函数的零点与方程的解【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件

对未来学习的展望
深入学习函数和方程的概念，理解其本质和联系 掌握求解函数零点和方程解的方法和技巧，提高解题能力 培养逻辑思维能力和抽象思维能力，为后续学习打下坚实基础 激发学习兴趣，培养良好的学习习惯和态度，为未来的数学学习做好准备
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汇报人：
步骤：找出两个因式，使它们的乘积等于一元二次方程
例子：求解方程x^2-4x+4=0 注意事项：因式分解法适用于二次项系数为1的情况，如果二次项系数不为 1，需要先提取公因式
04
函数零点与方程解的关系
函数零点与方程解的等价关系
函数零点：函数值为0的点 方程解：满足方程的未知数的值 等价关系：函数零点与方程解之间存在一一对应关系 证明方法：利用函数图像和方程的解进行证明
一元二次方程的 判别式：b² - 4ac
一元二次方程的 根：x1, x2
配方法求解一元二次方程
配方法的基本思 想：将一元二次 方程转化为二次 函数，通过配方 法求解
配方法的步骤： 首先将一元二次 方程转化为二次 函数，然后利用 二次函数的性质 求解
配方法的应用： 求解一元二次方 程，如求解 x^2+2x+1=0
通过函数图像求方程的解
介绍函数图像的概念和作用
举例说明如何通过函数图像求解 方程
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讲解如何通过函数图像找到函数 的零点
总结通过函数图像求方程解的方 法和步骤
通过方程解求函数的零点
函数零点的定义：函数在某 一点的值等于0
关系：方程的解就是函数的 零点
方程解的定义：方程的解是 指满足方程的未知数的值
函数的零点与方程的解课件高 一上学期数学人必修第一册

A.(－1，0)
B.x＝－1
C.x＝1
D.x＝0
(2)设函数 f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数 f(x)的零点与 g(x)的零点之
和为________.
(3)若 3 是函数 f(x)＝x2－mx 的一个零点，则 m＝______________________.
解析 (1)令 1＋1x＝0，解得 x＝－1，故选 B. (2)令f(x)＝21－x－4＝0解得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝ 0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2. (3)由f(3)＝32－3m＝0解得m＝3. 答案 (1)B (2)－2 (3)3
规律方法 探究函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则 函数不存在零点. (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函 数的零点.
【 训 练 1 】 函 数 f(x) ＝ ax ＋ b 有 一 个 零 点 是 2 ， 那 么 函 数 g(x) ＝ bx2 － ax 的 零 点 是
又f(x)的图象在(0，1)内是一条连续不断的曲线，∴f(x)在(0，1)内有零点.
(2)由题意知，x≠0，则原方程即为 lg(x＋2)＝1x，在同一平面直角坐标系中作出函 数 y＝lg(x＋2)与 y＝1x的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在 区间(－2，－1)上，一个在区间(1，2)上，所以 k＝－2 或 k＝1.故选 C.
2.若函数f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.( × ) 提示 反例：f(x)＝x2－2x在区间(－1，3)内有零点，但f(－1)·f(3)>0.

(4)若函数 f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，
且 f(a)·f(b)<0，则 f(x)在(a，b)内只有一个零点．(×)
目录
小结
1．(1)函数的零点是方程的实根，是函数 y＝f(x)图象与 x 轴交点的横坐标，零 点不是一个“点”，是“实数”． (2)利用函数零点存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.两者缺一不可，这是函数 y＝f(x)在(a，b)存 在零点的充分不必要条件．
目录
定理理解 函数f(x)存在零点定理的一个推论： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条 曲线，在区间[a，b]上具有单调性，且有
f(a)·f(b)<0， 那么函数y= f(x)在区间(a , b)内有唯一零点.
目录
巩固与练习 例1求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.
目录
定理理解
1.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)<0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内只有一个零点吗? 2.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)>0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内一定没有零点吗？ 3.函数 y=f(x)在区间(a , b)内有零点，一定能得出 f(a) f(b)<0 的结论吗？ 4.函数零点存在定理的条件， 是函数存在零点的充分不必要条件。
9
y -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
O –1
x 1234
由表 4.5-1 和图 4.5-2 可知，f(2)<0，f(3)>0，则 f(2) f(3)<0. 由函数零点存在定理可知，

另法(分离函数法)： 求函数的零点可转化成求两个熟悉的函数图象交点的横坐标来处理：
y 1 以及y x2 2.
x
2
反思小结：
1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.函数零点存在定理有什么样的限制条件？ 3.求函数的零点个数有哪些方法？
问题1.
在例1中，不记得ln 2 的数值，有更好的办法用
来比较ln 2 2 与 0 的大小吗？
(a, b)内至少有一个零点的什么条件（充分？必要？) (2)这个定理能判定零点的个数吗？这个定理的作用是什么？有零点是指几 个零点，只有一个吗？ (3)可以加上什么条件使得“有且只有一个零点”成立呢？
(1)充分不必要条件，举例：f (x) x2 2x 3在（- 4,4）有两个零点，
但是f (4) f (4) 0.
x2
x
2
② 方程- 1 x2 -2的解 函数y - 1 和函数y x2 2的图象交点的横坐标；
x2
x
2
③ 方程 1 -2 - x2 的解 函数y 1 -2和函数y - x2 的图象交点的横坐标.
x
2
x
2
问题4.
易错经典题
x2 2x 1 0的零点是 __________.
求下列方程的根.
(1)3x 1 0; (2)3x 2 6x 1 0; (3)3x 5 6 x 1 0.（你会解吗？）
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一 元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.阿拉伯数学家花拉 子米给出了一次方程和二次方程的一般解法，挪威数学家阿贝尔成 功证明了五次以上一般方程没有根式解.那像 ln x 2x 这6 样0不 能用公式求解的超出方程，是否可以采用类似的方法，用相应的函 数研究它的解的情况呢？

x
x
x
故 f x 在 0, 上单调递增，
又 f 2 ln 2 1 0 ， f 3 ln 3 1 0 ，
2
因为 f x 区间t,t 1t Z 上有零点，故t 2 .
总结一下
1.函数的零点 2.零点存在定理
谢 谢观看
4.5.1 函数零点与方程的解
学习目标
1.了解函数零点的概念
2.了解函数的零点与函数对应方程 根的关系
3.能够根据零点的判定方法 判断零点所在的区间
学习重点
零点的概念以及零点存在定理
学习难点
零点存在定理的理解和应用
新课引入
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元 二次方程的实数根就是相应二次函数的零点。像ln x 2x 6 0 这 样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函 数研究它的解的情况呢?
2
∴ f (1) f (0) 0 ,
∴ f (x) 在 1,0 上存在零点,不符合题意,排除选项 D .故选C .
B 5.函数 f x x 2 log2 x 的零点所在的区间为( )
A. 0,1
B. 1,2
C. 2,3
D.3,4
解析： 连续函数 f (x) log2 x x 2 在(0, ) 上单调递增， f (1) 1 0 ， f (2) 2 2 log2 2 1 0 ，
4．应用函数零点存在定理结合单调性判断
(1）若 f a f b 0 ，函数 f x 的图象在［a,b］上是一条连续不断的曲线且单 调，则函数 y f x 在（a,b）内只有一个零点； (2）若 f a f b 0 ，函数 f x 的图象在［a,b］上是一条连续不断的曲线但 不单调，则函数 y f x 在（a,b）内至少有一个零点.

10 0
故g(x)的零点为 1 .
10 0
答案:(1)3,-1 (2) 1
10 0
2.-1和4是函数f(x)=ax2+bx-4的零点,那么f(1)=________.
【所解 以析】由条件所知以f (ff1(－ 4 )1 =)a +0b0 ,-,所 4=以 -6 .1 a6 － ab － 4b 4－ ＝ 4 0＝ , 0，
22
22
(2)假设a<b<c,那么函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点
分别位于区间 ( )
A.(a,b)和(b,c)内
B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
【思维导引】(1)方程f(x)=0的根,即为函数f(x)=
(-1,0),(3,0)
(1,0)
无
-1,3
1
无
(2)结合问题1,你认为方程f(x)=0的根与对应函数y=f(x)的图象有什么关系? 提示:方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标相等.
问题2.(1)观察函数f(x)=x2-2x-3的图象:
①f(x)在区间(-2,1)上有零点吗?________; f(-2)=________,f(1)=________,f(-2)f(1)________0(填“<〞或“>〞). 提示:有 5 -4 < ②f(x)在区间(2,4)上有零点吗?________; f(2)=________,f(4)=________,f(2)f(4)________0(填“<〞或“>〞). 提示:有 -3 5 数是

2
o x1
f(x)= log2 x
x
15函数f(x)和g(10x)的图象有两5
x2
5
10
个公共点。 ∴方程4-3x+log2 x=0有两个
实数解，即 f(x)=4-3x+log2 x有2个零点。
2
增函数
4
例3.函数f
(
x)
log 1 2
(
x
1),
1
x0 , 若g( x)
f ( x) 2m
x2 2 x, x 0
3
0
f( 1 ) 16
4
1
316
log2
1 16
16
3
0
随着x的增加，3x增加越来越快，
log2 x增加越来越慢 f ( x) 4 3x log2 x 越来小
f
(1) 4
4
1
34
log 2
1 4
2
4
3
0
f ( x)有两个零点。
1
1
1
f
() 2
4
3 22
log2
2
3
30
f (1) 4 3 log2 1 1 0
课堂小结
1．函数的零点 对于函数 y＝f(x)，把使 f(f(xx))_＝_＝0 的0 的实实数数x x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、函数图象之间的关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 xx轴轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零零点． 3．函数零点的存在性定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连连续不断断的一条曲线，并且有 f(fa(a)·)f·(f_(bb))<<00.那么，函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(fc()c_)＝00，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．

.
探索点三 函数零点所在区间问题
【例 3】 (1)函数 g(x)=2x+5x 的零点 x0 所在的一个
区间是 (
)
A.(-2,-1)
B.(-1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
解析:因为函数 g(x)=2x+5x 在 R 上单调递增,
且 g(-1)=2-1-5<0,g(0)=1>0,
所以 g(-1)·g(0)<0,
-
解析:令 f(x)=
得 x-2=0 或 ln x=0,解得 x=2 或 x=1.
故函数 f(x)的零点为 1 和 2.
e,0和-2
-, > ,
(2)函数 f(x)=
的零点是
- -, ≤
≤ ,
-
=
,
解析:由 f(x)=0,得
或
- - = ,
≥ ,
< ,
或

= ,
| -| =
-
< ,
< ,
≥ ,
整理,得
或
或
- = - = - = ,
解得 x=1 或 x=4.故选 A.
答案:A
x
(2)方程 3 +log2x=0 在区间

,1

上的实数根的个数为 1 .
解析:方法 1 方程 3x+log2x=0 可化为 3x=-log2x=lo x.设
所以函数 g(x)在区间(-1,0)上存在唯一的零点,
故选 B.
答案:B
(2)若 x0 是方程( )x= 的解,则 x0 属于区间 (
A.( ,1)
B.( , )

当堂达标
5. 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，a·c<0，则函数有________个零点．
2 解析：由 Δ＝b2－4ac>0 得二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有两个零点．
当堂达标
6.求方程 logax＋2x－6＝0 的实数解的个数．
解：由 logax＋2x－6＝0 得 logax＝－2x＋6 当 a＞1 时，作 y＝logax 与 y＝－2x＋6 的图象， y＝logax 为增函数，y＝－2x＋6 为减函数，有一个交点．
经典例题
题型三 函数零点个数的判断
总结
1.判断零点的个数时 由 fx＝gx－hx＝0，得 gx＝hx，在同一坐标
系中作出 y1＝gx和 y2＝hx的图象，利用图象判定方程根的个数. 2.已知零点个数求参数时 画出函数图象，将函数零点问题转化为图象 交点问题，从而确定参数的范围.
经典例题
题型三 函数零点个数的判断
当堂达标
3.函数 f(x)＝x－2＋log2x，则 f(x)的零点所在区间为(
)
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
B 解析：f(1)＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1， ∴f(1)·f(2)<0，故选 B．
当堂达标
4.已知函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下 x，f(x)的对应值表：
4.5 函数的应用（二） 4.5.1 函数的零点与方程的解
学习目标
素养目标
学科素养
1.理解零点的概念；
2.了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数 零点与方程根的关系确定方程根的个数；
3.能够利用零点的存在解决含参问题．
1.数形结合 2.数学运算 3.逻辑推理

由零点存在定理，可知包含f(x)零点的区间是(2，4).
思维升华
确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否
落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否 连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a， b)内必有零点. (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点
提示 零点分别是52，0，3.图象与 x 轴交点的坐标分别为52，0，(0，0)，(3，0).
2.填空 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使_f_(_x_)_＝__0_______的实数x 叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
f(x)＝0
(1)二次函数的零点是几何中的“点”吗？ 提示 不是，二次函数的零点是一个实数.
(2)对于下列函数：①f(x)＝2x－5；②g(x)＝2x－1；③h(x)＝ln(x－2)；④p(x)＝x－2 1. 它们是否都存在使得其函数值等于 0 的实数 x?
提示 f(x)，g(x)，h(x)存在；p(x)不存在. (3)上述问题(2)中，函数f(x)，g(x)，h(x)的零点分别是什么？它们的图象 与x轴交点的坐标分别是什么？
5.思考辨析 正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
(1)若方程 f(x)＝0 有实根 x1，则函数 y＝f(x)的零点为(x1，0).( × ) (2)设 f(x)＝1x，由于 f(－1)f(1)<0，所以 f(x)＝x1在(－1，1)内有零点.( × ) (3)若函数 f(x)在(a，b)内有零点，则 f(a)f(b)<0.( × )