2019年高考数学小题强化训练50篇-试题【含答案解析】【精品】

2019年高考数学小题精练+B 卷及解析：专题（07）等差数列及解析 专题（07）等差数列1．等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，已知58a =，36s =，则9a =（ ） A ． 8 B ． 12 C ． 16 D ． 24 【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，由58a =，36s =，得： a 1+4d =8,3a 1+3d =6,解得：a 1=0,d =2． ∴9a =a 1+8d =8×2=16． 故答案为：16．2．设 n s 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知366,8S S ==， 9S =( )A ． 6B ． 8C ． 10D ． 12 【答案】A点睛：等差数列的性质：等差数列{}n a ，等差数列的前N 项和的规律知道， 36396,,s s s s s -- 仍然是等差数列，所以重新构造等差数列，求出即可． 3．已知等差数列中，，（ ）A ． 8B ． 16C ． 24D ． 32 【答案】D【解析】∵，又，∴ ，故选D ．4．在等差数列｛a n ｝中， 1233,a a a ++= 282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ）A ． 810B ． 840C ． 870D ． 900【答案】B【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为()1031658402+= ，选B ．5．已知是等差数列的前项和，若，则数列的公差为 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】 ,故选C;点睛:数列中的结论: ,其中为奇数,巧妙应用这个结论,做题就很快了．6．等差数列中，则（ ）A ． 45B ． 42C ． 21D ． 84 【答案】A点睛：等差数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：（1）化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．（2）化基本量求特定项．利用通项公式或者等差数列的性质求解． （3）化基本量求公差．利用等差数列的定义和性质，建立方程组求解．（4）化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等差数列的性质求解． 7．已知数列{n a }为等差数列，其前n 项和为n S ，2a 7－a 8＝5，则S 11为 A ． 110 B ． 55 C ． 50 D ． 不能确定 【答案】B【解析】∵数列{n a }为等差数列，2a 7－a 8＝5，∴()6885a a a +-=,可得a 6=5，∴ S 11=()111112a a +⨯=611a=55．故选：B ．8．已知等差数列{n a }满足：31313,33a a ==，求7a （ ） A ． 19 B ． 20 C ． 21 D ． 22 【答案】C【解析】等差数列{}n a 中， 133d 10a a -==2,则73413821a a d =+=+= 故选C9．已知等差数列的公差和首项都不等于，且，，成等比数列，则等于（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D考点：等差数列的通项公式．10．已知等差数列{}n a 的首项是1a ，公差0d ≠，且2a 是1a 与4a 的等比中项，则d =（ ） A ．1- B ．C ．2-D ．2【答案】B考点：等差数列的基本性质．11．已知数列{}n a 为等差数列，满足32013OA a OB a OC =+，其中,,A B C 在一条直线上，O为直线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S 的值为（ ）A ．20152B ． 2015C ．2016D ．2013【答案】A 【解析】试题分析：依题意有320131a a +=，故3201320152015201522a a S +=⋅=． 考点：数列求和，向量运算．12．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ） A ．33% B ．49%C ．62%D ．88%【答案】B考点：等差数列．专题07 等差数列1．等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，已知58a =， 36s =，则9a =（ ） A ． 8 B ． 12 C ． 16 D ． 24 【答案】C故答案为：16．2．已知数列{a n }为等差数列，若11011-<a a ，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n ＞0的n 的最大值为（ ）A ． 11B ． 19C ． 20D ． 21 【答案】B 【解析】由题意可得1110100a a a +<，又由n S 有最大值，可知等差数列{a n }的10,0a d ><，所以101110110,0,0a a a a ><+<，所以()1910201011190,100S a S a a =>=+<，即S n ＞0的n 的最大值为19．选B ．3．等差数列{}n a 的公差0d ≠，且30a =，若k a 是6a 与6k a +的等比中项，则k =（ ） A ． 5 B ． 6 C ． 9 D ． 11 【答案】C【解析】等差数列{}n a 的公差0d ≠，由30a =得2a d =-,可得122a a d d =-=-，则()()113n a a n d n d =+-=-，若k a 是6a 与6k a +的等比中项，既有266k k a a a +=，即为()()22333k d d k d -=⋅+，由d 不为0，可得290k k -=，解得9(0k =舍去），故选C ． 4．设 n s 是等差数列{}na 的前n 项和,已知366,8S S ==， 9S =( )A ． 6B ． 8C ． 10D ． 12 【答案】A【解析】由等差数列的前N 项和的规律知道， 36396,,s s s s s -- 仍然是等差数列，96,2,8s - 仍然是等差数列．则9S =6；故选A ．点睛：等差数列的性质：等差数列{}n a ，等差数列的前N 项和的规律知道， 36396,,s s s s s -- 仍然是等差数列，所以重新构造等差数列，求出即可． 5．已知数列{}n a 为正项等差数列，其前9项和9 4.5S =，则2814a a +的最小值为 A ． 8 B ． 9 C ． 12 D ． 16 【答案】B【解析】∵数列{}n a 为正项等差数列，∴()1999922a a S +⨯==，∴191aa +=，即281a a +=()822828282841414559a a a a a a a a a a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 故选：B6．在等差数列｛a n ｝中， 1233,a a a ++= 282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ）A ． 810B ． 840C ． 870D ． 900【答案】B7．已知数列{n a }为等差数列，其前n 项和为n S ，2a 7－a 8＝5，则S 11为 A ． 110 B ． 55 C ． 50 D ． 不能确定 【答案】B【解析】∵数列{n a }为等差数列，2a 7－a 8＝5，∴()6885a a a +-=,可得a 6=5，∴S 11=()111112a a +⨯=611a=55．故选：B ．8．《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织420尺布，则第2天织的布的尺数为（ ） A ．16329 B ． 16129 C ． 8115 D ． 8015【答案】C【解析】设公差为d ,由题意可得：前30项和30S =420=30×5+30292⨯d ,解得d =1829． ∴第2天织的布的尺数=5+d =16329． 故选：A ．9．设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若)(2324a a a +=，则47S S 等于（ ） A ．47 B ．514C ．7D ．14 【答案】C 【解析】试题分析：因为()()4234142,2a a a a a a =+∴=+,则()()()17741441477227442a a S a a a S a a +⨯===++,故选C ．考点：1、等差数列的性质；2、等差数列前n 项和公式． 10．已知等差数列{}a，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若244n S an n a =++-（a R ∈），记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则10T =（ ）A ．18B ．14C ．940D ．522【答案】D 【解析】考点：1、等差数列的前n 项和公式；2、裂项相消法求和的应用．11．记等差数列{a n }前n 项和为S n ．若a m ＝10，S 2m －1＝110， 则m 的值为__________． 【答案】6 【解析】{}n a 是等差数列，()()()2112212110211102m m m a a S m m a m -+∴=⨯-=-=-=，可得6m =，故答案为6． 12．记数列{}n a 的前n 和为n S ，若n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为d 的等差数列，则{}n a 为等差数列时,d 的值为 ． 【答案】或12【解析】考点：1．等差数列的前n 项和；2．等差数列的通项公式．。

二、小题专项，限时突破限时标准练(一)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合M ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝4n ，n ∈Z }，则( )A ．MPB ．P MC ．N ∩P ≠∅D ．M ∩N ≠∅[解析] M 为偶数集，N 为奇数集，因此P M .[答案] B2．设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2[解析] z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i ＋22＝i ＋1，则|z |＝12＋12＝2.[答案] C3．在等比数列{a n }中，a 3－3a 2＝2，且5a 4为12a 3和2a 5的等差中项，则{a n }的公比等于( )A ．3B ．2或3C ．2D ．6 [解析]由题意可得⎩⎨⎧a 1q 2－3a 1q ＝2，2(5a 1q 3)＝12a 1q 2＋2a 1q 4，解得a 1＝－1，q ＝2.∴{a n }的公比等于2.[答案] C4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋5≤0，x ＋3≥0，y ≤2，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 已知约束条件可行域如图，z ＝x ＋2y 经过B (－1,2)时有最大值，∴z max ＝－1＋2×2＝3.[答案] D5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，上顶点为B ，若直线y ＝cb x 与FB 平行，则椭圆C 的离心率为( )A.12B.22C.32D.63[解析] 由题意，得b c ＝c b ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22. [答案] B6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种 D．36种[解析] 只能是一个人完成2项工作，剩下2人各完成一项工作．由此把4项工作分成3份再全排得C 24·A 33＝36种．[答案] D7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．30＋4πB ．30＋3πC ．30＋9π4D ．30＋2π[解析] 由三视图，知该几何体是一长方体与圆柱的组合体，∴表面积S ＝(3×3＋3×1＋3×1)×2＋2π×12×2＝30＋2π.[答案] D8．定义在R 上的奇函数f (x )满足：f (x ＋1)＝f (x －1)，且当－1<x <0时，f (x )＝2x －1，则f (log 220)等于( )A.14 B ．－14 C ．－15 D.15 [解析] ∵f (x ＋1)＝f (x －1)，∴函数f (x )为周期为2的周期函数， 又∵log 232>log 220>log 216， ∴4<log 220<5.∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254，又∵x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x －1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－15，故f (log 220)＝15. [答案] D9．下面程序框图是为了求出满足3n －2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．A >1000？和n ＝n ＋1B ．A >1000？和n ＝n ＋2C ．A ≤1000？和n ＝n ＋1D ．A ≤1000？和n ＝n ＋2[解析] 由题意选择3n －2n >1000，则判定框内填A ≤1000？，因为n 为偶数，且n 初始值为0，“”中n 依次加2可保证其为偶数，所以“矩形框内”应填n ＝n ＋2.[答案] D10．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，则ω的一个可能值是( ) A.12 B.35 C.34 D.32[解析] 由函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，得2π3≤π2ω⇒ω≤34.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，得5π6>π2ω，ω>35，所以35<ω≤34.[答案] C11．已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )且Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为( )A.92B.94 C ．1 D ．9[解析] 动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，∴a ＋bm ＋c －2＝0.又Q (4,0)到动直线l 0的最大距离为3，∴(4－1)2＋m 2＝3，解得m ＝0.∴a ＋c ＝2.则12a ＋2c ＝12(a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．∴12a ＋2c 的最小值为94. [答案] B12．已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －2)<f (x )对任意的x >2恒成立，则k 的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 先画f (x )＝x ＋x ln x 的简图，设y ＝k (x －2)与f (x )＝x ＋x ln x 相切于M (m ，f (m ))(m >2)，所以f ′(m )＝f (m )m －2，即2＋ln m ＝m ＋m ln m m －2，化为m －4－2ln m ＝0，设g (m )＝m －4－2ln m .因为g (e 2)＝e 2－8<0，g (e 3)＝e 3－10>0，所以e 2<m <e 3，而k <f ′(m )＝2＋ln m ∈(4,5)，又k ∈Z ，所以k max ＝4.[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．若(1＋x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6展开式中x 4的系数是72，则实数a 为________(用数字填写答案)．[解析] 依题设，展开式中x 4的系数，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 6展开式中含x 4与含x 2的系数和．因此C 16a ＋C 26a 2＝72，则(a －2)(5a ＋12)＝0，解之得a ＝2或a ＝－125. [答案] 2或－12514．已知点A (m,0)，点P 是双曲线C ：x 24－y 2＝1右支上任意一点，若|P A |的最小值为3，则m ＝________.[解析] 设P (x ，y )(x ≥2)，则|P A |2＝(x －m )2＋y 2＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫x －45m 2＋15m2－1，当m >0时，x ＝45m ，|P A |的最小值为 15m 2－1＝3，∴m ＝55；当m <0时，2－m ＝3，∴m ＝－1.[答案] －1或5 515．在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9,10,11,1，那么这组数据的方差s 2可能的最大值是________．[解析] 设这组数据的最后2个分别是：10＋x ，y ， 则9＋10＋11＋(10＋x )＋y ＝50，得x ＋y ＝10，故y ＝10－x . 将s 2＝15[1＋0＋1＋x 2＋(－x )2]＝25＋25x 2， 显然x 最大取9时，s 2最大是32.8. [答案] 32.816．已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形．若P A ＝26，则△OAB 的面积为________．[解析] 如图，由题意可知△P AC ，△PBC ，△PDC 均为直角三角形，取PC 的中点O ，则O 到P ，A ，B ，C ，D 的距离相等，所以点O 为过P ，A ，B ，C ，D 的球的球心，由已知可得OA ＝OB ＝23，所以△AOB 是正三角形，所以S ＝12×23×23×32＝3 3. [答案] 3 3限时标准练(二)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}[解析] 1是方程x 2－4x ＋m ＝0的解，x ＝1代入方程得m ＝3，∴x 2－4x ＋3＝0的解为x ＝1或x ＝3，∴B ＝{1,3}．[答案] C2．设i 是虚数单位，复数a ＋i 1＋i 为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[解析] 由题意得，a ＋i 1＋i ＝(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋1＋(1－a )i 2＝a ＋12＋1－a 2i ，因为复数a ＋i1＋i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＝0，1－a2≠0，解得a ＝－1.[答案] A3．设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的是( )A．p∧(綈q) B．(綈p)∧q C．p∧q D．(綈p)∨q[解析]命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x0>3是真命题，例如取x0＝4，命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x是假命题(取x＝4时，x2＝2x)，綈q为真命题．因此p∧(綈q)为真命题．[答案] A4．在某项检测中，测量结果服从正态分布N(2,1)，若P(X<1)＝P(X>1＋λ)，则λ＝()A．0 B．2 C．3 D．5[解析]依题意，正态曲线关于x＝2对称，又P(X<1)＝P(X>1＋λ)，因此1＋λ＝3，∴λ＝2.[答案] B5．函数y＝x2sin x＋2x cos x在区间[－π，π]上的图象大致为()[解析] y ＝x 2sin x ＋2x cos x 在x ∈[－π，π]上是奇函数，图象关于原点对称，排除D.又y ′＝(x 2＋2)cos x ，当x ∈[0，π]时，令y ′＝0，得x ＝π2. 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ′>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，y ′<0，因此函数在x ＝π2时取得极大值，只有A 满足． [答案] A6．设a ，b ∈{x ||x |＋|x ＋1|>1}，且ab ＝1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．2 2[解析] 由|x |＋|x ＋1|>1，得x >0或x <－1，又ab ＝1，且a ，b ∈{x |x >0或x <－1}．∴a ，b 大于0，且ab ＝1.则a ＋2b ＝1b ＋2b ≥22，当且仅当b ＝22时取等号，故a ＋2b 的最小值为2 2.[答案] D7．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有P n P n ＋1→＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n ⎝⎛⎭⎪⎫n －43B ．n ⎝⎛⎭⎪⎫n －34C ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－nD ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－n[解析] 因为P n P n ＋1→＝OP n ＋1→－OP n →＝(n ＋1，a n ＋1)－(n ，a n )＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，所以a n ＋1－a n ＝2.所以{a n }是公差为2的等差数列． 由a 1＋2a 2＝3，得a 1＝－13， 所以S n ＝－n 3＋12n (n －1)×2＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43. [答案] A8.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，则过C ，M ，D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分的面积是( )A.23B.43C.52D.83[解析] 由题意，建立如图所示的坐标系，则D (2,1)，设抛物线方程为y 2＝2px ，代入D 点坐标，可得p ＝14.∴y ＝x 2，∴S ＝2⎠⎛02x2d x ＝2·23x32 |20＝83.[答案]D9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.9＋36πB.6＋36πC.3＋36πD.12＋36π[解析] 由三视图可得，直观图为圆锥的12与圆柱的34组合体，由图中数据可得几何体的体积为12·13·π·12·3＋34π·12·2＝9＋36π. [答案] A10．已知单位圆有一条长为2的弦AB ，动点P 在圆内，则使得AP →·AB →≥2的概率为( )A.π－24πB.π－2πC.3π－24πD.2π[解析] 建立如图所示的直角坐标系，由题意，取A (1,0)，B (0,1)，设P (x ，y )，则(x －1，y )·(－1,1)≥2，∴x －y ＋1≤0，满足x －y ＋1≤0的点与圆围成的面积S ＝π4－12×1×1＝π－24. 又单位圆的面积S 圆＝π×12＝π， ∴所求的概率P ＝SS 圆＝π－24π.[答案] A11．函数f (x )＝2sinωx ＋2cosωx (ω>0)，若∃x ∈R ，使f (x ＋4)＝f (x )＋4，则当ω取最小值时，f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)的值为( )A ．4B ．2C ．0D ．－22[解析] f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin ωx ＋22cos ωx ＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2.又∃x ∈R ，使f (x ＋4)＝f (x )＋4， ∴∃x 0∈R ，使f (x 0)＝－2，f (x 0＋4)＝2.则x ＝x 0与x ＝x 0＋4是函数f (x )图象的两条对称轴． 若ω取最小值，则T ＝2(x 0＋4－x 0)＝8，从而f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (8)＝0.[答案] C12．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1[解析] 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m >0，n >0，故m >n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n2＝1＋1n 4＋2n2>1，∴e 1·e 2>1. [答案] A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧15－x，x ≤0，log 4x ，x >0，则f [f (－3)]＝________.[解析] 由题意知f (－3)＝15－(－3)＝18，f [f (－3)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 418＝－32.[答案] －3214．当a ＝2，b ＝6时，执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________．[解析] 依据程序框图，初始值a ＝2，b ＝6，S ＝0，T ＝12. 循环执行一次：S ＝12，a ＝3，b ＝5，T ＝15. 循环执行两次：S ＝15，a ＝4，b ＝4，T ＝16.循环执行三次：S ＝16，a ＝5，b ＝3，T ＝15，此时满足S >T ，输出S ＝16.[答案] 1615．点M 是双曲线x 2－y24＝1渐近线上一点，若以M 为圆心的圆与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则圆M 的半径的最小值等于________．[解析] 不妨设点M 是渐近线2x －y ＝0上一点． ∵圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，∴圆心C (2,0)，半径R ＝1.若圆M 的半径最小，则圆M 与圆C 外切，且直线MC 与直线2x －y ＝0垂直．因此圆M 的半径的最小值r min ＝|MC |min －R . 由于|MC |min ＝|4－0|22＋(－1)2＝455，故r min ＝455－1.[答案]455－116．若函数f (x )的表达式为f (x )＝ax ＋bcx ＋d (c ≠0)，则函数f (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c ，a c .现已知函数f (x )＝2－2x 2x －1，数列{a n }的通项公式为a n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫n 2017(n ∈N *)，则此数列前2017项的和为________．[解析] ∵函数f (x )＝ax ＋b cx ＋d (c ≠0)的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c ，a c ，∴函数f (x )＝2－2x 2x －1的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，即有f (x )＋f (1－x )＝－2.则数列前2017项的和为S 2017＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋f (1)，则S 2017＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20152017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f (1)， 相加可得2S 2017＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20152017＋…＋2f(1)＝－2＋(－2)＋…＋(－2)＋0＝－2×2016，则此数列前2017项的和为－2016.[答案]－2016限时标准练(三)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若集合A ＝{y |y ＝lg x }，B ＝{x |y ＝x }，则集合A ∩B ＝( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．∅[解析] 集合A ＝{y |y ＝lg x }＝{y |y ∈R }＝R ，B ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝{x |x ≥0}＝[0，＋∞)．[答案] B2．已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝a ＋3i ，z ·z －＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3D. 3[解析] 由已知得(a ＋3i)(a －3i)＝4，∴a 2＋3＝4，解得a ＝±1. [答案] A3．设函数f (x )＝x 2－2x －3，若从区间[－2,4]上任取一个实数x 0，则所选取的实数x 0满足f (x 0)≤0的概率为( )A.23B.12C.13D.14[解析] 由f (x 0)≤0，得到x 20－2x 0－3≤0，且x 0∈[－2，4]，解得－1≤x 0≤3，∴P ＝3＋14＋2＝23.[答案] A4．已知数列{a n }满足：对于∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132B.116C.14D.12[解析] 由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝12.令m ＝1，得12a n＝a n ＋1，所以数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列．因此a 5＝a 1q 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝132.[答案] A5．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，(a －b )·a ＝7，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[解析] 向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，(a －b )·a ＝7. 可得a 2－a ·b ＝4－a ·b ＝7，可得a ·b ＝－3， cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－32×3＝－12，由0≤〈a ，b 〉≤π，得〈a ，b 〉＝2π3. [答案] C6．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( )A．9π B．18π C．36π D．144π[解析]由三视图可知：该几何体为一个横放的直三棱柱，高为4，底面是一个直角边长分别为2,4的直角三角形，其中下面的一个侧面为边长为4的正方形．将该三棱柱补成一个长方体，从同一顶点出发的三条棱长为4,4,2.设外接球的半径为R，则2R＝42＋42＋22，R＝3.因此外接球的表面积S＝4πR2＝36π.[答案] C7．已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线AD＝7，AB＝2，则S△ABC＝()A．3 B．2 3 C．3 3 D．6[解析] ∵由于△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且内角和等于180°，∴B ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得：AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ，即7＝4＋BD 2－2BD ，∴BD ＝3或－1(舍去)，可得BC ＝6，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×2×6×32＝3 3.[答案] C8．若实数x ，y 满足|x |≤y ≤1，则x 2＋y 2＋2x 的最小值为( ) A.12 B ．－12 C.22 D.22－1[解析] x ，y 满足|x |≤y ≤1，表示的可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1的几何意义是可行域内的点到D (－1,0)的距离的平方减1.显然D (－1,0)到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为12＝22，故所求表达式的最小值为12－1＝－12.[答案] B9．执行下面的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 开始S ＝0，K ＝1，a ＝－1执行循环： 第一次：S ＝0－1＝－1，a ＝1，K ＝2； 第二次：S ＝－1＋2＝1，a ＝－1，K ＝3； 第三次：S ＝1－3＝－2，a ＝1，K ＝4；第四次：S ＝－2＋4＝2，a ＝－1，K ＝5； 第五次：S ＝2－5＝－3，a ＝1，K ＝6； 第六次：S ＝－3＋6＝3，a ＝－1，K ＝7； 结束循环，输出S ＝3. [答案] B10．若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是( )A.π4B.π2 C ．π D ．2π [解析] 由f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 的对称轴方程为x＝π4ω可知，π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ⇒φ＝π4＋k π，即ba ＝tan φ＝1⇒a ＝b ，又f ′(x )＝aωcos ωx －bωsin ωx 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝0⇒aω⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωπ8－sin ωπ8＝0⇒ωπ8＝π4＋k π，k ∈Z ⇒ω＝2＋8k ，k ∈Z ⇒ω＝2，即T ＝2πω＝π.[答案] C11．已知抛物线y 2＝4x ，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点(A 在第一象限内)，AF →＝3FB →，过AB 的中点且垂直于l 的直线与x 轴交于点G ，则三角形ABG 的面积为( )A.839B.1639C.3239D.6439[解析] 如图作出抛物线的准线l ：x ＝－1，设A ，B 在l 上的射影分别是C ，D .连接AC ，BD ，过点B 作BE ⊥AC 于点E .∵AF →＝3FB →，则设|AF |＝3m ，|BF |＝m ，由点A ，B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得|AC |＝3m ，|BD |＝m .因此，在Rt △ABE 中，cos ∠BAE ＝|AE ||AB |＝12，∴∠BAE ＝60°，∴直线AB 的倾斜角∠AFG ＝60°，∴直线AB 的斜率k ＝tan60°＝3，则直线l 的方程为：y ＝3(x －1)，即3x －y －3＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，整理得3x 2－10x ＋3＝0，则x 1＋x 2＝103，x 1x 2＝1，则y 1＋y 2＝3(x 1－1)＋3(x 2－1)＝433，y 1＋y 22＝233，∴AB 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，则直线EG 的斜率为－33，则直线EG 的方程为y －233＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －53.当y ＝0时，则x ＝113，则G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫113，0，则点G 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪113×3－31＋3＝433，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163，则S △ABG ＝12×|AB |·d ＝12×163×433＝3239.故选C.[答案] C12．已知函数f (x )＝|x |＋2x－12(x <0)与g (x )＝|x |＋log 2(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，2)C ．(－∞，22)D ．⎝⎛⎭⎪⎫－22，22[解析] 依题意，存在x 0>0，使得f (－x 0)＝g (x 0)，即|x 0|＋2－x 0－12＝|x 0|＋log 2(x 0＋a )；因而2－x 0－12＝log 2(x 0＋a )，即函数y ＝2－x －12与y ＝log 2(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点，当a >0时，只需满足x ＝0时，log 2(0＋a )<20－12⇒log 2a <12，即0<a <2；易知当a ≤0时，函数y ＝2－x －12与y ＝log 2(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上恒有交点．故a 的取值范围是(－∞，2)．[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．[解析] 由题意知，男生人数＝900－400＝500，所以抽取比例为男生∶女生＝500∶400＝5∶4，样本容量为45，所以抽取的男生人数为45×59＝25.[答案] 2514．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是________．[解析] 依题意得，圆心坐标是(0,1)，于是有b ＋c ＝1， 4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc ≥5＋24c b ×bc ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1(bc >0)，4c b ＝b c ，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9.[答案] 915．设双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线上的一点，且F 1F 2⊥AF 2，若直线AF 1与圆x 2＋y 2＝a 2＋b29相切，则双曲线的离心率为________．[解析] 由题意，F 1(0，c )，F 2(0，－c )，不妨取A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ，－c ，∴直线AF 1的方程为y －c ＝－2acb 2x ，即2acx ＋b 2y －b 2c ＝0.∵直线AF 1与圆x 2＋y 2＝a 2＋b29相切，∴b 2c4a 2c 2＋b 4＝c 3.∴2b 2＝ac ，∴2e 2－e －2＝0，∵e >1，∴e ＝ 2. [答案]216．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos C ＝19，且a cos B ＋b cos A ＝2，则△ABC 面积的最大值为________．[解析] 由a cos B ＋b cos A ＝2及余弦定理，得a 2＋c 2－b 22c ＋b 2＋c 2－a 22c ＝2，∴c ＝2.∴4＝a 2＋b 2－2ab cos C ≥2ab －29ab ，则ab ≤94，当且仅当a ＝b ＝32时等号成立．又cos C ＝19，C ∈(0，π)，得sin C ＝459.∴S △ABC ＝12ab sin C ≤12×94×459＝52. [答案] 52限时标准练(四)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)[解析] 由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴A ＝[－2,2]，由1－x >0得x <1，∴B ＝(－∞，1)．∴A ∩B ＝[－2,1)．[答案] D2．已知复数z 满足z ＝2＋a i1＋i (i 为虚数单位，a ∈R )，若复数z 对应的点位于直角坐标平面内的直线y ＝－x 上，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2[解析] 复数z 满足z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋a 2＋a －22i ，复数z 对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋a 2，a －22位于直角坐标平面内的直线y ＝－x 上， ∴－2＋a 2＝a －22，解得a ＝0. [答案] A3．若点P 到直线y ＝3的距离比到点F (0，－2)的距离大1，则点P 的轨迹方程为( )A．y2＝8x B．y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y[解析]依题意，点P到直线y＝2的距离等于点P到点F(0，－2)的距离．由抛物线定义，点P的轨迹是以F(0，－2)为焦点，y＝2为准线的抛物线，故点P的轨迹方程为x2＝－8y.[答案] D4．已知三个不同的平面α，β，γ，且α⊥γ，那么“β⊥γ”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[解析]当α⊥γ，β⊥γ时，不一定有α∥β，如图所示，α∩β＝l.显然当α∥β，α⊥γ时，有β⊥γ，所以“β⊥γ”是“α∥β”的必要不充分条件．[答案] B5．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( )A.17532里 B ．1050里 C.2257532里D ．2100里[解析] 由题意，该匹马每日所行路程构成等比数列{a n }，其中首项为a 1，公比q ＝12，S 7＝700，则700＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12，解得a 1＝350×128127，那么S 14＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12141－12＝2257532.[答案] C6．如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．i ≤21?B ．i ≤11?C ．i ≥21?D ．i ≥11?[解析] ∵s ＝12＋14＋…＋120，并由程序框图中s ＝s ＋i2i ，i 的初值为1，终值为10，步长为1，即经过10次循环才能算出s ＝12＋14＋…＋120的值，所以i ≤10，应不满足条件，继续循环，∴当i ≥11才能满足条件，退出循环，因此判断框内应填入i ≥11？.故选D.[答案] D7．已知|AB →|＝3，|AC →|＝23，∠BAC ＝30°，且2AC →＋3DC →＝5BC →，则AC →·CD →等于( )A ．－2B ．3C ．4D ．－5[解析] 由2AC →＋3DC →＝5BC →得2AB →＝3BD →，即AD →＝53AB →，∴AC →·CD→＝AC →·(CA →＋AD →)＝－12＋|AC →|·|AD →|cos A ＝3.[答案] B8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则关于函数f (x )有以下四个命题：①∀x ∈R ，f [f (x )]＝1；②∃x 0，y 0∈R ，f (x 0＋y 0)＝f (x 0)＋f (y 0)；③函数f (x )是偶函数；④函数f (x )是周期函数．其中真命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析] ①当x 为有理数时，f (x )＝1，则f [f (x )]＝f (1)＝1；当x 为无理数时，f (x )＝0，则f [f (x )]＝f (0)＝1，即∀x ∈R ，均有f [f (x )]＝1.因此①为真命题；②取x 0＝2，y 0＝3，则f (x 0＋y 0)＝0，且f (x 0)＋f (y 0)＝0，则②成立；③易知f (x )为偶函数，③为真命题；④对任意非零有理数T ，有f (x ＋T )＝f (x )，则④为真命题． 综上，真命题有4个． [答案] A9．为响应“精准扶贫”号召，某企业计划每年用不超过100万元的资金购买单价分别为1500元/箱和3500元/箱的A ，B 两种药品捐献给贫困地区某医院，其中A 药品至少100箱，B 药品箱数不少于A 药品箱数．则该企业捐献给医院的两种药品总箱数最多可为( )A ．200B ．350C ．400D ．500[解析] 设购买A 种药品x 箱，B 种药品y 箱，捐献总箱数为z .由题意⎩⎪⎨⎪⎧1500x ＋3500y ≤1000000，x ≥100，y ≥x ，x ，y ∈N*即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋7y ≤2000，x ≥100，y ≥x ，x ，y ∈N *.目标函数z ＝x ＋y ，作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分，则当z ＝x ＋y 过点A 时，z 取到最大值．由⎩⎨⎧3x ＋7y ＝2000，x ＝y得A (200,200)，因此z 的最大值z max ＝200＋200＝400. [答案] C10．将函数f (x )＝2sin2x －2cos2x ＋1的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，则下列关于函数y ＝g (x )的说法错误的是( )A ．函数y ＝g (x )的最小正周期为πB ．函数y ＝g (x )的图象的一条对称轴为直线x ＝π8D ．函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π8上单调递减[解析] 把f(x )＝2sin2x －2cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象，再向下平移1个单位，得到函数y ＝g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．对于A ，由于T ＝2π2＝π，故正确．对于B ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝2为最大值，∴g (x )关于x ＝π8对称，正确．对于D ，由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，得函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π8上单调递增，故错误．[答案] D11.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和等于( )A.5π6 B.2π3 C ．πD.7π6[解析] 球面与正方体的两个面都相交，所得的交线分为两类，一类在顶点A 所在的三个面，即面AA 1B 1B 、面ABCD 和面AA 1D 1D 上，另一类在不过顶点A 的三个面，即面BB 1C 1C 、面CC 1D 1D 和面A 1B 1C 1D 1上．在面AA 1B 1B 上，交线为弧EF 且弧在过球心A 的大圆上，因为AE ＝2，AA 1＝3，则∠A 1AE ＝π6.同理∠BAF ＝π6，所以∠EAF ＝π6，所以弧EF 的长为2×π6＝π3.而这样的弧共有三条，∠FBG ＝π2，所以弧FG 的长为1×π2＝π2.于是所得曲线的长为π2＋π3＝5π6.故选A.[答案] A12．已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的单调函数，且对∀x ∈(0，＋∞)，都有f [f (x )－ln x ]＝e ＋1，设f ′(x )为f (x )的导函数，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 根据题意，对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f [f (x )－ln x ]＝e ＋1，又由f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，则f (x )－ln x 为定值，设t ＝f (x )－ln x ，则f (x )＝ln x ＋t ， 又由f (t )＝e ＋1，即ln t ＋t ＝e ＋1， 解得t ＝e ，则f (x )＝ln x ＋e ，f ′(x )＝1x >0，故g (x )＝ln x ＋e －1x ，则g ′(x )＝1x ＋1x 2>0，故g (x )在(0，＋∞)上递增．又g (1)＝e －1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1<0，所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，使得g (x 0)＝0，故函数g (x )有且只有1个零点．[答案] B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为5∶1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为12的样本，已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个数为________．[解析] 由条件易知B 层中抽取的样本数是2，设B 层总体数是n ，则又由B 层中甲、乙都被抽到的概率是C 22C 2n＝128，可得n ＝8，所以总体中的个数是5×8＋8＝48.[答案] 4814．若(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 3a 2＝________.[解析] 由通项公式，得T r ＋1＝C r 5(－2x )r ＝(－2)r C r 5x r，令r ＝3，则a 3＝(－2)3C 35＝－80；令r ＝2，则a 2＝(－2)2C 25＝40.因此a 3a 2＝－8040＝－2.[答案] －215．在平面直角坐标系中，直线x ＝32与双曲线x 23－y 2＝1的两条渐近线分别交于点P ，Q .其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．[解析] 由双曲线方程x 23－y 2＝1知a ＝3，b ＝1，c ＝2， 所以渐近线方程为y ＝±13x ＝±33x ，将直线x ＝32代入渐近线方程，得P ，Q 纵坐标的绝对值|y 0|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝4.所以S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×32＝3，则S四边形F 1PF 2Q ＝2S △F 1PF 2＝23.[答案] 2 316．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1，则S 6a 6的值为________．[解析] 由题意，得a 1＝2a 1－1，则a 1＝1.因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，S n ＝2a n －1，所以a n ＝2a n －1－2a n －1＋1，所以a n ＝2a n －1，故a na n －1＝2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，即a n ＝2n －1，所以S n ＝2n －1.所以S 6a 6＝6332.63 [答案]32限时标准练(五)(时间：40分钟满分：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则()A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅[解析]A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A ∪B＝{x|x<1}．[答案] A2．已知(1－i)z＝2＋4i，则复数z－在复平面内对应的点所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵(1－i)z＝2＋4i，∴z＝2＋4i1－i＝(2＋4i)(1＋i)(1＋i)(1－i)＝－2＋6i2＝－1＋3i，则z－＝－1－3i，其在复平面内所对应的点位于第三象限．[答案] C3．已知向量a＝(1,2)，b＝(m，－4)，若|a||b|＋a·b＝0，则实数m 等于()A．－4 B．4 C．－2 D．2[解析]向量a＝(1,2)，b＝(m，－4)，且|a||b|＋a·b＝0，∴|a||b|＋|a||b|cosθ＝0，∴cosθ＝－1，∴a，b的方向相反，∴b＝－2a，∴m＝－2.[答案] C4．已知f(x)满足∀x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，且当x≤0时，f(x)＝1e x ＋k(k为常数)，则f(ln5)的值为()A．4 B．－4 C．6 D．－6[解析]∵f(x)满足∀x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，故f(－x)＝－f(x)，则f(0)＝0.∵x≤0时，f(x)＝1e x＋k，∴f(0)＝1＋k＝0，k＝－1，所以当x≤0时，f(x)＝1e x－1，则f(ln5)＝－f(－ln5)＝－4.[答案] B5．某程序框图如图所示，该程序运行后若输出S的值是2，则判断框内可填写()A．i≤2015? B．i≤2016?C．i≤2017? D．i≤2018?[解析] 由程序框图，初始值S ＝2，i ＝1. 循环一次后，S ＝－3，i ＝2； 循环两次后，S ＝－12，i ＝3； 循环三次后，S ＝13，i ＝4； 循环四次后，S ＝2，i ＝5； 循环五次后，S ＝－3，i ＝6； …依次类推，S 的值呈周期性变化，周期为4.如果i ≤2015，则循环结束S ＝13；如果i ≤2016，则循环结束S ＝2.因此条件判断框中的条件是“i ≤2016？”．[答案] B6．下列命题，其中说法错误的是( )A ．双曲线x 22－y 23＝1的焦点到其渐近线距离为 3B ．若命题p ：∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则綈p ：∀x ∈R ，都有sin x ＋cos x <2C ．若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题D ．设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α[解析] 双曲线x 22－y 23＝1的焦点(5，0)到其渐近线3x －2y ＝0的距离为d ＝|3·5－0|3＋2＝3，故A 正确．若命题p ：∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则綈p ：∀x ∈R ，都有sin x ＋cos x <2，B 正确．若p ∧q 是假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故C 不正确．设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，由a ，b 是互不垂直的两条异面直线，把它放入长方体中，如图，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α，故D 正确．[答案] C7．“m >2”是“不等式|x －3m |＋|x －3|>23对∀x ∈R 恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵|x －3m |＋|x －3|≥|3m －3|，又不等式|x －3m |＋|x －3|>23对∀x ∈R 恒成立，只需3m >33，则m >32.故“m >2”是“|x －3m |＋|x －3|>23对∀x ∈R 恒成立”的充分不必要条件．[答案] A8．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x ＋y －a ≥0，2x －y －4≤0，若z ＝y ＋1x ＋1的最小值为－14，则正数a 的值为( )A.76 B ．1 C.34 D.89[解析] 满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝y ＋1x ＋1表示过可行域内的点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，由题意知a >0，所以作出可行域，可知可行域内的点A 与(－1，－1)连线的斜率最小，由⎩⎨⎧2x ＋y －a ＝0，2x －y －4＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 4，a 2－2，又z ＝y ＋1x ＋1的最小值为－14，则⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝a2－2＋1a 4＋1＋1＝2a －4a ＋8＝－14⇒a ＝89.[答案] D9．若(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 的展开式中的各项系数和为243，则a 1＋2a 2＋…＋na n ＝( )A ．405B ．810C ．243D ．64[解析] (2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，两边求导得2n (2x ＋1)n －1＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1，取x ＝1，则2n ×3n －1＝a 1＋2a 2＋…＋na n ，(2x ＋1)n 的展开式中各项系数和为243，令x ＝1，可得3n ＝243，解得n ＝5.∴a 1＋2a 2＋…＋na n ＝2×5×34＝810. [答案] B10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0<φ<2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6[解析] 若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6为函数的最大值或最小值，即2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，即sin φ<0，又0<φ<2π，故当k ＝1时，此时φ＝7π6，满足条件．[答案] C11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F (c,0)．直线x ＝c 与双曲线C 在第一象限的交点为P .过F 的直线l 与双曲线C 过二、四象限的渐近线平行，且与直线AP 交于点B .若△ABF 与△PBF 的面积的比值为2，则双曲线C 的离心率为( )A.53B.322 C. 2 D. 3[解析] ∵△ABF 与△PBF 的面积的比值为2，∴|AB ||BP |＝2.∵A (－a,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c －a 3，2b 23a ，代入直线l 的方程y ＝－ba (x －c )得2b ＝a ＋c ，即3c 2－2ac －5a 2＝0，解得3c ＝5a 或a ＝－c (舍去)．∴双曲线C 的离心率为53.[答案] A12．设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 [解析] 因为f (0)＝－1＋a <0，又x 0是唯一的使f (x )<0的整数，所以x 0＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≥0，f (1)≥0.则⎩⎨⎧e －1[2×(－1)－1]＋a ＋a ≥0，e (2×1－1)－a ＋a ≥0，解得a ≥32e .又因为a <1，所以32e ≤a <1.[答案] D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．[解析] 设正方体棱长为a ，则6a 2＝18，∴a 2＝3，a ＝ 3. 外接球直径为2R ＝3a ＝3.∴R ＝32，∴V ＝43πR 3＝43π×278＝92π. [答案] 92π14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ，若sin B ·sin C ＝sin 2A ，则△ABC 的形状是________三角形．[解析] 在△ABC 中，∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc2bc＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∵sin B ·sin C ＝sin 2A ，∴bc ＝a 2，代入b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴(b －c )2＝0，解得b ＝c . ∴△ABC 的形状是等边三角形． [答案] 等边15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.。

数学压轴小题专练（选择9/10-12，填空15-16） 题组一10.设函数()f x 为定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()s i n f x x =，则函数()cos()()g x x f x π=-在区间59[,]22-上的所有零点的和为（ ） A ．6 B ．7 C ．13 D ．1411.已知函数2()s i n 20191x f x x =++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，求(2018)(2018)f f +-'(2019)'(2019)f f ++-=（ ）A ．2B ．2019C ．2018D ．012.已知直线l ：1()y ax a a R =+-∈，若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于a，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：①21y x =--；②22(1)(1)1x y -+-=；③2234x y +=；④24y x =. 其中直线l 的“绝对曲线”的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415.若平面向量1e ，2e 满足11232e e e =+=，则1e 在2e 方向上投影的最大值是 ．16.观察下列各式：311=；3235=+；337911=++；3413151719=+++……若3*()m m N ∈按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则m 的值为 ． 题组二 9．如图在三棱锥中,平面平面,,,现将一小球放入三棱锥内,往三棱锥内注水,当注入水的体积是三棱锥的体积的时,小球与底面及三个侧面都相切,且小球与水面也相切,则小球的表面积等于A ．B ．C ．D ．10．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过做轴的垂线交双曲线于，若双曲线左、右顶点分别为、，直线，与轴分别交于点，点，若，则圆上的点到双曲线的渐近线的距离的最大值为A ．B ．C ．D ．11．在中，内角所对的边分别为，已知，的面积，且，则A ．B ．C ．D ．12．已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则的值为A ．B ．C ．D ．15．若实数满足约束条件，则的范围为___________.16．已知抛物线的方程为，设直线：，交抛物线于、两点，为坐标原点，点在抛物线的部分上，则的面积最大为___________.题组三10. 已知，且，则=（）A. B.C. D.11. 已知不等式264cos64cos4sin22≥--+mxxx对于]3,3[ππ-∈x恒成立，则实数m的取值范围是（）A. ]2,(--∞ B.]22,(-∞(,)3παπ∈3sin()65πα+=cosα10343-10343+10343--10343+-C. ]2,22[D. ),2[+∞12. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点05,2P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭为双曲线上一点，若12PF F ∆的内切圆半径为1，且圆心G 到原点O）A. 2281325x y -=B. 22145x y -= C. 2221625x y -=D. 221850x y -=题组四10.若直角坐标系内A 、B 两点满足：（1）点A 、B 都在()f x 图象上；（2）点A 、B 关于原点对称，则称点对(,)A B 是函数()f x 的一个“和谐点对”，(,)A B 与(,)B A 可看作一个“和谐点对”.已知函数22(0)()2(0)x x x x f x x e ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“和谐点对”有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11.设函数()xf x e x =-，()g x ax b =+，如果()()f x g x ≥在R 上恒成立，则a b +的最大值为（ ） A ．13e+ C ．1 D ．1e -12.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（ ） A ．14400 B ．28800 C ．38880 D ．43200 15.设P 为曲线1C 上的动点，Q 为曲线2C 上的动点，则称PQ 的最小值为曲线1C 、2C 之间的距离，记作12(,)d C C .若1C ：20x e y -=，2C ：ln ln 2x y +=，则12(,)d C C = ．16.在ABC ∆中，设b ，c 分别表示角B ，C 所对的边，AD 为边BC 上的高.若AD BC =，则c b 的最大值是 ．题组五题组六 10.函数()21y f x =-是偶函数，则函数()21y f x =+的对称轴是 （ ）A ．1x =-B ．0x =C ．12x =D ．12x =-11. 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定.若M(x ，y)为D 上动点，点A 的坐标为1)．则z O M O A =⋅的最大值为A. B.12.定义域和值域均为[,]a a -（常数a>0）的函数()y f x =和g()y x =大致图象如图所示，给出下列四个命题： ①方程[()]0f g x =有且仅有三个解； ②方程[()]0g f x =有且仅有三个解； ③方程[()]0f f x =有且仅有九个解；④方程[()]0g g x =有且仅有一个解。

2019年高考数学小题精练+B 卷及解析：专题（09）解三角形及解析 专题（09）解三角形1．已知△ABC 的内角A 满足sin2A ＝，则sin A ＋cos A ＝（ ）A ．B ． －C ．D ． －【答案】A2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若bcos C+ccos B=2acos A ，则A=（ ） A ．6πB ．3πC ．4πD ．3π或23π【答案】B【解析】∵bcos C+ccos B=2acos A ，∴由正弦定理可得：sin B cos C+sin C cos B=2sin A cos A ， 可得：sin （B+C ）=sin A=2sin A cos A ， ∵A ∈（0，π），sin A≠0， ∴cos A=12， ∴可得A=3π． 故选：B ．3．在ABC ∆中,角A B C 、、 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A ．B ．C ． 12D ． 12- 【答案】C【解析】()22212c a b =+，由余弦定理得，222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”， cos C ∴的最小值为12，选C ．4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A ．B ．C ． 12D ． 12- 【答案】C【解析】试题分析：因为2222a b c +=，所以由余弦定理可知，．故选C ．考点：余弦定理． 5．在△ABC 中， 其面积，则BC 长为（ ）A ．B ． 75C ． 51D ． 49【答案】D6．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则三角形的形状为（ ）A ． 直角三角形B ． 锐角三角形C ． 等腰三角形D ． 等边三角形 【答案】C 【解析】 ，，则，则，三角形为等腰三角形，选C ． 7．在△ABC 中，，则等于（ ）A ． 1B ． 2C ．D ． 3 【答案】B【解析】根据正弦定理， ，，，则，则，，选B ．8．在△ABC 中，若则A=( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】,,,,则，选B ． 9．在锐角中，已知，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A10．在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别是c b a ,,，2222c b a =+，则角C 的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛30π， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛30π，C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛60π，D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛60π，【答案】A考点：余弦定理；基本不等式求最值．11．如图，ABC ∆中，D 是边BC 上的点，且,2,2AC CD AC AB AD ===，则sin B等于（ ）A B C D 【答案】C考点：正余弦定理的综合应用．【思路点晴】本题主要考查的是解三角形以及正余弦定理的应用,属于中档题目．题目先根据AD AC 32=设出x AD 2=,从而AB CD AC ,,均可用x 来表示,达到变量的统一,因此只需列出等式求出x 的值即可．先由余弦定理求出ADC ∠cos ,接下来由ADB ∠和ADC ∠互补,得出其正弦值相等,再从ADB ∆中使用正弦定理,从而求出sin B ．12．在ABC ∆中，已知10103cos ,21tan ==B A ，若ABC ∆最长边为10，则最短边长为（ ） A ．2 B ．3 C ．5D ．22【答案】A 【解析】试题分析：由021tan >=A ，得51sin ,52cos ==A A ，由010103cos >=B ，得101sin =B ，于是021sin sin cos cos )cos(cos <-=+-=+-=B A B A B A C ，即C ∠为最大角，故有10=c ，最短边为b ，于是由正弦定理CcB b sin sin =，求得2=b ． 考点：解三角形． 【思路点晴】由于021tan >=A ，010103cos >=B ，所以角A 和角B 都是锐角．利用同角三角函数关系，分别求出51sin ,52cos ==A A ，101sin =B ，利用三角形的内角和定理，结合两角和的余弦公式，可求得cos 0C <，所以C 为最大角，且10=c ，由于sin sin A B >所以B 为最小的角，b 边为最小的边，再利用正弦定理可以求出b 的值．专题09 解三角形1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若bcos C+ccos B=2acos A ，则A=（ ） A ．6πB ．3πC ．4πD ．3π或23π【答案】B2．在ABC ∆中,角A B C 、、 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（ ）A ．． C ． 12 D ． 12- 【答案】C【解析】()22212c a b =+，由余弦定理得, 222221cos 242a b c a b C ab ab +-+==≥当且仅当a b =时取“=”， cos C ∴的最小值为12，选C ．3．在ABC ∆中，内角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c ，已知85b c =， 2C B =，则cos C =（ ） A ．725 B ． 725- C ． 725± D ． 2425【答案】A【解析】试题分析：据正弦定理结合已知可得，整理得55sin sin cos 8422C C C = sin2C =，故，由二倍角公式得．考点：正弦定理及二倍角公式．【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定理，余弦定理，实现边与角的互相转化．4．在ABC∆中, 60,A a=︒=sinAa b csinB sinC++++=（）A．B．．D．【答案】C点睛：由正弦定理及已知可得sinA，sinB，sinC，则sin sin sina b cA B C++==++5．在ABC∆中，cos cosa Ab B=，则ABC∆的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】在ABC∆中，cos cosa Ab B=,∴由正弦定理2sin sina bRA B==，得2sin,2sin,sin cos sin cosa R Ab R B A A B B==∴=，112222sin A sin B∴=，22,22sin A sin B A B ∴=∴=或22A B π=-， A B ∴=或2A B π+=， ABC ∴∆为等腰或直角三角形，故选C ．6．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果． 7．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( ) A ． 15,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ． (10，＋∞) C． (0,10) D ． 400,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】由正弦定理得sin 104040sin sin 0,3sin 334a C c C C A ⎛⎤===∈ ⎥⎝⎦ ,选D ． 8．已知ABC ∆ 是锐角三角形，若2A B = ，则ab的取值范围是（ ） A ．B ．)2 C ．( D ． ()1,2【答案】A【解析】由题意得，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin a Ab B=，又因为2A B = ，所以 2cos a B b = ，又因为锐角三角形，所以ππ20,,π30,22B C B ⎛⎫⎛⎫∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以ππ,2cos 64B B <<∈故选A ．9．设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分为,,a b c ， 1,sin 62b C A π===．若D 是BC 的中点，则AD = ( )A ．74 B ． C ． 14 D ． 12【答案】B点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果．10．ABC ∆中，若)sin sin cos C A A B =+，则（ ）A ．3B π=B ．2b a c =+C ．ABC ∆是直角三角形D ．222a b c =+或2B A C =+ 【答案】D 【解析】考点：解三角形．11．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2c a =，1sin sin sin 2b B a A a C -=，则sin B 为（ ）A B ．34CD ．13【答案】A【解析】考点：1、正弦定理及余弦定理；2、同角三角函数之间的关系． 12．在ABC △中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边，且cos cos 2B bC a c=-+，则B ∠=________．【答案】23π【解析】试题分析：由正弦定理得cos cos 2B bC a c=-+CA Bsin sin 2sin +-=，化简得A B C B sin cos 2)sin(-=+，即21cos -=B ，所以在ABC ∆中，B ∠=23π． 考点：正弦定理、三角恒等变换．。

,.2019-2020年高考数学小题集训——平面向量（一）一、选择题uuur uuur(uuur uuur uuur0, n 0) ，若 m n[1,2] ，则1.已知向量OA(3,1) ， OB1,3) ， OC mOA nOB (muuur| OC | 的取值范围是（）A．[ 5, 25] B ．[5, 210) C ．(5, 10) D ．[ 5,210]r r r r rr r r r a2.已知a，b为平面向量，若a b 与 a 的夹角为， a b 与 b 的夹角为，则 r（）34bA ．3B ．6C ．5D ．6 3433 r r r r rr r3.设a(1,2) ， b(1,1) ， c a kb .若 b c，则实数k的值等于（）A ．5B ．5C ．3D ．3 33224.已知△ABC 中， AB2， AC 4 ，BAC 60ouuur uuur ，P 为线段 AC 上随意一点，则PB PC的范围是（）A ．[1,4]B ．[0,4]C．[－2,4]9D ．[ ,4]45.在实数集R 中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，近似的，我们这D r r(x, y), x R, y R 上也能够定义一个称为“序”的关系，记为平面向量会合 a | aur uur ur uur“＞” ．定义以下：对于任意两个向量 a1( x1 , y1) ， a2( x2 , y2 ) ， a1a2当且仅当“ x1x2”或“ x1x2且 y1y2”，按上述定义的关系“ ”，给出以下四个命题：ur uur r ur uur r①若 e1(1,0)， e2(0,1) ，0(0,0) ，则e1e20 ；ur uur uur uur ur uur②若 a1a2， a2a3，则 a1a3；,.ur uur r ur r uur r③若 a1a2，则对于随意的a D ，a1 a a2 a ；r r r ur uur r ur r uur④对于随意的向量 a 0 ，此中 0 (0,0) ，若a1a2，则 a a1 a a2．此中正确的命题的个数为（）A ．4B．3C． 2 D ．16.如图，在OMN 中，A、B 分别是 OM 、ONuuur uuur uuur的中点，若OP xOA yOB （ x ，y R ），且点P落在四边形ABNM内（含界限），则y1的取值范围是（）x y2A．1,2B．1,3C．1,3D．1,2 333444437. 在△ABC中，BAC 60， AB3， ACuuur uuur uuur uuur uuurR ），且2 .若BD2DC ， AE AC AB （uuur uuur的值为（）AD AE4，则A ．3B．4C.5D ．6 111111118.设 P 是△ABC 内随意一点， S△ABC表示△ABC 的面积，λ1＝SPBC，λ2＝SPCA，λ3＝SABC SABCS S PABABC,定义f（）=（1,2,3） ,若 G 是△ABC 的重心，（Q）＝（1，1，1），则（P f236）A ．点 Q 在△GAB 内B．点 Q 在△GBC 内C．点 Q 在△GCA 内D．点 Q 与点 G 重合9.在直角梯形 ABCD中，AB2AD4，同一平面内的两个动点P，M知足,.|CP | 1,PMMA，则| BM |的取值范围为（）A ．[ 10 1,10 1]B ．[10 1 , 101]2 2C. [ 1,3]D ． [21 37 ]2,2ABC uuur uuur uuur uuur uuuruuur2，且 B , 2uuur uuur10. 在△ 中， BC CA CA AB ， BABC 33 ，则 BA BC 的取值范围是（）A ．[－2,1)B ．2,1C ． 2,2D ． 2,23 33r rr r r r11. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120 °，a1,0 ， b 2 ，则 2a b （）A ． 3B ．2C ．2 3D ．42 2PA PB12. 在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点 ,点 P 为线段 CD 的中点 ,A ．2B ．4C ．5D ．102（ ）PC13. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A ，B 分别为 x 轴， y 轴上一点，且 AB 1，若点uuur uuur uuurP 1, 3 ，则 AP BP OP 的取值范围是（）A ．[5,6]B ．[6,7] C.[6,9]D ．[5,7]uuuruuur uuur10 ，则△ABC 是钝角三角形的概率是（14. 已知 k R, AB k,1 , AC2,4 ，若 AB）A ．1B ．1C.2D ．56 3 3 6,.15.生于瑞士的数学巨星欧拉在1765 年发布的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同向来线上。

2019高考数学压轴小题及答案解析题组一10.设函数$f(x)$为定义域为$\mathbb{R}$的奇函数，且$f(x)=f(-2x)$，当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\sin x$，则函数$g(x)=\cos(\pi x)-f(x)$上的所有零点的和为（）在区间$[-2,2]$。

11.已知函数$f(x)=\frac{2}{1+x^2}+\sin x$，其中$f'(x)$为函数$f(x)$的导数，求$f(2018)+f(-2018)+f'(2019)+f'(-2019)$的值。

12.已知直线$l:y=ax+1-a(a\in\mathbb{R})$，若存在实数$a$使得一条曲线与直线$l$有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于$|a|$，则称此曲线为直线$l$的“绝对曲线”。

下面给出的四条曲线方程：$y=-2x-12$，$(x-1)^2+(y-1)^2=1$，$y=4x$，$x+3y=4$。

其中直线$l$的“绝对曲线”的条数为（）。

15.若平面向量$\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$，$\vec{b}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$，$\vec{c}=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$，满足$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，$\vec{b}\cdot\vec{c}=0$，则$\vec{1}$在$\vec{2}$方向上投影的最大值是（）。

16.观察下列各式：$3=3^1$，$6=3+5$，$9=7+9+11$，$12=13+15+17+19$，$\cdots$，$3m=m^2+(m+1)^2+(m+2)^2+\cdots+(2m-1)^2$。

按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则$m$的值为（）。

2019高考数学小题训练 函数专题及其答案解析第3练 函数及其表示一、 填空题1. 定义域为R 的函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝2 014的公共点个数为________．2. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，4x ， x ≤0，则f[f(－1)]＝________． 3. 已知函数f(x)＝1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x ，则f(2)＝________． 4. 若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有________种．5. 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝________．6. 已知下列四组函数：①f(x)＝lg x 2，g(x)＝2lg x ； ②f(x)＝x －2，g(x)＝x 2－4x ＋4；③f(x)＝1x －1，g(x)＝x ＋1x 2－1； ④f(x)＝x ，g(x)＝log a a x (a>0且a ≠1)．其中表示同一个函数的为________．(填序号)7. 已知函数f(1－cos x)＝sin 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________． 8. 已知映射f ：A →B ，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝|x |12.若对实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素x 使得f ：x →k ，则实数k 的取值范围是________．9. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2， x ≥0，x 2＋2x ， x<0，则不等式f(f(x))≤3的解集为________．10. 已知实数a ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ， x<1，－x －2a ， x ≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则实数a ＝________．二、 解答题11. 已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图象过点(0，－3)，且f (x )＞0的解集为(1，3)．(1) 求f (x )的解析式；(2) 求函数y ＝f (sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最值．12. 为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD 上规划出一块矩形地面建造公园，公园一边落在CD 上，但不得越过文物保护区△AEF 的EF.问如何设计才能使公园占地面积最大？并求最大面积．(其中AB ＝200m ，BC ＝160m ，AE ＝60m ，AF ＝40m )第4练 函数的定义域与值域一、 填空题1. 函数f(x)＝lg (－x 2＋2x ＋3)的定义域为________．2. 函数y ＝2x －x 2的定义域是________．3. 若函数y ＝x 2－2x －1的定义域为{0，1，2，3}，则其值域为________．4.已知函数f(x)＝|2x －2|(x ∈(－1，2))，则函数y ＝f(x －1)的值域为________．5. 已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为________．6. 函数y ＝x －x(x ≥0)的值域为________．7. 已知常数a>0，函数f(x)＝x ＋a x －1(x>1)的最小值为3，则a ＝________．8. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥0，－2－x ， x ＜0的值域是________． 9. 函数f(x)＝2x －12x ＋1，x ∈R 的值域是________． 10. 函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．二、 解答题11. 设a 为实数，函数f(x)＝x 2＋|x －a|＋1，x ∈R .(1) 若f (x )是偶函数，求实数a 的值；(2) 在(1)的条件下，求f (x )的最小值．12. 已知f(x)是定义在集合M 上的函数．若区间D ⊆M ，且对任意x 0∈D ，均有f(x 0)∈D ，则称函数f(x)在区间D 上封闭．(1) 判断函数f(x)＝x －1在区间[－2，1]上是否封闭？并说明理由；(2) 若函数g(x)＝3x ＋a x ＋1在区间[3，10]上封闭，求实数a 的取值范围．第5练 函数的奇偶性与单调性(1)一、 填空题1. 若函数f(x)＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2]上单调递减，则f(1)＝________．2. 定义在R 上的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是________．3. 对于定义在R 上的函数f (x )，给出下列三个命题： ①若f (－2)＝f (2)，则f (x )为偶函数；②若f (－2)≠f (2)，则f (x )不是偶函数；③若f (－2)＝f (2)，则f (x )一定不是奇函数．其中正确命题的序号为________．4. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x>0，0， x ＝0，－1， x<0，g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．5. 设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________． 6. 若f(x)＝－x 2＋2ax 与g(x)＝a x ＋1在区间[2，＋∞)上都是单调减函数，则实数a 的取值范围是________．7. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ， x>1.若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．8.已知函数f(x)对任意的x ∈R 满足f (－x )＝f (x )，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－ax ＋1，若f (x )有4个零点，则实数a 的取值范围为________．9. 设函数y ＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的实数k ，定义函数f k (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤k ，k ， f （x ）>k.取函数f(x)＝2－|x|，当k ＝12时，函数f k(x)的单调递增区间为________．10. 已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝1，若f(x＋a)≤1对x∈[－1，1]恒成立，则实数a的取值范围是________．二、 解答题11. 设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )．(1) 若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求实数a ，b 的值；(2) 在(1)的条件下，当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．12. 已知函数f(x)对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1) 求证：f (x )在R 上是减函数；(2) 求f (x )在[－3，3]上的最大值和最小值．第6练 函数的奇偶性与单调性(2)一、 填空题1. 若函数f(x)＝x （2x ＋1）（x －a ）为奇函数，则实数a ＝________．2. 函数f(x)＝|x －2|x 的单调减区间是________．3. 设函数f(x)＝a sin x ＋x 2，若f(1)＝0，则f(－1)＝________．4. 若函数f(x)＝log a (6－ax)在[0，2]上为减函数，则实数a 的取值范围是________．5. 设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________． 6. 已知函数f(x)＝x 2－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则满足f(x 0)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3时x 0的取值范围为________．7. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋sin x ， x ≥0，－x 2＋cos （x ＋α）， x<0是奇函数，则sin α＝________．8. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x<0，（a －3）x ＋4a ， x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围是________． 9. 已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(x －1)，则关于m 的不等式f(1－m)＋f(1－m 2)<0的解集为________．10. 若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，则不等式f (x )<－e 的解集为________．二、 解答题11. 已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x .(1) 求f (x )的解析式；(2) 若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．12. 设函数f(x)＝a x －(k －1)a －x (a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1) 求实数k 的值；(2) 若f (1)＜0，试判断函数单调性并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0对任意实数x 恒成立的实数t 的取值范围；(3) 若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求实数m 的值．第7练二次函数一、填空题1. 若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集为(1，m)，则实数a ＝________．2. 函数f(x)＝2x2－4x－3，x∈[2，3]的值域为________．3.已知函数y＝x2－2x＋a的定义域为R，值域为[0，＋∞)，则实数a的取值集合为________．4. 若关于x的方程3x2－6x＋a＝0的一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围为________．5. 已知函数f(x)＝x2－2x，x∈[a，b]的值域为[－1，3]，则b－a的取值范围是________．6. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x＋2)<5的解集是________．7. 若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a＝________．8. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为实数，a≠0)的图象过点C(t，2)，且与x轴交于A，B两点，若AC⊥BC，则实数a＝________.9. 设函数f(x)＝x|x－a|，若对任意的x1，x2∈[2，＋∞)，x1≠x2，不等式f（x1）－f（x2）x1－x2>0恒成立，则实数a的取值范围为________．10. 已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝________．二、解答题11. 已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)满足f(1)＝0.(1) 若关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，求实数b的取值范围；(2) 若函数F(x)＝log3f(x)在区间(－2，－1)上具有单调性，求实数b的取值范围．12. 设a∈R，函数f(x)＝x|x－a|－a.(1) 若f(x)为奇函数，求实数a的值；(2) 若对任意的x∈[2，3]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．。

高考数学小题强化训练50篇(提升版)8个填空题+4个解答题(含详细参考答案)班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________小题强化训练一一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1.给出以下结论：①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”； ②“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件；③命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”． 则其中错误的是________．(填序号)2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧sin 5πx 2，x ≤0，16－log 3x ，x ＞0，则f (f (33))＝________． 3.连续抛掷两枚骰子分别得到的点数是a ，b ，则函数f (x )＝ax 2－bx 在x ＝1处取得最值的概率是________．4.设S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和．若a 4·a 8＝2a 10，则S 3的最小值为________．5.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过点P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是____________．(第6题) 6.如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________．7.已知a >0，b >0，则a 2a ＋b ＋2b 2b ＋a的最大值为________. 8.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一的零点，则a ＝________．二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．9.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知M ，N 分别为线段BB 1，A 1C 的中点，MN 与AA 1所成角的大小为90°，且MA 1＝MC .求证：(1)平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1；(2)MN ∥平面ABC .。

小题押题练(一)一、选择题1．设全集U ＝R ，集合M ＝{y |y ＝lg(x 2＋10)}，N ＝{x |0<x <2}，则N ∩(∁U M )＝( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1,2)D ．∅解析：选A 由M ＝{y |y ＝lg(x 2＋10)}得M ＝{y |y ≥1}，所以∁U M ＝(－∞，1)，故N ∩(∁U M )＝(0,1)，故选A.2．已知复数z 满足(z ＋1)(2＋3i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为( )A ．－1913B ．1913C ．－913D.913解析：选A 由(z ＋1)(2＋3i)＝5－2i ，得z ＝5－2i 2＋3i－1＝(5－2i )(2－3i )(2＋3i )(2－3i )－1＝4－19i 13－1＝－913－1913i ，所以复数z 的虚部为－1913.3．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(sin α，cos α)，若a ∥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－3B ．－2 C.23D ．2解析：选D 因为a ∥b ，所以3sin α＝cos α⇒tan α＝13，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13＋11－13＝2，选D.4．(2018·合肥一模)已知等差数列{a n }，若a 2＝10，a 5＝1，则{a n }的前7项和等于( )A ．112B ．51C ．28D ．18解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得d ＝a 5－a 25－2＝－3，a 1＝a 2－d ＝13，则S 7＝7a 1＋7×(7－1)2d ＝7×13－7×9＝28，故选C.5．过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝4x 或x 2＝12y B ．y 2＝4x C ．y 2＝4x 或x 2＝－12yD ．x 2＝－12y解析：选C 设焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2＝ax ，将点(1，－2)代入可得a ＝4，故抛物线的标准方程是y 2＝4x ；设焦点在y 轴上的抛物线的标准方程为x 2＝by ，将点(1，－2)代入可得b ＝－12，故抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上可知，过点(1，－2)的抛物线的标准方程是y 2＝4x 或x 2＝－12y .6．(2019届高三·广州五校联考)已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：正态分布N (μ，σ2)中，P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 5)A ．0.045 6B ．0.135 9C ．0.271 8D ．0.317 4解析：选B 因为P (－3<ξ<3)＝0.682 7，P (－6<ξ<6)＝0.954 5， 所以P (3<ξ<6)＝12[P (－6<ξ<6)－P (－3<ξ<3)] ＝12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，故选B.7．(2018·长郡中学月考)执行如图所示的程序框图，若输入的i ＝1，S ＝0，则输出的i 为( )A．7 B．9C．10 D．11解析：选B依题意，执行程序框图，i＝1，S＝0<2，S＝ln 3，i＝3，S<2；S＝ln 5，i＝5，S<2；S＝ln 7，i＝7，S<2；S＝ln 9，i＝9，S>2，此时结束循环，输出的i＝9，选B.8．(2018·郑州模拟)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于()A．10 cm3B．20 cm3C．30 cm3D．40 cm3解析：选B由三视图知该几何体为底面为长方形的四棱锥，记为四棱锥A-BDD1B1，将其放在长方体中如图所示，则该几何体的体积V＝V长方体ABCD-A1B1C1D1－V三棱锥A-A1B1D1－V三棱柱BCD-B1C1D1＝3×4×5－13×12×3×4×5－12×3×4×5＝20(cm3)，故选B.9．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35解析：选B 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100 010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.10.(2018·成都模拟)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则双曲线E 的离心率为( )A. 2 B ．32 C.52D. 5解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，c 2＝a 2＋52a ＝9，得a ＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝32.11．(2018·山东德州模拟)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋bc ，a ＝3，S 为△ABC 的面积，则S ＋3cos B cos C 的最大值为( )A ．1B ． 3 C.3＋1D ．3解析：选B 因为a 2＝b 2＋c 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.又A 为△ABC 的内角，所以0<A <π，所以A ＝2π3.所以b sinB ＝c sinC ＝asin A ＝3sin 2π3＝2，故b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以S ＋3cos B cos C ＝12bc sin A ＋3cos B cos C ＝34bc ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C )，又A ＋B ＋C ＝π，A ＝2π3，所以B －C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，所以cos(B －C )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，当B ＝C 时，cos(B －C )＝1，所以S ＋3cos B cos C ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3，即S ＋3cos B cos C 的最大值为 3.12．(2018·广州模拟)对于定义域为R 的函数f (x )，若满足①f (0)＝0；②当x ∈R ，且x ≠0时，都有xf ′(x )>0；③当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，都有f (x 1)<f (x 2)，则称f (x )为“偏对称函数”．现给出四个函数：f 1(x )＝－x 3＋32x 2；f 2(x )＝e x －x －1；f 3(x )＝⎩⎨⎧ln (－x ＋1)，x ≤0，2x ，x >0；f 4(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1＋12，x ≠0，0，x ＝0.则其中是“偏对称函数”的函数个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C f 1(0)＝0，f 2(0)＝e 0－0－1＝0，f 3(0)＝ln 1＝0，f 4(0)＝0，即四个函数均满足条件①.f 1′(x )＝－3x 2＋3x ，xf 1′(x )＝x (－3x 2＋3x )＝－3x 2(x －1)，当x >1时，xf 1′(x )<0，不满足条件②，则函数f 1(x )不是“偏对称函数”；f 2′(x )＝e x －1，xf 2′(x )＝x (e x －1)，当x ≠0时，恒有xf 2′(x )>0，故满足条件②；f 3′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－11－x ，x ≤0，2，x >0，故xf 3′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x1－x ，x ≤0，2x ，x >0，故xf 3′(x )>0在x ≠0时恒成立，故满足条件②；因为当x ≠0时，f 4(x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x ·2＋2x －12(2x －1)＝x 2·2x ＋12x －1，所以f 4(－x )＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝－x 2·12x ＋112x －1＝x 2·2x ＋12x －1＝f 4(x )，所以当x ≠0时，f 4(x )是偶函数，所以当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，有f 4(x 1)＝f 4(x 2)，不满足条件③，所以f 4(x )不是“偏对称函数”；当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，有f 2(x 2)－f 2(x 1)＝e x 2－x 2－1－e x 1＋x 1＋1＝e x 2－e －x 2－2x 2，构造函数H (x )＝e x －e －x －2x ，则有H ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ×e －x－2＝0，当且仅当x ＝0时取等号，即H (x )是(0，＋∞)上的增函数，则x ∈(0，＋∞)时，H (x )>H (0)＝0，故f 2(x 2)－f 2(x 1)>0恒成立，所以f 2(x )满足条件③；当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，有f 3(x 2)－f 3(x 1)＝2x 2－ln(－x 1＋1)＝2x 2－ln(x 2＋1)，构造函数T (x )＝2x －ln(1＋x )，则当x ∈(0，＋∞)时，T ′(x )＝2－11＋x ＝1＋2x 1＋x >0，所以T (x )是(0，＋∞)上的增函数，则当x ∈(0，＋∞)时，T (x )>T (0)＝0，故f 3(x 2)－f 3(x 1)>0恒成立，故f 3(x )满足条件③.综上可知“偏对称函数”有2个，选C.二、填空题13．(2018·辽宁五校联考)已知x ，y 满足⎩⎨⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0，则z ＝－3x ＋y的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，B (1,3)．显然目标函数z ＝－3x ＋y 在点B 处取得最小值，z min ＝－3×1＋3＝0.答案：014．过点P (－3，0)作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，设∠AOB ＝θ，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，当△AOB 的面积为34时，直线l 的斜率为________．解析：由题意得|OA |＝|OB |＝1， ∵△AOB 的面积为34，∴12×1×1×sin θ＝34，∴sin θ＝32， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴θ＝π3，∴△AOB 为正三角形， ∴圆心(0,0)到直线l 的距离为32，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0， ∴|3k |k 2＋1＝32，∴k ＝±33. 答案：±3315.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，A ＝π6，如图，若点D 是△ABC 外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD 面积最大时，sin D ＝________.解析：由a cos C ＋c cos A ＝b sin B 及余弦定理得a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b sin B ，即b ＝b sin B ⇒sin B ＝1⇒B ＝π2，又∠CAB ＝π6，∴∠ACB ＝π3.BC ＝a ，则AB ＝3a ，AC ＝2a ，S △ABC ＝12×a ×3a ＝32a 2.在△ACD 中，cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝13－4a 212，∴a 2＝13－12cos D 4.又S △ACD ＝12AD ·CD sin D ＝3sin D ，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝32a 2＋3sin D ＝32×13－12cos D 4＋3sin D ＝3sinD －332cos D ＋1338＝372⎝ ⎛⎭⎪⎫27sin D －37cos D ＋1338＝372sin(D －θ)＋1338⎝⎛⎭⎪⎫其中θ满足tan θ＝32，∴当D －θ＝π2，即D ＝π2＋θ时，S四边形ABCD 最大，此时sin D ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝27＝277.答案：27716．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2＋log 2x ，x ≥1，3x －2，x <1，若f [f (0)＋k ]>2，则实数k 的取值范围是________．解析：因为f (0)＝－2，所以f (－2＋k )>2.当－2＋k <1，即k <3时，令f (－2＋k )＝3(k －2)－2>2，无解；当－2＋k ≥1，即k ≥3时，令f (－2＋k )＝2＋log 2(k －2)>2，得log 2(k －2)>0，即k －2>1，解得k >3.故实数k 的取值范围是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)小题押题练(二)一、选择题1．(2018·成都一模)设集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x 2＋x －2>0}，则A ∩B ＝( )A ．(2,3)B ．(1,3)C ．(－∞，－2)∪(1,3)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选B 由x 2＋x －2>0，得x <－2或x >1，即B ＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1,3)，故选B.2．(2018·洛阳模拟)若m ＋i ＝(1＋2i)·n i(m ，n ∈R ，i 是虚数单位)，则n －m 等于( )A ．3B ．2C ．0D ．－1解析：选A 由m ＋i ＝(1＋2i)·n i ＝－2n ＋n i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ，1＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1，故n －m ＝1－(－2)＝3，故选A. 3．(2018·洛阳尖子生统考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2解析：选B 因为等比数列{a n }中a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.4．(2018·广州模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 9的展开式中x 3的系数为( )A ．－212B ．－92 C.92D.212解析：选A 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x 9－r ⎝⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，展开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212，选A. 5．(2018·潍坊模拟)已知角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在第二象限，A (x ，y )是其终边上一点，向量m ＝(3,4)，若m ⊥OA ―→，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．－17C ．－7D.17解析：选D 由m ⊥OA ―→，得3x ＋4y ＝0，即y ＝－34x ，所以tan α＝－34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝17，选D.6．(2018·成都二模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A ．13B ．14C ．15D ．17解析：选C 程序在运行过程中a 的值变化如下：a ＝1；a ＝2×1＋1＝3，不满足a >10；a ＝2×3＋1＝7，不满足a >10；a ＝2×7＋1＝15，满足a >10.于是输出的a ＝15，故选C.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝0，则ω取最小值时，φ的值为( )A.π6 B ．π3 C.2π3D.5π6解析：选D 由7π12－π3＝π4≥14×2πω，解得ω≥2，故ω的最小值为2，此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又0<φ<π，所以φ＝5π6. 8．(2018·武昌模拟)已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥x 轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为( )A.233 B ． 3 C.255D. 5解析：选A 由题意知F (c,0)，由PF ⊥x 轴，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，双曲线渐近线的方程为bx ±ay ＝0，由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a a 2＋b 2＝13，解得c ＝2b ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝2b 3b ＝233，故选A.9．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示(单位：尺)，问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有(取整数)( )A ．410斛B ．420斛C ．430斛D ．441斛解析：选D 粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V ＝9＋82×7×12＝714(立方尺)，又7141.62≈441，所以可以储存粟米约为441斛．10．(2018·浙江六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．[2，2]C ．(1，2)D ．[2，＋∞)解析：选B 设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1―→＝(－c －m ，－n )，PF 2―→＝(c －m ，－n )，则PF 1―→·PF 2―→＝m 2－c 2＋n 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－c 2＋n 2＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－c 2≥a 2－c 2(当n ＝0时取等号)，则PF 1―→·PF 2―→的最小值为a 2－c 2， 由题意可得－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2， 即14c 2≤a 2≤12c 2，即12c ≤a ≤22c ，即2≤e ≤2，故选B.11．(2018·武汉调研)已知不等式3x 2－y 2>0所表示的平面区域内一点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的垂线段分别为P A ，PB ，若△P AB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)解析：选A 不等式3x 2－y 2>0⇒(3x －y )(3x ＋y )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y >0，3x ＋y >0或⎩⎪⎨⎪⎧3x －y <0，3x ＋y <0，其表示的平面区域如图中阴影部分所示．点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的距离分别为|P A |＝|3x －y |3＋1＝|3x －y |2，|PB |＝|3x ＋y |3＋1＝|3x ＋y |2，∵∠AOB ＝120°，∴∠APB ＝60°，∴S △P AB ＝12×|P A |×|PB |sin 60°＝34×3x 2－y 24，又S △P AB ＝3316， ∴34×3x 2－y 24＝3316，∴3x 2－y 2＝3，即x 2－y 23＝1，∴P 点轨迹是双曲线，其焦点为(±2,0)，故选A.12．(2018·陕师大附中模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2,2)，平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ∈[1，a ]，μ∈[1，b ])的点P (x ，y )组成．若区域D 的面积为8，则a ＋b 的最小值为( )A.32 B ．2 C ．4D ．8解析：选C 如图所示，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得AN ＝aAB ，AM ＝bAC ，作NG ∥AM ，MG ∥AN ，CH ∥AN 且交NG 于点H ，BF ∥AM 且交MG 于点F ，BF 交CH于点E ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．由题意知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分(包括边界)．因为AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(1,3)，所以cos ∠CAB ＝AC ―→·AB ―→|AC ―→||AB ―→|＝610×10＝35，所以sin ∠CAB ＝45.由|AB ―→|＝10，|AC―→|＝10，可得EH ＝BN ＝AN －AB ＝10(a －1)，EF ＝CM ＝AM －AC ＝10(b －1)．又区域D 的面积为8，所以10(a －1)×10(b －1)×45＝8，即(a －1)(b －1)＝1.由题知a >1，b >1，所以a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2≥2(a －1)(b －1)＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时不等式取等号．故a ＋b 的最小值为4.故选C.二、填空题13．(2018·长郡中学模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14，且a ·b ＝1，则|b |＝________.解析：依题意得a ·b ＝3m 4＋m4＝m ＝1，|b |＝ m 2＋116＝174.答案：17414．(2018·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为________．解析：由正弦定理及3(a cos C －c cos A )＝b ，得3(sin A cos C －sin C cos A )＝sin B ，所以3sin(A －C )＝sin B ，由B ＝60°，得sin B ＝32，所以sin(A －C )＝12.又A －C ＝120°－2C ∈(－120°，120°)，所以A －C ＝30°，又A ＋C ＝120°，所以A ＝75°.答案：75°15．(2018·德阳模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.答案： 316．在数列{a n }中，首项不为零，且a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2，S n 为数列{a n }的前n 项和．令T n ＝10S n －S 2na n ＋1，n ∈N *，则T n 的最大值为________．解析：依题意得a n ＝a 1×(3)n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以3为公比的等比数列，所以S n ＝a 1×[1－(3)n ]1－3，S 2n ＝a 1×[1－(3)2n ]1－3，T n ＝10S n －S 2na n ＋1＝(3＋1)[10×(3)n －(3)2n －9]2×(3)n＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－(3)n －9(3)n .因为10－(3)n －9(3)n≤10－2(3)n×9(3)n＝4，T n ＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－(3)n－9(3)n ≤ 3＋12×4＝2(3＋1)，当且仅当(3)n ＝9(3)n，即n ＝2时取等号，因此T n 的最大值是2(3＋1)．答案：2(3＋1)小题押题练(三) 一、选择题1．(2019届高三·广东五校联考)复数z＝3－i1－i等于()A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i解析：选C z＝3－i1－i＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4＋2i2＝2＋i.2．(2018·惠州模拟)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：选D集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，所以a≥2.选D.3．(2018·天津模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝3，S13－S10＝36，则数列{a n}的公差为()A．1 B．－1C．－2 D．2解析：选A设等差数列{a n}的公差为d，S13－S10＝36，即a13＋a12＋a11＝36，从而3a12＝36，a12＝12，由a12＝a3＋9d，得d＝1.故选A.4.(2018·洛阳尖子生统考)执行如图所示的程序框图，若输入m＝209，n＝121，则输出的m的值为()A ．0B ．11C ．22D ．88解析：选B 当m ＝209，n ＝121时，m 除以n 的余数r ＝88，此时m ＝121，n ＝88，m 除以n 的余数r ＝33，此时m ＝88，n ＝33，m 除以n 的余数r ＝22，此时m ＝33，n ＝22，m 除以n 的余数r ＝11，此时m ＝22，n ＝11，m 除以n 的余数r ＝0，此时m ＝11，n ＝0，退出循环，输出m 的值为11，故选B.5．(2018·武昌模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A.112 B ．94 C.92D ．3解析：选D 如图，三棱锥P -ABC 为三视图所对应几何体的直观图，由三视图可知，S △ABC ＝12×2×3＝3，点P 到平面ABC 的距离h ＝3，则V P -ABC ＝13S △ABC ·h ＝13×3×3＝3，故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象在y 轴右侧的第一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3，第一个最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－3，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6解析：选D 由题意得，A ＝3，设f (x )的最小正周期为T ，则T 2＝2π3－π6＝π2，所以T ＝π，ω＝2.又函数f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 7．(2018·河北五个一名校联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，|OP |＝|OF |，其中O 为原点，则双曲线C 的离心率为( )A ．5B ． 5 C.53D.43解析：选A 在直线4x －3y ＋20＝0中，令y ＝0，得x ＝－5，故c ＝5，取右焦点为F ′，由|OF |＝|OP |＝|OF ′|，可得PF ⊥PF ′，由直线4x －3y ＋20＝0，可得tan ∠F ′FP ＝43，又|FF ′|＝10，故|PF |＝6，|PF ′|＝8，∴|PF ′|－|PF |＝2＝2a ，∴a ＝1，故双曲线C 的离心率e ＝ca ＝5，故选A.8．(2018·开封模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y的最大值是( ) A.132 B ．116 C ．32D ．64解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u ＝x －2y ，由图知，当u ＝x －2y 经过点A (1,3)时取得最小值，即u min ＝1－2×3＝－5，此时z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 取得最大值，即z max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32，故选C.9．(2018·湖北八校第一次联考)如图，O 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC 为钝角，M 为BC 边的中点，则AM ―→·AO ―→的值为( )A ．2 3B ．12C ．6D ．5解析：选D 如图，延长AO 交圆O 于点D ，连接BD ，CD ，则∠ABD ＝∠ACD ＝90°.因为M 为BC 边的中点，所以AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)．易知AO ―→＝12AD ―→，所以AM ―→·AO ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)·AD ―→＝14(AB ―→·AD ―→＋AC ―→·AD ―→)＝14(|AB ―→|·|AD ―→|·cos ∠BAD ＋|AC ―→|·|AD ―→|cos ∠CAD )＝14(|AB ―→|2＋|AC ―→|2)＝14(42＋22)＝5.故选D.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的部分图象如图所示，A ，B 两点之间的距离为10，且f (2)＝0，若将函数f (x )的图象向右平移t (t >0)个单位长度后所得函数图象关于y 轴对称，则t 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图可设A (x 1,3)，B (x 2，－3)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋62＝10，解得|x 1－x 2|＝8.所以函数f (x )的最小正周期T ＝2|x 1－x 2|＝16，故2πω＝16，解得ω＝π8.所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ，由f (2)＝0得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，又－π2≤φ≤π2，所以φ＝－π4，故f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4，向右平移t (t >0)个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝f (x －t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8(x －t )－π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8x －⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋π4.由题意，该函数图象关于y 轴对称，所以π8t ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得t ＝8k ＋2(k ∈Z )，故t 的最小值为2，选B.11．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是( )A ．3 971B ．3 972C ．3 973D ．3 974解析：选B 由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数……根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n (n ＋1)2个数．由于2 016＝63×(63＋1)2<2018<64×(64＋1)2＝2 080，因此第2 018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，……，第n 组最后一个数是n 2，因此第63组最后一个数为632,632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972.故选B.12．已知函数f (x )＝ln 2xx ，若关于x 的不等式f 2(x )＋af (x )>0只有两个整数解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，ln 2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 2，－13ln 6C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－ln 2，－13ln 6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13ln 6，ln 2 解析：选C 由f (x )＝ln 2xx 得f ′(x )＝1－ln 2x x 2，令f ′(x )＝1－ln 2x x 2＝0得，x ＝e 2，当0<x <e 2时，f ′(x )>0，当x >e2时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞上是减函数，所以x ＝e 2时，f (x )取得极大值，也是最大值，为2e ，又x →0时，f (x )→－∞，当x →＋∞时，f (x )→0，作出函数f (x )的大致图象如图所示，当0<x <e 2时，f (x )<2e 有且只有一个整数解1；当x >e 2时，0<f (x )<2e 有无数个整数解．不等式f 2(x )＋af (x )>0可化为f (x )[f (x )＋a ]>0，当a ＝0时，不等式为f 2(x )>0，有无数个整数解，不满足条件；当a >0时，f (x )>0或f (x )<－a ，f (x )>0时，结合图象可知有无数个整数解，不满足条件；当a <0时，f (x )<0或f (x )>－a ，因为f (x )<0时没有整数解，所以f (x )>－a 有两个整数解．因为f (1)＝ln 2，f (2)＝ln 2，f (3)＝ln 63<ln 2，所以f (x )≥ln 2时，不等式有两个整数解1,2，当f (x )≥ln 63时，不等式有三个整数解1,2,3，所以要使f (x )>－a 有两个整数解，则ln 63≤－a <ln 2，即－ln 2<a ≤－ln 63，故选C.二、填空题13．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x 5的展开式中x 4的系数为________．解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 10－2r ⎝⎛⎭⎪⎫－23x r ＝C r 5⎝⎛⎭⎪⎫－23r ·x 10－3r ，令10－3r＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝409. 答案：40914．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，A (1，－2)是抛物线上的点．若存在斜率为－2的直线l 与抛物线C 有公共点，且点A 到直线l 的距离等于55，则直线l 的方程是________．解析：根据题意，得4＝2p ，得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设直线l 的方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0，因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由点A 到直线l 的距离d ＝55，可得|－t |5＝55，解得t ＝±1.因为t ≥－12，所以t ＝1，所以直线l 的方程为2x ＋y－1＝0.答案：2x ＋y －1＝015．(2018·云南调研)已知四棱锥P -ABCD 的所有顶点都在体积为500π81的球面上，底面ABCD 是边长为2的正方形，则四棱锥P -ABCD 体积的最大值为________．解析：依题意，设球的半径为R ，则有4π3R 3＝500π81，R ＝53，正方形ABCD 的外接圆半径r ＝1，球心到平面ABCD 的距离h ＝R 2－r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532－12＝43，因此点P 到平面ABCD 的距离的最大值为h ＋R ＝43＋53＝3，因此四棱锥P -ABCD 体积的最大值为13×(2)2×3＝2.答案：216．(2018·贵州模拟)已知函数f (x )＝x n －x n ＋1(n ∈N *)，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线与y 轴的交点的纵坐标为b n ，则数列{b n }的前n 项和为________．解析：因为f ′(x )＝nx n －1－(n ＋1)x n ，所以f ′(2)＝n ×2n －1－(n ＋1)×2n ，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －f (2)＝[n ×2n －1－(n ＋1)×2n ](x －2)，令x＝0可得y＝－2[n×2n－1－(n＋1)×2n]＋f(2)＝－2[n×2n－1－(n＋1)×2n]＋2n－2n ＋1＝(n＋1)×2n＝b n，设数列{b n}的前n项和为S n，则S n＝2×21＋3×22＋…＋(n ＋1)×2n，①2S n＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)×2n＋1，②①－②得，－S n＝2×21＋22＋…＋2n－(n＋1)×2n＋1＝2＋2(1－2n)1－2－(n＋1)×2n＋1＝2＋2(2n－1)－(n＋1)×2n＋1＝2n＋1－(n＋1)×2n＋1＝－n×2n＋1，所以S n＝n×2n＋1.答案：n×2n＋1小题押题练(四)一、选择题1．(2018·湖州模拟)已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4iD ．3＋4i解析：选D 由已知可得z ＝253－4i ＝25(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3＋4i ，故选D.2．(2018·贵阳模拟)设集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3<0，则A ∪B ＝( )A ．(－2,1)B ．(－2,3)C ．(－1,3)D ．(－1,1)解析：选B A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |－1<x <3}，A ∪B ＝{x |－2<x <3}，故选B.3．(2018·张掖模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．－10解析：选B ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，∴a 1＝－8，∴a 2＝－8＋2＝－6.4．(2018·唐山模拟)执行如图所示的程序框图，当输入的n 为7时，输出的S 的值是( )A ．14B ．210C ．42D ．840解析：选B n ＝7，S ＝1,7<5？，否，S ＝7×1＝7，n ＝6,6<5？，否，S ＝6×7＝42，n ＝5,5<5？，否，S ＝5×42＝210，n ＝4,4<5？，是，退出循环，输出的S 的值为210，选B.5．(2018·河北五个一名校联考)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落在阴影部分(曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数约为( )A ．3 333B ．6 667C ．7 500D ．7 854解析：选B 题图中阴影部分的面积为⎠⎛01(1－x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33⎪⎪⎪1＝23，正方形的面积为1，设落在阴影部分的点的个数为n ，由几何概型的概率计算公式可知，231＝n 10 000，n ≈6 667，故选B.6．已知函数f (x )＝2x －1，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的图象关于点(1,0)中心对称 B ．函数f (x )在(－∞，1)上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．函数f (x )的图象上至少存在两点A ，B ，使得直线AB ∥x 轴 解析：选A 由题知，函数f (x )＝2x －1的图象是由函数y ＝2x 的图象向右平移1个单位长度得到的，可得函数f (x )的图象关于点(1,0)中心对称，选项A 正确；函数f (x )在(－∞，1)上是减函数，选项B 错误；易知函数f (x )＝2x －1的图象不关于直线x ＝1对称，选项C 错误；由函数f (x )的单调性及函数f (x )的图象，可知函数f (x )的图象上不存在两点A ，B ，使得直线AB ∥x 轴，选项D 错误．故选A.7．已知双曲线C ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，左、右焦点分别为F 1，F 2，则双曲线C 上满足MF 1―→·MF 2―→＝0的点M 构成的图形的面积为( )A.285 B ．565 C.745D.965解析：选D 由题意得m >0，m ＋m 2＋4m＝5，解得m ＝2，所以双曲线C ：x 22－y 28＝1，设M(x 0，y 0)，则x 202－y 208＝1，因为MF 1―→·MF 2―→＝0，所以x 20＋y 20＝10，故y 0＝±4105，x 0＝±3105，所以满足条件的点M 共有四个，构成一个矩形，长为8105，宽为6105，故面积为965.8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线C 的离心率为( )A.52 B ．62 C. 3D. 5解析：选B 设双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，则∠F 1A F 2＝120°，得c b ＝t an 60°，即c ＝3b ，a ＝2b ，所以双曲线C 的离心率e ＝62.9．我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－π2 B ．8－4π3 C ．8－πD ．8－2π解析：选C 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为12×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C.10．(2018·西安三模)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选C 设BC 的中点为D ，则由OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，可得AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)＝2λAD ―→，所以点P 在△ABC 的中线AD 所在的射线上，所以动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．故选C.11．已知三棱锥S-ABC 的每个顶点都在球O 的表面上，SA ⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝215，且二面角S-BC-A 的正切值为4，则球O 的表面积为( )A ．240πB ．248πC ．252πD ．272π解析：选D 取BC 的中点D ，连接SD ，AD ，易知AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，所以∠SDA 是二面角S-BC-A 的平面角，于是有t an ∠SDA ＝4，即SA ＝4AD ＝442－(15)2＝4.在△ABC 中，sin ∠ABC ＝AD AB ＝14，由正弦定理得△ABC 的外接圆半径r ＝AC2si n ∠ABC＝8. 可将三棱锥S-ABC 补形成一个直三棱柱ABC-SB ′C ′，其中该直三棱柱的底面为△ABC ，高为SA ＝4，因此三棱锥S-ABC 的外接球的半径R ＝22＋82＝68，因此三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝272π，选D.12．(2018·武昌模拟)已知函数f (x )＝l n xx －kx 在区间[e 41，e]上有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14e ，12e B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14e ，12e C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e2，14e D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，1e 解析：选A 令f (x )＝l n x x －kx ＝0，则k ＝l n x x 2，令g(x )＝l n x x 2，则g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l n x x 2′＝1－2l n xx 3，令g ′(x )＝0，解得x ＝e 21∈[e 41，e]．因为当x ∈(e 41，e 21)时，g ′(x )>0，所以g(x )在(e 41，e 21)上单调递增；当x ∈(e 21，e)时，g ′(x )<0，所以g(x )在(e 21，e)上单调递减．所以当x ＝e 21时，g(x )取得最大值g(e 21)＝l n e 21(e21)2＝12e .由题意函数f (x )＝l n x x －kx 在区间[e 41，e]上有两个不同的零点，知直线y ＝k 与g(x )＝l n x x 2的图象在区间[e 41，e]上有两个不同的交点，又g(e 41)＝l n e 41(e 41)2＝14e，g(e)＝l n e e 2＝1e 2，因为1e 2<14e ，所以14e≤k <12e ，故选A.二、填空题13．若f (x )＝x 2－2x －4l n x ，则f ′(x )>0的解集为________．解析：f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x 2－x －2)x (x >0)，由f ′(x )>0得2(x 2－x －2)x>0，解得－1<x <0或x >2，又x >0，∴f ′(x )>0的解集为{x |x >2}．答案：(2，＋∞)14．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，且满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为________．解析：设直线l ：y ＝kx ＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0，设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k b1＋k 2，x 1x 2＝b 2－41＋k 2，k OP ·k OQ＝y 1x 1·y 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋b x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋b x 2＝k 2＋kb ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2x 1x 2＋b 2x 1x 2＝k 2＋kb ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k b b 2－4＋b 2(1＋k 2)b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4，由k OP ·k OQ ＝k 2，得b 2－4k2b 2－4＝k 2，解得k ＝±1.答案：±115．(2019届高三·南宁、柳州联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，等差数列{a n }满足a 1＝x ，a 5＝y ，其前n 项和为S n ，则S 5－S 2的最大值为________．解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0表示的可行域如图中阴影部分所示．因为a 1＝x ，a 5＝y ，所以公差d ＝y －x4，S 5－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝3(a 5－d )＝34x ＋94y .设z ＝34x ＋94y ，作出直线34x ＋94y ＝0，平移该直线，当该直线经过点B (2,3)时，z 取得最大值334，即S 5－S 2的最大值为334.答案：33416．(2019届高三·湘东五校联考)已知f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12，其中ω>0，f (x )的最小正周期为4π.(1)则函数f (x )的单调递增区间是________________；(2)锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(2a －c)cos B ＝b cos C ，则f (A)的取值范围是____________．解析：f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. ∵f (x )的最小正周期为4π，∴2ω＝2π4π＝12，可得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.(1)令2k π－π2≤12x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3，k ∈Z . (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ， ∴(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin A ，又sin A ≠0，∴cos B ＝12，B ＝π3， ∵三角形ABC 为锐角三角形， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π2，0<2π3－A <π2，∴π6<A <π2，∴π4<12A ＋π6<5π12，22<f (A )<6＋24.答案：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3，k ∈Z (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫22，6＋24。

（参考）2019年高考数学第01期小题精练系列专题24综合训练3理含解析1.集合，则中元素的个数为（ ）2*{|70,}A x x x x N =-<∈*6{|,}B y N y A y=∈∈ A ． 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D 【解析】试题分析： ，，因为，∴集合，则中元素的个数为个．2*{|70,}A x x x x N =-<∈}6,5,4,3,2,1{=}6,3,2,1{B =BB A = 2*{|70,}A x x x x N =-<∈*6{|,}B y N y A y=∈∈4 考点：集合的表示方法. 2.下列说法错误的是（ ）A ．若:，，则， p R x ∈∃210x x -+=:p x R ⌝∀∈210x x -+≠B ．“”是“或”的充分不必要条件:p x R ∃∈1sin 2θ=30θ=150C ．命题“若，则”的否命题是“若，则”0a =0ab =0a ≠0ab ≠D ．已知，，，，则“”为假命题:p x R ∃∈cos 1x =:q x R ∀∈210x x -+>()p q ∧⌝【答案】B【解析】考点：简易逻辑.3.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则角等于（ ）ABC ∆AB C a b c 2c =b =30C =BA ．B ．C ．或D ．或3060306060120【答案】D 【解析】试题分析：因为，，，所以由正弦定理可得：，因为，可得：，所以．2c =b =30C =2322132cbsinCsinB =⨯==c b >B )180,30(︒︒∈︒︒=12060或B考点：1、正弦定理；2、特殊角的三角函数值.4.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）[1,2]x ∀∈20x a -≤A ．B ． C. D ．4a ≥4a ≤5a ≥5a ≤ 【答案】C 【解析】考点：1、充要条件；2、恒成立问题.5.已知向量，，若，则（ ）(sin(),1)6a πα=+(4,4cos b α=-a b⊥4sin()3πα+= A ． B ． C.D．14-14【答案】B 【解析】试题分析：，所以．所以．3cos 464sin b a -++=∙απα）（ 03)3sin(343cos 6sin 32=-+=-+=πααα41)3sin(=+πα41sin()sin()334ππαα+=-+=- 考点：1、向量的数量积公式；2三角恒等变换公式. 6.设是等差数列的前项和，若，则（ ）n S n a n612310S S =39S S = A ． B ． C. D ．16131419【答案】A 【解析】考点：等差数列性质.7.已知数列中，，等比数列的公比满足，且，则（ ）{}n a 45n a n =-+{}n b q 1(2)n n q a a n -=-≥12b a =12||||||n b b b +++=A ．B ． C.D ．14n-41n-143n -413n -【答案】B 【解析】试题分析：，，所以 .21q a 3a =-=-1143)4(3--∙=-∙-=n n n b 12||||||n b b b +++=1n 24343433-∙+⋅⋅⋅+∙+∙+1441413-=--∙=n n考点：等差、等比数列通项公式及等比数列的前项和公式.n 8.的值是（ ）(1tan18)(1tan 27)++A ．B ． C.2D 【答案】C 【解析】试题分析：(1tan18)(1tan 27)++︒∙︒+︒+︒+=27tan 18tan 27tan 18tan 1227tan 18tan )27tan 18tan 1(45tan 1=︒︒+︒∙︒-∙︒+=．考点：两角和的正切公式的应用.9.将函数的图象向右平移个单位，得到的图象关于对称，则的一个可能的值为（ ）sin(2)y x θ=+6π4x π=θA ．B ． C. D ．23π23π-56π56π- 【答案】B 【解析】考点：1、函数的图象变换规律；2、正弦函数的图象的对称性.)sin(φω+=x A y10.在数列中，，，且，则（ ）{}n a 12a =22a =21(1)()n n n a a n N ++-=+-∈100S =A ．0B ．1300C.2600 D ．2602 【答案】C 【解析】试题分析：由，当时，得，即；当时，得，由此可得，当为奇数时，；当为偶数时，，21(1)()n n n a a n N ++-=+-∈1n =0a 13=-a 13a a =2n =2a 24=-a n 1a a n =n 2222a n a n +-⨯= ∴)()(10042993110021100a a a a a a a a a S +++++++=+++=[])98()4()2(5022221+++++++=a a a a a ．)9842(50502 ++++=a 2600=考点：1、数列递推式；2、数列的分组求；3、等差数列的前项和.n 11.在锐角中，若，则的范围是（，分别为角，的对边长）（ ）ABC ∆2A B=aba b A B A ． B ． C.D ．2)(0,2)2) 【答案】A 【解析】试题分析：因为，为锐角，所以，所以，2A B =BA 、ππ<<B 32,2B 20π<<46ππ<<B则．a b∈===cosB 2sinBB2sin sin sin B A 考点：1、倍角公式与正弦定理；2、三角形内角和定理.12.数列满足与（与分别表示的整数部分与分数部分），则（ ）{}n a1a =11[]{}n n n a a a +=+[]n a {}n a n a 2014a =A． B． C. D．30203020+3018+3018+【答案】B【解析】考点：数列项的求解.。

小题押题练(一)一、选择题1．设全集U ＝R ，集合M ＝{y |y ＝lg(x 2＋10)}，N ＝{x |0<x <2}，则N ∩(∁U M )＝( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．(1,2)D ．∅解析：选A 由M ＝{y |y ＝lg(x 2＋10)}得M ＝{y |y ≥1}，所以∁U M ＝(－∞，1)，故N ∩(∁U M )＝(0,1)，故选A.2．已知复数z 满足(z ＋1)(2＋3i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为( ) A ．－1913B ．1913C ．－913D.913解析：选A 由(z ＋1)(2＋3i)＝5－2i ，得z ＝5－2i 2＋3i －1＝(5－2i )(2－3i )(2＋3i )(2－3i )－1＝4－19i13－1＝－913－1913i ，所以复数z 的虚部为－1913.3．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(sin α，cos α)，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－3 B ．－2 C.23D ．2解析：选D 因为a ∥b ，所以3sin α＝cos α⇒tan α＝13，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13＋11－13＝2，选D.4．(2018·合肥一模)已知等差数列{a n }，若a 2＝10，a 5＝1，则{a n }的前7项和等于( ) A ．112 B ．51 C ．28D ．18解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得d ＝a 5－a 25－2＝－3，a 1＝a 2－d ＝13，则S 7＝7a 1＋7×(7－1)2d ＝7×13－7×9＝28，故选C.5．过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝4x 或x 2＝12yB ．y 2＝4xC ．y 2＝4x 或x 2＝－12yD ．x 2＝－12y解析：选C 设焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2＝ax ，将点(1，－2)代入可得a ＝4，故抛物线的标准方程是y 2＝4x ；设焦点在y 轴上的抛物线的标准方程为x 2＝by ，将点(1，－2)代入可得b ＝－12，故抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上可知，过点(1，－2)的抛物线的标准方程是y 2＝4x 或x 2＝－12y .6．(2019届高三·广州五校联考)已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：正态分布N (μ，σ2)中，P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 5) A ．0.045 6 B ．0.135 9 C ．0.271 8D ．0.317 4解析：选B 因为P (－3<ξ<3)＝0.682 7，P (－6<ξ<6)＝0.954 5， 所以P (3<ξ<6)＝12[P (－6<ξ<6)－P (－3<ξ<3)]＝12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，故选B. 7．(2018·长郡中学月考)执行如图所示的程序框图，若输入的i ＝1，S ＝0，则输出的i 为( )A ．7B ．9C ．10D ．11解析：选B 依题意，执行程序框图，i ＝1，S ＝0<2，S ＝ln 3，i ＝3，S <2；S ＝ln 5，i ＝5，S <2；S ＝ln 7，i ＝7，S <2；S ＝ln 9，i ＝9，S >2，此时结束循环，输出的i ＝9，选B.8．(2018·郑州模拟)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于( )A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 3解析：选B 由三视图知该几何体为底面为长方形的四棱锥，记为四棱锥A -BDD 1B 1，将其放在长方体中如图所示，则该几何体的体积V ＝V 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1－V 三棱锥A -A 1B 1D 1－V 三棱柱BCD -B 1C 1D 1＝3×4×5－13×12×3×4×5－12×3×4×5＝20(cm 3)，故选B.9．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35解析：选B 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100 010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.10.(2018·成都模拟)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则双曲线E 的离心率为( )A. 2B ．32C.52D. 5解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，c 2＝a 2＋52a ＝9，得a ＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝32.11．(2018·山东德州模拟)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋bc ，a ＝3，S 为△ABC 的面积，则S ＋3cos B cos C 的最大值为( )A ．1B ． 3 C.3＋1D ．3解析：选B 因为a 2＝b 2＋c 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.又A 为△ABC的内角，所以0<A <π，所以A ＝2π3.所以b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝3sin2π3＝2，故b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以S ＋3cos B cos C ＝12bc sin A ＋3cos B cos C ＝34bc ＋3cos B cos C ＝3sin B sinC ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C )，又A ＋B ＋C ＝π，A ＝2π3，所以B －C ∈⎝⎛⎭⎫－π3，π3，所以cos(B －C )∈⎝⎛⎦⎤12，1，当B ＝C 时，cos(B －C )＝1，所以S ＋3cos B cos C ∈⎝⎛⎦⎤32，3，即S ＋3cos B cos C 的最大值为 3.12．(2018·广州模拟)对于定义域为R 的函数f (x )，若满足①f (0)＝0；②当x ∈R ，且x ≠0时，都有xf ′(x )>0；③当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，都有f (x 1)<f (x 2)，则称f (x )为“偏对称函数”．现给出四个函数：f 1(x )＝－x 3＋32x 2；f 2(x )＝e x－x －1；f 3(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x ＋1)，x ≤0，2x ，x >0；f 4(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎝⎛⎭⎫12x －1＋12，x ≠0，0，x ＝0.则其中是“偏对称函数”的函数个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C f 1(0)＝0，f 2(0)＝e 0－0－1＝0，f 3(0)＝ln 1＝0，f 4(0)＝0，即四个函数均满足条件①.f 1′(x )＝－3x 2＋3x ，xf 1′(x )＝x (－3x 2＋3x )＝－3x 2(x －1)，当x >1时，xf 1′(x )<0，不满足条件②，则函数f 1(x )不是“偏对称函数”；f 2′(x )＝e x －1，xf 2′(x )＝x (e x －1)，当x ≠0时，恒有xf 2′(x )>0，故满足条件②；f 3′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －11－x ，x ≤0，2，x >0，故xf 3′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－x ，x ≤0，2x ，x >0，故xf 3′(x )>0在x ≠0时恒成立，故满足条件②；因为当x ≠0时，f 4(x )＝x ⎝⎛⎭⎫12x －1＋12＝x ·2＋2x －12(2x －1)＝x 2·2x ＋12x －1，所以f 4(－x )＝－x 2·2－x＋12－x －1＝－x 2·12x ＋112x －1＝x 2·2x＋12x －1＝f 4(x )，所以当x ≠0时，f 4(x )是偶函数，所以当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，有f 4(x 1)＝f 4(x 2)，不满足条件③，所以f 4(x )不是“偏对称函数”；当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，有f 2(x 2)－f 2(x 1)＝e x 2－x 2－1－e x 1＋x 1＋1＝e x 2－e －x 2－2x 2，构造函数H (x )＝e x －e －x －2x ，则有H ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ×e －x －2＝0，当且仅当x ＝0时取等号，即H (x )是(0，＋∞)上的增函数，则x ∈(0，＋∞)时，H (x )>H (0)＝0，故f 2(x 2)－f 2(x 1)>0恒成立，所以f 2(x )满足条件③；当x 1<0<x 2，且|x 1|＝|x 2|时，有f 3(x 2)－f 3(x 1)＝2x 2－ln(－x 1＋1)＝2x 2－ln(x 2＋1)，构造函数T (x )＝2x －ln(1＋x )，则当x ∈(0，＋∞)时，T ′(x )＝2－11＋x ＝1＋2x 1＋x >0，所以T (x )是(0，＋∞)上的增函数，则当x ∈(0，＋∞)时，T (x )>T (0)＝0，故f 3(x 2)－f 3(x 1)>0恒成立，故f 3(x )满足条件③.综上可知“偏对称函数”有2个，选C. 二、填空题13．(2018·辽宁五校联考)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0，则z ＝－3x ＋y 的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易得A ⎝⎛⎭⎫－32，12，B (1,3)．显然目标函数z ＝－3x ＋y 在点B 处取得最小值，z min ＝－3×1＋3＝0.答案：014．过点P (－3，0)作直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，设∠AOB ＝θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，当△AOB 的面积为34时，直线l 的斜率为________．解析：由题意得|OA |＝|OB |＝1， ∵△AOB 的面积为34， ∴12×1×1×sin θ＝34，∴sin θ＝32， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ＝π3，∴△AOB 为正三角形， ∴圆心(0,0)到直线l 的距离为32， 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＝0， ∴|3k |k 2＋1＝32，∴k ＝±33. 答案：±3315.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，A ＝π6，如图，若点D 是△ABC 外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD 面积最大时，sin D ＝________.解析：由a cos C ＋c cos A ＝b sin B 及余弦定理得a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b sin B ，即b ＝b sin B ⇒sin B ＝1⇒B ＝π2，又∠CAB ＝π6，∴∠ACB ＝π3.BC ＝a ，则AB ＝3a ，AC ＝2a ，S △ABC ＝12×a ×3a ＝32a 2.在△ACD 中，cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝13－4a 212，∴a 2＝13－12cos D 4.又S △ACD ＝12AD ·CD sin D ＝3sin D ，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝32a 2＋3sin D ＝32×13－12cos D 4＋3sin D ＝3sin D －332cos D ＋1338＝372⎝ ⎛⎭⎪⎫27sin D －37cos D ＋1338＝372sin(D －θ)＋1338⎝⎛⎭⎫其中θ满足tan θ＝32，∴当D －θ＝π2，即D ＝π2＋θ时，S 四边形ABCD最大，此时sin D ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ＝27＝277. 答案：27716．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 2x ，x ≥1，3x －2，x <1，若f [f (0)＋k ]>2，则实数k 的取值范围是________．解析：因为f (0)＝－2，所以f (－2＋k )>2.当－2＋k <1，即k <3时，令f (－2＋k )＝3(k －2)－2>2，无解；当－2＋k ≥1，即k ≥3时，令f (－2＋k )＝2＋log 2(k －2)>2，得log 2(k －2)>0，即k －2>1，解得k >3.故实数k 的取值范围是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)。