的求法,通过分离常数化简)(x f ,然后推出函数是偶函数,结合反比例函数的图象,0>x 得到)(x f 为减函数,利用偶函数图象关于y 轴对称的性质画出)(x f 的图象关于y 轴对称,可画出函数的图象,从函数的图象看出满足条件的整数对有7个． 8．函数52x y x a -=--在(1,)-+∞上单调递增,则a 的取值X 围是（ ）A.3a =-B.3a <C.3a ≤-D.3a ≥- 【答案】．C【评注】此题考查反比例函数的图象和性质,函数的图象的平移、对称变换,通过分离常数把)(x f 化成反比例型函数,通过做关于x 轴对称,向右平移,纵向伸缩把反比例函数变换成)(x f ,再结合反函数的图象和性质,画出)(x f 的图象,从函数的图象判断可知2+=a x 在1-=x 的左侧,即12-≤+a ,故3-≤a .9．如图,,A B 两点在反比例函数1k y x =的图象上,C D 、两点在反比例函数2ky x=的图象上,AC x ⊥轴于点E ,BD x ⊥轴于点F ,2AC =,3BD =,103EF =,则21k k -＝（ ）A ．4B ．143C ．163D ．6[ 【答案】A【解析】设11(,),(,)k k A m B n m n ,则22(,),(,)k k A m B n m n ,由题意,得122110323n m k k mk k n ⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪-⎪=⎪⎩,解得214k k -=,故选A ．【评注】过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段,垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于k ,结合函数图象所在的象限可以确定k 的值,反过来,根据k 的值,可以确定此矩形的面积；求函数解析式,一般先根据题意,找出或求出图象上的相关点,用待定系数法列方程求解,且常常将平面坐标系中三角形的面积问题转化为求线段的长度进而转化为求点的坐标问题．10.对于函数()f x ,定义域为D, 若存在0x D ∈使()00f x x =, 则称()00,x x 为()f x 的图象上的不动点. 由此，函数()953x f x x -=+的图象上不动点的坐标为. 【答案】(1,1),(5,5)【解析】显然不动点就是图数y=f(x)与直线y=x 的交点，所以由953x x x -=+得x=1,x=5，所以不动点坐标为(1,1),(5,5). 11.函数()1xf x x =+的对称中心为__________，如果函数()322(1)1x ax axg x x x -+=>-+的图像经过四个象限，则实数a 的取值X 围是__________． 【答案】 ()1,1-1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭12．已知关于x 的方程1|1|202kx x ---=+有三个不相等实根,那么实数k 的取值X 围是.【答案】(0,1(,0)-∞ 【解析】由题可知,2|211|+=+-kx x ,分别作出函数|211|+-=x y 及2+=kx y 的图象,如图,若关于x 的方程1|1|202kx x ---=+有三个不相等实根,则两函数图象有三个公共点,又直线2+=kx y 恒过点)2,0(,可知当0<k ,显然成立；当0>k 且与曲线211+-=x y 在)2,(--∞有两个交点时,此时2211+=+-kx x ,即03)12(2=+++x k kx ,其01842>+-=∆k k ,解得231-<k 或231+>k （舍去）,所以2310-<<k ,综上,实数k 的取值X围是(0,1(,0)-∞. 13．设函数x x x f +=1)(,则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值X 围是. 【答案】()1,∞- 【解析】()1x f x x=+为奇函数且为增函数,所以)12()(->x f x f 等价于1,12<->x x x . 14．若函数(x)43mx f x =-3()4x ≠在定义域内恒有[(x)]f f x =,则m 的值等于. 【答案】3【解析】()[]()x x m x m x x mx x m x mx x mxm x f f 91249124334434222+-=⇔=+-=---⨯=, 所以⎩⎨⎧==-901242m m ,解得：3=m . 15.已知函数[]1(),3,5,2x f x x x -=∈+ （Ⅰ）判断函数()f x 的单调性,并利用函数单调性定义进行证明；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值和最小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()12x f x x -=+在[]3,5上单调递增， 所以max 4()(5)7f x f ==, min 2()(3)5f x f == 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：和0比较；（4）下结论.。