初二数学最新教案-示范一2.3.2运用公式法(二) 精品

《公式法》教案教学目标1．经历用公式法分解因式的探索过程，理解公式中字母的意义．2．会用公式法对多项式进行因式分解．3．体会从正、逆两个方面认识和研究事物的方法．教学重难点正确利用公式法分解因式．教学过程一、回顾复习(2)(2)____________a a +-=；(3)(3)____________x x -+--=；(32)(32)____________a b a b +-=．思考多项式22a b -有什么特点？你能将它分解因式吗？二、导入新课观察平方差公式：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）的项、指数、符号有什么特点？（让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论）（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方差”是得分解因式的多项式．由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．例3．分解因式：（1）4x 2-9（2）22()()x p x q +-+例4．分解因式：（1）44x y -（2）3a b ab - （让学生尝试独立完成，然后与同伴交流解题心得，教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结）思考：把下列各式分解因式（1）222a ab b ++（2）222a ab b -+将整式乘法的平方差公式反过来即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来即分解因式的完全平方公式．所以我们容易得到： 2222()a ab b a b ++=+；2222()a ab b a b -+=-．例5．分解因式：（1）216249x x ++（2）2244x xy y -+- 例6．分解因式：（1）22363ax axy ay ++（2）2()12()36a b a b +-++（让学生尝试独立完成，然后与同伴交流解题心得，教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结）三、随堂练习课本第117页的练习第1、2题．课本第119页的练习第1、2题．四、课堂小结这节课你学到了什么？还有什么疑惑？五、课后作业课本习题14．3的第2、3题．。

【学习目标】1．会用完全公式进行因式分解。

2．进一步明确因式分解对结果的要求。

3．学会逆向思维，渗透化归的思想方法。

【学习重点】运用完全平方公式分解因式。

【学习难点】对需要综合运用多种方法的多项式的因式分解。

【知识准备】1.平方差公式（用字母表示） 。

2. 2()a b += ；2()a b -= 。

3.因式分解：2(1)436b - 22(2)()()x p x q +-+【自习自疑文】一、阅读教材P117-P118内容，并思考回答下列问题。

1．辩一辩：下列各式是完全平方式？为什么？2(1)44a a -+ 22(2)44x x y ++ 221(3)424a ab b ++22(4)a ab b -+ 2(5)69x x -- 2(6)0.25a a ++2．完全平方公式（用字母表示）： 。

3．完全平方公式的特征是 。

二、预习评估 分解因式2(1)11025t t ++ 2(2)1449m m -+21(3)4y y ++2(4)21a a ++【我想问】请你将预习中遇见的问题和疑问写下来，等待课堂上与同学、老师共同探究解决。

等级 组长（或家长）签字【自主探究文】【探究一】分解因式：2(1)1236x x ++ 4224(2)816a a b b -+2(3)(1)6(1)9x x -+-+ 22(4)363ax axy ay -+-【探究二】1、代数式22169y kxy x +-，求k 的值。

2、2244y y ---分解因式：9a【探究三】2246130,y x y x y +-++=已知：x 求、的值【探究四】222b c ABC 0,ABC a b c ab bc ac ∆++---=∆已知、、是的三条边，且满足a 试判断的形状。

【自测自结文】1．填空：()()()()()()222221924162a ab b ++=++=()()()()()()2222249141=2m m -+-+=()()()22349x ++= ()()()2444ay ++=2．下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．2242b ab a +- B ．4142+-m m C ．269y y +- D ．222y xy x --3．把下列各式分解因式22(1)2510a ab b ++ 3322(2)2ax y axy ax y +-【自我小结】通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑呢？教学反思在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

一、课前准备自主探究1．(1)（a+b)(a–b） = ；（2）（a+b）2 = ；（3）（a–b）2 = .思考：其中（2）（3）左边的结构特征是右边的结构特征是2.据上面式子填空：（1）a2–b2 = ；（2）a 2–2ab+b2 = ；（3）a 2 +2ab+b 2 = . 结论：形如a 2 +2ab+b2与a 2–2ab+b 2的式子称为完全平方式口诀：首平方、尾平方，。

如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做。

完全平方公式： 2222()a ab b a b ++=+ 2222()a ab b a b -+=-二、合作展示 例1 把下列完全平方公式分解因式：（1）16x 2+24x+9;（2）(m+n)2-4(m+n)+4 （3）-x 2+4xy-4y 2解：（1）16x 2+24x+9 (2) (m+n)2-4(m+n)+4 （3）-x 2+4xy-4y 2注意：①完全平方公式中的a 与b 不仅可以表示 ，也可以表示 。

②对于第三题，把负号提出来是关键跟踪练习：下列哪些式子是完全平方式？如果是，就把它们进行因式分解．（1）x 2 –4xy+4y 2 （2）x 2 +4xy –4y 2（3）4m 2 –6mn+9n 2 （4）m 2 +6mn+9n 2三、拓展提升：1、将下列各式因式分解：（1）3ax2 +6axy+3ay2（2）–x 2–4y2 +4xy 解：（1）原式= (x2 +2xy+y2 )= (x+y)2（2）原式= (x 2–4xy +4y2 )= (x–2y)22、已知222450.a b243+-的值++-+=求2a b a b3、已知3223=+=++求的值ab a b a b a b ab2,5,2四、师生反思：五、当堂检测1、判断正误：（1）x2 +y2 =(x+y)2 ( )（2）x2–y 2 = (x–y) 2 ( )（3）x 2–2xy–y 2 = (x–y) 2 ( )（4）–x 2–2xy–y2 = –(x+y)2 ( )2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x2–4x+4 （2）9a2 b2–3ab+1（3） m 2 +3mn+9n2（4）x 6–10x 5+253、把下列各式因式分解：（1）m2–12mn+36n2（2）16a4+24a2b2+9b4（3）–2xy–x2–y2（4）4–12（x–y）+9（x–y)2。

运用公式法2教学目的：1. 使学生能将多项式经过适当变形，成为完全平方式的形式，较熟练地运用完全平方公式把多项式分解因式。

2. 通过综合运用提取公因式、平方差公式和完全平方公式把多项式因式分解，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力。

教学重点：把多项式通过适当变形为完全平方式，运用完全平方公式分解因式。

教学难点：综合运用多种方式进行因式分解。

教学过程：一、复习提问：1. 什么叫完全平方式，举例说明。

2. 通过讲评作业，复习应用完全平方公式分解因式的方法和思路。

二、讲解新课：1. 引入：我们知道，运用完全平方公式进行因式分解时，如果一个三项式是一个完全平方式，才能运用完全平方公式进行因式分解，但如果某些三项式其表现形式不是完全平方式，但我们可以通过适当变形，如提取公因式等方法，使其变形为完全平方式进行因式分解。

2. 例1：把xy y x 4422+--分解因式。

分析：这个三项式的两个平方项的符号都是负的，因此不符合完全平方式的形式，不能直接运用完全平方公式进行因式分解，但如果通过提取一个负号，那么括号内的三项式就符合完全平方式的结构特征，从而可以运用完全平方公式进行分解。

为了让同学们更容易辨别，一般我们要先将多项式按某个字母的降幂排列。

解：2222222)2()44(4444y x y xy x y xy x xy y x --=+--=-+-=+--3. 例2：把22363ay axy ax ++分解因式。

分析：通过观察分析，我们可以知道，这个三项式的各项都有公因式a 3，必须先提取，而这个三项式的另一个因式恰好是一个完全平方式，我们可以运用完全平方公式进行因式分解。

解：22222)(3)2(3363y x a y xy x a ay axy ax +=++=++4. 从上例我们可以进一步知道，在进行因式分解的过程中，多项式各项有公因式时，首先必须提取公因式，另一个因式能再分解时，再运用其他方法进行分解。

公式法是初中数学教学中的一种重要方法，它是指通过运用数学公式来解决问题。

公式法教学能够帮助学生简化问题，提高问题解决的效率。

以下是一份初中二年级数学教案，重点讲解公式法的运用。

【教学目标】1.掌握常用数学公式，如周长、面积等。

2.能够初步运用公式解决一些与周长、面积相关的问题。

3.培养学生的观察能力，提高分析和解决问题的能力。

【教学重点】1.掌握常用数学公式。

2.能够熟练运用公式解决问题。

3.训练学生的观察能力和分析问题的能力。

【教学准备】1.教师准备黑板、粉笔等教学用具。

2.学生准备教科书、笔和纸等。

【教学过程】Step 1 引入1.老师准备一个正方形和一个长方形的图片，让学生观察，并回答问题：“一个正方形的周长怎么求？”、“一个长方形的周长怎么求？”引导学生认识到周长的概念。

2.随后，引导学生思考：“求正方形的周长和求长方形的周长有什么相同之处？”学生回答后，引导学生得出周长的公式：周长=边长×4 Step 2 教学1.接着，老师引导学生思考：“求正方形的面积怎么求？”、“求长方形的面积怎么求？”通过引导学生，帮助学生认识到面积的概念。

2.随后，引导学生思考：“求正方形的面积和求长方形的面积有什么相同之处？”学生回答后，引导学生得出面积的公式：面积=边长×边长（正方形）、面积=长×宽（长方形）。

3.老师给出其他一些常用的公式，如圆的周长公式：周长=2πr，圆的面积公式：面积=πr²等。

通过讲解示例，帮助学生理解这些公式的使用方法。

Step 3 练习1. 老师出示一些与周长和面积相关的问题，让学生尝试使用公式法解决问题。

例如：“一个正方形的边长为5cm，求它的周长和面积。

”2.学生在教师指导下，尝试使用公式法解答问题，老师可以逐个学生提问，并引导他们思考问题的解决方法。

3.老师鼓励学生互相交流和合作，共同解决问题，帮助他们形成团队意识和合作精神。

Step 4 小结1.教师和学生一起复习所学的公式，确保学生掌握。

2021年八年级数学下册 2.3.1 运用公式法（一）示范教案1 北师大版●课题§2.3.1 运用公式法（一）●教学目标（一）教学知识点1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；2.使学生掌握用平方差公式分解因式.3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.（二）能力训练要求1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.2.训练学生对平方差公式的运用能力.（三）情感与价值观要求在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.●教学重点让学生掌握运用平方差公式分解因式.●教学难点将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.●教学方法引导自学法●教具准备投影片两张第一张（记作§2.3.1 A）第二张（记作§2.3.1 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.Ⅱ.新课讲解［师］1.请看乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2（1）左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a2－b2=（a+b）（a－b）（2）左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解.［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式讲解［师］请大家观察式子a2－b2,找出它的特点.［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.9 m 2－4n2=（3 m）2－（2n）2=（3 m +2n）（3 m－2n）3.例题讲解［例1］把下列各式分解因式：（1）25－16x2;（2）9a2－b2.解：（1）25－16x2=52－（4x）2=（5+4x）（5－4x）;（2）9a2－b2=（3a）2－（b）2=（3a+b）（3a－b）.［例2］把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2;（2）2x3－8x.解：（1）9（m +n）2－（m－n）2=［3（m +n）］2－（m－n）2=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n）（2）2x3－8x=2x（x2－4）=2x（x+2）（x－2）说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.补充例题投影片（§2.3.1 A）本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.（2）不正确.错误原因是因式分解不到底，因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.Ⅲ.课堂练习（一）随堂练习1.判断正误解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;（×）（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;（√）（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）;（×）（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.（×）2.把下列各式分解因式解：（1）a2b2－m2=（ab）2－m2=（ab+ m）（ab－m）;（2）（m－a）2－（n+b）2=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］=（m－a+n+b）（m－a－n－b）;（3）x2－（a+b－c）2=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］=（x+a+b－c）（x－a－b+c）;（4）－16x4+81y4=（9y2）2－（4x2）2=（9y2+4x2）（9y2－4x2）=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）=a2－4b2.3.解：S剩余当a=3.6,b=0.8时，=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2）S剩余答：剩余部分的面积为10.4 cm2.（二）补充练习投影片（§2.3.1 B）我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.Ⅴ.课后作业习题2.41.解：（1）a2－81=（a+9）（a－9）;（2）36－x2=（6+x）（6－x）;（3）1－16b2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）;（4）m2－9n2=（m +3n）（m－3n）;（5）0.25q2－121p2=（0.5q+11p）（0.5q－11p）;（6）169x2－4y2=（13x+2y）（13x－2y）;（7）9a2p2－b2q2=（3ap+bq）（3ap－bq）;（8）a2－x2y2=（a+xy）（a－xy）;2.解：（1）（m+n）2－n2=（m +n+n）（m +n－n）= m（m +2n）;（2）49（a－b）2－16（a+b）2=［7（a－b）］2－［4（a+b）］2=［7（a－b）+4（a+b）］［7（a－b）－4（a+b）］=（7a－7b+4a+4b）（7a－7b－4a－4b）=（11a－3b）（3a－11b）;（3）（2x+y）2－（x+2y）2=［（2x+y）+（x+2y）］［（2x+y）－（x+2y）］=（3x+3y）（x－y）=3（x+y）（x－y）;（4）（x2+y2）－x2y2=（x2+y2+xy）（x2+y2－xy）;（5）3ax2－3ay4=3a（x2－y4）=3a（x+y2）（x－y2）（6）p4－1=（p2+1）（p2－1）=（p2+1）（p+1）（p－1）.3.解：S环形=πR2－πr2=π（R2－r2）=π（R+r）（R－r）当R=8.45,r=3.45，π=3.14时，S=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm2）环形答：两圆所围成的环形的面积为186.83 cm2.Ⅵ.活动与探究把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］=（b+c）［a2+bc+ab+ac］=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］=（b+c）（a+b）（a+c）●板书设计参考练习把下列各式分解因式：（1）49x2－121y2;（2）－25a2+16b2;（3）144a2b2－0.81c2;（4）－36x2+y2;（6）9x2－（2y+z）2;（7）（2m－n）2－（m－2n）2;（8）49（2a－3b）2－9（a+b）2.解：（1）49x2－121y2=（7x+11y）（7x－11y）;（2）－25a2+16b2=（4b）2－（5a）2=（4b+5a）（4b－5a）;（3）144a2b2－0.81c2=（12ab+0.9c）（12ab－0.9c）;（4）－36x2+y2=（y）2－（6x）2=（y+6x）（y－6x）;（5）（a－b）2－1=（a－b+1）（a－b－1）;（6）9x2－（2y+z）2=［3x+（2y+z）］［3x－（2y+z）］=（3x+2y+z）（3x－2y－z）;（7）（2m－n）2－（m－2n）2=［（2 m－n）+（m－2n）］［（2 m－n）－（m－2n）］=（3 m－3n）（m +n）（8）49（2a－3b）2－9（a+b）2=［7（2a－3b）］2－［3（a+b）］2=［7（2a－3b）+3（a+b）］［7（2a－3b）－3（a+b）］=（14a－21b+3a+3b）（14a－21b－3a－3b）=（17a－18b）（11a－24b）k31440 7AD0 竐\ 35990 8C96 貖\w35905 8C41 豁33142 8176 腶27868 6CDC 泜26444 674C 杌24743 60A7 悧 38138 94FA 铺。

14.3.2 公式法（二）教案一、教学目标1.理解公式法的概念，能够根据已知条件列出对应的公式。

2.掌握利用公式法解决实际问题的方法及技巧。

3.培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学准备1.教师准备：–课本：人教版数学八年级上册。

–网络资源：无。

2.学生准备：–学生应提前复习与代数相关的知识，如变量、表达式等。

三、教学过程1. 导入新知•教师出示一道实际问题，如：某商场以打折方式促销商品，原价为100元的商品打7折，求实际售价。

•引导学生思考如何解决这个问题。

•教师解释公式法的概念：公式法是利用代数式的相等性来解决实际问题的方法。

•教师将问题转化为代数式的相等性：设实际售价为x元，则根据打折的条件可得到方程：100 * 0.7 = x。

•教师引导学生解决上述方程，得到实际售价为70元。

2. 学习公式法的基本步骤•教师向学生介绍公式法的基本步骤：1.分析问题，找出已知条件和未知数。

2.根据已知条件列出对应的代数式。

3.利用代数式的相等性得到方程组。

4.解方程组，求出未知数的值。

5.验证结果，看是否符合实际情况。

3. 练习•教师出示几道练习题，让学生运用公式法解决实际问题。

题目可以涵盖各种应用场景，例如：购物打折、几何图形的计算等。

•学生在解题过程中，教师可以适时提醒学生注意步骤和方法。

4. 拓展应用•教师出示一些拓展应用题，让学生运用公式法解决更复杂的实际问题。

•学生可以在小组合作解答问题，互相交流思路和解题方法。

5. 总结归纳•教师与学生一起总结公式法的基本步骤和解题技巧。

•学生提出问题，教师进行解答和辅导。

四、课后作业1.完成课堂练习册中关于公式法的练习题。

2.思考并解答如下问题：如果某项工作需要3个工人，现在只有6个工人，至少需要多少天完成该项工作？（给出解题过程）以上是关于14.3.2 公式法（二）教案的内容，希望能够帮助到您。

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