2020年浙江新高考数学二轮复习专题强化练：小题专题练(五)

专题强化训练1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：选A.因为f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.所以f (x )在x ＝1处取得最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.2．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－43，0 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(0，＋∞) 解析：选C.因为f ′(x )＝3x 2－2mx ，所以f ′(－1)＝3＋2m ＝－1，解得m ＝－2.所以f ′(x )＝3x 2＋4x .由f ′(x )＝3x 2＋4x >0，解得x <－43或x >0，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞)，故选C. 3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－26] B.⎝⎛⎦⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C.由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 4≤1，g （1）≥0⇔－26≤a ≤26或a ≥－4⇔a ≥－2 6.4．(2019·台州二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，F (x )＝f ′（x ）e x，若F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，则函数f (x )的最小值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选C.因为f ′(x )＝2x ＋b ，所以F (x )＝2x ＋b e x ，F ′(x )＝2－2x －be x，又F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ′（0）＝－2，F （0）＝c ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，b ＝4，所以f (x )＝(x ＋2)2≥0，f (x )min ＝0.5．(2019·温州瑞安七校模拟)已知函数f (x )＝(x －x 1)·(x －x 2)(x －x 3)(其中x 1＜x 2＜x 3)，g (x )＝e x －e －x ，且函数f (x )的两个极值点为α，β(α＜β)．设λ＝x 1＋x 22，μ＝x 2＋x 32，则( )A ．g (α)＜g (λ)＜g (β)＜g (μ)B ．g (λ)＜g (α)＜g (β)＜g (μ)C ．g (λ)＜g (α)＜g (μ)＜g (β)D ．g (α)＜g (λ)＜g (μ)＜g (β)解析：选D.由题意，f ′(x )＝(x －x 1)(x －x 2)＋(x －x 2)(x －x 3)＋(x －x 1)(x －x 3)， 因为f ′(x 1＋x 22)＝－（x 2－x 1）24＜0，f ′(x 2＋x 32)＝－（x 2－x 3）24＜0，因为f (x )在(－∞，α)，(β，＋∞)上递增，(α，β)上递减， 所以α＜λ＜μ＜β，因为g (x )＝e x －e －x 单调递增， 所以g (α)＜g (λ)＜g (μ)＜g (β)． 故选D.6．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中考试)已知函数f (x )＝x ＋2b x ＋a ，x ∈[a ，＋∞)，其中a ＞0，b ∈R ，记m (a ，b )为f (x )的最小值，则当m (a ，b )＝2时，b 的取值范围为( )A ．b ＞13B ．b ＜13C ．b ＞12D ．b ＜12解析：选D.函数f (x )＝x ＋2bx＋a ，x ∈[a ，＋∞)，导数f ′(x )＝1－2bx2，当b ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )在x ∈[a ，＋∞)递增，可得f (a )取得最小值， 且为2a ＋2b a ，由题意可得2a ＋2ba ＝2，a ＞0，b ≤0方程有解；当b ＞0时，由f ′(x )＝1－2bx 2＝0，可得x ＝2b (负的舍去)，当a ≥2b 时，f ′(x )＞0，f (x )在[a ，＋∞)递增，可得f (a )为最小值， 且有2a ＋2ba＝2，a ＞0，b ＞0，方程有解；当a ＜2b 时，f (x )在[a ，2b ]递减，在(2b ，＋∞)递增， 可得f (2b )为最小值，且有a ＋22b ＝2，即a ＝2－22b ＞0， 解得0＜b ＜12.综上可得b 的取值范围是(－∞，12)．故选D.7．(2019·浙江“七彩阳光”联盟模拟)函数f (x )＝2x 2＋3x2e x的大致图象是( )解析：选B.由f (x )的解析式知有两个零点x ＝－32与x ＝0，排除A ，又f ′(x )＝－2x 2＋x ＋32e x ，由f ′(x )＝0知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B.8．(2019·成都市第一次诊断性检测)已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝⎛⎭⎫4t ，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( )A ．4e 2B ．4e C.e 24 D.e4解析：选A.由y ＝tx ，得y ′＝t 2tx ，则切线斜率为k ＝t 4，所以切线方程为y －2＝t4⎝⎛⎭⎫x －4t ，即y ＝t4x ＋1.设切线与曲线y ＝e x ＋1＋1 的切点为(x 0，y 0)．由y ＝e x ＋1＋1，得y ′＝e x ＋1，则由e x 0＋1＝t 4，得切点坐标为⎝⎛⎭⎫ln t 4－1，t 4＋1，故切线方程又可表示为y －t 4－1＝t4⎝⎛⎭⎫x －ln t 4＋1，即y＝t 4x －t 4ln t 4＋t 2＋1，所以由题意，得－t 4ln t 4＋t 2＋1＝1，即ln t4＝2，解得t ＝4e 2，故选A. 9．(2019·金华十校高考模拟)已知函数f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1，若曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于0，则实数a 的取值范围为____________．解析：由题意知，f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1的导数f ′(x )＝2x 2－2x ＋a .2x 2－2x ＋a ＝3有两个不等正根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8（a －3）＞012（a －3）＞0，得3＜a ＜72.答案：⎝⎛⎭⎫3，72 10．(2019·湖州市高三期末)定义在R 上的函数f (x )满足：f (1)＝1，且对于任意的x ∈R ，都有f ′(x )＜12，则不等式f (log 2x )＞log 2x ＋12的解集为________．解析：设g (x )＝f (x )－12x ，因为f ′(x )＜12，所以g ′(x )＝f ′(x )－12＜0，所以g (x )为减函数，又f (1)＝1， 所以f (log 2x )＞log 2x ＋12＝12log 2x ＋12，即g (log 2x )＝f (log 2x )－12log 2x ＞12＝g (1)＝f (1)－12＝g (log 22)，所以log 2x ＜log 22，又y ＝log 2x 为底数是2的增函数， 所以0＜x ＜2，则不等式f (log 2x )＞log 2x ＋12的解集为(0，2)．答案：(0，2)11．(2019·绍兴、诸暨高考二模)已知函数f (x )＝x 3－3x ，函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程是________；函数f (x )在区间[0，2]内的值域是________．解析：函数f (x )＝x 3－3x ，切点坐标(0，0)，导数为y ′＝3x 2－3，切线的斜率为－3， 所以切线方程为y ＝－3x ；3x 2－3＝0，可得x ＝±1，x ∈(－1，1)，y ′＜0，函数是减函数，x ∈(1，＋∞)，y ′＞0函数是增函数，f (0)＝0，f (1)＝－2，f (2)＝8－6＝2，函数f (x )在区间[0，2]内的值域是[－2，2]． 答案：y ＝－3x [－2，2]12．(2019·台州市高三期末考试)已知函数f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，则f (x )在区间[12，2]上的最小值为________；当f (x )取到最小值时，x ＝________．解析：f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x(x ＞0)，令f ′(x )＝0，得x ＝12，1，当x ∈(12，1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1，2)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间[12，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )在区间[12，2]上的最小值为f (1)＝－2.答案：－2 113．(2019·唐山二模)已知函数f (x )＝ln x －nx (n >0)的最大值为g (n )，则使g (n )－n ＋2>0成立的n 的取值范围为________．解析：易知f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x －n (x >0，n >0)，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1n 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1n ，＋∞时，f ′(x )<0， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1n 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1n ，＋∞上单调递减， 所以f (x )的最大值g (n )＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＝－ln n －1.设h (n )＝g (n )－n ＋2＝－ln n －n ＋1.因为h ′(n )＝－1n－1<0，所以h (n )在(0，＋∞)上单调递减．又h (1)＝0，所以当0<n <1时，h (n )>h (1)＝0，故使g (n )－n ＋2>0成立的n 的取值范围为(0，1)． 答案：(0，1)14．(2019·浙江东阳中学期中检测)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是________．解析：设g (x )＝e x (2x －1)，y ＝ax －a ，由题意存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)在直线y ＝ax －a 的下方，因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，所以当x <－12时，g ′(x )<0，当x >－12时，g ′(x )>0，所以当x ＝－12时，g (x )min ＝－2e－12，当x ＝0时，g (0)＝－1，g (1)＝e>0，直线y ＝ax －a恒过(1，0)，斜率为a ，故－a >g (0)＝－1，且g (－1)＝－3e －1≥－a －a ，解得32e ≤a <1.答案：32e≤a <115．设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)， 使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2＜0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a ＜⎝⎛⎭⎫x ＋2x max＝－22，当且仅当x ＝2x即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．16．(2019·浙江金华十校第二学期调研)设函数f (x )＝e x －x ，h (x )＝－kx 3＋kx 2－x ＋1. (1)求f (x )的最小值；(2)设h (x )≤f (x )对任意x ∈[0，1]恒成立时k 的最大值为λ，证明：4＜λ＜6. 解：(1)因为f (x )＝e x －x ，所以f ′(x )＝e x －1， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )min ＝f (0)＝1.(2)证明：由h (x )≤f (x )，化简可得k (x 2－x 3)≤e x －1， 当x ＝0，1时，k ∈R ， 当x ∈(0，1)时，k ≤e x －1x 2－x3，要证：4＜λ＜6，则需证以下两个问题； ①e x －1x 2－x 3＞4对任意x ∈(0，1)恒成立； ②存在x 0∈(0，1)，使得e x 0－1x 20－x 30＜6成立．先证：①e x －1x 2－x 3＞4，即证e x －1＞4(x 2－x 3)，由(1)可知，e x －x ≥1恒成立，所以e x －1≥x ，又x ≠0，所以e x －1＞x ， 即证x ≥4(x 2－x 3)⇔1≥4(x －x 2)⇔(2x －1)2≥0， (2x －1)2≥0，显然成立，所以e x －1x 2－x 3＞4对任意x ∈(0，1)恒成立；再证②存在x 0∈(0，1)，使得e x 0－1x 20－x 30＜6成立．取x 0＝12，e －114－18＝8(e －1)，因为e ＜74，所以8(e －1)＜8×34＝6，所以存在x 0∈(0，1)，使得e x 0－1x 20－x 30＜6，由①②可知，4＜λ＜6.17．(2019·宁波市高考模拟)已知f (x )＝x ＋a 2x ，g (x )＝x ＋ln x ，其中a ＞0.若对任意的x 1，x 2∈[1，e]都有f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解：对任意的x 1，x 2∈[1，e]都有f (x 1)≥g (x 2)⇔当x ∈[1，e]有f (x )min ≥g (x )max ， 当x ∈[1，e]时，g ′(x )＝1＋1x ＞0，所以g (x )在x ∈[1，e]上单调递增， 所以g (x )max ＝g (e)＝e ＋1.当x ∈[1，e]时，f ′(x )＝1－a 2x 2＝x 2－a2x2，因为a ＞0，所以令f ′(x )＝0得x ＝a .①当0＜a ＜1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝a 2＋1.令a 2＋1≥e ＋1得a ≥e ，这与0＜a ＜1矛盾． ②当1≤a ≤e 时，若1≤x ＜a ，则f ′(x )＜0，若a ＜x ≤e ，则f ′(x )＞0，所以f (x )在[1，a ]上单调递减，在[a ，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (a )＝2a ，令2a ≥e ＋1得a ≥e ＋12，又1≤a ≤e ， 所以e ＋12≤a ≤e.③当a ＞e 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝e ＋a 2e.令e ＋a 2e ≥e ＋1得a ≥e ，又a ＞e ，所以a ＞e.综合①②③得，所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫e ＋12，＋∞. 18．(2019·宁波九校联考)已知函数f (x )＝e －x －11＋x .(1)证明：当x ∈[0，3]时，e －x ≥11＋9x； (2)证明：当x ∈[2，3]时，－27＜f (x )＜0.证明：(1)要证e －x ≥11＋9x ，也即证e x ≤1＋9x .令F (x )＝e x －9x －1，则F ′(x )＝e x －9.令F ′(x )＞0，则x ＞2ln 3.因此，当0≤x ＜2ln 3时，有F ′(x )＜0，故F (x )在[0，2ln 3)上单调递减；当2ln 3＜x ≤3时，有F ′(x )＞0，故F (x )在[2ln 3，3]上单调递增．所以，F (x )在[0，3]上的最大值为max{F (0)，F (3)}． 又F (0)＝0，F (3)＝e 3－28＜0.故F (x )≤0，x ∈[0，3]成立， 即e x ≤1＋9x ，x ∈[0，3]成立．原命题得证．(2)由(1)得：当x ∈[2，3]时，f (x )＝e －x －11＋x ≥11＋9x －11＋x.令t (x )＝11＋9x －11＋x，则t ′(x )＝－(1＋9x )－2·9＋(1＋x )－2＝1（1＋x ）2－9（1＋9x ）2＝（1＋9x ）2－9（1＋x ）2（1＋9x ）2（1＋x ）2＝72x 2－8（1＋9x ）2（1＋x ）2≥0，x ∈[2，3]．所以，t (x )在[2，3]上单调递增，即t (x )≥t (2)＝－1657＞－1656＝－27，x ∈[2，3]，所以f (x )＞－27得证．下证f (x )＜0. 即证e x ＞x ＋1令h (x )＝e x －(x ＋1)则h ′(x )＝e x －1＞0， 所以h (x )在[2，3]上单调递增，所以，h (x )＝e x －(x ＋1)≥e 2－3＞0，得证．另证：要证11＋9x －11＋x＞－27，即证9x 2－18x ＋1＞0，令m (x )＝9x 2－18x ＋1＝9(x －1)2－8在[2，3]上递增，所以m (x )≥m (2)＝1＞0得证．。

解答题标准练二1．函数f＝2错误!in co －2co2＋11求函数f的单调递增区间；2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设满足fB＝2，a ＝8，c＝5，求co A的值．2如图，四棱锥恒成立，求实数的m最小值；2对任意的1，2∈0，2且1＜2，假设存在0∈1，2，使得f′0＝错误!，求证：0＜错误!4抛物线C：2＝4上动点＝2，2，2，那么错误!即错误!取2＝1，那么m＝1，1，2．又co〈m，n〉＝错误!＝－错误!，结合图形知，二面角H a＝f e＝错误!因为关于的不等式f≤m恒成立，所以f ma≤m，所以m≥错误!，即m的最小值为错误!2证明：因为对任意的1，2∈0，2，假设存在0∈1，2，使得f′0＝错误!，即错误!＝错误!，所以错误!2－1－[f2－f1]＝0令F＝错误!2－1－[f2－f1]，那么有F0＝0，所以F′＝错误!2－1，当∈0，2时，2n －3＜2n 2－3＜0，又有2－1＞0，所以F′＜0，即F在0，2上是减函数．又因为F错误!＝错误!2－1－[f2－f1]＝错误!2－1－错误!＝错误!错误!－错误!错误!，令错误!＝t＞1，所以F错误!＝错误!错误!，设ht＝t·错误!－错误!，所以h′t＝错误!，设t＝t－t n t－1，所以′t＝－n t＜0t＞1，所以t在1，＋∞上是减函数，所以t＜1＝′t＜0，所以ht在1，＋∞上是减函数，所以ht＜h1＝0所以F错误!＝错误!ht＜0＝F0，因为F在0，2上是减函数，所以0＜错误!4．解：1设直线P A的方程为＝＋b，那么A8－2b，8－b．设P1，1，Q2，2，由错误!得2－4＋4b＝0，所以Δ＝16－16b＞0，b＜1，错误!，又1＋8－b＝22，解得错误!或错误!，经检验都是方程的解，所以P0，0或P16，－8．2设A2t1－8，t1，B2t2－8，t2，t1，t2≥在抛物线C上，可得错误!错误!＝4错误!，整理得t错误!＋21－16t1＋64－错误!＝0，同理t错误!＋21－16t2＋64－错误!＝0，所以t1，t2是方程t2＋21－16t＋64－错误!＝0的两个不相等的非负根．所以错误!，所以－8≤1＜0于是|AB|＝错误!|t1－t2|＝2错误!错误!≤32错误!，当且仅当1＝－8时取等号．所以|AB|的最大值为32错误!5．解：1由题设a n>0，当n＝1时，a1＝错误!；当n≥2时，a错误!＝2n－2n－1＝2n－1，所以a n＝2错误!又a1＝错误!不满足a n＝2错误!，所以数列{a n}的通项公式为a n＝错误!2由1知数列{a n}的通项公式为a n＝错误!，故错误!＝错误!＝错误!＝错误!－1·2错误!n≥2，记S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，那么当n≥2时，S n＝错误!＋错误!－1[错误!＋错误!2＋…＋错误!n－1]＝错误!＋错误!－1·错误!＝2错误!－错误!，故S n＝错误!当n∈N*，n≥2时，要使得2错误!－错误!>n－错误!恒成立，即2n>n2恒成立．由于当n＝4时，2n＝n2，考察函数f＝2－2的单调性，易证当>4时，函数f＝2－2单调递增，且＝4时，f＝0，所以当n≥5时，错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!>n －错误!恒成立，故所求n的取值范围是n≥5。

人教A版高中数学必修第二册专题强化练5　复数四则运算的综合应用1.(2024山东菏泽月考)已知i为虚数单位,复数z满足|z+2i|=|z|,则z的虚部为( )A.-1B.1C.iD.-i2.(2024福建福州期中)已知复数z满足|z|=2,则|z+3+4i|的最小值是( )A.3B.4C.5D.68.(2024河北张家口期中)已知在复数范围内,关于x的一元二次方程x2-2x+k=0(k∈R)有两个虚数根z1和z2,若|z1-z2|=2,且z1的虚部为正数.(1)求实数k的值;(2)求z1z2+的值.答案与分层梯度式解析专题强化练5　复数四则运算的综合应用1.B2.A3.ACD4.BCD5.BC1.B 设z=a+bi(a,b ∈R),则z =a-bi,因为|z+2i|=|z|,所以|a+(b+2)i|=|a+bi|,可得a 2+(b+2)2=a 2+b 2,解得b=-1,所以复数z 的虚部为-b=1.故选B.2.A |z|=2表示复数z 在复平面内对应的点的集合是以原点O 为圆心,2为半径的圆,|z+3+4i|=|z-(-3-4i)|表示圆上的点到点(-3,-4)(记为A)的距离,易得|OA|=32+42=5>2,所以|z+3+4i|的最小值是|OA|-2=3.故选A.3.ACD ∵-2<b<2,∴Δ=b 2-4<0,∴方程x 2+bx+1=0的根为x=-b ±4−b 2i2,不妨设z 1=-b2+4−b 22i,z 2=-b 2-4−b 22i,则z 1=z 2,A正确;|z 1|=|z 2正确;易得z 1z 2=1,∴z 1z 2=z 21z1z 2=z 21=b 2-22-b 4−b22i,当b≠0时,z 1z 2∉R,B 错误;当b=1时,z 1=-12+32i,z 2=-12-32i,计算得z 21=-12-32i=z 2,z 22=z 1,∴z 31=z 1z 2=1,z 32=z 1z 2=1,D 正确.故选ACD.4.BCD 设z 1=a+bi,z 2=c+di,a,b,c,d ∈R,则z 21=(a+bi)2=a 2-b 2+2abi,|z 1|2=a 2+b 2,当b≠0时,z 21≠|z 1|2,A 不正确;因为z 1·z 2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,所以z 1·z 2=(ac-bd)-(ad+bc)i,又z 1·z 2=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,所以z 1·z 2=z 1·z 2,B 正确;|z 1z 2|=|(a+bi)(c+di)|=|(ac-bd)+(ad+bc)i|=(ac -bd )2+(ad +bc )2=a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2,|z 1|·|z 2|=a 2+b 2·c 2+d 2=(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+b 2d 2+a 2d 2+b 2c 2,所以|z 1z 2|=|z 1|·|z 2|,C 正确;z 1z 1=a +b i a -b i =(a +b i)2(a -b i)(a +b i)=a 2-b 2+2abi a 2+b 2,z 21|z 1|2=(a +b i)2a 2+b 2=a 2-b 2+2abi a 2+b 2,所以z 1z 1=z 21|z 1|2,D正确.故选BCD.规律总结　关于复数有以下几个常用结论,在小题中可以直接使用,提高解题速度.(1)z1·z2=z1·z2=z1z2(z2≠0);(3)|z1z2|=|z1||z2|;(4)zz=z2|z|2(z≠0).5.BC　设z=a+bi(a,b∈R),由z2+z+1=0得(a+bi)2+(a+bi)+1=0,即(a2-b2+a+1)+(2ab+b)i=0,所以a2-b2+a+1=0,2ab+b=0,解得a=−12,b=32或a=−12,b=−32, z=-1+3i z=-1-3i,6.7.z1因为∠AOB∈[0,π],所以∠AOB=π4.8.解析　(1)设z1=a+bi(a,b∈R,b>0),则z2=a-bi,故z1+z2=2a=2,所以a=1,因为|z1-z2|=2,所以|2bi|=2,即4b2=4,解得b=1或b=-1(舍去).故z1=1+i,z2=1-i,所以k=z1z2=2.(2)因为z1z2=1+i1−i=i,i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N,所以z1z2+=i+i2+i3+…+i2 025=(i-1-i+1)×506+i=i.。

文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持.知能专练（五）导数及其应用一、选择题1. 曲线f （x ）=xlnx 在点（1, f （l ））处的切线的倾斜角为（） JT兀解析：选B 因为A-Y ） =-rln w 所以f （x ）=ln x+1,所以f 9（1）=1,所以曲线 = .rln x 在点（1, f （l ））处的切线的倾斜角为2. 已知e 为自然对数的底数，则函数y=xe ”的单调递增区间是（） A. [ — 1, 4-°°） B. （ — 8, — 1] C. [1, +°°）D. （—8, 1]解析：选 A 令 ” =£（l + x ）M0,又 J>0, /. 1+-Y ^0»—1.3. 函数/Cr ）=3Y+ln x-2x 的极值点的个数是（） A. 0 C. 2解析：选A 函数泄义域为(0, +8),C r / \ Q 」c 6Y —2-Y +1 且 f (x) =6x+一一2= ・由于 40,呂3=6丘一2%+1 中 J=-20<0, 所以g （£>0恒成立，故/ C Y ）>0恒成立.即f （0在立义域上单调递增，无极值点.4. （2017 •浙江高考）函数y =f3的导函数3的图象如图所则函数y= f3的图象可能是（）&）的图象有三个零点，故f （x ）在这三个零点处取得极值，排除A 、B ；记导函数£ 3的零点从左到右分别为血 心4又在（一8,幻上£ &）〈0, 在（也 北）上f 6）>0,所以函数f （x ）在（一8,山）上单调递减，排除C,故选D.B ・1D.无数个解析：选D 由£3的图象知，fA示I)版本可编辑.欢迎下载支持.5・已知常数a, b、c都是实数，fix) = ax 4-bx-\- ex— 34的导函数为£3, f 3W0的解集为{A<-2^A<3},若f(0的极小值等于一115,则A的值是()A -里22C. 2D. 5解析：选C由题意知，f值一115,“ 3=3/+2加+cW0的解集为[一2, 3],且在x=3处取得极小r3a>0.故有v 一2X3=子，3a3 =27a+9b+3c—34= —115,6.若0<-¥i<Ac<l ,则( )A・ e X1— e X| >ln 疋―In 羽B・ e x：—e A| <ln 疋—In 羽C・ A^e x, >-Yie X1D・挹e&〈*,e”2解析：选C构适函数f&)=e'—In”则f U)=e v-£=:---------------------------- ,令f &)=0,得昶‘x x-1 = 0,根据函数y=£与y=2的图象可知两函数图象的交点也丘(0,1),即Ax)=e x-ln 在■ A(0,1)上不是单调函数，无法判断f GO与f(疋)的大小,故A, B错:构造函数=-,则以 3xe x X—1 e x=—_= --------- ；-- •故函数g(x) =~在(0, 1)上单调递减，故gCrJ >g(上)，上e “ >-vie 12 ,故选C.二、填空题7.设函数f(x) =Ar(e x-l) -|x=,则函数f(x)的单调增区间为_______________ •解析：因为f3 = Af(e x— 1)-討,所以f 3 = e r— 1+xe x—x= (e x— 1) (x+1).令f' C Y)>0,即(丁一1)・C Y+1)>0,解得曲(一 8, 一1)或曲(°, +8).所以函数f&)的单调增区间为(一8, — 1)和(0, +8).答案：(一8, — 1)和(0, +°°)解得a=2.版本可编辑.欢迎下载支持.8. 已知函数f(x)=*£+2ax-ln X,若f(x)在区间2上是增函数，则实数日的取值范 用为 _______ .解析：由题意知f' 3=卄2&—抑在［扌，2〕上恒成立，即2a2-x+*£, 2上恒成 立.又Ty= —x+£在#, 2上单调递减，.・.(一卄斗尸善，・・.2&諾，即aN#.答案：扌，+8)9. 已知函数fG")=/+2&f+1在x=l 处的切线的斜率为1,则实数日= ________________ ，此时函数y=f(x)在［0, 1］上的最小值为 _______ .解析：由题意得f 3=3/+仏，则有f (l)=3Xf+4aXl = l,解得尸一*,所以f(x) =・£ 一/+1, 则 f r3 =3/—2从当 xW ［0, 1］时,2由 f r(X)=3左一 2x>0 得寸awi ；・ 2由 f r(-¥)=3”一2X0 得 0<X§,所以函数f3在(|，1上单调递增，在(0, |)上单调递减，所以函数f3在三处取得极 小值，即为最小值，所以最小值为彳|)=(|卜(|}+1=||.三. 解答题10. 已知函数 KY )=ln A^~l.X (1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 设加GR,对任意的aE ( —1,1)，总存在Ao 6 ［1, e ］,使得不等式aa —f(xo)< 0成立，求 实数也的取值范围.解：(D 函数的左义域为(0, +8), 又 f (-¥)= ---- =——.X X X令f rC Y )>0,得X >1,因此函数f(0的单调递增区间是(1, +8)・ 令f C Y XO,得0<Kl,因此函数的单调递减区间是(0,1).(2)依题意，［1, e ］.答案：一* 2327版本可编辑.欢迎下载支持.由⑴知,fCv)在-re[b e]上是增函数, /• /'(-v)M x=/'(e) =ln e4--—1=-. e ee e加的取值范帀是一5 I11. 设函数 f3F —「21nx.⑴若f(x)在x=2时有极值，求实数a 的值和f3的单调区间;(2)若f(£在泄义域上是增函数，求实数a 的取值范用. 解：(1) •・•/(£在x=2时有极值，.•・£ ⑵=0,又 AT>0, .\X 9 (X ), f(x)关系如下表:X (°，1)12 (i 2)2 (2, +8)f' 3+—+f3・・.f(x)(0,［2, +8),E ，2).(2)若在泄义域上是增函数，则f' (-Y )20在-Y>0时恒成立，r( 、, a 2 ax — 2x+ avr 3=a+u —一= ----------- 5——•x x x•二转化为-Y>0时a.f —2w+a20恒成立， 即"2畫I 恒成立，9r 91当且仅当尸戶时等号成立,・・.a21.故实数日的取值范围为［1, +8).｛血 x i —'wo,e血x —i -解得一X X□(2•辽一5/+2) >由 f' (.r) =0 有必=扌,xz=2,版本可编辑.欢迎下载支持.12.已知函数f(x)=eH+ax-a(aGR 且aHO).(1)若函数f(x)在.v=0处取得极值，求实数a的值：并求岀此时f(x)在［一2, 1］上的最大值:(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围.解：(1)函数f(£的定义域为R, f (£=£+&,f (O)=e°+a=O, .・.a= —1, :,F (x)=e"—l,•・•在(一 8, 0)上f (A-XO, f(x)单调递减，在(0, +8)上f' (x)>0, f(x)单调递增，・・.尸0时，f3取极小值.・"=一1符合要求.易知f(0在［一2, 0)上单调递减，在(0, 1］上单调递增，且f(一2) =Z+3, f(l)=e, f(—2)>f(l).e•'•fCr)在［―2, 1］的最大值为2+3.(2)T 3=e”+a,由于J>0・①当a>0时，Z C Y)>0, f(x)是增函数.且当％>1 时，f(£=£+a(x-l)>0・当M0时，取；v=—一•••函数存在零点，不满足题意.②当a<0 时，令f* Cv)=e'+a=0,得x=ln(—a)・在(一8, ln( —a))上f' (x)<0, f(x)单调递减，在(In(—a), +8)上F 3>0, f(x)单调递增,.\x=ln( — a)时，/(-Y)取最小值.函数f(*)不存在零点，等价于f(ln(—“))=』'+aln( —a) —a=—2a+aln( —a)>0,解得—e2<a<0.综上所述.所求的实数a的取值范用是(一『0)・。

2020届浙江省新高考基础演练试卷（五）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用诱导公式和特殊角的三角函数值可得所求三角函数的值.【详解】由题意可得：.故选：B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.2.下列结论正确的是（）A. B.C. ，D.【答案】A【解析】【分析】逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给的说法：若，则，选项A说法正确；若，则由不一定能得到，选项B说法错误；若，则由，不一定能得到，选项C说法错误；两个向量无法比较大小，故结论错误，选项D说法错误；故选：A.【点睛】本题主要考查向量的定义与向量的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知向量，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】由向量平行的充分必要条件可得：，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件，由向量平行求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知函数，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的解析式可得函数图像的平移变换方法.【详解】注意到，故得到函数的图象，只要将的图象向右平移个单位长度.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，属于基础题.5.已知为等差数列，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用等差数列的性质可得的值.【详解】由等差数列的性质有：.故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于基础题.6.函数（）是（）A. 最小正周期是B. 区间上的增函数C. 图象关于点对称D. 偶函数【答案】D【解析】【分析】首先对函数的解析式进行恒等变形，然后考查函数的性质即可.【详解】函数的解析式：，绘制函数图像如图所示：结合函数图像可知函数的最小正周期为，选项A说法错误；在区间上是减函数，选项B说法错误；函数不存在对称点，选项C说法错误；，选项D说法正确.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的性质，三角函数图像的绘制等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.数列满足，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定数列的周期性，然后结合周期性可得的值.【详解】由题意可得：，，故数列是周期为的周期数列，则.故选：C.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，周期数列的概念与性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在中，角、、的对边分别为，，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由正弦定理边化角，然后结合两角和差正余弦公式和同角三角函数基本关系可得的值，据此可得的值.【详解】由题意利用正弦定理边化角可得：，.故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.在中，角、、的对边分别为，，，若，，成等差数列，，的面积为，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b的值.【详解】由题意可得：，求解方程组可得：.故选：A.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量的运算法则和平面向量基本定理整理计算可得的值.【详解】由题意可得：，注意到，故，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题。

小题强化练(五)一、选择题1．已知集合A ＝{x |x 2－16≤0}，B ＝{x |lg|x －2|>0}，则A ∩B ＝( ) A ．[－4，1)∪(3，4] B ．[－4，－3)∪(－1，4] C ．(－4，1)∪(3，4)D ．(－4，－3)∪(－1，4)2．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－1，0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)3．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2 B.12 C ．4D.144．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1－x ），x <1，3x －7，x ≥1，则不等式f (x )<2的解集为( )A ．(－3，2)B ．(－2，3)C ．(2，3)D ．(－3，－2)5．若a ＝log 32，b ＝lg 0.2，c ＝20.2，则( ) A ．c <b <a B ．b <a <c C ．a <b <cD ．b <c <a6．6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种7．把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝2π3B ．x ＝π2C ．x ＝π4D ．x ＝π88．已知抛物线x 2＝8y 与双曲线y 2a2－x 2＝1(a >0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝09．倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且AF→＝2FB →，则该椭圆的离心率为( )A.32B.23C.22D.3310．定义在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数f (x )，已知f ′(x )是它的导函数，且恒有cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0成立，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 11．(多选)下列说法正确的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(x ，y )B ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好C ．从独立性检验可知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有95%的可能患有肺病D ．从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有1%的可能性使得推断出现错误12．(多选)下列函数中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0”成立的是( )A ．f (x )＝－x 2－2x ＋1 B ．f (x )＝x －1xC ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝log 12(2x )＋113．(多选)以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的中线AD 为折痕，将△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面．下列说法正确的是( )A ．BD ⊥平面ACDB ．△ABC 为等边三角形C ．平面ADC ⊥平面ABCD ．点D 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外接圆圆心 二、填空题14．已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 2a cos(θ－B )＋2b cos(θ＋A )＋c ＝0，则cos θ的值为________．16．已知三棱锥P ­ABC 的底面ABC 是等腰三角形，AB ⊥AC ，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ＝1，则这个三棱锥内切球的半径为________．17．已知数列{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .则{a n }的通项公式为________；{b n }的前n 项和为________．小题强化练(五)1．解析：选A.由题意得A ＝{x |－4≤x ≤4}，B ＝{x |x >3或x <1}，结合交集的定义知A ∩B ＝[－4，1)∪(3，4]．故选A.2．解析：选A.法一：因为z ＝1＋m i 1＋i ＝（1＋m i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A. 法二：当m ＝0时，z ＝11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B ，C ，D ，故选A.3．解析：选B.因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号)． 又因为2a ＋b ＝4， 所以22ab ≤4⇒0<ab ≤2，所以1ab ≥12，故1ab 的最小值为12，故选B.4．解析：选A.当x <1时，f (x )<2可化为log 2(1－x )<2，即0<1－x <4，解得－3<x <1；当x ≥1时，f (x )<2可化为3x －7<2，即3x <9，得1≤x <2.综上，不等式f (x )<2的解集为(－3，1)∪[1，2)＝(－3，2)．5．解析：选B.由对数函数的性质可得a ＝log 32∈(0，1)，b ＝lg 0.2<0，由指数函数的性质可得c ＝20.2>1，所以b <a <c ，故选B.6．解析：选A.由题意知将甲、乙两本书放在两端有A 22种放法，将丙、丁两本书捆绑，与剩余的两本书排列，有A 33种放法，将相邻的丙、丁两本书排列，有A 22种放法，所以不同的摆放方法有A 22×A 33×A 22＝24(种)，故选A.7．解析：选D.根据题中变换，所得图象对应的函数解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，令2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝π8＋k π2(k ∈Z )，取k ＝0，得x ＝π8，故选D.8．解析：选B.设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 20a 2－x 20＝1，9a 2－24＝1，a 2＝925，所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a 2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B. 9．解析：选B.由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1y ＝x －c，所以(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有两个交点，则Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2ca 2＋b 2y 1y 2＝－b 4a 2＋b2，又AF →＝2FB →，所以(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，所以－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b 2－2y 22＝－b4a 2＋b2，所以12＝4c 2a 2＋b 2，所以e ＝23，故选B.10．解析：选C.因为cos x ·f ′(x )＋sin x ·f (x )<0，所以在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）cos x ′<0，所以函数y ＝f （x ）cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6cos π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cosπ3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，故选C.11．解析：选ABD.对于A ，回归直线一定过样本点的中心点(x ，y )，正确； 对于B ，回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，正确； 对于C ，从独立性检验知：有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，他有95%的可能与患有肺病有关，C 错误；对于D ，从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有1%的可能性使得推断出现错误，D 正确．12．解析：选AD.根据题意，“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0”，则函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，据此依次分析选项：对于选项A ，f (x )＝－x 2－2x ＋1，为二次函数，其对称轴为x ＝－1，在(0，＋∞)上递减，符合题意；对于选项B ，f (x )＝x －1x，其导数f ′(x )＝1＋1x2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上递增，不符合题意；对于选项C ，f (x )＝x ＋1为一次函数，所以f (x )在(0，＋∞)上递增，不符合题意；对于选项D ，f (x )＝log 12(2x )＋1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．13.解析：选ABD.在A 中，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的中线AD 为折痕，将△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面，所以AD ⊥BD ，CD ⊥BD ，因为AD ∩CD ＝D ，AD ，CD ⊂平面ACD ，所以BD ⊥平面ACD ，故A正确；在B 中，因为AD ，CD ，BD 两两垂直，AD ＝CD ＝BD ，所以AB ＝AC ＝BC ，所以△ABC 为等边三角形，故B 正确；在C 中，取AC 中点O ，连接DO ，BO ，则BO ⊥AC ，DO ⊥AC ，所以∠BOD是平面ADC 与平面ABC 所成角的平面角，设CD ＝1，则OD ＝12AC ＝12AD 2＋CD 2＝22，OB ＝（2）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝62，所以cos ∠BOD ＝OD 2＋OB 2－BD 22×OD ×OB ＝12＋32－12×22×62＝33，所以平面ADC 与平面ABC 不垂直，故C 错误；在D 中，因为AD ，CD ，BD 两两垂直，AD ＝CD ＝BD ，所以AB ＝CA ＝BC ，所以△ABC 为等边三角形，所以点D 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外接圆圆心，故D 正确．14．解析：由f (2)＝8＋a log 32＝6，解得a ＝－2log 32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18＋a log 312＝18－a log 32＝18＋2log 32×log 32＝178. 答案：17815．解析：由正弦定理，得2sin A cos(θ－B )＋2sin B cos(θ＋A )＋sin C ＝0，展开得到2sin A cos θcos B ＋2sin A sin θsin B ＋2sin B cos θcos A －2sin B sin θsin A ＋sinC ＝0，化简得2cos θ(sin A cos B ＋sin B cos A )＋sin C ＝0，即2cos θsin(A ＋B )＋sin C＝0，由三角形内角和定理，得sin(A ＋B )＝sin C ≠0，故cos θ＝－12.答案：－1216.解析：如图所示，依题意可得S △ABC ＝12×1×1＝12，S △PAB ＝12×1×1＝12，S △PAC ＝12×1×1＝12，S △PBC ＝12×2×2×sin 60°＝32.设这个三棱锥内切球的半径为r ，则有V P ­ABC ＝13×S △ABC ×PA ＝13(S △PAB ＋S △PAC＋S △ABC ＋S △PBC )×r ，得到13×12×1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋12＋32×r ，解得r ＝3－36.答案：3－3617．解析：因为a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .当n ＝1时，a 1b 2＋b 2＝b 1，因为b 1＝1，b 2＝13，所以a 1＝2，又因为{a n }是公差为3的等差数列，所以a n ＝3n －1.(3n －1)b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，知3b n ＋1＝b n .即数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，所以{b n }的前n 项和S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32(1－3－n)＝32－12·3n －1.答案：a n ＝3n －1 32－12·3n －1。

解答题规范练(二)1．已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足f (B )＝2，a ＝8，c ＝5，求cos A 的值．2.如图，四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AD ＝AB ＝1，BC ＝ 2.(1)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(2)设H 为CD 上一点，满足CH →＝2HD →，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为63，求二面角H ­PB ­C 的余弦值．3．已知函数f (x )＝ln xx.(1)若关于x 的不等式f (x )≤m 恒成立，求实数的m 最小值； (2)对任意的x 1，x 2∈(0，2)且x 1＜x 2，若存在x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，求证：x 0＜x 1x 2.4.已知抛物线C：y2＝4x上动点P(x1，y1)，点A在射线x－2y＋8＝0(y≥0)上，满足P A的中点Q在抛物线C上．(1)若直线P A的斜率为1，求点P的坐标；(2)若射线l上存在不同于A的另一点B，使得PB的中点也在抛物线C上，求|AB|的最大值．5．已知数列{a n}的各项均为正数，且满足a21＋a22＋a23＋…＋a2n＝2n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a21a2＋a1＋a22a3＋a2＋a23a4＋a3＋…＋a2na n＋1＋a n>n－22(n∈N*，n≥2)恒成立，求n的取值范围．解答题规范练(二)1．解：(1)f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由题意2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＝2，所以B ＝π3，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝49， 解得b ＝7.所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝17.2．解：(1)证明：由AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝1，可得BD ＝ 2. 又BC ＝2，所以CD ＝2，所以BC ⊥BD . 因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ， 又PD ∩BD ＝D ，所以BC ⊥平面PBD ， 所以平面PBD ⊥平面PBC .(2)由(1)可知∠BPC 为PC 与平面PBD 所成的角， 所以tan ∠BPC ＝63， 所以PB ＝3，PD ＝1.由CH →＝2HD →及CD ＝2，可得CH ＝43，DH ＝23.以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则B (1，1，0)，P (0，0，1)，C (0，2，0)，H ⎝⎛⎭⎫0，23，0.设平面HPB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧HP →·n ＝0，HB →·n ＝0，即⎩⎨⎧－23y 1＋z 1＝0，x 1＋13y 1＝0，取y 1＝－3，则n ＝(1，－3，－2)． 设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧PB →·m ＝0，BC →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－z 2＝0，－x 2＋y 2＝0，取x 2＝1，则m ＝(1，1，2)． 又cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－217，结合图形知，二面角H PBC 的余弦值为217. 3．解：(1)由f ′(x )＝1－ln xx 2＝0解得x ＝e. 当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 所以f (x )max ＝f (e)＝1e.因为关于x 的不等式f (x )≤m 恒成立， 所以f (x )max ≤m ，所以m ≥1e ，即m 的最小值为1e.(2)证明：因为对任意的x 1，x 2∈(0，2)，若存在x 0∈(x 1，x 2)，使得f ′(x 0)＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1，即1－ln x 0x 20＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1， 所以1－ln x 0x 20(x 2－x 1)－[f (x 2)－f (x 1)]＝0.令F (x )＝1－ln xx 2(x 2－x 1)－[f (x 2)－f (x 1)]，则有F (x 0)＝0，所以F ′(x )＝2ln x －3x 3(x 2－x 1)，当x ∈(0，2)时，2ln x －3＜2ln 2－3＜0， 又有x 2－x 1＞0，所以F ′(x )＜0，即F (x )在(0，2)上是减函数． 又因为F (x 1x 2)＝1－ln x 1x 2x 1x 2(x 2－x 1)－[f (x 2)－f (x 1)]＝1－ln x 1x 2x 1x 2(x 2－x 1)－⎝⎛⎭⎫ln x 2x 2－ln x 1x 1＝1x 1⎝⎛⎭⎫1＋ln x 1x 2－1x 2⎝⎛⎭⎫1＋ln x 2x 1，令x 2x 1＝t ＞1，所以F (x 1x 2) ＝1x 2⎣⎡⎦⎤t ·⎝⎛⎭⎫1－12ln t －⎝⎛⎭⎫1＋12ln t ， 设h (t )＝t ·⎝⎛⎭⎫1－12ln t －⎝⎛⎭⎫1＋12ln t ， 所以h ′(t )＝t －t ln t －12t，设k (t )＝t －t ln t －1， 所以k ′(t )＝－ln t ＜0(t ＞1)， 所以k (t )在(1，＋∞)上是减函数，所以k (t )＜k (1)＝0.所以h ′(t )＜0，所以h (t )在(1，＋∞)上是减函数， 所以h (t )＜h (1)＝0.所以F (x 1x 2)＝1x 2h (t )＜0＝F (x 0)，因为F (x )在(0，2)上是减函数，所以x 0＜x 1x 2.4．解：(1)设直线P A 的方程为y ＝x ＋b ，则A (8－2b ，8－b )．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b y 2＝4x得y 2－4y ＋4b ＝0，所以 Δ＝16－16b ＞0，b ＜1，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4y 1y 2＝4b，又y 1＋8－b ＝2y 2，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0y 1＝0y 2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－24y 1＝－8y 2＝12， 经检验都是方程的解，所以P (0，0)或P (16，－8)．(2)设A (2t 1－8，t 1)，B (2t 2－8，t 2)，t 1，t 2≥0.则由P A 的中点Q ⎝⎛⎭⎫y 218＋t 1－4，t 1＋y 12在抛物线C 上，可得⎝⎛⎭⎫t 1＋y 122＝4⎝⎛⎭⎫y 218＋t 1－4，整理得t 21＋(2y 1－16)t 1＋64－y 21＝0， 同理t 22＋(2y 1－16)t 2＋64－y 21＝0，所以t 1，t 2是方程t 2＋(2y 1－16)t ＋64－y 21＝0的两个不相等的非负根．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2y 1－16）2－4（64－y 21）＞0t 1＋t 2＝16－2y 1＞0t 1t 2＝64－y 21≥0，所以－8≤y 1＜0.于是|AB |＝5|t 1－t 2|＝252y 21－16y 1≤325，当且仅当y 1＝－8时取等号． 所以|AB |的最大值为32 5.5．解：(1)由题设a n >0，当n ＝1时，a 1＝2；当n ≥2时，a 2n ＝2n －2n －1＝2n －1，所以a n ＝2n －12.又a 1＝2不满足a n ＝2n －12，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －12，n ≥2.(2)由(1)知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －12，n ≥2，故a 2na n ＋1＋a n ＝2n －1（2）n ＋（2）n －1＝2n －1（2）n －1·（2＋1）＝(2－1)·2n －12(n ≥2)，记S n ＝a 21a 2＋a 1＋a 22a 3＋a 2＋a 23a 4＋a 3＋…＋a 2n a n ＋1＋a n ， 则当n ≥2时，S n ＝22＋(2－1)[2＋(2)2＋…＋(2)n －1]＝22＋(2－1)·2[1－（2）n －1]1－2＝2n 2－22，故S n＝⎩⎨⎧22，n ＝12n 2－22，n ≥2.当n ∈N *，n ≥2时，要使得2n 2－22>n －22恒成立，即2n >n 2恒成立． 由于当n ＝4时，2n ＝n 2，考察函数f (x )＝2x －x 2的单调性，易证当x >4时，函数f (x )＝2x－x 2单调递增，且x ＝4时，f (x )＝0，所以当n ≥5时，a 21a 2＋a 1＋a 22a 3＋a 2＋a 23a 4＋a 3＋…＋a 2na n ＋1＋a n >n －22恒成立，故所求n 的取值范围是n ≥5.。

2020届浙江省高三新高考考前原创冲刺卷（五）数学试题一、单选题1．双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A ．14y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．4y x =±【答案】C【解析】根据渐近线公式直接得到答案. 【详解】双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±.故选：C . 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题. 2．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，复数1a bii+-与12i -+在复平面内对应的点关于虚轴对称，则ab =（ ） A ．3- B ．13-C ．13D ．3【答案】D【解析】解法一：利用复数除法运算求得1a bii+-对应点坐标，由与12i -+对应点关于虚轴对称可构造方程组求得,a b ，进而得到结果；解法二：根据两点关于虚轴对称可得121a bii i+=+-，由复数乘法运算和复数相等可求得,a b ，进而得到结果. 【详解】 解法一：Q 复数()()()()111122a bi i a bi a b a bi i i i +++-+==+--+在复平面内对应的点为,22a b a b A -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，复数12i -+在复平面内对应的点为()1,2B -，且,A B 关于虚轴对称，1222a b a b -⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩，解得：31a b =⎧⎨=⎩，3ab ∴=.故选：D .解法二：由题意知：121a bii i+=+-，则()()1123a bi i i i +=-+=+， 31a b =⎧∴⎨=⎩，3ab ∴=， 故选：D . 【点睛】本题考查复数的乘除法运算、复数相等和复数对应点的坐标等知识，属于基础题. 3．函数()()2sin 1x xf x x x ππ=-≤≤+的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数奇偶性排除,A D ，由02f π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭排除C ，由此得到结果. 【详解】()()()()22sin sin 11x x x xf x f x x x ---===+-+Q ， ()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，可排除,A D ；22sin22202414f ππππππ⎛⎫==≠ ⎪+⎝⎭+，可排除C . 故选：B . 【点睛】本题考查函数图象的识别问题，解决此类问题通常采用排除法，排除依据为奇偶性、特殊位置符号、单调性等，属于常考题型.4．设函数()222cos 1f x x x =-+，则函数()f x 的图象可由（ ）A ．函数2sin 2y x =的图象向右平移12π个单位长度得到 B ．函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度得到C ．函数2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度得到 D ．函数2sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度得到 【答案】A【解析】利用二倍角和辅助角公式化简得()2sin 212f x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦函数的平移变换原则可得到结果. 【详解】()2cos 22sin 22sin 2612f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由2sin 2y x =向右平移12π个单位长度即可得到()f x .故选：A . 【点睛】本题考查三角函数的平移变换问题，涉及到利用二倍角和辅助角公式化简三角函数的问题.5．若实数x ，y 满足约束条件1026x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．32B ．3C ．103D ．18【答案】D【解析】由约束条件画出可行域，将问题转化为1122y x z =-+在y 轴截距最大问题的求解，由数形结合可知过()6,6B 时最大，代入可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将目标函数2z x y =+化为1122y x z =-+，当z 最大时，1122y x z =-+在y 轴截距最大，作出直线12y x =-并平移，由图象可知，当直线经过点B 时，在y 轴截距最大， 由260x y x y -=-⎧⎨-=⎩得：()6,6B ，max 62618z =+⨯=∴.故选：D . 【点睛】本题考查线性规划求解最值的问题，关键是能够明确所求目标函数所表示的几何意义，利用数形结合的方式来进行求解. 6．“ln ln x y ≤”是x y <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】根据函数定义域和单调性可知ln ln x y ≤等价于0x y <≤x y <等价于0x y ≤<，通过反例可知充分性与必要性均不成立，由此得到结果.【详解】ln ln x y ≤等价于0x y <≤，若x y =x y <不成立，即充分性不成立；x y <等价于0x y ≤<，若0x =，则ln x 无意义，即必要性不成立；∴“ln ln x y ≤x y ”的既不充分也不必要条件.故选：D . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的辨析，关键是熟练应用函数定义域和单调性的知识，将所给不等式进行等价转化.7．在锐角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2A C =，则sin c Ca的取值范围为（ ）A．16⎛ ⎝⎭B．12⎫⎪⎪⎝⎭C．12⎤⎥⎣⎦ D．16⎡⎢⎣⎦【答案】B 【解析】 利用正弦定理可得sin 1tan 2c C C a =，根据锐角三角形角的大小可确定C 的范围，从而得到tan C 值域，由此得到结果. 【详解】由正弦定理得：22sin sin sin sin 1tan sin sin 22cos 2c C C C C C a A C C ====.ABC QV 为锐角三角形，020202A C B πππ⎧<<⎪⎪⎪∴<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即02202032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得：64C ππ<<，tan 3C ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭，11tan ,262C ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即sin c Ca的取值范围为1,62⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查利用三角函数值域求解三角形中的取值范围的问题，涉及到正弦定理边化角的应用；解题关键是能够利用正弦定理边化角将问题转化为正切函数值域的求解问题. 8．设102p <<，随机变量ξ的分布列如下，则随机变量ξ的方差()D ξ的取值范围为（ ）A ．()0,4B ．()0,5C ．()1,4D ．()1,5【答案】C【解析】根据方差的计算公式计算可得()()2415D p ξ=--+，根据二次函数性质可求得结果. 【详解】Q 随机变量ξ的数学期望()()111132222E p p p ξ⎛⎫=-⨯+⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭，()()()()2221112212232222D p p p p p ξ⎛⎫∴=---⨯+--⨯-+--⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭()22481415p p p =-++=--+.则()D ξ在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()D ξ∴的取值范围为()1,4.故选：C . 【点睛】本题考查根据分布列计算方差的问题，涉及到二次函数的性质的应用；关键是熟练掌握应用分布列计算数学期望和方差的方法.9．已知正实数m ，n 满足2m n +=，且对任意的x ∈R 都有222x mx n x ax b +-≥++，则4b aab-的最小值为（ ） A ．4 B ．9C ．16D ．24【答案】B【解析】令()22f x x mx n =+-，()2g x x ax b =++，根据()0f x =有两个不等式实根且与()0g x =有相同的实根可得到2m a =，2n b =-，由此得到1a b -=且0a >，0b <；将所求式子转化为()414b a a b ab a b -⎛⎫∴=++-⎡⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭，利用基本不等式可求得结果. 【详解】设()22f x x mx n =+-，()2g x x ax b =++，对于()f x ，280m n ∆=+>Q ，∴方程()0f x =有两个不相等的实根12,x x . 当()0f x =时，由()()f x g x ≥得：()0g x =，∴方程()0f x =与方程()0g x =有相同的实根，12a b m n ∴==-，即2m a =，2n b =-，又,m n 为正实数，2m n +=，0a ∴>，0b <，1a b -=，()4141444555249b a b a b aa b ab a b a b a b a b---⎛⎫∴=-=++-=++≥+⋅=+=⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭，（当且仅当4b aa b =，即13a =，23b =-时取等号）， 即4b aab-的最小值为9. 故选：B . 【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题；关键是能够利用所给不等式转化为两一元二次方程有相同实根的问题，进而得到系数之间的关系，通过基本不等式中“1”的妙用，配凑出符合基本不等式的形式.10．如图，在正四面体ABCD 中，,,P Q R 分别为,,AB AC AD 上的点，2APPB=，3CQ ARQA RD==，记二面角B PQ R --，C QR P --，D PR Q --的平面角分别为α，β，γ，则（ ）A ．γαβ<<B ．αγβ<<C ．αβγ<<D ．βγα<<【答案】C【解析】将问题转化为二面角A PQ R --的平面角、二面角A QR P --的平面角和二面角A PR Q --的平面角的大小关系的比较，根据图形中的线段比例关系，可确定三个平面角的大小关系，从而得到结果. 【详解】由图形可知：二面角B PQ R --的平面角的补角是二面角A PQ R --的平面角，二面角C QR P --的平面角的补角是二面角A QR P --的平面角，二面角D PR Q --的平面角的补角是二面角A PR Q --的平面角，由2APPB=，3CQ AR QA RD ==可通过空间中的位置关系得到：二面角A PQ R --的平面角>二面角A QR P --的平面角>二面角A PR Q --的平面角，αβγ∴<<.故选：C . 【点睛】本题考查立体几何中二面角大小的比较问题，解题关键是能够将问题转化为所求二面角平面角的补角的大小关系的比较上，通过图形关系可观察得到结果，对于学生的转化能力和空间想象能力有较高要求，属于较难题.二、双空题11．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =，{}2,5U B =ð，则集合B =________，A B =I ________.【答案】{}1,3,4 {}1,3【解析】由补集和交集定义可直接求得结果. 【详解】由补集定义可知：{}1,3,4B =，{}1,3A B ∴=I . 故答案为：{}1,3,4；{}1,3. 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，属于基础题.12．明代商人程大位在公元1592年编撰完成《算法统宗》一书.书中有如下问题：“今有女子善织，初日迟，次日加倍，第三日转速倍增，第四日又倍增，织成绢六丈七尺五寸.问各日织若干？”意思是：“有一位女子善于织布，第一天由于不熟悉有点慢，第二天起每天织的布都是前一天的2倍，已知她前四天共织布6丈7尺5寸，问这位女子每天织布多少？”根据文中的已知条件，可求得该女了第一天织布________尺，若织布一周（7天），共织________尺.（其中1丈为10尺，1尺为10寸） 【答案】4.5 571.5【解析】女子每天的织布数量成等比数列，由等比数列求和公式可构造方程求得第一天的织布量，再次利用等比数列求和公式可求得7天织布总量. 【详解】由题意知：该女子每天的织布数量成等比数列，且公比2q =， 设第一天的织布量为1a （尺）， 则前四天共织布()()4411411121567.5112a q a S a q--====--（尺），解得：1 4.5a =， 一周（7天）织布的数量()()77171 4.512571.5112a q S q-⨯-===--（尺）.故答案为：4.5；571.5. 【点睛】本题考查等比数列的应用，涉及到等比数列前n 项和公式的应用，属于基础题.13．若2nx⎛ ⎝的展开式中所有项的系数和为729，则n =________，展开式中的常数项是________. 【答案】6 60【解析】令1x =，则可得到所有项系数和所构造的方程，求得n ；根据展开式通项公式，令x 的幂指数等于0，可求得r ，进而得到常数项. 【详解】令1x =，则展开式中所有项的系数和为3729n =，解得：6n =，则62x⎛+ ⎝的展开式的通项为36662166(2)2rr r r r r r T C x C x---+==， 令3602r -=，解得：4r =，∴展开式中的常数项为46460C =. 故答案为：6；60. 【点睛】本题考查二项展开式各项系数和的应用、求解二项展开式指定项的问题；求解二项展开式各项系数和的问题采用赋值法的方式来进行快速求解.14．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为________，表面积为________.【答案】643248582++ 【解析】由三视图还原几何体可知为四棱锥P ABCD -，其中平面PAB ⊥平面ABCD ；根据长度关系可求得各个面的面积，根据棱锥体积公式和表面积公式可求得结果. 【详解】由三视图知：该几何体的直观图是如图所示的四棱锥P ABCD -，其中平面PAB ⊥平面ABCD .由三视图中长度关系可知： 16ABCD S =正方形，8PAB S =△，45PBC S =△，45PAD S =△，82PCD S =△∴该几何体的体积11644164333ABCD V S =⨯⨯=⨯⨯=正方形， 该几何体的表面积168454582248582S =++=+故答案为：643；24582+. 【点睛】本题考查棱锥体积和表面积的求解问题，解题关键是由三视图准确还原几何体，并得到几何体中的长度和垂直关系.三、填空题15．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:2C x y +=，圆()()2221717:8x C y -+-=，若过第四象限的直线l 是两圆的公切线，且两圆在公切线的同一侧，则直线l 的方程为________. 【答案】352170x y --=【解析】根据圆的方程可确定圆心和半径，设直线:l y kx b =+，作1//C D AB 交2BC 于D ，根据()12tan 45k DC C =-∠o，可利用两角和差正切公式求得k ；利用直线与圆相切可构造方程求得b ，结合直线过第四象限可确定b 的值，进而得到结果. 【详解】由圆的方程可知：圆1C 圆心为()10,0C ，半径12r =；圆2C 圆心为()217,17C ，半径222r =，则121C C k =，1234C C =由题意知：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx b =+，直线l 与圆12,C C 的切点分别为,A B ，连接1212,,C C AC BC ，过1C 作1//C D AB 交2BC 于D ，l Q 为圆2C 的切线，2BC AB ∴⊥，又1//C D AB ，12C D C D ∴⊥，()212212221tan 434222C DDC C C D∴∠===--，()121134tan 451514k DC C -∴=-∠==+o ， ∴直线l 的方程为35y x b =+，即3550x y b -+=.又直线=5b =±，又直线l 过第四象限，5b ∴=-，∴直线l 的方程为35y x =350x y --=.故答案为：350x y --=. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系的综合应用，涉及到直线与圆相切的位置关系的应用、直线斜率的求解等知识；解题关键是明确当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径. 16．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有________种不同的放法. 【答案】18【解析】先确定盒子球数分配方法，再进行排列. 【详解】由题意得三个盒子球数为（1，2，6），（1，3，5），（2，3，4）这三种，所以共有33318A =种不同的放法. 【点睛】本题考查排列应用题，考查基本分析与求解能力，属中档题.17．在ABC V 中，AB =AC =45BAC ∠=o ，P 是ABC V 所在平面内任意一点，则PA PB PB PC PC PA →→→→→→⋅+⋅+⋅的最小值是________. 【答案】4-【解析】利用余弦定理和勾股定理可知90ABC ∠=o ，以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，设(),P x y ，利用平面向量的坐标运算可将所求式子化为224+--，由此可确定最小值.【详解】由余弦定理得：2222cos 6126BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-=，222AB BC AC ∴+=，即90ABC ∠=o .以B 为坐标原点可建立如下图所示的平面直角坐标系：则(6A ，()0,0B ，)06,C，设(),P x y ，()6PA x y →∴=-，(),PB x y →=--，)6,PC x y →=-，()))()226666PA PB PB PC PC PA x y y x x y x x y y→→→→→→∴⋅+⋅+⋅=--+--22223632632324x x y x =-+-=+--，2320x ≥Q ，2320y ≥，4PA PB PB PC PC PA →→→→→→∴⋅+⋅+⋅≥-，即PA PB PB PC PC PA →→→→→→⋅+⋅+⋅的最小值为4-. 故答案为：4-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的最值的求解问题，解决此类问题通常可以采用建立平面直角坐标系的方式，利用平面向量的坐标运算来进行求解.四、解答题18．已知角α，角β的顶点都与原点重合，它们的始边都与x 轴的非负半轴重合，角α的终边过点525,55A ⎛ ⎝⎭，角β的正切线为17-. （1）求cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求2αβ-的值.【答案】（1）25；（2）4π- 【解析】（1）根据终边所过点可求得sin α，cos α；利用诱导公式可求得结果；（2）利用二倍角正切公式可求得tan2α，同时确定2,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到2,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭；根据正切线定义可知1tan 7β=-，利用两角和差正切公式求得()tan 2αβ-后，结合角的范围可确定角的大小. 【详解】（1）Q 角α的终边过点A ⎝⎭，sin α∴=，cos α=根据诱导公式得：cos sin 25παα⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭. （2）sin 5α=Q，cos 5α=，sin tan 2cos ααα∴==. 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，()20,απ∴∈，又22tan 4tan 21tan 3ααα==--，2,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭. ,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，2,22ππαβ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭.Q 角β的正切线为17-，∴1tan 7β=-， ()41tan 2tan 37tan 21411tan 2tan 137αβαβαβ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭∴-===-+⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，24παβ∴-=-.【点睛】本题考查任意角三角函数值的定义、同角三角函数关系、诱导公式、三角函数线、两角和差正切公式和二倍角的正切公式的应用；重点考查了根据三角函数值求解角的问题，易错点是忽略角所处的范围.19．如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，P ，D ，E 分别为棱1AA ，AC ，BC 上的点，且11A P AD CD ===，2PA =，AB BC =，E 为BC 的中点.（1）求证：1//A E 平面PBD ；（2）当2BC =时，求直线PB 与平面11AC E 所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）26【解析】（1）连接AE 交BD 于G ，连接PG ，易知G 为ABC V 的重心，由重心性质可知123AP AG AA AE ==，得到1//PG A E ，由线面平行判定定理可证得结论； （2）以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得线面角的正弦值. 【详解】（1）连接AE 交BD 于G ，连接PG ，1AD CD ==Q ，D ∴为AC 的中点，又E 为BC 的中点，G ∴为ABC V 的重心，23AG AE ∴=， 在1AA E △中，123AP AG AA AE ==，1//PG A E ∴， PG ⊂Q 平面PBD ，1A E ⊄平面PBD ，1//A E ∴平面PBD .（2）AB BC =Q ，D 为AC 中点，BD AC ∴⊥，则以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系，其中1//AA z 轴，则()1,0,2P ，()3,0B ，()11,0,3A ，()11,0,3C -，132E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()13,2PB →∴=--，()112,0,0A C →=-，13332A E →⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面11AC E 的法向量(),,n x y z →=，则1112033302A C n x A E n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩u u u u r ru u u r r ，令3y =则0x =，1z =，()0,23,1n →∴=， 26cos ,2213PB nPB n PB n→→→→→→⋅∴<>===⨯⋅ ∴直线PB 与平面11AC E 所成的角的正弦值为2613. 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解直线与平面所成角的问题，考查学生的运算和求解能力，属于常考题型.20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()11n n S a a =-，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()312nnx +-=，()221log n n y a +=，求数列{}n n x y ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）2nn a =；（2）22310,2383,2n n nn T n n n ⎧+⎪⎪=⎨+-⎪⎪⎩为偶数为奇数【解析】（1）利用n a 与n S 关系可证得数列{}n a 为等比数列，由等比数列通项公式可求得结果；（2）当n 为偶数时，采用分组求和的方式，结合等差数列求和公式可求得n T ；当n 为奇数时，利用1n n n n T T x y -=+可求得n T ；综合两种情况可得最终结果. 【详解】（1）当1n =时，()1111a a a =-，0n a >Q ，12a ∴=；当2n ≥时，由()()111111n n n n S a a S a a --⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得：()()1112n n n n n a a a a a a --=-=-，()122n n a a n -∴=≥，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，1222n n n a -∴=⨯=.（2）()311,22,nn n x n +-⎧==⎨⎩Q 为奇数为偶数，()221log 22n n y a n +==+， ∴当n 为偶数时，1122334411n n n n n T x y x y x y x y x y x y --=++++⋅⋅⋅++12341222n n y y y y y y -=++++⋅⋅⋅++ ()()13124222n n nn y y y y y y -=++⋅⋅⋅++⨯++⋅⋅⋅+144424443144424443个个()()4226222222n nn n ⨯+⨯⨯++=+23102n n+=； 当3n ≥且n 为奇数时，则1n -为偶数，1n n n n T T x y -=+1n n T y -=+()()231101222n n n -+-=++23832n n +-=， 验证可知：当1n =时，114x y =，满足23832n n n T +-=，∴当n 为奇数时，23832n n n T +-=；综上所述：22310,2383,2n n nn T n n n ⎧+⎪⎪=⎨+-⎪⎪⎩为偶数为奇数. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 关系求解通项公式、分类讨论求解数列的前n 项和的问题，涉及到等比数列通项公式、等差数列求和公式的应用以及分组求和法的应用；解题关键是能够利用n a 与n S 关系证得数列为等比数列.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点，与椭圆C 相交于,M N 两点，4OB OA →→⋅=-（O 为坐标原点），F 为抛物线的焦点，求MNF V 面积的最大值. 【答案】（1）22198x y +=；（2）3【解析】（1）利用焦距、椭圆上的点D 和椭圆,,a b c 的关系可构造方程组求得22,a b ，进而得到椭圆方程；（2）设:l x ty m =+，与抛物线方程联立得到12y y ，利用4OB OA →→⋅=-构造方程求得m ，可知l 恒过定点()2,0G ，则3412MNF S FG y y =⨯⨯-△；将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理整理得到289MNF S t =+△，利用换元法，结合函数的单调性可求得所求最值. 【详解】（1）Q 椭圆C过点,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，229412a b ∴+=…①， 又椭圆C 焦距为2，则1c =，221a b ∴-=…②，由①②可解得：29a =，28b =，∴椭圆C 的标准方程为22198x y +=.（2）由题意可设直线l 的方程为x ty m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由24x ty m y x =+⎧⎨=⎩消去x 得：2440y ty m --=，则124y y m =-. ()21221212124416y y OA OB x x y y y y m m →→⋅=+=+=-=-Q ，2m ∴=，∴直线l 的方程为2x ty =+，恒过定点()2,0G ，由222198x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：()228932400t y ty ++-=.设()33,M x y ，()44,N x y ，则3423289t y y t -+=+，3424089y y t -=+. 34341122MNF S FG y y y y ∴=⨯⨯-=-△289t ===+，令()2899t λλ+=≥，则()S λ==令1μλ=，则109μ<≤，令()L μ=，则()L μ=()L μ∴在10,9⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，∴当19μ=时，MNFV ，此时0t =，直线l 的方程为2x =.MNF ∴△面积的最大值为3. 【点睛】本题考查直线与椭圆、抛物线的综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与抛物线中的向量数量积问题、椭圆中三角形面积的最值问题；求解三角形面积最值的关键是能够通过一个变量表示出所求的三角形面积，将问题转化为函数最值的求解问题，进而根据函数的单调性来进行求解.22．已知函数()()ln 2f x x x x a a R =-+∈. （1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()2f xg x x=，若函数()g x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上存在正的极值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；（2）0,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）求导后，根据导函数的正负可确定所求的单调区间；（2）求导后可知()g x '的正负由()2ln 4x x x x a ϕ=--决定，利用导数可求得()x ϕ单调性和最值，根据()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上有极值，可知()()24040e e a e a ϕϕ⎧=->⎪⎨=-<⎪⎩，解不等式求得04e a <<；分别在124e a <<和102a <≤两种情况下，根据()g x 单调性确定21,e ⎡⎤⎣⎦上的极值，结合导数确定极值的正负，从而得到结果. 【详解】（1）当0a =时，()ln f x x x x =-，其定义域为{}0x x >.()ln f x x '=，令()0f x '<得：01x <<，令()0f x '>得：1x >，()f x ∴的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞.（2）()()222ln 2ln 12f x x x x a x ag x x x x x x-+===-+， ()22331ln 142ln 4x a x x x a g x x x x x---'∴=+-=， 令()2ln 4x x x x a ϕ=--，21,x e ⎡⎤∈⎣⎦，则()()21ln 1ln x x x ϕ'=-+=-.令()0x ϕ'<得：2e x e <≤，令()0x ϕ'>得：1x e ≤<，∴函数()x ϕ在区间[)1,e 上单调递增，在区间(2,e e ⎤⎦上单调递减，又()124a ϕ=-，()4e e a ϕ=-，()24ea ϕ=-，显然()()21e ϕϕ>.若函数()g x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上存在极值，则()()24040e e a e a ϕϕ⎧=->⎪⎨=-<⎪⎩，解得：04e a <<. ①当()()124040a e e a ϕϕ⎧=-<⎪⎨=->⎪⎩，即124e a <<时，一定存在212,1,x x e ⎡⎤∈⎣⎦，使得()()120x x ϕϕ==，第 21 页 共 21 页不妨设12x x <，则此时2121x e x e <<<<，()x ϕ∴在区间()11,x 上为负，在区间()12,x x 上为正，在区间()22,x e 上为负，()g x '∴在区间()11,x 上为负，在区间()12,x x 上为正，在区间()22,x e 上为负， ()g x ∴在区间()11,x 上单调递减，在区间()12,x x 上单调递增，在区间()22,x e 上单调递减，()()1x g x g ∴=极小值，()()2x g x g =极大值.∴当124ea <<时，函数()g x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上存在两个极值()1g x ，()2g x ，且()()12g x g x <. ()111121ln 2x x x a g x x -+=，令()ln 2h x x x x a =-+，其中124ea <<. ()ln 0h x x '=>Q ，()h x ∴在区间()1,e 上单调递增，即当1x e <<时，()()1210h x h a >=->，()10g x ∴>，∴当124e a <<时，函数()g x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的极值满足()()120g x g x <<，即函数()g x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上存在正的极值.②当()()2124040a e a ϕϕ⎧=-≥⎪⎨=-<⎪⎩，即102a <≤时，一定存在231,x e ⎡⎤∈⎣⎦，使得()30x ϕ=，使得函数()g x 在区间()31,x 上单调递增，在区间()23,x e上单调递减.则函数()g x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的极大值是()3g x ，且()()223420a eg x g e e +>=>，∴当102a <≤时，函数()g x 在21,e ⎡⎤⎣⎦上存在正的极值.综上所述：当04ea <<时，函数()g x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上存在正的极值. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调性、根据函数在区间内有极值求解参数范围的问题；解题关键是能够利用导数的知识求得导函数的单调性，进而通过函数有极值确定导函数的最值所处的范围，从而构造不等式求得参数范围.。

小题专题练五解析几何1．“a＝－1〞是“直线a＋3＋3＝0和直线＋a－2＋1＝0平行〞的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．假设双曲线E：错误!－错误!＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点＋1m≠0与线段AB相交，那么实数m 的取值范围是A．[－2，0∪[3，＋∞B．－∞，－1]∪0，6]C．[－2，－1]∪[3，6] D．[－2，0∪0，6]4．设圆的方程是2＋2＋2a＋2＋a－12＝0，假设0b>0的左、右焦点为F1、F2，离心率为错误!，过F2的直线交C于A、B两点．假设△AF1B的周长为4错误!，那么C的方程为＋错误!＝1＋2＝1＋错误!＝1 ＋错误!＝16．圆C：2＋2＝2，直线：＋2－4＝0，点－错误!＝1m＞0，b＞0与椭圆C2：错误!＋错误!＝1a＞b＞0有相同的焦点，双曲线C1的离心率是e1，椭圆C2的离心率是e2，那么错误!＋错误!＝B．1D．210．假设椭圆错误!＋错误!＝1a＞b＞0和圆2＋2＝错误!错误!＋1m≠0的两侧或其中一点在直线上，所以错误!错误!≤0，解得－2≤m≤－1或3≤m≤6，应选C4．解析：选B将圆的方程化成标准方程为＋a2＋＋12＝2a，因为00，即错误!>错误!，所以原点在圆外．5．解析：＝错误!得错误!＝错误!①又△AF1B的周长为4错误!，由椭圆定义，得4a＝4错误!，得a＝错误!，代入①得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，故C的方程为错误!＋错误!＝16．解析：选B因为直线与圆有公共点，故由题设|O2＋b2，椭圆C2中c2＝a2－b2，所以a2－b2＝m2＋b2，即m2＝a2－2b2，所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝210．解析：＋错误!＝1a＞b＞0和圆2＋2＝错误!错误!，那么m2＝4，m＝2，从而点2，2在椭圆上，即错误!＋错误!＝1，解得b2＝2＝5，a2＝错误!未定义书签。

专题强化训练1．2021·杭州二中月考直线3－＋1＝0的倾斜角为α，那么错误!in 2α＋co2α＝B．－错误!错误!D．－错误!析：＝tan α＝3，于是错误!in 2α＋co2α＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!2．2021·义乌二模在平面直角坐标系内，过定点：－a＋3＝0相交于点M，那么|M a＝错误!|BC|·r＝错误!×6×4＝128．2021·浙江省名校联盟质量检测点a＝错误!＝错误!，此时|AB|min＝2错误!＝4，应选B9．过点M错误!的直线与圆C：－12＋2＝4交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线的方程为________．解析：易知当CM⊥AB时，∠ACB最小，直线CM的斜率为CM＝错误!＝－2，从而直线的斜率为＝错误!＝错误!，其方程为－1＝错误!错误!即2－4＋3＝0答案：2－4＋3＝010．圆C1：2＋2－2m＋4＋m2－5＝0与圆C2：2＋2＋2－2m＋m2－3＝0，假设圆C1与圆C2相外切，那么实数m＝________解析：对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：－m2＋＋22＝9，圆C2：＋12＋－m2＝4，那么圆C1的圆心C1m，－2，半径r1＝3，圆C2的圆心C2－1，m，半径r2＝2相外切，那么有|C1C2|＝r1＋r2，即错误!＝5，那么m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2，所以当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2相外切．答案：－5或211．圆C：－12＋－22＝2，假设等边△－2与轴交于A，B两点，点C的坐标为0，1，当m变化时，解答以下问题：1能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；2证明过A，B，C三点的圆在轴上截得的弦长为定值．解：1不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A1，0，B2，0，那么1，2满足2＋m－2＝0，所以12＝－2又C的坐标为0，1，故AC的斜率与BC的斜率之积为错误!·错误!＝－错误!，所以不能出现AC⊥BC的情况．2证明：BC的中点坐标为错误!，错误!，可得BC的中垂线方程为－错误!＝2－错误!．由1可得1＋2＝－m，所以AB的中垂线方程为＝－错误!联立错误!又错误!＋m2－2＝0，可得错误!所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为－错误!，－错误!，半径r＝错误!故圆在轴上截得的弦长为2错误!＝3，即过A，B，C三点的圆在轴上截得的弦长为定值．16．圆C：2＋2＋2－4＋3＝01假设圆C的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程；2从圆C外一点＋1m≠0，令＝4，Q＝错误!，直线与椭圆方程联立得3m2＋42＋6m－9＝0，设E1，1，F2，2，那么1＋2＝－错误!，12＝－错误!因为E，B，F，Q在同一条直线上，所以|EB|·|FQ|＝|BF|·|EQ|等价于－1·错误!＋12＝2·错误!－12，所以212＝1＋2·错误!，代入1＋2＝－错误!，12＝－错误!成立，所以|EB|·|FQ|＝|BF|·|EQ|18．2021·金华十校联考直线：4＋3＋10＝0，半径为2的圆C与相切，圆心C在轴上且在直线的右上方．1求圆C的方程；2过点M1，0的直线与圆C交于A，B两点A在轴上方，问在轴正半轴上是否存在定点N，使得轴平分∠ANB？假设存在，请求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由．解：1设圆心Ca，0错误!，那么错误!＝2⇒a＝0或a＝－5舍．所以圆C：2＋2＝42存在．当直线AB⊥轴时，轴平分∠ANB当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为＝－1，Nt，0，A1，1，B2，2，由错误!得2＋12－22＋2－4＝0，所以1＋2＝错误!，12＝错误!假设轴平分∠ANB，那么AN＝－BN⇒错误!＋错误!＝0⇒错误!＋错误!＝0⇒212－t ＋11＋2＋2t＝0⇒错误!－错误!＋2t＝0⇒t＝4，所以当点N为4，0时，轴平分∠ANB。

姓名，年级：时间：小题专题练（二）三角函数与平面向量1．若角α的终边过点P(－1，m），且|sin α|＝错误!，则点P位于( ）A．第一象限或第二象限B．第三象限或第四象限C．第二象限或第三象限D．第二象限或第四象限2．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ）A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x）的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π,最大值为43．设正方形ABCD的边长为1，则｜错误!－错误!＋错误!|等于（) A．0 B。

错误!C．2 D．2错误!4．已知平面向量a，b的夹角为错误!，且a·（a－b)＝8，|a｜＝2，则|b|等于( )A.错误!B．2错误!C．3 D．45。

如图，在△ABC中，∠C＝错误!，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2错误!,则cos A等于（)A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!6．若函数f（x)＝sin(3x＋φ）（｜φ｜〈π）满足：f（a＋x）＝f（a －x）,a为常数，a∈R,则f错误!的值为（)A 。

错误!B ．±1C ．0D 。

错误!7.若函数y ＝A sin （ωx ＋φ)(A 〉0,ω>0，|φ｜<错误!)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且错误!·错误!＝0，则A ·ω等于（ ）A.错误! B 。

错误! C.错误!πD 。

错误!π8．将函数y ＝2sin 错误!sin 错误!的图象向左平移φ(φ>0）个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数,则φ的最小值为（ ）A 。

错误! B.错误! C 。

错误!D 。

错误!9．已知函数y ＝4sin（⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈错误!的图象与直线y ＝m 有三个交点，其交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3（x 1<x 2〈x 3），那么x 1＋2x 2＋x 3的值是（ ）A 。

姓名，年级：时间：专题强化训练1．已知方程错误!＋错误!＝1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是（)A。

错误!B．（1，＋∞）C．（1，2） D.错误!解析：选C。

由题意可得，2k－1>2－k>0，即错误!解得1〈k<2，故选C。

2．（2019·浙江高考冲刺卷)已知F为抛物线4y2＝x的焦点，点A,B都是抛物线上的点且位于x轴的两侧，若错误!·错误!＝15(O为原点)，则△ABO和△AFO的面积之和的最小值为( ）A。

错误! B.错误!C。

错误!D。

错误!解析：选D.设直线AB的方程为：x＝ty＋m，A(x,y1)，B(x2，y2)，直线AB与x轴的交点为M（m,0)，1错误!,可得4y2－ty－m＝0，根据根与系数的关系有y1·y2＝－错误!，因为错误!·错误!＝15，所以x1·x2＋y1·y2＝15，从而16（y1·y2)2＋y1·y2－15＝0，因为点A，B位于x轴的两侧，所以y1·y2＝－1,故m＝4。

不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，如图所示．又F（错误!，0），所以S△ABO＋S△AFO＝错误!×4×（y1－y2)＋错误!×错误!y1＝错误!y＋错误!≥2错误!＝错误!，1当且仅当错误!y1＝错误!,即y1＝错误!时，取“＝”号,所以△ABO与△AFO面积之和的最小值是错误!，故选D.3．（2019·绍兴市柯桥区高考数学二模）已知l是经过双曲线C：错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的焦点F且与实轴垂直的直线,A，B是双曲线C的两个顶点，若在l上存在一点P，使∠APB＝60°，则双曲线的离心率的最大值为( )A.错误! B。

错误! C．2 D．3解析：选A。

设双曲线的焦点F（c，0）,直线l：x＝c,可设点P（c,n）,A（－a，0），B(a，0)，由两直线的夹角公式可得tan∠APB＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝tan 60°＝错误!，由|n｜＋错误!≥2错误!＝2错误!，可得3≤错误!,化简可得3c2≤4a2,即c≤错误!a，即有e＝错误!≤错误!。