2020新课标高考数学二轮习题：小题强化练(七) Word版含解析

2020年高考数学二轮复习小题押题（12+4）提速综合练习7-8“12＋4”小题提速综合练(七)一、选择题1．(2016·浙江高考)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2解析：选D 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．2．(2017·南京模拟)若复数z ＝(a －1)＋3i(a ∈R)在复平面内对应的点在直线y ＝x ＋2上，则a 的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．5D ．6解析：选B 因为复数z ＝(a －1)＋3i(a ∈R)在复平面内对应的点为(a －1,3)，所以由题意得点在直线y ＝x ＋2上，则3＝a －1＋2，解得a ＝2.3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3B ．y ＝sin 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6 D ．y ＝sin 12x解析：选A 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，再将图象向右平移π3个单位，所得图象对应的函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 4.如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的S ＝－12，则输出S 的值为( ) A ．4 B ．5C ．8D ．9解析：选C 第一次循环，得S ＝－10，n ＝2；第二次循环，得S ＝－6，n ＝3；第三次循环，得S ＝0，n ＝4；第四次循环，得S ＝8，n ＝5.此时S ＞n ，不满足循环条件，退出循环，输出S 的值为8，故选C.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差d 是( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选B 法一：等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，所以有S n n ＝a 1＋12(n －1)d ，代入S 33－S 22＝1中，得a 1＋12(3－1)d －a 1＋12(2－1)d ＝12d ＝1，所以d ＝2.法二：易知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为d2的等差数列，所以d ＝2.6．在[－2,6]上随机取一个数m ，则使关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m 2＝0有实数根的概率是( ) A.12 B.13C.14D.15解析：选A 由关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m 2＝0得(－4)2－4m 2≥0，解得－2≤m ≤2，所以所求概率P ＝2－(－2)6－(－2)＝12.7．函数y ＝e x cos e xe 2x －1的图象大致为( )解析：选D 设f (x )＝e x cos e xe 2x －1，则易得函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x )＝e －x cos (－e x )e －2x －1＝e x cos e x 1－e 2x＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，函数图象关于原点中心对称，排除A ；当0＜x ＜π2e 时，f (x )＞0，排除B ；当x增大时，函数值的符号正负交替出现，排除C ，故选D.8．(2017·南京模拟)某空间几何体的三视图如图所示(图中小正方形的边长为1)，则这个几何体的体积是( )A.323B.643C ．16D ．32解析：选A 由三视图可知该几何体如图所示，此几何体是三棱锥，且底面是腰长为4的等腰直角三角形，高为4，故该几何体的体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×4×4×4＝323. 9．(2017·惠州模拟)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 3B. 2 C ．2D ．3解析：选A 设双曲线C 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1中得y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫c 2a 2－1＝b 4a2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴e ＝1＋b 2a2＝ 3. 10．(2017·湘中名校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z) 解析：选C 因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，即⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，所以φ＝k π＋π6(k ∈Z)．因为f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，所以sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，即sin φ＜0，所以φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z)，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6，所以由三角函数的单调性知2x －5π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，得x ∈k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)． 11．已知曲线C ：y ＝18x 2的焦点为F ，过点F 的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且|FP |＝2|FQ |，则△OPQ 的面积等于( )A ．6 2 B.322C ．12 2D.324解析：选A 由题意得抛物线的标准方程为x 2＝8y ，所以焦点F (0,2)，易得直线l 的斜率一定存在，则不妨设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，与抛物线的方程联立，消去y 得x 2－8kx －16＝0，则x P x Q ＝－16， ①又因为|FP |＝2|FQ |，所以x P ＝－2x Q ， ②联立①②，解得⎩⎨⎧ x P ＝42，x Q ＝－22或⎩⎨⎧x P ＝－42，x Q ＝22，所以S △OPQ ＝12(|x P |＋|x Q |)·|OF |＝6 2.12．(2018届高三·昆明两区七校调研)若f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －m2有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，13B.⎝⎛⎦⎤0，23 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎣⎡⎭⎫23，＋∞解析：选B 依题意，f (x )＝1f (x ＋1)－1，当x ∈(－1,0)时，x ＋1∈(0,1)， f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1， 由g (x )＝0得f (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x ＋12. 在同一坐标系上画出函数y ＝f (x )与y ＝m ⎝⎛⎭⎫x ＋12在区间(－1,1]内的图象， 结合图象可知，要使g (x )有两个零点，只需函数y ＝f (x )与y ＝m ⎝⎛⎭⎫x ＋12该直线斜率为m ，过点－12，0在区间(－1，1]内的图象有两个不同的交点，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，23，选B. 二、填空题13．(2017·合肥模拟)某同学在高三学年的五次阶段性考试中，数学成绩依次为110,114,121,119,126，则这组数据的方差是________．解析：因为对一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，所以本题中可以先对这5个数据同时减去110，得到新的数据分别为0,4,11,9,16，其平均数为x ＝15(0＋4＋11＋9＋16)＝8，根据方差公式可得s 2＝(0－8)2＋(4－8)2＋(11－8)2＋(9－8)2＋(16－8)25＝30.8. 答案：30.814．(2018届高三·广西五校联考)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )，且b 在a 上的投影为3，则向量a 与b 的夹角为________．解析：因为a ·b ＝3＋3m ，|a |＝12＋(3)2＝2，|b |＝9＋m 2，由|b |cos 〈a ，b 〉＝3，可得a ·b|a |＝3，故3＋3m 2＝3，解得m ＝3，故|b |＝9＋3＝23，故cos 〈a ，b 〉＝323＝32，故〈a ，b 〉＝π6，即向量a 与b 的夹角为π6. 答案：π615．(2017·西安八校联考)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a ，若z ＝x ＋2y 的最大值为3，则a 的值是________．⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a表示的平解析：依题意得a ＞0，在平面直角坐标系内大致画出不等式组面区域如图所示，结合图形可知，直线z ＝x ＋2y 经过直线y ＝a 与直线x －y ＝0的交点，即点A (a ，a )时，z ＝x ＋2y 取得最大值3，因此a ＋2a ＝3，a ＝1.答案：116．(2017·福建质检)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝23，a n ＋1－S n ＝23.用[x ]表示不超过x 的最大整数，如：[－0.4]＝－1，[1.6]＝1.设b n ＝[a n ]，则数列{b n }的前2n 项和为________．解析：当n ≥2时，由题意，得S n ＝a n ＋1－23，S n －1＝a n －23，两式相减得，a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝23，a 2－a 1＝23，所以a 2＝43，即a 2a 1＝2，所以数列{a n }是首项为23，公比为2的等比数列，所以a n ＝23·2n －1＝13·2n.所以b 1＝0，b 2＝1＝2b 1＋1， b 3＝2＝2b 2，b 4＝5＝2b 3＋1， b 5＝10＝2b 4，b 6＝21＝2b 5＋1， b 7＝42＝2b 6，b 8＝85＝2b 7＋1， …，b 2n －1＝2b 2n －2，b 2n ＝2b 2n －1＋1， 所以b 1＋b 2＝21－1，b 3＋b 4＝23－1， b 5＋b 6＝25－1，b 7＋b 8＝27－1，…， b 2n －1＋b 2n ＝22n －1－1，设数列{b n }的前2n 项和为T 2n ， 则T 2n ＝2(1－4n )1－4－n ＝22n ＋13－n －23.答案：22n ＋13－n －23“12＋4”小题提速综合练(八)一、选择题1．(2017·湘中名校联考)已知集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}，B ＝{x |x ＝2(3n ＋1)，n ∈Z}，则A ∩B 等于( ) A ．{2} B ．{2,8} C ．{4,10}D ．{2,4,8,10}解析：选B 因为集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}＝{x |－1＜x ＜12}，集合B 为被6整除余数为2的数．又集合A 中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余数为2的数有2和8，所以A ∩B ＝{2,8}．2．(2017·兰州模拟)下列命题中的真命题为( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x ≥x 2C ．已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．已知a ，b 为实数，则a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分不必要条件解析：选D 选项A 为假命题，理由是对∀x ∈R ，e x ＞0；选项B 为假命题，不妨取x ＝3，则23＜32，显然不满足∀x ∈R,2x ≥x 2；选项C 为假命题，当b ＝0时，由a ＋b ＝0推不出a b ＝－1，但由ab ＝－1可推出a ＋b ＝0，即a ＋b ＝0的充分不必要条件是ab ＝－1.3．(2017·石家庄模拟)已知等差数列{a n }的公差为5，前n 项和为S n ，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 6＝( ) A ．80 B ．85 C ．90D ．95解析：选C 由题意，得(a 1＋5)2＝a 1(a 1＋4×5)，解得a 1＝52，所以S 6＝6×52＋6×52×5＝90.4．(2017·合肥模拟)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，a ·b ＝1，则|a －b |＝( ) A ．2 B ．2 3 C ．3D ．2 5解析：选B 因为|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2，|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2，以上两式相减可得，4a ·b ＝|a ＋b |2－|a －b |2，所以|a －b |2＝|a ＋b |2－4a ·b ＝16－4＝12，即|a －b |＝2 3.5．(2018届高三·湖北五校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2，由a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B .6．一个凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积为( )A ．5 2B ．6 2C ．9D ．10解析：选C 由三视图知，该几何体是一个四棱锥，画出该几何体的直观图如图中实线所示，所以该四棱锥由两个三棱锥组成，其体积V ＝2×13×12×32×3＝9.7.(2017·云南模拟)执行如图所示的程序框图，如果输入的N ＝30，则输出的S ＝( )A ．26B ．57C ．225D ．256解析：选B 第一次循环，得S ＝1，n ＝3；第二次循环，得S ＝4，n ＝7；第三次循环，得S ＝11，n ＝15；第四次循环，得S ＝26，n ＝31；第五次循环，S ＝57，n ＞30.所以此时退出循环，故输出的S ＝57.8．(2018届高三·玉溪四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．[0,2]C ．[－2,2)D ．[－1,2)解析：选D 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x >a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x >a 时有一个解，由x ＝2得a <2；由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2，则由x ≤a 得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．9．(2017·广西三市联考)已知在(0，＋∞)上函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，0＜x ＜1，1，x ≥1，则不等式log 2x －(log 144x －1)f (log 3x ＋1)≤5的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫13，1 B ．[1,4] C.⎝⎛⎦⎤13，4D ．[1，＋∞)解析：选C 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1≥1，log 2x －⎝⎛⎭⎫log 144x －1≤5 或⎩⎪⎨⎪⎧0＜log 3x ＋1＜1，log 2x ＋2⎝⎛⎭⎫log 144x －1≤5，解得1≤x ≤4或13＜x ＜1，∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤13，4. 10．(2017·安徽二校联考)在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD ―→·AE ―→等于( )A.16B.29C.1318D.13解析：选C 法一：因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝13，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB 2－2BD ·AB ·cos 60° ＝⎝⎛⎭⎫132＋12－2×13×1×12＝79， 即AD ＝73，同理可得AE ＝73， 在△ADE 中，由余弦定理得 cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE＝79＋79－⎝⎛⎭⎫1322×73×73＝1314，所以AD ―→·AE ―→＝|AD ―→|·|AE ―→|cos ∠DAE ＝73×73×1314＝1318. A ⎝⎛⎭⎫0，32，D ⎝⎛⎭⎫－16，0，法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD ―→＝⎝⎛⎭⎫－16，－32，AE ―→＝⎝⎛⎭⎫16，－32，所以AD ―→·AE ―→＝⎝⎛⎭⎫－16，－32·⎝⎛⎭⎫16，－32＝－136＋34＝1318.11．(2018届高三·贵州摸底)已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω＞0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤136，72 B.⎝⎛⎦⎤72，256 C.⎝⎛⎦⎤256，112D.⎝⎛⎦⎤112，376解析：选B 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3， 方程2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3＝－12在(0，π)上有且只有四个实数根．设t ＝ωx －π3，因为0＜x ＜π，所以－π3＜t ＜ωπ－π3，所以19π6＜ωπ－π3≤23π6，解得72＜ω≤256.12．(2018届高三·石家庄调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，AF 2，BF 2分别交y 轴于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为12，则ab 取得最大值时该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C ．2 2D.233解析：选D 由题意，得|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝2b 2a ， ①且P ，Q 分别为AF 2，BF 2的中点． 由双曲线的定义，知|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ② |BF 2|－|BF 1|＝2a ， ③联立①②③，得|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋2b 2a .因为△PQF 2的周长为12，所以△ABF 2的周长为24， 即4a ＋4b 2a ＝24，亦即b 2＝6a －a 2， 所以(ab )2＝6a 3－a 4. 令f (a )＝6a 3－a 4，则f ′(a )＝18a 2－4a 3＝4a 2⎝⎛⎭⎫92－a ， 所以f (a )在⎝⎛⎭⎫0，92上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫92，＋∞上单调递减， 所以当a ＝92时，f (a )取得最大值，此时b 2＝6×92－⎝⎛⎭⎫922＝274，所以c ＝a 2＋b 2＝33， 所以e ＝c a ＝233.二、填空题13．若函数f (x )＝(x －a )(x ＋3)为偶函数，则f (2)＝________.解析：由f (x )＝x 2＋(3－a )x －3a 为偶函数，知其奇次项的系数为0，所以3－a ＝0，a ＝3，所以f (2)＝22－9＝－5.答案：－514．(2017·贵阳模拟)已知不等式1＋14<32，1＋14＋19<53，1＋14＋19＋116<74，照此规律总结出第n 个不等式为________________________________．解析：由已知，三个不等式可以写成1＋122<2×2－12，1＋122＋132<2×3－13，1＋122＋132＋142<2×4－14，所以照此规律可得到第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2＋1(n ＋1)2<2(n ＋1)－1n ＋1＝2n ＋1n ＋1.答案：1＋122＋132＋…＋1n 2＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋115．(2017·广西五校联考)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．解析：两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0分别配方得，(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，依题意得两圆相外切，故a 2＋4b 2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，则1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫a 29＋4b 29⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝19＋a 29b 2＋4b 29a 2＋49≥59＋2a 29b 2·4b 29a 2＝1，当且仅当a 29b 2＝4b 29a 2，即a 2＝2b 2时等号成立，故1a 2＋1b 2的最小值为1. 答案：116．设A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝π3，C 是球面上的动点，若四面体OABC 的体积V 的最大值为934，则此时球的表面积为________．解析：在四面体OABC 中，显然△OAB 的面积一定，设球O 的半径为R ，则S △OAB ＝12×R ×32R ＝34R 2，要使四面体的体积最大，则只需球上的点到平面OAB 的距离最大，显然，到平面OAB 距离的最大值为球的半径，所以(V C -OAB )max ＝13×34R 2×R ＝312R 3＝934，解得R ＝3，由球的表面积公式得S 球＝4πR 2＝4×32×π＝36π. 答案：36π。

小题强化练(五)一、单项选择题1．已知集合A ＝{x |x 2－16≤0}，B ＝{x |lg|x －2|>0}，则A ∩B ＝( ) A ．[－4，1)∪(3，4] B ．[－4，－3)∪(－1，4] C ．(－4，1)∪(3，4)D ．(－4，－3)∪(－1，4)2．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－1，0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)3．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( )A ．2 B.12 C ．4D.144．若a ＝log 32，b ＝lg 0.2，c ＝20.2，则( ) A ．c <b <a B ．b <a <c C ．a <b <cD ．b <c <a5．6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种6．已知抛物线x 2＝8y与双曲线y 2a2－x 2＝1(a >0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝07．倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为( )A.32B.23C.22D.338．定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0成立，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫π6>2f ⎝⎛⎭⎫π4B.3f ⎝⎛⎭⎫π6>f ⎝⎛⎭⎫π3C ．f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3D ．f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π4二、多项选择题9．下列说法正确的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(x ，y )B ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好C ．从独立性检验可知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有95%的可能患有肺病D ．从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有1%的可能性使得推断出现错误10．下列函数中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0”成立的是( )A ．f (x )＝－x 2－2x ＋1B ．f (x )＝x －1xC ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝log 12(2x )＋111．把函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋1图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝2π3B ．x ＝5π8C ．x ＝π4D ．x ＝π812．以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的中线AD 为折痕，将△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面．下列说法正确的是( )A ．BD ⊥平面ACDB ．△ABC 为等边三角形 C ．平面ADC ⊥平面ABCD ．点D 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外接圆圆心 三、填空题13．已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________．14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 2a cos(θ－B )＋2b cos(θ＋A )＋c ＝0，则cos θ的值为________．15．已知数列{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .则{a n }的通项公式为________；{b n }的前n 项和为________．16．已知三棱锥P -ABC 的底面ABC 是等腰三角形，AB ⊥AC ，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ＝1，则这个三棱锥内切球的半径为________．小题强化练(五)1．解析：选A.由题意得A ＝{x |－4≤x ≤4}，B ＝{x |x >3或x <1}，结合交集的定义知A ∩B ＝[－4，1)∪(3，4]．故选A.2．解析：选A.法一：因为z ＝1＋m i 1＋i ＝（1＋m i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A. 法二：当m ＝0时，z ＝11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B ，C ，D ，故选A.3．解析：选B.因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号)． 又因为2a ＋b ＝4， 所以22ab ≤4⇒0<ab ≤2，所以1ab ≥12，故1ab 的最小值为12，故选B.4．解析：选B.由对数函数的性质可得a ＝log 32∈(0，1)，b ＝lg 0.2<0，由指数函数的性质可得c ＝20.2>1，所以b <a <c ，故选B.5．解析：选A.由题意知将甲、乙两本书放在两端有A 22种放法，将丙、丁两本书捆绑，与剩余的两本书排列，有A 33种放法，将相邻的丙、丁两本书排列，有A 22种放法，所以不同的摆放方法有A 22×A 33×A 22＝24(种)，故选A.6．解析：选B.设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 20a 2－x 20＝1，9a 2－24＝1，a 2＝925，所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a 2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B.7．解析：选B.由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1y ＝x －c ，所以(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有两个交点，则Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2ca 2＋b 2y 1y 2＝－b 4a 2＋b 2，又AF →＝2FB →，所以(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，所以－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b 2－2y 22＝－b4a 2＋b2，所以12＝4c 2a 2＋b 2，所以e ＝23，故选B.8．解析：选C.因为cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0，所以在⎝⎛⎭⎫0，π2上，⎣⎡⎦⎤f （x ）cos x ′<0，所以函数y ＝f （x ）cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，所以f ⎝⎛⎭⎫π6cos π6>f ⎝⎛⎭⎫π3cosπ3，所以f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3，故选C.9．解析：选ABD.对于A ，回归直线一定过样本点的中心点(x ，y )，正确； 对于B ，回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，正确； 对于C ，从独立性检验知：有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，他有95%的可能与患有肺病有关，C 错误；对于D ，从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有1%的可能性使得推断出现错误，D 正确．10．解析：选AD.根据题意，“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0”，则函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，据此依次分析选项：对于选项A ，f (x )＝－x 2－2x ＋1，为二次函数，其对称轴为x ＝－1，在(0，＋∞)上递减，符合题意；对于选项B ，f (x )＝x －1x ，其导数f ′(x )＝1＋1x 2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上递增，不符合题意；对于选项C ，f (x )＝x ＋1为一次函数，所以f (x )在(0，＋∞)上递增，不符合题意；对于选项D ，f (x )＝log 12(2x )＋1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．11．解析：选BD.根据题中变换，所得图象对应的函数解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，令2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝π8＋k π2(k ∈Z )，取k ＝0，得x ＝π8，取k ＝1得，x ＝5π8，故选BD.12.解析：选ABD.在A 中，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的中线AD 为折痕，将△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面，所以AD ⊥BD ，CD ⊥BD ，因为AD ∩CD ＝D ，AD ，CD ⊂平面ACD ，所以BD ⊥平面ACD ，故A 正确；在B 中，因为AD ，CD ，BD 两两垂直，AD ＝CD ＝BD ，所以AB ＝AC ＝BC ，所以△ABC 为等边三角形，故B 正确；在C 中，取AC 中点O ，连接DO ，BO ，则BO ⊥AC ，DO ⊥AC ，所以∠BOD 是平面ADC 与平面ABC 所成角的平面角，设CD ＝1，则OD ＝12AC ＝12AD 2＋CD 2＝22，OB ＝（2）2－⎝⎛⎭⎫222＝62，所以cos ∠BOD ＝OD 2＋OB 2－BD 22×OD ×OB ＝12＋32－12×22×62＝33，所以平面ADC 与平面ABC 不垂直，故C 错误；在D 中，因为AD ，CD ，BD 两两垂直，AD ＝CD ＝BD ，所以AB ＝CA ＝BC ，所以△ABC 为等边三角形，所以点D 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外接圆圆心，故D 正确．13．解析：由f (2)＝8＋a log 32＝6，解得a ＝－2log 32，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝18＋a log 312＝18－a log 32＝18＋2log 32×log 32＝178. 答案：17814．解析：由正弦定理，得2sin A cos(θ－B )＋2sin B cos(θ＋A )＋sin C ＝0，展开得到2sin A cosθcos B ＋2sin A sin θsin B ＋2sin B cos θcos A －2sin B sin θsin A ＋sin C ＝0，化简得2cos θ(sin A cos B ＋sin B cos A )＋sin C ＝0，即2cos θsin(A ＋B )＋sin C ＝0，由三角形内角和定理，得sin(A ＋B )＝sin C ≠0，故cos θ＝－12.答案：－1215．解析：因为a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .当n ＝1时，a 1b 2＋b 2＝b 1，因为b 1＝1，b 2＝13，所以a 1＝2，又因为{a n }是公差为3的等差数列，所以a n ＝3n －1.(3n －1)b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，知3b n ＋1＝b n .即数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，所以{b n }的前n 项和S n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n1－13＝32(1－3－n )＝32－12·3n －1.答案：a n ＝3n －1 32－12·3n －116.解析：如图所示，依题意可得S △ABC ＝12×1×1＝12，S △P AB ＝12×1×1＝12，S △P AC ＝12×1×1＝12，S △PBC ＝12×2×2×sin 60°＝32.设这个三棱锥内切球的半径为r，则有V P­ABC＝13×S△ABC×P A＝13(S△P AB＋S△P AC＋S△ABC＋S△PBC)×r，得到13×12×1＝13×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＋32×r，解得r＝3－36. 答案：3－36。

一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A.因为f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x ，x <0，所以f (－2)＝－(－2)＝2，所以f (f (－2))＝f (2)＝22＝4.2．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－x 2＋1C ．y ＝2xD ．y ＝log 2|x |解析：选B.因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A 、C ，又y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝log 2|x |在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.3．(2019·高考全国卷Ⅱ)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝( )A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1解析：选D.通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D. 优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D. 4．(2019·安徽五校联盟第二次质检)函数y ＝x 2＋12x的图象大致为( )解析：选C.因为函数y ＝x 2＋12x 为奇函数，所以其图象关于原点对称，当x >0时，y ＝12x 2＋1x 2＝121＋1x2，所以函数y ＝x 2＋12x在(0，＋∞)上单调递减，所以排除选项B ，D ；又当x ＝1时，y ＝22<1，所以排除选项A ，故选C. 5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C.由图象可得a ×(－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln （x ＋2），x ≥－1， 故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1.6．下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.7．(2019·湖南省五市十校联考)若f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，则满足f (x －1)>1e 2－e 2的x 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)解析：选B.由f (x )＝e x －a e －x 为奇函数，得f (－x )＝－f (x )，即e －x －a e x ＝a e －x －e x ，得a ＝1，所以f (x )＝e x －e －x ，则f (x )在R 上单调递增，又f (x －1)>1e 2－e 2＝f (－2)，所以x －1>－2，解得x >－1，故选B.8.如图，把圆周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A (0，1)，一动点M 从点A 开始逆时针绕圆运动一周，记AM ︵＝x ，直线AM 与x 轴交于点N (t ，0)，则函数t ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D.当x 由0→12时，t 从－∞→0，且单调递增，当x 由12→1时，t 从0→＋∞，且单调递增，所以排除A 、B 、C ，故选D.9．(2019·福州市第一学期抽测)如图，函数f (x )的图象为两条射线CA ，CB 组成的折线，如果不等式f (x )≥x 2－x －a 的解集中有且仅有1个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－2<a <－1}B ．{a |－2≤a <－1}C ．{a |－2≤a <2}D ．{a |a ≥－2}解析：选B.根据题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，不等式f (x )≥x 2－x －a 等价于a ≥x 2－x －f (x )，令g (x )＝x 2－x －f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －2，x ≤0，x 2－2，x >0，作出g (x )的大致图象，如图所示，又g (0)＝－2，g (1)＝－1，g (－1)＝2，所以要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则－2≤a <－1，即实数a 的取值范围是{a |－2≤a <－1}．故选B.10．(2019·福州市质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x＋4，x ≤0，－x 3－x ＋5，x >0，当x ∈[m ，m ＋1]时，不等式f (2m －x )<f (x ＋m )恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－∞，－2)C ．(－2，2)D ．(－∞，0)解析：选B.易知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x＋4，x ≤0－x 3－x ＋5，x >0在x ∈R 上单调递减， 又f (2m －x )<f (x ＋m )在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2m －x >x ＋m ，即2x <m 在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2(m ＋1)<m ，解得m <－2，故选B.11．(多选)已知函数f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )，则( ) A ．f (x )在(2，6)上单调递增 B ．f (x )在(2，6)上的最大值为2ln 2 C ．f (x )在(2，6)上单调递减D ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称解析：选BD.f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )＝ln[(x －2)(6－x )]，定义域为(2，6)．令t ＝(x －2)(6－x )，则y ＝ln t ．因为二次函数t ＝(x －2)(6－x )的图象的对称轴为直线x ＝4，又f (x )的定义域为(2，6)，所以f (x )的图象关于直线x ＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD.12．(多选)已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则( ) A ．πe <3e B ．3e －2π<3πe －2C ．log πe<log 3eD ．πlog 3e>3log πe解析：选CD.已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，所以π>3>e>2，所以⎝⎛⎭⎫π3e>1，πe >3e，故A 错误；因为0<3π<1，1>e －2>0，所以⎝⎛⎭⎫3πe －2>3π，所以3e －2π>3πe －2，故B 错误；因为π>3，所以log πe<log 3e ，故C 正确；由π>3，可得log 3e>log πe ，则πlog 3e>3log πe ，故D 正确．故选CD.13．(多选)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1B ．有最大值1C ．无最大值D ．无最小值解析：选AC.作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x －1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值．二、填空题14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝________．解析：当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.答案：－151615．已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1，ax ＋a －2，x <1在R 上单调递增，那么实数a 的取值范围是________．解析：依题意，⎩⎨⎧a >1，a ＋a －2≤a ，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围为(1，2]．答案：(1，2]16．已知函数f (x )的图象关于点(－3，2)对称，则函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象的对称中心为________．解析：函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象是由函数f (x )的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f (x )的图象关于点(－3，2)对称，所以函数h (x )的图象的对称中心为(－4，－1)．答案：(－4，－1)17．(2019·广东惠州调研改编)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x－1，则f (3)＝________；若在(－2，6)内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >0且a ≠1)有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x ＋2)＝f (2－x )，得f (x )＝f (4－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (4－x )＝f (x )＝f (－x )，即f (4＋x )＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数．则f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1－1＝2－1.画出函数f (x )与函数y ＝log a (x ＋2)在(－2，6)上的图象如图所示．要使函数f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象有4个不同的交点，则有⎩⎨⎧a >1，log a（6＋2）<1，解得a >8，即实数a 的取值范围是(8，＋∞)．答案：2－1 (8，＋∞)。

一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．已知直线:350l x y +-=，则直线l 的倾斜角为___________（用反三角表示）。

2．22lim______________12n n n→∞+=+++L 。

3．在△ABC 中，若90C ∠=o，4AC BC ==，则_____________BA BC ⋅=u u u r u u u r。

4．函数2()f x x =-((,2])x ∈-∞-的反函数1()f x -= 。

5．若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围是_______。

6．若1i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个根，则__________p q +=。

7．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r，且A 、B 、C 三点共线，则k= 。

8．若 12z a i =+, 243z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 。

9．设数列｛a n ｝是公比q ＞0的等比数列，S n 是它的前n 项和，若lim n →∞S n ＝7，则此数列的首项a 1的取值范围是 。

10． 函数2sin arcsin y x x =+的值域是 。

11．若2cos()1,(0,2),3x x πααπ=+=∈是方程的解其中则________α=。

12．已知等差数列{}n a ，若数列{}n b 满足12nn a a a b n+++=L ，则数列{}n b 也是等差数列，类比这一性质，相应地已知等比数列{}n c 中，0n c >，若n d = ，则数列{}n d 也是等比数列。

二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．已知向量(5,3),(2,)a x b x =-=r r，且a b ⊥r r ，则由x 的值构成的集合是（ ）（A ）{2，3} （B ）{－1，6} （C ）{2} （D ）{6} 14．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B ⊂是()U C A B U ⋃=的 （ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件15．设函数()f x 为定义域在R 上的以3为周期的奇函数，若23(1)1,(2)1a f f a ->=+，则（ ） （A ）23a < (B)213a a <≠-且 (C)213a a ><-或 (D)213a -<<16．某工厂投入98万元购买一套设备，第一年的维修费用12万元，以后每年增加4万元，每年可收入50万元．就此问题给出以下命题：①前两年没能收回成本；②前5年的平均年利润最多；③前10年总利润最多；④第11年是亏损的；⑤10年后每年虽有盈利但与前10年比年利润有所减少．（总利润=总收入－投入资金－总维修费）其中真命题是（ ）(A)①②⑤ (B)①③⑤ (C)①③④ (D)②③④ 三、解答题（共5小题，满份48分） 17．(本题满分8分)已知z 是复数，22zz i i+-、均为实数（i 为虚数单位），且复数2()z a i +在复平面上对应的点在第三象限，求实数a 的取值范围。

小题强化练(三)一、单项选择题1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤3}，B ＝{x |x 2＋6x －16<0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－8<x <2} B ．{0，1} C ．{1}D ．{0，1，2}2．已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则1＋z1－z ＝( )A.15＋25i B ．－15＋25iC.15－25i D ．－15－25i3．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金棰由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的重量为( )A ．6斤B ．9斤C ．10斤D ．12斤4．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1，且AB ⊥BC ，点M 是A 1C 1的中点，则异面直线MB 与AA 1所成角的余弦值为( )A.13B.223C.324D.125．在区间[－2，2]上随机取一个数b ，若使直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点的概率为12，则a ＝( )A.14B.12 C ．1D ．26．已知定义在R 上的函数f (x )满足：(1)f (x ＋2)＝f (x )；(2)f (x －2)为奇函数；(3)当x ∈[0，1)时，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0(x 1≠x 2)恒成立，则f ⎝⎛⎭⎫－152，f (4)，f ⎝⎛⎭⎫112的大小关系正确的是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫112>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫－152 B ．f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112>f ⎝⎛⎭⎫－152 C ．f ⎝⎛⎭⎫－152>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112 D ．f ⎝⎛⎭⎫－152>f ⎝⎛⎭⎫112>f (4)7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点．设M 为抛物线上的动点，则|MO ||MF |的最大值为( )A. 3 B ．1 C.33D.2338．将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度得到y ＝f (x )的图象．若函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，且f (x )的最大负零点在区间⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6上，则φ的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤π6，π4 B.⎝⎛⎭⎫π6，π2 C.⎝⎛⎦⎤π12，π4 D.⎝⎛⎭⎫π12，π2 二、多项选择题9．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点P (－1，m )(m ＞0)，则下列各式的值一定为负的是( )A ．sin α＋cos αB ．sin α－cos αC ．sin αcos αD.sin αtan α 10．(2019·湖南长沙一模)设a ，b ，c 表示不同直线，α，β表示不同平面，下列结论不正确的是( )A ．若a ∥c ，b ∥c ，则a ∥bB ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αC ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bD ．若a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a ∥b11．已知函数f (x )＝2x －log 12x ，且实数a >b >c >0满足f (a )f (b )f (c )<0.若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>aC ．x 0<bD ．x 0<c12．已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln x D ．f (x )＝tan x三、填空题13．二项式⎝⎛⎭⎫2x －x 9展开式中含x 3项的系数为________．14．设数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，已知a 2a 4＝16，S 3＝28，则当a 1a 2…a n 最大时，n 的值为________．15．如图，在△ABC 中，已知M 为边BC 上一点，BC →＝4BM →，∠AMC ＝π3，AM ＝2，△AMC 的面积为33，则CM ＝________；cos ∠BAC ＝________．16．已知扇形OAB 的圆心角∠AOB ＝90°，半径为2，C 是其弧上一点．若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ·μ的最大值为________．小题强化练(三)1．解析：选B.由A ＝{x ∈N |x ≤3}＝{0，1，2，3}，B ＝{x |x 2＋6x －16<0}＝{x |－8<x <2}，得A ∩B ＝{0，1}，故选B.2．解析：选B.因为z ＝－1＋i ，所以1＋z 1－z ＝1－1＋i 1－（－1＋i ）＝i 2－i ＝i （2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－15＋25i.故选B. 3．解析：选B.由题意知金杖由粗到细每一尺构成一个等差数列，且首项a 1＝4，a 5＝2，则公差d ＝a 5－a 15－1＝－12.所以a 3＝a 1＋2d ＝4－1＝3，所以a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝9，故选B.4.解析：选B.法一：由题知AA 1∥BB 1，则异面直线MB 与AA 1所成角为∠MBB 1，如图．又△BB 1M 为直角三角形，cos ∠MBB 1＝BB 1MB.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，设AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1＝2，由AB ⊥BC ，得B 1M ＝12A 1C 1＝22.故MB ＝22＋⎝⎛⎭⎫222＝32，所以cos ∠MBB 1＝BB 1MB ＝223，故选B.法二：以B 为原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设AA 1＝2A 1B 1＝2B 1C 1＝2，则M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，B (0，0，0)，A (1，0，0)，A 1(1，0，2)，所以MB →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－2，AA 1→＝(0，0，2)．设异面直线MB 与AA 1所成角为θ，则cos θ＝|MB →·AA 1→||MB →||AA 1→|＝492×2＝223，所以异面直线MB 与AA 1所成角的余弦值为223，故选B.5．解析：选B.由直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点，得圆心到直线的距离d ＝|b |2≤a ，解得b ∈[－2a ，2a ]．又b ∈[－2，2]，且直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝a 有交点的概率为12，所以由几何概型的概率计算公式可知P ＝2a －（－2a ）2－（－2）＝12，解得a ＝12，故选B. 6．解析：选C.由f (x ＋2)＝f (x )可知函数f (x )的周期为2，可知f (x )＝f (x －2)．又f (x －2)为奇函数，可知f (x )为奇函数．所以f ⎝⎛⎭⎫－152＝f ⎝⎛⎭⎫－152＋2×4＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (4)＝f (4－2×2)＝f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫112＝f ⎝⎛⎭⎫112－2×3＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又x ∈[0，1)时，f (x )单调递增，故奇函数f (x )在(－1，1)内单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)>f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫－152>f (4)>f ⎝⎛⎭⎫112，故选C. 7．解析：选D.设抛物线上点M (m ，n )(m >0)，则n 2＝2pm ，可得|MO |＝m 2＋n 2＝m 2＋2pm .由抛物线的定义得|MF |＝m ＋p 2，所以|MO ||MF |＝m 2＋2pmm ＋p 2＝m 2＋2pmm 2＋pm ＋p 24＝1＋pm －p 24m 2＋pm ＋p 24.令pm －p 24＝t ，t >－p 24，则m ＝t p ＋p 4，所以|MO ||MF |＝1＋tt 2p 2＋3t 2＋9p 216＝1＋1t p 2＋32＋9p 216t≤1＋13＝233，当且仅当t p 2＝9p 216t ，即t ＝3p 24时，等号成立，故选D. 8．解析：选C.法一：函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度得到函数f (x )＝sin (2x －2φ)的图象，则当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －2φ∈⎣⎡⎦⎤－2φ，π2－2φ.由函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，可知⎩⎨⎧－π2＋2k π≤－2φ，π2－2φ≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－k π≤φ≤π4－k π(k ∈Z )．又由0<φ<π2，可知0<φ≤π4①.函数f (x )的所有零点满足2x －2φ＝k π(k ∈Z )，即x ＝12k π＋φ(k ∈Z )，由最大负零点在⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6内，得－5π12<12k π＋φ<－π6(k ∈Z )，即－5π12－12k π<φ<－π6－12k π(k ∈Z )，由0<φ<π2可知当k ＝－1时，π12<φ<π3②.由①②，φ的取值范围为⎝⎛⎦⎤π12，π4，故选C.法二：由题意得f (x )＝sin(2x －2φ)观察选项可取φ＝π3，可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，可知当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，2x －2π3∈⎣⎡⎦⎤－2π3，－π6，函数f (x )先减后增，不符合题意，排除B ，D ；取φ＝π6，易得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，令2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝π6＋k 2π(k ∈Z )，则函数f (x )取得的最大负零点为x ＝－π3∈⎝⎛⎭⎫－5π12，－π6，符合题意，排除A ，故选C.9．解析：选CD.由已知得r ＝|OP |＝m 2＋1，则sin α＝m m 2＋1＞0，cos α＝－1m 2＋1＜0，tan α＝－m ＜0，所以sin x ＋cos α的符号不确定，sin α－cos α＞0，sin αcos α＜0，sin αtan α＝cos α＜0.故选CD. 10．解析：选BCD.由a ，b ，c 表示不同直线，α，β表示不同平面知： 在A 中，若a ∥c ，b ∥c ，则由平行公理得a ∥b ，故A 正确； 在B 中，若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a ⊂α，故B 错误；在C 中，若a ∥α，b ∥α，则a 与b 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，若a ⊂α，b ⊂β，α∥β，则a 与b 平行或异面，故D 错误．11．解析：选ABC.由f (x )＝2x －log 12x ，可知函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增．因为实数a >b >c >0满足f (a )f (b )f (c )<0，则f (a )，f (b )，f (c )可能都小于0或有1个小于0，2个大于0，如图．则A ，B ，C 可能成立，x 0>c ，D 不可能成立．12．解析：选AC.若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，方程显然有解，故A 符合要求；若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，令e －x ＝－e －x ，此方程无解，故B 不符合要求；若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，令ln x ＝1x ，在同一直角坐标系内作出函数y ＝ln x 与y ＝1x 的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x )＝f ′(x )存在实数解，故C 符合要求；若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令tan x ＝1cos 2x ，化简得sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x ＝2，无解，故D 不符合要求．故选AC.13．解析：二项式展开式的通项为T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭⎫2x 9－r(－x )r ＝(－1)r ·29－r C r 9x 32r －9.令32r －9＝3，解得r ＝8，可知所求二项式展开式中含x 3项的系数为(－1)8·29－8C 89＝2×9＝18.答案：1814．解析：由数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝16，可得a 3＝4.又S 3＝a 3⎝⎛⎭⎫1q 2＋1q ＋1＝28，可得1q 2＋1q ＋1＝7，即⎝⎛⎭⎫1q －2·⎝⎛⎭⎫1q ＋3＝0，解得q ＝12⎝⎛⎭⎫q ＝－13舍去，故a n ＝a 3qn －3＝25－n.则a 1a 2…a n ＝24×23×…×25－n＝2（9－n ）n 2，可知当（9－n ）n2取得最大值时，a 1a 2…a n 取得最大值，此时整数n ＝4或5.答案：4或515．解析：因为在△AMC 中，∠AMC ＝π3，AM ＝2，△AMC 的面积为33，则有33＝12AM ·CM ·sin ∠AMC ＝12×2×CM ×32，所以解得CM ＝6. 因为BC →＝4BM →，所以BM ＝2，BC ＝8，因为∠AMB ＝π－∠AMC ＝2π3，所以由余弦定理可得AB ＝AM 2＋BM 2－2AM ·BM ·cos ∠BMA ＝22＋22－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝23， AC ＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC ＝22＋62－2×2×6×12＝27，所以cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12＋28－642×23×27＝－217.答案：6 －21716．解析：由题|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，且OA →·OB →＝0.由OC →＝λOA →＋μOB →，两边平方得OC →2＝(λOA →＋μOB →)2＝λ2OA →2＋2λμOA →·OB →＋μ2OB →2＝4λ2＋4μ2，可得4＝4λ2＋4μ2，即λ2＋μ2＝1，所以λ·μ≤λ2＋μ22＝12，当且仅当λ＝μ＝22时取得等号，故λ·μ的最大值为12.1答案：2。

专题能力训练18 排列、组合与二项式定理专题能力训练第42页一、能力突破训练1.某电视台的一个综艺栏目对含甲、乙在内的六个不同节目排演出顺序,第一个节目只能排甲或乙,最后一个节目不能排甲,则不同的排法共有( ) A.192种 B.216种 C.240种 D.288种 答案:B解析:完成这件事,可分两类:第一类,第一个节目排甲,其余位置有A 55=120种不同的排法;第二类,第一个节目排乙,最后一个节目有4种排法,其余位置有A 44=24种不同的排法.所以共有A 55+4A 44=216种不同的排法. 2.已知(x 2+1x )n的展开式的各项系数和为32,则展开式中x 4的系数为( )A.5B.40C.20D.10答案:D解析:令x=1,得2n=32,所以n=5,则C 5r (x 2)5-r ·(1x )r=C 5r x 10-3r.令10-3r=4,得r=2,所以展开式中x 4的系数为C 52=10.3.已知(1+x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) A.212 B.211 C.210 D.29 答案:D解析:由条件知C n 3=C n 7,解得n=10.所以(1+x )10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.4.若(x 6+x √x )n的展开式中含有常数项,则n 的最小值等于( )A.3B.4C.5D.6 答案:C解析:展开式的通项为T r+1=C n r (x 6)n-r (x √x )r=C n r x 6n -152r .因为展开式中含常数项,所以6n-152r=0成立,即n=54r.当r=4时,n 有最小值5.故选C. 5.(x 2+1x 2-2)3展开式中的常数项为( ) A.-8B.-12C.-20D.20答案:C解析:因为(x 2+1x 2-2)3=(x -1x )6, 所以T r+1=C 6r x 6-r (-1x )r=(-1)r C 6r x 6-2r,所以当r=3时为常数项,且常数项为-C 63=-20.6.某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等八名同学中选派四名同学参加,要求甲、乙两名同学至少有一人参加.若甲、乙同时参加,他们的演讲顺序不能相邻,则不同的演讲顺序的种数为( )A.1 860B.1 320C.1 140D.1 020答案:C解析:根据甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数:第一类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为C21·C63·A44=960;第二类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为C22·C62·A22·A32=180.因此满足题意的不同的演讲顺序的种数为960+180=1140.故选C.7.若二项式(3-x)n(n∈N*)中所有项的系数之和为a,所有项的系数的绝对值之和为b,则ba +ab的最小值为()A.2B.52C.136D.92答案:B解析:令x=1,a=2n;令x=-1,b=4n,则ba +ab=2n+12n.令t=2n,t≥2,则ba+a b =2n+12n=t+1t≥2+12=52.故选B.8.在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者5人,主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问,且这4人中,既有甲电视台记者,又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不可以连续提问,则不同的提问方式的种数为()A.1 200B.2 400C.3 000D.3 600答案:B解析:若4人中,有甲电视台记者1人,乙电视台记者3人,则不同的提问方式总数是C51C53A44=1200;若4人中,有甲电视台记者两人,乙电视台记者两人,则不同的提问方式总数是C52C52A22A32=1200;若4人中,有甲电视台记者3人,乙电视台记者1人,则不符合主持人的规定,故所有不同提问方式的总数为1200+1200=2400.9.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210答案:C解析:∵(1+x)6展开式的通项为T r+1=C6r x r(r=0,1,2,…,6),(1+y)4展开式的通项为T h+1=C4ℎy h(h=0,1,2,…,4),∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为C6r C4ℎx r y h,∴f(m,n)=C6m C4n.∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C63+C62C41+C61C42+C43=20+60+36+4=120.故选C.10.本次模拟考试结束后,班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表.若化学排在生物前面,数学与物理不相邻且都不排在最后,则不同的排法共有()A.72种B.144种C.288种D.360种答案:B解析:第一步,排语文、英语、化学、生物4种,且化学排在生物前面,有A 442=12种排法;第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空当中的2个,有A 42=12种排法,所以不同的排法共有12×12=144种.11.(x-y )(x+y )8的展开式中x 2y 7的系数为 .(用数字填写答案) 答案:-20解析:(x+y )8的通项为T r+1=C 8r x 8-r y r(r=0,1,…,8).当r=7时,T 8=C 87xy 7=8xy 7,当r=6时,T 7=C 86x 2y 6=28x 2y 6, 所以(x-y )(x+y )8的展开式中含x 2y 7的项为x ·8xy 7-y ·28x 2y 6=-20x 2y 7,故系数为-20. 12.已知(1+3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54,则n= . 答案:4解析:二项展开式的通项T r+1=C n r (3x )r =3r ·C n r ·x r ,令r=2,得32·C n 2=54,解得n=4.13.从2名女生,4名男生中选3人参加科技比赛,且至少有1名女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案) 答案:16解析:(方法一)①当3人中恰有1名女生时,有C 21C 42=12种选法.②当3人中有2名女生时,有C 22C 41=4种选法. 故不同的选法共有12+4=16种.(方法二)6人中选3人共有C 63种选法,当3人全是男生时有C 43种选法,所以至少有1名女生入选时有C 63−C 43=16种选法. 14.在(√x 3-2x )n的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于 . 答案:112解析:由二项式定理,得所有项的二项式系数之和为2n , 由题意,得2n =256,所以n=8. 二项式展开式的通项为T r+1=C 8r (√x 3)8-r (-2x )r=(-2)r C 8r x 83-43r,求常数项则令83−43r=0,所以r=2,所以T 3=112.15.在一次医疗救助活动中,需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生,且男医生中唯一的主任医师必须参加,则不同的选派方案共有 种.(用数字作答) 答案:60解析:首先选派男医生中唯一的主任医师,然后从5名男医生、4名女医生中分别抽调2名男医生、2名女医生,故不同的选派方案有C 52C 42=10×6=60种. 故答案为60.16.将6位志愿者分成4组,其中两个组各两人,另两个组各1人,分赴全运会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有 种.(用数字作答) 答案:1 080解析:先将6位志愿者分组,共有C 62·C 42A 22种方法;再把各组分到不同场馆,共有A 44种方法.由分步乘法计数原理知,不同的分配方案共有C 62C 42A 22·A 44=1080种.17.已知多项式(x+1)3(x+2)2=x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x+a 5,则a 4= ,a 5= . 答案:16 4解析:由二项式展开式可得通项公式为C 3r x 3-r ·C 2m x 2-m 2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a 4=4+12=16,令x=0可得a 5=13×22=4.18.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有 种不同的选法.(用数字作答) 答案:660解析:由题意可得,总的选择方法为C 84C 41C 31种方法,其中不满足题意的选法有C 64C 41C 31种方法,则满足题意的选法有C 84C 41C 31−C 64C 41C 31=660种.19.某高三毕业班有40名同学,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,则全班一共写了 条毕业留言.(用数字作答) 答案:1 560解析:该问题是一个排列问题,故共有A 402=40×39=1560条毕业留言.二、思维提升训练20.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( ) A.12种 B.10种 C.9种 D.8种 答案:A解析:将4名学生均分为2个小组共有C 42C 22A 22=3种分法,将2个小组的同学分给2名教师带有A 22=2种分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A 22=2种分法, 故不同的安排方案共有3×2×2=12种.21.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有( ) A.36种 B.30种 C.24种 D.6种 答案:B解析:首先从四个人中选择两个人作为一组,其余两个人各自一组分派到三个竞赛区,共有C 42·A 33种方法,再将甲、乙参加同一学科的种数A 33排除,继而所求的安排方法有C 42·A 33−A 33=30种,故答案为B.22.若x 4(x+3)8=a 0+a 1(x+2)+a 2(x+2)2+…+a 12(x+2)12,则log 2(a 1+a 3+a 5+…+a 11)等于( ) A.27 B.28 C.7 D.8 答案:C解析:令x=-1,得a 0+a 1+a 2+…+a 12=28,① 令x=-3,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 12=0.② 由①-②,得2(a 1+a 3+…+a 11)=28, ∴a 1+a 3+…+a 11=27,∴log2(a1+a3+…+a11)=7.23.用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法计数原理及乘法计数原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法种数是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)答案:A解析:本题可分三步:第一步,分别取0,1,2,3,4,5个红球,共有1+a+a2+a3+a4+a5种取法;第二步,取0个或5个蓝球,有1+b5种取法;第三步,取5个有区别的黑球,有(1+c)5种取法.所以共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5种取法.故选A.24.1-90C101+902C102-903C103+…+(-1)k90k C10k+…+9010C1010除以88的余数是()A.-1B.1C.-87D.87答案:B解析:∵1-90C101+902C102+…+(-1)k90k C10k+…+9010C1010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C101889 +…+C10988+1,又前10项均能被88整除,∴余数是1.25.某人根据自己的爱好,希望从{W,X,Y,Z}中选两个不同字母,从{0,2,6,8}中选3个不同数字拟编车牌号,要求前3位是数字,后两位是字母,且数字2不能排在首位,字母Z和数字2不能相邻,则满足要求的车牌号有()A.198个B.180个C.216个D.234个答案:A解析:不选2时,有A33A42=72个不同的车牌号;选2,不选Z时,有C21C32A22A32=72个不同的车牌号;选2,选Z时,2在数字的中间,有A32C21C31=36个不同的车牌号;当2在数字的第三位时,有A32A31=18个不同的车牌号.根据分类加法计数原理,知共有72+72+36+18=198个不同的车牌号,故选A.26.若A,B,C,D四人站成一排照相,A,B相邻的排法总数为k,则二项式(1-xk )k的展开式中含x2项的系数为.答案:1124解析:由题意知k=A22A33=12,所以T r+1=C12r(-x12)r=C12r(-112)rx r.因为r=2,所以含x2项的系数为C1221122=66×1122=1124.27.已知二项式(x-ax )6的展开式中x2的系数为A,常数项为B,且B=4A,求a的值.解:展开式的通项为T r+1=C6r x6-r·(-ax )r=(-a)r C6r x6-2r.令6-2r=2,得r=2,A=a2C62=15a2;令6-2r=0,得r=3,B=-a3C63=-20a3.将其代入B=4A,得a=-3.28.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,根据下列条件,分别求出各有多少种不同的选派方法.(1)有3名内科医生和两名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有C63种选法,再选外科医生有C42种选法,故选派方法的种数为C63·C42=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为C61·C44+C62·C43+C63·C42+C64·C41=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为C105−C65=246.(3)分两类:一是选1名主任有C21·C84种方法;二是选两名主任有C22·C83种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为C21·C84+C22·C83=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为C105−C85=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有C94种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的4人不能全选内科医生,有(C84−C54)种选法.故有选派方法的种数为C94+C84−C54=191.。

考前强化练7 解答题组合练C1.(2019河北枣强中学高三模拟,文17)已知函数f (x )=√32sin 2x-cos 2x-12.(1)求f (x )的最小正周期;(2)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且c=√3,f (C )=0,若sin B=2sin A ,求a ,b 的值.2.已知数列{a n }中,a 1=1,其前n 项的和为S n ,且满足a n =2S S22SS -1(n ≥2).(1)求证:数列{1S S}是等差数列;(2)证明:当n ≥2时,S 1+12S 2+13S 3+ (1)S n <32.3.(2019辽宁葫芦岛高三二模,理18)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD.四边形ADEF 为正方形,四边形ABCD为梯形,且AD∥BC,△ABD是边长为1的等边三角形,M为线段BD中点,BC=3.(1)求证:AF⊥BD;(2)求直线MF与平面CDE所成角的正弦值;的值;若不存在,请说明理由. (3)线段BD上是否存在点N,使得直线CE∥平面AFN?若存在,求SSSS4.(2019山东淄博部分学校高三三模,理19)已知正方形的边长为4,E,F分别为AD,BC的中点,以EF 为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角,点M在线段AB上.(1)若M为AB的中点,连直线MF,由A,D,E三点所确定平面的交点为O,试确定点O的位置,并证明直线OD∥平面EMC;(2)是否存在点M,使得直线DE与平面EMC所成的角为60°;若存在,求此时二面角M-EC-F的余弦值,若不存在,说明理由.5.已知椭圆C:S2S2+S2S2=1(a>b>0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D(1,32)在椭圆C上,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和M,且|PM|=|MN|,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在直线l,使得点N平分线段A1B1?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.6.(2019四川泸州高三二模,文20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(1,a)在此抛物线上,|PF|=2,不过原点的直线l与抛物线C交于A,B两点,以AB为直径的圆M过坐标原点.(1)求抛物线C的方程;(2)证明:直线l恒过定点;(3)若线段AB中点的纵坐标为2,求此时直线l和圆M的方程.参考答案考前强化练7 解答题组合练C1.解(1)f (x )=√32sin2x-cos 2x-12=√32sin2x-1+cos2S2−12=√32sin2x-12cos2x-1=sin 2x-π6-1.所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由f (C )=0,得sin 2C-π6=1.因为0<C<π,所以-π6<2C-π6<11π6,所以2C-π6=π2,C=π3.又sin B=2sin A ,由正弦定理得SS =2.①由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos π3,即a 2+b 2-ab=3. ②由①②解得a=1,b=2.2.解(1)当n ≥2时,S n -S n-1=2S S22SS -1,S n-1-S n =2S n S n-1,1S S−1S S -1=2,从而{1S S}构成以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,1S S=1S 1+(n-1)×2=2n-1,∴S n =12S -1,∴当n ≥2时,1S S n =1S (2S -1)<1S (2S -2)=121S -1−1S , 从而S 1+12S 2+13S 3+…+1S S n <1+121-12+12−13+…+1S -1−1S =32−12S <32. 3.(1)证明因为ADEF 为正方形, 所以AF ⊥AD.又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ,且平面ADEF ∩平面ABCD=AD , 所以AF ⊥平面ABCD. 所以AF ⊥BD.(2)解取AD 中点O ,EF 中点K ,连接OB ,OK.在△ABD 中,OB ⊥OD ,在正方形ADEF 中,OK ⊥OD , 又平面ADEF ⊥平面ABCD ,故OB ⊥平面ADEF ,进而OB ⊥OK ,即OB ,OD ,OK 两两垂直,分别以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系(如图).于是,B√32,0,0,D 0,12,0,C√32,3,0,E 0,12,1,M√34,14,0,F 0,-12,1,所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√34,-34,1,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√32,-52,0,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1). 设平面CDE 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则{SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·S =0,SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·S =0,即{-√32·S -52·S =0,S =0,令x=-5,则y=√3,则n =(-5,√3,0). 设直线MF 与平面CDE 所成角为θ,sin θ=|cos <SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·S ||SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||S |=√314. (3)解要使直线CE ∥平面AFN ,只需AN ∥CD ,设SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =SSS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ∈[0,1],设N (x n ,y n ,z n ),则x n -√32,y n ,z n =λ-√32,12,0,得x n =√32−√32S ,y n =12S ,z n =0,N √32−√32S ,12S ,0,所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32−√32S ,12S +12,0.又SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-√32,-52,0,由SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得√32-√32S -√32=12S +12-52,解得λ=23∈[0,1].所以线段BD上存在点N,使得直线CE∥平面AFN,且SSSS =23.4.解(1)因为直线MF⊂平面ABFE,故点O在平面ABFE内也在平面ADE内,所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线EA上,如图所示.因为AO∥BF,M为AB的中点,所以△OAM≌△FBM.所以OM=MF,AO=BF.所以点O在EA的延长线上,且AO=2.连接DF,交EC于点N,因为四边形CDEF为矩形,所以N是EC的中点.连接MN,因为MN为△DOF的中位线,所以MN∥OD.又因为MN⊂平面EMC,所以直线OD∥平面EMC.(2)由已知可得,EF⊥AE,EF⊥DE,所以EF⊥平面ADE,所以平面ABFE⊥平面ODE,取AE的中点H为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,所以E(-1,0,0),D(0,0,√3),C(0,4,√3),F(-1,4,0),所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,4,√3), 设M (1,t ,0)(0≤t ≤4),则SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,t ,0). 设平面EMC 的法向量m =(x ,y ,z ),则{S ·SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0S ·SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{2S +SS =0,S +4S +√3S =0,取y=-2,则x=t ,z=√3,所以m =t ,-2,8-S √3.DE 与平面EMC 所成的角为60°,所以2√S 2+4+(8-S )23=√32. 所以√3√=√32. 所以t 2-4t+3=0,解得t=1或t=3.所以存在点M ,使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°.取ED 的中点Q ,则SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面CEF 的法向量,因为Q -12,0,√32,所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32,0,-√32,m =t ,-2,8-S √3,设二面角M-EC-F 的大小为θ,所以|cos θ|=|SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·S ||SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|S |=√3×√S 2+4+(8-S )23=√.因为当t=2时,cos θ=0,平面EMC ⊥平面CDEF ,所以当t=1时,θ为钝角,所以cos θ=-14.当t=3时,θ为锐角,所以cos θ=14.5.解(1)由题意得{S =√3S ,1S2+94S2=1,S 2=S 2+S 2,解得a 2=4,b 2=3,故椭圆C 的方程为S 24+S 23=1.(2)假设存在这样的直线l :y=kx+m ,∴M (0,m ),N (-SS ,0), ∵|PM|=|MN|,∴P (SS ,2S ),Q (SS ,-2S ), ∴直线QM 的方程为y=-3kx+m.设A (x 1,y 1),由{S =SS +S ,S 24+S 23=1,得(3+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-3)=0,∴x 1+S S =-8SS3+4S 2,∴x 1=-3S (1+4S 2)S (3+4S 2).设B (x 2,y 2),由{S =-3SS +S ,S 24+S 23=1,得(3+36k 2)x 2-24kmx+4(m 2-3)=0,∴x 2+S S =8SS1+12S 2,∴x 2=-S (1+4S 2)S (1+12S 2). ∵点N 平分线段A 1B 1,∴x 1+x 2=-2SS ,∴-3S (1+4S 2)S (3+4S 2)−S (1+4S 2)S (1+12S 2)=-2SS ,∴k=±12,∴P (±2m ,2m ),∴4S 24+4S 23=1,解得m=±√217, ∵|m|=√217<b=√3,∴Δ>0,符合题意,∴直线l 的方程为y=±12x±√217. 6.(1)解抛物线C :y 2=2px (p>0),其准线方程为x=-S2,∵点P (1,a )在此抛物线上,|PF|=2,∴点P 到准线的距离等于|PF|,即1+S2=2,得p=2, ∴所求抛物线方程为y 2=4x.(2)证明①当直线l 斜率存在时,设直线l 的方程为y=kx+m ,易知k ≠0,m ≠0.联立方程组得{S 2=4S ,S =SS +S ,从而可得方程k 2x 2+(2km-4)x+m 2=0,由题意可知Δ=(2km-4)2-4k 2m 2>0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),x 1+x 2=4-2SSS 2,x 1x 2=S 2S 2,所以y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=4SS . 因为以AB 为直径的圆M 过坐标原点, 所以SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·SS ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即x 1x 2+y 1y 2=0,所以S 2S 2+4SS=0,所以m=-4k.所以直线l 的方程为y=kx-4k ,即y=k (x-4),所以直线l 恒过定点(4,0).②当直线l 的斜率不存在时,易求得点A ,B 坐标分别为(4,4),(4,-4),直线l 也过点(4,0).综合①②可知,直线l 恒过定点(4,0).(3)解由题意可知直线l 斜率存在,设线段AB 中点坐标为(x 0,2),由(2)中所得x 1+x 2=4-2SSS 2,x 1x 2=S 2S2,则y 1+y 2=k (x 1-4)+k (x 2-4)=k (x 1+x 2)-8k=4S ,所以{2+4S 2S 2=S 0,2S=2,解得{S =1,S 0=6,所以直线l 的方程为y=x-4.因为线段AB 中点坐标为(6,2),即为圆M 的圆心坐标. 设圆M :(x-6)2+(y-2)2=r 2.将点(0,0)代入,得r 2=40, 所以圆M 的方程为(x-6)2+(y-2)2=40.。

（7）不等式1、设0.22log 0.3,log 0.3a b ==,则( ) A.0a b ab +<< B.0ab a b <+< C.0a b ab +<<D.0ab a b <<+2、若实数0a b <<，则下列不等式中正确的是（ ）A.11a b <B. b a >C. 2a bb a +> D. 2ab b <3、若,a b c d >>，则下列不等式不一定成立．．．．．的是（ ） A.a b d c ->- B.a b d c +>+ C.a c b c ->-D.a c a d -<- 4、不等式2340x x -++<的解集为（ ） A.{}1|4x x -<< B.1{}4|x x x <->或 C.4{}1|x x x <->或D.{}4|1x x -<<5、不等式2(2)(2)10a x a x -+-+>对一切R x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.[)2,6B.(2,6)C.(],2(6,)-∞⋃+∞D.(,2)(6,)-∞⋃+∞6、不等式111x ≤-的解集为( ) A.()[),12,-∞⋃+∞B. (](),01,-∞⋃+∞C. (]1,2D. [)2,+∞7、如果对于正数a ,满足35a a >,那么( )A. 2< B. 0.10.2a a <C. a a <D. 0.10. 2a a -->8、已知,x y 满足10240220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，如果目标函数1y z x m +=-的取值范围为[0,2),则实数m 的取值范围是（ ）A ．1[0,]2B ．1(,]2-∞C ．1(,)2-∞D ．(,0]-∞9、所有，未经书面同意，不得复制发布设x y ，满足约束条件210100x y x y m --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数2z x y ＝﹣的最小值大于-5，则m 的取值范围为（ ）A ．11(1,)3- B ．11(3,)3- C ．[3,2)- D ．(,2)-∞10、若两个正实数x y 、，满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是( ) A.()1,4-B.()(),14,-∞-⋃+∞C.()4,1-D.()(),03,-∞⋃+∞11、已知,,,a b c d 均为实数,有下列命题:①若0,0ab bc ad >->,则0c da b->;②若0,0c dab a b>->,则0bc ad ->;③若0,0c dbc ad a b->->,则0ab >.其中正确的命题是_________.12、若函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ,则实数a 的取值范围为__________. 13、已知14x>0y>0x+y=+x y，，，则x+y 的最小值为__________.14、某加工厂用某原料由甲车间加下A 产品,由乙车间加工B 产品.甲车间用一箱原料可加工出7千克A 产品,需耗费工时10小时,每千克A 产品获利40元;乙车间用一箱原料可加工出4千克B 产品, 需耗费工时6小时,每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,那么要满足上述的要求,并且获利最大,甲、乙两车间应当各加工多少箱原料? 15、已知二次函数2()1(R)f x x kx k =-+∈．(1).若()f x 在区间[2)+∞，上单调递增，求实数k 的取值范围； (2).若2k =，当[1,1]x ∈-时，求(2)x f 的最大值；(3).若()0f x ≥在(0)x ∈+∞，上恒成立，求实数k 的取值范围答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：∵0.22log 0.3,log 0.3a b ==,∴0.30.311log 0.2,log 2a b ==, ∴0.311log 0.4a b +=, ∴1101a b <+<,即01a b ab+<<.又∵0,0a b ><, ∴0ab <,即0ab a b <+<. 故选B.2答案及解析： 答案：C解析：令1b =-，2a =-，则C 正确，A ，B ，D 错误。

小题强化练 小题强化练(一)一、单项选择题1．i 为虚数单位，a ∈R .若z ＝a －ia ＋i ＋i 为实数，则实数a ＝( )A ．－1B ．－12C ．1D ．22．已知集合U ＝{x |x 2≥2x }，A ＝{x |log 2x ≥2}，则∁U A ＝( ) A ．{x |x ≤0或2≤x <4} B ．{x |x ≤－2或0≤x <4} C ．{x |x ≤0或1≤x <2}D ．{x |x ≤－2或x >4}3．已知数列{a n }为等差数列，若a 3＋6＝2a 5，则3a 6＋a 10＝( ) A ．18 B ．24 C ．30D ．324.如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，DC →＝2BD →，|AB →|＝2，则AC →·AB →的值为( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－85．若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则当φ最小时，函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋2φ－1图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π3，－1 C.⎝⎛⎭⎫－π3，1 D.⎝⎛⎭⎫π3，－1 6．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，2，a ，且长为a 的棱与长为2的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为( )A.212 B.312 C.26D.367．已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交一条渐近线于点B ，O 为坐标原点．|OF |＝|FB |，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±33xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±x8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，x ＋2，x ≤0，若存在实数x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，使f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1f (x 2)的取值范围是( )A ．[－2，0]B ．[－1，0] C.⎣⎡⎦⎤－23，0 D.⎣⎡⎦⎤－12，0 二、多项选择题9．(2020·山东省普通高等学校统一考试)下图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年～2018年( ) A ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同 C ．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量 D ．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大10．函数f (x )＝x1＋x 2，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是( )A ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x B ．－f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x C.1f （x ）＝f ⎝⎛⎭⎫1x D ．f (－x )＝－f (x )11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆O 交于点P .过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角α的函数记为f (α)，则下列关于函数f (α)的说法错误的是( )A ．f (α)的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠2k π＋π2，k ∈ZB ．f (α)的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈ZC ．f (α)的单调递增区间是[2k π，2k π＋π]，k ∈ZD ．f (α)对定义域内的α均满足f (π＋α)＝f (α)12．已知O 是坐标原点，A ，B 是抛物线y ＝x 2上不同于O 的两点，OA ⊥OB ，下列四个结论中，所有正确的结论是( )A ．|OA |·|OB |≥2 B ．|OA |＋|OB |≥2 2C ．直线AB 过抛物线y ＝x 2的焦点D ．O 到直线AB 的距离小于等于1 三、填空题13．已知f (x )是(0，＋∞)上的可导函数，f (e x )＝xe x ，则f ′(e)的值为________．14．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________．15．记S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝1－a n ，记T n ＝a 1a 3＋a 3a 5＋…＋a 2n －1a 2n ＋1，则a n＝________，T n ＝________．16．在三棱锥D -ABC 中，DC ⊥底面ABC ，AD ＝6，AB ⊥BC ，且三棱锥D -ABC 的每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为________．小题强化练 小题强化练(一)1．解析：选C.因为z ＝a －i a ＋i ＋i ＝（a －i ）（a －i ）（a ＋i ）（a －i ）＋i ＝a 2－1－2a i a 2＋1＋i ＝a 2－1a 2＋1＋（a －1）2a 2＋1i ，所以由z 为实数得（a －1）2a 2＋1＝0，解得a ＝1，故选C.2．解析：选A.U ＝{x |x 2≥2x }＝{x |x ≤0或x ≥2}，A ＝{x |log 2x ≥2}＝{x |x ≥4}，则∁U A ＝{x |x ≤0或2≤x <4}，故选A.3．解析：选B.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 3＋6＝2a 5，得a 1＋2d ＋6＝2(a 1＋4d )，整理得a 1＋6d ＝6，所以3a 6＋a 10＝3(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝4(a 1＋6d )＝4×6＝24，故选B.法二：由等差数列的性质知a 3＋a 7＝2a 5，结合条件a 3＋6＝2a 5，得a 7＝6，则3a 6＋a 10＝2a 6＋(a 6＋a 10)＝2a 6＋2a 8＝4a 7＝24.4．解析：选D.由AD ⊥AB ，DC →＝2BD →，|AB →|＝2，得AC →·AB →＝(AB →＋BC →)·AB →＝(AB →＋3BD →)·AB →＝|AB →|2＋3AB →·BD →＝|AB →|2－3|AB →|·|BD →|cos ∠ABD ＝|AB →|2－3|AB →|2＝－2|AB →|2＝－2×22＝－8，故选D.5．解析：选D.将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，可得函数的解析式为h (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6.又函数h (x )的图象关于y 轴对称，所以2φ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π2＋π6(k ∈Z )．又φ>0，则当k ＝0时，φmin ＝π6，此时函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋2×π6－1＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3－1.由12x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝2k π＋π3(k ∈Z )．当k ＝0时，x ＝π3，由选项知A ，B ，C 中的点均不是函数g (x )图象的对称中心，故选D.6.解析：选A.如图，在三棱锥A -BCD 中，设AD ＝a ，BC ＝2，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝1，则该三棱锥为满足题意的三棱锥．易知BD ⊥CD ，AB ⊥AC .将△BCD 看作底面，假设平面ABD ⊥平面BCD ，因为平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，CD ⊥BD ，所以CD ⊥平面ABD ，所以CD ⊥AD .在△ACD 中，已知AC ＝CD ＝1，所以CD ⊥AD 不成立，即平面ABD 不垂直于平面BCD .同理可知平面ACD 不垂直于平面BCD .则当平面ABC ⊥平面BCD 时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高h ＝22.△BCD 是等腰直角三角形，则S △BCD ＝12×1×1＝12.所以此三棱锥的体积的最大值为13×12×22＝212，故选A. 7.解析：选A.如图，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为D .双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则点F (c ，0)到渐近线的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，即|F A |＝|FD |＝b ，则|OA |＝|OD |＝a .又|OF |＝|FB |，则|AB |＝b ＋c .△OFB 为等腰三角形，则D 为OB 的中点，所以|OB |＝2a .在Rt △OAB 中，则|OB |2＝|OA |2＋|AB |2，即4a 2＝a 2＋(b ＋c )2，整理得c 2－bc －2b 2＝0，解得c ＝2b .又c 2＝a 2＋b 2，则4b 2＝a 2＋b 2，即b a ＝33，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ，故选A.8.解析：选B.作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，x ＋2，x ≤0的图象，如图所示．由题设f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝m ，由图易知m ∈(0，2]，且x 1∈(－2，0]，x 2∈⎣⎡⎭⎫1e 2，1，x 3∈(1，e 2]．则由f (x 1)＝m ，得x 1＋2＝m ，解得x 1＝m －2，所以x 1f (x 2)＝(m －2)·m ＝(m －1)2－1，则当m ＝1时，x 1f (x 2)取得最小值－1，当m ＝2时，x 1f (x 2)取得最大值0，所以x 1f (x 2)的取值范围是[－1，0]，故选B.9．解析：选AD.根据题目提供的图表分析题目，区分好两条折线即可．故选AD. 10．解析：选AD.根据题意得f (x )＝x 1＋x 2，所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x1＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 1＋x 2，所以f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ；f (－x )＝－x 1＋（－x ）2＝－x1＋x 2＝－f (x )，所以f (－x )＝－f (x )．故AD 正确，BC 错误． 11．解析：选ACD.由三角函数的定义可知P (cos α，sin α)，则以点P 为切点的圆的切线方程为x cos α＋y sin α＝1，由已知有cos α≠0，令y ＝0，得x ＝1cos α，即函数f (α)＝1cos α.由cos α≠0，得α≠2k π±π2，即函数f (α)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠2k π±π2，k ∈Z ，故A 错误；函数f (α)的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，故B 正确；由复合函数的单调性可知，函数f (α)的增区间为⎣⎡⎭⎫2k π，2k π＋π2，⎝⎛⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ，故C 错误；由函数的周期T ＝2πω可得f (α)的周期为2π，故D 错误．12．解析：选ABD.设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则OA →·OB →＝0，即x 1x 2·(1＋x 1x 2)＝0，所以x 2＝－1x 1.对于A ，|OA |·|OB |＝x 21（1＋x 21）·1x 21⎝⎛⎭⎫1＋1x 21＝1＋x 21＋1x 21＋1≥2，当且仅当x 1＝±1时取等号，正确；对于B ，|OA |＋|OB |≥2|OA |·|OB |≥22，正确；对于C ，直线AB 的方程为y －x 21＝⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1(x －x 1)，不过点⎝⎛⎭⎫0，14，错误；对于D ，原点到直线AB ：⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1x －y ＋1＝0的距离d ＝1⎝⎛⎭⎫x 1－1x 12＋1≤1，正确． 13．解析：因为f (e x )＝x e x ，所以f (x )＝ln xx (x >0)，所以f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2，所以f ′(e)＝0. 答案：014．解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516.答案：151615．解析：由题意有a 1＝1－a 1，故a 1＝12.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝1－a n ，S n －1＝1－a n －1两式相减得a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1，则a n a n －1＝12，故数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，可得数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .由等比数列性质可得a 1a 3＝a 22，a 3a 5＝a 24，…，a 2n －1a 2n ＋1＝a 22n ，所以数列{a 2n －1a 2n ＋1}是以a 22＝116为首项，116为公比的等比数列，则T n ＝a 22＋a 24＋…＋a 22n ＝116⎝⎛⎭⎫1－116n 1－116＝115⎝⎛⎭⎫1－116n . 答案：12n 115⎝⎛⎭⎫1－116n 16．解析：取AD 的中点为E ，连接EC ，EB .因为DC ⊥平面ABC ，所以DC ⊥AC ，DC ⊥AB ，所以在Rt △ACD 中，EA ＝ED ＝EC .因为AB ⊥BC ，且BC ∩DC ＝C ，所以AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥DB ，所以在Rt △ABD 中，EA ＝ED ＝EB ，所以球心O 与AD 的中点E 重合，所以球O 的半径为3，所以球O 的表面积为4π×32＝36π.答案：36π。

概率(7)1．[2019·山东日照期末]某单位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5人，记为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，女青年志愿者3人，记为b 1，b 2，b 3.现从这8人中随机选4人参加某项公益活动．(1)求男青年志愿者a 1或女青年志愿者b 1被选中的概率；(2)在男青年志愿者a 1被选中的情况下，求女青年志愿者b 1也被选中的概率．解析：(1)设“男青年志愿者a 1和女青年志愿者b 1都不被选中”为事件C ，则P (C )＝C 46C 48＝314，所以所求概率为1－P (C )＝1－314＝1114. (2)记“男青年志愿者a 1被选中”为事件A ，“女青年志愿者b 1被选中”为事件B ，所以P (A )＝C 37C 48＝12，P (AB )＝C 26C 48＝314，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝37.所以在男青年志愿者a 1被选中的情况下，女青年志愿者b 1也被选中的概率为37.2．[2019·重庆第一次质量调研抽测]自来水公司对某镇居民用水情况进行调查，从该镇居民中随机抽取50户作为样本，得到他们10月份的用水量(单位：吨)，用水量分组区间为[5，15]，(15，25]，(25，35]，(35，45]，由此得到样本的用水量频率分布直方图如图(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(1)求a 的值，并根据样本数据，估计该镇居民10月份用水量的众数与平均值；(2)以样本的频率作为概率，从该镇居民中随机抽取3户，其中10月份用水量在[5，15]内的用户数为X ，求X 的分布列和数学期望．解析：(1)由题意得，(0.02＋0.032＋a ＋0.018)×10＝1，解得a ＝0.03. 由频率分布直方图可知该镇居民10月份用水量的众数为20吨．50户居民10月份用水量的平均值x －＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(吨)．故估计该镇居民10月份用水量的平均值为24.6吨．(2)利用样本估计总体，该镇居民10月份用水量在[5，15]内的概率为0.2，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15，X ＝0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫453＝64125；P (X ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎫452×15＝48125； P (X ＝2)＝C 23×45×⎝⎛⎭⎫152＝12125；P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫153＝1125.∴X 的分布列为X0 1 2 3P 64125 48125 121251125∴E (X )＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125＝35.3．[2019·安徽五校联盟二检]在某市高中某学科竞赛中，某一个区4 000名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．(1)求这4 000名考生的平均成绩x －(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若竞赛成绩z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩x －和考生成绩的方差s 2，那么该区4 000名考生的成绩超过84.81分的人数估计有多少？(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P (ξ≤3)．(精确到0.001)附：①s 2＝204.75，204.75≈14.31；②0.841 34≈0.501；③z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<z ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<z ≤μ＋2σ)≈0.954 5.解析：(1)由题意知，中点值 45 55 65 75 85 95 频率0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1∴x －＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5， ∴这4 000名考生的平均成绩为70.5分．(2)依题意知μ＝x －＝70.5，σ2＝s 2＝204.75，σ≈14.31， ∴z 服从正态分布N (70.5，14.312)，而P (μ－σ<z ≤μ＋σ)＝P (56.19<z ≤84.81)≈0.682 7，∴P (z >84.81)≈1－0.682 72≈0.158 7.又0.158 7×4 000＝634.8≈635.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为635.(3)全市参赛考生的成绩不超过84.81分的概率P ≈1－0.158 7＝0.841 3.而ξ～B (4，0.841 3)，∴P (ξ≤3)＝1－P (ξ＝4)＝1－C 44×0.841 34≈1－0.501＝0.499.4．[2019·沈阳市教学质量检测]为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：未发病 发病 总计 未注射疫苗 20 x A 注射疫苗 30 y B 总计 50 50 100现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为25.(1)求2×2列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值；(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？(3)能够有多大把握认为疫苗有效？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(c ＋d )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋dP (K 2≥k 0) 0.05 0.01 0.0050.001 k 0 3.841 6.635 7.879 10.828解析：(1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件E ，由已知得P (E )＝y ＋30100＝25，所以y ＝10，B ＝40，x ＝40，A ＝60.(2)未注射疫苗发病率为4060＝23，注射疫苗发病率为1040＝14.发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率，且注射疫苗的发病率小，故判断疫苗有效．(3)K 2＝100×(20×10－30×40)250×50×40×60＝503≈16.667>10.828.所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效．5．[2019·南宁市高三毕业班适应性测试]从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110xi y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y ^对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 解析：(1)由题意知n ＝10，x －＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y －＝1n ∑i ＝1ny i ＝2010＝2，又∑i ＝1n x 2i －n x －2＝720－10×82＝80，∑i ＝1n x i y i －n x － y －＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝2480＝0.3，a ^＝y －－b ^x －＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关．(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 6．[2019·江苏徐州抽测]在某次投篮测试中，有两种投篮方案，方案甲：先在A 点投篮一次，以后都在B 点投篮．方案乙：始终在B 点投篮．每次投篮相互独立，某选手在A 点投中的概率为34，投中一次得3分，没有投中得0分；在B 点投中的概率为45，投中一次得2分，没有投中得0分．用随机变量ξ表示该选手一轮投篮测试的累计得分，如果ξ的值不低于3，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，且一轮测试最多投篮3次．(1)若该选手选择方案甲，求测试结束后ξ的分布列和数学期望； (2)试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由．解析：(1)在A 点的一次投篮中，投中记作A ，未投中记作A －；在B 点的一次投篮中，投中记作B ，未投中记作B －，则P (A )＝34，P (A －)＝1－34＝14，P (B )＝45，P (B －)＝1－45＝15，ξ的所有可能取值为0，2，3，4，则P (ξ＝0)＝P (A －B －B －)＝P (A －)P (B －)P (B －)＝14×15×15＝1100，P (ξ＝2)＝P (A －B B －)＋P (A －B －B )＝2×14×15×45＝225，P (ξ＝3)＝P (A )＝34，P (ξ＝4)＝P (A －BB )＝P (A －)P (B )P (B )＝14×45×45＝425.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×1100＋2×225＋3×34＋4×425＝3.05.(2)选手选择方案甲，通过测试的概率P 1＝P (ξ≥3)＝34＋425＝0.91，选手选择方案乙，通过测试的概率P 2＝P (ξ≥3)＝2×15×45×45＋45×45＝112125＝0.896，因为P 2<P 1，所以该选手选择方案甲通过测试的可能性较大．。

小题强化练 小题强化练(一)一、单项选择题1．i 为虚数单位，a ∈R .若z ＝a －ia ＋i ＋i 为实数，则实数a ＝( )A ．－1B ．－12C ．1D ．22．已知集合U ＝{x |x 2≥2x }，A ＝{x |log 2x ≥2}，则∁U A ＝( ) A ．{x |x ≤0或2≤x <4} B ．{x |x ≤－2或0≤x <4} C ．{x |x ≤0或1≤x <2}D ．{x |x ≤－2或x >4}3．已知数列{a n }为等差数列，若a 3＋6＝2a 5，则3a 6＋a 10＝( ) A ．18 B ．24 C ．30D ．324.如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，DC →＝2BD →，|AB →|＝2，则AC →·AB →的值为( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－85．若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则当φ最小时，函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋2φ－1图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π3，－1 C.⎝⎛⎭⎫－π3，1 D.⎝⎛⎭⎫π3，－1 6．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，2，a ，且长为a 的棱与长为2的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为( )A.212 B.312 C.26D.367．已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交一条渐近线于点B ，O 为坐标原点．|OF |＝|FB |，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±33xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±x8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，x ＋2，x ≤0，若存在实数x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，使f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1f (x 2)的取值范围是( )A ．[－2，0]B ．[－1，0] C.⎣⎡⎦⎤－23，0 D.⎣⎡⎦⎤－12，0 二、多项选择题9．(2020·山东省普通高等学校统一考试)下图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年～2018年( ) A ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势 B ．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同 C ．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量 D ．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大10．函数f (x )＝x1＋x 2，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是( )A ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x B ．－f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x C.1f （x ）＝f ⎝⎛⎭⎫1x D ．f (－x )＝－f (x )11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆O 交于点P .过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角α的函数记为f (α)，则下列关于函数f (α)的说法错误的是( )A ．f (α)的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠2k π＋π2，k ∈ZB ．f (α)的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈ZC ．f (α)的单调递增区间是[2k π，2k π＋π]，k ∈ZD ．f (α)对定义域内的α均满足f (π＋α)＝f (α)12．已知O 是坐标原点，A ，B 是抛物线y ＝x 2上不同于O 的两点，OA ⊥OB ，下列四个结论中，所有正确的结论是( )A ．|OA |·|OB |≥2B ．|OA |＋|OB |≥2 2C ．直线AB 过抛物线y ＝x 2的焦点D ．O 到直线AB 的距离小于等于1 三、填空题13．已知f (x )是(0，＋∞)上的可导函数，f (e x )＝xe x ，则f ′(e)的值为________．14．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________．15．记S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝1－a n ，记T n ＝a 1a 3＋a 3a 5＋…＋a 2n －1a 2n ＋1，则a n＝________，T n ＝________．16．在三棱锥D -ABC 中，DC ⊥底面ABC ，AD ＝6，AB ⊥BC ，且三棱锥D -ABC 的每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为________．小题强化练 小题强化练(一)1．解析：选C.因为z ＝a －i a ＋i ＋i ＝（a －i ）（a －i ）（a ＋i ）（a －i ）＋i ＝a 2－1－2a i a 2＋1＋i ＝a 2－1a 2＋1＋（a －1）2a 2＋1i ，所以由z 为实数得（a －1）2a 2＋1＝0，解得a ＝1，故选C.2．解析：选A.U ＝{x |x 2≥2x }＝{x |x ≤0或x ≥2}，A ＝{x |log 2x ≥2}＝{x |x ≥4}，则∁U A ＝{x |x ≤0或2≤x <4}，故选A.3．解析：选B.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 3＋6＝2a 5，得a 1＋2d ＋6＝2(a 1＋4d )，整理得a 1＋6d ＝6，所以3a 6＋a 10＝3(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝4(a 1＋6d )＝4×6＝24，故选B.法二：由等差数列的性质知a 3＋a 7＝2a 5，结合条件a 3＋6＝2a 5，得a 7＝6，则3a 6＋a 10＝2a 6＋(a 6＋a 10)＝2a 6＋2a 8＝4a 7＝24.4．解析：选D.由AD ⊥AB ，DC →＝2BD →，|AB →|＝2，得AC →·AB →＝(AB →＋BC →)·AB →＝(AB →＋3BD →)·AB →＝|AB →|2＋3AB →·BD →＝|AB →|2－3|AB →|·|BD →|cos ∠ABD ＝|AB →|2－3|AB →|2＝－2|AB →|2＝－2×22＝－8，故选D.5．解析：选D.将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，可得函数的解析式为h (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6.又函数h (x )的图象关于y 轴对称，所以2φ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π2＋π6(k ∈Z )．又φ>0，则当k ＝0时，φmin ＝π6，此时函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋2×π6－1＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3－1.由12x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝2k π＋π3(k ∈Z )．当k ＝0时，x ＝π3，由选项知A ，B ，C 中的点均不是函数g (x )图象的对称中心，故选D.6.解析：选A.如图，在三棱锥A -BCD 中，设AD ＝a ，BC ＝2，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝1，则该三棱锥为满足题意的三棱锥．易知BD ⊥CD ，AB ⊥AC .将△BCD 看作底面，假设平面ABD ⊥平面BCD ，因为平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，CD ⊥BD ，所以CD ⊥平面ABD ，所以CD ⊥AD .在△ACD 中，已知AC ＝CD ＝1，所以CD ⊥AD 不成立，即平面ABD 不垂直于平面BCD .同理可知平面ACD 不垂直于平面BCD .则当平面ABC ⊥平面BCD 时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高h ＝22.△BCD 是等腰直角三角形，则S △BCD ＝12×1×1＝12.所以此三棱锥的体积的最大值为13×12×22＝212，故选A. 7.解析：选A.如图，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为D .双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则点F (c ，0)到渐近线的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，即|F A |＝|FD |＝b ，则|OA |＝|OD |＝a .又|OF |＝|FB |，则|AB |＝b ＋c .△OFB 为等腰三角形，则D 为OB 的中点，所以|OB |＝2a .在Rt △OAB 中，则|OB |2＝|OA |2＋|AB |2，即4a 2＝a 2＋(b ＋c )2，整理得c 2－bc －2b 2＝0，解得c ＝2b .又c 2＝a 2＋b 2，则4b 2＝a 2＋b 2，即b a ＝33，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ，故选A.8.解析：选B.作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，x ＋2，x ≤0的图象，如图所示．由题设f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝m ，由图易知m ∈(0，2]，且x 1∈(－2，0]，x 2∈⎣⎡⎭⎫1e 2，1，x 3∈(1，e 2]．则由f (x 1)＝m ，得x 1＋2＝m ，解得x 1＝m －2，所以x 1f (x 2)＝(m －2)·m ＝(m －1)2－1，则当m ＝1时，x 1f (x 2)取得最小值－1，当m ＝2时，x 1f (x 2)取得最大值0，所以x 1f (x 2)的取值范围是[－1，0]，故选B.9．解析：选AD.根据题目提供的图表分析题目，区分好两条折线即可．故选AD. 10．解析：选AD.根据题意得f (x )＝x 1＋x 2，所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x1＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 1＋x 2，所以f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ；f (－x )＝－x 1＋（－x ）2＝－x1＋x 2＝－f (x )，所以f (－x )＝－f (x )．故AD 正确，BC 错误．11．解析：选ACD.由三角函数的定义可知P (cos α，sin α)，则以点P 为切点的圆的切线方程为x cos α＋y sin α＝1，由已知有cos α≠0，令y ＝0，得x ＝1cos α，即函数f (α)＝1cos α.由cos α≠0，得α≠2k π±π2，即函数f (α)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠2k π±π2，k ∈Z ，故A 错误；函数f (α)的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，故B 正确；由复合函数的单调性可知，函数f (α)的增区间为⎣⎡⎭⎫2k π，2k π＋π2，⎝⎛⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ，故C 错误；由函数的周期T ＝2πω可得f (α)的周期为2π，故D 错误．12．解析：选ABD.设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则OA →·OB →＝0，即x 1x 2·(1＋x 1x 2)＝0，所以x 2＝－1x 1.对于A ，|OA |·|OB |＝x 21（1＋x 21）·1x 21⎝⎛⎭⎫1＋1x 21＝1＋x 21＋1x 21＋1≥2，当且仅当x 1＝±1时取等号，正确；对于B ，|OA |＋|OB |≥2|OA |·|OB |≥22，正确；对于C ，直线AB 的方程为y －x 21＝⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1(x －x 1)，不过点⎝⎛⎭⎫0，14，错误；对于D ，原点到直线AB ：⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1x －y ＋1＝0的距离d ＝1⎝⎛⎭⎫x 1－1x 12＋1≤1，正确． 13．解析：因为f (e x )＝x e x ，所以f (x )＝ln xx (x >0)，所以f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx 2，所以f ′(e)＝0. 答案：014．解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516.答案：151615．解析：由题意有a 1＝1－a 1，故a 1＝12.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝1－a n ，S n －1＝1－a n －1两式相减得a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1，则a n a n －1＝12，故数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，可得数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .由等比数列性质可得a 1a 3＝a 22，a 3a 5＝a 24，…，a 2n －1a 2n ＋1＝a 22n ，所以数列{a 2n －1a 2n ＋1}是以a 22＝116为首项，116为公比的等比数列，则T n ＝a 22＋a 24＋…＋a 22n ＝116⎝⎛⎭⎫1－116n 1－116＝115⎝⎛⎭⎫1－116n . 答案：12n 115⎝⎛⎭⎫1－116n 16．解析：取AD 的中点为E ，连接EC ，EB .因为DC ⊥平面ABC ，所以DC ⊥AC ，DC ⊥AB ，所以在Rt △ACD 中，EA ＝ED ＝EC .因为AB ⊥BC ，且BC ∩DC ＝C ，所以AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥DB ，所以在Rt △ABD 中，EA ＝ED ＝EB ，所以球心O 与AD 的中点E 重合，所以球O 的半径为3，所以球O 的表面积为4π×32＝36π.答案：36π。

阶段强化练(七)一、选择题．(·成都诊断)已知椭圆：＋＝，则下列结论正确的是()．长轴长为．焦距为．短轴长为．离心率为答案解析由椭圆方程＋＝化为标准方程可得＋＝，所以＝，＝，＝，长轴＝，焦距＝，短轴＝，离心率＝＝.故选.．双曲线－＝的渐近线方程是()．＝±．＝±．＝±．＝±答案解析因为－＝，所以＝，＝，渐近线方程为＝±，即为＝±，故选.．(·河北衡水中学调研)已知双曲线－＝(∈)与抛物线＝有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为()．＝±．＝±．＝±．＝±答案解析∵抛物线＝的焦点为()，∴双曲线的一个焦点为()，∴＋＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为＝±，故选.．(·河北衡水中学模拟)已知椭圆：＋＝(>>)和直线：＋＝，若过的左焦点和下顶点的直线与平行，则椭圆的离心率为()答案解析直线的斜率为－，过的左焦点和下顶点的直线与平行，所以＝，又＋＝⇒＋＝⇒＝，所以＝＝，故选.．(·洛阳、许昌质检)若双曲线－＝(>)的一条渐近线与圆＋(－)＝至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是()．(] ．[，＋∞)．(，] ．[，＋∞)答案解析双曲线－＝(>)的一条渐近线方程是－＝，由题意圆＋(－)＝的圆心()到－＝的距离不小于，即≥，则≤，那么离心率∈(]，故选.．(·河北武邑中学调研)已知直线：＝(＋)(>)与抛物线：＝相交于，两点，为的焦点，若＝，则等于()答案解析由消去得＋(－)＋＝，Δ＝(－)－>，又>，解得<<，。

小题强化练（七）一、选择题1．若复数z 满足错误!＝1－i ，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于( ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合M ＝{x ｜2x 2－x －3≤0}，N ＝{x |｜x |(x －2)〉0｝，全集U ＝R ，则下列关于集合M ，N 叙述正确的是（ )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪N ＝NC ．(∁U M )∩N ＝∅D ．N ⊆(∁U M )3．若双曲线错误!－错误!＝1(a 〉0,b >0)的一个顶点到一条渐近线的距离等于错误!，则双曲线的离心率为( )A.54B.2 C 。

错误! D.错误!4．已知等差数列｛a n }，a 1＝2，若a 1，a 3＋2,a 6＋8成等比数列,则S 10＝（ )A 。

错误!B ．－16C ．－70或错误!D ．－16或错误!5．已知角α＋错误!的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P错误!,则sin 2α等于（）A.错误!B．－错误!C．－错误!D。

错误!6．已知实数a＝2ln 2，b＝2＋2ln 2，c＝(ln 2）2,则a,b，c的大小关系是( ）A．c〈b〈a B．c〈a〈bC．b<a〈c D．a<c〈b7．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b，c，且（b＋c)sin B＝(a＋c）错误!,则A＝( )A。

错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!8．函数f（x)＝错误!lg x2的图象大致为（)9．有一个公用电话亭，在观察使用这个电话亭的人流量时，设在某一时刻，有n(n∈N)个人正在使用或等待使用电话的概率为P （n)，且P（n)与时刻t无关，统计得到P（n）＝错误!那么P(0)的值是（)A．0 B．1C。

错误! D.错误!10．已知抛物线C：y2＝8ax（a>0）的焦点F与双曲线D：错误!－错误!＝1（a>0）的焦点重合,过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，则|AF｜＋2｜BF｜的最小值为( )A．3＋4错误!B．6＋4错误!C．7 D．1011．(多选）若不等式ax2－bx＋c〉0的解集是(－1，2），则下列选项正确的是（）A．b〈0且c>0B．a－b＋c〉0C．a＋b＋c〉0D．不等式ax2＋bx＋c〉0的解集是（－2，1）12．（多选）已知函数f（x)＝|sin x|｜cos x|，则下列说法正确的是（ )A ．f (x ）的图象关于直线x ＝π2对称 B ．f (x ）的周期为错误!C ．（π，0)是f (x )的一个对称中心D ．f (x )在区间错误!上单调递减13．(多选)如图，已知在矩形ABCD中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点,则△ADE 在翻折过程中，下列命题正确的是( ）A ．线段BM 的长是定值B ．存在某个位置，使DE ⊥A 1CC ．点M 的运动轨迹是一个圆D ．存在某个位置,使MB ⊥平面A 1DE二、填空题14．已知向量a ＝（x ,2）,b ＝（－2，1）,若a 与2a －b 共线，则错误!＝________．15．已知等比数列｛a n }的公比q 〉0，其前n 项和为S n ，且S 2＝6，S4＝30，数列{b n｝满足b n＝log2a错误!－1，则数列错误!的前n项和T n＝________．16．已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a〉b〉0)，A是椭圆的右顶点，B为椭圆的上顶点,点F（－c，0)是椭圆的左焦点，椭圆的长轴长为4,且BF⊥AB，则c＝________．17．（2019·广西北海联考改编)设函数f（x)＝ax3＋bx2＋cx(a，b，c∈R，a≠0）．若不等式xf′（x)－af（x)≤2对一切x∈R恒成立，则a＝________，错误!的取值范围为________．小题强化练（七）1．解析：选A。