演示文稿1

例3.1 考虑某电话交换台在某段时间接到的呼叫. 令X(t) 表示电话交换台在(0,t]时间段内收到的呼叫次数, 则 {X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故{X(t),t≥0} 是一个泊松过程. 其实对于任意的0≤t1＜t2＜…＜tn,随机变量X(t2)X(t1),X(t3)-X(t2),…,X(tn)-X(tn-1)分别表示,在时间 段(t1,t2],(t2,t3],…,(tn-1,tn]内,电话交换台接到的 呼叫次数,它们是相互独立的,所以随机过{X(t),t≥0} 是一个独立增量过程. 而且对于任意的s＜t,随机变量X(t)-X(s)的分布可以 认为仅与t-s有关,故{X(t),t≥0}是平稳独立增量过程. 例3.2 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如 果记X(t)为在时间(0,t]内到达售票窗口的旅客数, 则 计数过程{X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故是 一个泊松过程.
(t ) n n! (t ) n n!
e-λt成立.
n=0,1,2,….
根据
d dt
[eλtPn(t)]=λeλtPn-1(t)式,有
d dt
[eλtPn(t)]= λeλt
积分得
eλtPn(t)=
(t ) n1 (n 1)!
+c .
e-λt
(t ) n 1
(n 1)!
(t ) n n! (t ) n n!
如果计数过程N(t)在不相重叠的时间间隔内, 事件A发 生的次数是相互独立的,即若 t1＜t2<t3＜t4 则在区间(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1),与在 (t3,t4]内事件A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,那么 此时的计数过程N(t)是独立增量过程. 如果计数过程N(t)在(t,t+s](s＞0)内,事件A发生的次 数N(t+s)-N(t),仅与时间差s有关,而与时刻t无关, 则 计数过程N(t)是平稳增量过程. 泊松过程是计数过程的最重要的类型之一,其定义是: 定义3.2 称计数过程{X(t),t≥0},为具有参数λ＞0的泊 松过程,如果{X(t),t≥0}满足下列条件: (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立增量过程; (3) 在任一长度为t的区间中, 事件A发生的次数服从 参数λ＞0的泊松分布,即对任意s,t≥0,有
由于Pn(0)=P{X(0)=n}=0, 因而c=0, 所以 Pn (t)=e-λt .
由条件(2)X(t)是独立、平稳增量过程,故有 P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt
(t ) n n!
, n=0,1,2,…
故定义3.3蕴涵定义3.2.
3.2 泊松过程的基本性质 1.数字特征 根据泊松过程的定义,可以导出泊松过程的几个常用的 数字特征. 设{X(t),t≥0}是泊松过程,对任意t,s∈[0,≦)及s＜t
从定义3.2的(3)得E[X(t)-X(s)]=D[X(t)-X(s)]=λ(t-s). 由于X(0)=0,故 mX(t)=E[X(t)]=E[X(t)-X(0)]=λt; σ2X(t)=D[X(t)]=D[X(t)-X(0)]=λt; RX(s,t)=E[X(s)X(t)] =E{X(s)[X(t)-X(s)+X(s)]} =E[X(s)-X(0)][X(t)-X(s)]+E[X(s)]2 =E[X(s)-X(0)]E[X(t)-X(s)]+D[X(s)]+{E[X(s)]}2 =λsλ(t-s)+λs+(λs)2=λs(λt+1);
P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt
(t ) n n!
, n=0,1,2,….
从条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]=λt. 由于: λ=E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均 个数,故称λ为泊松过程的速率或强度. 从定义3.2,我们看到:为了判断一个计数过程是泊松过 程,必须证明它满足条件(1),(2)和(3).条件(1)只是说 明事件A的计数是从t=0时开始的; 条件(2)通常可从我 们对过程了解的情况去验证; 然而条件(3)的验证是非 常困难的. 为了方便应用,以下我们再给出泊松过程的 另一个定义. 定义3.3 称计数过程{X(t),t≥0},为具有参数λ＞0的泊 松过程,如果{X(t),t≥0}满足下列条件: (1) X(0)=0; (2) X(t)是独立、平稳增量过程; (3) X(t)满足下列两式: P{X(t+h)-X(t)=1}=λh+o(h); P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h). 定义3.3中的条件(3)要求: 在充分小的时间间隔内,最 多有1个事件发生, 而不能有2个或2个以上事件同时发 生. 这种假设对于许多物理现象比较容易得到满足.
n!
(2) 有9人接受服务的概率 P{N(4)-N(0)=9}=e-12
129 9!
.
通常称Wn为第n次事件A出现的时刻或第 n次事件A的 等待时间, Tn是第n个时间间隔,它们都是随机变量.
如何利用泊松过程中事件A发生所对应的时间间隔关系 研究各次事件间的时间间隔分布呢? 定理3.2 设{X(t),t≥0}是具有参数λ的泊松分布,{Tn,n ≥1}是对应的时间间隔序列,则随机变量Tn(n=1,2,…) 是独立同分布的均值为1/λ的指数分布. 证明: 首先,由于事件{T1＞t}发生 泊松过程在区间[0, 0 t]内没有事件发生,因而 ( t ) P{T1＞t}=P{X(t)=0}=e-λt,(因此时为 e t )
当n=1时,得
d dt
[eλtP1(t)]=λeλtP0(t)=λeλte-λt=λ, P1(t)=(λt+c)e-λt.
由于P1(0)=0, 代入上式得 c=0, P1(t)=λte-λt. 以下用数学归纳法证明: Pn(t)=
假设n-1时有结论,证对n有: P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt
FT1 (t)=P{T1≤t}=1-P{T1＞t}=1-e-λt,(求导得密度)
0!
对于任意n≥1和t,s1,s2,…,sn-1≥0,有 P{Tn＞t|T1=s1,…,Tn-1=sn-1} =P{X(t+s1+…+sn-1)-X(s1+s2+…+sn-1)=0} =P{X(t)-X(0)=0}=e-λt, 即 F (t)=P{Tn≤t}=1-P{Tn＞t}=1-e-λt,
Pn (t h) Pn (t ) =-λPn(t)+λPn-1(t)+ o ( h ). h h
令h→0取极限得 P’n(t)=-λPn(t)+λPn-1(t), 所以 eλt[P’n(t)+λPn(t)]=λeλtPn-1(t), 因此
d dt
[eλtPn(t)]=λeλtPn-1(t).
例3.3 考虑机器在(t,t+h)时间段内发生故障的事件. 若 机器发生故障,立即修理后继续工作,则在(t,t+h)时间 段内机器发生故障而停止工作的事件数,构成一个随机 点过程,该过程可以用泊松过程进行描述. 定理3.1 泊松过程的两种定义,即定义3.2与定义3.3是等 价的. 证明: 首先证明定义3.2蕴涵定义3.3. 比较两条定义,由于定义3.2的条件(3)中蕴涵X(t)为平 稳增量过程,所以只需证明由定义3.2的条件(3)可以推 出定义3.3的条件(3).由式
Pn(t+h)=P{X(t+h)=n}=P{X(t+h)-X(0)=n} =P{X(t)-X(0)=n,X(t+h)-X(t)=0}+ P{X(t)-X(0)=n-1,X(t+h)-X(t)=1}+

n j 2 P{X(t)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(=j}.
根据定义3.3的(2)与(3),得 Pn(t+h)=Pn(t)P0(h)+Pn1(t)P1(h)+o(h) =(1-λh)Pn(t)+λhPn-1(t)+o(h) 于是,有

考虑下列事件： (1).顾客到达服务台。 (2).学生到达教室。
泊松过程是一类较为简单的时间连续,状态离散的随机过程. 泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天文学、服务系 统和可靠性理论等领域都有广泛的应用. 3.1 泊松过程的定义和例子 定义3.1 称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程, 若N(t)表 示到时刻t为止已发生的事件A的总数,且N(t)满足下列 条件: (1) N(t)≥0; (2) N(t)取正整数值; (3) 若s＜t,则N(s)≤N(t); (4) 当s＜t时, N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的事 件A的次数.


所以T1是服从均值为1/λ的指数分布.(导数为λe-λt) 利用泊松过程的独立、平稳增量性质,有 P{T2＞t|T1=s}=P{在(s,s+t]内没有事件发生|T1=s} =P{在(s,s+t]内没有事件发生} =P{X(t+s)-X(s)=0} =P{X(t)-X(0)=0}=e-λt, 即 FT2 (t)=P{T2≤t}=1-P{T2＞t}=1-e-λt, 故T2也是服从均值为1/λ的指数分布.
BX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t)=λs; 一般地,泊松过程的协方差函数可以表示为 BX(s,t)=λmin(s,t). 泊松过程的特征函数是 iu gX(t)=E[eiuX(t)]= t ( e. 1)
e
2.泊松过程的时间间隔与等待时间的分布 如果以泊松过程来描述服务系统接受服务的顾客数,那 么,顾客到来接受服务的时间间隔、顾客等待的排队时 间等分布问题都需要进行研究.以下讨论泊松过程与时 间有关的分布. 设{X(t),t≥0}是泊松过程, 令X(t)表示t时刻事件A发 生(顾客出现)的次数,W1,W2,…分别表示第一次,第二次 …事件A发生的时间, Tn(n≥1)表示从第(n-1)次事件A 发生到第n次事件A发生的时间间隔(如下图所示)