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高中数学苏教版必修4第1章《1.1.2 弧度制》优质课教案省级比赛获奖教案公开课教师面试试讲教案
【名师授课教案】
1教学目标
1.使学生理解弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度数
2.了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应关系。
3.掌握弧度制下的弧长公式,会利用弧度制解决某些简单的实际问题;
2学情分析
在我们所掌握的知识中,知道角的度量是用角度制,但是为了以后的学习,我们引入了弧度制的概念,我们一定要准确理解弧度制的定义,在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化. 在学习中,通过自主学习的形式,让学生感受弧度制的优越性,在类比中理解掌握弧度制。
在初中,我们非常熟悉角度制表示角,但在进行角的运算时,运用六十进制出现了很不习惯的问题,与我们常用的十进制不一样,正因为这样,所以有必要引入弧度制;
3重点难点
重点:理解弧度制的意义,正确进行弧度与角度的换算;弧长和面积公式及应用。
难点:弧度的概念
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】一、创设情景，揭示课题
在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢?(周角的360分之一为1°的角)
这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制,但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。
下面我们就来学习弧度制的有关概念.(板书课题)弧度制的单位是rad,读作弧度.。
1．1.2 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位，并且一度的角等于周角的1360，记作1°.通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．通过探究讨论，关键是弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式．使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度．三维目标1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．2．通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是相互联系、辩证统一的．使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算．教学难点：弧度的概念及其与角度的关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的．无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是惟一确定的．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度的换算．在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角，相应地，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样．每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然．推进新课新知探究弧度制 1．1°的角 周角的1360为1°的角． 2．1弧度的角等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 3．弧度数正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.一扇形的半径为R ，弧长为l ，则l ＝|α|R，S ＝12lR ＝12R 2|α|.4．角度制与弧度制的换算关系 π弧度＝180°，1°＝π180弧度，1弧度＝(180π)°≈57°18′. 教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度与弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad.如图1中，的长等于半径r ，AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，即lr＝1.我们已学习过角的度量，规定周角的1360为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制(degree measure)．除了采用角度制外，在科学研究中还经常采用弧度制．长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，记作1 rad(图1)．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制(radian measure)．图1用弧度表示角的大小时，只要不产生误解，可以省略单位．例如1 rad ，2 rad ，π rad，可分别写成1,2，π.正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0.若圆半径为r ，圆心角∠AOB(正角)所对的圆弧长为2r ，那么∠AOB 的弧度数就是2rr ＝2(图2)．图2教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，提问学生归纳的情况，让学生找出区别和联系．教师给予补充和提示．引入弧度之后，应与角度进行对比，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1360；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．若圆半径为r ，圆心角∠AOB(正角)所对的圆弧长为2πr，则∠AOB 的弧度数就是2πrr＝2π(图3)．故有360°＝2π rad，图31°＝π180 rad≈0.017 45 rad，1 rad ＝(180π)°≈57.30°.如图4给出了一些角的弧度数与角度数之间的关系，需熟记．图4弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为α rad＝(180απ)°，n°＝n×π180(rad)．可让学生填写下列的表格，找出某种规律．的长 OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数∠AOB 的度数πr 逆时针方向 2πr 逆时针方向r 1 2r －2－π由上表可知，如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数的绝对值是lα.这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们一定可以换算．推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一．教师给学生指出，角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系：每一个角都有惟一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有惟一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应值得注意的是：今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k·360°＋π3或者2kπ＋60°一类的写法．在弧度制中，与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z )的形式．如图5为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系．图5与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z )的形式．弧度制下关于扇形的公式为l ＝αR，S ＝12αR 2，S ＝12lR.应用示例例1将下列弧度数化为角度数： (1)3π5；(2)3.5.解：(1)3π5 rad ＝3π5×180°π＝108°；(2)3.5 rad ＝3.5×180°π≈200.54°.例2将下列角度数化为弧度数： (1)252°；(2)11°15′.解：(1)252°＝252×π180 rad ＝7π5 rad ；(2)11°15′＝11.25°＝11.25×π180 rad ＝π16rad.点评：以上两例的目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，以达到熟练掌握定义的目的．从实际教学上看，弧度制不难理解，学生结合角度制很容易记住.例3将下列用弧度制表示的角化为2kπ＋α〔k∈Z ，α∈[0,2π)〕的形式，并指出它们所在的象限：(1)－15π4；(2)32π3；(3)－20；(4)－2 3.活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般规律，即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是{β|β＝kπ，k∈Z }、{β|β＝π2＋kπ，k∈Z }，第一、二、三、四象限角的集合分别为{β|2kπ<β<2kπ＋π2，k∈Z }、{β|2kπ＋π2<β<2kπ＋π，k∈Z }、{β|2kπ＋π<β<2kπ＋3π2，k∈Z }、{β|2kπ＋3π2<β<2kπ＋2π，k ∈Z }．解：(1)－15π4＝－4π＋π4，是第一象限角．(2)32π3＝10π＋2π3，是第二象限角．(3)－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角．(4)－23≈－3.464，是第二象限角．点评：在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2kπ＋α〔k∈Z ，α∈[0,2π)〕的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断，对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k×6.28＋α，k ∈Z ，|α|∈[0,6.28)的形式，通过α与π2，π，3π2比较大小，估计出角所在的象限．例4见课本本节例3.知能训练课本本节练习1～6.课堂小结由学生总结弧度制的定义、角度与弧度的换算公式与方法．教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad 这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记．重要的一点是，同学们自己找到了角的集合与实数集R 的一一对应关系，对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在解决实际问题中灵活运用，表扬学生能总结出引入弧度制的好处，这种不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络，特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质，会使我们终生受用，这样持之以恒地坚持下去，你会发现数学王国的许多宝藏，以服务于社会，造福于人类．作业①课本习题1.1 6、8、10. ②课后探究训练：课本习题1.1 12.设计感想本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．如果学生一开始没有很好的理解，那么以后做题会更困难．通过探究让学生明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度．本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础．备课资料一、密位制度量角度量角的单位制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制．密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的16 000所对的圆心角(或这条弧)的大小．因为360°＝6 000密位，所以1°＝6 000密位360≈16.7密位，1密位＝360°6 000＝0.06°＝3.6′≈216″.密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成0—07，读作“零，零七”，478密位写成4—78，读作“四，七八”．二、备用习题1．一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( ) A.π3 B.π6C ．1D ．π 2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则( ) A ．扇形的面积不变 B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 3．下列表示的为终边相同的角的是( )A ．kπ＋π4与2kπ＋π4(k∈Z ) B.kπ2与kπ＋π2(k∈Z )C ．kπ－2π3与kπ＋π3(k∈Z ) D ．(2k ＋1)π与3kπ(k∈Z )4．已知0<θ<2π，7θ角的终边与θ角的终边重合，则θ＝__________. 5．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形的中心角的弧度数．6．若α∈(－π2，0)，β∈(0，π2)，求α＋β，α－β的范围，并指出它们各自所在的象限．参考答案：1.A 2.B 3.C 4.π3，2π3，π，4π3，5π3.5．解：设扇形所在圆的半径为R ，扇形的中心角为α，依题意有 αR＋2R ＝6，且12αR 2＝2，∴R＝1，α＝4或R ＝2，α＝1.∴α＝4或1.6．解：－π2<α＋β<π2，∴α＋β在第一象限或第四象限，或α＋β的终边在x 轴的非负半轴上．－π<α－β<0，∴α－β在第三象限或第四象限，或α－β的终边在y 轴的非正半轴上．三、钟表的分针与时针的重合问题弧度制、角度制以及有关弧度的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化．时间的度量单位时、分、秒分别与角2π(rad)，π30(rad)，π1 800(rad)相对应，只是出于方便的原因，才用时、分、秒．时钟上的数学问题比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨．[例题] 在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)?甲生：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了x 弧度，则分针转过了2π＋x 弧度，而时针走1弧度相当于经过6π h ＝360π min ，分针走1弧度相当于经过30π min ，故有360πx ＝30π(2π＋x)，得x ＝2π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是2π11＋2π＝24π11(rad)． 乙生：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(因为再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝24π11，∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是24π11(rad)．点评：两名同学得出的结果相同，其解答过程都是正确的，只不过解题的角度不同而已．甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手，当分针与时针再次重合时，分针所转过的弧度数α－2π与时针所转过的弧度数相等，利用弧度数之间的关系列出方程求解．。
O AB1.1.2 弧度制（2）教学目标1. 继续研究角度制与弧度制之间的转化；2．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用；3．求扇形面积的最值。
教学重、难点弧长公式、扇形面积公式的应用。
教学过程复习：（1）弧度制角如何规定的？||l rα=（其中l 表示α所对的弧长） （2）1801()π= ； 1180π= ． 说出下列角所对弧度数30,45,60,75,90,120,150,180,240,270,360 ． （练习）写出阴影部分的角的集合：（3）在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？新课讲解：1．弧长公式：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？2．扇形面积公式：扇形面积公式为 ．说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；②以上公式中的α必须为弧度单位．例题分析：例1 （1）已知扇形OAB 的圆心角α为120，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积。
（2）已知扇形周长为20cm ，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？例2 如图，扇形OAB 的面积是24cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。
课堂练习：1．集合|,,|2,22A k k Z B k k Z ππααπααπ⎧⎫⎧⎫==+∈==±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭的关系是 （ ） （A ）A B = （B ）A B ⊆ （C ）A B ⊇ （D ）以上都不对。
2．已知集合{}{}|2(21),,|44A k k k Z B απαπαα=≤≤+∈=-≤≤，则A B 等于（ ）（A ）φ（B ）{}|44αα-≤≤ （C ）{}|0ααπ≤≤（D ）{|4ααπ-≤≤-或0}απ≤≤ 3．圆的半径变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。
4．若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积是 ．5．在以原点为圆心，半径为１的单位圆中，一条弦AB AB 所对的圆心角α 的弧度数为 ．课堂小结：1．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；2．由||l r α=将12S lr =转化成21||2S r α=，利用这个S 与r 的二次函数关系求出扇形面积的最值。
课题： 1.1.2弧度制教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修4一、教学目标1．理解1弧度的角及弧度制的定义，领会其必要性和合理性．2．会根据定义求任意角的弧度数及进行角度数与弧度数的互化．3．理解任意角的集合与实数集的一一对应关系，掌握弧度制下的弧长公式与扇形面积公式．二、教学重点弧度制的探究生成及如何约定新制度（弧度制）下的单位1.三、教学难点弧度制的生成与理解.四、教学方法与教学手段课堂采用启发引导，合作探究的教学模式，利用几何画板辅助教学，从活动中体会数形结合、以形助数的数学思想．1．创设情境，引出必要思考：点P的位置与哪些几何量有关呢？师生活动：将所得几何量分为两大类：六十进制的角及十进制的长度．小结：数学就是建立量与量关系的模型，在同一运动中，两类几何量度量进制的不一致会给我们的数学研究带来很多不便．探究：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？【设计意图】客观世界变化万千，为了研究它们的规律，我们常常需要用数学的眼光去观察我们现实生活中的各种现象，以摩天轮为例，师生一起抽象建模进行研究刻画点P的位置的几何量，发现分为角及长度这两类几何量，它们度量的不一致会给我们的数学研究带来很多的不方便，让学生体会到学习弧度制的必要性．此时适时渗透数学史并引出本节课探究主题：能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？问题1：现实生活中有没有同一个几何量，它的度量结果可以用不同的单位表示呢？请举出相应例子？预设：学生举出各种具有不同单位的量的例子.小结：既然有这样的量，说明我们可以尝试去建立新的度量角的单位制. 【设计意图】引导学生通过类比生活中的量，发现同一个量存在不同的单位制，说明角的度量存在其余单位制的可能性．2．合作探究，凸显生成问题2：图中哪些几何量能唯一确定角α？师生活动：学生经过独立思考，有了自己的探究结果后，先生生交流，再师生交流．教师板书可能方案，让学生们说一说，教师追问学生“为什么？”几何画板作图验证．预设1：弧长、弧长比半径．师生活动：学生阐述，教师板书所有方案后，教师先用几何画板作图，从“形”的角度进行验证，而后教师通过追问，让学生从“数”的角度进行说理，然后学生评价学生，学生自主辨别可行方案并阐述其理由，最后师生一起总结，弧长与半径的比值可以唯一确定角的大小，而在半径给定的圆中，“弧长”也是可以唯一确定角的大小的，其实就是用lr唯一确定角的大小的一个特例！值得注意的是，当半径取1个单位长度时，弧长与角的数值相等！预设2：学生层次比较高，问角α与哪些长度有关，还未展开探究，学生直接得出利用弧长占整个圆周的比即l2πr＝n o360o，算出角α的度数．师生活动：通过追问，辨别一个几何量为何不可行，从而深化认识．小结：早在几百年前，数学家们就发现了角α的大小可以由lr唯一确定，瑞士大数学家欧拉为此也做了很多贡献，通过刚才的同学们的探究，我们也得出了同样的结论，说明同学们的认知水平很高，和大数学们家有一样的想法！【设计意图】学生先经过独立思考，再充分交流．在探究中，凸显了弧度制概念的生成，学生亲身经历探究寻找以及思辨的过程，明白了弧度制选用弧长与半径的比来度量角的合理性. 如此设计源于：章建跃教授曾在《关于弧度制的教学》中提到：弧度制定义的合理性应从：“如此度量角的大小是唯一确定的”给出．最后，以夸奖的形式适时渗透数学史：早在几百年前，数学家们就发现了角α的大小可以由lr的比值唯一确定，瑞士大数学家欧拉为此也做了很多贡献，既自然，又能让学生感受到探究成功被肯定的喜悦．3. 类比迁移，构建概念问题3：如何建立一种新的度量角的制度呢？师生活动1：为解决问题3回顾已有的经验，即类比学生身高的表示方法，可以用米表示，也可以用尺寸表示，从中寻找建立新制度的研究方向．小结：有了约定的单位1，就可以定量表示出其余的所有长度，即：一生二，二生三，三生万物！历史上，对同一个单位制，单位的约定也曾出现过不统一，例如，战国时期，一尺的长度是不一样的，这给人们的生活带来很多不便，所以秦始皇统一六国时，就统一了度量衡，推动了当时社会的发展！师生活动2：为解决问题3继续回顾已有的经验，回忆在角度制下，角的度量单位：1o的角规定．通过课堂引导性提问，阐述1o的角的规定的合理性.小结：①1o的角的大小与所在圆的半径无关；②给出这样规定后，所有角的度数就确定了；③适时渗透数学史：之所以用“圆周的1360所对应的圆心角规定为1o的角”，据说是因为古巴比伦科学家发现360个太阳刚好能围成一整圈．由以上两个活动可见，对于一种单位制，约定及认识它的单位1是多么的重要！师生活动3：学生根据之前活动经验，先自己独立探究：如何建立一种新的度量角的制度，再小组交流．预设：学生主动明确接下来研究方向，先约定单位1，即令lr=1，即l=r，从图形上，长度等于半径长的弧所对的圆心角约定为新制度的单位1，能主动提出接下来需要利用单位1，定量表示其余的角．通过课堂引导性提问互动，得出任意角弧度数的计算公式．小结：把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角，记作1rad．有了任意角弧度数的计算公式后，任意一个角都可以定量表示了．那么，用弧度作为度量角的单位制称为弧度制．它就是我们今天探究发现的新的度量角的单位制----弧度制．【设计意图】因为学生不知该如何建立一种新的度量角的制度，所以此问题引导学生从已有经验出发，寻找解决问题的方法．这时教师通过追问，以具体“尺”和“米”为例，师生一起摸索几何量长度从构建到使用单位制的过程，让学生感受到，认识一种新的单位制，首先得明确它的单位1，只有明确单位1后，才可以定量表示其余的长度．对于具体几何量角，让学生回忆初中1o的角的规定，充分说明角度制下单位1的约定的合理性，再次强化：对于一种单位制，应该先约定单位1，才能定量表示出其余的角．最后引导学生类比迁移，自主探究完成几何量角新单位制（弧度制）中单位1的约定，然后类比所得经验，定量表示出任意角弧度数，最后完成对弧度制的构建．4. 相互转化，揭示联系追问：通过学习“弧度制”，度量角已经有两种不同的方法，接下来应该要解决什么问题？ 预设：单位换算． 追问：怎么换算？师生活动：找出换算关系：360o ＝2π rad ，1o ＝π180rad ≈ 0.01745rad ， 1rad ＝180π度≈ 57.30o ，学生独立完成换算练习后，进行方法交流．追问：这些非整角，你会互化吗？师生活动：学习先独立完成练习，然后再进行方法交流． 【设计意图】引导学生主动思考接下来应完成单位换算．课堂上以量角器形式给出互化练习，避开枯燥无味，提升课堂活跃程度．5. 运用新知，加深认识师生活动：通过课堂对话，在弧度制下，探究角的集合与实数集R 之间构成一一对应关系．小结：弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应的关系，即角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系！ 【设计意图】让学生明确：角的概念推广之后，无论是角度制还是弧度制都能在角的集合和实数的集合之间建立一种一一对应关系．练习：（1）在弧度制下，弧长公式如何表示？（2）在弧度制下，扇形面积公式如何表示？其中l 是扇形弧长，r 是圆的半径．扇形圆心角为α rad （|α|≤2π）．师生活动：学生独立计算出弧度制下的弧长公式及扇形面积公式后，给出角度制下的相应公式进行对比，发现弧度制下公式更简洁．小结：这也体现了我们数学的简洁美！其实弧度制的优越性远不止那么多，就让我们慢慢去感受，慢慢去发现吧！ 【设计意图】通过角度制与弧度制下弧长及扇形面积公式的对比，感受公式的简洁美！小活动：你能用不同的方法度量角的大小吗？ 预设：方法1：量角器量角．方法2：量出弧长，量出半径利用公式l rα=， 计算出角的弧度数．方法3：构造三角形．小结：对于方法1是同学们小学就会的，对于方法2，我们再次感受到：通过量弧长及半径，就可以唯一确定α的大小，特别提醒，当半径长度为1个单位长度时，弧有多大，角就有多少弧度，这体现了弧度制的本质：用线段长度度量角的大小．对于方法3：可以利用构造直角三角形解决α是特殊角的情况，对于更一般的角，将是我们后继将要学习的内容（利用正余弦定理解决等等）． 【设计意图】引导学生加深对弧度制本质的理解，即：弧度制的本质是用线段长度度量角的大小．6. 小结反思归纳提升小结:今天我们类比长度单位制构建的过程，探究发现了角的新单位制（弧度制）构建过程. 它们都是从现实的度量需要开始，经历了约定单位1，定量表示，单位换算这样的过程，这个过程就是我们研究单位制的一般过程．【设计意图】本节课类比长度的单位制构建的过程，探究发现了角度的新单位制（弧度制）构建的过程，设置“拓展研究”的目的是让学生去思考：构建一种单位制的一般过程，即从特殊事物中揭示一般规律．最后设置的拓展探究，实质上是对本节课进行了高度提炼概括：我们不仅要学习弧度制，我们还要明白构建一种单位制的一般过程是什么，还要会运用此经验去研究更多的量，从而完成对本节课的总结！六、教学设计说明1．关于新课导入：如何激发学生学习“弧度制”的求知欲，让学生感受到学习新知的必要性．本节课选择从生活的大场景，到本章引言中的例子摩天轮这个具体的小场景，从学生生活中熟悉的现象出发，发现同一运动中既有大量的角又有各种长度，发现度量进制不一致给数学研究带来不便，从而让学生体会到学习弧度制的必要性．2. 关于弧度制概念生成探究：这是本节课的教学重点，鼓励学生独立对度量角的新制度进行探索，并用自己的语言进行表述，充分暴露学生的思维，鼓励学生对出现的不同方案进行探讨，找出可行方案．在过程中充分调动学生的学习积极性，组织学生合作交流，培养学生思辨、质疑、理性思维和创新能力，使发展学生的数学核心素养在数学课堂中真正做到落地生根．3．教学设计突出学生主体，注重知识的自主建构与生成，让学生真切感受到数学是自然可亲的，过程中体现数学研究方法、渗透数学思想方法和数学史，关注学生的情感体验，培养学生的积极情感．。
高中数学 1.1.2 弧度制互动课堂学案 苏教版必修4疏导引导1.度量角的单位制：角度制、弧度制 （1）角度制初中学过角度制，它是一种重要的度量角的制度，规定周角的3601为1度角，记作1°，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. （2）弧度制规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad. （3）弧度数 如下图1，的长等于半径r ，所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，即rl=1.图1 图2在图2中，圆心角∠AOC 所对的的长l=2r ，那么∠AOC 的弧度数就是22==rr r l 如果圆心角所对的弧长l=2πr （即弧长是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数是rrr l π2==2π. 如果圆心角表示一个负数，且它所对的弧的长l=4πr ，那么这个角的弧度数的绝对值是rrr l π4==4π,即这个角的弧度数是-4π. 一般地，正确的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零. 2.弧长公式与 扇形面积公式（1）设l 是以角α作为圆心角时所对的弧的长，r 是圆的半径，则有l=|α|·r，其中α是角的弧度数. （2）扇形面积公式 S=21lr=21α·r 2. 3.角度与弧度之间的互化 (1)将角度化为弧度360°=2π rad,180°=π rad. 1°=180πrad≈0.017 45 rad. (2)将弧度化为角度2π rad=360°,π rad=180°. 1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.(3)弧度制与角度制的换算公式设一个角的弧度数为α,角度数为n°,则α(rad)=(πα180)°,n°=n180πrad. (4)一些特殊角的度数与弧度数的对应表.（1）弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度. （2）1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或弧）的大小，而1°是圆的3601所对的圆心角（或弧）的大小. （3）不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值. （4）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数，如sin2是指sin(2弧度)，π=180°是指π弧度=180°；但如果以度（°）为单位表示角时，度（°）就不能省去.（5）角的概念推广以后，无论用角度制还是用弧度制都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系，每一个角都有唯一的一个实数与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应. 活学巧用【例1】 下列诸命题中，假命题是（ ）A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.一度的角是周角的3601，一弧度的角是周角的π21 C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关解析:A 、B 、C 三项都正确.1弧度等于半径长的圆弧所对的圆心角（或弧）的大小，而1°是圆的3001所对的圆心角（或弧）的大小，因此不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值. 答案:D【例2】 下列诸命题中，真命题是（ ） A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位解析:本题考查弧度制下的角的度量单位：1弧度的概念.根据一弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角.答案:D【例3】 圆弧长度等于其内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为（ ） A.3π B.32π C.3 D.2 解析：设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为3r, ∴θ=rr3=3. 答案：C【例4】 一个扇形的面积为1，周长为4，则中心角的弧度数为__________. 解析:设扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r+l=4,∴l=4-2r ，根据扇形面积公式S=21lr ，得1=21(4-2r)·r, ∴r=1,∴l=2, ∴|α|=r l =12=2.∴α=±2.. 答案:±2【例5】(1)把112°30′化成弧度(精确到0.001). (2)把112°30′化成弧度(用π表示). (3)把-125π化成度. 解析：(1)①n=112°30′,π=3.141 6;②n=1126030=112.5;③a=180π≈0.017 5;④α=na=1.968 75.∴α≈1.969 rad.(2)112°30′=(2225)°=︒2225×180π=85π.(3)-125π=-(125π×π180)°=-75°. 答案：(1)1.969 rad;(2)85π;(3)-75°.【例6】 集合A={α|α=k π+2π,k∈Z },B={α|α=2k π±2π,k∈Z }的关系是（ ）A.A=BB.A ⊆BC.A ⊇BD.以上都不对解析:对于集合A 中，当k=2n(n∈Z ),α＝2n π+2π,n∈Z ; 当k=2n-1,α=(2n-1)π+2π=2n π-2π(n∈Z ).∴α=2n π±2π,(k∈Z )，∴A=B. 答案:A【例7】 将下列弧度制表示的角化为2k π+α(k∈Z ,α∈［０,2π）)的形式，并指出它们所在的象限. ①-π415；②π332；③-20;④-32.分析：对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2k π+α(k∈Z ,|α|∈［0,2π))的形式，再根据α角终边所在位置进行判断，对于不含有π的弧度数表示的角，取π=3.14，化为k×6.28+α,k∈Z ,|α|∈［0,6.28)的形式，通过α与2π、π、π23比较，估算出角所在象限.解：①-415π=-4π+4π是第一象限角； ②π332=10π+π32，是第二象限角；③-20=-4×6.28+5.12,是第四象限角； ④-32≈-3.464=-2π+2.816，是第二象限角.。
第2课时 §1.2 弧度制【教学目标】 一、知识与技能（1）理解1弧度的角、弧度制的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算； （3）熟记特殊角的弧度数。
（4）掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式。
二、过程与方法：（1）通过比较引入“弧度制”的概念；（2）通过小组活动，熟练进行角度和弧度的换算。
（3）培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力三、情感、态度与价值观：进一步加强对辩证统一思想的理解。
【教学重点】弧度的意义 【教学难点】弧度与角度的换算 【教学过程】一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
它的单位是rad 读作弧度如图： radrad周角=2 rad 平角= rad1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02． 角的弧度数的绝对值rl=α（l 为弧长，r 为半径）o l=rC2rad1rad r l=2ro AA B3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
三、角度制与弧度制的换算 注意：360=2radrad 01745.0180≈π '185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad例1、 （1）把'3067化成弧度 （2）把rad π53化成度注意： 1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3表示3rad表示rad 角的正弦2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见下表）数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合 实数集R例2、 用弧度制表示：终边在x 轴上的角的集合；终边在y 轴上的角的集合；终边在坐标轴上的角的集合例3、 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π⑵165例4、利用弧度制证明扇形面积公式lRS 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。
．理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题．理解弧度制的意义，弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系．教学过程一、问题情境1变化．引入弧度制的概念．通过问题构建弧长，半径，圆心角之间的关系：α．通过问题引导学生进行角度制与弧度制的互换．0.01745rad 1rad=精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
课 题：1.1.2弧度制（二） 教学目的：1．巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．2．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力3．通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系． 教学重点：运用弧度制解决具体的问题． 教学难点：运用弧度制解决具体的问题． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制． 如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad探究：⑴平角、周角的弧度数，（平角=π rad 、周角=2π rad ）⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 ⑶角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） ⑷角度制、弧度制度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就像度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，反映了事物本身不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同。
⑸用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
2. 角度制与弧度制的换算： ∵ 360︒=2π rad ∴180︒=π rad ∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/62π4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
1.1.2 弧度制（1）教学目标1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式||l rα=（l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）。
教学重、难点弧度与角度之间的换算。
教学过程复习：uiu初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？新课讲解1．弧度角的定义：规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为1rad ． 练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r 的弧所对的圆心角分别为多少？ 说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？2．弧度的推广及角的弧度数的计算：规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角α的弧度数的绝对值是rl =||α，（其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径）。
说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r r rπαπ-=-=-=-． 3．角度与弧度的换算3602π=rad 180π=rad1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈例题分析：例1 把'3067︒化成弧度．例2 把35πrad 化成度。
例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。
（1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。
（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。
例4 将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限。
（1）193π； （2）315-； （3）1485-．课堂练习P9 1,2,3,4,5,6课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别。
